Intensidade acústica via transformada de hartley

(1)

I

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DO NOROESTE FLUMINENSE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR BACHARELADO EM MATEMÁTICA

CHRISTIAN DE PAULA CAMARA

INTENSIDADE ACÚSTICA VIA TRANSFORMADA DE HARTLEY

Santo Antônio de Pádua 2016

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Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Bacharelado em Matemática da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para conclusão do curso.

Orientador:

Prof. D.Sc. Cleber de Almeida Corrêa Junior.

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Trabalho de conclusão de curso apresentado ao curso de Bacharelado em Matemática da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para conclusão do curso.

BANCA EXAMINADORA

Prof. D.Sc. Cleber De Almeida Corrêa Junior – Orientador Universidade Federal Fluminense

Instituto do Noroeste Fluminense de Educação Superior (UFF – INFES)

Prof. D.Sc. Rosilene Abreu Portella Corrâa Universidade Federal Fluminense

___________________________________________________________________________ Prof. D.Sc. Joviana Sartori de Souza

Universidade Federal Fluminense

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Descrição da geometria do problema de radiação sonora por uma estrutura

vibrante...32

Figura 2 - Sistema de coordenadas para fontes com geometria plana, com fonte situada no plano z=0...38

Figura 3 - Esquema de uma placa, montada em um anteparo, sendo excitada...45

Figura 4 - Utilização do primeiro quadrante do círculo de radiação para a classificação dos modos de radiação de uma placa simplesmente apoiada. ... 46

Figura 5 - Exemplo de um modo de canto. ... 46

Figura 6 - Exemplo de um modo de borda. ... 47

Figura 7 - Distribuição velocidade. ... 48

Figura 8 - Intensidade Acústica. ... 48

Figura 9 - Intensidade Acústica Supersônica via Fourier ... 49

Figura 10 - Intensidade Acústica via Hartley. ... 49

Figura 13 - Intensidade Acústica Supersônica via Fourier ... 51

Figura 14 - Intensidade Acústica via Hartley. ... 52

Figura 17 - Intensidade Acústica Supersônica via Fourier. ... 54

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Propriedades da Transformada Bidimensional... 28 Tabela 2 - Propriedades da Função cas. ... 29

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SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 13 1.1 OBJETIVOS GERAIS ... 13 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 14 1.3 ORGANIZAÇÃO DA MONOGRAFIA ... 14 2 TRANSFORMADA INTEGRAL ... 15

2.1 BREVE RELATO HISTÓRICO ... 15

2.2 A TRANSFORMADA INTEGRAL ... 16

2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE ... 17

2.4 TRANSFORMADA DE FOURIER ... 18

3 TRANSFORMADA DE HARTLEY ... 19

3.1 DEFINIÇÃO MATEMÁTICA... 19

3.3 RELAÇÕES COM A TRANSFORMADA DE FOURIER ... 21

3.3 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA ... 21

3.4 INTERPRETAÇÃO DA TRANSFORMADA DE HARTLEY ... 22

3.5 PROPRIEDADES ... 22

3.5.1 Linearidade ... 23

3.5.2 Espectro de potencia (P) e fase (φ) ... 23

3.5.3 Escalamento ... 23 3.5.4 Função Reversa ... 24 3.5.5 Deslocamento ... 24 3.5.6 Modulação ... 24 3.5.7 Convolução ... 25 3.5.8 Teorema da convolução ... 26 3.5.9 Autocorrelação... 26 3.5.10 Produto ... 27 3.5.11 Derivada ... 27 3.5.12 Segundo Momento ... 27 3.5.13 Paridade ... 28

3.5.14 Transformada de Fourier a partir da Transformada de Hartley ... 28

3.5.15 Transformada de Hartley a partir da Transformada de Fourier ... 28

3.5.16 Propriedades da Transformada de Hartley ... 28

3.5 PROPRIEDADES TRIGONOMÉTRICAS DA FUNÇÃO ... 29

4 INTENSIDADE ACÚSTICA ... 31

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4.2 DOMÍNIO DA FREQUENCIA ... 34

4.3 GEOMETRIA PLANA ... 37

4.4 CÍRCULO DE RADIAÇÃO ... 41

4.5 HOLOGRAFIA ACÚSTICA DE CAMPO PRÓXIMO ... 41

4.6 INTENSIDADE ACÚSTICA SUPERSÔNICA ... 42

5 RESULTADOS ... 45

6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS ... 56

(9)

13

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho é apresentada toda teoria necessária para a obtenção da grandeza denominada intensidade acústica supersônica (IS), a qual tem como objetivo identificar as regiões de uma fonte de ruído que efetivamente contribuem para a potência sonora radiada, filtrando, consequentemente, a parcela referente às ondas sonoras recirculantes e evanescentes (subsônicas). A abordagem tradicional de tal problema é via Transformada Integral de Fourier. As Transformadas Integrais tem origem nos trabalhos de Pierre-Simon Laplace (1749-1827) e Joseph Fourier (1768-1830), tais métodos são conhecidos como Transformada de Laplace e Transformada de Fourier respectivamente, tal operador matemático tem como finalidade buscar soluções para equações diferenciais. Este processo consiste em aplicar uma transformada integral específica a um determinado problema, reduzindo-o a um problema, em geral, mais simples de ser resolvido, depois de resolvido o problema transformado é encontrada a solução do problema original através da respectiva transformada inversa. Porém no presente trabalho não serão utilizadas tais transformadas citadas acima, mas será empregada a Transformada de Hartley. Trata-se de uma transformada mais recente, com isso pouco utilizada e até mesmo pouco conhecida no meio matemático, mas que demonstra grande potencial para a obtenção de um equivalente à intensidade acústica supersônica em fontes com geometrias separáveis, pois possui certas vantagens sobre a transformada de Fourier, que foi a transformada utilizada por Williams (1995) para obter a IS. Serão apresentados exemplos de aplicações da intensidade acústica via Hartley em superfícies vibrantes com a geometria de uma placa, e os resultados são comparados com os obtidos pela intensidade supersônica via Fourier, demonstrando que o método aqui abortado tem soluções semelhantes quando comparado com a técnica existente.

