Tese de Doutorado
Implementação Numérica da Teoria
Quântica de Circuitos
por
José Jaédson Barros da Silva
São Cristóvão - SE
Julho - 2019
IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DA TEORIA QUÂNTICA
DE CIRCUITOS
Tese apresentada ao Núcleo de Pós-Graduação em Física da Universidade Fe-deral de Sergipe como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor em Fí-sica.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Assis Gois de Almeida.
São Cristóvão - SE
Julho - 2019
também. Enfim, serei eternamente grato ao professor Francisco Assis. Quero agradecer ao pro-fessor Gerson Cortês que também contribuiu bastante para o meu desenvolvimento acadêmico durante as disciplinas na graduação e também no meu mestrado e doutorado em que sempre disponibilizou seu tempo para discutirmos assuntos relacionados à minha pesquisa. Aos meus pais Antônio e Valdice por me apoiarem incondicionalmente em todos os momentos da minha vida. Ao meu irmão Joéliton e aos meus amigos Jailsson e Jaelsson, no momento também es-tudantes de pós-graduação em física, pelos quase oito anos em que dividimos o mesmo espaço, formamos uma forte parceria acadêmica e, praticamente, nos tornamos quatro irmãos. Ao meu amigo e colega de doutorado Eduardo Henrique com quem aprendi bastante durante todo esse tempo. A todos meus colegas de pós-graduação. A todos meus alunos da turma de física II que lecionei na UFS nos períodos 2016/2 e 2017/1, afinal ensinando também se aprende. Agradeço a todos os professores e técnicos do departamento de física da UFS que de alguma forma con-tribuíram para a minha formação ao longo da minha vida acadêmica. A todos meus amigos que contribuíram direta ou indiretamente para que eu conseguisse chegar a um doutorado em física. Por fim, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro.
da condutância. Desde então, o transporte eletrônico coerente em sistemas mesoscópicos tem atraído o interesse de vários físicos experimentais e teóricos. Nesta tese desenvolvemos um método numérico, baseado no método iterativo de Newton, para calcular a pseudocorrente da teoria quântica de circuitos. A partir da pseudocorrente determinamos os observáveis de trans-porte, como condutância e potência do ruído de disparo, em uma rede linear e em um anel de pontos quânticos. Com o intuito de mostrar a eficácia do método numérico, quando possível comparamos nossos resultados com previsões analíticas da literatura e com simulações via te-oria de matrizes aleatórias. Em todos os casos os resultados numéricos mostraram excelente concordância com as previsões analíticas e com a simulação. Determinamos também os ob-serváveis de transporte para situações em que o método analítico não consegue abordar, como uma rede linear de pontos quânticos com as transparências das barreiras aleatórias e um anel de pontos quânticos com todas as transparências das barreiras independentes. Calculamos o tempo médio de processamento do algoritmo para uma rede linear de L pontos quânticos e mostramos que este tempo escala com L. Portanto, o algoritmo possui uma excelente eficiência. Também aplicamos o método numérico para calcular a densidade de modos ressonantes de Fabry-Perot em redes de pontos quânticos que, de acordo com a literatura, pode ser identificada como um tipo de parâmetro de ordem em uma teoria de transição de fase quântica de segunda ordem. Ao comparar estes resultados numéricos com previsões analíticas e simulação de teoria de matrizes aleatórias, novamente o método numérico mostrou excelente concordância. Para determinados valores de transparência das barreiras, os modos ressonantes de Fabry-Perot são suprimidos. Calculamos as propriedades críticas desta supressão em uma rede linear e em um anel de pon-tos quânticos. Em todos os casos o expoente crítico obtido foi 1/2, portanto trata-se de um comportamento universal. Mostramos que para determinados valores de transparência das bar-reiras, em uma rede linear com L ≥ 2 e em um anel de pontos quânticos, surge uma nova linha de transição delimitando a região dos modos ressonantes de Fabry-Perot e a região em que há supressão destes modos. Para o anel de pontos quânticos, mostramos também que as linhas de transição tornam-se assimétricas para determinados valores das transparências das barreiras.
Since then, coherent electronic transport in mesoscopic systems has attracted the interest of va-rious experimental and theoretical physicists. In this thesis we developed a numerical method, based on Newton’s iterative method, to calculate pseudocurrent of quantum circuit theory. From the pseudoccurent we determine the observables of transport, as conductance and shot noise power, in a linear network and in a ring of quantum dots. In order to show the effectiveness of the numerical method, when possible we compare our results with analytical predictions from the literature and with simulations of random matrices theory. In all cases the numerical results showed excellent agreement with the analytical predictions and with the simulation. We also determine the transport observables for situations in which the analytical method can not ap-proach such as a linear network of quantum dots with the transparencies of the barriers random and a ring of quantum dots with all the transparencies of the barriers independent. We calculate the average processing time of the algorithm for a linear network of L quantum dots and we show that it scales with L. Therefore, the algorithm has excellent efficiency. We also apply the numerical method to calculate the density of Fabry-Perot resonant modes in quantum dots networks which, according to the literature, can be identified as a kind of order parameter in a second-order quantum phase transition theory. When comparing these numerical results with analytical predictions and simulation of random matrices theory, again the numerical method showed excellent agreement. For certain barrier transparency values, Fabry-Perot resonant mo-des are suppressed. We calculate the critical properties of this suppression in a linear network and a ring of quantum dots. In all cases the critical exponent obtained was 1/2, therefore it is a universal behavior. We show that for certain values of barrier transparency, in a linear network with L ≥ 2 quantum dots and in a ring of quantum dots, arises a new transition line delimiting the region of the Fabry-Perot resonant modes and the region in which these modes are suppres-sed. For the quantum dots ring, we also show that the transition lines become asymmetric for certain barrier transparency values.
Keywords: Quantum circuit theory, numerical approach, physics of coherent electronic trans-port, quantum dot, counting statistics of charge, Fabry-Perot resonant modes.
provém do fio à esquerda é dividido em diversos feixes que seguem trajetórias distintas através das paredes do cilindro e depois recombinam-se no fio à direita. Um campo magnético B é aplicado paralelamente ao eixo do cilindro. Figura adaptada da ref. [16]. . . 22
1.3 A resistência do cilindro metálico construído por D. Sharvin e V. Sharvin
os-cila como função de um campo magnético aplicado paralelamente ao eixo do cilindro. Figura retirada da ref. [15] . . . 22
1.4 (a) Oscilações na resistência do anel de ouro, fabricado por Webb, em função
do campo magnético aplicado transversalmente ao plano do anel e (b) Espectro
de potência de Fourier das oscilações mostrando um pico maior em 2Φ0 = ~/e.
A inserção é uma fotografia do anel usado no experimento. Este anel possui um diâmetro de 784 nm e é feito por um fio de ouro de 41 nm de espessura. Um feixe de elétrons vindo do fio ligado à parte superior do anel divide-se em dois feixes que passam através dos braços do anel e recombinam-se no fio ligado à parte inferior para produzir interferência. Um campo magnético é aplicado
transversalmente ao plano formado pelo anel. Figura retirada da ref. [11]. . . . 23
1.5 (a) Magnetoresistência de um fio quântico com diferentes espessuras e
tempe-raturas. Em todos os casos a assinatura de localização fraca é observada no pico de resistência quando o campo magnético aplicado é nulo. Figura retirada da ref. [4]. (b) Pico de resistência a campo nulo mostrando a presença de localiza-ção fraca em uma cavidade caótica em forma de bilhar. Figura retirada da ref. [3] e (c) Magnetocondutância como função do campo magnético externo em uma constrição. O vale na magnetocondutância a campo nulo indica a presença de localização fraca. Figura retirada da ref. [2] . . . 24
de oscilação, em ambos os casos, à medida que a temperatura diminui. Figura retirada da ref. [5]. . . 26
1.7 Comparação entre a estrutura das flutuações na magnetorresistência do
expe-rimento com o fio de Au60Pd40 da fig. 1.6(b) e a estrutura das flutuações na magnetorresistência simulada para o mesmo fio. Nota-se uma semelhança entre as estruturas teórica e experimental. Figura retirada da ref. [24]. . . 26
1.8 Flutuações universais de condutância em um fio de ouro com 310 nm de
com-primento e 25 nm de espessura mantido a uma temperatura T = 0, 01 K. Figura retirada da ref. [19]. . . 27
