Monografia de Especialização
Demonstrações Combinatórias 2
Aluno: Júlio César de Sousa Marinho – juliomarinho@gmail.com
Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG
Instituto de Ciências Exatas - ICEx
ÍNDICE
OBJETIVO ... 3
CAPÍTULO 1 – IDENTIDADES DE FIBONACCI ... 4
SEÇÃO 1.1 – OS NÚMEROS DE FIBONACCI ...
...
4
SEÇÃO 1.2 – INTERPRETAÇÃO COMBINATÓRIA PARA OS NÚMEROS DE FIBONACCI
... 4
SEÇÃO 1.3 – IDENTIDADES
... 6
CAPÍTULO 2 – IDENTIDADES DE LUCAS ... 11
SEÇÃO 2.1 – OS NÚMEROS DE LUCAS
... 11
SEÇÃO 2.2 – INTERPRETAÇÃO COMBINATÓRIA PARA OS NÚMEROS DE LUCAS
... 11
SEÇÃO 2.3 – IDENTIDADES
... 15
CAPÍTULO 3 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE
STIRLING E NÚMEROS HARMÔNICOS ... 21
SEÇÃO 3.1 – OS NÚMEROS DE STIRLING DE PRIMEIRO TIPO .
... 22
SEÇÃO 3.2 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE STIRLING DE PRIMEIRO TIPO
... 27
SEÇÃO 3.3 – OS NÚMEROS DE STIRLING DE SEGUNDO TIPO
... 28
SEÇÃO 3.4 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE STIRLING DE PRIMEIRO E SEGUNDO TIPO
... 30
SEÇÃO 3.5 – OS NÚMEROS HARMÔNICOS
...
.... 34
SEÇÃO 3.6 – IDENTIDADES COM NÚMEROS HARMÔNICOS .
...
.... 36
SEÇÃO 3.7 – EXERCÍCIOS
...
....
.... 41
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...
....
....
OBJETIVO ... 3
CAPÍTULO 1 – IDENTIDADES DE FIBONACCI ... 4
SEÇÃO 1.1 – OS NÚMEROS DE FIBONACCI
...
4
SEÇÃO 1.2 – INTERPRETAÇÃO COMBINATÓRIA PARA OS NÚMEROS DE FIBONACCI
... 4
SEÇÃO 1.3 – IDENTIDADES
... 6
CAPÍTULO 2 – IDENTIDADES DE LUCAS ... 11
SEÇÃO 2.1 – OS NÚMEROS DE LUCAS
... 11
SEÇÃO 2.2 – INTERPRETAÇÃO COMBINATÓRIA PARA OS NÚMEROS DE LUCAS
... 11
SEÇÃO 2.3 – IDENTIDADES
... 15
CAPÍTULO 3 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE
STIRLING E NÚMEROS HARMÔNICOS ... 21
SEÇÃO 3.1 – OS NÚMEROS DE STIRLING DE PRIMEIRO TIPO
... 22
SEÇÃO 3.2 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE STIRLING DE PRIMEIRO TIPO
... 27
SEÇÃO 3.3 – OS NÚMEROS DE STIRLING DE SEGUNDO TIPO
... 28
SEÇÃO 3.4 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE STIRLING DE PRIMEIRO E SEGUNDO TIPO
... 30
SEÇÃO 3.5 – OS NÚMEROS HARMÔNICOS
...
.... 34
SEÇÃO 3.6 – IDENTIDADES COM NÚMEROS HARMÔNICOS
...
.... 36
SEÇÃO 3.7 – EXERCÍCIOS
...
....
.... 41
OBJETIVO
A principal finalidade desse trabalho é servir como um guia para professores de Matemática que tenham interesse em aprender ou aprimorar conhecimentos em análise combinatória. O caminho percorrido para atingir esse objetivo é a apresentação de diversas demonstrações de identidades matemáticas por métodos combinatórios. De uma forma geral, no decorrer do trabalho o grau de complexidade das identidades aumenta naturalmente.
Ao longo do trabalho, diversas técnicas de contagem são utilizadas. Por meio dessas, conseguimos as demonstrações combinatórias das identidades matemáticas que seriam extremamente trabalhosas ou mesmo inviáveis se utilizássemos metodologia algébrica.
Primeiramente, para melhor conhecimento dessas técnicas, há uma breve exposição dos números de Fibonacci e Lucas com suas interpretações combinatórias e das identidades a eles referentes. Escolhemos, nessa parte do trabalho, identidades que fossem significativas para a aplicação dessas técnicas de forma a fornecer uma melhor base para as identidades do capítulo posterior.
No decorrer do trabalho as identidades e interpretações combinatórias dizem respeito aos números harmônicos e os números de Stirling de primeiro e segundo tipo.
A principal referência bibliográfica para esse trabalho é o livro Proof that really count –
The Art of Combinatorial Proof , com estudo sistemático dos capítulos 2, 3 e 7. Desse livro são
retiradas as identidades e solucionados os exercícios do capítulo 7. Foram feitas tentativas de melhorias e comentários em relação às soluções apresentadas pelo livro.
CAPÍTULO 1 – IDENTIDADES DE FIBONACCI
1.1 - Os números de Fibonacci
A seqüência dos números de Fibonacci é definida por meio de uma simples recorrência. Denotaremos Fn como o n-ésimo número de Fibonacci. A partir de dois termos iniciais (
0= 0 e = 11
F F ) os termos subseqüentes são obtidos pela soma dos dois termos imediatamente anteriores.
Assim, como F0=0 e =1F1 , segue que F2 = F0+ F1= 0+1=1. Genericamente, a lei de recorrência para a seqüência de números de Fibonacci é escrita por Fn = Fn−1+ Fn−2. Os primeiros termos da seqüência de Fibonacci são:
0, 1, 1, 2, 3, 5 ...
1.2 - Interpretação combinatória para os números de Fibonacci
Uma boa interpretação combinatória para os números de Fibonacci é associá-los ao número de respostas para a seguinte pergunta:
De quantas formas diferentes podemos preencher um ladrilho retangular de tamanho nx1 com peças de comprimento unitário 1x1 ou de tamanho duplo 2x1?
A fim de simplificarmos as denominações, os ladrilhos retangulares, as peças unitárias e as peças duplas serão chamadas apenas de ladrilhos, quadrados e dominós, respectivamente. Os tamanhos dos ladrilhos também serão denotamos apenas pelo seu comprimento (direção horizontal) e a primeira peça do ladrilho será considerada como a primeira peça à esquerda.
Na figura abaixo, temos um ladrilho de comprimento n, um quadrado e um dominó: ...
0 1 2 3 ... n – 1 n
Figura 1
Começaremos a responder à pergunta construindo as possíveis disposições para ladrilhos até o tamanho 5.Quando o tamanho do ladrilho é 1,só há uma forma de fazer tal preenchimento. Ao preencher ladrilhos, deixamos implícito que só podem ser utilizadas as peças quadrado e dominó.
- Quadrado
Para um ladrilho de tamanho 2, há 2 formas.
Para um ladrilho de tamanho 3, há 3 formas.
Para um ladrilho de tamanho 4, há 5 formas.
Para um ladrilho de tamanho 5, há 8 formas.
Chamemos de fn o número de soluções desse problema para um ladrilho de comprimento
n. Observamos acima que f1= 1, f2 = 2, f3 = 3, f4 = 5 e f5 = 8, os mesmos valores de 2, , , e 3 4 5 6
F F F F F . Se considerarmos, por conveniência, como sendo apenas uma forma de se preencher um ladrilho de comprimento zero (não colocando nada), ou seja, f0 = 1, as duas seqüências, fn e Fn, ficam ainda mais parecidas, pois F1= 1.