1.1 OBJETIVOS GERAIS

 Aplicar conhecimentos da matemática aplicada em problemas práticos;

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14

1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

 Apresentar a Transformada de Hartley;

 Verificar a aplicabilidade da Transformada de Hartley na identificação de fontes sonoras;

 Obter a Intensidade Acústica via Transformada de Hartley.

1.3 ORGANIZAÇÃO DA MONOGRAFIA

No capítulo 2, serão expostos alguns aspectos da Transformação Integral e alguns exemplos.

No capítulo 3, será apresentada a Transformada de Hartley.

No capítulo 4, será apresentada a Intensidade Acústica e implementado o algoritmo para o cálculo da IS.

No capítulo 5, serão realizados alguns testes para comprovar a eficiência do algoritmo e mostrar os resultados obtidos.

No capítulo 6, serão apresentadas as principais conclusões adquiridas com a presente pesquisa, bem como sugestões e considerações para trabalhos futuros.

(11)

15

2 TRANSFORMADA INTEGRAL

2.1 BREVE RELATO HISTÓRICO

A transformada integral tem origem no trabalho de Pierre-Simon Laplace (1749-1827) no século de 1780 no livro La Théorie Analytique des Probabilities onde aparece a Transformada de Laplace que é amplamente conhecida e utilizada nas ciências exatas e engenharias para transformar uma equação diferencial em uma equação algébrica, mas foi o inglês Oliver Heaviside (1850-1925) que utilizou com sucesso a transformada de Laplace para solução de equações diferenciais ordinárias e parciais relacionadas à análise de circuitos elétricos, contudo seu trabalho, mesmo sendo bem sucedido na aplicação prática, foi criticado pelos matemáticos por sua falta de rigor em suas provas, pois tais não justificavam alguns dos seus métodos heurísticos. T. J. Bromwich conseguiu provar alguns teoremas por meio da teoria das funções complexas, e contou com as contribuições de J. R. Carson, B. van der Pol e Doetsch, entre outros. As transformadas também tem origem no trabalho de Joseph Fourier (1768-1830) em La Theorie Analítica de la Chaleur publicado em 1822 (Debnath; Bhatta, 2014). Fourier deu uma série de exemplos antes de afirmar que uma função arbitrária definida em um intervalo finito pode ser expandida em termos de séries trigonométricas, e esta que ficou conhecida como sendo a Série de Fourier, em uma tentativa de estender suas novas idéias para funções em um intervalo infinito, Fourier descobriu a transformada integral e segundo o físico Lorde Kelvin

“o Teorema de Fourier, que não é só um dos mais belos resultados da análise moderna, mas pode se dizer que ele fornece um instrumento indispensável no tratamento de quase todas as perguntas recônditas na física moderna. Para mencionar apenas as vibrações sonoras, a propagação de sinais elétricos ao longo de um fio telegráfico, e a condução de calor pela crosta terrestre” (Lorde Kelvin, 1867).

Com mais de dois séculos de estudos outras transformações integrais foram introduzidas por Merlim, Hankel, Hilbert, Stieltjes, Radon entre outros. Mellin apresentou uma discussão elaborada de sua transformada e sua formula de inversão, foi G. Bernhard Riemann (1826-1866), quem primeiro reconheceu a Transformada de Mellin e sua formula inversa. Hermann Hankel (1839-1873), um estudante de Riemann, introduziu a Transformada

(12)

16

de Hankel com a função Bessel como seu núcleo, e esta transformada pode ser obtida facilmente da transformada bidimensional de Fourier. Embora a transformada de Hilbert foi nomeada com o nome de um dos maiores matemáticos do século XX, David Hilbert (1862-1943), esta transformada e suas propriedades foram estudadas pelos britânicos Godfrey Harold Hardy (1877-1947) e Edward Charles Titchmarsh (1899-1963). O matemático holandês T. J. Stieltjes (1856-1894) introduziu a transformada de Stieltjes em seu estudo sobre funções continuas. Radon demonstrou em 1917 (Randon,1917) como reconstruir uma função de duas variáveis a partir de suas integrais de linha sobre todas as linhas retas de um plano (Debnath; Bhatta, 2014).

A cada dia mais pesquisas sobre transformadas integrais e aplicações em diversas áreas vem aparecendo como astronomia (Leonidas, 2000), Imagens Médicas (Birkfellner, 2011), áudio digital (Kondoz, 2004), Codificação de Canais (Campello; Freire; Oliveira, 2009), Marcas d'água (Kitamura; Kishinami, 2001), Comunicações (Wysocki, 2005), Eletrogastrografia (Cintra, 2005), acústica (Willians, 1995), dentre outras. Com esse intenso emprego novas transformações importantes foram descobertas recentemente, como é o caso da transformada de wavelet, enunciada por Morlet em 1984 (Grossman; Morlet, 1984). Essa também é uma ferramenta de grande valor na busca de soluções para equações diferencias que consiste em aplicá-la a um determinado problema, de modo que possa ser reduzido a um mais simples de ser resolvido. Depois de resolver o problema transformado, recuperamos a solução do problema original através da transformada inversa.

