ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

Mecânica B – PME 2200 – Prova de Recuperação – 22/07/2014 Duração da Prova: 100 minutos

(Não é permitido o uso de calculadoras, celulares, tablets e/ou outros equipamentos similares) 1ª Questão (4,0 pontos)

No sistema indicado na figura ao lado, o disco de massa 2m e raio 2R gira, em relação ao garfo OC, em torno de um eixo paralelo a y e passante por O. O disco de massa m e raio R gira, em relação ao garfo CQ, em torno de um eixo paralelo a y e passante por Q. Estas velocidades angulares dos discos são constantes e valem O Oj r r ω ω = e Q Qj r r ω

ω = , respectivamente. Neste mesmo instante, a barra AB, de comprimento 2L e massa desprezível, gira com velocidade angular k

r r

Ω =

Ω , constante. Os garfos OC e CQ têm comprimento L e massa desprezível. Pede-se, para a base Cijk

r r r

, solidária aos garfos OC e CQ: (a) O momento da quantidade de movimento do disco de centro Q em relação

ao polo C

(b) O momento que o disco de centro Q aplica sobre o garfo QC.

(c) A relação entre ω_O e ω_Q para que as reações em A e B na direção y sejam nulas

2ª Questão (3,0 pontos)

No sistema indicado na figura ao lado, a barra OA, de massa m e comprimento L, encontra-se em um plano horizontal sem atrito e move-se inicialmente com velocidade angular OA OAk

r r

ω

ω =− , constante. Em um dado instante a barra OA choca-se com a barra BC, de massa m e comprimento L, inicialmente em repouso. Sabendo que o coeficiente de restituição vale e, com e > 0, determine o vetor de rotação da barra BC, ωr'_BC, no instante imediatamente após o choque.

3ª Questão (3,0 pontos)

Considere o problema idealizado, ilustrado ao lado. O cilindro de massa m e raio R pode girar em torno de um eixo fixo, cujo traço no plano do desenho é indicado por O. O cilindro é excêntrico, ou seja, seu centro de massa G está fora do centro. A excentricidade, e=(G−O), é conhecida. O momento de inércia do cilindro em torno do eixo fixo é JO.

Ao redor do cilindro está enrolada uma correia ideal que é presa a dois conjuntos lineares idênticos, compostos por mola e amortecedor, de constantes K e C. Considere que não haja escorregamento entre a correia e o cilindro e que a correia esteja sempre tracionada. O ângulo de giro, θ, é nulo quando o centro de massa G está na vertical de O. Usando θ como coordenada generalizada, pede-se:

(a) Escreva a função de energia cinética do sistema. (b) Escreva a função de energia potencial do sistema. (c) Escreva a função Lagrangiana do sistema.

(d) Escreva a função de dissipação de Rayleigh do sistema.

(e) Deduza a equação de movimento do sistema a partir da Equação de Lagrange.

K

C

_O

θ

G

g

K

C

A

g

_B

Ω

ω

Ο

L

L

2m,2R

y

z

x

C

O

Q

m,R

ω

Q

C

O

g

A

ωΟΑ

B

i r j r

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1ª Questão (4,0 pontos)

No sistema indicado na figura ao lado, o disco de massa 2m e raio 2R gira, em relação ao garfo OC, em torno de um eixo paralelo a y e passante por O. O disco de massa m e raio R gira, em relação ao garfo CQ, em torno de um eixo paralelo a y e passante por Q. Estas velocidades angulares dos discos são constantes e valem O Oj r r ω ω = e Q Qj r r ω

ω = , respectivamente. Neste mesmo instante, a barra AB, de comprimento 2L e massa desprezível, gira com velocidade angular k

r r

Ω =

Ω , constante. Os garfos OC e CQ têm comprimento

L e massa desprezível. Pede-se, para a base Cijk r r r

, solidária aos garfos OC e

CQ:

(a) O momento da quantidade de movimento do disco de centro Q em relação ao polo C

(b) O momento que o disco de centro Q aplica sobre o garfo QC.