Mostraremos que a seqüência fn obedece à mesma lei de recorrência da seqüência dos
números de Fibonacci (Fn). De fato, se quisermos preencher um ladrilho de tamanho n, podemos
• A primeira peça do ladrilho é um quadrado : Nesse caso, restam n−1 espaços para serem preenchidos e por definição existem fn−1 formas de preenchê-los;
• A primeira peça do ladrilho é um dominó : Nesse caso, restam n− 2 espaços para serem preenchidos e por definição existem fn−2 formas de preenchê-los.
Como não existem outras formas senão começar por quadrado ou dominó e não há interseção entre esses casos, conclui-se que, para n≥ 2, fn = fn−1+ fn−2.
Existe ainda uma questão a ser vista. Os dois primeiros termos das seqüências Fn e fn não são os mesmos. Observemos as duas seqüências:
n F (0, 1, 1, 2, 3, ...) n f (1, 1, 2, 3, 5, ...) Ou seja, fn = Fn−1.
1.3 – Identidades
Apresentaremos quatro identidades significativas para a aplicação de técnicas de contagem nas demonstrações combinatórias.
Uma técnica muito simples que será utilizada, a seguir, é responder a uma mesma pergunta ou contar uma mesma situação de duas formas diferentes. Outra observação importante é que se uma identidade aparece com parcelas de uma soma, geralmente podemos interpretá-lo mais claramente dividindo o problema em casos disjuntos.
IDENTIDADE 1: Para n≥ 0, f0+ f1+ f2+ +... fn−1+ fn = fn+2−1
Pergunta: De quantas formas distintas podemos preencher um ladrilho de tamanho n + 2 utilizando ao menos um dominó?
Resposta 1: Por definição, fn+2−1 formas. Pois fn+2 conta todos os casos de preenchimento possíveis de um ladrilho de tamanho n+ 2. Excluímos, no entanto, um caso, quando o preenchimento é feito apenas com quadrados, pois não teríamos nenhum dominó.
Resposta 2: Dividimos o problema em casos de acordo com a localização do primeiro dominó (ele sempre existe, por hipótese). Se ele está preenchendo as células k k e +1do ladrilho restam
1
n k− + espaços (conta: n+ −2 (k+1)) a serem preenchidos à direita dessa peça de fn k− +1 formas distintas. Para somarmos todos os casos, fazemos k variar de 1 (quando o primeiro dominó preenche as células 1 e 2) até n+1 (quando o primeiro dominó preenche as células n+1 e n+2). Assim o termo fn k− +1 assume todas as parcelas da soma do primeiro membro.
▄ Para demonstrarmos a próxima identidade será necessária a apresentação de um novo conceito.
Observemos o seguinte ladrilho:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Figura 2
Diremos que uma determinada célula é quebrável se pudermos dividir o ladrilho na extremidade direita dessa célula em dois outros ladrilhos menores. A última célula sempre será quebrável pois “divide” o ladrilho em um caso trivial: nele mesmo e em um ladrilho de comprimento zero.
O ladrilho da figura 2 é quebrável nas células 1, 3, 5, 6, 7, 9 e 10 e não quebrável nas células 2, 4 e 8. O leitor mais atento deve observar que o termo quebrável é apenas uma forma compacta de dizer que aquela célula não é o início de um dominó.
IDENTIDADE 2: Para m ,n ≥ 0, fm n+ = fm⋅ fn + fm−1⋅ fn−1
Pergunta: De quantas formas distintas podemos preencher um ladrilho de tamanho m + n? Resposta 1: Por definição, fm n+ formas.
Resposta 2: Dividimos o problema em dois casos:
• O ladrilho é quebrável na célula m : Nesse caso, o ladrilho inicial é divido em dois ladrilhos menores de tamanhos m e n. Para um há fm formas de preenchê-lo e para o outro fn . Pelo
princípio multiplicativo, há fm⋅ fn de preencher todo o ladrilho.
• O ladrilho não é quebrável na célula m : Isso indica que há um dominó cobrindo as células
m e m + 1. À esquerda desse dominó há um ladrilho de tamanho m−1 e à direita um
ladrilho de tamanho n−1. Também pelo princípio multiplicativo, há fm−1⋅ fn−1 de preencher todo o ladrilho.
A figura abaixo esclarece os casos. Caso 1:
... ...
1 2 ... m – 1 m m + 1 m + 2 ... m + n
Caso 2:
1 2 m – 1 m m + 1 m + 2 m + n
fm−1 formas de se preencher fn−1 formas de se preencher Figura 3
Somando as contagens dos dois casos temos o membro direito da identidade.
▄ A próxima identidade envolve números binomiais.
IDENTIDADE 3: Para n≥ 0, 2 1 0 0 n n n i j n i n j f j i + ≥ ≥ − − ⋅ =
∑ ∑
Pergunta: De quantas formas distintas podemos preencher um ladrilho de tamanho2n+1? Resposta 1: Por definição, f2n+1formas.
Antes de apresentarmos a segunda resposta é útil lembrarmos que o número de células desse ladrilho é ímpar. Além disso, como cada dominó ocupa duas células o total de células preenchidas por todos os dominós é um número par. Dessas duas observações resulta o fato que há um número ímpar de quadrados.
Chamaremos de quadrado mediano aquele que possui o mesmo número de quadrados antecedendo-o e sucedendo-o em um ladrilho. Agora, temos os requisitos para a segunda resposta. Resposta 2: Dividiremos a solução em casos de acordo com o número de dominós de cada lado do quadrado mediano. Consideraremos como i e j o número de dominós à esquerda e à direita do quadrado mediano, respectivamente.
Como há i + j dominós, já foram preenchidas 2(i+ j) células restando 2(n− +(i j)) 1+
células (toda as células menos aquelas preenchidas por dominós) para serem preenchidas por quadrados. Tirando uma unidade (quadrado mediano), restam n− +(i j)quadrados de cada lado do quadrado mediano.
Somando o número total de peças à esquerda do quadrado mediano (dominós mais quadrados) temos : i+ [n− +(i j)]= −n j. Analogamente, há n i− peças à direita do quadrado mediano.
Para organizar o ladrilho à esquerda do quadrado mediano basta escolher dentre as n j−
peças quais delas (primeira peça, segunda peça, etc.) são dominós. Isso pode ser feito de n j
i − formas.
Analogamente, para cada uma dessas formas há n i
j
−
formas de se preencher o ladrilho
do lado direito do quadrado mediano também escolhendo onde ficam os dominós. Ao compormos
essas duas etapas, pelo princípio multiplicativo, chegamos ao termo n j n i
i j
− −
⋅
. Observa-se
que uma vez determinado onde estão os dominós não restam escolhas para alocar os quadrados no ladrilho.
Fazendo i e j variarem, contamos todos os casos. Basta lembrar que para situações impossíveis quando os valores de i ou j são maiores do que n os termos binomiais terão o termo de cima negativo, o que resulta, convenientemente, em parcela nula.
▄ Apresentaremos novos conceitos que serão úteis na demonstração da última identidade desse capítulo. Outra diferença em relação às demais identidades anteriormente apresentadas é que em vez de respondermos a uma mesma pergunta de duas maneiras distintas, utilizaremos uma “quase” correspondência entre conjuntos para obtermos as provas das identidades.
Observemos o par de ladrilhos abaixo.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Figura 4
Os ladrilhos possuem o mesmo número de células e estão defasados de uma célula. Em outras palavras, o ladrilho inferior está deslocado uma célula para a direita em relação ao superior. Enumeramos o primeiro ladrilho normalmente, qual seja, de 1 a 10 e o segundo é enumerado a partir de 2 até 11.
