1
1. Obtenha a medida, em graus, de um arco AB de comprimento 3 𝛑 metros, sabendo que ele está contido em uma circunferência de diâmetro igual a 24 metros.
Resposta: 45°
2. (UFPR) Em uma circunferência de 12 dm de comprimento, um arco de medida 2 dm determina um ângulo central, em radianos, igual a:
a) 𝟑𝛑 𝟐 b) 𝛑 c) 𝛑 𝟐 d) 𝛑 𝟑 e) 𝛑 𝟔 Resposta: D
3. (UFPR) No círculo a seguir, o raio vale 2 cm e o arco AB vale 3cm . Usando 𝛑 = 3,14, o valor aproximado, em graus, do ângulo α será:
a) 78° b) 82° c) 86° d) 90° e) 94° Resposta: C
4. Ao descrever o tipo de salto de uma ginasta, um entendido a ele referiu: "Era como se seus dedos dos pés descrevessem no espaço um arco de circunferência de 124 cm de comprimento." Considerando que cada perna dessa ginasta, juntamente com seu pé esticado, estejam em linha reta e perfazem 60 cm, determine o valor do cosseno do ângulo de abertura de suas pernas da ginasta. (Adote: 𝛑 = 𝟑, 𝟏)
Resposta: −𝟏
𝟐
5. A Terra pode ser representada por uma esfera cujo raio mede 6.400 km.
Na representação abaixo, está indicado o trajeto de um navio do ponto A ao ponto C, passando por B.
Qualquer ponto da superfície da Terra tem coordenadas (x;y), em que x representa a longitude e y, a latitude. As coordenadas dos pontos A, B e C estão indicadas na tabela a seguir.
Considerando π=3, a distância mínima, em km, a ser percorrida pelo navio no trajeto ABC é igual a: a) 11.200 b) 10.800 c) 9.600 d) 5.600 e) 6.400 Resposta: A
2
6. (UFPR) O valor de y = cos1° + cos2° + cos3° + … + cos177° + co178° + cos179° + cos180° é: a) 16.290
b) 0 c) – 1 d) 1
e) determinável apenas com o uso de uma calculadora ou de uma tabela trigonométrica.
Resposta: C
7. Resolva a equação cos³x – cosx = 0, no intervalo 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, dê a soma de suas raízes. Resposta: 𝟑𝛑
8. (UFV-MG) O número de soluções da equação cos²x – cosx – 2 = 0, para 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, é: a) 4 b) 2 c) 0 d) 1 e) 3 Resposta: D
9. Resolva, no intervalo 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, a equação 1 + 2 sen x - 4 sen²x - 8sen³x = 0
Resposta: S= {𝛑 𝟔, 𝟓𝛑 𝟔 , 𝟕𝛑 𝟔 , 𝟏𝟏𝛑 𝟔 }
10. Resolva a equação 4sen²x – 1 = 0, no intervalo 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, e dê a soma de suas raízes. Resposta: 𝟒𝛑
11. (FGV-SP) Os valores de m que satisfazem simultaneamente as relações senx = √m+1
2 e
cosx = m−1
2 são tais que seu produto vale:
a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 0 e) n.d.a. Resposta: B
12. Calcule senx e cosx, sabendo que: senx = – 3cosx, no intervalo 𝟑𝛑
𝟐 < x < 2𝛑 Resposta: −𝟑√𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝐞 √𝟏𝟎 𝟏𝟎 13. Calcule:
sen 90° + cos 300° − sen 210° sen2140° + cos2220° Resposta: 2 14. A expressão senx 1+cosx+ 1+cosx senx , verificadas as
condições de existência, é igual a:
a) senx 2 b) 1 cosx c) 2 senx d) –senx 2 e) 2 cosx Resposta: C
15. Resolva, no intervalo 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑, a equação: 2cosx = √1 + 2sen2x Resposta: S = {𝛑 𝟒, 𝟑𝛑 𝟒 , 𝟓𝛑 𝟒 , 𝟕𝛑 𝟒}
16. (Fuvest) Dê o número de soluções da equação cos4x + sen4x = 1, resolvida no intervalo
𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑.