2.2 A TRANSFORMADA INTEGRAL

Uma transformada integral é uma transformação linear que é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais, que tem a seguinte forma:

( ) { ( )} ∫ ( ) ( )

(1) onde temos uma função ( ) com limites , que é a entrada da transformada, e como resultado uma função em que o domínio está em , a função ( ) que é chamada de núcleo (ou kernel) da transformada, e cada transformada integral tem um núcleo

(13)

17

diferente. Se o núcleo tiver uma inversa _{podemos ainda obter uma transformada inversa}

da função ( ) definida como:

( ) _{ _{( )} ∫} _{( )} _{( )}

(2)

2.3 TRANSFORMADA DE LAPLACE

A transformada de Laplace pode ser usada para análise de sistemas lineares invariantes no tempo, tais como circuitos elétricos, osciladores harmônicos, dispositivos ópticos e sistema mecânicos. Nessas aplicações costuma-se interpretá-la como transformações do domínio do tempo para o domínio de frequências. A vantagem mais interessante desta transformação é que as integrações e derivações tornam-se multiplicações e divisões. Esta transformada constitui-se de um importante instrumento na resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO), pois permite fazer a resolução em forma de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver quando os métodos tradicionais e técnicas elementares não se mostram eficientes. Portanto o método consiste em transformar uma equação diferencial em uma equação algébrica que envolve as condições iniciais e, utilizando um processo de inversão, obtêm-se a solução da equação diferencial.

A transformada de Laplace de uma função ) é da forma: { ( )} ( ) ∫ _{( )}

(3) onde _{é o núcleo da transformada.}

E sua inversa é definida como ( ) { ( )} ∫ _{( )}

onde esta integral é calculada no plano s-complexo ao longo do segmento de reta dado por , onde γ é selecionado de modo que todas as singularidades de ( ) fiquem à esquerda da reta, e a ordenada vá de até (Viana, 2013).

(14)

18

2.4 TRANSFORMADA DE FOURIER

No ano de 1822 J. B. Fourier (1768-1830) (Fourier, 1822) mostrou que ondas sinusoidais podem ser usadas como bases para descrever qualquer tipo de função. Logo a transformada de Fourier é uma das mais utilizadas hoje por sua aplicabilidade em física, processamento de sinal, processamento de imagem, estatística, criptografia, acústica, oceanografia, sismologia, óptica, entre outras áreas, é usada para decompor um sinal em suas componentes elementares senos e cossenos com suas frequências e suas amplitudes. Uma função continua ( ) de uma variável real será definida por:

( ) ∫ ( )

√

(4) E também pode ser obtido, a partir de ( ), ( ) através transformada inversa de Fourier: ( ) ∫ ( ) (4) Quando usamos a variável , ao invés da variável temos que substituir ( ) por ( ) e também alterar a frequência u por que é depende da variável x que terá a seguinte forma:

( ) ∫ ( )

(5) A equação (5) pode ser estendida para o caso bidimensional:

( ) ∫ ∫ ( ) ( ) (6) e sua inversa: ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) (7)

(15)

19

3 TRANSFORMADA DE HARTLEY

Existe outra transformada integral, que está relacionada com a transformada de Fourier, mas que possui sobre esta as vantagens de não trabalhar com números complexos, pois ela transforma uma função de valores reais, do domínio do tempo para o domínio da frequência real, e de ser a sua própria inversa, ela também emprega funções sinusoidais utilizando conjuntamente seno e cosseno, igual a transformada de Fourier, porem seus coeficientes são reais, essa é a Transformada de Hartley (Hartley, 1942), que foi proposta pelo engenheiro eletrônico americano R. V. L. Hartley em 1942, este que também inventou o oscilador de Hartley. Ele sugeriu utilizá-la como aplicação na análise de regime estacionário e transiente de sistemas de transmissão telefônica, mas na época não despertou muito interesse, até as pesquisas de Z. Wang e R. N. Bracewell na década de 1980 (Olejniczak, 2000). Bracewell em 1983 criou a versão discreta, chamada de transformada discreta de Hartley (DHT, do inglês Discrete Hartley Transform) (Bracewell,1983). Em 1984, um algoritmo rápido para a DHT [R. Bracewell, 1984], baseado na transformada rápida de Fourier (FFT, do inglês Fast Fourier Transform) de Cooley-Tukey (Cooley; Tukey, 1965), foi proposto pelo próprio Bracewell. Tal algoritmo ficou conhecido como transformada rápida de Hartley (FHT do inglês Fast Hartley Transform).

3.1 DEFINIÇÃO MATEMÁTICA

A transformada de Hartley de uma função ( ) é definida por ( )

√ ∫ ( ) ( )

(8) onde ω é a frequência angular e t é o tempo.

Essa transformada tem a propriedade de ser sua própria inversa, logo { { }}

então

( )

(16)

20

Como e ( ), que é o núcleo de Hartley, pode ser denotado como ( ) ( ) ( )

( ) √ ( ) ( ) √ ( ) ( ) √ ( ) √ ( ) Logo a Eq. (10) pode ser reescrita

( ) ∫ ( ) ( ) ( )

(10) sua inversa será

( ) ∫ ( ) ( ) ( )

(11) E para o caso bidimensional a equação (11) pode ser estendida:

{ ( )} ∬ ( ) ( )

(12) e a sua inversa sendo

( ) ∬ ( ) ( ) (13) Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) (14) A equação bidimensional e sua inversa podem ser remodeladas

{ ( )} ∬ ( ) { ( ) ( ) } (15) ( ) ∬ ( ) { ( ) ( ) } (16) Definimos as partes par e impar da Transformada de Hartley como sendo respectivamente, ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (17) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (18) (Olejniczak, 2000) (Poularikas, 1999)

(17)

21

3.3 RELAÇÕES COM A TRANSFORMADA DE FOURIER

A transformada de Hartley se diferencia da transformada de Fourier na escolha do seu núcleo. Na de Fourier é usado o núcleo exponencial _{( ) ( ), onde i}

é a parte imaginária. Já na de Hartley é a função senoidal ( ). E podemos obter a transformada de Fourier através da de Hartley (Olejniczak, 2000) (Poularikas, 1999).

( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Isso quer dizer que as parte real e imaginária da transformada de Fourier são dadas pelas partes par e impar da transformada de Hartley.

