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UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
Projeto Final 2
Tema: Analise Elástica e Elastoplástica de Edifícios de Aço
de Andares Múltiplos
Orientador:
Nome: José Humberto Matias de Paula
Aluno:
Nome: Antonio Hildenberg Soares de Oliveira Filho
Matricula: 12/0110997
Brasília
2 Projeto Final de Graduação 02
Aluno: Antonio Hildenberg Soares de Oliveira Filho Matricula: 12/0110997
Orientador: José Humberto Matias Paula
ANALISE ELÁSTICA E ELASTOPLÁSTICA DE EDIFICIOS DE
AÇO DE ANDARES MULTIPLOS
Projeto de Monografia apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Universidade de Brasília, como requisito parcial para conclusão do Bacharelado em Engenharia Civil.
Brasília
3 Este trabalho compõe a primeira parte do projeto final de graduação intitulado “Analise Elástica e Elastoplástica de Edificios de Aço de Múltiplos Pavimentos” de autoria de Antonio Hildenberg Soares de Oliveira Filho realizado conforme as diretrizes do Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da Universidade de Brasília (ENC).
Aprovado pela banca examinadora constituída pelos seguintes professores:
_______________________________________________________________ Profa MSc. José Humberto Matias de Paula – ENC/UnB - Orientador
_______________________________________________________________ Prof. Dr. Lenildo Santos da Silva – ENC/UnB
_______________________________________________________________ Prof. MSc Marco Aurélio Souza Bessa- Externo
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RESUMO
A análise estrutural de edifícios compõe uma das principais atividades no desenvolvimento de projetos de edificações e no entendimento do comportamento da estrutura. O produto de uma análise estrutural prevê a determinação dos esforços e dos deslocamentos dos elementos estruturais permitindo seu dimensionamento de forma segura e compatível com os critérios de economia e funcionalidade previstos pelas normas e pelo mercado. O processo de análise tradicional envolve a determinação dos esforços na estrutura indeformada, ou seja, na sua configuração inicial proposta e não leva em consideração as mudanças no regime de deformação do material, predominando, em todas as circunstâncias, o regime elástico. Por fim esses resultados são utilizados no dimensionamento da estrutura considerando a capacidade limite de suporte dos materiais no regime plástico, conforme recomendam as normas, o que gera maior economia e ductibilidade para a estrutura. Este trabalho visa, portanto, revisar as metodologias que engoblam a determinação dos esforços na estrutura a partir de um analise elastoplástica, que compreende a formação de rótulas plásticas nas seções mais solicitadas e que geram uma reconfiguração dos diagramas de esforços na estrutura, para um maior entendimento do comportamento dos elementos estruturais. Em seguida será implantado um software para modelagem e previsão dos diagramas de esforços oriundos da análise elastoplástica. O resultado servirá de base para a avaliação de um edifício de aço de múltiplos pavimentos que comporá a segunda parte deste trabalho.
Palavras-chaves: analise estrutural, analise plástica elastoplástico, elástico,
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Lista de Figuras
Figura 1 - Viga bi-apoiada com carga concentrada no centro do vão ... 12
Figura 2 - Diagrama tensão-deformação do aço; Beedle [2] ... 14
Figura 3 - Diagrama Momento-Curvatura; Beelde [2] ... 16
Figura 4 - Tensões e Deformações em estágios de flexão ... 18
Figura 5 - Distribuição de tensão na presença de esforços axiais de compressão (Beedle, pág108) ... 25
Figura 6 - Curva típica para seções I ao longo de todo o domínio de interação momento-força axial. Beedle[2] ... 27
Figura 7 - Curva aproximada para qualquer seção I. Beedle [2] ... 27
Figura 8 - Ensaio de coluna com carga axial excêntrica aplicada. Beedle [2] ... 28
Figura 9 - Analise de viga em balanço e combinação de fletor-cortante na plastificação da seção. Beedel [2] ... 30
Figura 10 - Curvas de influência do esforço cortante ... 32
Figura 11 - Ensaio de viga bi apoiada com cargas concentradas próximos aos apoios. Beedle[2] ... 34
Figura 12 - Diagrama de momentos de peças transversalmente carregada ... 37
Figura 13 - Pórtico de banzos paralelos ... 39
Figura 14 - Diagrama de momentos fletores do pórtico ... 41
Figura 15 - Portico Plano ... 42
Figura 16 - Analise da recarga plástica em viga (Davis & Brown, 1996) ... 46
Figura 17 - Analise de curvas cargas-deslocamentos para estruturas porticadas. (Davis & Brown, 1996) ... 47
Figura 18 - Planta baixa do pavimento tipo da edificação ... 55
Figura 19 - Corte Esquemático do pórtico principal da edificação ... 55
Figura 20 - Lançamento da estrutura. Legenda: Linha continua: vigotas de sustentação das lajes. Linhas tracejadas: Vigas dos pórticos principais e secundários. ... 57
Figura 21 - Exemplo de viga bi-apoiada suportando duas vigotas ... 58
Figura 22 - Coeficiente de forma externo ... 66
Figura 23 - Vento a 90° sobre portico de empena. ... 67
Figura 24 - Vento 90° Pórtico Intermediário ... 68
Figura 25 - Definição da Capacidade de Rotação ... Figura 26 - Histograma fator de forma perfis tipo H, na direção XX ... 76
Figura 27 - Histograma fator de forma perfis tipo I na direção XX ... 77
Figura 28 - Fator de forma perfis H na direção YY ... 77
Figura 29 - Histograma perfis I na direção YY ... 78
Figura 30 - Relação entre as inércias principais dos perfis Gerdau ... 81
Figura 31 - Superfícies de interação normal x fletor ... 82
Figura 32 - Trechos de uma viga continua e seus mecanismos. a) Vão central. b) Vão da empena. ... 84
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Figura 33 - Distribuição de tensões para seção plastificada para interação completa... 88
Figura 34 - Lançamento da viga secundária de bordo ... 93
Figura 35 - Lançamento do pórtico central ... 94
Figura 36 - Mecanismo formado para o portico central ... 97
Figura 37 - Contraventamento dos pórticos secundários ... 98
Figura 38 - Diagrama cargas x deslocamentos da estrutura para todas as tentativas ... 99
Figura 39 - Mecanismo do portico de empena ... 101
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Sumário
1. INTRODUÇÃO ... 9
2. OBJETIVOS ... 10
3. PRINCIPIOS DA ANALISE ELASTOPLASTICA ... 11
3.1. Parâmetros de estudo na análise elastoplástica ... 11
3.1.1. Diagrama tensão-deformação do aço e relação momento-curvatura ... 13
3.1.2. Plastificação de uma seção retangular ... 18
3.1.3. Rótula Plástica, Redistribuição de Momentos e Mecanismos de Ruptura ... 21
3.1.4. Plastificação de uma seção I ... 23
3.2. Interação do cortante e esforço normal... 24
3.2.1. Efeito do esforço normal... 24
3.2.2. Efeito do esforço cortante ... 29
4. MÉTODOS DE ANALISE PLÁSTICA DE ESTRUTURAS ... 35
4.1. Teorema Estático ... 35
4.2. Teorema Cinemático ... 36
4.3. Teorema da Unicidade ... 36
4.4. Analise de pórtico com cargas distribuídas ... 36
4.5. Colapso Plástico ... 38
5. MÉTODOS DE VALIDAÇÃO DO MECANISMO (MOMENT CHECK) ... 39
5.1. Método da tentativa e erro ... 39
5.2. Método da combinação de mecanismos ... 42
6. OUTRAS CONSIDERAÇÕES EM ANÁLISE PLÁSTICA... 44
6.1. Acomodação Plástica (Shakedown)... 44
6.2. Recarga Plástica e Falsos Mecanismos ... 45
7. ANALISE DE INSTABILIDADE GLOBAL ... 46
7.1. Método de Rankine-Merchant ... 49
8. MÉTODOS DE ANÁLISE COMPUTACIONAL ... 53
8.1. MASTAN 2 ... 53
8 9. CRITÉRIOS DE PROJETO ... 54 9.1. Considerações Gerais ... 54 9.2. Tipologia estrutural ... 56 9.3. Estados Limites ... 59 9.4. Ações ... 60 9.4.1. Ações Permanentes ... 60 9.4.2. Ações Variáveis ... 61 9.4.2.1. Ações de vento ... 62 9.5. Combinações de Carga ... 68 9.6. Propriedades do material ... 70 9.7. Perfis estruturais ... 70
9.7.1. Perfis com capacidade de rotação plástica ... 72
9.8. Recomendações para análise plástica em edifícios de múltiplos pavimentos ... 79
9.8.1. Analise dos fatores de carga em projeto ... 79
9.8.2. Análise em pilares ... 80
9.8.3. Recomendações para o travamento lateral de peças fletidas ... 83
9.8.4. Análise de vigas ... 84
9.9. Critérios de dimensionamento de elementos mistos em aço e concreto ... 86
10. DIMENSIONAMENTO DA ESTRUTURA... 90
10.1 Dimensionamento das lajes ... 90
10.2. Dimensionamento das vigas secundárias ... 91
10.3. Dimensionamento do Pórtico Central ... 94
10.4 Dimensionamento dos Pórticos de Empena ... 99
11. AVALIAÇÃO DO CONSUMO DE AÇO ... 102
12. CONCLUSÃO ... 103
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1. INTRODUÇÃO
O diagrama tensão-deformação dos elementos estruturais compõe uma das principais ferramentas de análise do comportamento dos materiais da construção civil. As diferenças entre suas propriedades é que tornam diversas as possibilidades de aplicação em estruturas reais. O estudo desse comportamento é dividido em diversas fases desde o momento inicial de aplicação dos carregamentos até a ruptura do elemento a ser analisado. Concomitantemente, aplicam-se sensores de deformação no elemento que permitem captar alongamentos e encurtamento das fibras do material, dependendo do tipo de esforço predominante a ser aplicado.