1.9 Condutância do PCQ em função da voltagem repulsiva aplicada aos eletrodos.
Nota-se que a condutância varia em função da voltagem repulsiva em forma de
degraus com altura 2e2/h. A inserção é uma fotografia de um PCQ semelhante
ao usado no experimento, onde a parte mais escura na figura é o gás de elétrons bidimensional e a parte clara são os eletrodos. Figura retirada da ref. [9]. . . 28 1.10 À direita uma micrografia de um ponto quântico em um 2DEG na interface
da heteroestrutura semicondutora de GaAs-AlGaAs. Um potencial é aplicado a dois eletrodos (região clara da figura) repelindo os elétrons do 2DEG e confinando-os em uma região pequena formando o ponto quântico (região central escura) ao mesmo tempo em que, junto com outro eletrodo, define dois pontos de con-tato que acopla o ponto a dois reservatórios (fonte e dreno). Potenciais Vg1 e Vg2 são aplicados a outros dois eletrodos para alterar a forma e o tamanho do ponto. Uma corrente é estabelecida no ponto pela aplicação de uma diferença de voltagem, Vf d, entre a fonte e o dreno. Uma esquematização do dispositivo é mostrada à esquerda. Figura retirada da ref. [31]. . . 29 1.11 Esquematização de um ponto quântico (a) balístico no qual os elétrons sofrem
apenas espalhamentos elásticos nas paredes da cavidade e (b) difusivo mos-trando diversos espalhamentos elásticos de elétrons com impurezas. Figura re-tirada da ref. [31]. . . 30 1.12 Cavidade simétrica (a) em forma de um quadrado dentro da qual o movimento
de uma partícula é regular e (b) em forma de círculo na qual o movimento de uma partícula também é regular e não-caótico. (c) Cavidade assimétrica em forma de bilhar onde o movimento de uma partícula é caótico. Figura retirada da ref. [42]. . . 31
mento (região central em preto) por meio do canal n0 = 2 no guia de ondas esquerdo. A onda é refletida de volta em todos canais n do guia esquerdo e transmitida para todos canais m do guia direito. As flechas pretas indicam o sentido em que a onda se propaga em um dado canal e as flechas brancas
indi-cam o sentido no qual a onda não se propaga. Figura retirada da ref. [42]. . . . 35
2.3 Condutor balístico conectado a dois reservatórios de partículas caracterizados
por potenciais químicos µ1e µ2, com µ1 > µ2. As linhas no interior do condutor representam os canais através dos quais os elétrons podem se propagar. Figura adaptada da ref. [16]. . . 38
2.4 Condutor (em preto), com uma probabilidade de transmissão Γ, conectado por
dois guias de ondas a dois reservatórios de partículas (em vermelho) caracteri-zados pelos potenciais químicos µ1 e µ2, com µ1 > µ2. As flechas no interior dos guias indicam os canais de transporte nos quais os elétrons se propagam. Figura adaptada da ref. [16]. . . 39
2.5 Ilustração das flutuações de corrente dependentes do tempo em torno da
cor-rente média hIi. Figura retirada da ref. [56] . . . 41 2.6 Distribuição binomial obtida a partir da eq. (2.36) para Ntent = 15 e Γp = 0.6.
As setas ilustram esquematicamente o significado de cada cumulante na distri-buição. O primeiro cumulante é indicado pela seta vermelha vertical e repre-senta a média. A seta vermelha horizontal indica o segundo cumulante que é a variância da distribuição. As setas verdes inferiores indicam o significado do terceiro cumulante ou “skewness” que está associado à assimetria da distribui-ção. Por último, as setas verdes superiores apontam o significado do quarto cumulante chamado de “curtosis” e que representa o achatamento da distribuição. 46
3.1 Ilustração de um circuito quântico separado em elementos finitos –
reservató-rios, conectores e nós. Os reservatórios são caracterizados por matrizes tensão fixas e os nós por matrizes tensão que devem ser determinadas por meio da lei de conservação dos nós de Kirchhoff. Os triângulos na figura ilustram reser-vatórios fictícios que representam uma corrente de perda associada ao trans-porte decoerente. Cada conector é caracterizado por uma corrente matricial que depende das matrizes tensão dos nós nas extremidades do conector e do seu conjunto de autovalores de transmissão Γp. Figura retirada da ref. [42]. . . 58
4.1 Ilustração de (a) uma cadeia de pontos quânticos (em preto) conectada a dois re-servatórios (em vermelho) por guias de ondas (em azul) e (b) o circuito quântico equivalente que descreve a cadeia em (a). . . 68
4.2 (a) Condutância e (b) potência do ruído de disparo como função da
transparên-cia dos conectores em um ponto quântico simétrico (Γ = Γ1 = Γ2). A linha
verde sólida representa nossos resultados numéricos, enquanto que a linha preta tracejada representa as previsões analíticas. Resultado numérico obtido primei-ramente na ref. [80]. . . 71
4.3 (a) Condutância e (b) Potência do ruído de disparo de um ponto quântico quando
variamos a transparência do conector 2 para vários valores fixos da transparên-cia do conector 1. As linhas sólidas em cores representam nossos resultados numéricos, enquanto que a linha preta pontilhada representa as previsões analí-ticas. Resultado numérico já obtido na ref. [80]. . . 72
4.4 (a) Condutância e (b) Potência do ruído de disparo em função da transparência
Γ de três conectores para dois pontos quânticos simétricos em série. A linha verde sólida representa nossos resultados numéricos, enquanto que a linha preta pontilhada representa as previsões analíticas. Resultado numérico já calculado na ref. [80]. . . 73
4.5 (a) Condutância e (b) Potência do ruído de disparo para dois pontos quânticos
em série em função da transparência do terceiro conector, Γ3. Cada curva se
refere ao par das transparências Γ1 e Γ2 mantidas fixas. As linhas sólidas em
cores representam nossos resultados numéricos e a linha preta tracejada repre-senta as previsões analíticas. Resultado numérico obtido pela primeira vez na ref. [80]. . . 73
4.6 (a) Condutância e (b) Potência do ruído de disparo em função do número de
pontos quânticos na cadeia. Todos os conectores têm a mesma transparência, Γ. Os pontos representam nossos resultados numéricos e as linhas representam as previsões analíticas dados pelas eqs. (4.12) e (4.13). . . 74
onde a linha azul é obtida por meio de um ajuste linear com um número de pontos quânticos variando de L = 800, · · · , 1000. . . 76
4.8 Tempo médio de processamento, sobre um ensemble de transparências
aleató-rias, da rotina em Fortran em função do número de pontos quânticos na cadeia. Os símbolos em verde representam nossos dados numéricos e a linha em azul é
um ajuste linear. O tempo é representado em microssegundos. . . 77
4.9 Imagem obtida via microscópio eletrônico de varredura de: (a) quatro pontos
de contato quântico em série, formados em uma gás de elétrons bidimensional, intercalando três cavidades caóticas em que a distância entre dois PCQs conse-cutivos é 20 µm e (b) um único ponto de contato quântico com um portão de voltagem de 1 µm de largura. Figura retirada da ref. [84]. . . 78
4.10 Ilustração de um circuito formado por um anel de quatro pontos quânticos. . . . 79
4.11 (a) Condutância e (b) potência do ruído de disparo em função da transparência dos conectores de um anel de pontos quânticos. A linha sólida verde corres-ponde aos nossos resultados numéricos e a linha preta tracejada representa as previsões analíticas. . . 80 4.12 Condutância [(a), (c) e (e)] e potência do ruído de disparo [(b), (d) e (f)] em
função das transparências do anel de quatro pontos quânticos. A linha verde sólida corresponde aos resultados numéricos para a TQC, enquanto que a linha preta tracejada é a previsão analítica. Os círculos são resultados da simulação obtidos via teoria de matrizes aleatórias (TMA). . . 81
lente L. O outro feixe é refletido, percorre o caminho CE, depois o caminho EF e é novamente dividido em outros dois feixes no espelho direito. Um destes feixes é transmitido pelo espelho direito e incide na lente L, enquanto que o outro é refletido de volta para o espelho esquerdo. O processo se repete para o último feixe que foi refletido pelo espelho direito, de modo que vários feixes são transmitidos e chegam à lente L. Estes feixes transmitidos interferem e formam um padrão de franjas brilhantes muito estreitas (os modos ressonantes de Fabry-Perot) separadas por franjas escuras. Figura retirada da ref. [96]. . . 87
5.2 Relação entre Γ e x obtida a partir da equação Γ = sech2(x), onde vemos que
Γ é máximo quando x = 0 e decresce monotonicamente. . . 88
5.3 Densidade modificada ν(x) em função de x com a transparência da extremidade
direita da cadeia fixa em ΓL+1 = 1 (magenta), ΓL+1 = 0.8 (azul), ΓL+1 = 0.5
(verde) e ΓL+1 = 0.15 (vermelho) para: (a) um ponto quântico com Γ1 = 1,
(b) dois pontos quânticos com Γ1 = Γ2 = 1, (c) três pontos quânticos com
Γ1 = Γ2 = Γ3 = 1 e (d) quatro pontos quânticos com Γ1 = Γ2 = Γ3 = Γ4 = 1. As linhas em cores representam nossos resultados numéricos, a linha em preto é a previsão analítica para um ponto quântico e os pontos nas figuras representam a simulação obtida via TMA. . . 89
5.4 Autovalores, E, de um Hamiltoniano H(g) para uma rede finita em função do
parâmetro de acoplamento g da rede. Para H(g) = H0+ gH1, onde H0 e H1
comutam, pode haver um cruzamento de nível real em g = gc como em (a),
porém é mais comum um cruzamento de nível evitado como em (b). Figura retirada ra ref. [98]. . . 90
5.5 Densidade modificada ν(x) para um ponto quântico com Γ1 = 1 e (a) ΓL+1 =
0.15, (b) ΓL+1 = 0.3, (c) ΓL+1 = 0.4 e (d) ΓL+1 = 1/2, onde as linhas trace-jadas em vermelho representam os resultados numéricos e as linhas sólidas em azul as previsões analíticas. As inserções são plots log[ν(x)] × log(x − xc) para os respectivos gráficos de ν(x) × x em que estão inseridas, onde os pontos em vermelho são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O
expoente crítico é α = 1/2 para os valores de ΓL+1 < 1/2 e α = 1/3 quando
ΓL+1< 1/3 e α = 1/3 quando ΓL+1 = 1/3. . . 94
5.7 Densidade modificada ν(x) para três pontos quânticos com Γ1 = Γ2 = Γ3 =
1 e (a) ΓL+1 = 0.1, (b) ΓL+1 = 0.15, (c) ΓL+1 = 0.2 e (d)ΓL+1 = 1/4,
onde as linhas em vermelho no gráfico principal são os resultados numéricos. As inserções são plots log[ν(x)] × log(x − xc) para os respectivos gráficos de ν(x) × x em que estão inseridas, onde os pontos em vermelho são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O expoente crítico é α = 1/2
para os valores de ΓL+1< 1/4 e α = 1/3 quando ΓL+1 = 1/4. . . 95
5.8 Densidade modificada ν(x) para quatro pontos quânticos com Γ1 = Γ2 = Γ3 =
Γ4 = 1 e (a) ΓL+1 = 0.05, (b) ΓL+1 = 0.1, (c) ΓL+1 = 0.15 e (d)ΓL+1 = 1/5, onde as linhas em vermelho no gráfico principal são os resultados numéricos. As inserções são plots log[ν(x)] × log(x − xc) para os respectivos gráficos de ν(x) × x em que estão inseridas, sendo que os pontos em vermelho são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O expoente crítico é α = 1/2
para os valores de ΓL+1< 1/5 e α = 1/3 quando ΓL+1 = 1/5 . . . 96
5.9 (a) ν(x)/[x − xc]
1
3 × x para um ponto quântico com Γ1 = 1 e ΓL+1 = 1/2.
