Expans~ao Multipolar do Potencial Eletrostatico
e a De nic~ao do Momento de Quadrupolo
(Multipole expansion of the electrostatic potencial and the de nition of the quadrupole moment)
MarcioCyrilloe Marcio Jose Menon
Instituto de Fsica \Gleb Wataghin" Universidade Estadual de Campinas, Unicamp
13083-970 Campinas, SP, Brasil Trabalho recebido em 16 de abril de 1995
Diferentes de nic~oes do momento de quadrupolo e diferentes formulac~oes da expans~ao em multipolos em refer^encias correntemente utilizadas em cursos de Eletromagnetismo podem, em princpio, di cultar a compreens~ao por parte dos alunos ingressantes no curso pro ssi-onal de Fsica (quinto semestre). Visando esclarecer esses pontos, ressaltando-se as bases fsicas e matematicas da expans~ao multipolar, apresenta-se uma revis~ao de duas abordagens usualmente adotadas, explicitando-se as diferencas e equival^encias de ambas.
Abstract
Di erent de nitions of the quadrupole moment and di erent approaches to multipole expan-sion in references currently used in Electromagnetism classes may, in principle, led primers in Physics ( fth semester) to some misunderstandings. Attempting to clarity this point as well as to stress the mathematical and physical bases of multipole expansion, a review of two approaches currently adopted and a discussion of the di erences and equivalences connecting them are presented.
I. Introduc~ao
Alunos provenientes de cursos basicos de Fsica t^em um primeiro contato com uma abordagem formal de te-oria de campos (classicos) atraves da disciplina Eletro-magnetismo. Em geral, dadas as profundas implicac~oes fsicas, o assunto mais ressaltado e a conex~ao equac~oes de Maxwell-equac~ao de onda. Entretanto, trata-se de uma disciplina muito rica em novidades, seja do ponto de vista fsico ou matematico. Um desses topicos, visto pela primeira vez pela grande maioria dos alu-nos, e a abordagem formal de um problema em tr^es dimens~oes atraves das tecnicas de expans~oes. A no-vidade e que o calculo \teoricamente exato", isto e, a express~ao analtica nal e fechada de um problema, t~ao exercitado no curso basico, passa a ter um carater formalmente aproximativo, a depender de dimens~oes, par^ametros, numero de termos, ordem, etc. Por ou-tro lado, essa novidade que pode parecer a primeira
vista estranha e ate inc^omoda ao estudante, sera fun-damental em seu trabalho futuro, pois tecnicas de ex-pans~oes/perturbac~oes, constituem uma das ferramentas mais utilizadas na fsica e infelizmente esse aspecto n~ao e ressaltado nos livros didaticos.
O primeiro contato com essa nova abordagem ocorre ao se estudar o potencial eletrostatico atraves da ex-pans~ao em multipolos e, em geral, apenas o carater intrnseco do formalismo pode ja gerar duvidas. Alem disso, junto a esse aspecto surge a identi cac~ao em um dos termos da expans~ao de uma representac~ao matri-cial do chamado momento de quadrupolo. Dadas as expans~oes em tr^es dimens~oes, a introduc~ao de proprie-dades matriciais/tensoriais e a relativa sutileza das in-terpretac~oes fsicas envolvidas, o assunto acaba dando origem a varias duvidas e di culdades para boa parte dos alunos. Nessa circunst^ancia, uma tend^encia natu-ral dos estudantes pode ser a busca de esclarecimentos
atraves da literatura correntemente utilizada nos cur-sos de Eletromagnetismo, tais como Jackson[1] (Cap.
4, pag 98), Lorrain e Corson[2] (Cap. 5, pag. 90),
Ma-rion e Heald[3] (Cap. 2, pag. 37), Reitz, Milford e
Christy[4] (Cap. 2, pag. 51), etc. A primeira vista, a
consulta dessas obras pode sugerir que as diferencas nos tipos de abordagens estejam apenas no carater discreto ou contnuo das distribuic~oes de cargas consideradas ou ainda no tipo de sistema de coordenadas utilizado. Entretanto, um ponto crtico e o fato de a de nic~ao do momento de quadrupolo apresentada por Lorrain e Corson[2] n~ao ser equivalente as de nic~oes nas demais
refer^encias, o que leva a diferentes interpretac~oes fsicas e geometricas. Outro aspecto que pode gerar duvidas e o tratamento das expans~oes de Taylor em diferentes variaveis ou condic~oes algebricamente distintas como em [4] e em [2,3]. Se essas diferencas n~ao forem clara-mente identi cadas a di culdade inicial pode tornar-se muito mais ampla e profunda.