Essas curvas são frequentemente divididas em diversas fases, porém as mais comumente trabalhadas são a zona elástica e a zona plástica, e suas transições. A zona elástica compreende a faixa para o qual existe uma relação proporcional entre as tensões aplicadas e as deformações obtidas, além disso nota-se que o material tem capacidade de repor parcialmente sua configuração inicial, o que tipifica a nomenclatura dessa fase. A zona plástica é a fase na qual essa proporção entre as tensões e deformações não se aplica, tendendo as deformações a serem muito sensíveis e elevadas a incrementos graduais de carga, fenômeno descrito como a não linearidade física do material. Nota-se, também, que durante a plastificação o elemento não tende a reassumir sua configuração inicial, implicando em deformações permanentes à estrutura. A relação que comprova a proporção entre essas grandezas é atribuída à rigidez do elemento, dado tanto pelo material como pelas suas propriedades geométricas dependendo do tipo de esforço a ser analisado. Diversos modelos simplificados trabalham apenas com essas duas zonas em diversas variações na qual são gerados diagramas simplificados
Tipicamente o projeto de estruturas é feito no regime elástico, tanto para a obtenção dos carregamentos como para análise da resistência dos elementos. Nesse sentido, incorporar no dimensionamento o efeito da plastificação do material pode trazer ganhos de economia e uma compreensão mais realista do comportamento real de ruptura da estrutura, conforme Beedle [2].
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2. OBJETIVOS
1.1. Objetivos gerais:
O presente trabalho tem o objetivo geral de propor um estudo comparativo entre os resultados do dimensionamento de um edifício em aço de quatro pavimentos, com três vãos que serão analisados através de um pórtico plano reticulado com dimensões padronizadas.
O dimensionamento da estrutura será realizado por meio de uma análise elastoplástica de primeira ordem e em seguida por meio de uma análise elastoplástica de segunda ordem. Os resultados para a análise de primeira e de segunda ordem serão gerados o auxílio do software MASTAN2 desenvolvido por Ronald Ziemian e Wiliiam McGuire além de outros recursos computacionais disponíveis para este tipo de análise.
1.2. Objetivos Específicos:
a) Rever os conceitos e procedimentos envolvendo a analise plástica de estruturas em elementos de aço com suficiente ductibilidade; b) Analisar o comportamento de rótulas plásticas e sua influência na
redistribuição de momentos e formação de mecanismos em pórticos planos de múltiplos pavimentos;
c) Utilizar software para o analise elastoplástica de primeira ordem e de segunda ordem com o software MASTAN2;
d) Comparar os resultados obtidos em termos de economia de material entre dois pórticos padronizados dimensionados pelos modelos citados.
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3. PRINCIPIOS DA ANALISE ELASTOPLASTICA
A análise plástica é um método de dimensionamento de estruturas de aço que se baseia na determinação de uma carga última de colapso capaz de gerar grandes deformações na estrutura a ponto de torna-la impraticável. Segundo Beedle [2] este método mostra uma grande vantagem no dimensionamento estrutural em relação aos tradicionais métodos elásticos por permitir incorporar no modelo uma resistência adicional à estrutura em decorrência do processo de plastificação do material que, consequentemente, gera uma maior economia de recursos em relação aos demais métodos.
Atualmente, as diretrizes fornecidas no dimensionamento de estruturas de aço incorporando a analise plástica são de grande valia em projetos de edifícios de múltiplos pavimentos, como prédios residenciais e comerciais, por fornecerem, com maior precisão, o comportamento da estrutura na situação de colapso e permitirem uma maior economia de material, como citado anteriormente. Os capítulos que se seguem visam fornecer as bases para uma metodologia a ser aplicada na análise estrutural deste tipo de estrutura.
3.1. Parâmetros de estudo na análise elastoplástica
Uma estrutura de múltiplos pavimentos tem o seu comportamento ditado pela flexão de seus elementos, principalmente lajes e vigas, em decorrência das dimensões dos seus vãos necessários para a ocupação adequada da área construída.
Essa característica associada às propriedades do aço permite prever o comportamento da estrutura na situação de colapso provocado por um conjunto de carga externas atuando em seus elementos. Segundo Beedle [2] o colapso plástico é definido como a situação de ruina da estrutura provocado pela plastificação de diversas seções críticas do elemento ao ponto de que as deformações elevadas no mesmo tornam a estrutura instável a medida que uma carga externa é aplicada com consecutivos aumentos na estrutura.
O método se baseia em determinar qual o valor da carga, para um determinado ponto de aplicação e uma dada condição de contorno na estrutura que gera essa condição de instabilidade. Como exemplo podemos supor uma
12 viga bi-apoiada como a da imagem abaixo com uma carga P aplicada no meio do seu vão.
Figura 1 - Viga bi-apoiada com carga concentrada no centro do vão
O momento fletor gerado pela carga tende a fletir a viga induzindo uma determinada curvatura ao elemento. Essa deflexão é atingida pela formação de um momento fletor resistente na seção que se iguala, para garantir o equilíbrio, ao momento fletor aplicado para cada trecho do vão. O esforço resistente é mantido pela formação de tensões de tração nas fibras inferiores do elemento e de compressão nas fibras superiores. A distribuição dessas tensões ao longo da seção depende de algumas hipóteses que serão adotadas ao longo de toda explanação do conceito de análise plástica, sendo elas:
a) Não se admite tensões de tração e compressão decorrentes de esforços axiais, torçores e cisalhantes (Posteriormente será feita uma análise avaliando a influência desses esforços no cálculo plástico);
b) As deformações são pequenas, tornando válida a análise de pequenos deslocamentos;
c) As seções permanecem planas após flexão (Hipótese de Bernoulli); d) A relação entre tensões e deformações é linear ao longo da seção. Como consequência das hipóteses acima a distribuição de tensões ao longo da seção tende a ser linear com valores máximos, tanto na compressão como na tração, nas fibras mais externas e assumindo um valor nulo na região do centroide da seção. Outra característica é que as tensões não variam ao longo de uma mesma profundidade na seção.