Os pontos em vermelho correspondem aos dados numéricos e a linha preta é
um ajuste linear, onde o valor de C1 é determinado obtendo-se o coeficiente
linear da reta. (b) Coeficiente C2(ΓL+1) para um ponto quântico com Γ1 = 1 e diferentes valores de ΓL+1. Cada ponto na fig. 5.9(b) representa o resultado numérico e é obtido de forma análoga ao coeficiente C1que foi determinado na fig. 5.9(a). A linha preta corresponde à previsão analítica da eq. (5.6). . . 97 5.10 Suporte de ν(0) mostrando as linhas de transição no plano Γ1ΓL+1para 1 ponto
quântico (magenta), 2 pontos quânticos com Γ2 = 1 (vermelho), 3 pontos
quân-ticos com Γ2 = Γ3 = 1 (verde) e 4 pontos quânticos com Γ2 = Γ3 = Γ4 = 1
(azul). As ressonâncias de Fabry-Perot encontram-se nas regiões entre duas li-nhas de transição de uma mesma cor. As lili-nhas em cores correspondem aos nossos resultados numéricos e as linhas tracejadas em preto é a previsão analí-tica obtida na ref. [78]. . . 98
log[ν(0)] × log(ΓL+1−Γ(L+1)c), onde Γ(L+1)c é o ponto crítico de ν(0). Os pon-tos vermelhos nas inserções são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O expoente crítico (coeficiente angular da reta) nas inserções é β = 1/2 para todos os casos. . . 99 5.12 Suporte de ν(0) obtido numericamente mostrando as linhas de transição no
plano Γ1ΓL+1 (Γ1 e ΓL+1 são, respectivamente, as transparências das barrei-ras nas extremidades esquerda e direita da rede) para 2 pontos quânticos com
Γ2 = 1/6 (vermelho), 3 pontos quânticos com Γ2 = 1/6 e Γ3 = 1 (verde),
4 pontos quânticos com Γ2 = 1/6 e Γ3 = Γ4 = 1 (azul). As ressonâncias
de Fabry-Perot encontram-se nas regiões entre três linhas de transição de uma mesma cor. Notemos o surgimento de uma terceira linha de transição (canto su-perior direito do gráfico) denominada transição do tipo II, além das duas linhas de transição já conhecidas na literatura. . . 100
5.13 Diagrama (a) Γ3 × Γ2 para três pontos quânticos com Γ1 = ΓL+1 = 1 fixos e
(b) Γ4× Γ3 para quatro pontos quânticos com Γ1 = Γ2 = ΓL+1 = 1 fixos. Nas duas figuras, a região central contém o conjunto de valores de Γ2e Γ3(para três pontos quânticos), Γ3 e Γ4 (para quatro pontos quânticos), nos quais ν(0) 6= 0 e, portanto, não ocorre transição do tipo II. Nas outras duas regiões de cada figura está o conjunto de valores de Γ2 e Γ3 (para três pontos quânticos), Γ3 e Γ4(para quatro pontos quânticos) em que ν(0) = 0 e, portanto, ocorre transição do tipo II. Em ambas as figuras a linha vermelha é a separação entre as regiões em que ocorre e que não ocorre transição do tipo II, enquanto que as linhas pretas tracejadas representam as linhas de transição do tipo I para três pontos quânticos em (a) e quatro pontos quânticos em (b). . . 101
5.14 Densidade de modos de Fabry-Perot ν(0) em função da transparência ΓL+1na
extremidade direita da rede mostrando a transição do tipo II para: (a) e (b) dois pontos quânticos, (c) e (d) três pontos quânticos, (e) e (f) quatro pontos quân-ticos. As inserções são plots log[ν(0)] × log(ΓL+1− Γ(L+1)cII), onde Γ(L+1)cII é o ponto crítico de ν(0) para a transição do tipo II. Os pontos vermelhos nas inserções são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O expoente crítico (coeficiente angular da reta) nas inserções é γ = 1/2. . . 102
(b) Γ1 = Γ2 = Γ3 = Γ4 = Γ6 = 1 e diferentes valores de Γ5. As linhas em cores são os nossos resultados numéricos e os pontos representam a simulação via TMA. . . 105
5.17 Densidade modificada ν(x) para o anel de quatro pontos quânticos com Γ1 =
Γ2 = Γ3 = Γ4 = Γ5 = 1 e diferentes valores de Γ6, onde as linhas em ver-melho no gráfico principal são os resultados numéricos. As inserções são plots
log[ν(x)] × log(x − xc) para o respectivo gráfico de ν(x) × x em que estão
inseridas. Os pontos vermelhos nas inserções são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O expoente crítico quando Γ6 < 1/3 é α = 1/2.