Dada a import^ancia das tecnicas de expans~oes, o profundo signi cado fsico envolvido e as di culdades usualmente demonstradas pelos alunos no estudo da expans~ao multipolar, visa-se neste trabalho apresentar uma revis~ao basica e didatica desse topico, voltada pre-ferencialmente para alunos que ja tenham tido um pri-meiro contato com o assunto. O aspecto novo e original e a ^enfase nas origens das diferencas entre as aborda-gens citadas e as interpretac~oes fsicas e geometricas delas decorrentes, mostrando-se que o estudo compara-tivo e crtico dessas diferentes de nic~oes e abordagens traz a tona novas informac~oes fsicas e matematicas que n~ao s~ao discutidas na literatura. Com esse ob-jetivo, na sec~ao II discute-se as motivac~oes teoricas e praticas para a expans~ao multipolar, de nindo-se a
no-menclatura que sera utilizada ao longo do trabalho. Na sec~ao III considera-se duas abordagens diferentes do assunto[1;4], explicitando-se as diferentes condic~oes
na estrutura da expans~ao e no tratamento algebrico das equac~oes. Na sec~ao IV e demonstrada a equival^encia do termo de quadrupolo nas duas formulac~oes referidas, as diferencas na de nic~ao do momentode quadrupolo e s~ao discutidas as implicac~oes fsicas e geometricas. Um re-sumo dos resultados essenciais e alguns comentarios s~ao apresentados na sec~ao V.
Ao longo do trabalho faremos uso do sistema MKS de unidades e a discuss~ao sera limitada as situac~oes ele-trostaticas.
II. Bases da expans~ao em multipolos
Um dos problemas essenciais do Eletromagnetismo e a determinac~ao do campo eletrostatico ~
E produzido
por uma dada distribuic~ao de cargas. A lei de Ga-uss, embora de aplicac~ao simples, e util somente em um numero reduzido de casos, quando a simetria e con-veniente e quando se tem informac~oes adequadas sobre a propria incognita que se quer determinar. Uma abor-dagem util e, evitando-se o carater vetorial de ~
E,
de-terminar primeiro o potencial eletrostatico (grandeza escalar) e a seguir o campo por derivac~ao,
~ E=;
~ r:
No caso mais geral, as cargas fonte podem constituir-se tanto de distribuic~oes discretas como contnuas (lineares, super ciais e volumetricas). Nesse caso a lei de Coulomb leva a express~ao formal (soluc~ao da equac~ao de Poisson): c (~r) = 1 4 0 " n X =1 q j~r;~r j +Z v0 (~r 0) dv 0 j~r;~r 0 j +Z S0 (~r 0) da 0 j~r;~r 0 j +Z l0 (~r 0) dl 0 j~r;~r 0 j # : (1) d
Neste trabalho, visando uniformizar e compactar a nomenclatura, consideraremos somente uma distri-buic~ao volumetrica de cargas caracterizada por uma
densidade (~r
0), como esquematizado na gura 1 Nas
refer^encias o mesmo tipo de distribuic~aocontnua e uti-lizado em [1 ,2 ,4] e discreta em [3]. A passagem do caso
contnuo para o discreto pode ser obtida diretamente atraves das prescric~oes:
~ r 0 !r~ Z v0 (~r 0) dv 0 :::! X q :::
ou pela introduc~ao da func~ao delta de Dirac.
Figura 1. Esquema de uma distribuic~ao contnua (vo-lumetrica) de cargas originando no ponto de observac~ao P
um potencial (~r).
Limitaremos ent~ao a discuss~ao ao calculo do poten-cial atraves da express~ao
(~r) = 1 4 0 Z v0 (~r 0) dv 0 j~r;~r 0 j ; (1) onde ( gura 1) ~r
0 caracteriza a posic~ao do elemento dv
0no interior da amostra de volume v
0e densidade de
carga (~r 0) e
~r a posic~ao do ponto de observac~ao P
onde o potencial e calculado.
A equac~ao (1) e o ponto de partida para a ex-pans~ao em multipolos que sera efetuada na sec~ao se-guinte. Nesta sec~ao vamos discutir as raz~oes pelas quais se faz uso desse tipo de formalismo. Como veremos, a compreens~ao dessas motivac~oes sera util para o enten-dimento das diferencas nas abordagens e na de nic~ao do momento de quadrupolo.