3
17. (FATEC-SP) A expressão
cos(5π3)+2cosπ 3tg(3π
4)
tem valor igual a:
a) −5√2 3 b) −5 6 c) −1 3 d)1 2 e) 1 Resposta: D 18. (FAAP-SP) Se senx = −3 5, com x pertencente ao 4º quadrante, então, tgx é: a) −3 4 b)1 2 c) −4 3 d)3 4 e)4 5 Resposta: A 19. (PUC-RS) Se tga = 1 2e a ∈ [0, π 2], então, cosa é igual a: a)√3 2 b) √6 2 c) √6 3 d) 2√5 5 e)√5 2 Resposta: D
20. (UFES) A soma das raízes da equação tg²x – tgx = 0, 0 < 𝑥 < π , é: a) 0 b)5π 4 c) π 4 d)3π 4 e) 2π Resposta: C 21. Sendo0 < 𝑥 <π 2 , simplificando a expressão secx + senx
cosecx + cosx , obtém-se: a) senx b) cosx c) tgx d) cotgx e) 1 Resposta: C 22. (FATEC-SP) Sef(x) = 1 2. secx + √3. sec ( x 2) , então f (π 3)é igual a: a)5√3 3 b) 2√3 3 c) √3 3 d) 2 e) 3 Resposta: E
4
23. (UFV-MG) Sabendo que senx = 1
3e π
2< 𝑥 < π,
o valor de cosecx − secx
cotgx − 1 é: a)3√2 4 b) −2√2 3 c) −3√2 4 – d) 2√2 4 e) 3 Resposta: C 24. Resolva, no intervalo 𝟎 ≤ 𝐱 < 2𝛑 , as inequações: a) sen2x −1 2< 0 Resposta: {𝟎 ≤ 𝐱 <𝛑 𝟒𝐨𝐮 𝟑𝛑 𝟒 < x < 𝟓𝛑 𝟒 𝐨𝐮 𝟕𝛑 𝟒 < x < 2𝛑} b) −2sen2x + senx + 1 ≥ 0 Resposta: {𝟎 ≤ 𝐱 ≤𝟕𝛑 𝟔 𝐨𝐮 𝟏𝟏𝛑 𝟔 ≤ 𝐱 < 2𝛑} c) 2sen2x − cosx − 1 ≤ 0 Resposta: {𝟎 ≤ 𝐱 ≤𝛑 𝟑 𝐨𝐮 𝟓𝛑 𝟑 ≤ 𝐱 < 2π ou x = π}
25. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1.000º? a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º Resposta: B
26. (UFPA) Um arco côngruo de 13π
5 rad é: a) 2π 5 rad b)3π 5 rad c) π 5 rad d) 2π rad e) 7π 5rad Resposta: B
27. (UMSP-SP) Assinale a alternativa correta. a) sen1>sen3 b) sen3<sen5 c) sen5>sen6 d) sen6>sen7 e) sen7>senπ 2 Resposta: A
28. Qual dos números é o maior? Justifique. a) sen830º ou sen1.195º?
b) cos(– 535º) ou cos190º? Respostas:
a) O maior é sen 830º. b) O maior é cos 190º.
5
29. Os polígonos inscritos nas circunferências trigonométricas a seguir são regulares. Dê a expressão dos números reais com imagens nos vértices dos polígonos:
Respostas: a) {𝛑𝐧 𝟒 , 𝐧 ∈ ℤ} b) {𝛑𝐧 𝟑 , 𝐧 ∈ ℤ} c){𝛑𝐧 𝟔 , 𝐧 ∈ ℤ}
30. Resolva, no intervalo0 ≤ x < 2π, a equação: tg (x +π
4) = 1
Resposta: {𝟎, 𝛑}
31. (FATEC-SP) Se x é um número real tal que sen²x – 3senx = – 2, então x é igual a:
a) π 2+ hπ, h ∈ ℤ b) 3π 2 + hπ, h ∈ ℤ c) 3π 2 + h2π, h ∈ ℤ d) π 2+ h2π, h ∈ ℤ e) π 4+ hπ, h ∈ ℤ Resposta: D
32. (UNIFEB-SP) A solução da equação: 2tg²x + secx + 1 = 0 é: a) 2kπ +π 6, k ∈ ℤ b) 2kπ +π 3, k ∈ ℤ c) 2kπ, k ∈ ℤ d) 2kπ + π, k ∈ ℤ e) n.d.a. Resposta: D
33. (UFUbe-MG) O conjunto solução da equação: sen²x = cos²x é: a) {(2k+1)π 4 , k ∈ ℤ} b){kπ +π 4, k ∈ ℤ} c){kπ −π 4, k ∈ ℤ} d) {2kπ 4 , k ∈ ℤ} e) {kπ 4 , k ∈ ℤ} Resposta: A
6
34. (UNESP) Para todo x ∈ ℝ, a expressão: cos (x +π 2) − sen(π − x) é equivalente a: a) cos x b) 0 c) – sen x – cos x d) 2sen x e) – 2sen x Resposta: E
35. (CESGRANRIO-RJ) Seja a um arco do 1º quadrante e b um arco do 2º quadrante, tal que cos a = 0,8 e sen b = 0,6. O valor de sen(a + b) é:
a) 1,00 b) 0,96 c) 0,70 d) 0,48 e) 0,00 Resposta: E
36. A expressão sen(135º + x) + sen(135º – x) é igual a: a) √2 senx b) √3 cos x c) – 1 d) √2 cosx e) – √2 senx Resposta: D 37. (FEI-SP) Sendo: sen(8π − a). cos (π
2− a) + sec(10π) = cos
na
Determine n.