Logo podemos obter a transformada de Hartley de modo que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (19) onde R e I são respectivamente as partes real e imaginária.

No caso bidimensional ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) (20) ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) (21) ( ) { ( )} ( ) { ( )} ( ) ( ) ( ) 3.3 CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA

Uma condição suficiente para a existência da transformada de Hartley de uma função ( ) é que tenha a Transformada de Fourier dessa função. Mais um conjunto de condições suficientes são as Condições de Dirichlet.

(18)

22  ( ) deve ter um número finito de descontinuidades nesse intervalo

 ( ) deve ter um número finito de máximos e mínimos locais em qualquer subintervalo entre

Tais condições são suficientes, mas não necessárias. Funções importantes, como ( ) ( ), não atendem as Condições de Dirichlet, mas ainda assim possuem uma transformada de Fourier e, por conseguinte, uma transformada de Hartley (Olejniczak, 2000).

3.4 INTERPRETAÇÃO DA TRANSFORMADA DE HARTLEY

A transformada de Fourier de uma função ( ) é uma função complexa ( ) que possui uma propriedade denominada de conjugado complexo, que podemos expressar como sendo ( ) ( ), onde ( ) é o conjugado complexo de ( ). Isso ocorre devido a uma condição que a transformada de Fourier possui que é a chamada de simetria hermitiana. Isso indica que na transformada de Fourier existe uma dependência entre os valores da transformada para valores positivos e negativos de ω. Já para transformada de Hartley de uma função ( ) é obtido como solução uma função real ( ), e o valor de ( ) para é independente do valor para . Deste modo transformada de Hartley não exibe o mesmo comportamento que a transformada de Fourier, este fato também ocorre, pois ( ) atribui dois números, um real e outro imaginário, a cada valor de entrada, enquanto ( ) só atribui um número real (Olejniczak, 2000), em outras palavras ela transforma uma sequência de números reais em uma outra sequência também de números reais (Souza, 2013).

3.5 PROPRIEDADES

Nesta seção serão apresentados vários teoremas e propriedades da Transformada de Hartley, que são úteis para se trabalhar com a ela, por exemplo, em análise de sinais e sistemas (Poularikas, 1999) (Olejniczak, 2000).

(19)

23

3.5.1 Linearidade

Por ser construída como uma combinação de operadores lineares, a Transformada de Hartley é um operador linear e simétrico. Se ( ) e ( ) possuem transformadas de Hartley ( ) e ( ) respectivamente, tendo ( ) ( ) e sua transformada ( ) ( ). Tem-se ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) (22)

3.5.2 Espectro de potencia (P) e fase (φ)

Se ( ) é a transformada de Fourier de ( ) ( ) | ( )| ( ) ( ) { ( )} { ( )} ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) (23) e ( ) [ { ( )} { ( )}] _[ ( ) ( )] _[ ( ) ( ) ( ) ( )] ₍₂₄₎ 3.5.3 Escalamento

(20)

24 ( ) ∫ ( ) ( ) | |∫ ( ) ( ) | | ( ) ou ∫ ( ) ( ) | | ( ) ₍₂₅₎ 3.5.4 Função Reversa

Se ( )e ( ) são uma transformada Hartley par, então ( ) ∫ ( ) ( ) ( )

₍₂₆₎

Caso particular para

3.5.5 Deslocamento

Se ( ) for a transformada de ( ), teremos ( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (27) 3.5.6 Modulação

Se a transformada de ( ) for denotada por ( ) e a função ( ) ( ), fazendo ( ) ( ) teremos

(21)

25 ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) (( ) (( )] (28) 3.5.7 Convolução

Se ( ) tem a transformada de Hartley ( ) e ( ) tem a transformada de Hartley ( ), em seguida, ( ) ( ) será

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] Para obter este resultado diretamente, basta substituir a integral de convolução

( ) ( ) ∫ ( ) ( )

₍₂₉₎

Aplicando a Propriedade 3.3.5. Obtemos

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ [∫ ( ) ( ) ] ( ) ∫ ( ) [∫ ( ) ( ) ] ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (30)

 ( ) é impar e ( ) é par, ou ( ) é impar e ( ) é par, então ( ) ( ) ( ) ( )

 ( ) é impar, logo ( ) ( ) ( ) ( )

 ( ) é impar, então ( ) ( ) ( ) ( )

(22)

26

3.5.8 Teorema da convolução

Se duas funções absolutamente integráveis ( ) e ( ) possuem transformadas de Hartley ( ) e ( ) , logo sua convolução será igual ao produto ponto a ponto das transformadas de cada função, resumindo uma convolução de um domínio é equivalente a multiplicação ponto a ponto no outro domínio,

( ) ( ) ( ) Então nossa equação será

( ) { ( )} √ [ ( ) ( ) ( ) ( )]

(31) onde e são as componentes par e impar de ( ).

A Eq. (32) parece complicada, com relação a, por exemplo, o que vale para a transformada de Fourier. No entanto, como em aplicações práticas sempre se pode escolher a origem de forma a fazer a função ( ) ser par (por exemplo), a Eq. (32) se simplifica para

( ) √ ( ) ( ))

3.5.9 Autocorrelação

Se ( ) tem a transformada de Hartley ( ), em seguida, a autocorrelação de ( ), descrita pela equação a seguir apresentada

( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

₍₃₂₎

e a Transformada de Hartley

[ ( ) ( ) ] [ ( )] [ ( )]

Comparando a Eq. (33) a Eq. (30), é evidente que as integrais de convolução e correlação estão intimamente relacionadas. Substituindo a integral de correlação Eq. (33) na transformada de Hartley e utilizando a Propriedade 3.3.5, o resultado é o seguinte:

(23)

27 ( ) ∫ [∫ ( ) ( ) ] ( ) ∫ ( ) [∫ ( ) ( ) ] (33)

Usando a propriedade do deslocamento

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

(34)

3.5.10 Produto

A Transformada de Hartley do produto de ( ) ( ) é dado por

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (35)

3.5.11 Derivada

Transformada de Hartley de ( ) for ( ), então a transformada da derivada de ordem de equivale a, ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) (36) onde é a função complementar.