(c) A relação entre ω_O e ω_Q para que as reações em A e B na direção y sejam nulas

Resolução:

(a) Para o disco de centro Q

(

)

_Q

[ ]

_Q

{

_abs

}

Q

m

G

Q

V

I

H

r

=

−

∧

r

+

ω

, em que G=Q k mR j mR H mR mR mR H_{Q Q Q Q} r r r r Ω + = ⇒           Ω                 = ⇒ 4 2 0 4 0 0 0 2 0 0 0 4 2 2 2 2 2

ω

ω

Fórmula da mudança de polo:

(

)

_Q Q C H Q C mV H r r r ∧ − + = , em queV_Q V_C

(

Q C

)

Lj r r r r Ω − = − ∧ Ω + = ⇒ HC mR Qj R L m k r r r Ω       + + = 2 2 2 4 2

ω

(1,0)

(b) Teorema da quantidade de movimento angular para o disco de centro Q

Q Q G Q mV V M H r r r & r + ∧ = k mR j mR H_{Q Q} & r &r & r Ω + = 4 2 2 2

ω

, em que 0 r &r = k e j k j i r r r &r Ω − = ∧ Ω = i mR M_{Q Q} r r Ω − = ⇒

ω

2 2

Assim, o momento que o disco de centro Q aplica sobre o garfo QC é

M

_Q

M

_Qx

i

mR

_Q

i

r

r

r

Ω

=

=

ω

2

2 (1,0)

mg

Y

Q

Z

Q

X

Q

M

Qz

M

Qx

A

g

_B

Ω

ω

Ο

L

L

2m,2R

y

z

x

C

O

Q

m,R

ω

Q

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(c) Aceleração do baricentro do disco de centro Q

(

Q C

)

[

(

Q C

)

]

a Li a a_{Q C Q} r r r r & r r r ₂ ) ⇒ =Ω − ∧ Ω ∧ Ω + − ∧ Ω + =

Teorema do movimento do baricentro para o disco de centro Q

     = = Ω = mg Z Y L m X Q Q Q 0 2

De maneira similar, para o disco de centro O:

k mR j mR H_{O O} r r r Ω + = 2 2 2 4

ω

,

o momento que o disco de centro O aplica sobre o garfo CO é M_O M_Oxi mR _O i

r r r Ω = = 2

ω

4 , i L a_O r r ₂ Ω − = e      = = Ω − = mg Z Y L m X O O O 2 0 2 2

Diagrama de corpo livre para a estrutura

A estrutura tem massa desprezível, de forma que:

     = = + = − − + mg Z Y Y X X X X A B A Q O B A 3 0 0 e 0 r r = A M        = = Ω − Ω + + − = Ω + Ω + − ⇒ 0 0 0 2 2 2 0 4 2 2 3 3 2 2 L m L m LX mgL mgL mR mR LY B O Q B

ω

ω

Portanto, para que YA e YB sejam iguais a zero:

⇒ = Ω + Ω 4 0 2 2 2 O Q mR mR

ω

ω

ω

_Q =−8

ω

_O (2,0) ZQ ZO MQx MOx XQ XO YA ZA XA YB XB

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2ª Questão (3,0 pontos)

No sistema indicado na figura ao lado, a barra OA, de massa m e comprimento L, encontra-se em um plano horizontal sem atrito e move-se inicialmente com velocidade angular OA OAk

r r

ω

ω =− , constante. Em um dado instante a barra OA choca-se com a barra BC, de massa m e comprimento L, inicialmente em repouso. Sabendo que o coeficiente de restituição no choque vale e, determine o vetor de rotação da barra BC, ωr'_BC, no instante imediatamente após o choque.

