Conteúdo. Conceitos e Resultados Gerais. 11 Combinatória. Introdução

Introdução

I

Conceitos e Resultados

Gerais

1.1 Sistemas matemáticos .. 1.2 Noção de conjunto ... 1.3 Linguagem proposicional . . 1.4 Operações sobre conjuntos.

1.5 União eintersecção generalizadas e quantificadores

1.6 Relações .

1.6.1 Relações de ordem . 1.6.2 Relações de equivalência.

1.6.3 Funções .

1.7 Cardinalidade...

1.8 Algumas notas históricas.

1.9 Exercícios .

2 Contextos e Estratégias de Demonstração 2.1 Estratégias de demonstração da implicação

2.1.1 Prova directa .

2.1.2 Demonstração por contraposição .. 2.1.3 Demonstração por redução ao absurdo 2.2 Princípio deindução .

2.3 Princípio da gaiola dos pombos

2.4 Exercícios .

11

Combinatória

3 Princípios de Enumeração Combinatória 3.1 Princípio da bijecção . . . . 3.2 Princípios da adição eda multiplicação. 3.3 Princípio de inclusão-exclusão 3.4 Exercícios .

Conteúdo

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4 Agrupamentos e Identidades Combinatórias

4.1 Arranjos com repetição .

4.2 Arranjos e combinações simples .

4.3 Combinações epermutações com repetição.

4.4 Permutações . 4.5 Identidades combinatórias 4.6 Exercícios . 71 71 72 77

8

1

5.1 Dependências recursivas simples .

5.2 Equações derecorrência homogéneas .

5.3 Equações derecorrência lineares não homogéneas

5.4 Equações de recorrência não lineares

5.5 Funções geradoras ... . . .

5.5.1 Séries formais depotências .

5.5.2' Funções geradoras ordinária e exponencial .

5.6 Equações de recorrência e funções geradoras . 5.7 Funções geradoras de várias variáveis.

5.8 Exércícios... . 93 93 95 102 106 109

110

11

5

11

8

6.1 Factoriais e números binomiais .

6.2 Números de Fibonacci e o número de ouro. 6.3 Números de Stirling 6.4 úmeros de Euler 6.5 úmeros deBell .. 6.6 úmeros de Catalan 6.7 Exercícios . . . . 127 127 130 136

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Aborda

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7 Conjuntos Parcialmente Ordenados e Reticulados

7.1 Conjuntos ordenados - definições básicas ...

7.2 Funções entre conjuntos parcialmente ordenados

7.3 Reticulados .

7.3.1 Definições e conceitos básicos .

7.3.2 Subreticulados eisomorfismos .

7.3.3 Reticulados distributivos ....

7.3.4 Representação de reticulados distributivos

7.3.5 Topologias finitas e reticulados .

7.4 Cadeias e anticadeias . . . .

7.5 Relações de ordem fraca, intervalar e semi-transitivas .

7.6 Teorema da inversão de Môbius

7.7 Conjuntos extremais 7.8 Exercícios . 155

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8 Divisibilidade e Aritmética Modular 8.1 AIgoritmo de Euclides . 8.2 Funções de Euler e de Mõbíus . 8.3 Relações ,de congruência . . . . 8.4 Equações epolinómios em corpos finitos 8.5 Corpos de Galois . . . . 8.6 Quadrados latinos e quadrados mágicos 8.7 Exercícios... 201 202 204 208 212 216 225 233

9 Designs Combinatórios e Geometrias Finitas

9.1 Designs combinatórios .

9.2 Planos projectivos e afins .

9.3 Quadrados latinos e planos afins eprojectivos 9.4 Espaços projectivos .. 9.5 Matrizes de Hadamard 9.6 Exercícios ... 237 237 244 254 259 263 267 10 Álgebras de Boole

10.1 Definições eresultados básicos ... 10.2 Cálculo proposicional e circuitos lógicos 10.3 Átomos e isomorfismos . 10.4 Funções booleanas . 10.5 Mapas de Karnaugh 10.6 Exercícios . 271 271 277 285 289 293 300

11 Grupos Finitos e Enumeração de Pólya

11.1 Introdução aos grupos finitos 11.2 Lema de Burnside 11.3 Teorema de Pólya. 11.4 Grupo diedral . 11.5 Exercícios . 305 305 310 314 319 321

IV

Teoria dos Grafos e Algoritmos

327

12 Conceitos e Resultados Fundamentais

12.1 Grafos orientados e não orientados . 12.2 Representações de grafos em computador . 12.3 Isomorfismos, grafos etiquetados e não etiquetados

12.4 Conceitos métricos .

12.5 Grafos e subgrafos particulares . 12.6 Exemplos de enumeração de grafos simples 12.7 Sequências de graus de vértices ..