A medida que se aumenta o valor da carga P o momento fletor resistente aumenta provocado pelo acréscimo de tensões. Paralelamente a curvatura da viga aumenta acompanhada pelas deformações das fibras da seção. Para um
13 determinado valor de P, as tensões nas fibras extremas da seção localizada no meio do vão atingem o valor máximo possível, definido como a tensão de escoamento do aço (𝑓𝑦). A partir deste ponto define-se que a seção iniciou o processo de plastificação e atingiu o fim do seu comportamento elástico. Para cada acréscimo sucessivo na carga P o aumento do momento fletor resistente nesta seção se dará aumentando a região plástica, incorporando mais fibras ao escoamento mantendo as tensões na seção limitada ao valor máximo de 𝑓𝑦. Neste momento a seção encontra-se parcialmente plástica e elástica, e a curvatura na viga tende a aumentar em taxas mais acentuadas que na condição puramente elástica. A medida que P aumenta é possível identificar que as demais fibras da seção se plastificam aumentando a profundidade da zona de escoamento em direção à linha neutra e consequentemente a curvatura da viga aumenta de forma acelerada para pequenos acréscimos de carga. As deformações das fibras tendem a se acentuar para valores na ordem de 1,5 vezes seu tamanho inicial (Beedle, pág 5) e nesse instante admite-se que o elemento apresenta uma deformação incompatível com sua finalidade ou uma condição instável. A carga responsável por essa condição na estrutura analisada é definida como a carga crítica de colapso plástico ou carga última por ser capaz de gerar grandes deformações na estrutura.
3.1.1. Diagrama tensão-deformação do aço e relação momento-curvatura
Uma das principais propriedades do aço que permite o dimensionamento da estrutura a partir da análise elastoplástica é o escoamento das fibras da seção e a manutenção de uma tensão praticamente uniforme durante o regime plástico gerando grandes deformações para pequenos acréscimos de carga.
De uma forma geral o comportamento de aços temperados é dividido em diversas etapas de acordo com o nível de carregamento ao qual a peça é submetida. A relação entre a tensão e a deformação medida nas fibras dos elementos metálicos é tipicamente exemplificada pela imagem abaixo.
14 Figura 2 - Diagrama tensão-deformação do aço; Beedle [2]
A primeira fase do diagrama, referente a zona linear, corresponde ao trecho elástico, no qual as deformações são diretamente proporcionais as tensões aplicadas e a relação entre esses parâmetros é dado pelo módulo de elasticidade do material (E). O trecho apresenta, portanto, um comportamento linear até uma deformação limite de 0,11m/m e pode ser formulado a partir da equação abaixo:
𝜎 = 𝐸𝜖 Equação 1
Onde σ representa a tensão em kgf/cm², E o módulo elasticidade que de acordo com a NBR 8800 pode ser adotado como 200.000kgf/cm² e ϵ a deformação em m/m. A medida que o nível de tensões na seção aumenta até atingir a tensão de escoamento do aço 𝑓𝑦, as fibras iniciam o regime plástico na qual é observada a manutenção da tensão de escoamento e elevadas deformações na fibra. Esse trecho é definido na zona parcialmente horizontal do gráfico quando as deformações estão contidas no intervalo entre 0,10m/m e 1,5m/m aproximadamente. A existência da zona plástica é umas das propriedades que torna viável o dimensionamento de estruturas a partir de uma análise plástica e permite incorporar uma maior resistência aos elementos metálicos.
Por último após o escoamento da fibra observa-se que o aço apresenta um ganho de resistência, sendo admitido um novo trecho na relação constitutiva do material definido como encruamento ou strain-hardening. Nesse trecho o material passa a ter uma nova relação média entre a tensão e a deformação, definido como 𝐸𝑠𝑡, onde o prefixo se refere a strain-hardening. Ao final desta etapa observa-se uma perda de resistência do aço coincidindo com um fenômeno definido como estricção, na qual em ensaios de tração de barras
15 cilíndricas simples, observa-se o encurtamento do diâmetro da barra até a ruptura física do elemento, finalizando o ensaio.
A zona de encruamento do aço corresponde a faixa de maior visibilidade no domínio de deformações de um ensaio tensão-deformação. Em média a deformação atingida pelo aço no momento da ruptura física pode atingir 0,25m/m ou seja, quase 25% o tamanho inicial da fibra. Além disso o módulo de encruamento (𝐸𝑠𝑡,) tem um comportamento muito variável ao longo de toda essa
zona. Pelos motivos citados acima a incorporação do ganho adicional de resistência na fase de encruamento não será considerada nos métodos de análise plástica utilizados neste texto. Sendo assim é recomendável utilizar, para fins de simplificação um diagrama tensão-deformação incorporando apenas a zona elástica linear e a plástica horizontal, conhecido como diagrama elastoplástico perfeito para fins de análise plástica da estrutura. A figura 03 ilustra uma relação simplificada definida anteriormente e que será utilizada como referência no desenvolvimento da analise plástica deste trabalho.
Os conceitos definidos anteriormente entre as tensões aplicadas e as deformações atingidas fornecem uma compreensão da resistência do aço como material estrutural. Para elementos predominantemente fletidos é importante analisar também o efeito da rigidez do elemento estrutural aos momentos fletores aplicados. Nesse caso uma relação entre o momento resistido e a curvatura correspondente para um trecho unitário do elemento fornece uma boa compreensão do comportamento da estrutura.
Um típico exemplo de relação momento-curvatura para uma viga bi-apoiada de seção constante com carga concentrada no seu ponto médio do seu vão central pode ser visto na figura abaixo, incorporando um comportamento elastoplástico perfeito para o aço.
16 Figura 3 - Diagrama Momento-Curvatura; Beelde [2]
Nota-se que, inicialmente, a relação entre o momento aplicado e a curvatura medida é elástica e, portanto, linear com uma inclinação equivalente a rigidez da viga. Essa rigidez pode ser analisada pela combinação da elasticidade do aço e pela geometria da seção o que é equivalente a equação abaixo:
𝑅 = 𝐸𝐼 Equação 2
Onde E representa o módulo de elasticidade do aço e I a inércia da seção em relação ao eixo horizontal que passa pelo centroide da seção. O momento fletor nesta zona pode ser obtido da seguinte relação.
𝑀 = 𝐸𝐼𝜙 Equação 3
No qual M é o momento fletor atuando na seção ao longo do vão em Nm e ϕ a curvatura da viga gerada pela flexão em 𝑚−1. Dada a relação acima, a medida
que o momento fletor aumenta a curvatura segue a mesma proporção até o início do escoamento das fibras extremas da seção central da viga conforme indicado no diagrama. O momento no qual esta configuração é atingida é classificado como 𝑀𝑦, e representa o final do regime elástico da seção.
A partir deste ponto, novos incrementos na carga concentrada geram uma elevação do momento fletor resistido. Para aumentar a capacidade resistente da seção a tensão não mais cresce de forma proporcional às deformações quando ela atinge o valor da tensão de escoamento 𝑓𝑦. Como analisado anteriormente a tensão tende a permanecer constante no valor de 𝑓𝑦 durante o escoamento da
17 fibra. Para aumentar a resistência ao momento atuante as tensões das fibras adjacentes aos bordos mais externos, tendem a escoar sucessivamente em direção a linha neutra e o diagrama de tensões na seção passa a ser dividido em duas zonas uma, uma parcialmente plástica e outra elástica. Durante esta etapa a curvatura da viga tende a aumentar em taxas mais elevadas para cada novo incremento de carga e isso se deve ao início da plastificação das seções centrais da viga exemplificada.
Por esse motivo a inclinação da curva que fornece a relação momento-curvatura da viga diminui sucessivamente, nas condições de contorno fornecidas, e perde-se a linearidade da relação entre esses dois parâmetros tornando invalida a equação 3. A medida que a zona plástica aumenta sua profundidade, se aproximando da linha neutra, a curvatura aumenta consideravelmente em decorrência do aumento das deformações das fibras nas seções centrais da viga e a curva tende a uma inclinação nula assintótica para um determinado valor de momento resistente.
Em uma condição ideal onde toda a seção central da viga plastifica a curvatura aumentaria indefinidamente tendendo ao infinito, pois nesse ponto a tensão em qualquer fibra permaneceria constante e suas deformações se prolongariam em taxas elevadas. Na prática, no entanto, essa condição não ocorre pois seria impossível atingir uma curvatura infinita, fletindo a viga de forma indefinida. Isso implica, na realidade, que a seção central da viga permanece parcialmente plastificada, possuindo uma zona elástica no seu interior. Mesmo nessa condição observa-se que pequenos incrementos na carga P aumentam a curvatura de forma elevada. O momento responsável pela plastificação plena da seção é denominado como momento de plastificação (𝑀𝑝) e embora não possa
ser atingido, observa-se que dependendo da geometria da seção é possível alcançar percentuais elevados do seu valor, conforme será visto no capítulo seguinte.
