BOLETIM DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

(1)

B

OLETIM DE

I

NICIAÇÃO

C

IENTÍFICA

EM

M

ATEMÁTICA

– BICM

AT

V

OLUME

V

O

UTUBRO DE

2008

D

EPARTAMENTO DE

M

ATEMÁTICA

IGCE – R

IO

C

LARO

(2)

BOLETIM DE

INICIAÇÃO

CIENTÍFICA EM

M

ATEMÁTICA

– BICMAT

Comissão editorial

Ali eKimieMiwaLibardi

NativiVianaPereiraBertolo

SergioRobertoNobre

Editoração gráfica

ThiagodeMelo

Realização

ConselhodeCursodeGraduaçãoemMatemáti a

Departamento deMatemáti a

IGCE UnespRioClaro

(3)

O Boletim de Ini iaçãoCientí a em Matemáti a BICMaté uma

publi- açãoquesedestinaadifundirprioritariamentetrabalhosdeini iação ientí a

quefazem partede projetosdesenvolvidosporalunosdoCursode Graduação

em Matemáti a do IGCE Unesp Rio Claro. Eventualmente trabalhos de

Ini iaçãoCientí a realizados em outras instituiçõespoderãotambém ser

pu-bli adosneste Boletim.

OBICMatfoi riadoem1998enessaépo aforampubli adosdoisvolumes;

oprimeironoanode riaçãoeosegundoem2000.

Considerando aimportân ia daIni iação Cientí a para ograduando, e o

sempre res ente número de projetos desta natureza desenvolvidos em nossa

instituição,resolvemosreativarapubli açãodoBICMat, omISSN1980-024X.

Desta amos que a autoria dos trabalhos apresentados no BICMat é dos

alunos. Oorientadorguraapenas omo responsável ientí o.

Este Boletimtambém estáabertoàdivulgaçãodetrabalhosquenãosejam

frutosdeprojetosdeini iação ientí a,masquesejamdeinteressedosalunos

do ursodegraduaçãoemMatemáti a. Estestrabalhosserãosele ionadospelos

Editores.

Este númeroteveapoiodoGrupodePesquisa: TopologiaAlgébri a,

Difer-en ial e Geométri a edo Grupo PET/Matemáti a/Unesp/Rio Claro e estará

disponibilizadoeletroni amentenapáginadoDepartamentodeMatemáti ano

(4)

(5)

Teorema de Mayer-Vietoris

Allan Edley Ramos de Andrade . . . .

7

Sobre a Existên ia de Campos deVetores naEsfera

Diego Franchini Kwiatkoski . . . 17

Homeomorsmos e Homotopias

Karen Regina Panzarin . . . 51

Teorema Fundamental da Álgebra

Northon Canevari Leme Penteado . . . 57

A Conexão Como Invariante Topológi o

Cristiane Rodrigues, Flavia Graciani,

Paulo R. Isler e Rodrigo de S. Bortolucci . . . 63

Introdução à Dinâmi a na Vizinhança do Ponto Lagrangeano

L

1

(6)

(7)

AllanEdleyRamos de Andrade

Orientador(a): João Peres Vieira

Resumo:

OobjetivodestetrabalhoédemonstraroTeoremadeMayer-Vietoris.

Palavras-chave:

homotopia, extensão, levantamento, grupos, seqüên ias exa-tas.

1 Preliminares

Nesta seção resumiremos algumas denições, lemas, teoremas, orolários e

proposições ne essários para oentendimento da demonstração do teoremade

Mayer-Vietoris(Teorema17)naseção2. Todasaprovasdestaseçãopodemser

en ontradasnareferên ia[1℄. Ini iamos omo

Lema 1.

Sejam

X

umespaço,

X

1

e

X

2

sub onjuntosfe hados de

X

, om

X =

X

1 ∪ X

2

. Seja

f : X

→ Y

uma função, ujas restrições

f

1 : X

1 → Y

e

f

2 : X

2 → Y

são ontínuas. Então

f

é ontinua.

Definição 2.

H

0 _(X)

éo onjuntodasfunções ontínuas

f : X

→ Z.

Lema 3.

Se

f, g : X

7−→ Z

são funções ontínuas, denimos

−f : X → Z

e

(f + g) : X

_{→ Z}

por

(

−f)(x) = −f(x), (f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀ x ∈ X

. Então

−f

e

(f + g)

são ontínuase

H

0 _(X)

éum grupo omessaoperação.

Seja

f : X

→ Y

umafunção ontínua.

Definição 4.

Denimos

f

∗

_{: H}

0 _(X)

_{→ H}

0 _{(Y )}

por

f

∗

_{(g) = g}

_{◦ f.}

Lema 5.

f

∗

éum homomorsmo. Se 1é aidentidade de X,

1 ∗

é aidentidade de

H

0 _(X)

. Se

f : X

→ Y

e

g : Y

→ Z

,então

(g

◦ f)

∗

_{= f}

∗

◦ g

∗

_.

(8)

Definição 6.

Duasfunções ontínuas

f, g : Y

→ X

são hamadashomotópi as, se existe uma função ontínua

F : Y

× I → X

onde para todo

y

∈ Y

temos

F (y, 0) = f (y)

e

F (y, 1) = g(y)

. Quando isto o orre, dizemos que

F

é uma homotopiaentre

f

e

g

,edenotamos por

F : f

≃ g

. Se

f

é homotópi aauma função onstante,elaé hamadahomotopi amentenula.

Lema 7.

Homotopiaéumarelaçãodeequivalên iaentrefunções ontínuas

Y

→

X.

Classesdeequivalên ia riadasapartirdarelaçãodehomotopiasão

hama-das lasses de homotopia; denotaremos por

[Y, X]

o onjunto das lasses de homotopiadasfunções

f : Y

→ X

e

[f ]

a lassedeequivalên ia ontendo

f

.

Lema 8.

Considere

h : Z

→ Y

,

g : Y

→ X

e

W

um outro espaço. Sendo

g

∗

_{: [X, W ]}

_{→ [Y, W ]}

,dada por

g

∗

_{[f ] = [f}

_{◦ g]}

,temos que

h

∗

_{◦ g}

∗

_{= (g}

_{◦ h)}

∗

.

Lema 9.

O onjunto

MAP(X, S

1 ₎

, omaoperação

∗ : MAP(X, S

1 ₎

× MAP(X, S

1 ₎

→ MAP(X, S

1 ₎

dada por

(f, g)

7→ f ∗ g : X → S

1

, onde

(f

∗ g)(x) = f(x)g(x)

, é um grupo abeliano. Estaoperação

∗

é ompatível omhomotopia. O onjunto

[X, S

1 _]

om aoperação

∆ : [X, S

1 _]

× [X, S

1 _]

→ [X, S

1 _]

dadapor

∆([f ], [g]) = [f

∗ g]

,adquire aestruturade umgrupo. Se

f : Y

→ X

é ontínua,

f

∗

_{: [X, S}

1 _]

→ [Y, S

1 _]

éum homomorsmo. Denotaremos

[X, S

1 _]

, omaestruturadegrupoa ima,por

H

1 _(X)

.