Podemos identi car duas raz~oes para a expans~ao, uma de carater teorico e outra de ordem pratica.
A motivac~ao de carater teorico, que tem profundo signi cado fsico n~ao aparente na forma da equac~ao (1), esta no fato de que, uma vez feita a expans~ao, esta apresenta uma estrutura peculiar: uma soma in nita de termos, o primeiro correspondendo ao potencial pro-duzido por uma carga pontual (monopolo), o segundo a duas cargas pontuais de sinais contrarios (dipolo), o terceiro a quatro cargas pontuais duas a duas com sinais contrarios (quadrupolo), o quarto a oito cargas puntuais duas a duas com sinais contrarios, distribudas em cubo, (octupolo) e assim por diante. Dessa forma obtem-se uma decomposic~ao de multipolos, represen-tada usualmente por
c (~r) = (1)( ~ r) + (2)( ~ r) + (4)( ~r) + (8)( ~ r) +:::+ (2 n )( ~ r) +::: (2) d
A identi cac~ao do primeiro termo n~ao nulo fornece im-portantes informac~oes fsicas sobre a distribuic~ao, inde-pendentemente de se ter a express~ao exata do potencial produzido. Varios exemplos podem ser consultados nas refer^encias citadas.
A raz~ao de ordem pratica esta associada ao fato de que nem sempre a equac~ao (1) pode ser calculada analiticamente. Um procedimento possvel e utilizar calculos numericos e resolver adequadamente o pro-blema atraves de sistemas computacionais. Entretanto, em muitos casos praticos, devido as condic~oes
experi-mentais, pode n~ao ser necessaria uma soluc~ao comple-tamente exata do problema. O caso tpico e aquele no qual o ponto de observac~ao esta a uma dist^ancia da amostra muito maior que as dimens~oes da propria amostra. Se a dimens~ao da amostra pode ser re-presentada por um comprimento lmax e R
represen-tar a dist^ancia da amostra ao ponto de observac~ao, a condic~ao geometrica acima pode ser algebricamente for-mulada por
lmax R
1: (3)
e procurar expressar as dist^ancias que aparecem na equac~ao (1) em termos da raz~ao (3). Obtido isso, po-demos expandir (1) em serie de Taylor na variavel que obedece (3) ou que seja da mesma ordem de grandeza desta. Sendo a expans~ao em pot^encias inteiras desse par^ametro, cada termo consecutivo e menor que o an-terior. Na pratica podemos dizer que quando o valor do termo de uma certa ordem for menor que a impre-cis~ao experimental, os termos de ordem mais elevada podem ser desprezados. Com isso, camos com um numero nito de termos em (2) com caractersticas co-nhecidas, como comentado no paragrafo anterior, e que em geral s~ao mais faceis de serem integrados. Essa e a formulac~ao de Reitz, Milford e Christy[4] e que sera
revisada na sec~ao III.1.
Alternativamente, uma maneira equivalente de se chegar aos mesmos resultados e tratar expans~oes em torno da origem do sistema de coordenadas como apa-rece em [2,3]. A condic~ao (3) e usada, ent~ao, para levar a expans~ao apenas ate a segunda ordem. Isto, no en-tanto, n~ao e explicitado nessas refer^encias, o que pode levar a interpretac~oes conceitualmente questionaveis.
Outro aspecto, independente do anterior, que es-tamos interessados em fazer um estudo comparativo e, uma vez obtida a expans~ao, analisar o tratamento algebrico dado ao termo de quadrupolo (4)(
~r). Como
sera mostrado, as diferencas, entre [2] e [1, 3, 4] resi-dem exclusivamente em se fatorizar ou n~ao as grandezas associadas a amostra e ao ponto de observac~ao.
Estaremos assim interessados em duas comparac~oes independentes: expans~ao em termos de uma raz~ao ou expans~ao em torno da origem e fatorizac~ao ou n~ao das grandezas envolvidas no termo de quadrupolo. Como citado nos dois paragrafos anteriores esses aspectos est~ao um pouco misturados nas refer^encias. Para pro-curar compactar a discuss~ao utilizaremos uma nomen-clatura uni cada e denominaremos:
{ \Primeira abordagem": formulac~ao atraves da expans~ao em termos da raz~ao (3) e fatorizac~ao do termo de quadrupolo. Esta corresponde ao tipo de expans~ao de [4] e ao momento de quadrupolo de [1, 3 e 4].