Somente quando Γ6 = 1/3 o expoente crítico é α = 1/3. . . 106
5.18 Suporte de ν(0) mostrando as linhas de transição no plano Γ1Γ6 para valores
fixos de Γ = Γ2 = Γ3 = Γ4 = Γ5, sendo Γ1 e Γ6as transparências das barreiras nas extremidades esquerda e direita do anel de pontos quânticos, respectiva-mente. O diagrama Γ6× Γ1 na figura foi obtido para os valores fixos de Γ = 1 (magenta), Γ = 1/2 (vermelho), Γ = 1/3 (verde), Γ = 1/5 (azul) e Γ = 1/8 (laranja). As ressonâncias de Fabry-Perot encontram-se nas regiões entre duas linhas de transição de uma mesma cor. Os pontos em cores são os resultados numéricos e as linhas tracejadas correspondem à previsão analítica da eq. (5.12) obtida na ref. [78]. . . 107
5.19 Densidade de modos de Fabry-Perot ν(0) em função da transparência Γ6 na
extremidade direita do anel de pontos quânticos com: (a) Γ = 1, (b) Γ = 1/2, (c) Γ = 1/3 e (d) Γ = 1/5. As inserções são plots log[ν(0)] × log(Γ6 − Γ6c),
onde Γ6c é o ponto crítico de ν(0). Nas inserções, os pontos vermelhos são os
dados numéricos e a linha preta é um ajuste linear. O expoente crítico é β = 1/2 em todos os casos. . . 108 5.20 Suporte de ν(0) mostrando as linhas de transição para o anel: (a) no plano
Γ1Γ6 com as transparências fixas Γ4 = Γ5 = 1 e Γ2 = Γ3 = 0.11 (vermelha),
Γ2 = Γ3 = 0.13 (verde), Γ2 = Γ3 = 0.15 (azul) e (b) no plano Γ5Γ6 com as
transparências fixas Γ1 = Γ4 = 1 e Γ2 = Γ3 = 0.11 (vermelha), Γ2 = Γ3 =
0.13 (verde), Γ2 = Γ3 = 015 (azul). Note o surgimento da terceira linha de
as quais ocorre transição do tipo II. Na fig. (a), a linha vermelha é a separação entre as regiões em que ocorre e que não ocorre transição do tipo II e a linha preta tracejada representa a linha de transição do tipo I com as transparências das barreiras nas alças do anel mantidas fixas em Γ = 1/4. Ambas as linhas na fig. (a) também são equivalentes às linhas de transição do tipo I para uma cadeia linear de L = 5 pontos quânticos, com todas as barreiras na parte interna da rede totalmente transparentes, que são obtidas analiticamente através da eq. (5.7). . . 110
5.22 Densidade de modos de Fabry-Perot ν(0) em função da transparência Γ6 na
extremidade direita do anel mostrando a transição do tipo II para as
transparên-cias fixas Γ1 = Γ4 = Γ5 = 1 e (a) Γ2 = Γ3 = 0.15, (b) Γ2 = Γ3 = 0.13,
(c) Γ2 = Γ3 = 0.11. As inserções são plots log[ν(0)] × log(Γ6− Γ6cII), onde
Γ6cII é o ponto crítico de ν(0) para a transição do tipo II. Os pontos vermelhos
nas inserções são os dados numéricos e a linha preta é o ajuste linear da reta. O expoente crítico (coeficiente angular da reta) nas inserções é γ = 1/2. . . 111
5.23 Transparência Γ2 = Γ3 em função da distância, ΓD, entre o ponto crítico da
transição do tipo II e o ponto crítico da transição do tipo I para o anel de pontos
quânticos. A inserção é um plot log[(Γ2 = Γ3)] × log(ΓD), onde o expoente
4.1 Valores médios de g e p, para L = 1 e 2 pontos quânticos, calculados substi-tuindo as eqs. (4.8), (4.9), (4.10) e (4.11) na eq. (4.14) e resolvendo as integrais. 75
2-DEG Gás de elétrons bidimensional
PQ Ponto quântico
FLL Fórmula de Levitov-Lesovik
ECC Estatística de contagem de cargas
CTCs Cumulantes de transferência de cargas
TQC Teoria quântica de circuitos
kB Constante de Boltzmann
~ Constante de Planck dividida por 2π
EC Energia de carregamento
δ Espaçamento médio de níveis
C Capacitância
ETh Energia de Thouless
τerg Tempo ergódico
Eerg Energia ergódica
λF Comprimento de onda de Fermi
me Massa do elétron
EF Energia de Fermi
Lm Livre caminho médio eletrônico
vF Velocidade de Fermi
τm Tempo de relaxação do momento
ξ Comprimento de localização eletrônica
Lφ Comprimento de coerência de fase
τφ Tempo de relaxação de fase
D Constante de difusão
kF Vetor de onda de Fermi
Resumo v
Abstract vii
Lista de Figuras 10
Lista de Tabelas 11
Lista de Abreviaturas e Siglas 12
Lista de Símbolos 13
1 Introducão ao Transporte Quântico 17
1.1 Classes de Escalas Mesoscópicas Características . . . 18
1.2 Interferência Quântica . . . 21
1.2.1 O Efeito Aharonov-Bohm . . . 21
1.2.2 Localização Fraca . . . 24
1.2.3 Flutuações Universais de Condutância . . . 25
1.3 Quantização da Condutância em Um PCQ . . . 27
1.4 Pontos Quânticos . . . 28
1.5 Sumário Geral da Tese . . . 31
2 Matriz de Espalhamento (Matriz-S), Formalismo de Landauer-Büttiker, Ruído de Disparo e a Estatística de Contagem de Cargas 33 2.1 Matriz-S . . . 34
2.2 Formalismo de Landauer-Büttiker . . . 36
2.2.1 Dedução da Fórmula de Landauer: Método Elementar . . . 37
2.3 Flutuações de Corrente Dependentes do Tempo: Ruído Térmico e Ruído de Disparo . . . 40
2.4 A Fórmula de Levitov-Lesovik e a Estatística de Contagem de Cargas (ECC) . 44
3.3.2 Conectores . . . 61
3.3.3 Aplicação da TQC para Um Ponto Quântico . . . 64
4 Método Numérico de Newton Aplicado à Resolução de Um Sistema Não-Linear
para Uma Cadeia de Pontos Quânticos 67
4.1 Cadeia de Pontos Quânticos . . . 68
4.1.1 Resultados para L = 1 Ponto Quântico . . . 70
4.1.2 Resultados para L = 2 Pontos Quânticos em Série . . . 71
4.1.3 Resultados para a Cadeia de L Pontos Quânticos com Transparências
Idênticas . . . 72
4.1.4 Resultados para a Cadeia de L Pontos Quânticos com Transparências
Aleatórias . . . 75
4.2 Tempo de Processamento do Algoritmo . . . 77
4.3 Realização Experimental de Uma Cadeia de Pontos quânticos na Literatura . . 78
4.4 Anel de Quatro Pontos Quânticos . . . 79
4.5 Equação Dorokhov–Mello–Pereira–Kumar (DMPK): Fios Difusivos . . . 82
5 Modos Ressonantes de Fabry-Perot em Redes de Pontos Quânticos 86
5.1 Interferômetro de Fabry-Perot Óptico . . . 86
5.2 Densidade Modificada e Os Modos Ressonantes de Fabry-Perot em Uma Rede
Linear de Pontos Quânticos . . . 88
5.2.1 Transição de Fase Quântica . . . 90
5.2.2 Propriedades Críticas da Densidade Modificada para L = 1, 2, 3 e 4
Pontos Quânticos . . . 91
5.2.3 Propriedades Críticas dos Modos Ressonantes de Fabry-Perot para L =
1, 2, 3 e 4 Pontos Quânticos . . . 97
5.2.4 Propriedades Críticas dos Modos Ressonantes de Fabry-Perot para A
Transição do Tipo II em Uma Rede com L = 2, 3 e 4 Pontos Quânticos 100
5.3 Densidade Modificada e Os Modos Ressonantes de Fabry-Perot para Um Anel
de Pontos quânticos . . . 104
5.3.1 Propriedades Críticas da Densidade Modificada para O Anel de Pontos
Quânticos . . . 105
5.3.2 Propriedades Críticas dos Modos Ressonantes de Fabry-Perot para O
A Unitariedade da Matriz de Espalhamento 117
B Método de Newton Aplicado à Resolução de Sistemas Não-Lineares 118
C Implementação Numérica para Resolver Um Sistema Não Linear Complexo
Atra-vés do Método de Newton 122
ção de materiais metálicos com dimensões suficientemente pequenas, de modo que a coerência de fase eletrônica é mantida nestes materiais a temperaturas menores ou da ordem de alguns milikelvin. Tais avanços proporcionaram a observação experimental de alguns fenômenos de transporte nestes materiais que estão associados à mecânica quântica, entre eles merecem desta-que a localização fraca [1, 2, 3, 4] e as flutuações universais de condutância [5, 6, 7, 8]. Poucos anos depois, ao final da década de 1980, foram construídos dispositivos semicondutores cujo tamanho é menor que o livre caminho médio eletrônico a baixas temperaturas. Com isto foi possível estudar o transporte eletrônico balístico2 através destes dispositivos, o que levou à ob-servação experimental da quantização da condutância [9, 10]. Assim, era inaugurada uma nova área de estudo que foi chamada inicialmente de física mesoscópica. Na época, o termo “mesos-cópica” surgiu para enfatizar que os materiais nos quais ocorrem estes fenômenos de transporte são muito grandes para serem estudados somente pela mecânica quântica e muito pequenos para serem descritos pela equação clássica do transporte de Boltzmann. A ideia era que objetos mi-croscópicos como átomos e núcleos são regidos pela física quântica, enquanto que os materiais macroscópicos são governados pelas leis da mecânica clássica. Entre a física clássica e a física quântica estariam os materiais que fazem parte da mesoescala e seriam governados pela física mesoscópica cujas leis não são puramente de natureza clássica ou quântica, mas sim uma sín-tese das duas. Porém, é importante deixar claro que nunca foi encontrada uma separação nítida entre as escalas micro, meso e macro. Um exemplo disso é uma nanoestrutura metálica [5, 11], constituída por alguns poucos átomos, que apresenta as mesmas propriedades mesoscópicas de uma outra nanoestrutura micrométrica, contendo até bilhões de átomos, formada por materiais semicondutores [3]. Logo, a física mesoscópica não se refere a uma escala de comprimento fixo e sim a propriedades de transporte intermediárias entre os efeitos quânticos e os efeitos
clássi-1A nanociência é um ramo da ciência que tem como objetivo produzir e controlar materiais em escala
micro-métrica ou nanomicro-métrica e, para isto, possui um caráter interdisciplinar.
