Equilocs & Equitemps 1

Prof. Carlos R. Paiva Página 1

Nestes apontamentos discute-se a construção das linhas «equiloc» e «equitemp» para uma dado observador inercial

O

. Para fixar ideias vamos considerar que o observador em questão se desloca, em relação ao LAB (laboratório), com uma velocidade normalizada 1  v1 c 1 3. Se

designarmos por yct a linha de universo deste observador (i.e., a sua «equiloc»), podemos escrever – no referencial do LAB – que esta linha de universo corresponde à equação

1

y  x

em que, portanto, se tem 13. Vamos, ainda, considerar que existe um acontecimento A que, no

referencial do LAB, tem coordenadas



x_A,y_A



com yA ctA. Admitamos que se tem xA 1 e

3 2 yA .

Começamos por perguntar: qual é a «equitemp» de

O

que contém o acontecimento A ? Por outras palavras: qual é o acontecimento R que é – do ponto de vista de

O

– simultâneo com o acontecimento A ? A resposta encontra-se nas Figs. 1 e 2 da página seguinte.

No instante t (acontecimento P ) é enviado um sinal electromagnético de

O

para A . Neste

acontecimento A o sinal é instantaneamente reflectido de volta para

O

aí chegando no instante t_ (acontecimento Q ). Então, o acontecimento R simultâneo com A localiza-se sobre a linha de universo

O

a meia distância dos acontecimentos P e Q (Fig. 2). Por essa razão, o instante (para o observador

O

) do acontecimento R é t_R tal que





1 2

c t_R  ct_ct_ .

Na Fig. 2 também se indica o acontecimento B que – tal como A e R l – também pertence à mesma «equitemp»

O

_ do observador

O

. A notação traduz o facto de que – por definição – a «equiloc»

O

é ortogonal à «equitemp»

O

_.

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Podemos, agora, determinar – no referencial do LAB – as coordenadas dos acontecimentos P e Q da Fig. 2. O acontecimento P pertence à equação do sinal electromagnético

y x a

enquanto que o acontecimento Q pertence ao sinal electromagnético y  x b.

Como o acontecimento A se encontra na intersecção destes dois sinais, vem

y x a a y x y x b b y x         _{  }  _{ }   A A A A A A A A

pelo que, como xA 1 e yA3 2, vem

1 , 2 5 . 2 a b       

Mas então, como os acontecimentos P e Q pertencem à «equiloc»

O

cuja equação é y 1x,

infere-se que 1 1 1 1 1 1 a x y x a y x a y      _{ }  _    _   _{ }    _    P P P P P P donde, como 13, 1 , 8 3 . 8 x y  _{ }    _  P P Analogamente, obtém-se 1 1 1 1 1 1 b x y x b y x b y      _       _   _{ }    _{ }    Q Q Q Q Q Q

Prof. Carlos R. Paiva Página 4 5 , 4 15 . 4 x y  _{ }     _  Q Q

É agora possível determinar todas as coordenadas dos acontecimentos assinalados na Fig. 2 do ponto de vista do observador

O

. Designemos essas coordenadas por



x y para as distinguir das ,



coordenadas



x y relativas ao referencial do LAB. Obviamente, a «equiloc» das Figs. 1 e 2, ,



correspondente a y 1x em relação ao LAB, escreve-se agora

0 x .

Pelo acontecimento A passa a «equiloc» xxA enquanto que, pelo acontecimento B , deverá

passar a «equiloc» x x_A (Fig. 2). Qual é o valor de x_A? Facilmente se responde a esta questão se se tiver em consideração que o percurso do sinal electromagnético de x0 (acontecimento P ) até xxA (acontecimento A ) leva o mesmo tempo que o percurso inverso de xxA

(acontecimento A ) até x0 (acontecimento Q ). Logo





1 2

x_A  ct_ct_ .

Porém, como A e R pertencem à mesma «equitemp» de

O

, facilmente se infere que





1 2

y_Ay_By_R ct_ ct_ .

Recorda-se, aqui, que x_Px_Qx_R0.

Falta, portanto, determinar os valores de c t e c t para se poder, finalmente, calcular as

coordenadas A



x_A,y_A



do ponto de vista de

O

.

O problema é que a unidade de comprimento ao longo da «equiloc»

O

não é idêntica à unidade de comprimento do LAB. Porém, o comprimento unitário ao longo de

O

deverá valer um valor (desconhecido)  em termos da unidade do LAB.

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Assim, vem sucessivamente

2 2 2 2 , , c t x y c t x y      _{ }      P P Q Q







2 2 2 2



0, 1 , 2 2 x y c t c t_ c t_  x y x y     _{      }  R R R Q Q P P

















2 2 2 2 2 2 2 2 1 , 2 2 1 . 2 2 x c t c t x y x y y c t c t x y x y        _{     }    _{     }  A Q Q P P A Q Q P P

Para os valores numéricos considerados, vem:

2 2 2 2 5 10 , 4 10 . 8 c t x y c t x y             _{  }  Q Q P P

Para calcular o coeficiente  há que ter em consideração a hipérbole de calibração que passa pelo acontecimento A . A equação desta hipérbole, no referencial do LAB, é dada por

2 2 2 2 2 2 2

c t x  y x 

H

.