{ \Segunda abordagem": formulac~ao atraves da expans~ao em torno da origem e n~ao fatorizac~ao do
termo de quadrupolo. Esta corresponde ao tipo de expans~ao de [2 e 3] e ao momento de quadrupolo de [2].
Em [1] a expans~ao e feita em termos de esfericos harm^onicos. A expans~ao de Taylor em torno da ori-gem em coordenadas retangulares e deixada pelo autor como exerccio ao leitor.
O nucleo de nossa discuss~ao esta centrado no termo de quadrupolo (4)(
~r) e na representac~ao matricial a ele
associada, o momento de quadrupolo. Discuss~oes sobre os demais termos podem ser encontrados em quaisquer das refer^encias.
III. Calculo do termo de quadrupolo
Utilizaremos uma notac~ao uni cada de modo a per-mitir extens~oes simples a qualquer das nomenclaturas das obras citadas. Representaremos como em [1],
~r= (x 1 ;x 2 ;x 3) ~r 0= ( x 0 1 ;x 0 2 ;x 0 3) :
A notac~ao de [2] e obtida fazendo corresponder (x 1 ;x 2 ;x 3) !(x;y ;z) (x 0 1 ;x 0 2 ;x 0 3) !(x 0 ;y 0 ;z 0) :
III.1. Primeira abordagem
O ponto de partida e considerar a distribuic~ao de cargas da gura 1 localizada em torno da origem, como mostrado na gura 2. Nesse caso a condic~ao (3) e cor-retamente representada por
r 0 r 1; 8j~r 0 j (4)
Notemos que essa express~ao contem informac~oes sobre a dist^ancia entre a amostra e o ponto de observac~ao. Tratando-se de uma raz~ao, a amostra n~ao precisa ser \pequena" ou localizada proxima de um ponto es-pec co do espaco; (4) e veri cada tomando-sej~r j
Figura 2. Distribuic~ao volumetrica de cargas em torno da origem.
Seguindo o raciocnio da sec~ao 2, o primeiro passo e expressar o termo 1=j~r;~r 0 jde (1) em func~ao da raz~ao em (4) 1 j~r;~r 0 j = 1 r " 1 + r 0 r 2 ;2 ~r r : ~ r 0 r # ; 1 2 :
Sendo~r =rum versor, a condic~ao (4) implica que o
ter-ceiro termo dentro do colchete e 1 e menor ainda o
segundo. Dessa forma, a soma dos dois escalares
obe-dece r 0 r 2 ;2 ~ r r : ~ r 0 r 1:
Denotando por x esse termo, podemos expandir o
bin^omio [1 +x] ; 1 2 em serie de Taylor (1 +x)n= 1 +nx+ n(n;1) 2 x 2+ :::
Com isso, atetermos de segunda ordem emr 0 =r, obte-mos: c 1 j~r;~r 0 j = 1 r +~r :~r 0 r 3 + 12 3(~r :~r 0)2 r 5 ; r 02 r 3 ; (5)
e da a expans~ao para o potencial (~r) = 1 4 0 1 r Z v0 (~r 0) dv 0+ 1 4 0 ~ r r 3 Z v0 ~r 0 (~r 0) dv 0+ 1 4 0 1 2 Z v0 3(~r :~r 0)2 r 5 ; r 02 r 3 (~r 0) dv 0 : (6) d
O primeiro e segundo termos correspondem as con-tribuic~oes de monopolo, (1)(
~r), e dipolo, (2)(
~r),
res-pectivamente, como indicado em (2).