Diremos que o par de ladrilhos é duplamente quebrável em uma determinada célula k (na referência [1], o autor utiliza o termo fault) quando essa célula for quebrável em ambos os ladrilhos. Isso justifica a numeração ser alinhada verticalmente para os ladrilhos superior e inferior. Então, na figura acima as células 1, 4, 8 e 9 são duplamente quebráveis (observe os traços verticais). Para melhor entendimento, algumas observações são importantes de serem ressaltadas:
b) Se uma determinada célula i é duplamente quebrável indica que não há um único dominó cobrindo as células i e i + 1 em nenhum dos dois ladrilhos.
c) Se há um quadrado na célula i, seja no ladrilho superior ou inferior, indica que o par de ladrilhos é duplamente quebrável na célula i ou i−1. De fato, se há um quadrado na célula i do ladrilho superior, existem 3 hipóteses:
• Existe também um quadrado na célula i no ladrilho inferior. Nesse caso a célula i é duplamente quebrável.
• Existe o final de uma peça de dominó na célula i no ladrilho inferior. Também nesse caso a célula i é duplamente quebrável.
• Existe o início de uma peça de dominó na célula i no ladrilho inferior. Nesse caso a célula i−1 é duplamente quebrável.
Chamaremos de cauda o restante de um ladrilho à direita da última célula duplamente quebrável, se houver. Chamaremos de uma operação de troca de caudas a mudança entre as caudas dos ladrilhos superior e inferior. Lembramos que essa troca só poderá ser feita se houver ao menos uma célula duplamente quebrável no par de ladrilhos. Se possível o procedimento, essa operação torna o ladrilho superior uma célula maior e o ladrilho inferior uma célula menor mas as células duplamente quebráveis permanecerão as mesmas. Isso torna o processo sempre reversível, bastando fazer a operação inversa, qual seja, destrocar as caudas.
Nossos ladrilhos originais (figura 4) ficariam assim:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 Figura 5
Temos, agora, condições de demonstrarmos a próxima identidade: IDENTIDADE 4: Para n≥ 0, 2 1 1 ( 1)
n
n n n
f = f + ⋅ f − + −
Conjunto A: Conjunto de pares de ladrilhos de tamanho n. Por definição, há 2
n
f elementos nesse conjunto.
Conjunto B: Conjunto dos pares de ladrilhos de tamanhos n+1 e n−1. Por definição, há fn+1⋅ fn−1 elementos nesse conjunto.
Correspondência: Analisemos, primeiramente, o caso em que n é ímpar. Consideremos um par de ladrilhos de tamanho n (elemento do conjunto A) emparelhados tal como os ladrilhos da figura 5. Como n é ímpar, o ladrilho superior possui pelo menos um quadrado e, pela observação c) da página 9, há pelo menos uma célula duplamente quebrável no par de ladrilhos. Fazendo uma troca de caudas criamos dois novos ladrilhos de tamanhos n+1 e n−1 (elemento do conjunto B). Como anteriormente dito, esse processo pode ser revertido destrocando as caudas, o que criaria uma correspondência perfeita.
No entanto, existe um elemento do conjunto B que não pode ser obtido por uma troca de caudas de um elemento do conjunto A. É o caso no qual os ladrilhos superior e inferior, de tamanhos n+1 e n−1, respectivamente, não possuem quebras em comum. Em outras palavras, o par de ladrilhos não possui nenhuma célula duplamente quebrável. De fato, como n+1 e n−1 são pares eles podem ser completamente preenchidos por dominós e dispostos tais como na figura 6, o início de um dominó no ladrilho superior sempre coincidiria com o meio de um dominó no ladrilho inferior. Por isso, dizemos que há uma quase correspondência entre os conjuntos A e B. Portanto, para n ímpar o conjunto B possui um elemento a mais que o conjunto A. Logo, para n ímpar, temos
2
1 1 1
n n n
f = f + ⋅ f − − .
Analogamente, se n for par, o conjunto A possuirá um elemento a mais que o conjunto B. Isso porque as paridades mudam e o conjunto A terá um par de ladrilhos preenchidos inteiramente por dominós sem nenhuma célula duplamente quebrável. Logo, para n par, temos 2
1 1 1
n n n
f = f + ⋅ f − +
.
Na identidade, o termo ( 1)− n contempla os dois casos.
▄
CAPÍTULO 2 – IDENTIDADES DE LUCAS
2.1 - Os números de Lucas
Da mesma forma que a seqüência dos números de Fibonacci, os números de Lucas são obtidos a partir do segundo termo como a soma dos dois termos anteriores. Denotaremos Ln como
o n-ésimo número de Lucas. Os primeiros termos são 2 e 1 (L0 e L1) e para n≥ 2, Ln = Ln−1+ Ln−2. Os primeiros termos da seqüência dos números de Lucas são:
2, 1, 3, 4, 7 ...
Tal qual fizemos para os números de Fibonacci, para interpretarmos combinatorialmente os números de Lucas, os associamos ao número de respostas para a seguinte pergunta:
De quantas formas diferentes podemos preencher um bracelete de tamanho nx1 com peças de comprimento unitário 1x1 (quadrado) ou de tamanho duplo 2x1 (dominó)?
Utilizaremos as mesmas simplificações em denominações e notações utilizadas para o ladrilho nos números de Fibonacci.
Na figura abaixo temos um bracelete de comprimento n e tal qual tínhamos nos ladrilhos, um quadrado e um dominó.
Figura 6
Diremos que o bracelete está fora de fase quando houver um único dominó cobrindo simultaneamente as células n e 1. Caso contrário, o bracelete estará em fase. Vejamos a figura abaixo para exemplificar essa conveniente divisão.
Figura 7
Começaremos a responder à pergunta construindo as possíveis disposições para os braceletes até o tamanho 4. Para um bracelete de tamanho 1, obviamente só há uma forma de fazer tal preenchimento.
Braceletes em fase
Bracelete fora de fase
- Dominó - Quadrado
Para um ladrilho de tamanho 2, há 3 formas, sendo duas delas em fase e uma fora de fase.
Para um ladrilho de tamanho 3, há 4 formas, sendo três delas em fase e uma fora de fase.
Para um ladrilho de tamanho 4, há 7 formas, sendo cinco delas em fase e duas fora de fase.
3
(EM FASE)+
1
(FORA DE FASE)=
4
DISPOSIÇÕES2
(EM FASE)+
1
(FORA DE FASE)=
3
DISPOSIÇÕES1
DISPOSIÇÃO EM FASEChamemos de ln o número de soluções desse problema para um bracelete de
comprimento n. Observamos acima que l1 = 1, l2 = 3, l3 = 4 e l4 = 7, os mesmos valores de 1, , e 2 3 6
L L L L . Se considerarmos, por conveniência, l0 = 2 (em fase e fora de fase um bracelete de tamanho zero), as duas seqüências, ln e Ln, possuem os primeiros termos coincidente.
Antes de mostrarmos que a lei de recorrência para (ln) é a mesma de (Ln), precisamos do
conceito de primeira peça do bracelete.
A primeira peça do bracelete é aquela que cobre a célula 1, independentemente de ser um quadrado, um dominó cobrindo as células 1 e 2 ou cobrindo as células 1 e n. A última peça será aquela imediatamente ao lado da primeira peça no sentido anti-horário.
Para preenchermos um bracelete de tamanho n, podemos dividir o problema em dois casos, a saber:
• A última peça é um quadrado : Nesse caso, restam n−1 espaços a serem preenchidos. Por definição, de ln−1 formas.
• A última peça é um dominó : Nesse caso, restam n− 2 espaços a serem preenchidos. Por definição, de ln−2 formas.
Como não existem outras formas senão a primeira peça ser quadrado ou dominó e não há interseção entre esses casos, conclui-se que, para n≥ 2, ln = ln−1+ ln−2.
Ora, (ln) e (Ln) possuem mesmos dois termos iniciais e a mesma lei de recorrência que
depende apenas de dois termos anteriores. Logo, ln = Ln.
