FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 1

(1)

FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A – 12.º Ano – Versão 1

Nome: ________________________________ N.º Turma:

Apresente o seu raciocínio de forma clara,

indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato.

1. Segundo o Instituto Português do Mar e da Atmosfera, sabe-se que:

 a probabilidade de chover no próximo sábado é 60%

 a probabilidade de chover no próximo domingo é 35%

 se não chover no sábado a probabilidade de chover no domingo passa para 20%

(10) 1.1. Sendo A e B dois acontecimentos possíveis de um espaço de resultados S, mostre que



  

 





p AB  p A p B p AB

Temos p A



B



= p A



B



Lei de De Morgan = 1p A



B



Prob. do ac. contrário

= 1p A

 

p B

 

p A



B



Prob. da reunião de dois acontecimentos = p A

 

p B

 

 p A



B



c.q.m.

Outro processo: p A



B

     

 p A  p B p AB



= … = p A

 

 1 p B

 

p A



B



=… (15) 1.2. Mostre que a probabilidade de não chover durante o fim de semana é 32%.

Sugestão: Se lhe for útil, pode utilizar a igualdade referida na questão anterior. Nesse caso, deverá começar por identificar claramente cada um dos acontecimentos A e B, no contexto da situação apresentada.

(2)

Sejam os acontecimentos: A: chover no próximo sábado B: chover no próximo domingo

É pedida a probabilidade de não chover no sábado e não chover no domingo, isto é, p A



B



Sabemos que p A

 

60%0 6, ; p B

 

35%0 35, e p B | A

 

20%0 2, Portanto, p B | A

 

0 2, 





 

0 2 p B A , p A    p B



A



0 2, p A

 

p B



A



0 2 0 4,  , Assim, p B

 

p B



A



0 08,  0 35 0 08,  ,  p B



A



 p A



B



0 27, Portanto, usando a igualdade da questão anterior



  

 





p AB  p A  p B  p AB = 0 4 0 35 0 27,  ,  , = 0,32 = 32% A probabilidade de não chover no fim de semana é 32%

Outros processos:

Começar por construir uma árvore (o mais simples) de probabilidades ou uma tabela

(10) 1.3. Diga, justificando, qual dos valores seguintes representa a probabilidade de chover no sábado e não chover no domingo.

(A) 5% (B) 15% (C) 33% (D) 35%

De acordo com a identificação anterior, pretende-se p A



B



Como p A



B



 p A

 

p A



B



temos p A



B



0 6 0 27,  , 0 33, 33%

Outro processo: p B

  

 p AB

 

 p AB



…

(15) 1.4. Determine a probabilidade de chover apenas num dos dias do fim de semana.

De acordo com a identificação feita em 1.2, pretendemos determinar p A



B

 

p AB



Usando os dados das questões anteriores temos:



 



p AB p AB = 33%8%41% Opção C

Outro processo: Recorrer à árvore de probabilidades

2. A altura, em centímetros, dos alunos do 12.º ano de uma escola é bem modelada por uma distribuição normal, de valor médio 170.

(10) 2.1. Seja X a variável aleatória “altura dos alunos do 12.º ano”. Admita que p X



160



2 275, %.

Indique, justificando, qual dos valores seguintes representa o desvio padrão da variável X.

(A) 2 5, (B) 5 (C) 10 (D) 15

Como temos uma distribuição normal N



 ,



N



170,



com p X



160



2 275, % Sabemos que p



2  X   2



95 45, % e p X



  2



2 275, %

(3)

(10) 2.2. Escolhe-se ao acaso um aluno do 12.º ano dessa escola. Considere os acontecimentos:

A: o aluno escolhido é rapaz

B: o aluno escolhido tem altura inferior a 170 centímetros

Diga, justificando, qual dos seguintes é o acontecimento contrário de AB.