3.5.12 Segundo Momento

( ) ∫ ( ) ( ) ( )

(24)

28

Diferenciando ambos os lados em relação à e, em seguida, definindo f = 0, obtemos ( ) | ∫ ( ) ( ) (37) 3.5.13 Paridade

Do mesmo modo que à transformada de Fourier, a transformada de Hartley conserva a paridade, a transformada de Hartley de uma função par é sempre uma função par, e a transformada de Hartley de uma função ímpar é sempre uma função ímpar.

3.5.14 Transformada de Fourier a partir da Transformada de Hartley

( ) √ ( ) √ ( ) (38)

3.5.15 Transformada de Hartley a partir da Transformada de Fourier

( ) √ ( ) √ ( ) (39)

3.5.16 Propriedades da Transformada de Hartley

Teorema ( ) ( )

(25)

29 Espectro de potência ( ) { ( ) ( ) } ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] Escalonamento ( ) | | ( ) Reversa ( ) ( ) Deslocamento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Modulação ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Convolução ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] Autocorrelação ( ) ( ) ( ) ( ) Produto ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] Derivada ( )_{( )} ₍ _{) ( )} _{(( )} ₎

Tabela 1 - Propriedades da Transformada de Hartley. Fonte: (Poularikas, 1999).

3.5 PROPRIEDADES TRIGONOMÉTRICAS DA FUNÇÃO

Função ( ) ( ) ( ) Função ( ) [( ) _{( )} _] Complemento da Função ( ) ( ) ( ) ( ) Complemento da Função √ ( ) √ ( )

(26)

30

Relação com cosseno

( ) ( ) ( ) Relação com seno

( ) ( ) ( ) Relação recíproca

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Relação do produto ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Função da relação do produto ( ) ( ) ( ) ( ) Relação quociente

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Relação do ângulo duplo ( ) ( ) ( ) Integral indefinida ∫ ( ) ( ) ( ) Derivada ( ) ( ) ( ) Soma de ângulo ( )= ( ) ( ) ( ) ( ) Subtração de ângulo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Função soma ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] Função subtração ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] Tabela 2 - Propriedades da Função cas.

(27)

31

4 INTENSIDADE ACÚSTICA

Existem várias maneiras de se estudar cientificamente o fenômeno sonoro. Temos a engenharia acústica que é a parte da engenharia que estuda formas de controle e de reprodução de fenômenos acústicos. Isto se aplica a diversas situações práticas como controle de ruído industrial, controle de ruído ambiental, acústica arquitetônica, controle de vibrações em máquinas e equipamentos, reprodução e síntese de fontes sonoras, e assim por diante. A física acústica estuda a parte material do fenômeno sonoro. Psicoacústica se preocupa com as sensações auditivas produzidas pelo som audível, e outras tais como a acústica arquitetônica, acústica ambiental, música, dentre outras. Todas essas áreas estão interligadas, mas cada uma focaliza um aspecto específico deste fenômeno. Podemos definir o som como sendo uma alteração da pressão ambiente detectável pelo sistema auditivo e o ruído como um som sem harmonia. Um mecanismo bem comum para produzir sons consiste em fazer vibrar uma estrutura. Estruturas vibrantes movimentam periodicamente as moléculas do ar ao seu redor, gerando regiões de concentração e de rarefação destas, o que provoca variações de pressão. Para este fenômeno ocorrer há a necessidade de três elementos relacionados em um sistema: a fonte sonora, o meio de transmissão e o receptor. Primeiramente, a fonte emite uma certa potência sonora, gerando um nível sonoro que pode ser medido nas proximidades da fonte. A partir daí, o nível sonoro diminui à medida que o som se propaga, entre a fonte e o receptor, ao longo de determinada trajetória.

A modelagem da radiação acústica é de suma importância para se compreender a propagação das ondas acústicas e, consequentemente, desenvolver mecanismos para amenizar ruídos acústicos. Para estimativas de níveis de pressão sonora, em certas ocasiões, é preciso conhecer os níveis de potência sonora das fontes em questão. É este o caso, por exemplo, quando se deseja determinar o nível de pressão sonora gerado pelo maquinário de um ambiente industrial e o nível de pressão sonora devido ao tráfego de uma rodovia, entre outros. Para se modelar matematicamente a radiação acústica, existem três equações que são tomadas como base (Corrêa, 2012):

(28)

32

( ) ( )

₍₄₀₎

 Equação de Euler

⃗ (41)

 Condição de radiação de Sommerfeld [ ( ( ) ( ) )] ₍₄₂₎ 4.1 DOMÍNIO DO TEMPO

Considerando uma velocidade ( ) em um contorno г, onde e um ponto qualquer sobre г, e t é o tempo. O movimento vibratório da estrutura gera, na região 𝛀 o campo de pressão ( ), com x sendo um ponto arbitrário tal que x 𝛀. O campo na região 𝛀 é descrito pela equação linear da onda (Eq. (41)) onde c é a velocidade do som, p(x, t) é a pressão sonora na posição x = (x, y, z) e no instante t. Será assumido que c = 343m/s. Tem-se ainda que, em coordenadas,

(Corrêa, 2012).

Figura 1 - Descrição da geometria do problema de radiação sonora por uma estrutura vibrante. Fonte: (Corrêa, 2012).

(29)

33

₍₄₃₎

é a massa especifica do fluido e v sendo o vetor velocidade, com componentes ̇, ̇, ̇, em coordenadas cartesianas, que pode ser escrito como sendo

̇ ̇ ̇ onde i, j e k são vetores unitários nas direções x, y e z.