2O transporte balístico, como veremos ainda neste capítulo, ocorre quando o elétron viaja através da
1.1
Classes de Escalas Mesoscópicas Características
As duas classes de escalas mesoscópicas mais importantes são a condutância, G, e as escalas de energia do sistema. A condutância, G, está relacionada ao quantum de condutância,
GQ, que depende somente de constantes fundamentais (GQ = 2e2/h). Quando G GQ, uma
grande quantidade de elétrons atravessa simultaneamente a nanoestrutura e o transporte é dito
estar no regime semiclássico. Porém, se G ∼ GQ poucos elétrons são transportados ao mesmo
tempo e o sistema está no regime de transporte quântico extremo.
As classes de escalas de energia podem ser de dois tipos, as escalas controláveis expe-rimentalmente e as escalas de energia internas do sistema que não são controladas experimen-talmente. As escalas de energia controláveis em um experimento é a energia eV , associada à
diferença de potencial V aplicada à nanoestrutura, e a escala que compreende a energia kBT
relacionada à temperatura T do sistema. Em um sistema fechado, a primeira escala de energia interna surge devido ao confinamento das partículas e está associada à quantização dos níveis de energia. Da mecânica quântica sabemos que um sistema fechado, no qual as partículas es-tão confinadas, possui níveis de energia discretos com uma distância média δ entre os níveis vizinhos. Essa distância média, também chamada de espaçamento médio de níveis, é definida como uma escala de energia interna do sistema. Outra escala de energia interna é a energia de carregamento, EC = e2/2C, que surge devido à natureza discreta da carga elétrica e depende da carga elementar, e, e da capacitância, C, do sistema. A energia de carregamento, EC, é o custo energético adicional para colocar uma carga em um sistema fechado. O regime de transporte em um sistema fechado é dominado pelo bloqueio de Coulomb, no qual o transporte se dá através de uma única carga por vez.
Diferentemente de um sistema fechado, quando o sistema é aberto e a condutância é
G GQ, inúmeros elétrons participam simultaneamente do transporte e permanecem pouco
tempo dentro da nanoestrutura. Logo, estes elétrons não são influenciados pelas escalas in-ternas de energia δ e EC. Neste caso, a escala de energia relevante é a energia de Thouless,
ETh = ~/τpermanência, que possui uma relação inversa com o tempo de permanência do elétron
no sistema, τpermanência, obtida a partir do princípio da incerteza de Heisenberg que relaciona as escalas de energia e de tempo, ∆E∆t ∼ ~. Para que as propriedades de transporte pos-suam características universais, i.e., não dependam da forma ou da geometria da nanoestrutura, o tempo de permanência do elétron no sistema deve ser muito maior que o tempo ergódico, τpermanência τerg. O tempo ergódico, τerg, é o tempo que a partícula gasta para explorar toda a nanoestrutura. Assim, é introduzida uma nova escala de energia que é a energia ergódica do
pendem da temperatura, da energia de Fermi e do grau de desordem do sistema e, portanto, não são escalas fixas. Vamos apresentar as escalas mesoscópicas de comprimento e, baseando-se nestas escalas, discutiremos diferentes regimes de transporte quântico. As principais escalas características de comprimento, em baixas temperaturas, são:
1. Comprimento de onda de Fermi, λF: é o menor comprimento característico e está
re-lacionado à energia de Fermi por λF = ~/
√
2meEF. Tipicamente, esta escala varia de alguns angströms em metais a centenas de angströms em heteroestruturas semicondu-toras. Como estamos considerando baixas temperaturas, os elétrons que participam do
transporte possuem energia próxima à energia de Fermi e, portanto, λF é o comprimento
de onda relevante. Outros elétrons possuem energia menor que a energia de Fermi, mas não contribuem para o transporte.
2. Livre caminho médio, Lm: é a distância média que o elétron percorre entre duas colisões elásticas consecutivas. Tal distância está relacionada ao tempo de relaxação do momento
τm por Lm = vFτm, onde vF é a velocidade de Fermi. Esta escala varia de alguns
angströms em metais a alguns micrômetros em heteroestruturas semicondutoras.
3. Comprimento de localização eletrônica, ξ: mede a extensão espacial das funções de onda dos elétrons. Em metais ξ estende-se por toda a amostra, enquanto que em materiais isolantes decai exponencialmente a partir do centro de localização eletrônica.
4. Comprimento de coerência de fase, Lφ: também chamado de comprimento de
relaxa-ção de fase, é a distância média na qual o elétron percorre sem perda de coerência de fase. Esta escala de comprimento é a mais importante em que ocorrem os fenômenos de transporte quântico, pois um dispositivo é classificado como mesoscópico se suas
dimen-sões tornam-se menores que Lφ. Se uma nanoestrutura tem dimensões maiores que Lφ,
o transporte através deste sistema é descrito classicamente. O comprimento de coerência de fase aumenta rapidamente com a diminuição da temperatura, por isto os fenômenos mesoscópicos geralmente são observados a baixas temperaturas.
Geralmente, em um dispositivo sob baixas temperaturas, as escalas características de
comprimento obedecem ao seguinte ordenamento: λF < Lm < ξ < Lφ. Com base nestas
escalas, em uma amostra mesoscópica de tamanho L há três regimes de transporte distintos. Estes regimes de transporte são (ver fig. 1.1):
Figura 1.1: Escalas características de comprimento, comparadas ao tamanho L da amostra, ilustrando os diferentes regimes de transporte quântico. Figura adaptada da ref. [12].
1. Regime balístico: ocorre quando o tamanho da amostra é menor que o livre caminho médio (L < Lm). Neste caso, o elétron atravessa a nanoestrutura praticamente sem sofrer colisões elásticas com outros elétrons ou impurezas. Para este regime de transporte os elétrons possuem alta mobilidade e o tempo de relaxação de fase é da ordem do tempo
de relaxação do momento (τφ ∼ τm). Portanto, o comprimento de coerência de fase no
regime balístico é dado por Lφ= vFτφ, onde τφé o tempo de relaxação de fase.
2. Regime difusivo: quando o tamanho do dispositivo é tal que Lm < L < ξ o elétron
sofre diversos espalhamentos elásticos ao atravessar o sistema, logo o regime de trans-porte é difusivo. Neste regime de transtrans-porte os elétrons possuem baixa mobilidade e τφ τm. Sendo assim, a trajetória eletrônica durante o tempo τφ pode ser visualizada
como a soma de um número (n = τφ/τm) de trajetórias curtas cada uma de
compri-mento vFτm. Como estas pequenas trajetórias possuem direções aleatórias (em um
ân-gulo θ), o valor quadrático médio da distância percorrida pelo elétron durante o tempo τφ, em uma direção particular, é L2φ = n(vFτm)2hcos2(θ)i em que hcos2(θ)i = 1/2.
Logo, L2φ = (τφ/τm)(vFτm)2/2. Por outro lado, o coeficiente de difusão é definido
por D = vF2τm/2. Portanto, o comprimento de coerência de fase no regime difusivo
é Lφ=pDτφ.
3. Regime localizado: se o tamanho da amostra é maior que o comprimento de localização
eletrônica, porém menor que o comprimento de coerência de fase (ξ < L < Lφ) o
sistema está no regime de transporte localizado. Neste caso a amostra comporta-se como um isolante.
Sistemas com dimensões maiores que o comprimento de coerência de fase (L > Lφ)
possuem comportamento ôhmico e são tratados classicamente.
Na seção seguinte vamos apresentar os fenômenos mesoscópicos relacionados aos efei-tos de interferência quântica e entender como a descoberta destes fenômenos contribuiu para o desenvolvimento da área do transporte quântico.
bilidade de uma onda se propagar através de um dos caminhos é Pa = |Aa|2. Em física clássica, a probabilidade total de uma partícula ir do ponto inicial até o ponto final é simplesmente a soma das duas probabilidades, i.e.,
Pclássica = P1+ P2 = |A1|2+ |A2|2. (1.1)
No entanto, na mecânica quântica devemos levar em conta os efeitos de interferência e, neste caso, a probabilidade total é obtida da seguinte forma [13]:
Pquântica= |ψ1+ ψ2|2 = |A1|2 + |A2|2+ 2|A∗1A2|cos(φ1− φ2). (1.2) O último termo na eq. (1.2) refere-se à interferência quântica e não é previsto classicamente
(compare as eqs. (1.1) e (1.2)). Este termo depende da diferença de fase φ = φ1 − φ2 entre
as duas ondas, i.e., se as ondas possuem a mesma fase (φ = 0) a interferência é totalmente construtiva e a probabilidade Pquânticaé máxima. Mas, se as ondas estão completamente fora de fase (φ = π) a interferência é totalmente destrutiva e a probabilidade Pquântica é mínima. So-mente no caso particular φ = π/2 as probabilidades clássica e quântica são iguais. É importante ressaltar que o fenômeno de interferência quântica está diretamente relacionado à coerência de fase entre as ondas. Por exemplo, para portadores de carga em um semicondutor a interferência entre diferentes ondas associadas a estes portadores ocorrem a distâncias menores ou da ordem do comprimento de coerência de fase, i.e., na ausência de coerência de fase não são observados efeitos de interferência quântica.