Resposta: 2
38. (UMSP-SP) O valor de cos 75º.cos 15º é: a) 1 2 b) 1 c)√3 2 d) 1 4 e) 3 Resposta: D
39. (UNIFOR-CE) A expressão (senx
2+ cos x 2) 2 é equivalente a: a) 1 b) 0 c) cos2 x 2 d) 1 + senx e) 1 + cosx Resposta: D 40. Se senx 2. cos x
2= k, então os possíveis valores
de k pertencem à qual intervalo?
Resposta: −𝟏 𝟐≤ 𝐤 ≤ 𝟏 𝟐 41. O valor de (tg10º + cotg10º).sen 20º é: a) 1 2 b) 1 c) 2 d) 5 2 e)4 Resposta: C
7
42. (UNIFOR-CE) O número de soluções da equação sen(2x) = senx, no intervalo [0,π
2], é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resposta: D
43. (UMSP-SP) No intervalo [0, π], o número de valores de x tais que 2sen²x + cos(2x) = 1 é:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
e) maior do que 3
Resposta: E (A equação é verificada por qualquer valor do intervalo dado).
44. Determine k tal que |senx| =k+5
3
Resposta: −𝟓 ≤ 𝐤 ≤ −𝟐
45. (UNISINOS-RS) Seja f (x) = 2senx. O valor máximo da imagem desta função é:
a) 1 b) –1 c) 2 d) –2 e) 3 Resposta: D
46. (PUCCamp-SP) Na função trigonométrica 𝐲 = −𝟑 + 𝐬𝐞𝐧 (𝐱 −𝛑
𝟒) , o período e o conjunto
imagem são iguais a, respectivamente:
a) π 5 𝐞 [𝟐, 𝟒] b) 2π 𝐞 [𝟐, 𝟒] c) 2π 𝐞 [−𝟏, 𝟏] d) 9π 5 𝐞 [−𝟏, 𝟏] e) 2π 𝐞 [−𝟒, −𝟐] Resposta: E 47. (PUC-SP)
A figura acima é parte do gráfico da função:
a) f(x) = 2. sen (x 2) a) f(x) = sen(2x) c) f(x) = 1 + sen(2x) d) f(x) = 2. cos (x 2) e) f(x) = 2. cos(2x) Resposta: A
48. (UFES - adaptada) A imagem I e o período P da função real de variável real
f(x) = −1 4+ 1 2. senx. cosx,são: a) 𝐈 = [−𝟏 𝟒, 𝟏 𝟒] 𝐞 𝐏 = 𝟐𝛑 b) 𝐈 = [−𝟏 𝟒, 𝟏 𝟒] 𝐞 𝐏 = 𝛑 c)𝐈 = [−𝟏 𝟐, 𝟏 𝟐] 𝐞 𝐏 = 𝟐𝛑 d) 𝐈 = [−𝟏 𝟒, 𝟎] 𝐞 𝐏 = 𝟐𝛑 e) 𝐈 = [−𝟏 𝟐, 𝟎] 𝐞 𝐏 = 𝛑 Resposta: Alternativa E
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49. (AMAN-RJ) O gráfico que melhor representa a função y = – senx, para −π < 𝑥 < π é:
Resposta: Alternativa A
50. Uma empresa prevê que a quantidade demandada de um produto para os próximos 24 meses pode ser determinada por:
Q(t) = 200 − 100. sen (t.π
6) , em que t=1
representa o mês de janeiro, t=2 representa o mês de fevereiro e assim por diante e Q(t) é o número de unidades demandadas.
Responda:
a) Qual o período e o conjunto imagem dessa função?
b) Para que valores de t a quantidade é máxima? c) Para que valores de t a quantidade é mínima?