Fixaremos agora a atenc~ao no terceiro termo, a con-tribuic~ao de quadrupolo (4)(
~
r). Primeiro observemos
que nesse termo entra tanto a variavel associada a dis-tribuic~ao (~r
0), como a associada ao ponto de observac~ao
(~r) e de uma forma um tanto misturada. Na abordagem
de [1, 3 e 4] o que se faz e fatorar essas depend^encias, isto e, separar as depend^encias na formade um produto, de modo a ser possvel estudar cada depend^encia sepa-radamente. Isso de fato nos levara a identi car todas as caractersticas da amostra num termo que de nira o momento de quadrupolo. Para tanto sera util \ab-rir" os produtos escalares em termos das coordenadas anteriormente de nidas: c (4)( ~r) = 1 4 0 1 2r 5 Z v0 2 43 3 X i=1 3 X j=1 xix 0 ixjx 0 j; 3 X i=1 x 2 ir 02 3 5 (~r 0) dv 0 : d
Expressando 3 X i=1 x 2 i = 3 X i=1 3 X j=1 xixjij;
comij sendo a Delta de Kronecker, podemos p^or em
evid^encia todas as coordenadas associadas ao ponto de observac~ao, obtendo a forma compacta,
(4)( ~r) = 1 4 0 1 2r 5 3 X i=1 3 X j=1 xixjQij; (7)
ondeQij depende exclusivamente das variaveis que
ca-racterizam a distribuic~ao de cargas,
Qij = Z v0 (3x 0 ix 0 j;ijr 02) (~r 0) dv 0 : (8)
Vemos que tratam-se de 9 elementos que podem ser re-presentados na forma de uma matriz 3x3:
fQg= 2 4 Q 11 Q 12 Q 13 Q 21 Q 22 Q 23 Q 31 Q 32 Q 33 3 5 : (9)
Pode-se mostrar que esse termo corresponde a repre-sentac~ao matricial de um tensor e e denominadotensor momento de quadrupolo [1, 3 e 4]. Na sec~ao 4 estuda-remos algumas propriedades dessa representac~ao.
III.2. Segunda abordagem
O ponto de partida para a expans~ao e tambem o termo 1=j~r;~r
0
j. Como comentado a primeira
dife-renca esta no fato de que a expans~ao n~ao e realizada no termor
0
=r, mas em torno da origem das coordenadas
associadas a amostra ~ r 0= ( x 0 1 ;x 0 2 ;x 0 3) '(0;0;0):
Embora os autores em [2] facam refer^encia a condic~ao (3), o par^ametro lmax n~ao entra explicitamente nos
calculos, isto e, n~ao ha refer^encia quantitativa as di-mens~oes da amostra comparada a dist^ancia desta ao ponto de observac~ao, como em (4) na abordagem ante-rior. Mostraremos que as expans~oes obtidas s~ao iguais, porem, a n~ao menc~ao a condic~ao (3) explicitamente, pode levar a interpretac~ao de que a expans~ao em serie de Taylor em torno da origem esta conceitualmente in-correta.
Revisemos ent~ao a expans~ao desse tipo utilizando a notac~ao uni cada. Sendo 1=j~r;~r
0 jfunc~ao dex 0 1 ;x 0 2 ;x 0 3
apenas, ja que o ponto de observac~ao e xo, a expans~ao de Taylor em torno de~r 0= (0 ;0;0) leva a c 1 j~r;~r 0 j = 1 r + " 3 X i=1 x 0 i @ @x 0 i ! 1 j~r;~r 0 j # ~r0 =(0;0;0) + 12! 2 4 3 X i=1 x 0 i @ @x 0 i ! 2 1 j~r;~r 0 j 3 5 ~r0 =(0;0;0) +:::; (10) onde o subscrito~r 0= (0
;0;0) indica que as derivadas s~ao calculadas nesse ponto. Sendo @ @x 0 i 1 j~r;~r 0 j ~r0 =(0;0;0) =xi r 3
e introduzindo-se como em [2] os cossenos diretores
li= xi
r
; i= 1;2;3;
vem que a expans~ao de 1=j~r;~r 0