Nas condições acima, as deformações excessivas, conforme pode-se ver na curva típica que fornece a relação momento-curvatura no seu trecho mais horizontal, comprometem sua funcionalidade e de toda a estrutura, admitindo-se
18 uma condição de colapso no elemento, mesmo sem que a peça tenha atingindo a ruptura da seção.
Figura 4 - Tensões e Deformações em estágios de flexão
Todas as propriedades ilustradas neste tópico mostram de que forma a analise plástica pode ser aplicada visando um dimensionamento mais econômico incorporando o ganho de resistência proporcionado pelo processo de plastificação da seção ao invés de se analisar a estrutura incorporando apenas analise elástica. Outros fatores tornam este método mais prático e preciso conforme será analisado nas seções posteriores.
3.1.2. Plastificação de uma seção retangular
Aplicando os conceitos e comportamentos ilustrados na seção anterior é possível compreender o processo de plastificação de uma seção retangular e definir os principais parâmetros geométricos e físicos que fundamentam a analise plástica de estruturas.
Como analisado anteriormente o momento fletor resistente da seção pode ser fornecido pela equação 3. Uma outra forma de obtê-lo é considerando o
19 equilíbrio dos esforços internos na seção, ou seja, conhecendo a distribuição de tensões ao longo da seção o somatório da força de compressão gerada nas fibras comprimidas deve ser igual ao da força de tração nas fibras opostas. Isso gera um binário em relação ao centroide da seção responsável por resistir ao momento externo aplicado na seção. Essa condição é expressa através da integral abaixo.
𝑀 = ∫ 𝜎. 𝑑𝐴. 𝑦𝐴. Equação 4
Desenvolvendo a equação acima pode-se relacionar o momento fletor resistente a dois parâmetros: a tensão atuante σ e ao módulo resistente da seção (W) em m³. O momento pode ser obtido da seguinte forma:
𝑀 = 𝜎. 𝑊 Equação 5
Essa segunda propriedade relaciona a inércia da seção em relação a distância da fibra mais externa à linha neutra para cada nível de tensão, seja compressão ou tração. Para uma seção retangular o módulo resistente é igual para as duas zonas e pode ser escrito em função de suas propriedades geométricas, conforme abaixo. 𝑊 = 𝐼 ℎ/2= 𝑏ℎ2 6 [𝑚 3] Equação 6
Quando a seção inicia seu processo de plastificação o trecho elástico diminui, dando espaço para uma zona plástica a partir das fibras mais externas. Quando o escoamento atinge todas a fibras da seção, que como visto anteriormente, se trata de uma situação hipotética, o momento resistente é máximo e por definição é denominado como momento de plastificação 𝑀𝑝. Utilizando o equilibro dos esforços na seção é possível determinar uma nova formulação para o momento fletor resistido, da seguinte forma:
𝑀𝑝 = 𝜎𝑦𝑍 Equação 7
No qual Z representa o módulo plástico da seção em m³ e pode ser analisado de forma análoga ao módulo resistente no sentido de ser uma propriedade intrínseca da geometria da seção. Por definição, o módulo plástico pode ser calculado como somatório do momento de primeira ordem da zona comprimida e da zona tracionada, ou seja:
20 𝑍 = 𝐴𝑡𝑦𝑡+ 𝐴𝑐𝑦𝑐 Equação 8 No qual A representa parte da área da seção, y a altura do centroide da área em relação à fibra com deformações nulas durante a plastificação, e os sufixos t e c representam a zona tracionada e comprimida respectivamente. É possível notar desta definição, que a linha divisória do campo de tensões na seção, onde as fibras não são solicitadas, não necessariamente coincide com o centroide da seção, e consequente com a linha neutra. Essa condição se observa quando há alguma assimetria na seção. Observando o fato de que a tensão em uma seção plastificada é uniforme e corresponde a 𝜎𝑦, da condição de equilíbrio de forças
atuando na mesma, chega-se à conclusão que a área comprimida deve ser igual a área tracionada, e, portanto, a linha divisória, sobre a qual são medidos os momentos estáticos de cada zona deve ser a linha que divide a seção em duas áreas iguais. Para seções simétricas, como a seção retangulares, essa condição só é estabelecida pela linha que perpassa o centroide da seção, coincidindo com a linha neutra da mesma.
Para seções em regime de transição entre o limite plástico e elástico a distribuição de tensões é alterada substancialmente e as equações anteriores perdem o domínio de validez para toda a altura da seção. Uma nova equação em função da distribuição observada é deduzida por Beedle [2] da seguinte forma:
𝑀 = 𝜎𝑦𝑊𝑒+ 𝜎𝑦𝑍 − 𝜎𝑦𝑍𝑒 Equação 9 Na qual 𝑊𝑒 representa o módulo resistente da zona que permanece elástica e Z o módulo plástico da seção. Aplicando o princípio da superposição na equação 9, é possível desprezar uma parte do modulo plástico referente a zona elástica, dessa forma é introduzida a variável 𝑍𝑒, equivalente ao modulo plástico do trecho da seção que está no estado elástico. A diferença entre os dois últimos termos da equação 9 representa a contribuição da zona efetivamente plastificada na seção. A equação 9 pode ser reescrita em termos das grandezas atuantes sendo:
𝑀 = 𝜎𝑦𝑊𝑒+ 𝜎𝑦𝑍𝑝 Equação 10 Segundo Beedle a equação 10 pode ser expandida em termos da curvatura gerada pelo momento aplicado da seguinte forma:
21 𝑀 = 𝜎𝑦(𝑍 −
𝑏𝜎𝑦2
3𝐸2𝜙2) Equação 11
No qual dividindo a equação acima pelo momento de início de escoamento da seção gera-se uma relação adimensional conforme abaixo.
𝑀 𝑀𝑦 = 𝑍 𝑊− 𝑏𝜎𝑦2 3𝑊𝐸2𝜙2 Equação 12
Uma curva típica representada pela equação acima é demonstrada na imagem 02. Para um momento elevado onde a curvatura tende a ser expressiva, supondo tendendo ao infinito a segunda parcela da equação 12 tende a ser nula. Tal condição é hipoteticamente atingida quando o momento resistente equivale ao momento de plastificação e é representada pelo trecho parcialmente horizontal da curva momento curvatura. Segundo a equação 12, a relação entre o momento de plastificação e o momento de início de escoamento é dada pela proporção entre os módulos resistente e plástico. Essa variável é definida como fator de forma (f) e representa a capacidade resistente da seção além do regime elástico.
𝑓 =𝑀𝑝
𝑀𝑦 = 𝑍
𝑊 Equação 13
O fator de forma varia essencialmente pela geometria da seção. Para uma seção retangular o valor obtido é de 1,5. Para seções circulares chega-se a 1,7 e para seções em I varia entre 1,10 e 1,18 com uma média em 1,14, segundo Beedle [2]. Tal grandeza, apesar de expressar uma reserva de resistência deve ser bem avaliada em decorrência do aumento expressivo das flechas que a peça passa a absorver após o atingimento do momento de escoamento da seção.
3.1.3. Rótula Plástica, Redistribuição de Momentos e Mecanismos de Ruptura
A plastificação de uma seção não é um fenômeno isolado ao longo de um elemento estrutural por estar diretamente relacionado com os momentos fletores aplicados ao longo do vão. Quando uma seção plastifica inteiramente nota-se que em seções adjacentes uma parte das fibras também plastificam aumentando a abrangência da zona plastifica e influenciado de forma relevante nos deslocamentos obtidos.
22 Toda a zona plastificada ao redor da seção analisada passa a se comportar como uma rótula na qual é mantido um momento aplicado equivalente ao momento de plastificação. Esse fenômeno é definido como rótula plástica, que segundo Beedle [2] é uma zona de escoamento em decorrência da flexão do elemento estrutural e sempre deve ocorrer nos pontos de máximo momento aplicado ao longo do vão. O comprimento de uma rótula plástica se estende desde a seção escoada até os pontos onde o momento aplicado sejam menores que o momento de início de escoamento 𝑀𝑦. A formação de rótulas plástica é
fundamental para a compreensão da analise plástica.