Problemas de levantamento. Dadas

f : X

→ Y

,

g : Z

→ Y

ontínuas, quandoexiste

h : X

→ Z

ontínua om

g

◦ h = f

?

Z

g

X

h

_~

~

>>

~

f

// Y

(9)

Problemas de Extensão. Dadas

g : B

→ A

,

f : B

→ C

ontínuas,quando existe

h : A

→ C

ontínua om

h

◦ g = f

?

B

f

g

// A

h

~

C

Teorema 10.

Dado

X

um espaço,

f

e

0 : X

→ R

uma função ontínua e

F :

X

× I → S

1

umahomotopia quepara ada

x

∈ X

,

F (x, 0) = e( e

f

0 (x))

. Então existe umaúni ahomotopia

F : X

e

× I → R

om

e

◦ e

F = F

e

F (x, 0) = e

e

f

0 (x)

.

Corolário 11.

Para todo espaço

X

, uma função ontínua

f : X

→ S

1

tem

um levantamento

f : X

e

→ R

se, esomente se,

f

é homotópi a àuma função onstante.

Prova:

Como

R

é ontrátil,

f

e

é homotopi amente nula e assim

f = e

◦ e

f

é homotopi amente nula. Re ipro amente,seja

F : f

0 ≃ f

, om

f

0

uma função onstante omimagem

z

0

e

a

0 ∈ R

om

e(a

0 ) = z

0

. Considere

f

e

0

omo sendo afunção onstante omimagem

a

0

. EntãopeloTeorema10,podemoslevantar ahomotopia

F

à

F : X

e

× I → R

om

e

◦ e

F = F

e

F (x, 0) = e

e

f

0 (x)

. Dena

e

f : X

_{→ R}

por

f (x) = e

e

F (x, 1)

. Então

f

e

levanta

f

pois

(e

◦ e

f )(x) = e

◦ e

F (x, 1) =

F (x, 1) = f (x)

.

Teorema 12.

Sejam

J

um intervalo aberto em

R

,

A

e

B

omo no teorema anterior. Entãoqualquerfunção ontínua

f : A

→ J

temumaextensão ontínua

F : B

_{→ J}

.

Proposição 13.

Sejam

B

um espaço,

A

umsubespaçofe hado de

B

,

f

0 : B

→

S

1

e

g

t

: A

→ S

1

uma homotopia om

g

0 = f

0 |

A

. Então

g

t

pode ser estendida àumahomotopia

f

˜

t

om

f

˜

0 = f

0

.

Definição 14.

Dadostrêsgrupos

X

1 , X

2 , X

3

edoishomomorsmos

φ

1 , φ

2

for-mandouma seqüên ia

X

1 φ

1 −→ X

2 φ

2

(10)

se

ker(φ

2 ) = Im(φ

1 )

.

Definição 15.

Denimos afunção

e : R

→ S

1

por

e(t) = exp(2πit).

As pro-priedadesusuaisdafunçãoexponen ialmostramque

e

é ontínuaesobrejetora,e queéumhomomorsmodogrupoaditivo

R

paraogrupomultipli ativo

S

1

,pois

e(t + u) = exp(2πi(t + u)) = exp(2πit + 2πiu) = exp(2πit) exp(2πiu) = e(t)e(u)

.

Lema 16.

OKernelde

e

éosubgrupo

Z

dos inteiros.

Prova:

ker(e) =

_{{x ∈ R; e(x) = 1} = {x ∈ R; exp(2πix) = 1}}

. Mas

exp(2πix) = 1

⇐⇒ log(exp(2πix)) = log(1) ⇐⇒

⇐⇒ 2πix = ln |1| + i(arg(1) + 2kπ), k ∈ Z ⇐⇒

⇐⇒ 2πix = i2kπ ⇐⇒ x = k, k ∈ Z.

Portanto

ker(e) =

{x; x ∈ Z}

.

2 O Teorema de Mayer-Vietoris

Nesta seçãoxaremosaseguintenotação:

Y

éumespaço;

X

1 , X

2

são sub-espaçosfe hados om

Y = X

1 ∪ X

2

e

W = X

1 ∩ X

2

(oqualtambéméfe hado). Denotaremosasfunçõesin lusões omonodiagrama

X

1 j

1 A

A

W

i

1 ==

|

i

2 !!B

B

k

// Y

X

2 j

2 >>

}

taisque,

k = j

1 ◦ i

1 = j

2 ◦ i

2

.

Teorema 17.

Existeum homomorsmo

δ

∗

_{: H}

0 _{(W )}

_{→ H}

1 _{(Y )}

(11)

aseqüên ia

0 // H

0 _{(Y )}

(j

∗

1 ,−j

∗

2 )

// H

0 _(X

1 )

⊕ H

0 (X

2 )

(i

∗

1 ,i

∗

2 )

// H

0 _{(W )}

δ

∗

_//

δ

∗

// H

1 _{(Y )}

(j

1 ∗

,−j

2 ∗

)

// H

1 _(X

1 )

⊕ H

1 (X

2 )

(i

∗

1 ,i

∗

2 )

// H

1 _{(W ) .}

Prova:

Exatidãoem

H

0 _{(Y )}

: Dada

(h : Y

→ Z) ∈ ker(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)

,então

(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)(h) = (j

1 ∗

(h),

−j

2 ∗

(h)) = (0, 0),

ou seja,

0 = j

∗

1 (h) = h

◦ j

1 = h

|

X

1

e também

0 =

−j

∗

2 (h)

, o que impli a

0 = j

∗

2 (h) = h

◦ j

2 = h

|

X

2

. Como

Y = X

1 ∪ X

2

temos

h = 0

e portanto

ker(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

) = 0

. Exatidãoem

H

0 _(X

1 )

⊕ H

0 (X

2 )

: Dada

(j

∗

1 (f ),

−j

2 ∗

(f ))

∈ Im(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)

,então

(i

∗

1 , i

∗

2 )(j

1 ∗

(f ),

−j

2 ∗

(f )) = i

∗

1 ◦ j

1 ∗

(f ) + i

∗

2 ◦ (−j

2 )

∗

(f ) =

= (j

1 ◦ i

1 )

∗

(f )

− (j

2 ◦ i

2 )

∗

(f ) = k

∗

(f )

− k

∗

(f ) = 0.

Logo

Im(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)

⊆ ker(i

∗

1 , i

∗

2 ).

(1.1) Re ipro amente,dada

(g

1 , g

2 )

∈ ker(i

∗

1 , i

∗

2 )

, então

0 = (i

∗

1 , i

∗

2 )(g

1 , g

2 ) = i

∗

1 (g

1 ) + i

∗

2 (g

2 ) = g

1 |

W

+ g

2 |

W

.