Nas subseções seguintes discutiremos alguns fenômenos relacionados à interferência quântica como o efeito Aharonov-Bohm, a localização fraca e as flutuações universais de con-dutância.
1.2.1
O Efeito Aharonov-Bohm
Em 1959 Y. Aharonov e D. Bohm [14] previram que, contrariamente à física clássica, há efeitos de potenciais em partículas carregadas mesmo na ausência de campos eletromagné-ticos, i.e., mesmo quando não há forças atuando sobre estas partículas. Tal fenômeno ficaria conhecido como o efeito Aharonov-Bohm. Porém, somente em 1981 D. Sharvin e V. Sharvin [15] conseguiram construir um filme cilíndrico de vapor de magnésio, sobre o silício, com um diâmetro da ordem de 1,5 µm e tamanho L = 1 cm. Foi estimado que em baixas temperaturas
Figura 1.2: Ilustração do experimento de D. Sharvin e V. Sharvin. Um feixe de elétrons que provém do fio à esquerda é dividido em diversos feixes que seguem trajetórias distintas através das paredes do cilindro e depois recombinam-se no fio à direita. Um campo magnético B é aplicado paralelamente ao eixo do cilindro. Figura adaptada da ref. [16].
Figura 1.3: A resistência do cilindro metálico construído por D. Sharvin e V. Sharvin oscila como função de um campo magnético aplicado paralelamente ao eixo do cilindro. Figura reti-rada da ref. [15]
este cilindro mantinha coerência de fase até um comprimento Lφ da ordem do comprimento
da circunferência do cilindro. Os autores aplicaram um campo magnético paralelo ao eixo do cilindro (ver ilustração na fig. 1.2) e observaram uma dependência oscilatória na resistência da
amostra (ver fig. 1.3). O período destas oscilações corresponde ao fluxo magnético Φ0 = ~/2e
através da seção transversal do cilindro. Surpreendentemente, tal período é metade do período de oscilação previsto por Aharonov-Bohm. No entanto, estas oscilações com metade do período previsto ocorrem por conta do fenômeno da localização fraca que é um efeito de interferência quântica estudado teoricamente pouco tempo antes por Altshuler e colaboradores [17].
Altshu-ler conseguiu prever com precisão o período de oscilação Φ0 = ~/2e considerando a atuação
de um potencial vetor magnético sobre pares de trajetórias de elétrons revertidas no tempo. O experimento de Sharvin em 1981 foi a primeira observação do efeito Aharonov-Bohm em condutores metálicos desordenados e também a comprovação da existência do fenômeno da localização fraca.
Outro experimento usado para mostrar o efeito Aharonov-Bohm em anéis metálicos foi realizado em 1985 por Weeb e colaboradores [11]. O dispositivo usado no experimento é um anel de 784 nm formado por um fio de ouro de 41 nm de espessura. Em baixas temperaturas
Figura 1.4: (a) Oscilações na resistência do anel de ouro, fabricado por Webb, em função do campo magnético aplicado transversalmente ao plano do anel e (b) Espectro de potência de
Fourier das oscilações mostrando um pico maior em 2Φ0 = ~/e. A inserção é uma fotografia
do anel usado no experimento. Este anel possui um diâmetro de 784 nm e é feito por um fio de ouro de 41 nm de espessura. Um feixe de elétrons vindo do fio ligado à parte superior do anel divide-se em dois feixes que passam através dos braços do anel e recombinam-se no fio ligado à parte inferior para produzir interferência. Um campo magnético é aplicado transversalmente ao plano formado pelo anel. Figura retirada da ref. [11].
estas dimensões são menores que o comprimento de coerência de fase Lφ, sendo este o primeiro condutor coerente fabricado. Uma fotografia do experimento é mostrada na inserção da fig. 1.4. Os autores aplicaram um campo magnético transversal ao plano formado pelo anel e observaram
oscilações na resistência da amostra com um período correspondente ao fluxo 2Φ0 = ~/e como
mostra a fig. 1.4. A interpretação para as oscilações na resistência do anel metálico é a seguinte. Um feixe de elétrons é introduzido em uma das extremidades do anel e divide-se em dois feixes que passam através de cada braço do anel. Devido ao campo magnético transversal ao plano do anel no sentido positivo do eixo +z, surge um potencial vetor magnético no sentido anti-horário que adiciona uma fase à função de onda associada a um elétron em um braço do anel e subtrai uma fase da função de onda associada a um elétron no outro braço do anel. Isto provoca uma diferença de fase entre as funções de onda dos elétrons que passam através dos dois braços. Esta diferença de fase é dada por [13]:
δφ = 2π Φ
~/e
, (1.3)
onde Φ é o fluxo magnético transversal ao plano do anel. Quando os dois feixes chegam à outra extremidade do anel e são recombinados ocorre interferência construtiva ou destrutiva, a depender da diferença de fase entre as funções de onda, o que causa as oscilações na resistência
(a) (b)
(c)
Figura 1.5: (a) Magnetoresistência de um fio quântico com diferentes espessuras e temperaturas. Em todos os casos a assinatura de localização fraca é observada no pico de resistência quando o campo magnético aplicado é nulo. Figura retirada da ref. [4]. (b) Pico de resistência a campo nulo mostrando a presença de localização fraca em uma cavidade caótica em forma de bilhar. Figura retirada da ref. [3] e (c) Magnetocondutância como função do campo magnético externo em uma constrição. O vale na magnetocondutância a campo nulo indica a presença de localização fraca. Figura retirada da ref. [2]
do anel.
Também foi observado o efeito Aharonov-Bohm elétrico por Washburn e colaboradores [18] em 1987. O dispositivo usado no experimento é semelhante ao do caso anterior, com a diferença que em vez de um anel foi fabricada uma espira micrométrica retangular e aplicado um campo elétrico transversal ao plano da espira. Os detalhes do experimento são apresentados na ref. [18]. Uma revisão completa do efeito Aharonov-Bohm pode ser vista na ref. [19].
1.2.2
Localização Fraca
Suponhamos que um elétron se aproxima de uma região caótica, onde sofre diversos espalhamentos, podendo ser refletido ou transmitido através desta região. Classicamente, as probabilidades de transmissão e de reflexão são iguais. No entanto, quanticamente a
proba-feitas, respectivamente, por Altshuler [17] e Sharvin [15]. Uma característica peculiar do efeito de localização fraca é sua diminuição ou até mesmo seu desaparecimento na presença de um campo magnético externo suficientemente forte [22, 23]. Este fato é claramente entendido do ponto de vista da mecânica quântica, pois a aplicação de um campo magnético quebra a si-metria de reversão temporal entre pares de trajetórias revertidas no tempo. Neste caso, não há mais interferência quântica devido à simetria de reversão temporal e a localização fraca desa-parece. Consequentemente a resistência da amostra diminui. Logo, assinaturas de localização fraca podem ser identificadas como um pico nas curvas de magnetorresistência em função de um campo magnético aplicado ou um vale nas curvas de magnetocondutância em função deste campo magnético. A fig. 1.5(a) apresenta a magnetorresistência de um fio quântico com 100 µm de comprimento para diferentes espessuras e temperaturas. Em todos os casos há um pico na magnetorresistência quando o campo magnético aplicado é nulo. Esse pico corresponde à assinatura do efeito de localização fraca. O mesmo pico na magnetorresistência a campo nulo é observado em uma cavidade caótica micrométrica como mostra a fig. 1.5(b). A curva de magnetocondutância em função do campo magnético externo na fig. 1.5(c) foi obtida para uma constrição formada em um Transistor de Efeito de Campo Metal-Óxido-Semicondutor (MOS-FET). A assinatura de localização fraca é identificada no vale da magnetocondutância a campo nulo. Para mais detalhes sobre o efeito de localização fraca ver a ref. [1].