Para uma viga biengastada com carregamento linear aplicado transversalmente em relação ao vão os momentos máximos surgem, inicialmente, nos apoios extremos. Após atingir o momento de plastificação a capacidade resistente da viga se esgota nesses contornos e o momento resistido se mantém igual a 𝑀𝑝. O incremento de resistência é proporcionado pelas demais seções da viga que ainda não plastificaram. O momento fletor resistente tende a se elevar na seção central da viga até o momento que o momento resistente atinge o valor de 𝑀𝑝 na seção central. Nesse momento a viga perde
sua capacidade resistente e suas deformações se elevam em taxas superiores as anteriores, notando-se uma elevada curvatura no elemento.
A capacidade de transmitir os momentos fletores para outras zonas ainda não plastificada da seção é chamada de redistribuição de momentos e representa uma importante característica da analise plástica. A redistribuição permite incrementar a resistência dos elementos estruturais através da formação de diversas rótulas plásticas no elemento ou na estrutura.
Quando um número critico de rótulas se formam de maneira a produzir grandes deformações na estrutura admite-se que os trechos elásticos remanescentes não mais absorvem os esforços externos aplicados. Nesse caso a estrutura atingiu uma configuração instável. A geometria final é definida como um mecanismo e segundo Beedle [2] corresponde a uma configuração onde a capacidade resistente do elemento se extingue.
23
3.1.4. Plastificação de uma seção I
A relação momento curvatura para um elemento de seção I segue as mesmas proposições de uma seção retangular já demonstrada. A diferença reside nas próprias condições de continuidade deste tipo de seção que gera diferentes conjuntos de equação para cada domínio.
Uma primeira análise deve ser feita considerando que a zona plástica está contida dentro da mesa do elemento enquanto a zona elástica contribui com a alma e parte da mesa. Essa situação ocorre tipicamente após se atingir o momento de início de escoamento 𝑀𝑦. A equação representativa dessa condição é expressa abaixo conforme Beedle [2].
𝑀 𝑀𝑦 = 𝜙 𝜙𝑦(1 − 𝑏𝑑2 6𝑆 ) + 𝑏𝑑2 4𝑆 (1 − 1 3 𝜙𝑦 𝜙 2 ) Equação 14
A segunda condição é atendida quando a zona plástica contribui tanto com a mesa como com parte da alma da seção, enquanto a zona elástica fica totalmente confinada na alma.
𝑀 𝑀𝑦 = 𝑓 − 𝑤𝑑2 12𝑆 ( 𝜙𝑦 𝜙) 2 Equação 15
A curva que representa as duas equações segue uma relação muito próxima da curva obtida para uma seção retangular. A tendência, conforme indica a equação 15, quando a curvatura é elevada e o momento de plastificação é atingido na seção a relação entre o momento máximo e o momento de início de escoamento é dada pelo fator de forma. Uma análise do cálculo do fator de forma permite determinar que o valor médio para seções retangulares é de 1,14. Conforme mostra Beedle [2], o valor do fator de forma para seções I é um dos menores se comparados com outros formatos de seção, incluído a retangular. Apesar dessa característica indicar uma menor reserva de resistência, esse tipo de seção tende a apresentar melhores resultado práticos pois tem melhor relação de peso linear e permite atingir percentuais próximos da plastificação sem ser retirado do regime elástico o que favorece na análise de flechas da peça.
24
3.2. Interação do cortante e esforço normal
Toda a analise realizada anteriormente não leva em consideração os efeitos da presença de esforços cortantes ou normais expressivos na estrutura visando a simplificação e uma melhor ordenação dos conceitos da análise plástica. Por definição, quando a plastificação da seção é analisada puramente em decorrência dos momentos aplicados a conceitualização é chamada como
simple plastic theory (Beedle, pág 106).
Esses efeitos, no entanto, geram resultados secundários a serem acrescentados na análise plástica. A principal consequência é a redução do momento de plastificação da seção para uma mesma carga última aplicada sobre a estrutura. Apesar disso, nota-se que as características da rótula plástica são mantidas mesmo com a redução de 𝑀𝑝, o que permite o acréscimo de modificações simples no procedimento de cálculo para determinação da carga última que será explicado no capitulo 4. A seguir são fundamentados os efeitos desses esforços na análise plástica.
3.2.1. Efeito do esforço normal
O esforço axial é predominante na análise e dimensionamento de colunas e bielas de uma edificação. De uma forma geral, esse esforço pode ser desprezado no estudo da análise plástica quando sua intensidade for pequena em relação aos níveis de momentos fletores suportados pela estrutura. Essa condição é válida para edificações de pequena elevação em condições mais usuais de carregamento. No entanto para edifícios de múltiplos pavimentos, no qual os valores de carga axial suportados aumentam consideravelmente nos pilares a medida que se aproxima dos seus pontos de fundação torna-se necessário incorporar esses efeitos na análise.
O efeito da presença de um esforço axial é melhor analisado na distribuição de tensões nas fibras de uma seção genérica. Conforme visto em 3.1.1 a distribuição de tensões provocadas pelo momento fletor puro é diretamente proporcional às deformações, sendo nula no centroide da seção e máxima nas fibras mais externas, criando duas zonas, uma de compressão e outra de tração, que no caso de seções simétricas em relação a linha neutra apresentam a
25 mesma área de atuação. A presença do esforço axial, no entanto, altera a distribuição de tensões pois força a tensão de escoamento 𝑓𝑦 a ser atingida primeiramente nas fibras comprimidas para depois se propagar na zona tracionada. Como consequência a distribuição de tensão é alterada em relação a existente apenas pelo momento puro pela simples superposição dos efeitos.
Em seções simétricas a área que abrange a zona comprimida fica diferente da área da zona tracionada. Isso permite dividir a distribuição em duas partes: uma provocada pela flexão pura e outra provocada pelo esforço axial. Conforme imagem abaixo:
Figura 5 - Distribuição de tensão na presença de esforços axiais de compressão (Beedle, pág108) O momento que plastifica a seção (𝑀𝑝𝑐) pode ser determinado pela seguinte
relação a partir da distribuição de tensão da imagem acima para o caso em que a linha neutra esteja na alma da peça:
𝑀𝑝𝑐 = 𝜎𝑦(𝑍 − 𝑤𝑦02) Equação 16 Na qual w é a espessura da alma e 𝑦0a distância entre o centroide da seção
e a linha neutra da distribuição de tensões combinadas. A equação proposta pode ser dividida em duas parcelas, a primeira composta pelo módulo plástico da seção (Z) corresponde ao momento de plastificação 𝑀𝑝 da seção. A segunda parcela corresponde ao efeito da presença da força axial e sua contribuição é dada diminuindo o momento de plastificação. É possível se obter uma relação adimensional entre a força axial aplicada e o momento de plastificação necessário para forma a rótula plástica. Conforme pode-se ver no esquema “b” da figura Figura 5 a força de compressão pode ser calculada como:
26 Substituindo a equação acima na equação 16, encaixando na parcela referente a força axial e dividindo-se as equações por 𝑀𝑝 = 𝜎𝑦𝑍 obtemos a seguinte relação quando a linha neutra está na alma da viga:
𝑀𝑝𝑐 𝑀𝑝 = 1 − 𝐴2 4𝑤𝑍
(
𝑃 𝑃𝑦)
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑃 𝑃𝑦 < 𝑤(𝑑−2𝑡) 𝐴 Equação 18Na qual A é a área da seção e 𝑃𝑦 a força que escoa a seção de forma isolada,
sendo:
𝑃𝑦 = 𝜎𝑦𝐴 Equação 19
Quando a linha neutra atinge a mesa da seção uma relação similar pode ser obtida, conforme demonstra Beedle[2]. As equações que representam a força axial aplicada (P) e o momento de plastificação da seção com carga normal aplicada (𝑀𝑝𝑐) são: 𝑃 = 𝜎𝑦[𝐴 − 𝑏(𝑑 − 2𝑦0)] Equação 20 𝑀𝑝𝑐 = 𝜎𝑦 2
[
𝑑(
𝐴 − 𝑃 𝜎𝑦)
− 1 2𝑏(
𝐴 − 𝑃 𝜎𝑦)
2]
𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝜎𝑦𝑤(
𝑑 − 2𝑡)
< 𝑃 < 𝑃𝑦) Equação 21No qual d é a altura da seção, b a largura e t a espessura da mesa. Dividindo-se a equação de 𝑀𝑝𝑐 pelo momento de plastificação puro obtemos a seguinte relação adimensional: 𝑀𝑝𝑐 𝑀𝑝 = 𝐴 2𝑑
[
𝑑(
1 − 𝑃 𝑃𝑦)
− 𝐴 2𝑏(
1 − 𝑃 𝑃𝑦)
2]
𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝑤(𝑑−2𝑡) 𝐴 < 𝑃 𝑃𝑦 < 1) Equação 22O resultado pode ser analisado graficamente pela figura abaixo para todo o domínio descrito nas equações 18 e 22.