Queremos en ontrar

h

∈ H

0 _{(Y )}

tal que

(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)(h) = (g

1 , g

2 )

. Denamos então

h : Y

→ Z

por

h

|

X

1 = g

1

e

h

|

X

2 =

−g

2

. Assim, temos que

h

está bem denida pois

g

1 |

W

+ g

2 |

W

= 0

, isto é,

g

1

e

−g

2

oin idem em

W = X

1 ∩ X

2

. Como

g

1

e

g

2

são ontínuase

X

1

e

X

2

sãofe hados,pelolema1,

h

é ontínua. Agora,

g

1 = h

|

X

1 = j

∗

1 (h)

e

g

2 =

−h|

X

2 =

−j

∗

2 (h)

, logotemos que

(g

1 , g

2 ) =

(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)(h)

eportanto

ker(i

∗

1 , i

∗

2 )

⊆ Im(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

).

(1.2)

Por(1.1)e(1.2)temos

ker(i

∗

(12)

Denição de

δ

∗

: Dada

l : W

→ Z

ontínua, ompondo om a in lusão

i : Z

→ R

,temos

i

◦ l : W → R

ontínua,eportantopelo teorema12,podemos estender

i

◦ l

àumafunção ontínua

g : X

1 → R

. Denamosentão

h : Y

→ S

1

por

h

|

X

1 = e

◦ g

,

h

|

X

2 =

{1}

. Temos que

e

◦ g : X

1 → S

1

e

c : X

2 → S

1

om

c(x) = 1,

∀ x ∈ X

2

, são ontínuaseaindatemosque oin idemem

W = X

1 ∩ X

2

,pois,dado

y

∈ W =

X

1 ∩ X

2

,temos

g(y) = l(y)

∈ Z

,epelolema16

(e

◦ g)(y) = e(g(y)) = 1 = c(y)

, eassim,pelo lema1temosque

h

é ontínua. Denamos

δ

∗

_{(l) = [h]}

.

δ

∗

está bem denida: Suponhaque exista

g

′

_{: X}

1 → R

outra extensão de

i

_◦l

. Então

δ

∗

_{(l) = [h}

′

_]

onde

h

′

_{: Y}

→ S

1

édadapor

h

′

|

X

1 = e

◦g

′

e

h

′

|

X

2 =

{1}

. Temosquemostrarque

h

≃ h

′

.

Seja

G : X

1 × I → R

dadapor

G(x, t) = (1

− t)g(x) + tg

′

_(x)

. Temosque

G

é ontínuapoisésoma defunções ontínuase

G(W

× I) = (i ◦ l)(W ) ⊆ Z

pois dado

(w, t)

∈ W × I, G(w, t) = (1 − t)g(w) + tg

′

_(w)

e omo

g

e

g

′

sãoextensões

de

i

◦ l

, segue que

G(w, t) = (1

− t)(i ◦ l)(w) + t(i ◦ l)(w) = (i ◦ l)(w)

. Assim podemosdenir

H : Y

× I → S

1

por

H(x, t) =

e

◦ G(x, t),

se

x

∈ X

1 1,

se

x

∈ X

2 .

Temosque

H

éumahomotopiaentre

h

e

h

′

, poisé ontínuapelolema1e

H(x, 0) =

e

_{◦ G(x, 0),}

se

x

∈ X

1 1,

se

x

∈ X

2 = h(x),

H(x, 1) =

e

_{◦ G(x, 1),}

se

x

∈ X

1 1,

se

x

∈ X

2 = h

′

(x).

Portanto

h

≃ h

′

.

δ

∗

éum homomorsmo: Dadas

f : W

→ Z

e

f

′

_{: W}

_{→ Z}

funções ontínuas,

g : X

1 → R

e

g

′

_{: X}

1 → R

extensões ontínuasde

i

◦ f

e

i

◦ f

′

,respe tivamente, então

δ

∗

_{(f ) = [h]}

, onde

h : Y

→ S

1

é dadapor

h

|

X

1 = e

◦ g

,

h

|

X

2 =

{1}

, e

δ

∗

_(f

′

_{) = [h}

′

_]

,onde

h

′

_{: Y}

_{→ S}

1

édadapor

h

′

_|

X

1 = e

◦ g

′

,

h

′

_|

X

2 =

{1}

.

(13)

Temos que

g + g

′

_{: X}

1 → R

, denida por

(g + g

′

_{)(x) = g(x) + g}

′

_(x)

, é

uma extensão ontínua de

i

◦ (f + f

′

_{) : W}

_{→ R}

dada por

i

◦ (f + f

′

_{)(x) =}

i

_{◦f(x)+i◦f}

′

_(x)

,poispara

x

∈ W

,

(g+g

′

_{)(x) = g(x)+g}

′

_{(x) = i}

◦f(x)+i◦f

′

_{(x) =}

i

◦ (f + f

′

_)(x)

. Também

g + g

′

é ontínuapoisésomadefunções ontínuas.

Assim,

δ

∗

_{(f + f}

′

_{) = [h}

′′

_]

,onde

h

′′

_{: Y}

→ S

1

édenida por

h

′′

|

X

1 = e

◦ (g +

g

′

_{), h}

′′

_|

X

2 =

{1}

. Agora,

e

◦ (g + g

′

_{) = (e}

_{◦ g)(e ◦ g}

′

_{) = h}

_|

X

1 h

′

_|

X

1 = (hh

′

₎

_|

X

1

e

h

′′

|

X

2 =

{1} = (hh

′

₎

|

X

2

. Logo

h

′′

_{= hh}

′

, onde

hh

′

_{: Y}

→ S

1

é dada por

(hh

′

_{)(x) = h(x)h}

′

_(x)

. Assim,

δ

∗

_{(f + f}

′

_{) = [h}

′′

_{] = [hh}

′′

_{] = [h][h}

′

_{] = δ}

∗

_{(f )δ}

∗

_(f

′

₎

. Exatidãoem

H

0 _{(W )}

: (i)

Im(i

∗

1 , i

∗

2 )

⊆ ker(δ

∗

)

. Dados

g

1 : X

1 → Z ∈ H

0 _(X

1 )

e

g

2 : X

2 → Z ∈ H

0 _(X

2 )

, om

i

∗

1 ◦ g

1 = f

1

e

i

∗

2 ◦ g

2 = f

2

,queremosmostrarque

δ

∗

_((i

∗

1 , i

∗

2 )(g

1 , g

2 )) = [k]

,onde

k : Y

→ S

1

édadapor

k(x) = 1,

∀ x ∈ Y

. Como

i

◦g

1

éumaextensãode

i

◦f

1

,temosque

δ

◦f

1 = [h

1 ]

,onde

h

1 : Y

→ S

1

édadapor

h

1 |

X

1 = e

◦ (i ◦ g

1 )