Escrevendo a Eq. (44) para a velocidade na direção do vetor , ( )

( ) ₍₄₄₎

onde é a componente normal a velocidade superficial da estrutura, de modo que ( ) ( ) .

Se a estrutura radia para um ambiente livre de superfícies que possam causar reflexão e livre de outras fontes sonoras, a pressão acústica a grande distância da fonte obedece à condição de radiação de Sommerfeld (Eq. (43)), que é escrita como

[ ( ( ) ( ) )]

onde ( , ) são os componentes escalares da posição de um ponto , em coordenadas esféricas. Esta equação do ponto de vista físico mostra que, a grandes distâncias da superfície vibrante, o efeito da divergência esférica torna-se cada vez menor, trazendo como implicação a aproximação das ondas de pressão, em sua forma, de ondas planas.

O vetor intensidade acústica, no domínio do tempo, também chamado de vetor intensidade acústica instantânea, é definido por

( ) ( ) ( ) (45)

Ela demonstra o trabalho realizado por unidade de tempo da onda sonora (Corrêa, 2012).

Na maioria dos casos em acústica, a modelagem do problema de radiação sonora é feito no domínio da freqüência, já que no domínio do tempo pode ocorrer um custo computacional elevado.

(30)

34

4.2 DOMÍNIO DA FREQUENCIA

Trabalhando no domínio da frequência ao invés do domínio do tempo, empregamos como alternativa o uso da Transformada de Hartley temporal do campo de pressão

̂( )

√ ∫ ( ) ( ) (46)

onde ̂( ) é a transformada de Hartley temporal da pressão acústica. Deste modo podemos definir a equação de Helmholtz a partir da Eq. (41):

( ) ( ) ( ) ( )

(47) Aplicando a transformada de Hartley em ambos os lados da igualdade temos

( ) [ ( )] Resolvendo separadamente (i) ( ) ( ) ( ) ̂( ) (ii) [ ( )]

Utilizando a propriedade da derivada { ( )} ∫ ( ) ( ) ( ) (( ) ) Temos [ ( )] [( ) (( ) )] ( ) ( ) ( ) ( )

(31)

35

( ) ̂( ) Igualando (i) a (ii)

̂( ) ̂( ) Denominando

Deste modo obtemos

̂( ) ̂( )

̂( ) ̂( ) (48)

onde é o número de onda do campo acústico ou numero de onda acústico.

Logo a equação de Helmholtz obtida com a transformada de Hartley e equivalente a equação quando se utiliza a transformada de Fourier (Corrêa, 2012)

̂( ) ̂( ) (49)

Aplicando a transformada de Hartley temporal nas Eqs. (45), (43) e (46), conseguimos as seguintes fórmulas

 Equação de Euler

[ ( )

] ( )

Aplicando a propriedade da derivada no primeiro lado da igualdade (i) [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) (( ) )] ( ) ̂ ( ) (ii) ( ) ( ) ( ) ̂( ) Logo ̂ ( ) ̂( ) ̂( ) ̂ ( ) (50)

(32)

36

onde ̂ ( ) é a transformada de Hartley temporal da velocidade normal.

 A Condição de Sommerfeld [ ( ( ) ( ) )] (i) [ ( ) ] [ ( ) ] ̂( ) (ii) [ ( ) ]

Utilizando a propriedade da derivada [ ( )

] [ ( ) (( ) )] ( ) ( ) ̂( )

Como pode ser rescrita como

̂( ) Logo a Condição Sommerfeld será

[ ( ̂( ) ) ̂( )] ₍₅₁₎  Intensidade Acústica ( ) ( ) ( ) (i) ( ) ( ) ̂( ) (ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) [ √ ∫ ̂ ( ) ( ) ] ( ) √ ∫ ̂ ( ) [∫ ( ) ( ) ] √ ∫ ̂ ( ) ̂( ) √ ̂( ) ̂ ( ) Pelo Teorema da Convolução

(33)

37

√ ̂( ) ̂ ( ) Aplicando na Equação

√ √ ̂( ) ̂ ( ) ̂( ) ̂ ( ) Igualando (i) a (ii)

̂( ) ̂( ) ̂ ( )

(52) Deste modo a potência sonora que será radiada para o campo afastado na direção normal é definida por

( ) ∫ ̂( ) (53)

com ᴦ sendo a área superficial da fonte sonora.

4.3 GEOMETRIA PLANA

Será usado o sistema de coordenadas cartesianas, para desenvolvimento do problema de radiação

(34)

38

Figura 2 - Sistema de coordenadas para fontes com geometria plana, com fonte situada no plano z=0.

Fonte: (Corrêa, 2012).

Pode-se escrever a pressão acústica no domínio da frequência na região sendo

̂( ) ̂( ) ̂( ) ̂( ) (54) Inserindo a Eq. (55) na Eq. (50) e dividindo ̂( ), a pressão acústica no domínio da frequência pode ser escrita como

̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (55)

Ao olhar a equação acima percebesse que os três primeiros termos são dependentes de uma única coordenada e k é uma constante, desse modo, a única solução que satisfaz essa equação é se todos os três termos forem constantes, logo

̂ ̂ ₍₅₆₎ ̂ ̂ ₍₅₇₎ ̂ ̂ ₍₅₈₎

onde , e são conhecidos como número de ondas na direções x, y e z. A Eq. (56) pode ser rescrita como

(35)

39

(59)

deste modo o numero de onda k tem uma relação com as constantes , e .