27 Figura 6 - Curva típica para seções I ao longo de todo o domínio de interação momento-força axial.
Beedle[2]
Conforme pode-se notar pelo gráfico acima quando a força axial atinge o valor de 𝑃𝑦 o momento necessário para plastificar a seção é nulo e a peça escoa em decorrência do esforço normal sem criar uma rótula plástica. A medida que o esforço axial diminui o momento de plastificação vai ganhando relevância e quando a relação entre 𝑃 𝑃⁄ 𝑦 < 15% o esforço axial pode ser negligenciado para a grande maioria dos perfis I com uma boa precisão, segundo Beedle, pág 111. Ainda segundo o autor uma curva aproximada pode ser utilizada para qualquer seção I levando em consideração todos os pontos discutidos anteriormente.
Figura 7 - Curva aproximada para qualquer seção I. Beedle [2]
Conforme indica a figura, o efeito do esforço axial pode ser omitido quando seu valor é inferior a 15% da resistência ao escoamento da seção. Para as demais faixas do domínio de aplicação da força, pode ser dada pela reta representada pela equação abaixo transcrita do gráfico e obtida como uma média a partir de vários tipos de seções.
28
𝑀𝑝𝑐
𝑀𝑝 = 1,18
(
1 − 𝑃𝑃𝑦
)
Equação 23O efeito da redução do momento de plastificação pode se atestado experimentalmente conforme mostrou Beedle, pág 110 em um ensaio com uma coluna sujeita a uma carga excêntrica na sua seção. O resultado é mostrado na figura abaixo na qual a reta superior listrada representa a curva teórica a ser obtida sem a existência de um esforço axial e a reta inferior listrada representa o valor teórico obtido para a o momento de plastificação na condição do ensaio. A curva sólida representa o resultado real do ensaio.
Figura 8 - Ensaio de coluna com carga axial excêntrica aplicada. Beedle [2]
Como pode-se notar, há uma precisão satisfatória entre o momento de plastificação calculado e o obtido experimentalmente. Pode-se notar que um esforço axial correspondente a 55% de 𝑃𝑦 é suficiente para causar uma redução de 40% na resistência à flexão do elemento, perdendo-se boa parte da capacidade resistente da coluna. Outra consideração relevante é observar que após o início da plastificação da seção, a perda de rigidez do elemento é acentuada e as deformações aumentam em taxas elevadas para pequenos acréscimos de carga. Esse é exatamente o comportamento físico de uma rótula plástica e demonstra como essa característica é mantida mesmo com a redução na intensidade de 𝑀𝑝.
29
3.2.2. Efeito do esforço cortante
O efeito do esforço cortante sobre o momento de plastificação é similar ao do esforço axial no sentido de diminuir o momento resistente da peça, porém com mecanismos distintos.
Elementos com elevadas cargas, principalmente concentradas, aplicadas sobre pequenos vãos ou próximos aos apoios tendem a resistir cortantes de elevada intensidade e que nesse caso determinam o processo de plastificação antes mesmo do efeito gerado pela flexão, causando grandes deformações antecipadamente (Beedle).
Analisando uma viga em balanço com uma carga concentrada no seu extremo livre podemos analisar o efeito combinado dos esforços sabendo que a distribuição de momentos é linear com valor máximo no engaste e zero na extremidade livre, enquanto o cortante é constante ao longo de toda a viga. Utilizando duas seções ao longo do elemento como referência, uma entre a extremidade livre e a metade do vão definida como seção A, e a outra próxima ao engaste definida como seção C, pode-se avaliar a superposição dos esforços. Caso o vão seja pequeno e a carga tenha valor elevado o cortante será determinante no dimensionamento. Observando as seções nota-se inicialmente pelo comportamento elástico uma distribuição parabólica de tensões ao longo da altura do elemento, principalmente na seção A. Para vigas I, a transição entre a mesa e a alma provoca um elevado acréscimo de tensão na alma, que se torna o elemento da peça determinante na resistência a esse esforço. Com o aumento do cortante nota-se que a plastificação tende a surgir primeiramente na alma e o processo se estende até as mesas.
Caso a relação entre carga aplicada e o vão diminua, o momento fletor ganha relevância e inicia o processo de plastificação da seção imposta sobre o engaste. A rótula se estende para seções adjacentes a partir da plastificação das mesas e parte da alma na seção C, criando um núcleo elástico no interior da seção. Por hipótese a seção A está suficientemente distante do engaste para sofrer plastificação em qualquer parte por ação do momento resistido. Nesse caso, em C, o núcleo elástico presente na alma é responsável por resistir ao esforço cortante aplicado a partir de uma distribuição de tensão parabólica. Assim, como
30 na seção C há menos área, ainda elástica, para resistir ao cortante, a tensão máxima atuando atinge primeiramente o seu valor de escoamento no centro da parábola e em seguida se propaga para as demais fibras ainda elásticas, somando a zona plastificada às fibras escoadas pelo momento fletor. Isso gera a plastificação da seção com valores menores de momento, reduzindo 𝑀𝑝.
Portanto, dependendo da relação entre a intensidade da carga aplicada e o vão superado, a seção pode plastificar em decorrência da distribuição de tensão apenas do momento fletor ou do cortante, nesse último caso representado pela seção A, ou pela atuação conjunta dos esforços, conforme visto para a seção C. Um exemplo das hipóteses listadas acima é ilustrado na imagem abaixo para as seções propostas.
Figura 9 - Analise de viga em balanço e combinação de fletor-cortante na plastificação da seção. Beedel [2]
Uma forma de se avaliar a interação entre o momento e o cortante na redução do momento de plastificação é obter uma relação adimensional entre os efeitos, conforme foi feito para outras analises.