,

h

1 |

X

2 =

{1}

. Como

i

◦ g

1 (X

1 )

⊆ Z

,temospelo lema16 que

e

◦ (i ◦ g

1 (X

1 )) =

{1}

; assim

h

1 : X

1 → S

1

é iguala função

k

e portanto

δ

∗

◦ f

1 = [h

1 ] = [k]

. Seja

g

2 ′

_{: X}

1 → R

uma extensão de

i

◦ f

2 : W

→ R

. Então

g

2 ′

_{(x) =}

(i

_{◦ g}

2 )(x),

∀ x ∈ W

,poisambasasfunçõesestendem

i

◦ f

2

. Denamosentão

˜

h

2 : Y

→ R

por

h

˜

2 |

X

1 = g

2 ′

_{; ˜}

_h

2 |

X

2 = i

◦ g

2

que é ontínua pelo lema 1. Temos que

g

2 ′

é uma extensão de

i

◦ f

2

e então

δ

∗

_(f

2 ) = [h

2 ]

,onde

h

2 : Y

→ S

1

edadopor

h

2 |

X

1 = e

◦ g

2 ′

e

h

2 |

X

2 =

{1}

. Armamos que

h

˜

2

éumlevantamentode

h

2

,poispara

x

∈ X

1

,

e

◦ ˜

h

2 (x) =

e

_{◦ g}

2 ′

(x) = h

2 (x)

epara

x

∈ X

2

,

e

◦ ˜

h

2 (x) = e

◦ (i ◦ g

2 (x)) = 1 = h

2 (x)

. Como

h

2

possuiumlevantamento,pelo orolário11temosque

h

2

éhomotopi amente nula. Assim

h

2 ≃ c,

onde é uma função onstante; e omo a função on-stante

c

éhomotópi a àfunção onstante

k

, temos

[h

2 ] = [k]

, edaí segue que

δ

∗

_(i

∗

1 , i

∗

2 )(g

1 , g

2 ) = δ

∗

(f

1 + f

2 ) = δ

∗

(f

1 )δ

∗

(f

2 ) = [h

1 ][h

2 ] = [k][k] = [k]

. (ii)

Im(i

∗

1 , i

∗

2 )

⊇ ker(δ

∗

)

. Dado

f : W

→ Z ∈ ker(δ

∗

₎

, seja

g : X

1 → R

uma extensãode

i

◦ f

e

h

omona deniçãode

δ

∗

_{(f )}

(14)

nula, pois

[k] = δ

∗

_{(f ) = [h]}

. Assimpelo orolário11 podemos en ontrar um

levantamento

eh : Y → R

de

h

. Como

h(X

2 ) =

{1}

, devemoster

e

◦ eh(X

2 ) =

h(X

2 ) =

{1}

,ouseja

eh(X

2 )

⊆ Z

. Desta forma

eh

deneuma função

g

2 = e

h

|

X

2 :

X

2 → Z

.

Temostambémqueambasasfunções

eh|

X

1

e

g

levantamafunção

h

|

X

1 = e

◦g

e assim a bem denida a função

g

1 : X

1 → Z

dada por

g

1 (y) = g(y)

−

eh(y)

, pois para

y

∈ X

1

,

e

◦ g

1 (y) = e(g(y)

− eh(y)) = e(g(y))e(−eh(y)) =

(h

|

X

1 )(y)(e(e

h(y))

−1

_{= (h}

_|

X

1 )(y)((h

|

X

1 )(y))

−1

_{= 1}

,ouseja

g

1 (y)

∈ Z

.

Agora,para

w

∈ W

,

g

1

e

g

2

estãodenidas e

f (w) = g(w) = g

1 (w) + e

h(w)

, ouseja,

(i

∗

1 , i

∗

2 )(g

1 , g

2 ) = i

∗

1 ◦ g

1 + i

∗

2 ◦ g

2 = g

1 |

W

+ g

2 |

W

= g

1 |

W

+ e

h

|

W

= f

.

Exatidão em

H

1 _{(Y )}

: Ini ialmenteobservemosque

−j

∗

2 : H

1 (Y )

→ H

1 (X

2 )

édenidapor

−j

∗

2 [h] = [h

◦ j

2 ]

−1

(inversada lasse

[h

◦ j

2 ])

. (i)

Im(δ

∗

₎

_{⊆ ker(j}

∗

1 ,

−j

2 ∗

)

. Dada

(f : W

→ Z) ∈ H

0 _{(W )}

,queremos mostrar que

(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)δ

∗

(f ) = ([e

1 ], [e

2 ])

,onde

e

1 : X

1 → S

1

édadapor

e

1 (x) = 1,

∀ x ∈

X

1

e

2 : X

2 → S

1

édadapor

e

2 (x) = 1,

∀ x ∈ X

2

.

Seja

g : X

1 → R

umaextensãode

i

◦f

e

h

omonadeniçãode

δ

∗

_{(f )}

. Então

(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)δ

∗

(f ) = (j

1 ∗

(δ

∗

(f )),

−j

∗

2 (δ

∗

(f ))) =

= (j

1 ∗

([h]),

−j

2 ∗

([h])) = ([h

◦ j

1 ], [h

◦ j

2 ]

−1

).

Temosque

h

◦ j

1 : X

1 → S

1

édadapor

h

◦ j

1 (x) = e

◦ g(x)

pois

j

1 (x)

∈ X

1

, ou seja,

h

◦ j

1

possui um levantamento

g : X

1 → R

. Segue novamente pelo orolário 11 que

h

◦ j

1

é homotopi amente nula e pelos mesmos argumentos feitosanteriormentetemos

[h

◦ j

1 ] = [e

1 ]

.

Temos também que

h

◦ j

2

é dado pela função onstante igual a 1, logo

[h

◦ j

2 ]

−1

= [e

2 ]

−1

= [e

2 ]

. Finalmente temosque

(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)δ

∗

(f ) = ([h

◦ j

1 ], [h

◦ j

2 ]

−1

) = ([e

1 ], [e

2 ]).

(ii)

ker(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)

⊆ Im(δ

∗

)

. Dada

[h]

∈ ker(j

∗

(15)

f

_{∈ H}

0 _{(W )}

om

δ

∗

_{(f ) = [h]}

. Temosque

([e

1 ], [e

2 ]) = (j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)[h] = ([h

◦ j

1 ], [h

◦ j

2 ]

−1

).

Assim

h

◦ j

1 ≃ e

1

e

h

◦ j

2 ≃ e

2

,eportantoseguequeasrestrições

h

|

X

1 = h

◦ j

1

e

h

|

X

2 = h

◦ j

2

sãofunçõeshomotópi asàsfunções

e

1

e

2

respe tivamente. Pela proposição 13,ahomotopiaentre

h

|

X

2

e

2

pode serestendidaauma homotopiaentre

h

e

h

′

_{: Y}

→ S

1

om

h

′

|

X

2 =

{1}

. Agora

h

′

|

X

1

éhomotópi aa

h

|

X

1

e omo

h

|

X

1

éhomotópi aa

e

1

,temospelo lema7que

h

′

|

X

1

éhomotópi aa

e

1

,eportantoseguepelo orolário11que

h

′

|

X

1

temumlevantamento

g : X

1 → R

.