jate segunda ordem em x 0 i ca: 1 j~r;~r 0 j = 1 r + 1 r 2 3 X i=1 lix 0 i+ 1r 3[3 l 2 l 3 x 0 2 x 0 3+ 3 l 3 l 1 x 0 3 x 0 1+ 3 l 1 l 2 x 0 1 x 0 2] + 1 2r 3[(3 l 2 1 ;1)x 02 1 + (3 l 2 2 ;1)x 02 2 + (3 l 2 3 ;1)x 02 3] :
Com isto obtem-se para o potencial (1): (~r) = 1 4 0 1 r Z v0 (~r 0) dv 0+ 1 4 0 1 r 2 Z v0 3 X i=1 lix 0 i ! (~r 0) dv 0+ 1 4 0 1 r 3 Z v0 [3l 2 l 3 x 0 2 x 0 3+ 3 l 3 l 1 x 0 3 x 0 1+ 3 l 1 l 2 x 0 1 x 0 2+ +12(3l 2 1 ;1)x 02 1 + 12(3 l 2 2 ;1)x 02 2 + 12(3 l 2 3 ;1)x 02 3] (~r 0) dv 0 : (11)
Comparando com (6), vemos que o primeiro termo corresponde ao monopolo e o segundo ao dipolo, uma vez que 1 r 2 3 X i=1 lix 0 i= 1r 3 3 X i=1 xix 0 i= ~r r 3 :~r 0 :
O terceiro e o termo de quadrupolo e a diferenca de [2] com [1, 3 e 4] e que Lorrain e Corson n~ao fatorizam as depend^encias das coordenadas da amostra e do ponto de observac~ao. Com a de nic~ao
pij = Z v0 x 0 ix 0 j(~r 0) i;j= 1;2;3; (12)
o termo de quadrupolo e expresso por (4)( ~r) = 1 4 0 f3[l 1 l 2 p 12+ l 1 l 3 p 13+ l 2 l 3 p 13] + 12[(3 l 2 1 ;1)p 11+ (3 l 2 2 ;1)p 22+ (3 l 2 3 ;1)p 33] g; (13)
equivalente a equac~ao (2-107) em [2]. Vemos que ospij dependem apenas da distribuic~ao de cargas e podem tambem
ser dispostos em uma matriz
fpg= 2 4 pxx pxy pxz pyx pyy pyz pzx pzy pzz 3 5 ; (14) d
especi cando, de acordo com [2], o momento de qua-drupoloda distribuic~ao de cargas.
O ponto essencial e que comparando (7) e (8) com (12) e (13) vemos que as de nic~oes do momento de qua-drupolo s~ao distintas, que (7) tem estrutura fatorizada e (13) n~ao.
E importante ressaltar que para chegar em (11) te-mos que supor r
0
r, caso contrario os termos
res-tantes seriam dominantes. Assim, implicitamente esta sendo usada a restric~ao (3) e esta abordagem coincidira, como veremos na proxima sec~ao, com a anterior.
IV. Estudo comparativo do termo de
quadru-polo e do momento de quadruquadru-polo
Nesta sec~ao demonstraremos que os termos de qua-drupolo (7) e (13) s~ao id^enticos e explicitaremos as di-ferencas entre as de nic~oes do momento de quadrupolo (8) e (12).
IV.1. Termo de Quadrupolo
Partiremos da equac~ao (13) utilizada por Lorrain e Corson e mostraremos que e id^entica as equac~oes (7) e (8). Utilizando a de nic~ao dos cossenos diretores e reagrupando termos, (13) ca:
c (4)( ~ r) = 1 4 0 1 2r 5 Z v0 (~r 0) dv 0 f3[2x 2 x 3 x 0 2 x 0 3+ 2 x 1 x 3 x 0 1 x 0 3+ +2x 1 x 2 x 0 1 x 0 2+ x 2 1 x 02 1 + x 2 2 x 02 2 + x 2 3 x 02 3] ;r 2[ x 02 1 + x 02 2 + x 02 3] g:
O termo entre colchetes que esta multiplicado por 3 pode ser expresso de forma compacta por
3 X i=1 3 X j=1 xixjx 0 ix 0 j e representando r 2= 3 X i=1 x 2 i = 3 X i=1 3 X j=1 xixjij; obtemos (4)( ~ r) = 1 4 0 3 X i=1 3 X j=1 xixj 2r 5 Z v0 [3x 0 ix 0 j;ijr 02] (~r 0) dv 0 d
que corresponde exatamente as equac~oes (7) e (8). Como os termos (1) e (2) s~ao tambem id^enticos
nas duas abordagens (como veri cado na sec~ao ante-rior) vemos que de fato o resultado da expans~ao inde-pende de se considerar expans~ao no termor
0
=r ou em
torno de~r 0= (0
;0;0).