O processo de plastificação de uma seção com cortante relevante se dá tanto pelo escoamento das mesas, pela flexão, como pelo escoamento da região central da alma, pelo cortante, conforme já analisado previamente. Dada a distribuição parabólica de tensões ao longo alma a tensão máxima cisalhante é obtida por ser aproximadamente 1,5 vezes a tensão média provocada pelo cortante na alma. Essa consideração pode escrita da seguinte forma:
31
𝜏𝑦 = 1,5𝜏𝑚 = 1,5 𝑉
2𝑤𝑦0 Equação 24
Na qual V é o esforço cortante resistido, w a espessura da alma e 𝑦0 a distância entre o centro da seção e a fibra mais externa ainda elástica, ou seja, compreende o trecho da alma não plastificado. O valor da tensão cisalhante de escoamento pode ser relacionado com 𝑓𝑦 sabendo que esta última equivale a aproximadamente a √3 = 1,372 de 𝜏𝑦
. Usando com referência a viga em balanço
da figura 10 a relação entre o momento e o cortante é a própria distância da seção ao ponto de aplicação da carga, figura representada pela letra “a”. Substituindo essas duas considerações na equação 24 podemos obter uma relação entre o momento responsável pelo escoamento de parte da seção no mesmo instante que o cortante inicia a plastificação das fibras centrais da alma., neste texto definido como 𝑀𝑝𝑠. Tal relação é formulada conforme abaixo:
𝑓𝑦
√3 = 0,75 𝑀𝑝𝑠
𝑎𝑤𝑦0 Equação 25
Sabendo que o momento fletor é responsável por plastificar apenas as fibras mais externas da seção, permanecendo as fibras internas elásticas e responsáveis por resistir ao cortante, o mesmo pode ser determinado conforme demonstrado pela equação 09. Dessa forma o momento atuante durante essa condição é representado como:
𝑀𝑝𝑠 = 𝑀𝑝 − 𝜎𝑦𝑤𝑦0
2
3 Equação 26
Substituindo a equação acima na equação anterior e dividindo todos os termos por 𝑀𝑝 = 𝜎𝑦𝑍 temos:
9𝑍 16𝑎2𝑤( 𝑀𝑝𝑠 𝑀𝑝) 2 + 𝑀𝑝𝑠 𝑀𝑝 − 1 = 0 Equação 27
A equação acima representa uma condição geral para qualquer tipo de seção para uma viga I em balanço com carga concentrada aplicada no seu extremo. Para a resolução da equação acima Beedle, pág 116 propõe uma simplificação para o coeficiente que multiplica a variável quadrática. Assim é possível obter uma solução simplificada conforme abaixo:
32 𝑀𝑝𝑠 𝑀𝑝 = −1+√1+4𝐶(𝑑 𝑎⁄ )2 2𝐶(𝑑 𝑎⁄ )2
Equação 28
Tal solução relaciona de forma adimensional a redução do momento de plastificação com a esbeltes da viga em relação ao eu vão (a/d). C é uma constante que depende da relação entre a área total da seção e a área da alma, sendo:
𝐶 = 9
16( 𝐴
2𝑤𝑑− 0,25) Equação 29
Beedle, pág 115, fornece uma solução gráfica que relaciona diversos tipos de seções aplicados a equação 28. O comportamento das curvas é demonstrado conforme abaixo.
Figura 10 - Curvas de influência do esforço cortante
As tendências das curvas mostram que a medida que a relação entre o vão ou a distância entre o apoio e o ponto de aplicação das cargas externas, e a altura da viga aumentam, ou seja, o momento tem maior relevância, pode-se desprezar o efeito na redução do momento de plastificação da seção. A figura também mostra, através de pontos de descontinuidades nas curvas, que a medida que essa relação diminui o cortante passa a ser determinante a ponto de
33 a viga escoar inteiramente na alma pela ação das tensões cisalhantes ao invés do momento atuante.
Beedle [2], no entanto, demonstra que ao se analisar curvas de ensaios reais para a determinação do momento de plastificação em algumas estruturas com seções I, elas desenvolveram um momento resistente similar ao momento de plastificação, até a observação de deformações muito acentuadas. Esse resultado é demonstrado, ainda na figura anterior, pelas barras verticais que representam a razão entre o momento obtido no ensaio e 𝑀𝑝 para diversas
condições de carregamento onde a interação cortante-fletor é relevante exemplificadas nos quadros junto com o diagrama momento-curvatura correspondente.
Esses resultados são justificados pelo processo de strain-hardening das fibras escoadas em seções onde a presença de elevados momentos coincide com elevados cortantes, gerando um grande gradiente no diagrama de momentos fletores. O encruamento das fibras permite que o momento de plastificação se desenvolva inteiramente em outras seções da viga onde essa condição combinada dos dois esforços não coexistam. Isso permite o funcionamento mais próximo de uma rótula plástica nessas seções do que naquelas primeiramente solicitadas.
Como exemplo podemos notar no gráfico abaixo, que representa o diagrama carga-deformação de um ensaio para uma viga bi-apoiada com cargas concentradas aplicadas próximas dos seus apoios. A curva listrada com maior patamar representa o resultado teórico para um ensaio apenas com momento aplicado. A curva em linha sólida representa o resultado do ensaio.
34 Figura 11 - Ensaio de viga bi apoiada com cargas concentradas próximos aos apoios. Beedle[2] Nota-se que a perda de rigidez da estrutura é prematura em relação ao resultado teórico em decorrência da interação do momento com o esforço cortante, porém nota-se pelo abatimento da curva, que o comportamento não é representativo de uma rótula plástica pois ainda há capacidade resistente pela viga com o encruamento das fibras e pela capacidade plástica das seções centrais da viga. A medida que a carga aumenta, até se aproximar da carga crítica, onde é formado um mecanismo, a inclinação da curva se torna ainda menor, e as deformações são bastante acentuadas.
Conforme analisa Beedle, pág 118, a aplicação das equações propostas anteriormente, para se obter a redução da capacidade da estrutura de desenvolver plenamente o momento de plastificação é muito conservadora. Portanto é aconselhável analisar a interação entre momento e cortante apenas quando o cortante tem capacidade suficiente de escoar a alma dos elementos desprezando seu efeito na redução de 𝑀𝑝.
35
4. MÉTODOS DE ANALISE PLÁSTICA DE ESTRUTURAS
É possível se calcular facilmente o colapso plástico com o conhecimento do mecanismo de ruptura, porém, poucas estruturas possuem somente um mecanismo possível, portanto há a necessidade de teoremas que possibilitam a seleção do verdadeiro mecanismo de colapso entre as várias possibilidades. A hipótese básica feita é que uma rótula plástica se forma em qualquer membro que atingir o valor de momento, 𝑀𝑃 considerado uma constante.
O colapso plástico ocorre quando um número suficiente de rótulas plásticas foi atingido para que a estrutura se transforme em um mecanismo. As deflexões nestas rótulas podem aumentar enquanto os momentos fletores permanecem constantes, em seu valor plástico. Os teoremas apresentados a seguir possibilitam a determinação de qual o mecanismo responsável pelo colapso plástico de uma estrutura
Para esta fundamentação não está sendo considerada a redução do momento de plastificação gerada pela presença de esforços axiais e cortantes expressivos, conforme pode foi analisado no capitulo 3.2 deste trabalho. Tal condição é definida como simple plastic theory.
4.1. Teorema Estático
No geral, existem várias distribuições de momento em um pórtico hiperestático para os quais todas as equações de equilíbrio estático sejam obedecidas, quando este encontra-se submetido a um conjunto de carregamentos externos. Greenberg e Prager nomearam este tipo de distribuição de momento fletor como estaticamente admissível. Além disso, caso nenhum dos momentos atuantes na estrutura supere o momento plástico, diz-se que esta estrutura é segura. Para que um pórtico seja capaz de suportar uma distribuição de cargas, deve haver ao menos uma distribuição de momentos fletores que seja tanto segura quanto estaticamente admissível. O teorema estático diz que esta condição é suficiente para a garantia de que o pórtico possa suportar estas cargas.
Supondo que uma estrutura esteja submetida a uma série de cargas fixas sendo 𝜆𝑃1, 𝜆𝑃1, … . 𝜆𝑃𝑛, valores fixos, λ um valor de fator de carga variável e 𝜆𝑐 o
36
fator de carga que causa o colapso plástico. Desta forma, o teorema pode ser enunciado como: Se há uma distribuição de momentos fletores em uma estrutura
que seja tanto segura quanto estaticamente determinada, para um conjunto de
cargas 𝜆𝑃1, 𝜆𝑃1, … . 𝜆𝑃𝑛 o valor de λ deve ser menor ou igual a 𝜆𝑐.
4.2. Teorema Cinemático
Ao se conhecer qual o mecanismo de ruptura de uma estrutura submetida a um certo carregamento, pode-se obter o fator de carga de colapso se igualando o trabalho realizado pelas cargas e o trabalho absorvido pelas rótulas plásticas.
Caso o mecanismo de ruptura não seja conhecido, uma equação desse tipo pode ser desenvolvida para cada mecanismo. Então, encontra-se um valor de λ correspondente a cada possível mecanismo. O teorema cinemático se refere a estes valores e pode ser enunciado como: Para uma certa estrutura
submetida a um conjunto de cargas 𝜆𝑃1, 𝜆𝑃1, … . 𝜆𝑃𝑛 o valor de λ que corresponde a um mecanismo deve ser igual ou superior ao fator de carga de colapso 𝜆𝑐.