12.8 Algoritrnos de pesquisa em grafos .

12.9 Exercícios . 329 , 329 333 335 336 338 341 343 347 350 13 Conexidade 13.1 Grafos Conexos . . . .

13.2 Determinação de componentes conexas .

13.3 AIgoritmo de fusão de vértices ... 13.4 Grafos orientados fortemente conexos ..

357 357 361 362 369

13.5 Algoritmo de Leifman

13.6 Exercícios .

371 375 14 Caminhos

14.1 Relações entre diâmetro, cintura e número de vértices 14.2 Pesquisa em largura em grafos sem custos nas arestas 14.3 Custos não negativos - algoritmo de Dijkstra . 14.4 Custos arbitrários - algoritmo de Bellman-Ford

14.5 Algoritmo de Floyd . 14.6 Exercícios . 379 379 385 387 392 394 397 15 Árvores 15.1 Árvores e florestas . . . .

15.2 Número de árvores abrangentes .

15.3 Geração de todas as árvores abrangentes .

15.4 Código de Prüfer .

15.5 Árvores abrangentes de custo mínimo 15.5.1 Algoritmo de Kruskal 15.5.2 Algoritmo de Prim 15.6 Exercícios . 401 401 403 406 410 413 413 416 418 16 Fluxos em Redes 16.1 Fluxo máximo em redes .

16.1.1 Teorema de Ford e Fulkerson . 16.1.2 Algoritmo para o fluxo máximo

16.2 Fluxo de custo mínimo .

16.2.1 Soluções básicas admissíveis . 16.2.2 Método simplex para redes

16.3 Exercícios . 423 423 425 428 432 433 437 444 17 Emparelhamentos

17.1 Emparelhamentos máximos eperfeitos 17.2 Emparelhamentos em grafos bipartidos ...

17.2.1 Sistemas de representantes distintos

17.2.2 Uma aplicação àpartição mínima de cpos em cadeias 17.2.3 Problema de afectação de tarefas ...

17.2.4 Problema de afectação óptima de tarefas .. 17.3 Emparelhamentos em grafos arbitrários . 17.4 Emparelhamentos em grafos com pesos nas arestas

17.5 Exercícios . 449 449 452 454 457 460 463 468 473 476 18Grafos de Euler e Grafos de Hamilton 18.1 Grafos de Euler .

18.1.1 Algoritmos de Hierholtzer ede Fleury 18.1.2 Problema do carteiro chinês

18.2 Grafos de Hamilton .

18.2.1 Código de Gray .

18.2.2 Problema do caixeiro viajante.

18.3 Exercícios . 479 480 483 485 489 493 496 502

19 Independentes, Cliques e Colorações

19.1 Conjuntos independentes e diques .

19.2 Coloração de vértices .

19.2.1 Uma aplicação das funções booleanas 19.2.2 Polinómios cromáticos ....

19.2.3 Colorações parciais eSudoku .

19.3 Coloração de arestas .

19.3.1 Números de Ramsey para grafos simples

19.4 Exercícios . 507 507 511 518 522 526 533 536 541

20 Grafos Planares e Generalizações

20.1 O ponto de vista topológico .

20.1.1 Realização de grafos em superfícies orientáveis

20.1.2 Menores e menores topológicos .

20.2 Grafos planares .

20.2.1 Propriedades dos grafos planares 20.2.2 Teorema de Kuratowski ...

20.2.3 Dualidade em grafos edigrafos planares

20.2.4 Grafos platónicos .

20.3 Grafos com genus positivo . . . . 20.3.1 Fórmula de Euler generalizada

20.3.2 Grafos g-platónicos .

20.4 Mapas e colorações .

20.4.1 Teorema das quatro cores .

20.4.2 Colorações em superfícies de genus positivo

20.4.3 Conjecturas de Hadwiger eHajós .

20.5 Exercícios . . . . 547 547 548 550 553 554 556 559 562 564 565 567 568 569 575 576 579

Apêndices

583

A.

l

A.2 A notação "o-pequeno"

(o)

A.3 Outras notações assimptóticas .

A.4 Teorema da recorrência universal

A.5 Exercícios . 585 585 588 589 591 593 B Notação 597 Bibliografia 601 Índice 607