5
(EM FASE)+
2
(FORA DE FASE)=
7
DISPOSIÇÕES2.3 – Identidades
Apresentaremos três identidades. Vale ressaltar que nas duas primeiras envolvem números de Lucas e números de Fibonacci e a terceira apenas com números de Lucas.
IDENTIDADE 5: Para n≥ 2, ln = fn+ fn−2
Pergunta: De quantas formas diferentes podemos preencher um bracelete de tamanho n? Resposta 1: Por definição, há ln formas.
Resposta 2: Dividiremos o problema em dois casos: braceletes em fase e braceletes fora de fase. Se o bracelete estiver em fase basta abri-lo entre as células 1 e n dando origem a um ladrilho de tamanho n. O processo é reversível de forma única, bastando reunir os extremos do ladrilho para retornarmos ao bracelete inicial. Temos, portanto, uma correspondência 1-1 entre braceletes de tamanho n em fase com ladrilhos de tamanho n. Logo, o número de formas de se preencher um bracelete em fase de tamanho n é fn.
Para o outro caso, com braceletes fora de fase, retiramos o dominó que cobre as células n e 1 e o abrimos para formar um ladrilho de tamanho n− 2. Para revertermos esse processo, o ladrilho de tamanho n− 2 preencherá, no sentido horário e mantendo o ordenamento, das posições 2 a n−1
do bracelete de tamanho n. As células n e 1 são completadas por um dominó. Temos, portanto, uma correspondência 1-1 entre braceletes de tamanho n fora de fase com ladrilhos de tamanho n+ 2. Logo, o número de formas de se preencher um bracelete fora de fase de tamanho n é fn+2.
A figura 8 ilustra a divisão em casos.
EM FASE FORA DE FASE
A ... B 1 2 ... n –1 n n f formas A ... B 1 2 ... n –3 n - 2 2 n f − formas
Figura 8
Não há mais nada há ser feito pois os casos são complementares.
▄ A próxima identidade relaciona os conceitos célula quebrável com braceletes em fase e célula não quebrável com bracelete fora de fase.
IDENTIDADE 6: Para n≥ 1, f2n−1= ln⋅ fn−1
Usaremos a correspondência entre dois conjuntos.
Conjunto A: Conjunto de ladrilhos de tamanho 2n – 1 . Por definição, há f2n−1 elementos.
Conjunto B: Conjunto de pares (B , Ln n−1). São braceletes de tamanho n e ladrilhos de comprimento
1
n− . Por definição, há ln⋅ fn−1 elementos.
Correspondência: Dado um ladrilho de comprimento 2n−1, elemento do conjunto A, verificamos se ele é ou não quebrável na célula n.
• Ladrilho quebrável na célula n : Nesse caso, dividiremos o ladrilho em duas partes. A
primeira, da célula 1 a n e a segunda da célula n+ 1 a 2n−1. Da primeira parte, formaremos um bracelete em fase de tamanho n e da segunda parte um ladrilho de comprimento n−1 (conta: (2n− −1) (n− +1) 1). Após obtermos o elemento do conjunto B basta verificarmos se o processo é reversível, ou seja, obtemos um ladrilho do conjunto A quebrável na célula n. De fato, a partir de um bracelete em fase de comprimento n e um ladrilho de comprimento n−1, abrimos o bracelete entre as células 1 e n formando um ladrilho de comprimento n. Basta, unirmos esse ladrilho de tamanho
n formado a partir do bracelete à esquerda com e o de tamanho n−1 à direita para
formarmos um ladrilho de comprimento 2n−1 quebrável na célula n.
• Ladrilho não quebrável na célula n : Nesse caso, também dividiremos o ladrilho em duas
partes. Como o ladrilho não é quebrável na célula n, um dominó preenche as células
e 1
n n+ . A primeira parte vai da célula 1 a n−1 e a segunda da célula n a 2n−1. Da primeira parte, formaremos um ladrilho de comprimento n−1 e da segunda parte um bracelete fora de fase de comprimento n (conta: (2n− − +1) n 1). Esse bracelete está fora de fase pois o dominó que cobria as células n n e +1 no ladrilho inicial cobrirá a primeira e a última célula do bracelete. Tal qual fizemos para o caso anterior, após obtermos o elemento do conjunto B basta verificarmos se o processo é reversível, ou seja, obtemos um ladrilho do conjunto A não-quebrável na célula n. O ladrilho de comprimento n−1 inicia o novo ladrilho à esquerda. Depois, segue o dominó que cobre
a primeira e a última célula do bracelete. Por fim, cobrimos das células n+ 2 a 2n−1
com o restante do bracelete, ou seja, da segunda à penúltima célula.
A figura 9 ilustra a correspondência entre os conjuntos. A fim de facilitar o entendimento, para o caso não quebrável, mantivemos a enumeração dos elementos nos dois conjuntos.
CÉLULA QUEBRAVEL EM n CÉLULA NÃO QUEBRÁVEL EM n
Figura 9
Nada há mais há se fazer pois os casos são complementares e a reversibilidade é única. ▄ Novamente, utilizaremos a técnica da quase correspondência entre conjuntos, como na identidade 4.
IDENTIDADE 7: Para 0, 2 2 ( 1) 2
n
n n
n≥ l = l + − − ⋅
Conjunto A: Conjunto de pares de braceletes concêntricos de tamanho n e com as células alinhadas. Ou seja, as células de mesma numeração nos dois braceletes, interno e externo, ficam nas mesmas posições em relação aos respectivos braceletes (ver figura 10).
Por definição, esse conjunto possui 2
n
l elementos
Conjunto B: Conjunto de braceletes de tamanho 2n. Eles serão denominados de novos braceletes. Correspondência: Dividimos o problema em dois casos: n par e n ímpar. Como as demonstrações são análogas, apenas apresentaremos o caso em que n é ímpar.
A partir de um elemento do conjunto A , construiremos um elemento do conjunto B e verificaremos a reversibilidade do processo.
... 1 n+ . . . . 2n−1 . . . . . . . 1 2 . . . . n n+1 . . . . 2n−1 .... 1 2 . . . . . n−1 ... . . . . 1 2 . . . . n−1 n n+1 . . . 2n−1
Antes de prosseguirmos, precisamos do conceito de células duplamente quebráveis para o caso de um par de braceletes.
Construímos raios para esse par de braceletes em cada intervalo de células. Diremos que a célula i é duplamente quebrável se o raio que passa no final (gira-se no sentido horário) das células
i nos braceletes interno e externo não interceptar, em nenhum dos dois braceletes, com o meio de
um dominó. Os raios aqui fazem as vezes das retas verticais para o caso do par de ladrilhos. Também de forma análoga ao caso dos ladrilhos, se há um quadrado na célula i, seja no bracelete interno ou externo, indica que o par de braceletes concêntricos é duplamente quebrável na célula i ou i−1. De fato, se há um quadrado na célula i do bracelete externo, há 3 hipóteses:
• Existe também um quadrado na célula i no bracelete interno. Nesse caso a célula i é duplamente quebrável.
• Existe o final de uma peça de dominó na célula i no bracelete interno. Também nesse caso a célula i é duplamente quebrável.
• Existe o início de uma peça de dominó na célula i no bracelete interno. Nesse caso a célula i−1 é duplamente quebrável.
Como n é ímpar, o bracelete externo possui ao menos uma célula preenchida por um quadrado. Assim, há pelo menos uma célula duplamente quebrável, sendo a primeira delas, digamos, na célula k. Então, não há células duplamente quebráveis nas células 1, 2, ..., k− 2, k−1.
A partir desses braceletes concêntricos formaremos um bracelete de tamanho 2n, elemento do conjunto B, em três etapas,da seguinte forma.