1.2.3
Flutuações Universais de Condutância
A observação de oscilações periódicas na magnetorresistência de cilindros e anéis de metal-normal em função de um campo magnético longitudinal (ver refs. [11] e [15]), moti-varam Umbach e colaboradores [5] a construir um experimento usando nanofios e nanoanéis metálicos com o propósito de estudar as oscilações periódicas na magnetorresistência. Os au-tores aplicaram um campo magnético perpendicular aos nanodispositivos, mantidos a tempera-turas menores que 2 Kelvin, e mediram a magnetorresistência em função do campo aplicado. Surpreendentemente, as oscilações observadas na magnetorresistência dos nanofios e nanoanéis não indicavam a presença de quaisquer periodicidades e apresentavam uma estrutura aleatória complexa, porém reprodutível. A estrutura de oscilação crescia lentamente com a diminuição da temperatura como mostram as figs. 1.6(a) e 1.6(b). Pouco tempo depois, Stone [24] desen-volveu uma simulação de um fio desordenado atribuindo um potencial aleatório a cada sítio da rede para representar o distúrbio causado por impurezas e defeitos. Foi atribuído também um
(a) (b)
Figura 1.6: Magnetorresistência em função de um campo magnético externo a diferentes tem-peraturas para: (a) um anel de ouro de 280 nm de diâmetro formado por um fio de 45 nm de
espessura com resistência a campo nulo R0 = 7, 7 Ω e (b) um fio de Au60Pd40 com 60 nm
de espessura por 790 nm de comprimento cuja resistência a campo nulo é R0 = 101, 7 Ω.
Note o leve aumento na estrutura de oscilação, em ambos os casos, à medida que a temperatura diminui. Figura retirada da ref. [5].
campo magnético uniforme e perpendicular ao fio. Para uma dada configuração de impurezas, a magnetorresistência simulada apresentou flutuações aperiódicas, em função do campo mag-nético, semelhante às observadas no experimento com nanofios (ver fig. 1.7). Isto mostrou que as flutuações aperiódicas não têm a ver com a geometria do dispositivo e sim com o arranjo de impurezas na amostra. Logo após, Altshuler [25] e Lee e Stone [6] previram teoricamente que a condutância de qualquer amostra metálica flutua, como função da energia de Fermi ou de
um campo magnético, sempre com a mesma amplitude da ordem de e2/~ (≈ 4 × 10−5 Ω−1).
Além disso, as flutuações independem da dimensionalidade, do tamanho da amostra e do valor da condutância média, desde que a temperatura da amostra seja suficientemente baixa de modo que a coerência de fase seja mantida. Logo, estas flutuações apresentam características
univer-Figura 1.7: Comparação entre a estrutura das flutuações na magnetorresistência do experimento com o fio de Au60Pd40 da fig. 1.6(b) e a estrutura das flutuações na magnetorresistência simu-lada para o mesmo fio. Nota-se uma semelhança entre as estruturas teórica e experimental. Figura retirada da ref. [24].
Figura 1.8: Flutuações universais de condutância em um fio de ouro com 310 nm de compri-mento e 25 nm de espessura mantido a uma temperatura T = 0, 01 K. Figura retirada da ref. [19].
sais do transporte quântico em dispositivos coerentes. Daí a denominação flutuações universais de condutância. A única condição para se observar as flutuações universais de condutância é que a coerência de fase da função de onda eletrônica seja mantida na amostra. Portanto, estas flutuações são consequência da interferência quântica quando a dimensão do sistema torna-se menor que o comprimento de coerência de fase.
Enfatizamos que, apesar de sua estrutura aleatória, as flutuações universais de condutân-cia são ruídos independentes do tempo. Porém, esta estrutura é bastante sensível a mudanças na configuração de impurezas, ou seja, amostras com diferentes arranjos de impurezas ou defeitos exibem padrões de flutuações diferentes (o que permanece são as características universais das flutuações que são propriedades do transporte quântico e independem da amostra). No entanto, em uma mesma amostra a estrutura das flutuações é perfeitamente reprodutível o que torna estas flutuações uma “impressão digital da amostra”. Na fig. 1.8 apresentamos as flutuações univer-sais de condutância, como função de um campo magnético, para um fio de ouro de dimensões nanométricas.
Nesta seção revisamos os fenômenos mesoscópicos associados a efeitos de interferência quântica. A seguir falaremos sobre a quantização da condutância em condutores balísticos, fenômeno que também marcou o início do desenvolvimento da área do transporte quântico.
1.3
Quantização da Condutância em Um PCQ
A observação experimental da quantização da condutância ao final da década de 1980 foi um dos grandes eventos que impulsionaram os avanços na área de transporte quântico em sistemas mesoscópicos. A condutância quantizada foi observada pela primeira vez por Wees [9] e Wharam [10] de forma independente. O dispositivo usado no experimento é conhecido como ponto de contato quântico (PCQ). Tal dispositivo consiste de uma constrição, de largura w ajustável por um portão de voltagem, formada por dois eletrodos em um gás de elétrons bi-dimensional (2-DEG) como mostrado na inserção da fig. 1.9. O PCQ é construído em uma
Figura 1.9: Condutância do PCQ em função da voltagem repulsiva aplicada aos eletrodos. Nota-se que a condutância varia em função da voltagem repulsiva em forma de degraus com altura
2e2/h. A inserção é uma fotografia de um PCQ semelhante ao usado no experimento, onde a
parte mais escura na figura é o gás de elétrons bidimensional e a parte clara são os eletrodos. Figura retirada da ref. [9].
heteroestrutura semicondutora de GaAs-AlGaAs de alta densidade e alta mobilidade eletrônica, respectivamente, da ordem de 3, 56 × 1015/ m2e 85 m2/V s à temperatura T = 0, 6 K. Os ele-trodos formados na heteroestrutura funcionam como um portão de voltagem. A uma voltagem repulsiva Vg = −0, 6 V aplicada a estes eletrodos, a largura da constrição tem seu valor máximo
wmáx = 250 nm. À medida que a tensão repulsiva aplicada aos eletrodos aumenta, o tamanho
da constrição é reduzido gradualmente até ser completamente fechado quando a voltagem é
Vg = −2, 2 V . Na ref. [9] foi medida a condutância do PCQ em função da voltagem repulsiva,
onde esta voltagem variou de Vg = −0, 6 V a −2, 2 V . Inesperadamente a condutância varia
como função de Vg em forma de degraus com altura 2e2/h (ver fig. 1.9), mostrando assim que
a condutância do PCQ é quantizada.
A seguir vamos apresentar mais um dispositivo de grande importância na investigação das propriedades do transporte mesoscópico, o ponto quântico.
1.4
Pontos Quânticos
A partir da década de 1990, o ponto quântico (PQ) tornou-se um dos dispositivos mais usados no estudo de diversos fenômenos mesoscópicos [26, 27, 28, 29, 30]. Este dispositivo consiste de uma cavidade formada em um gás de elétrons bidimensional (2DEG) na região da interface de uma heteroestrutura semicondutora. Para formar o PQ na interface desta he-teroestrutura é aplicado um potencial repulsivo a eletrodos que repelem o 2DEG e restringe o movimento dos elétrons a uma pequena região do espaço (ponto). O PQ é dito ser um sistema de dimensão zero, pois o movimento dos elétrons dentro do ponto está confinado nas três direções espaciais. Um PQ típico possui dimensões da ordem de 0, 1 a 1 µm e pode conter desde um
Figura 1.10: À direita uma micrografia de um ponto quântico em um 2DEG na interface da heteroestrutura semicondutora de GaAs-AlGaAs. Um potencial é aplicado a dois eletrodos (região clara da figura) repelindo os elétrons do 2DEG e confinando-os em uma região pequena formando o ponto quântico (região central escura) ao mesmo tempo em que, junto com outro eletrodo, define dois pontos de contato que acopla o ponto a dois reservatórios (fonte e dreno). Potenciais Vg1e Vg2são aplicados a outros dois eletrodos para alterar a forma e o tamanho do ponto. Uma corrente é estabelecida no ponto pela aplicação de uma diferença de voltagem, Vf d, entre a fonte e o dreno. Uma esquematização do dispositivo é mostrada à esquerda. Figura retirada da ref. [31].
elétron até alguns milhares de elétrons. Para determinar as propriedades de transporte do PQ, este dispositivo é acoplado a dois “reservatórios de elétrons” por dois pontos de contato (cons-tituídos por dois portões de voltagem) e é estabelecida uma corrente elétrica através do ponto [32]. Os PQs são classificados quanto à força do acoplamento ponto-guia. Se o acoplamento é forte o ponto é aberto e o transporte através da junção ponto-guia é balístico. Porém, quando os pontos de contato têm sua largura fortemente comprimida por um potencial aplicado aos portões de voltagem, o acoplamento torna-se fraco e o transporte através da junção ponto-guia ocorre apenas por tunelamento. Neste caso o PQ é fechado e sua carga e energia são quantiza-das. Pontos quânticos fechados são conhecidos como “átomos artificiais” devido a seu espectro de energia discreto [33, 34, 35]. Assim, vários fenômenos quânticos que antes eram observados experimentalmente apenas em átomos e núcleos agora podem ser recriados em um dispositivo construído pelo homem. Uma das vantagem desses “átomos artificiais” é que usando apenas um único dispositivo é possível “varrer” toda a tabela periódica variando apenas um potencial aplicado a eletrodos sem a necessidade de estudar cada átomo em particular [36]. O tamanho, a forma e até mesmo a quantidade de elétrons dentro da cavidade são parâmetros que podem ser controlados experimentalmente pela aplicação deste potencial.