Adotando o eixo coordenado como direção, podesse reescrever a Eq. (60) para obtendo

√ (60)

Como é evidenciado pela Condição de Sommerfeld de que não há fontes sonoras na região , a raiz negativa não faz sentido físico, deste modo

√ (61)

Para prosseguir com o desenvolvimento da solução do problema de radiação para geometrias planas, faz-se necessário a utilização da transformada de Hartley

( )

√ ∫ ( ) ( ) (62)

( )

√ ∫ ( ) ( ) (63)

onde ( ) é uma função qualquer que satisfaça as condições de existência da transformada de Hartley, e ( ) é sua transformada espacial. Em geometrias planas, para se lidar com problemas de radiação para um espaço tridimensional, utilizasse a transformada de Hartley espacial bi-dimensional, composta pelo par transformado

( ) ∬ ( ) [ ( )]

(64)

( ) ∬ ( ) [ ( )]

(65)

onde e são números de ondas nas direções e , e ( ) é o espectro angular de ( ). Aplicando as Eq. (65) e (66) nas Eqs. (49) e (51) que são de Helmholtz e Euler respectivamente.

Primeiro na equação de Helmholtz

̂( ) ̂( ) Resolvendo separadamente

I. ̂( )

̂( ) ( ) ̂( )

(36)

40

̂( )

II. ̂( )

̂( ) ̂( ) Pela Eq. (66) temos que

√ Substituindo esse resultado na equação anterior

(√ ) ̂( ) ( ) ̂( ) Somando I e II

̂( )

( ) ̂( ) (66) Para se obter uma solução geral para essa EDO, vamos reescrever a equação

Essa é uma Equação Linear de segunda ordem, que possui solução, em termos da função cas como:

̂( ) ( ) ( ) (67) Pela Condição de Sommerfeld temos que

̂ ( ) Logo podemos definir ̂ como sendo

̂( ) ( ) (68)

E agora para a de Euler

̂( ) ̂ ( ) como ( ) tem-se:

̂( )

̂ ( ) ₍₆₉₎

Implicando que a Eq.(69) satisfaça a Eq. (70) ̂

Da Eq. (69) obtemos

(37)

41

̂ ( )

Igualando as duas Equações

( ) Como , pois esta na superfície cas ( )

Logo definimos p̂ como sendo

̂( ) ( )

(70)

4.4 CÍRCULO DE RADIAÇÃO

O círculo de radiação é o lugar geométrico onde a relação é válida. Os componentes situados no interior desse círculo são eficientemente radiados para o campo afastado, enquanto que os situados em seu exterior não radiam para o campo afastado, dando origem às chamadas ondas evanescentes. Os primeiros componentes são também denominados supersônicos, e os segundos de subsônicos. Tal denominação é derivada da análise do problema de radiação sonora oriunda de uma estrutura unidimensional para um espaço bidimensional. Como , um componente com deve possuir , onde é sua velocidade de propagação estrutural, sendo, portanto denominado supersônico, com o sentido de que a velocidade de propagação estrutural, para aquele componente, é maior do que a velocidade de propagação no fluido que a envolve. Agora, se há um componente

, este deve possuir , sendo então denominado subsônico. (Corrêa, 2012).

4.5 HOLOGRAFIA ACÚSTICA DE CAMPO PRÓXIMO

Foi em 1980 que a primeira experiência na Holografia Acústica de Campo Próximo (NAH) ocorreu. Desde que o primeiro estudo foi publicado por Williams e Maynard

(38)

42

(Williams; Maynard,1980), ela tem sido uma grande explosão de investigação e muito desenvolvimento, com aplicações práticas encontrando seu caminho para os mais variados problemas de vibração. O que separa NAH de holografia e uma infinidade de reconstrução de imagem técnicas, bem como a reversão popular tempo se aproxima é a inclusão de ondas evanescente na reconstrução (formação da imagem). Estas ondas evanescentes decaem rapidamente para longe da superfície da estrutura de vibração de interesse e não podem ser recuperadas a partir de medições longe da sua superfície. Eles só podem ser recuperados a partir de medições perto da estrutura. A resolução da reconstrução da imagem neste caso é independente do comprimento de onda real do som já que existem ondas evanescentes geradas por comprimentos de onda estruturais menores do que o comprimento de onda acústico. O objetivo principal é o de recuperar a velocidade do fluido a pressão normal e muito perto ou na superfície de reconstrução, a combinação destas duas quantidades o que nos permite calcular a intensidade ativa e, assim, obter a potência total irradiada a partir da fonte.

4.6 INTENSIDADE ACÚSTICA SUPERSÔNICA

Intensidade Acústica Supersônica (IAS) ou simplesmente Intensidade Supersônica (IS) foi apresentada por Willians em 1995 (Williams, 1995), a qual permite determinar a parcela da intensidade acústica de uma fonte sonora que será efetivamente radiada para o campo distante. Tal grandeza permite quantificar de forma mais precisa a eficiência de radiação ou não de radiadores acústicos na solução dos problemas de vibroacustica. A IAS origina-se da NAH e tem por objetivo identificar as regiões de uma fonte de ruído que contribuem para a potencia sonora radiada para o campo distante (supersônica) filtrando, consequentemente, a parcela referente às ondas sonoras recirculantes e evanescentes (subsônicas), ou seja, são as componentes de ondas que não radiam para o campo distante. Logo ela se torna uma ferramenta valiosa para compreender, analisar e controlar radiação sonora.

Podemos definir a pressão e a velocidade normal no plano, usando a transformada inversa de Fourier bidimensional sendo respectivamente:

̃( )

∫ ∫ ̂( )

(39)

43 ̃ ( ) ∫ ∫ ̂ ( ) (72)

A IS é também construída a partir dos componentes da onda plana, que são velocidade normal supersônica e pressão supersônica, a última sendo definida por

̃( )( )

∬ ̂( )

₍₇₃₎

onde é a área de radiação no circulo. E a velocidade normal supersônica é

̃( )( )

∬ ̂ ( )

₍₇₄₎

A intensidade supersônica e definida do mesmo modo que a intensidade normal total ( ) [ ( )( ) ( )_{( )} _]

(75) A confiabilidade do conceito de intensidade supersônica reside no fato de que o poder é conservado. Isto é a potência total (Real) que passa através do plano em z = constante é idêntica ao poder supersônico que atravessa aquele plano. Isso é,

∬ ( )( ) ∬ [ ( )( ) ( )_{( )]}

(76)

onde ̃( ) e ̃( )são os campos não filtrados.

