Filtros Butterworth
É um dos métodos mais usados para determinar filtros passa baixa a partir das especificações.
Muito usado por ser completamente analítico, dispensando análises numéricas ou tabelas.
Apesar de só tratar de filtros passa baixa, há várias transformações e métodos para transformar filtros passa baixa em passa alta, ou qualquer outro, de modo mais simples do que projetar diretamente filtros que não são passa baixa.
Sobre esta curva, algumas observações relevantes:
A transmissão tem característica decrescente monotônica;
A rejeição não chega ao valor zero, portanto todos os zeros estão em ω = ∞ Por ter todos os zeros na frequência infinita, é chamado de filtro “só polos”. A função de transferência de um filtro Butterwotrh de N-ésima com banda de passagem em ωp é |T (jω)| = r 1 1 + ǫ2ω ωp 2N , (1) E quando ω = ωp |T (jωp)| = 1 √ 1 + ǫ2. (2)
O parâmetro ǫ é determinado pela máxima variação da banda de passagem, Am ´ax
Am ´ax = 20 logp1 + ǫ2, (3)
rearranjada
ǫ =p10Am ´ax/10− 1. (4)
E desta última percebe-se que, a atenuação máxima na banda de passagem somente ocorre uma vez, exatamente na borda da banda, ωp.
Pode ser mostrado também que as primeiras 2N − 1 derivadas de |T | em relação a omega tem valor zero em ω = 0. E isto mostra que a resposta do Butterworth próxima a ω = 0 são maximamente planas.
E ainda, o perfil plano da passagem tende a aumentar a medida que N aumenta, aproximando o filtro ao modelo ideal.
Quanto à borda da banda de rejeição, ω = ωs, a atenuação é dada por A(ωs) = −20 log " 1 p1 + ǫ2(ω s/ωp)2N # (5) = 10 log 1 + ǫ2 (ωs/ωp)2N (6) E a partir desta equação, pode-se determinar a menor ordem,N , do filtro
Butterworth, tal que A(ωs) ≥ Am´i n
Caso se opte por isolar N, deve-se atentar a adotar o maior valor inteiro acima do valor encontrado. Ou pode-se adotar um processo iterativo, por tentativa e erro para solucionar a equação para diferentes valores de N, até que se atenda a inequação A(ωs) ≥ Am´i n.
Para se obter então os N polos do filtro Butterworth de N-ésima ordem utiliza-se o método gráfico.
Segundo a teoria de Butterworth, todos os polos do filtro estão igualmente espaçados, em ângulos de π/N, no plano C sobre o círculo de raio ωpǫ−
1/N. Com esta divisão, π/N, é obrigatório que, para manter o número de setores do círculo compatíveis com o número de polos, o primeiro polo a partir do eixo +jω esteja afastado deste eixo π/2N.
Cabem aqui mais algumas observações:
Todos os polos estão localizados à esquerda do plano s, e portanto o filtro é estável;
Os zeros não estão marcados, mas estão localizados em ω = ∞; Caso N seja ímpar, pelo menos, e somente um dos polos pertence a R; Todos polos complexos levam seu complexo conjugado a ser polo também. Uma vez encontrados todos os N polos, pode-se escrever a função de transferência do filtro em questão de acordo com
T(s) = Kω
2 0
(s − p0)(s − p1) · · · (s − pN)
(7) em que K é uma constante igual ao valor do ganho CC do filtro.
Algoritmo Butterworth
1 Determine ǫ (p10Am ´ax/10− 1);
2 Determine a ordem do filtro (A(ωs) = 10 log1 + ǫ2(ωs/ωp)2N); 3 Determine os polos a partir do plano s;
Filtros Chebyshev
É um método muito utilizado para obtenção analítica de filtros passa baixa. Apresentam característica equiripple na banda de passagem e monotônica decrescente na rejeição.
Todos filtros de ordem, N, ímpar têm |T (0)| = 1, e os de ordem par tem a atenuação máxima da banda de passagem em ω = 0.
Tanto para ordem par quanto para ordem ímpar, o número de máximos e mínimos na banda de passagem representa a ordem do filtro, N.
Todos os zeros de todo filtro Chebyshev estão localizados em ω = ∞, e o filtro tem característica “só polos”.
A função de transferência do filtro Chebyshev de N-ésima ordem na banda de passagem, com ripple, ωp é
|T (jω)| = 1
p1 + ǫ2cos2[N cos−1(ω/ω p)]
, para ω ≤ ωp, (8)
e na faixa de rejeição, monotônica
|T (jω)| = q 1
1 + ǫ2cosh2
[N cosh−1(ω/ω p)]
, para ω ≥ ωp, (9)
E na borda da banda de passagem, ω = ωp, a função de transferência tem valor |T (jωp)| =
1 √
Novamente, o parâmetro ǫ é determinado pelo ripple da banda de passagem, Am ´ax Am ´ax = 20 logp1 + ǫ2, (11) rearranjada
ǫ =p10Am ´ax/10− 1. (12)
A atenuação do Chebyshev na borda da banda de rejeição é dada por A(ωs) = 10 log 1 + ǫ2 cosh2 Ncosh−1(ω s/ωp) , (13) e dela, por um processo analítico, isolando N, ou por um processo iterativo, atribuindo-se diferente valores a N, pode-se encontrar o menor número inteiro que satisfaça A(ωs) ≥ Am´i n.
E assim como no Butterworth, quanto maior N, mais próximo do modelo ideal o filtro se apresenta.
Ao contrário do filtro Butterowrth que demanda análise gráfica para se obter os polos, o filtro Chebyshev apresenta solução analítica para os polos.
pk = − ωpsin 2k − 1 N π 2 sinh 1 N sinh −11 ǫ + (14) jωpcos 2k − 1 N π 2 cosh 1 Nsinh −11 ǫ , k = 1, 2, · · · , N (15) E a função de transferência tem aspecto
T(s) = Kω
N p
Observações finais sobre o filtro Chebyshev:
O filtro Chebyshev tem eficiência melhor que o Butterworth;
Para os mesmos parâmetros de Am ´ax e N, o filtro Chebyshev apresenta maior banda de rejeição do que o Butterworth;
Do mesmo modo, para a exata mesma especificação, o filtro Chebyshev demanda menor ordem do que o Butterworth.
Algoritmo Chebyshev
1 Determine ǫ (p10Am ´ax/10− 1);
2 Determine a ordem do filtro
(A(ωs) = 10 log 1 + ǫ2 cosh2 Ncosh−1(ω s/ωp) );
3 Determine os polos a partir da equação para pk, com k = 1, 2, · · · , N; 4 Encontre T (s).
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