IV.2. Momento de Quadrupolo
Das equac~oes (8) e (12) o momento de quadrupolo tem de nic~oes diferentes. A de nic~ao (8) e a adotada em [2,3,4], Qij = Z v0 (3x 0 ix 0 j;ijr 02) (~r 0) dv 0 (8) e a (12) a adotada em [2], pij = Z v0 x 0 ix 0 j(~r 0) dv 0 i;j= 1;2;3; (12)
sendo portanto a correspond^encia entre ambas
Qij = 3pij; Z v0 ijr 02 (~r 0) dv 0 :
Inicialmente notemos que embora ambas as repre-sentac~oes matriciais, (9) e (14), sejam simetricas,pij = pji e Qij =Qji, o traco tem propriedades
fundamen-talmente distintas: c tr fQg= 3 X i=1 Qii = 3 X i=1 3 Z v0 x 02 i (~r 0 )dv 0 ; Z v0 r 02 (~r 0 )dv 0 = = 3 Z v0 r 02 (~r 0) dv 0 ; Z v0 r 02 (~r 0) dv 0 = 0: tr fpg= 3 X i=1 pii= Z v0 " 3 X i=1 x 02 i # (~r 0) dv 0= Z v0 r 02 (~r 0) dv 0 :
Ent~ao das de nic~oes temos sempre tr fQg= 0 porem tr fpg= Z v0 r 02 (~r 0) dv 0 ;
correspondendo geometricamente ao raio quadratico medio da distribuic~ao de cargas.
Como comentado na sec~ao III.2 as diferencas nas de nic~oes (8) e (12) t^em origem algebrica. Enquanto [1,3,4] fatorizam as depend^encias emrer
0na express~ao
de (4)(7), os autores da refer^encia [2] n~ao consideram
tal fatorizac~ao, expressando (4) numa forma mista
(13).
A fatorizac~ao (7) permite identi car a matrizfQg
como representac~ao de um tensor de segunda ordem, o tensor momentode quadrupolo [1,3,4]. Como [3] menci-ona, \... e frequentemente mais conveniente fazer a mo-di cac~ao que transforma a express~ao em uma forma que e familiar do estudo de tensor de inercia na din^amica de corpo rgido". Com tal analogia pode-se mostrar que ha apenas um elemento independente no tensor de quadrupolo (quandofQgse refere a eixos principais e a
distribuic~ao de cargas e simetrica, como esta resumido na pag. 43 de [3]).
V. Comentarios nais
Com base na literatura correntemente utilizada em cursos de Eletromagnetismo, discutimos neste trabalho dois aspectos relativos a expans~ao multipolar do po-tencial eletrostatico, que s~ao geralmente abordados de forma distinta nas refer^encias citadas.
De um lado analizamos o carater proprio da ex-pans~ao mostrando que esta pode ser feita em termos de um par^ametro adimensional caracterstico da amos-tra e do ponto de observac~ao, r
0
=r, ou em torno da
origem das coordenadas da amostra. Mostramos que o resultado da expans~ao e o mesmo nos dois casos.
De outro, estudamos a de nic~ao do momento
de quadrupolo, explicitando as diferencas encontra-das nas refer^encias e discutindo interpretac~oes fsicas, geometricas e algebricas decorrentes. Como demons-trado, a diferenca na de nic~ao do momento e devida exclusivamente a se fatorizar ou n~ao as depend^encias emr(ponto de observac~ao) er
0(amostra) na express~ao
do potencial de quadrupolo.
Gostaramos de ressaltar que para um estudante de graduac~ao, o fato de se encontrar diferentes aborda-gens de um mesmo assunto em diferentes refer^encias, n~ao e necessariamente uma fonte de di culdades. Pelo contrario, o estudo comparativo pode trazer novos co-nhecimentos, n~ao explcitos em cada formulac~ao. Alem disso pode contribuir para o desenvolvimento de uma atitude crtica, di cilmente presente ao se seguir sim-plesmente o raciocnio de um autor em sua obra ou de um professor em sala de aula.
Agradecimentos
Agradecemos ao Prof. Fernando J. da Paix~ao Fi-lho pelas discuss~oes sobre as diferencas entre as duas de nic~oes via Teoria dos Grupos e ao Prof. Andre K. T. Assis pela leitura criteriosa do manuscrito e pelas sugest~oes apresentadas.
Refer^encias
1. J.D. Jackson, Eletrodin^amica Classica, (Guana-bara Dois, Rio de Janeiro, 1983).
2. P. Lorrain, D. Corson,Electromagnetic Fields and Waves (W.H. Freeman and Company, San Fran-cisco, 1962).
3. J.B. Marion, M.A. Heald,Classical Electromagne-tic Radiation(Academic Press, New York, 1980). 4. J.R. Reitz, F.J. Milford e R.W. Christy, Funda-mentos da Teoria Eletromagnetica, (Editora Cam-pus, Rio de Janeiro, 1982).