Seja

f = g

|

W

. Então

f

se levanta àfunção

W

→ {1}

, poispara

x

∈ W

,

e

_{◦ f(x) = e ◦ g(x) = h}

′

_{(x) = 1}

. Logo

f

assume valores em

Z

. Agora pela onstruçãode

f

temos que

δ

∗

_{(f ) = [h}

′

_{] = [h]}

. Exatidão em

H

1 _(X

1 )

⊕ H

1 (X

2 )

: (i)

Im(j

∗

1 ,

−j

2 ∗

)

⊆ ker(i

1 ∗

, i

∗

2 )

. Temosque

(i

∗

1 , i

∗

2 )(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

) = i

∗

1 j

1 ∗

− i

2 ∗

j

2 ∗

= (j

1 ◦ i

1 )

∗

− (j

2 ◦ i

2 )

∗

= k

∗

− k

∗

= 0.

(ii)

ker(i

∗

1 , i

∗

2 )

⊆ Im(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)

. Dada

([g

1 ], [g

2 ])

∈ ker(i

∗

1 , i

∗

2 )

,então

[e] = (i

∗

1 , i

∗

2 )([g

1 ], [g

2 ]) = i

∗

1 ([g

1 ])i

∗

2 ([g

2 ]) = [g

1 ◦ i

1 ][g

2 ◦ i

2 ] = [g

1 |

W

][g

2 |

W

].

Assim

[g

1 |

W

] = [g

2 |

W

]

−1

_{= [(g}

2 |

W

)

−1

]

e

g

1 |

W

≃ (g

2 |

W

)

−1

_.

Pelaproposição13ahomotopiaentre

g

1 |

W

e

(g

2 |

W

)

−1

podeserestendidaa

umahomotopiaentre

g

1

e

g

1 ′

om

g

1 ′

_{(w) = (g}

2 (w))

−1

,paratodo

w

∈ W

. Agora denimos

h : Y

→ S

1

por

h

|

X

1 = g

1 ′

e

h(y) = g

2 (y)

−1

para todo

y

_{∈ X}

2

. Então,pelo lema1,

h

é ontínua. Agoratemos

(j

1 ∗

,

−j

2 ∗

)[h] = ([h

◦j

1 ], [h

◦j

2 ]

−1

] = ([h

◦j

1 ], [(h

◦j

2 )

−1

]) = ([g

1 ′

], [g

2 ]) = ([g

1 ], [g

2 ]).

Abstract:

Thepurposeofthisworkisto provetheMayer-Vietoristheorem.

(16)

Referências Bibliográficas

[1℄ WALL, C.T.C., A Geometri Introdu tion to Topology, Addison-Wesley

(17)

DiegoFran hiniKwiatkoski 1

Orientador(a): Ali eKimie Miwa Libardi

Resumo:

Nestetrabalhoapresentamosumestudosobreaexistên iade ampos devetoresnaesfera,usandograudeapli açãoeaseqüên iadeMayer-Vietoris.

Palavras-chave:

seqüên iadeMayer-Vietoris, amposdevetores,graude apli- ações

1 Introdução

Aexistên iade amposdevetoresfoiobjetodeestudodediversos

matemáti- osaolongodosanos. ATopologiaAlgébri a ontribuiuparaodesenvolvimento

da pesquisa mediante o usode alguns invariantes,tais omo ara terísti ade

Euler, lasses ara terísti asqueperten emaumdeterminadogrupode

oho-mologia.

Nesse trabalho provamos um resultado devidoaBrouwer-Poin arésobre a

existên iade amposdevetoresnaesfera,usando omoferramentaanoçãode

graudeapli ações,aqualdenimosabaixo. Foiimportantetambémo

onhe i-mentodaseqüên iadeMayer-Vietorisquenospermitiu al ularograudeuma

apli ação

f : S

n

_{→ S}

n

denida por

f (x

1 , x

2 , . . . , x

n+1

) = (

−x

1 , x

2 , . . . , x

n+1

)

.

2 Simplexos

Definição 1.

Se

x

e

y

sãopontosem

R

n

,denimososegmento de

x

a

y

omo

{(1 − t)x + ty | 0 ≤ t ≤ 1}

. Um sub onjunto

C

⊆ R

n

é onvexose dados

x

e

y

em

C

,osegmento queune

x

a

y

estáinteiramente ontidoem

C

. Note que 1

(18)

umainterseçãoarbitráriade onjuntos onvexosé onvexa. Se

A

⊆ R

n

,ofe ho

onvexode

A

éainterseçãodetodosos onjuntos onvexosque ontém

A

.

Definição 2.

Um

p

-simplexo

s

em

R

n

é o fe ho onvexo de uma oleção de

p + 1

pontos

{x

0 , . . . , x

p

}

na qual

x

1 − x

0 , . . . , x

p

− x

0

formam um onjunto linearmente independente. Note que a denição independe da designação de

qualpontoé

x

0

.

Proposição 3.

Seja

{x

0 , . . . , x

p

} ⊆ R

n

. Então as seguintes armações são

equivalentes:

(a)

x

1 − x

0 , . . . , x

p

− x

0

sãolinearmente independentes; (b) se

P

s

i

x

i

=

P

t

i

x

i

e

P

s

i

=

P

t

i

,então

s

i

= t

i

,para

i = 0, . . . , p

.

Prova:

(a)

⇒

(b): Se

P

s

i

x

i

=

P

t

i

x

i

e

P

s

i

=

P

t

i

,então

0 =

p

X

i=0

(s

i

− t

i

)x

i

=

p

X

i=0

(s

i

− t

i

)x

i

−

p

X

i=0

(s

i

− t

i

)x

0 =

p

X

i=1

(s

i

− t

i

)(x

i

− x

0 ).

Pela independên ialinearde

x

1 − x

0 , . . . , x

p

− x

0

, segue que

s

i

= t

i

para

i =

1, . . . , p

. Finalmente,isto impli a

s

0 = t

0

,vistoque

P

_s

i

=

P

t

i

. (b)

⇒

(a): Se

P

p

i=1

(t

i

)(x

i

− x

0 ) = 0

,então

P

p

i=1

t

i

x

i

= (

P

p

i=1

t

i

) x

0

eentão por (b) os oe ientes

t

1 , . . . , t

n

devem ser todos iguais a zero. Isto prova a independên ialinear.