Para calcular o valor de basta substituir na equação anterior as coordenadas do acontecimento A dadas para o referencial do LAB:

1 5 3 2 2 x y      _  A A .

Esta hipérbole intersecta a linha de universo

O

, dada por y ₁x, no acontecimento



,



S x_S y_S

Prof. Carlos R. Paiva Página 6 2 1 2 2 2 2 1 1 1 ₂ 1 , 1 . 1 x x x y x       _{ }  _    _{ }  _{  }  _  S S S S S

Calculando numericamente, obtém-se:

2 2 2 1 2 LAB LAB 1 1 5 1 5 4 2 1 4 3 5 4 2 S S x x y y       _  _{         }  _{    }  _  S S OS OS .

Mas, por outro lado, tem-se – na verdadeira métrica de Minkowski – o valor

2 2 1 1 2 2 LAB 1 1 1 1 1 1              _{ }      OS OS

que, numericamente, corresponde a

2 5  . Assim, obtém-se: 9 2 , 8 11 2 . 8 x y      _  A A

Note-se que, portanto, esta métrica  depende exclusivamente do declive 1. Naturalmente, este

factor de conversão só faz sentido quando 11. Para 11 (sinal electromagnético) vem 0.

No outro extremo, quando 1  (caso do LAB), obtém-se 1.

De seguida vai-se analisar, geometricamente, o significado do acontecimento S sobre a linha de universo

O

. Para isso, porém, há que considerar a Fig. 3.

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Em primeiro lugar considera-se um novo observador (inercial)

P

a que pertence o acontecimento A das Figs. 1 e 2. O acontecimento O resulta da intersecção entre

O

e

P

. Faremos, doravante,

 

0,0

O para todos os observadores incluindo o referencial do LAB. Note-se que a linha de universo do observador

P

corresponde, no referencial do LAB, à equação

2

y x.

Para os valores numéricos considerados, vem

2 3 2 y x   A  A .

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Há ainda a necessidade de introduzir um terceiro observador – o referee – que se designará por

R .

Este terceiro observador árbitro está sempre colocado a «meio» caminho entre os dois observadores

O

e

P

no seguinte sentido: os sinais electromagnéticos emitidos pelo árbitro

R

, num certo instante (acontecimento U da Fig. 3), em direcção quer a

O

quer a

P

são reflectidos (acontecimento S de

O

e acontecimento A de

P

) e voltam simultaneamente ao observador árbitro

R

(acontecimento V da Fig. 3).

Do ponto de vista do observador

P

o acontecimento A tem coordenadas A



0, c



. Além disso, como se viu anteriormente, do ponto de vista do observador

O

tem-se, por outro lado,



0, ct_



P , R



0, ct_R



, S

 

0, e Q



0, ct_



. Então, introduzindo o factor  de Bondi, facilmente se verifica que

t t t t t t   _  _                 _  .

Note-se, também, que

2 1 t t t t  _          _{ }     .

Analogamente, sendo  o factor de Bondi entre

O

e

P

e  o factor de Bondi entre

O

e

R

,

vem ainda 2 x x x x x x t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t     _                               _{ }  _{ }  _  _  _{      }  _{ }  _   _{ }    _  

onde se considerou que, do ponto de vista de

O

, se tem S



0,ct_x



e, do ponto de vista de

R

, se tem U



0, ct_



e V



0, ct_



. Mas então, infere-se que

x

t t t

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Este último resultado expressa o chamado teorema de Minkowski: o comprimento OA é, na métrica não euclidiana do espaço-tempo de Minkowski, idêntico ao comprimento OS .

Seja  v c a velocidade normalizada relativa do observador

P

em relação ao observador

O

. Logo, como

 

v x y c t c     _{  }   A A A , vem 2 2 1 1 1 1 t x c t c t t t y c t c t t                    _  A A .

Daqui infere-se que, inversamente,

1 1       .

Para os valores numéricos considerados, vem 9 10 , 11 ct ct        .

Na página seguinte representam-se os vários observadores, o LAB, a hipérbole de calibração e os acontecimentos S e A : Fig. 3. Note-se que, no LAB, o acontecimento U



x yU, U



tem

coordenadas









1 2 1 2 x y y x x y y y x x  _{   }    _{   }  U S P S P U S P S P

Prof. Carlos R. Paiva Página 10 3 , 3 y y x x     U U .

Para os valores numéricos considerados, vem:

3 1 5 1 4 2 _{5 2} 5 2 1 5 1 4 2 x y x y        _ _    _{   }      _{ }    _ _  U U U U .