• Células 1 a k : Serão preenchidas pelas peças que cobriam das células 1 a k no bracelete
externo. O bracelete novo bracelete e o bracelete externo têm, portanto, a mesma fase. Vale observar que se o bracelete externo for fora de fase, o bracelete novo também será fora de fase e haverá também o preenchimento da célula 2n.
• Células k + 1 a k + n : Serão preenchidas por todo o bracelete interno. Esse preenchimento será feito no sentido horário na ordem das peças das células
1, 2, ... , , 1, 2, ... ,
k+ k+ n k. Lembramos que a célula k permite que haja essa transposição do bracelete externo para o interno, na primeira e segunda etapas, uma vez que ela é duplamente quebrável.
• Células k + n + 1 a 2 n : Serão preenchidas pelas peças que cobriam as células k+1, k+2,
... ,n do bracelete externo. Da mesma forma da etapa anterior, a célula k permite a
passagem do bracelete interno para o externo. Lembramos que caso a célula 2n já tenha sido preenchida na primeira etapa, o preenchimento será até a célula 2n−1.
É relevante observar que os n raios dos braceletes concêntricos na primeira composição correspondem aos n primeiros diâmetros do bracelete na segunda composição. Assim, as células duplamente quebráveis no par de braceletes correspondem a diâmetros que não possuem nenhuma extremidade no meio de um dominó. Para efeitos de simplificação de nomenclatura, denominaremos esse tipo de diâmetro de diâmetro perfeito. O novo bracelete terá o primeiro diâmetro perfeito (ver figura 10) com extremidades entre as células k e k+ 1 e entre as células
e 1
n k n k+ + + . Isso porque coincide com o a célula k, quebrável, tanto no bracelete externo quanto no interno no par de braceletes concêntricos do início.
Desde que haja um diâmetro perfeito em um bracelete de tamanho 2n, há a reversibilidade do processo é possível e única. Basta para isso decompor o bracelete a partir do primeiro diâmetro perfeito e reorganizar as partes de forma inversa. No entanto, há dois elementos do conjunto B que não podem ser construídos através do processo descrito a partir de um elemento do conjunto A. São os ladrilhos de tamanho 2n preenchidos em sua totalidade por dominós, um caso em fase e outro fora de fase. Como n é ímpar, se o preenchimento da célula 1 é o início de um dominó, obrigatoriamente a célula n+1 será preenchida por um final de dominó. Por outro lado, se a célula 1 é preenchida pelo final de um dominó, a célula n+1 é preenchida pelo início de um dominó. De forma geral as células i e n i+ , para 1 i n≤ ≤ , sempre serão preenchidas por partes diferentes do dominó. Dessa forma, não haverá nenhum diâmetro perfeito, o que inviabiliza a obtenção desses dois braceletes de tamanho 2n a partir de um par de braceletes concêntricos de tamanho n. Tampouco é possível operar o processo reverso, pois esse pressupõe a existência de ao menos um diâmetro perfeito.
Assim, há uma quase correspondência com o conjunto B possuindo dois elementos a mais que o conjunto A. Logo, para n ímpar, temos 2
2 2
n = n −
l l .
De forma análoga, para n par, temos l 2n = l2n+ 2.
Na identidade o termo ( 1)− n contempla os dois casos.
▄
CAPÍTULO 3 – IDENTIDADES COM NÚMEROS DE STIRLING E
NÚMEROS HARMÔNICOS
3.1 - Os números de Stirling de primeiro tipo
Antes de explicarmos quais são os números de Stirling de primeiro tipo, precisamos de um conceito preliminar : ciclos em uma permutação.
O número de ciclos de uma permutação é o número de grupos cíclicos nos quais seus elementos trocam de posição apenas entre si.
Consideremos os números 1, 2, 3, 4 e 5 e a ordenação natural 12345. Façamos algumas das permutações possíveis comparativas com a ordenação natural. Para efeitos de padronização, escreveremos os ciclos dentro de parênteses iniciados, à esquerda, sempre pelo menor elemento, caso estejamos tratando com números, e os ciclos ordenados em ordem crescente dos seus menores elementos.
• 12345 : Nesse caso, o 1 está no lugar do próprio 1; o 2 no lugar do próprio 2, etc. Então, são 5 ciclos com um elemento cada um , assim representados: (1)(2)(3)(4)(5).
• 32451 : Nesse caso, o 1 está no lugar do 5; o 5 no lugar do 4; e o 4 no lugar do 3; e o 3 no lugar do 1. O 2 constitui um ciclo a parte pois está em seu próprio lugar. Então, são 2 ciclos, assim representados: (1543)(2).
• 12435 : Nesse caso, o 1 está no lugar do próprio 1 (primeiro ciclo); o 2 no lugar do próprio 2 (segundo ciclo); o 5 no lugar do próprio 5 (terceiro ciclo); o 3 no lugar do 4 e o 4 no lugar do 3 (quarto ciclo). Temos a seguinte representação: (1)(2)(34)(5).
Apresentamos, agora, o conceito de n
k
,um número de Stirling de primeiro tipo.
Definição: Para inteiros n k 0, n
k
≥ ≥
conta o número de permutações de n elementos que
possuem exatamente k ciclos.
Apresentaremos uma interpretação equivalente, de caráter combinatório que será útil nas demonstrações das identidades.
Interpretação combinatória: Para inteiros n k 0, n
k
≥ ≥
conta o número de formas de n pessoas
distintas se sentarem em k mesas circulares idênticas sem que seja permitido que alguma dessas mesas fique vazia. Cada mesa corresponde a um ciclo da nossa definição anterior. Se n < 0, k < 0 ou
n < k consideraremos n 0
k
=
Vamos analisar alguns casos mais simples. Por exemplo, n 1
n
=
pois conta o caso
(1)(2)(3)...(n), em que cada pessoa está em uma mesa. Também podemos dizer que
0, se 0 (não há nenhum caso, pois ao menos uma mesa é ocupada)
0 1, se 0 (por conveniêcnia. Pode-se interpretar com sendo a única forma não sentar ni
n n n > = = nguém)
Outros dois casos simples são e ( 1)!
1 2 1 n n n n n = = − −
No primeiro caso, a única maneira para sentarmos n pessoas distintas em n−1 mesas circulares idênticas é distribuirmos em n− 2 mesas com apenas uma pessoa cada e uma mesa com duas pessoas. Então basta escolher dentre as n pessoas as duas que sentam juntas à mesma mesa.
Essa escolha pode ser feita de
2
n
formas.
No segundo caso, para sentarmos n pessoas em uma apenas uma mesa as contagens só se distinguirão com relação ao ordenamento circular das pessoas nessa mesa. Tomando como referencial a pessoa 1 restam n−1 pessoas para se sentarem em n−1 posições de (n−1)! maneiras distintas.
3.2 – Identidades com números de Stirling de primeiro tipo
Trabalharemos com as mesmas técnicas dos capítulos 1 e 2 para provarmos as identidades desse capítulo. A menos que esteja explícito no texto, consideraremos mesas como mesas circulares e preenchimento de mesas àqueles que não permitem que nenhuma mesa fique vazia.
IDENTIDADE 8: 1 Para 1, n ! k n n n k = ≥ =
∑
Pergunta: De quantas formas diferentes n pessoas distintas podem se sentar em n mesas circulares idênticas, sendo permitido que mesas fiquem vazias?
Resposta 1: Observemos o seguinte processo para sentarmos as pessoas nas mesas. A pessoa 1 senta-se em uma mesa e como todas são iguais só há uma escolha. A pessoa 2 pode escolher entre sentar à direita da pessoa 1 ou sentar-se em uma mesa ainda desocupada, ou seja, há 2 escolhas. A pessoa 3 pode escolher entre sentar à direita da pessoa 1, à direita da pessoa 2 ou sentar-se em uma mesa ainda desocupada, totalizando 3 escolhas. Prosseguindo dessa forma a pessoa n terá n opções, que são: sentar-se à direita da pessoa 1, à direita da pessoa 2, à direita da pessoa 3, ..., à direita da pessoa n−1 ou sentar-se em uma mesa ainda desocupada. Então, pelo princípio multiplicativo há
1 2 3... (⋅ ⋅ n− ⋅ =1) n n!.