Seja

s

um

p

-simplexo em

R

n

e onsidere o onjunto detodosospontos da

forma

t

0 x

0 + t

1 x

1 +

· · · + t

p

x

p

, onde

P

t

i

= 1

e

t

i

≥ 0

para ada

i

. Note quesetratadofe ho onvexodo onjunto

{x

0 , . . . , x

p

}

e onseqüentemente da Proposição3temososeguinte:

Proposição 4.

Seo

p

-simplexo

s

éofe ho onvexode

{x

0 , . . . , x

p

}

,então ada pontode

s

temrepresentaçãoúni anaforma

P

_t

i

x

i

,onde

t

i

≥ 0

paratodo

i

e

P

t

i

= 1

.

(19)

Ospontos

x

i

sãoosvérti esde

s

. Estaproposiçãonospermiteasso iaros pontos de

s

om

(p + 1)

-uplas

(t

0 , t

1 , . . . , t

p

)

om uma es olha adequada das oordenadas

t

i

.

Seaosvérti esde

s

édadaumaordemespe í a,então

s

éumsimplexo orde-nado. Entãoseja

s

umsimplexoordenado omvérti es

x

0 , x

1 , . . . , x

p

. Dena

σ

p

omoo onjuntodetodosospontos

(t

0 , t

1 , . . . , t

p

)

∈ R

p+1

om

P

_t

i

= 1

e

t

i

≥ 0

para ada

i

. Seumafunção

f : σ

p

→ s

édadapor

f (t

0 , . . . , t

p

) =

P

t

i

x

i

,então

f

é ontínua. Além disso,dauni idade derepresentaçõese dofatoque

σ

p

e

s

sãoespaços ompa tosedeHausdorsegueque

f

éumhomeomorsmo. Deste modo, ada

p

-simplexo ordenado é uma imagem homeomorfa natural de

σ

p

. Noteque

σ

p

éum

p

-simplexo omvérti es

x

′

0 = (1, 0, . . . , 0)

,

x

′

1 = (0, 1, 0, . . . , 0)

, ...,

x

′

p

= (0, . . . , 0, 1)

.

σ

p

é hamado

p

-simplexopadrão omordemnatural.

Definição 5.

Seja

X

umespaço topológi o. Um

p

-simplexo singular em

X

é umafunção ontínua

φ : σ

p

→ X

. Notequeos

0

-simplexossingularespodemser identi ados omos pontos de

X

, os

1

-simplexos singulares omos aminhos em

X

,edaíemdiante.

Definição 6.

Se

φ

é um

p

-simplexo singulare

i

éum inteiro om

0 ≤ i ≤ p

, denimos

∂

i

(φ)

,um

(p

− 1)

-simplexosingularem

X

,por

∂

i

φ(t

0 , . . . , t

p−1

) = φ(t

0 , t

1 , . . . , t

i−1

, 0, t

i

, . . . , t

p−1

).

Observeque

∂

i

φ

éa

i

-ésimafa ede

φ

.

Por exemplo, seja

φ

um

2

-simplexo singular em

X

(Figura 1.1). Então,

∂

1 φ

édadopela omposição mostradanaFigura 1.2. Istoé,para al ular

∂

i

φ

mergulhamos

σ

p−1

em

σ

p

oposto ao

i

-ésimo vérti e usando aordem usual de vérti es,eentãopara

X

,via

φ

.

Se

f : X

→ Y

éuma função ontínuae

φ

éum

p

-simplexosingularem

X

, denimosum

p

-simplexosingular

f

#

(φ)

em

Y

por

f

#

(φ) = f

◦ φ

. Notequese

g : Y

_{→ W}

é ontínuae

Id : X

→ X

éaidentidade,

(g

◦ f)

#

(φ) = g

#

[f

#

(φ)]

e

(20)

Figura1.1: 2-simplexosingular

φ

.

Figura1.2: Bordo

∂

1 φ

.

Definição 7.

Umgrupoabeliano

G

élivreseexisteumsub onjunto

A

⊆ G

tal quetodoelemento

g

em

G

temumarepresentaçãoúni a

g =

P

x∈A

n

x

· x

,onde

n

x

é uminteiro e éiguala zeroex eto para umnúmero nitode

x

em

A

. O onjunto

A

éumabase para

G

.

Dadoum onjuntoarbitrário

A

,podemos onstruirumgrupoabelianolivre da seguinte maneira: seja

F (A)

o onjunto de todas as funções

f

de

A

nos inteiros tais que

f (x)

6= 0

apenas para um número nito de elementos de

A

. Denimosuma operaçãoem

F (A)

por

(f + g)(x) = f (x) + g(x)

. Então

F (A)

éumgrupoabeliano. Paraqualquer

a

∈ A

denimosuma função

f

a

em

F (A)

por

f

a

(x) =

1

se

x = a,

(21)

Então

{f

a

|a ∈ A}

éumabase para

F (A)

omoumgrupoabeliano livre. Iden-ti ando

a

om

f

a

ompletamosa onstrução.

Porexemplo,seja

G =

{(n

1 , n

2 , . . .)

| n

i

∈ Z,

eventualmente0

}

. Então

G

é umgrupoabelianosobaadição oordenadaa oordenada,ealémdissoélivre

om base

(1, 0, . . .)

,

(0, 1, 0, . . .)

,

(0, 0, 1, 0, . . .)

, .... Por onveniên ia dizemos quese

G = 0

,então

G

éumgrupoabelianolivre ombasevazia.

Notequese

G

éabelianolivre ombase

A

e

H

éumgrupoabeliano,então todafunção

f : A

→ H

podeserestendidaunivo amente aumhomomorsmo

f : G

→ H

.

Definição 8.

Se

X

é um espaço topológi o denimos

S

n

(X)

omo o grupo abeliano livre ujabase éo onjunto detodosos

n

-simplexossingularesde

X

. Um elemento de

S

n

(X)

é hamado de

n

- adeia singular de

X

e é da forma

P

φ

n

φ

· φ

,onde

n

φ

∈ Z

,eéigualazeroex etopara umnúmeronitode

φ

.

Definição 9.

Vistoque o

i

-ésimooperadorfa e

∂

i

éuma função do onjunto de

n

-simplexos singulares no onjunto de

(n

− 1)

-simplexos singulares, existe uma úni a extensão a um homomorsmo

∂

i

: S

n

(X)

→ S

n−1

(X)

dado por

∂

i

(

P

n

φ

· φ) =

P

n

φ

· ∂

i

φ

. Denimos ooperador bordo pelo homomorsmo

∂ : S

n

(X)

→ S

n−1

(X)

dadopor

∂ = ∂

0 − ∂

1 + ∂

2 +

· · · + (−1)

n

∂

n

=

n

X

i=0

(

₋₁₎

i

_∂

i

.

Proposição 10.

A omposição

∂

◦ ∂

em

S

n

(X)

∂

−→ S

n−1

(X)

−→ S

∂

n−2

(X)

ézero.