Resposta: a) P = 12 / I = [100,300], b) t = 9 ou t = 21, c) t = 3 ou t = 15
9
Lista Fuvest
I.(Fuvest 2007 - 2ª fase) Um arco x está no
terceiro quadrante do círculo trigonométrico e verifica a equação 5cos2x + 3senx = 4. Determine os valores de senx e cosx.
Resposta: senx= −𝟏
𝟓 e cosx= − 𝟐√𝟔
𝟓
II.(Fuvest 2008) Para se calcular a altura de
uma torre, utilizou-se o seguinte
procedimento ilustrado na figura: um
aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α =π
3 radianos. A seguir, o
aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tgβ = 3√3.
É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é a) 4√3 b) 5√3 c) 6√3 d) 7√3 e) 8√3 Resposta: Alternativa C
III. (Fuvest 2008 - 2ª fase) No triângulo ABC , tem-se que AB >AC , AC = 4 e cosC = 3
8.
Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR = AC e BR
BC= 4 7 ,
calcule
a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.
b) a área do triângulo ABR .
Respostas: a) √𝟓𝟓
𝟐 unidades de
comprimento / b)√𝟓𝟓 unidades de área
IV.(Fuvest 2008 - 2ª fase) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π
2 < 𝑥 < π e
verifica a equação sen x + sen 2x + sen 3x = 0. Assim,
a) determine x.
b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x.
Respostas: a) x = 𝟐𝛑
𝟑 / b) cos x + cos 2x +
cos 3x = 0
V.(Fuvest 2009 - 2ª fase) Seja x no intervalo ]0,π
2[ satisfazendo a equação 𝑡𝑔 𝑥 + 2
√5sec 𝑥 = 3
2 . Assim, calcule o valor de
a) sec x. b) sen (𝑥 +𝜋 4) Respostas: a) √𝟓 𝟐 / b) 𝟑√𝟏𝟎 𝟏𝟎
VI.(Fuvest 2010 - 2ª fase) Sejam x e y dois números reais, com 0 < 𝑥 <π2 e π
2< 𝑦 < π ,
satisfazendo sen y = 4
5 e 11 senx + 5 cos(y –
x) = 3. Nessas condições, determine
a) cos y b) sen 2x. Respostas: a) −𝟑 𝟓 / b) 𝟏𝟐𝟎 𝟏𝟔𝟗
(Fuvest 2011) Sejam x e y números reais positivos tais que x + y = π
2. Sabendo-se que sen(y – x) = 1 3, o valor de tg 2y – tg2x é igual a a) 3 2 b) 5 4 c) 1 2 d) 1 4 e) 1 8 Resposta: Alternativa A
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VII.(Fuvest 2012 - 2ª fase) No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede √𝟏𝟓
𝟓 , o ângulo
interno de vértice C mede 𝛂 , e o ângulo interno de vértice B mede 𝛂
𝟐 .
Sabe-se, também, que 2 cos(2𝛂) + 3cos𝛂 + 1 = 0.
Nessas condições, calcule
a) o valor de 𝑠𝑒𝑛 𝛂;
b) o comprimento do lado AC.
Respostas: a) −√𝟏𝟓
𝟒 / b) 𝟐√𝟏𝟓
𝟏𝟓
VIII.(Fuvest 2013) Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 15º. A diferença entre a altura final e a altura inicial de um ponto determinado do caminhão, depois de percorridos 100 m da ladeira, será de, aproximadamente, a) 7 m b) 26 m c) 40 m d) 52 m e) 67 m Resposta: Alternativa B
IX.(Fuvest 2013 - 2ª fase) Um guindaste, instalado em um terreno plano, tem dois braços articulados que se movem em um plano vertical, perpendicular ao plano do chão. Na figura, os pontos O, P1 e P2 representam, respectivamente, a articulação de um dos braços com a base, a articulação dos dois braços e a extremidade livre do guindaste. O braço OP1 tem comprimento 6 e o braço P1P2 tem comprimento 2. Num dado momento, a altura de P2 é 2, P2 está a uma
altura menor do que P1 e a distância de O a
P2 é 2√10. Sendo Q o pé da perpendicular de P2 ao plano do chão, determine
a) o seno e o cosseno do ângulo P2ÔQ entre a reta OP2 e o plano do chão;
b) a medida do ângulo OP1P2 entre os braços do guindaste;
c) o seno do ângulo P1ÔQ entre o braço OP1 e o plano do chão. Respostas: a) sen(P2ÔQ) = √𝟏𝟎 𝟏𝟎 e cos(P2ÔQ) = 𝟑√𝟏𝟎 𝟏𝟎 / b) OP1P2= 90° / c) sen(P1ÔQ) = 𝟑 𝟓