Resposta 2: Agora, dividiremos o problema em casos de acordo com o número de mesas ocupadas. O número de mesas mínimo a ser ocupadas é 1, caso em que todas as pessoas se sentem em uma mesma mesa. Por outro lado, o número máximo de mesas ocupadas é n, caso em que cada pessoa se senta, sozinha, em uma mesa. Por definição, há n
k
formas de sentarmos as n pessoas em um
número k de mesas ocupadas (k = 1, 2 , ... , n). Logo, somando todos os casos para k,
n k 1 n k =
∑
, cobrimos todas as situações possíveis. ▄ A próxima identidade é similar à relação de Stiffel para números binomiais pois relacionará os números de Stirling de primeiro tipo de uma ordem n com os de ordem anterior n−1.IDENTIDADE 9: Para 1, 1 ( 1) 1 1 n n n n k n k k k − − ≥ ≥ = + − ⋅ −
Pergunta: De quantas formas diferentes n pessoas podem se sentar em k mesas? Resposta 1: Por definição, há n
k
formas.
Resposta 2: Agora, dividiremos a contagem em dois casos, de acordo com a pessoa 1, a saber: • A pessoa 1 se senta sozinha em uma mesa : Basta apenas sentarmos as outras n−1
pessoas restantes nas k−1 mesas não ocupadas pela pessoa 1. Isso pode ser feito de
1 1 n k − − formas.
∑
=
n 1 kk
n
• A pessoa 1 não se senta sozinha em uma mesa: Primeiramente distribuímos todas as pessoas, exceto a pessoa 1, nas k mesas de n 1
k
−
formas. Depois, a pessoa 1 pode
escolher onde vai se sentar de n−1 formas distintas, pois ela pode se posicionar imediatamente à direita de qualquer das n−1 pessoas já sentadas. Pelo princípio
multiplicativo, temos
(
n 1)
n 1k
−
− ⋅ formas.
Utilizando o princípio aditivo, somamos os dois casos complementares. Analogamente ao triângulo de Pascal para os números binomiais, temos um triângulo equivalente para os números de Stirling (ver figura 11) de primeiro tipo. Nele, podemos observar a relação demonstrada na identidade 9. As linhas representam os valores de n e as diagonais os valores de k.
Figura 11 Exemplo da identidade 9: + = 2 5 . 5 1 5 2 6 274 = 24 + 5. 50
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha 6
Exemplo da identidade 9: 6 5 5 5 3 2 3 = + ⋅ 274 = 24 + 5 ⋅ 50Na próxima identidade, dividiremos a contagem em dois conjuntos, de acordo com a paridade do número de mesas ocupadas.
IDENTIDADE 10: 1 Para 2, n .( 1)k 0 k n n k = ≥ − =
∑
Conjunto A: Conjunto com todas as disposições de sentarmos n pessoas distintas (n≥ 2) em um
número par, k, de mesas circulares idênticas. Por definição, o conjunto possui par .( 1) n k k n k −
∑
elementos.Conjunto B: Conjunto com todas as disposições de sentarmos n pessoas distintas (n ≥ 2) em um
número ímpar, k, de mesas circulares idênticas. Por definição, o conjunto possui ímpar .( 1) n k k n k −
∑
elementos.Correspondência: Para cada disposição em que sentarmos n pessoas distintas (n≥ 2) (pessoa 1, pessoa 2, ..., pessoa n) em um número qualquer de mesas circulares idênticas, podemos dividir em dois casos: as pessoas 1 e 2 se sentam na mesma mesa ou as pessoas 1 e 2 não se sentam na mesma mesa.
Para o primeiro caso, podemos desmembrar a mesa em que as pessoas 1 e 2 estão sentadas em duas outras mesas. A partir da pessoa 1 percorremos no sentido horário até a pessoa x imediatamente anterior a pessoa 2. Essas pessoas, de 1 a x,formam a primeira mesa, digamos mesa a. A outra mesa, digamos mesa b, será composta a partir da pessoa 2 percorrendo no sentido horário até a pessoa y imediatamente anterior à pessoa 1 na composição da mesa antes da divisão. Dessa forma, correspondemos um caso de uma paridade a outro de outra paridade pois aumentamos a quantidade em uma mesa.
Para garantir a reversibilidade do processo, vejamos o caso em que as pessoas 1 e 2 estão sentadas em mesas distintas, digamos mesa a e mesa b. Unimos as duas mesas colocando, na mesa
a, entre a pessoa 1 e a pessoa x, que está imediatamente ao lado da pessoa 1 no sentido anti-horário,
todas as pessoas da mesa b, mantendo o ordenamento, e de forma que a pessoa 2 fique imediatamente ao lado da pessoa x no sentido horário.
A figura 12 ilustra o procedimento descrito.
Figura 12
A última identidade dessa seção é muito interessante pois mostra um polinômio que possui os números de Stirling de primeiro tipo como coeficientes.
IDENTIDADE 11: 1 ( 1) ( 2) ... ( 1) n k k n x x x x n x m = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + − = ⋅
∑
É mesmo intrigante, pensar porque os coeficientes desse polinômio são os números de Stirling de primeiro tipo. E como em todas as outras identidades, devemos buscar a qual situação contar. Bom, analisemos o coeficiente de xk. Para o obtermos, nas combinações da regra
distributiva, dentre os fatores do polinômio (o primeiro termo x e os demais parênteses), serão multiplicados obrigatoriamente o primeiro x e outras k−1 vezes os x’s escolhidos dos outros
parênteses. Assim, restam sempre n− −1 (k−1) parênteses que não fornecem os seus x’s para o produto xkmas, pela regra distributiva, terão números multiplicados que fornecem uma parcela para
a composição do coeficiente do termo xk. O coeficiente do termo x k será dado pela soma de todas
as combinações possíveis dessas multiplicações dos números dos parênteses restantes, os que não forneceram x. restantes.
Mas por que essas somas resultam em n
k
? Um bom indício é que essa soma conta,
dividindo em casos, como podem se sentar n pessoas distintas em k mesas circulares idênticas de forma que nenhuma das mesas fique vazia. Cabe agora entender os casos contados pela multiplicação de n− −1 (k−1) números escolhidos dentre 1, 2, 3, ... , n−1, cada escolha correspondendo a um caso diferente. Para isso, imaginemos n pessoas (pessoa 0, pessoa 1, ... ,
pessoa n−1) para se sentarem em k mesas circulares idênticas de forma que nenhuma das mesas fique vazia.
Separaremos em casos “pré-sentando” k pessoas para preencherem as k mesas, sendo essas pessoas as de menor número em suas respectivas mesas. A pessoa 0 sempre será uma dessas k pessoas pois obrigatoriamente será a pessoa de menor número em sua mesa. Logo, são “pré-sentadas” a pessoa 0 e mais outras k−1 pessoas quaisquer. Vale alertar que estas pessoas estão associadas aos x’s multiplicados do polinômio. O primeiro x à pessoa 0, esta sempre sentada e aquele sempre multiplicado. Os outros k−1 x’s multiplicados dos outros parênteses às outras k−1
pessoas “pré-sentadas”. Antes de sentarmos as outras pessoas, as ordenamos em fila, em ordem crescente de seus números. Assim ordenadas, a pessoa de menor número, digamos pessoa i, tem i opções de escolha para se sentar, que são: à direita da pessoa 0, da pessoa 1, ... , da pessoa i−1. Note que todas essas pessoas já estão “pré-sentadas”, pois caso contrário elas estariam ordenadas anteriormente à pessoa i, na fila de espera, com as pessoas que estão por sentar. Além disso, não há mais opções para a pessoa i se sentar à direita de outras pessoas “pré-sentadas”, pois essas outras teriam o número maior que i e, pela hipótese de construção, são as pessoas de menores números de suas mesas.