Geometri amenteesteenun iadodizqueobordodequalquer

n

- adeiaéuma

(n

_{− 1)}

- adeia sem bordo. É essa propriedadebási aque nos leva àdenição de grupos de homologia. Um elemento

c

∈ S

n

(X)

é um

n

- i lo se

∂(c) = 0

. Umelemento

d

∈ S

n

(X)

éum

n

-bordo se

d = ∂(e)

para algum

e

∈ S

n+1

(X)

.

(22)

Vistoque

∂

éumhomomorsmo,seunú leo,o onjuntodetodosos

n

- i los,é umsubgrupode

S

n

(X)

denotadopor

Z

n

(X)

. Similarmenteaimagemde

∂

em

S

n

(X)

éosubgrupo

B

n

(X)

detodosos

n

-bordos.

3 Grupo de Homologia Singular

Definição 11.

Note que a Proposição 10 impli a que

B

n

(X)

⊆ Z

n

(X)

é um subgruponormal. Ogrupoquo iente

H

n

(X) =

Z

n

(X)

B

n

(X)

éo

n

-ésimogrupodehomologiasingularde

X

.

A motivação geométri a para esta onstrução algébri a é a seguinte: os

objetos que queremos estudar são i los em espaços topológi os. Entretanto,

usando i los singulares,a oleçãode todos éextensademais paraser

efetiva-menteestudada. Aaproximaçãonaturaléentãorestringiraatençãoa lassesde

equivalên iade i lossobarelaçãoquedois i lossãoequivalentesseadiferença

delesformarumbordodeuma adeiadeumadimensãomaior.

Estaté ni aalgébri aéuma onstruçãopadrãoemálgebrahomológi a. Um

grupo(abeliano)graduado

G

éuma oleçãodegruposabelianos

{G

i

}

indexado pelosinteiros omoperação omponente a omponente. Se

G

e

G

′

sãogrupos

graduados, um homomorsmo

f : G

→ G

′

é uma oleção de homomorsmos

{f

i

}

, onde

f

i

: G

i

→ G

′

i+r

para algum inteiro

r

xado.

r

é hamado grau de

f

. Um subgrupo

H

⊆ G

de um grupograduado éum grupo graduado

{H

i

}

, onde

H

i

é umsubgrupo de

G

i

. O grupo quo iente

G/H

é ogrupograduado

{G

i

/H

i

}

.

Definição 12.

Um omplexode adeiaséumaseqüên iadegruposabelianose homomorsmos

· · ·

∂

n+1

−→ C

n

−→ C

∂

n

n−1

∂

n−1

−→ · · ·

naquala omposição

∂

n−1

◦ ∂

n

= 0

para ada

n

. Equivalentemente,um om-plexode adeiaséumgrupograduado

C =

{C

i

}

junto omumhomomorsmo

(23)

∂ : C

_{→ C}

degrau

−1

tal que

∂

◦ ∂ = 0

. Se

C

e

C

′

são omplexosde adeias

omoperadoresbordo

∂

e

∂

′

,uma apli ação de adeiasde

C

em

C

′

éum

ho-momorsmo

Φ : C

→ C

′

de grau zerotal que

∂

′

◦ Φ

n

= Φ

n−1

◦ ∂

para ada

n

. (Note que a exigên ia que

Φ

tem grau zero é desne essária. Está enun- iada aqui apenas por onveniên ia visto que todas as apli ações de adeias

que onsideraremostêm esta propriedade). Denotando por

Z

∗

(C)

e

B

∗

(C)

o nú leo e a imagem de

∂

respe tivamente, a homologia de

C

é o grupo gra-duado

H

∗

(C) = Z

∗

(C)/B

∗

(C)

. Note que se

Φ

é uma apli ação de adeias,

Φ[Z

∗

(C)]

⊆ Z

∗

(C

′

)

e

Φ[B

∗

(C)]

⊆ B

∗

(C

′

₎

. Portanto,

Φ

induz um homomor-smoemgruposdehomologia

Φ

∗

: H

∗

(C)

→ H

∗

(C

′

₎

.

4 Aplicações Induzidas em Homologia Singular

Neste sentido, ogrupo graduado

S

∗

(X) =

{S

i

(X)

}

setorna um omplexo de adeias sob o operador bordo

∂

, e então o grupo de homologia de

X

é a homologiadeste omplexo de adeias. Se

f : X

→ Y

éuma função ontínuae

φ

éum

n

-simplexo singularem

X

, existeo

n

-simplexo singular

f

#

(φ) = f

◦ φ

em

Y

. Istoseestende uni amente aum homomorsmo

f

#

: S

n

(X)

→ S

n

(Y )

para ada

n

. Paramostrarque

f

#

éumaapli ação adeiade

S

∗

(X)

em

S

∗

(Y )

devemos he arqueoseguinteretângulo omuta:

S

n

(X)

∂

f

#

// S

n

(Y )

∂

S

n−1

(X)

f

#

// S

n−1

(Y )

Primeiro note que é su iente he ar que isto é verdade em

n

-simplexos

φ

, e segundo,observequeésu ientemostrarque

∂

i

f

#

(φ) = f

#

∂

i

(φ)

. Agora

f

#

∂

i

(φ)(t

0 , . . . , t

n−1

) = f (φ(t

0 , . . . , t

i−1

, 0, t

i

, . . . , t

n−1

))

e

∂

i

f

#

(φ)(t

0 , . . . , t

n−1

) = f

#

(φ)(t

0 , . . . , t

i−1

, 0, t

i

, . . . , t

n−1

)

(24)

Logo,

f

#

: S

∗

(X)

→ S

∗

(Y )

éuma apli açãode adeiaseexiste um homomor-smo induzidode grauzero

f

∗

: H

∗

(X)

→ H

∗

(Y )

. Noteque se

g : Y

→ W

é uma função ontínua, então

(g

◦ f)

∗

= g

∗

◦ f

∗

ese

Id : X

→ X

é aapli ação identidade,então

Id

∗

éohomomorsmoidentidade.

Exemplo 13.

Tome

X = x

(umponto). Entãopara ada

p

≥ 0

existeumúni o

p

-simplexosingular

φ

p

: σ

p

→ X

. Alémdisso,notequepara

p > 0

,

∂

i

φ

p

= φ

p−1

. Então onsidereo omplexode adeias

· · · → S

2 (x)

→ S

1 (x)

→ S

0 (x)

→ 0.

Cada

S

n

(x)

éumgrupo í li oinnitogeradopor

φ

n

. Ooperadorbordoédado por:

∂φ

n

=

n

X

i=0

(

−1)

i

_∂

i

φ

n

=

n

X

i=0

(

−1)

i

_φ

n−1

.