Resolução: Relações cinemáticas: Barra OA: V_A V_{O OA}

(

A O

)

_OALj r r r r

ω

ω

∧ − =− + = . De maneira similar, V _{A OA}Lj r r ' ' =−

ω

Barra BC: V _B V _{C BC}

(

B C

)

_BCL j r r r r 2 ' ' ' ' = +

ω

∧ − =−

ω

Diagramas de corpo livre dos impulsos

Barra OA: , barra BC:

Teorema do momento dos impulsos para a barra OA, polo O:

(

_OA

)

_O

[ ]

_O

{

_OA

}

(

_OA

)

_O

[ ]

_O

{

_OA

}

O O H IL mG O V I m G O V I M =∆ ⇒ = − ∧ +

ω

− − ∧ +

ω

r r r r ' ' , em que ' 0 r r r = = _O O V V

(

OA OA

)

zO J IL=

ω

−

ω

' ⇒

(

_{OA OA}

)

mL IL ' 3 2

ω

ω

− =

⇒

(1)

Teorema do momento dos impulsos para a barra BC, polo C:

(

BC

)

C

[ ]

C

{

BC

}

(

BC

)

C

[ ]

C

{

BC

}

C C m G C V I mG C V I L I H M =∆ ⇒ = − ∧ +

ω

− − ∧ +

ω

r r r r ' ' 2 , em que ' 0 r r r = = _C C V V BC mL L I ' 12 2 2

ω

=

⇒

(2) Coeficiente de restituição:

(

V

V

)

L

L

e

L

e

V

V

_B

−

_A

=

_A

−

_B

⇒

−

ω

_BC

+

ω

'

_OA

=

−

ω

_OA

2

'

'

'

(3)

Resolvendo o sistema, tem-se que

(

+

)

_⇒ = 2 2 ' OA e BC

ω

ω

OA

(

e

)

k BC r r 2 2 ' =

ω

+

ω

Y_O I X_O I YC XC

C

O

g

A

ωΟΑ

B

i r j r

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3ª Questão (3,0 pontos)

Considere o problema idealizado, ilustrado ao lado. O cilindro de massa m e raio R pode girar em torno de um eixo fixo, cujo traço no plano do desenho é indicado por O. O cilindro é excêntrico, ou seja, seu centro de massa G está fora do centro. A excentricidade, e=(G−O), é conhecida. O momento de inércia do cilindro em torno do eixo fixo é JO.

Ao redor do cilindro está enrolada uma correia ideal que é presa a dois conjuntos lineares idênticos, compostos por mola e amortecedor, de constantes K e C. Considere que não haja escorregamento entre a correia e o cilindro e que a correia esteja sempre tracionada. O ângulo de giro, θ, é nulo quando o centro de massa G está na vertical de O. Usando θ como coordenada generalizada, pede-se:

(a) Escreva a função de energia cinética do sistema. (b) Escreva a função de energia potencial do sistema. (c) Escreva a função Lagrangiana do sistema.

(d) Escreva a função de dissipação de Rayleigh do sistema.

(e) Deduza a equação de movimento do sistema a partir da Equação de Lagrange. Resolução:

(a) Como o cilindro gira em torno de um eixo fixo, a energia cinética do sistema é simplesmente dada por:

2 2 1 ) (θ& J_Oθ& T = (1) (0,5)

(b) A função de energia potencial do sistema é composta por uma parcela de natureza elástica e outra de natureza gravitacional: ) cos 1 ( ) cos 1 ( ) ( 2 1 2 ) (θ θ 2+ − θ = 2θ2+ − θ      = K R mge KR mge V . (2) (0,5)

(c) Assim, a função Lagrangiana fica:

(

(1 cos )

)

2 1 ) , (θ θ = J θ2− KR2θ2+mge − θ L & O& . (3) (0,5)

(d) Por sua vez, a função de dissipação de Rayleigh é escrita:

2 2 2 ) ( 2 1 2 )

(θ& C Rθ& CRθ&

R =      = (4) (0,5)

(e) Por fim a equação de movimento pode ser deduzida da equação de Lagrange apresentada na seguinte forma:

0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ −       ∂ ∂ θ θ θ& & R L L dt d , (5) (0,5) decorrendo, 0 sen 2 2 2 ₊ 2 _{+ =} + _{CR KR mge} θ

JOθ&& θ& θ . (6) (0,5)

Note que para pequenos deslocamentos, a equação fica aproximada, com erro de terceira ordem em θ, por,

(

2

)

0

2 2 + 2+ =

+ θ θ

θ CR KR mge

J_O&& & . (7)

K

C

_O

θ

G

g

K

C