Da mesma forma, a próxima pessoa j a se sentar depois da pessoa i, terá j opções. E assim, a próxima pessoa k, terá k opções e assim para todas as outras, até a última pessoa w. Pelo princípio multiplicativo há, então, i j k⋅ ⋅ ⋅ ⋅... wformas dessas pessoas que não estão “pré-sentadas” se sentarem.
Em cada caso diferente desses, um produto diferente de n− −1 (k−1) números escolhidos dentre 1, 2, 3, ... , n−1 é obtido. Unindo todos esses casos teremos todas as formas possíveis de sentarmos n pessoas distintas em k mesas circulares idênticas, de forma que nenhuma delas fique vazia.
Ao analisarmos para diferentes números de mesas a serem ocupadas temos todos os coeficientes do polinômio como números de Stirling de primeiro tipo.
▄
3.3 - Os números de Stirling de segundo tipo
Os números de Stirling de segundo tipo guardam semelhança com os de primeiro tipo. Entretanto, em vez de ciclos de uma permutação temos partições (subconjuntos) de um conjunto. Antes da definição formal e da interpretação combinatória, apresentamos um exemplo.
• {1,2,3}{4}{5} • {1,2,4}{3}{5} • {1,2,5}{3}{4} • {1,3,4}{2}{5} • {1,3,5}{2}{4} • {1,4,5}{2}{3} • {1}{2,3,4}{5} • {1}{2,3,5}{4} • {1}{2,4,5}{3} • {1}{2}{3,4,5} • {1}{2,3}{4,5} • {1}{2,4}{3,5} • {1}{2,5}{3,4} • {1,3}{2}{4,5} • {1,4}{2}{3,5} • {1,5}{2}{3,4} • {1,2}{3}{4,5} • {1,4}{2,5}{3} • {1,5}{2,4}{3} • {1,2}{3,5}{4} • {1,3}{2,5}{4} • {1,5}{2,3}{4} • {1,2}{3,4}{5} • {1,3}{2,4}{5} • {1,4}{2,3}{5}
São 25 disposições possíveis. Para efeitos de padronização, listaremos sempre os elementos das partições em ordem crescente e as partições em ordem crescente de menor elemento.
Vamos à definição de n
k
, um número de Stirling de segundo tipo.
Definição: Para inteiros n k 0, n
k
≥ ≥
conta o número de formas diferentes de se repartir os n
elementos de um conjunto A (de elementos distintos) em k subconjuntos disjuntos.
Tal como fizemos para os números de Stirling de primeiro tipo, apresentaremos uma interpretação combinatória equivalente que nos auxiliará nas próximas identidades.
Interpretação combinatória: Para inteiros n k 0, n
k
≥ ≥
conta o número de formas de
distribuir-se n pessoas distintas em k salas idênticas sem que seja permitido que alguma dessas salas fique vazia. Cada sala corresponde a um subconjunto da nossa definição anterior. Se n < 0, k < 0 ou
n < k consideraremos n 0
k
=
.
Assim como fizemos para os números de Stirling de primeiro tipo, antes de apresentarmos as identidades analisaremos os casos mais simples.
Diretamente da definição podemos perceber que n 1 n = e 1 1 n = pois contam,
respectivamente, os casos elementares {1}{2}{3}...{n}, quando cada pessoa ocupa sozinha uma sala, e {1,2,3,...n}, quando todas as pessoas se sentam em uma única sala. Dizemos também que:
0, se 0 (não há nenhum caso, pois ao menos uma sala é ocupada) 0 1, se 0 (por conveniêcnia. Pode-se interpretar com sendo a única forma não col
n n n > = = cocar ninguém)
Outros dois casos simples são e 2 1 1
1 2 2 n n n n n − = = − −
No primeiro caso, para dispormos n pessoas em n−1 mesas não-vazias idênticas, só há uma forma. Do total de salas, n− 2 terão apenas uma pessoa enquanto a outra sala terá duas pessoas. Basta escolher dentre todas as n pessoas as duas que ficarão na mesma sala. Isso pode ser feito de 2 n maneiras.
No segundo caso, ao dividirmos n elementos de um conjunto A = {1,2, ... , n} em dois subconjuntos, o conjunto da direita é um subconjunto não-vazio do conjunto D = {2,3, ..., n}. Há
1
2n− −1 desses conjuntos (todos os subconjuntos de D menos o subconjunto vazio). Os elementos
que não fazem parte desse subconjunto constituirão juntamente com o elemento 1 o conjunto da esquerda.
3.4 – Identidades com números de Stirling de primeiro e segundo tipo
Nesta seção apresentaremos três identidades. As duas primeiras envolvem números de Stirling apenas de segundo tipo enquanto a última envolve os dois tipos. A menos que esteja explícito no texto, consideraremos como ocupação de salas àquelas que não permitem que alguma sala fique vazia.
A próxima identidade também é similar à relação de Stiffel para números binomiais e com a identidade 9, relacionando os números de Stirling de segundo tipo de uma ordem com os de ordem anterior. IDENTIDADE 12: Para 1, 1 1 1 n n n n k k k k k − − ≥ ≥ = + ⋅ −
Pergunta: De quantas formas diferentes podemos dividir n pessoas distintas em k salas idênticas não- vazias?
Resposta 1: Por definição, há n
k
formas.
Resposta 2: Sejam as pessoas 1,2, ... , n. Dividiremos em dois casos, de acordo com a pessoa 1, a saber:
• A pessoa 1 fica sozinha em sua sala : Resta, apenas, distribuir as outras n−1 pessoas nas
1 k− salas restantes de 1 1 n k − − formas.
• A pessoa 1 não fica sozinha em sua sala : Primeiramente, distribuímos as n−1outras pessoas em todas as k salas de n 1
k
−
formas. Depois, escolhemos em qual das salas já
ocupadas a pessoa 1 vai ficar. São k escolhas. Pelo princípio multiplicativo, são
1 n k k − ⋅ formas.
Utilizando o princípio aditivo, somam-se os dois casos complementares.
▄ Também apresentamos o triângulo para os números de Stirling de segundo tipo. Podemos observar a relação demonstrada na identidade 12. As linhas representam os valores de n e as diagonais os valores de k.
Figura 13 IDENTIDADE 13: 0 Para 0, n n k x k n n x A k = ≥ = ⋅
∑
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
Linha 4
Linha 5
Linha 6
Exemplo da identidade 12: 6 5 5 4 4 3 4 = + ⋅ 65 = 25 + 4 . 10Pergunta: De quantas formas diferentes n pessoas podem ocupar x salas distintas, sendo permitido que alguma(s) sala(s) fique(m) vazia(s)?
Resposta 1: Cada uma das n pessoas tem x opções independentemente da escolha das outras. Então, pelo princípio multiplicado, são x n.
Resposta 2: Dividiremos o problema em casos de acordo com o número de salas ocupadas. Para um número qualquer de salas ocupadas, digamos k (0 ≤ k ≤ n), primeiramente, escolhemos os grupos
que ocuparão cada uma das k salas. Para isso, dividimos as n pessoas em k subconjuntos de n
k
formas. Depois, posicionamos os grupos em k salas das x disponíveis. Não podemos nos esquecer
que as salas são distintas. Portanto, há Ak
xformas. Pelo princípio multiplicativo, temos A k x n k ⋅ , o
termo do somatório do membro direito da identidade. Somando todos os valores k, cobrimos todos os casos. Vale lembrar que para k = 0, o termo do somatório será nulo, uma vez que A0 0
x= .