Deste modo,

∂φ

2n−1

= 0

e

∂φ

2n

= φ

2n−1

para

n > 0

. Apli ando isto ao omplexo de adeias temos que

Z

n

(X) = B

n

(X)

para

n > 0

. Entretanto,

Z

0 (X) = S

0 (X)

é í li o innito,enquanto

B

0 (X) = 0

. Portanto, on luímos queosgruposdehomologiadeumpontosãodadospor

H

n

(x) =

_Z

se

n = 0,

0

se

n > 0.

Definição 14.

Umespaço

X

é onexopor aminhossedados

x

,

y

∈ X

,existe uma função ontínua

ψ : [0, 1]

→ X

tal que

ψ(0) = x

e

ψ(1) = y

. Note queao invésde

[0, 1]

poderíamosusar

σ

1

.

Suponhaque

X

éumespaço onexopor aminhose onsidereaporção do omplexode adeiassingulares de

X

dadapor

S

1 (X)

−→ S

∂

0 (X)

−→ 0.

Agora,

S

0 (X) = Z

0 (X)

,quepodeservisto omoogrupoabeliano livregerado pelospontosde

X

. Istoé,

Z

0 (X) = F (X)

. Portanto,umelemento

y

de

Z

0 (X)

tem aforma

y =

P

x∈X

n

x

· x

, onde

n

x

∈ Z

,

n

x

= 0

ex eto para um número nitode

x

∈ X

.

(25)

Por outro lado,

S

1 (X)

pode ser visto omo ogrupoabeliano livre gerado pelo onjuntodetodosos aminhosem

X

. Seosvérti esde

σ

1

são

v

0

e

v

1

e

φ

éum

1

-simplexosingularem

X

,então

∂φ = φ(v

1 )

− φ(v

0 )

∈ Z

0 (X)

.

Dena um homomorsmo

α : S

0 (X)

→ Z

por

α (

P

n

x

· x) =

P

n

x

. Note que se

X

é não vazio, então

α

é um epimorsmo. Visto que para qualquer

1

-simplexo singular

φ

em

X

,

α(∂φ) = α[φ(v

1 )

− φ(v

0 )] = 0

, segue que

B

0 (X)

está ontidononú leode

α

.

Re ipro amente, suponhaque

n

1 x

1 +

· · · + n

k

x

k

∈ Z

0 (X)

om

P

n

i

= 0

. Es olha qualquer ponto

x

∈ X

e note que para ada

i

existe um

1

-simplexo singular

φ

i

: σ

1 → X

om

∂

0 (φ

i

) = x

i

e

∂

1 (φ

i

) = x

. Tomando a

1

- adeia singular

P

n

i

φ

i

em

S

1 (X)

temos

∂ (

P

n

i

φ

i

) =

P

n

i

x

i

− (

P

n

i

) x =

P

n

i

x

i

. Portanto, onú leode

α

está ontidoem

B

0 (X)

. Istoprovaque

ker α = B

0 (X)

e on luímososeguinte:

Proposição 15.

Se

X

é um espaço onexo por aminhos não vazio, então

H

0 (X)

≈ Z

.

Definição 16.

Seja

A

um onjuntoesuponhaquepara ada

α

∈ A

existaum grupoabeliano dado

G

α

. Denaum grupoabeliano

P

α∈A

G

α

omo segue: os elementos são funções

f : A

→

S

α∈A

G

α

tais que

f (α)

∈ G

α

para ada

α

e

f (α) = 0

ex eto para um número nito de

α

∈ A

; aoperação é denida por

(f + g)(α) = f (α) + g(α)

. Colo ando

g

α

= f (α)

∈ G

α

es revemos

f = (g

α

: α

∈

A)

e hamamosos

g

α

de omponentesde

f

. Ogrupo

P

_G

α

éasomadiretafra a dos

G

α

's. Seaexigên iaque

f (α) = 0

ex eto paraumnúmeronitode

α

∈ A

éretirada,entãoogruporesultante éoprodutodiretodos

G

α

's, denotadopor

Q

α∈A

G

α

.

Notequese

G

éumgrupoabelianoe

{G

α

}

α∈A

éumafamíliadesubgrupos de

G

tal que

g

∈ G

temuma representaçãoúni a

g =

P

α∈A

g

α

om

g

α

∈ G

α

e

g

α

= 0

ex etoparaumnúmeronitode

α

's,então

G

éisomorfoa

P

(26)

Agora,para ada

α

∈ A

suponhaquetemos um omplexode adeia

C

α

· · ·

−→ C

∂

α

p

∂

α

−→ C

α

p−1

∂

α

−→ · · · .

Dena um omplexo de adeia

P

α∈A

C

α

tomando

(

P

C

α

₎

p

=

P

C

α

p

e olo- ando

∂(c

α

: α

∈ A) = (∂

α

_c

α

: α

∈ A)

.

Lema 17.

H

k

(

P

C

α

)

≈

P

_α

H

k

(C

α

)

.

Prova:

Notequepeladeniçãodo omplexode adeia

P

C

α

temos

Z

k

X

C

α

=

X

[Z

k

(C

α

)]

e

B

k

X

C

α

=

X

[B

k

(C

α

)].

Portanto

H

k

X

C

α

₌

Z

k

(

P

C

α

)

B

k

(

P

C

α

)

=

P

[Z

k

(C

α

)]

P

[B

k

(C

α

)]

≈

X Z

k

(C

α

)

B

k

(C

α

)

=

X

H

k

(C

α

).

Seja

X

um espaçotopológi o e para

x

,

y

∈ X

, determine

x

∼ y

seexiste um aminhoem

X

de

x

a

y

. Temosque

∼

éuma relaçãodeequivalên ia,isto é, (1)

x

∼ x

; (2)

x

∼ y

e

y

∼ z

impli a

x

∼ z

; (3)

x

∼ y

impli a

y

∼ x

, para todos os pontos

x

,

y

,

z

em

X

. Tal relação de ompõe

X

numa oleção de sub onjuntos, as lassesdeequivalên ia, onde

x

e

y

estão namesma lasse de equivalên iase, esomente se,

x

∼ y

. Para estarelação espe í aem

X

as lassesdeequivalên iasão hamadas omponentesde aminhode

X

. Noteque se

x

∈ X

, a omponente de aminhode

X

ontendo

x

éosub onjunto onexo por aminhosmaximalde

X

ontendo

x

.

Proposição 18.

Se

X

é um espaço e

{X

α

: α

∈ A}

são as omponentes de aminho de

X

,então

H

k

(X)

≈

X

α∈A

H

k

(X

α

).

Esta proposição estabele e a propriedadeintrínse a aditiva da teoria de

(27)

ompletamente determinadas por aquelas de suas omponentes de aminho e

aspropriedadeshomológi asdequalquer omponentede aminhosão

indepen-dentes das propriedadesde qualqueroutra omponente de aminho, podemos

restringirnossaatençãoaoestudodeespaços onexospor aminhos.

NotequeseguedasProposições18e15que

H

0 (X)

éumgrupoabelianolivre ujabase estáem orrespondên ia biunívo a omas omponentes de aminho