Nesta tese, daremos ênfase ao estudo do transporte de cargas em pontos quânticos aber-tos [37, 38, 39]. A depender da dinâmica do elétron dentro da cavidade o ponto quântico aberto pode apresentar características universais [40], o que torna este dispositivo uma importante ferramenta no estudo das propriedades de transporte quântico. PQs também podem ser classifi-cados quanto às técnicas de fabricação, há PQs laterais e verticais. O transporte de elétrons em PQs laterais ocorre no plano formado pelo 2DEG, enquanto que em PQs verticais o transporte
(a) (b)
Figura 1.11: Esquematização de um ponto quântico (a) balístico no qual os elétrons sofrem apenas espalhamentos elásticos nas paredes da cavidade e (b) difusivo mostrando diversos es-palhamentos elásticos de elétrons com impurezas. Figura retirada da ref. [31].
ocorre transversalmente a este plano. Na fig. 1.10 é mostrado um PQ lateral onde eletrodos (parte clara da figura) foram desenhados, por litografia de feixe de elétrons, na interface da he-teroestrutura semicondutora de GaAs-AlGaAs para repelir os elétrons do 2DEG e confiná-los em uma pequena região do espaço formando o ponto (parte central escura). Junto com estes dois eletrodos, é usado um outro eletrodo para formar dois pontos de contato os quais acoplam o PQ a dois reservatórios de elétrons denominados fonte e dreno. Uma diferença de potencial, Vf d, é aplicada entre a fonte e o dreno de modo que é estabelecida uma corrente elétrica no ponto. São aplicadas, ainda, as voltagens Vg1 e Vg2 a outros dois eletrodos para controlar a forma e o tamanho da cavidade.
Os primeiros PQs fabricados com o intuito de estudar o transporte eletrônico coerente
possuíam dimensões muito menores que o comprimento de coerência de fase, L Lφ, a
baixas temperaturas. Porém, suas dimensões eram muito maiores que o livre caminho médio eletrônico L Lm. Logo, quando o elétron é transportado através destes dispositivos ocorrem vários espalhamentos elásticos com outros elétrons ou impurezas e o regime de transporte é difusivo. A escala de tempo relevante em tais sistemas é o tempo de difusão, τD, que é o tempo necessário para que o elétron sofra diversas colisões elásticas com impurezas ao atravessar a
amostra. Por sua vez, a escala de energia relevante é a energia de Thouless, Ed = ~/τD,
de um sistema difusivo. A partir do final da década de 1990, foram fabricados PQs cujas
dimensões tornaram-se muito menores que o livre caminho médio eletrônico, Lm. Os elétrons
atravessam estas nanoestruturas praticamente sem sofrer colisões com impurezas e o regime de transporte em tais dispositivos é considerado balístico. Neste caso, a escala de tempo relevante é o tempo ergódico, τerg, que é o tempo necessário para que o elétron sofra diversos espalhamentos elásticos nos contornos da cavidade. A escala de energia relevante para este sistema é a energia
de Thouless balística, Eb = ~/τerg. As figs. 1.11(a) e 1.11(b) mostram o esquema de um ponto
balístico e um ponto difusivo, respectivamente. No ponto difusivo há diversos espalhamentos elásticos de elétrons com impurezas, enquanto que no ponto balístico há apenas espalhamentos elásticos nas paredes da cavidade.
Os PQs também podem ser classificados quanto à natureza regular ou caótica, a depen-der da dinâmica do movimento do elétron dentro da cavidade [41]. Para pontos quânticos nos
Figura 1.12: Cavidade simétrica (a) em forma de um quadrado dentro da qual o movimento de uma partícula é regular e (b) em forma de círculo na qual o movimento de uma partícula também é regular e não-caótico. (c) Cavidade assimétrica em forma de bilhar onde o movimento de uma partícula é caótico. Figura retirada da ref. [42].
quais o transporte é difusivo, o movimento do elétron dentro da cavidade torna-se caótico se o tempo de permanência do elétron na cavidade é muito maior do que a escala de tempo do sistema difusivo, τpermanência τD. Porém, em pontos balísticos o caos não é originado de coli-sões com impurezas e sim devido a colicoli-sões elásticas nas paredes da cavidade. Sendo assim, a condição para que o movimento do elétron dentro do ponto quântico balístico seja caótico é o tempo de permanência do elétron ser muito maior que o tempo ergódico, τpermanência τerg. Em pontos balísticos, a geometria da cavidade é determinante para classificar o PQ como regular ou caótico. Por exemplo, se a cavidade é simétrica o movimento dos elétrons dentro desta cavidade é regular. Mas, se a cavidade é assimétrica o movimento tende a ser caótico [41]. O caos em sis-temas mesoscópicos é importante pois as propriedades universais de transporte quântico estão presentes quando o movimento do elétron nestes sistemas torna-se caótico. Nas figs. 1.12(a) e 1.12(b) vemos dois exemplos de cavidades simétricas nas quais o movimento de uma partícula é regular e não-caótico. Já a fig. 1.12(c) mostra uma cavidade em forma de bilhar na qual o movimento de uma partícula é caótico. Uma discussão geral sobre as técnicas de fabricação e também sobre os fenômenos observados em pontos quânticos é encontrada nas refs. [43, 44].
1.5
Sumário Geral da Tese
Neste capítulo introdutório discutimos os principais fenômenos mesoscópicos como o efeito Aharonov-Bohm, as flutuações universais de condutância, a localização fraca e a quan-tização da condutância. Falamos também sobre as escalas relevantes de transporte eletrônico coerente e apresentamos alguns dispositivos mesoscópicos, entre eles o ponto de contato quân-tico e o ponto quânquân-tico.
No capítulo seguinte vamos apresentar um formalismo teórico pioneiro usado para estu-dar o transporte eletrônico coerente, que é a abordagem de espalhamento de Landauer-Büttiker baseada na matriz de espalhamento. Vamos descrever também mais um fenômeno mesoscó-pico, as flutuações de corrente dependentes do tempo. Em seguida apresentaremos a fórmula de Levitov-Lesovik e a estatística de contagem de cargas para determinar os observáveis de
que simplifica a aplicação do formalismo das funções de Green para nanoestruturas.
No capítulo 4 propomos uma abordagem numérica baseada no método de Newton e a implementamos para a teoria quântica de circuitos. Usamos esta abordagem para determinar os observáveis de transporte em dois dispositivos mesoscópicos, uma cadeia de pontos quânticos (i) em série e (ii) em paralelo. Apresentaremos nossos resultados para estes dois sistemas.
No capítulo 5 empregamos a abordagem numérica para calcular os modos ressonantes de Fabry-Perot em redes de pontos quânticos, que são identificados como a singularidade de raiz quadrada inversa na distribuição de autovalores de transmissão ρ(Γ) quando Γ = 1. Vamos obter as propriedades críticas dos modos ressonantes de Fabry-Perot em uma rede linear e em um anel de pontos quânticos.
de Disparo e a Estatística de Contagem de
Cargas
Modelos de guias de ondas podem ser usados em um PCQ para ilustrar algumas das propriedades do transporte quântico [42]. Porém, do ponto de vista prático, estes modelos não representam a maior parte das situações experimentais reais. De modo geral, o transporte co-erente de elétrons é bem mais complexo. Por exemplo, para produzir uma nanoestrutura real são usadas várias técnicas de fabricação [44, 45, 46] e, mesmo com a mais avançada tecnologia, duas nanoestruturas que são construídas com o propósito de serem idênticas jamais serão iguais. Isto ocorre por causa de erros de fabricação e devido a defeitos ou impurezas que estão sempre presentes na nanoestrutura. As posições destes erros e defeitos no dispositivo são diferentes mesmo em duas nanoestruturas construídas para serem iguais. Consequentemente, os potenci-ais gerados por estes defeitos são aleatórios e não podem ser controlados. Quando os elétrons são transportados através da nanoestrutura sofrem espalhamentos pelos defeitos, o que afeta as propriedades de transporte. Desse modo, a condutância é aleatória e depende da configuração de desordem na nanoestrutura, i.e., depende de um número muito grande de parâmetros que não podem ser controlados. Neste contexto, entra a abordagem de matriz de espalhamento que simplifica bastante o problema do transporte quântico. Em tal abordagem, o transporte eletrô-nico é tratado como um problema de espalhamento. A condição para empregar esta abordagem é que os elétrons sofram apenas espalhamentos elásticos, sem perda de energia, ao atravessar a nanoestrutura. Esta condição é atendida sempre que a temperatura, a densidade eletrônica e a tensão aplicada são baixas. Assim, o espalhamento é caracterizado pela matriz de espalhamento que contém informações das funções de ondas dos elétrons longe da nanoestrutura. As propri-edades de transporte são descritas por autovalores de transmissão obtidos a partir da matriz de