Também , se k > n, n 0
k
=
. Assim, o índice k do somatório poderia também variar infinitamente
sem prejuízo da identidade.
▄ A próxima identidade envolve os dois tipos de número de Stirling.
IDENTIDADE 14: Para m n, ≥ 0 , 0 ( 1) ( 1) n k n m n k n k k m δ = ⋅ ⋅ − = − ⋅
∑
, onde δm n, = 1, se m = n e , 0 m n δ = , se m ≠ n .Para provarmos a identidade, utilizaremos a correspondência entre dois conjuntos.
Conjunto P : Conjunto de todas as distribuições de n pessoas sentadas em um número par de mesas circulares idênticas não-vazias dispostas em m salas idênticas não-vazias. Utilizando os conceitos de números de Stirling de primeiro e segundo tipo e somando todos os casos, temos que o tamanho
do conjunto P , | P | , é k par n k k m ⋅
∑
. .m salas idênticas não-vazias. Utilizando os conceitos de números de Stirling de primeiro e segundo
tipo e somando todos os casos, temos que o tamanho do conjunto I , | I | , é
k ímpar n k k m ⋅
∑
.Antes de fazermos a correspondência é importante alertarmos que o termo ( 1)− k no
somatório indica uma soma alternada de termos. Podemos interpretar essa soma como uma comparação entre os tamanhos dos conjuntos com k par ou ímpar. Se a soma for zero indica que os conjuntos possuem o mesmo tamanho, caso contrário os conjuntos possuem uma diferença na quantidade de elementos.
Correspondência: Vamos estabelecer uma correspondência um a um entre o conjunto P e I, salvo nos casos em que m = n.. Nesses casos teremos uma quase correspondência. Dividimos em duas partes, analisando primeiramente o caso em que m = n.
Se m = n , o número de pessoas é o mesmo do número de salas. Assim, só há uma forma de resolver o problema: distribuir uma pessoa por mesa e uma mesa por sala. É relevante observar que o número de mesas, portanto, também será igual ao número de pessoas e salas. Se n for par o conjunto P terá um elemento (o caso descrito na linha anterior) enquanto I será vazio, pois o índice
k correspondente ao número de mesas só percorre números ímpares. Por outro lado, se n for ímpar,
acontece o contrário: I terá um elemento e P será vazio. Isso encerra esse caso e explica o porquê do segundo membro da identidade resultar em 1 ou –1 de acordo com o sinal de n (ou m).
Agora, suponhamos que n ≠ m. Se n < m, tanto o conjunto P quanto I serão vazios pois não há como preencher todas as salas se não há pessoas em número suficiente (observe que mesmo nesse caso a identidade continua válida de acordo com as definições de números de Stirling).
No caso em que n > m temos uma correspondência mais interessante. Observe que em todos os elementos, seja do conjunto P ou I, haverá ao menos uma sala com pelo menos duas pessoas (princípio da casa do pombo [2]). Sejam as pessoas numeradas tais como habitualmente usamos: pessoa 1, pessoa 2, ... , pessoa n. Considere também, c como o menor número de uma pessoa que não esteja sozinha em uma sala e d como o menor número maior do que c de uma pessoa que esteja na mesma sala da pessoa c. Basta, fazer o mesmo procedimento reversível de mudança de paridade similar ao que foi feito na identidade 10.
Separaremos em dois subcasos, de acordo com as pessoas c e d. A condição será se elas estão sentadas na mesma mesa ou não.
Se as pessoas c e d estiverem em uma mesma mesa, podemos desmembrá-la em duas outras mesas. A partir da pessoa c percorremos no sentido horário até a pessoa x imediatamente anterior a pessoa d para formarmos a primeira mesa, digamos mesa a. A outra mesa, digamos mesa
b, será composta a partir da pessoa d percorrendo no sentido horário até a pessoa y imediatamente
anterior à pessoa c na composição da mesa antes da divisão. Dessa forma, correspondemos um caso de uma paridade a um de outra paridade pois aumentamos a quantidade em uma mesa.
Para garantir a reversibilidade do processo, vejamos o caso em que as pessoas c e d estão sentadas em mesas distintas, digamos mesa a e mesa b. Unimos as duas mesas colocando, na mesa
a, entre a pessoa c e a pessoa x, que está imediatamente ao lado da pessoa c no sentido anti-horário,
todas as pessoas da mesa b, mantendo o ordenamento, e de forma que a pessoa d fique imediatamente ao lado da pessoa x no sentido horário.
A figura 12, ilustra esse processo, na qual as pessoas 1 e 2 fazem as vezes das pessoas c e
d, respectivamente.
▄
3.5 – Os números harmônicos
Os números harmônicos são obtidos pela conhecida seqüência harmônica hn, formado
pelos inversos dos números naturais. Os primeiros termos da seqüência é o n-ésimo termo são
1 1 1 1, , ,..., , ... 2 3 n .
Definamos, agora, os números harmônicos. O n-ésimo número harmônico, denotado por
n
H , é a soma dos n primeiros termos da seqüência harmônica. Assim, H1= 1, 2
1 3 1 2 2 H = + = , 3 1 1 11 1 2 3 6
H = + + = e assim por diante. No caso genérico,
1 n n n k H h =
=
∑
Por conveniência, definimos 0 0H = .
Lembramos que a seqüência harmônica diverge, embora o seu crescimento ocorra lentamente.
Um interessante resultado algébrico é que para n > 1, Hn nunca é inteiro. Isso é,
aparentemente, um contraponto às interpretações combinatórias, que tratam de problemas de contagem. No entanto, há diversas identidades envolvendo números harmônicos e coeficientes binomiais, esses últimos amplamente usados em conteúdo combinatório. Representar o termo Hn,
explicitamente, como a soma parcial da seqüência harmônica, nos fornece uma visão mais clara a respeito de um possível aspecto combinatório.
Desenvolvendo 1 1 1 ... 1 2 3
n
H
n
= + + + + por manipulações algébricas chegamos a
n 1 2 3 ... n a H n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ e finalmente a ! n n a H n = .
O termo n! no denominador possui muitas interpretações combinatórias, restando-nos interpretar o significado combinatório do termo an, que aparece no numerador. Além disso, teremos
que relacionar em uma mesma situação combinatória, os termos an e n!. Esse elo será o número de
Stirling de primeiro tipo 1
2
n+
conforme o Teorema combinatório a seguir.
TEOREMA COMBINATÓRIO 1: Para n ≥ 0,
1 2 ! n n H n + =
Antes de apresentarmos a demonstração do teorema, cabem algumas observações.
Como utilizaremos, de agora em diante, diversas vezes o número de Stirling de primeiro tipo
2
n
, o denotaremos por ℑn, para efeitos de simplificação de notação.
Em nossa demonstração, não mostraremos, uma interpretação combinatória para Hn e sim
para n H!⋅ n. Esse termo é exatamente o termo an(conta: ! ! ! n n n a n H n a n ⋅ = ⋅ = ), que surge no numerador da definição de Hn e que faltava-nos interpretar combinatorialmente.
Fazendo uma pequena mudança algébrica, demonstraremos o Teorema combinatório 1 como uma identidade equivalente.
IDENTIDADE 15: Para n ≥ 0, ℑ =n n! ⋅Hn
Pergunta: De quantas formas diferentes podemos sentar n+1 pessoas em duas mesas circulares, de forma que nenhuma delas fique vazia?
Resposta 1: Por definição, ℑn+1 formas.
Apresentaremos duas opções para uma segunda resposta à pergunta que visa solucionar a identidade. Mais do que isso, são duas formas alternativas de interpretar o termo an. Em ambas as