(A) O aluno escolhido é rapariga ou tem altura inferior (ou igual) a 170 centímetros. (B) O aluno escolhido é rapariga ou tem altura superior (ou igual) a 170 centímetros. (C) O aluno escolhido é uma rapariga com altura inferior (ou igual) a 170 centímetros. (D) O aluno escolhido é uma rapariga com altura superior (ou igual) a 170 centímetros. O acontecimento contrário de AB é A  B A B

Portanto, AB significa que o aluno escolhido é rapariga ou tem altura superior (ou igual) a 170 centímetros (opção B).

2.3. Relativamente aos alunos do 12.º ano dessa escola, sabe-se ainda que:

 45% dos alunos são rapazes;

 30% dos alunos são raparigas com altura superior a 170 centímetros. Escolhe-se ao acaso um aluno do 12.º ano.

(20) 2.3.1. Calcule a probabilidade de o aluno escolhido ser rapariga ou ter menos de 170 centímetros.

Usando os acontecimentos identificados na questão anterior, temos

 

45

p A  %, p B

 

50% e p A



B



30%

Pretendemos determinar p A



B



Sabemos que p A



B

  

 p A p B

 

p A



B



= 1 p A

 

 p B

 

_p B

 

p A



B



_ = 1 p A

 

 p A



B



Portanto, só nos falta conhecer p A



B



Como p A



B

 

 p AB



 1 p A



B



 1 p A

 

p B

 

 p A



B



, temos 30%100%45%50%p A



B



 p A



B



25%

Portanto, p A



B



100%45%25%80%

Outro processo: organizar os dados numa tabela de dupla entrada:

A _A Total

B 25% 25% 50%

B 20% 30% 50%

Total 45% 55% 100%

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(10) 2.3.2. Calcule a probabilidade de o aluno escolhido ter altura superior a 170 centímetros sabendo que foi escolhido um rapaz.

De acordo com a identificação feita atrás, pretendemos determinar p B | A

 

Temos, p B | A

 

=





 

p B A p A  = 20 45 % % = 4 9

3. A Mafalda tem três caixas com bolas de duas cores: brancas e vermelhas. As imagens seguintes mostram a constituição de cada caixa.

Caixa 1 Caixa 2 Caixa 3

(20) 3.1. A Mafalda escolheu aleatoriamente uma caixa e retirou, ao acaso, uma bola vermelha. Determine a probabilidade de essa bola ter sido tirada da caixa 3.

Apresente o resultado na forma de dízima, com aproximação às milésimas.

Pretendemos determinar a probabilidade de ter sido escolhida a caixa 3, C₃, sabendo que saiu bola vermelha. Contudo, a bola vermelha pode ter saído de qualquer uma das três caixas.

Assim, sendo V o acontecimento “obter bola vermelha” tem-se









 

3 3 p C V p C |V p V  

 



1





2





3



p V  p C V p C V p C V = 1 2 1 3 1 4 3 6    3 5 3 7 = 2 1 4 18 5 21 = 158 315 Portanto,





1 4 4 3 7 21 3 ₁₅₈ ₁₅₈ 315 315 1260 0 3797 3318 p C |V      , ... = 0,380 (3 c.d.)

(15) 3.2. A Mafalda tirou, ao acaso, uma bola da caixa 1 e outra da caixa 2. Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas obtidas”.

Entre as tabelas seguintes está a tabela de distribuição de probabilidades da variável X.

(A) (B) i x 1 2 x i 0 1 2



i



p X x 8 15 7 15 p X



xi



8 30 8 15 2 5 (C) (D) i x 0 1 2 x i 0 1 2



i



p X x 4 15 2 15 3 5 p X



xi



4 15 8 15 1 5

(5)

Diga qual é a tabela de distribuição da variável X, indicando, para cada uma das outras três uma razão (diferente) pela qual a rejeita.

Como são tiradas duas bolas, o número de bolas vermelhas obtidas pode tomar os valores: 0, 1 e 2. Assim X



0 1 2, ,



. Portanto, a tabela (A) não está correta.