4.3. Teorema da Unicidade
O teorema estático dita que para qualquer valor de λ superior a 𝜆𝑐não há distribuição de momentos que seja segura e estaticamente admissível. O teorema cinemático, por sua vez, dita que não há mecanismo cujo fator de carga seja inferior ao fator de carga de colapso 𝜆𝑐. Combinando estes dois teoremas, obtém-se o teorema da singularidade, que diz que para uma certa estrutura submetida a um conjunto de cargas 𝜆𝑃1, 𝜆𝑃1, … . 𝜆𝑃𝑛 se há pelo menos uma distribuição de momentos segura e estaticamente admissível na qual o momento plástico ocorre em seções suficientes para causar um mecanismo, então o fator de carga correspondente λ é o fator de carga de colapso 𝜆𝑐.
4.4. Analise de pórtico com cargas distribuídas
Caso um pórtico seja submetido a uma carga uniformemente distribuída, a distribuição de momentos fletores é parabólica, com momentos plásticos podendo ocorrer em qualquer seção. Caso o mecanismo de colapso correto
37 envolva uma rótula plástica em posição de momento fletor máximo, a localização desta rótula deve ser determinada, o que gera em alguns casos, um cálculo mais trabalhoso, apesar de técnicas de limites superiores e inferiores através dos teoremas apresentados nesta seção gerarem aproximações adequadas.
Caso um membro esteja submetido a um carregamento uniformemente distribuído, deve-se obter o valor máximo deste momento neste membro. A figura abaixo mostra um membro de uma estrutura de comprimento L submetido a uma carga total P = p*L, sendo esta uniformemente distribuída.
Figura 12 - Diagrama de momentos de peças transversalmente carregada
Supõe-se que os valores de momento 𝑀𝑐, 𝑀𝑙 e 𝑀𝑟 sejam conhecidos, com C sendo o centro do membro, e L e R sendo suas extremidades direita e esquerda. Para este caso, o valor de momento máximo ocorre na posição que pode ser descrita por 𝑥0,, 𝑦0, ou 𝑧0 dependendo do referencial. As seguintes equações são obtidas através de estática elementar:
𝑥0 = 4𝑀𝑐−3𝑀𝑙−𝑀𝑟 𝑊 Equação 30 𝑦0 = 𝑀𝑟−𝑀𝑙 𝑊 Equação 31 𝑧0 = 4𝑀𝑐−𝑀𝑙−3𝑀𝑟 𝑊 Equação 32 𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝐿+𝑃𝑥02 2𝐿 = 𝑀𝑐+ 𝑃𝑦02 2𝐿 = 𝑀𝑅 + 𝑃𝑧02 2𝐿 Equação 33
38
4.5. Colapso Plástico
Caso uma estrutura com r graus de hiperestaticidade sofra colapso plástico com a presença de (r+1) rótulas plásticas, com um grau de liberdade, diz-se que esta estrutura sofreu colapso completo. Isto nem sempre ocorre, podendo este colapso ser parcial ou supercompleto.
No caso do colapso supercompleto, dois ou mais mecanismos diferentes ocorrem à mesma carga, o que significa que haverão mais que (r+1) rótulas plásticas. Já no caso do colapso parcial, as rótulas plásticas formadas não tornam todo o pórtico estaticamente determinado, havendo diferentes combinação de momentos fora da área de ruptura para a qual o mecanismo ocorra. Este mecanismo ainda é valido, desde que seja encontrada uma combinação de momentos qualquer que torne este mecanismo seguro
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5. MÉTODOS DE VALIDAÇÃO DO MECANISMO (MOMENT CHECK)
Para se encontrar a carga de colapso plástico, diferentes métodos foram desenvolvidos. Dentre eles, destacam-se o método de tentativa e erro, e o método da combinação de mecanismos. O primeiro método é utilizado quando, a partir de experiência prévia já se conhece qual o tipo de mecanismo para o qual o colapso plástico ocorre em uma estrutura.
Este método consiste na verificação de que é possível encontrar uma distribuição de momentos fletores estaticamente determinada e segura para o mecanismo de colapso admitido. Quando o mecanismo de colapso não é conhecido, o método de combinação de mecanismos é mais apropriado. O mesmo consiste na análise de uma série de mecanismos combinados formados a partir de mecanismos independentes. Ao se encontrar um mecanismo que se imagine ser o de colapso, procede-se de forma similar ao método da tentativa e erro.
5.1. Método da tentativa e erro
O método da tentativa e erro é apresentado a partir de sua aplicação em um pórtico de telhado inclinado conforme visto na figura abaixo. Este pórtico está sobre efeito de cargas distribuídas, que para efeito de conveniência encontram-se repreencontram-sentadas por suas resultantes, agindo no centro de cada membro do pórtico, e deve possuir um fator de carga de colapso de 1,6.
40 Visto que o método consiste na verificação estática do mecanismo considerado, deve-se incialmente obter as equações de equilíbrio, utilizando-se o método dos deslocamentos virtuais. Este pórtico possui 3 graus de hiperestaticidade e 9 posições de possíveis rótulas, o que resultam em 6 equações de equilíbrio relacionando os 9 momentos fletores desconhecidos. 4 das equações são obtidas a partir dos mecanismos de viga, conforme visto no item (b) da imagem, enquanto uma se refere ao mecanismo de deslizamento (c), e outra ao mecanismo de deslizamento (d).
Ao se analisar estes diferentes mecanismos, igualando o trabalho realizado pelos carregamentos ao trabalho absorvido pelas rótulas plásticas, chega-se às seguintes equações:
Equação 34 32,5𝜆 = −𝑀1+ 𝑀2− 𝑀3 30𝜆 = −𝑀3+ 2𝑀4− 𝑀5 45𝜆 = −𝑀5+ 2𝑀6− 𝑀7 1,25𝜆 = −𝑀7+ 2𝑀8− 𝑀9 52,5𝜆 = −𝑀1+ 𝑀3− 𝑀7+ 𝑀9 152𝜆 = −𝑀3+ 2𝑀5 − 1,8𝑀7+ 0,8𝑀9
Os cálculos são efetuados considerando um valor fixo de 𝑀𝑝 e atuando como se 𝜆𝑐 fosse o valor a ser encontrado, efetuando-se as correções necessárias nestes valores posteriormente, através de uma relação de proporção. É sabido que para este tipo de pórtico, a ruptura se dá devido ao mecanismo do tipo (d), sendo somente necessário o ajuste da posição das rótulas plásticas no meio dos membros. Assim, para que haja colapso plástico por este mecanismo, deve-se ter:
𝑀3 = −40 ; 𝑀5 = +40; 𝑀7 = −40 𝑒 𝑀9= +40
Substituindo estes valores nas equações de equilíbrio, encontra-se que: 𝜆 = 1,474; 𝑀1 = −34,7; 𝑀2 = −14,7; 𝑀4 = +22,1; 𝑀6 = +33,2 𝑒 𝑀8 = +0,9
41 Nenhum destes momentos excede o valor de 𝑀𝑝, portanto este é de fato o mecanismo de colapso plástico. Contudo, devido à carga ser distribuída, é possível que um dos membros possua um valor de momento máximo superior ao momento plástico, o que significa que a posição de uma ou mais rótulas plásticas encontra-se equivocada. Isto de fato ocorre neste pórtico, pois há um momento fletor máximo de 45,2 no banzo direito do mesmo, como visto na figura abaixo. Assim, realiza-se uma nova análise, com uma rótula plástica neste ponto, chamado agora de 10.
Figura 14 - Diagrama de momentos fletores do pórtico
Com esta mudança de posição na rótula plástica, é necessária a alteração da equação de equilíbrio da viga relacionada ao telhado direito. Assim, com a mudança de ângulos tem-se a seguinte equação:
17,85𝜆 = −𝑀5+ 1,25𝑀10− 0,25𝑀7
A partir destes cálculos, encontra-se que os momentos do novo mecanismo são:
𝑀3 = −40; 𝑀10= +40; 𝑀7 = −40; 𝑀9 = +40; 𝜆 = 1,404; 𝑀1 = −33,7; 𝑀2 = −14,1; 𝑀4 = +18,4; 𝑀5 = +34,7; 𝑀6 = +29; 𝑀8 = +0,9 Como se que um valor de 𝜆𝑐 = 1,6:
𝑀𝑝 = 40 1,6