Temos



0





₁ ₂

    

₁ ₂ 4 2 8 4 6 5 30 15

p X   p V V  p V p V     Correto nas restantes tabelas







1 2

 

1 2



2 2 4 3 4 12 16 8 1

6 5 6 5 30 30 30 15

p X   p V V p V V         Não pode ser (C)







1 2



2 3 6 1 2

6 5 30 5

p X   p V V     Não pode ser a tabela (B) Por exclusão, só a tabela D está correta.

(15) 3.3. Calcule o valor médio e o desvio padrão da variável X representada na tabela da opção A. Apresente os resultados na forma de dízima, com aproximação às centésimas.

Valor médio: 1 8 2 7 8 14 22 1 4666 15 15 15 5 15 , ...



        = 1,47 (2 c.d.) Desvio padrão:



1 1 47



2 8



2 1 47



2 7 15 15 , ,        = 1 7672 1 9663 3 7635 0 5008 15 15 15 , , , , ...    = 0,50 (2 c.d.) (15) 3.4. Considere os acontecimentos:

Y: a Mafalda passou uma bola da caixa 1 para a caixa 2. Z: a Mafalda tirou uma bola vermelha da caixa 2.

Sabendo que





1 2

p Z |Y  , numa pequena composição, entre 5 e 10 linhas, explique qual a cor da bola que a Mafalda passou da caixa 1 para a caixa 2.

Nota: Não aplique a fórmula da probabilidade condicionada. O valor pedido deverá resultar exclusivamente da interpretação de p Z |Y





no contexto da situação descrita.







1

2

p Z |Y  representa a probabilidade de tirar uma bola vermelha da caixa 2 sabendo que foi mudada uma bola da caixa 1 para a caixa 2.

 Assim a caixa 2 passou a ter 6 bolas, sendo este o número de casos possíveis.

 Ora, se esta probabilidade é 1

2 significa que 1

2 das bolas que agora estão na caixa 2 são vermelhas. Portanto, há 1

2 6 3 bolas vermelhas na caixa 2 (n.º de casos favoráveis).

 Portanto, como inicialmente a caixa 2 tinha duas bolas brancas podemos concluir que a bola que passou de C1 para C2 é branca.

(6)

4. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Acerca de dois acontecimentos possíveis, A e B, de S sabe-se que:

 

1 5 p B 





1 3 p A| B 

(20) 4.1. Diga, justificando adequadamente, entre que valores pode variar p A .

 

? p A ? Como temos





1 3 p A| B  vem





 

13 p A B p B   , ou seja,





1

 

3 p AB  p B Assim,





1 1 1 3 5 15 p AB   

Também é verdade que p A



B



1, ou seja, p A

 

p B

 

p A



B



1 Portanto,

 

1 1 1 5 15 p A    

 

1 1 1 5 15 p A    

 

15 3 1 15 15 15 p A    

 

13 15 p A 

Como A B A sabemos que p A



B



 p A

 

. Assim, 1

 

15 p A ou

 

1 15 p A  Logo, 1

 

13 15 p A 15

(15) 4.2. Diga, justificando, se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas: (A) Os acontecimentos A e B são incompatíveis;

(B) Os acontecimentos A e B não são contrários; (C) Os acontecimentos A e B podem ser independentes. A e B são incompatíveis  A  B  P A



B



0

Vimos que





1 0

15

p AB   , portanto (A) é falsa.

A e B são contrários  A  B e A B S  P A



B



0 e P A



B



1 Como P A



B



0, A  B , portanto (B) é verdadeira

Ou, dois acontecimentos compatíveis nunca podem ser contrários, pois A  B A e B são independentes  P A



B



P A

   

P B

 

1 1 15 P A 5 

 

5 15 P A  

 

1 3 P A  1 13 15 15,    _ _, pois 1

 

13 15 p A 15 Portanto, (C) é verdadeira. BOM TRABALHO Prof. José Tinoco

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