Utilizando a transformada inversa de Hartley bidimensional podemos redefinir a pressão e a velocidade normal sendo

̃( ) ∬ ̂( ) ( ) (77) ̃ ( ) ∬ ̂ ( ) ( ) (78) e a potencia e velocidade normal supersônica como

̃( )( ) ∬ ̂( ) [ ( )] (79) ̃( )( ) ∬ ̂ ( ) ( ) (80) Sabendo que ( ) ( ) ( ) Substituindo Eq. acima nas Eq. (80) e Eq.(81) temos

(40)

44 ̃( )( ) ∬ ̂( ) { [ ( )] [ ( )]} (81) ̃( )( ) ∬ ̂ ( ) { ( ) [ ( )]}

Um aspecto chave deve ser analisado: Como pode assumir valores imaginários (vide circulo de radiação), não se pode aplicar a transformada de Hartley (aplicável somente em domínios reais) para a obtenção da pressão Eq. (71), dessa forma a referida transformada não seria aplicável para identificar fontes sonoras, por outro lado, de acordo com a teoria apresentada, deve-se filtrar (retirar) os imaginários por esses darem origem às ondas não propagantes, com tal procedimento, a transformada de Hartley encontra/calcula diretamente uma intensidade acústica equivalente a intensidade supersônica exposta por Willians.

(41)

45

5 RESULTADOS

Neste capitulo serão apresentados os resultados para uma geometria plana, do tipo placa simplesmente apoiada nas bordas. Tal placa é finita, feita de alumínio e sendo montada sobre um anteparo plano e rígido, sendo excitada, na direção , por uma fonte com frequência constante ω, como ilustrada na Figura 4.

Figura 3 - Esquema de uma placa, montada em um anteparo, sendo excitada. Fonte: (Corrêa, 2012).

A placa possui as seguintes características e , vibrando no modo normal (11,4), logo e , cuja freqüência de excitação é de modo que . Faz-se necessário relatar que a freqüência natural, , para este modo é de 491,31 Hz em uma placa de alumínio com módulo de elasticidade Pa, coeficiente de Poison igual a 0,35, massa específica de e , onde é o número de onda livre (Corrêa, 2012), dado por

√( ) ( )

Observando a equação acima nota-se que depende do modo de vibração e da dimensão da placa, deste modo podesse escrever como sendo

√( ) ( )

agora ele passa a ser um indicador de qual modo de radiação (canto, borda ou superfície) tem-se para o par ( ).

(42)

46

Figura 4 - Utilização do primeiro quadrante do círculo de radiação para a classificação dos modos de radiação de uma placa simplesmente apoiada.

Fonte: (Corrêa, 2012).

As Figuras 5 e 6 simulam um exemplo para um modo de canto e para um modo de borda, respectivamente. No modo de superfície toda a superfície da placa está radiando.

Figura 5 - Exemplo de um modo de canto. Fonte: (Corrêa, 2012).

(43)

47

Figura 6 - Exemplo de um modo de borda. Fonte: (Corrêa, 2012).

Para a placa em questão, a frequência de excitação está abaixo da frequência de coincidência, , pois a relação e a coincidência ocorre quando , ou seja, , gerando os chamados modos de superfície. A relação pode ser interpretada como a razão entre a frequência de excitação e a frequência de coincidência, essa razão será denominada de frequência adimensional, . Nesse caso, . A Figura 8 e Figura 9 ilustram o modo de vibração utilizado neste ensaio numérico. Deve-se lembrar que os modos de vibração representam somente a configuração da estrutura quando esta vibra com determinada frequência, assim, o valor absoluto das componentes que constituem o vetor modo de vibração não tem qualquer significado, sendo somente importante a relação entre eles. Dessa forma existem infinitas representações possíveis do mesmo modo de vibração. Face a essa situação é habitual representar os modos de vibração através de uma determinada norma que facilite a interpretação e a comparação entre eles. Será utilizado, nos resultados a seguir, que o valor das componentes que constituem o vetor modo de vibração (vetor deslocamento) está variando entre -1 e 1 micrometro.

(44)

48

Figura 7 - Distribuição velocidade. Fonte: O autor.

(45)

49

Fonte: O autor

Figura 9 - Intensidade Acústica Supersônica via Fourier Fonte: O autor.

(46)

50

Fonte: O autor.

Como pode ser observado, há grande semelhança entre os resultados encontrados pela intensidade acústica via transformada de Hartley e a intensidade supersônica via transformada de Fourier. Como esperado, a transformada de Hartley filtrou os componentes de onda não propagantes, identificando as regiões geradoras do som que será propagado, e de acordo com a literatura, encontrou-se um modo de borda. A fim de dar mais credibilidade a transformada de Hartley calcula-se o nível de potência sonora obtido via intensidade supersônica (NPSIS) e via intensidade acústica obtida com o uso da transformada de Hartley (NPSIH), obtendo: 108.199 dB e 108,199 dB, respectivamente.

Agora seque outros dois exemplos vibrando no modo normal (9,9) e (5,4), e a freqüência de excitação será de modo que e respectivamente:

(47)

51

Figura 12 - Intensidade Acústica. Fonte: O autor.

Figura 13 - Intensidade Acústica Supersônica via Fourier Fonte: O autor

(48)

52

Figura 14 - Intensidade Acústica via Hartley. Fonte: O autor.

Como pode ser observado, há, novamente, grande semelhança entre os resultados encontrados pela intensidade acústica via transformada de Hartley e a intensidade supersônica via transformada de Fourier, encontrando-se agora um modo de canto, obtendo-se: NPSIS = 85,45 dB e NPSIH = 85,45 dB, respectivamente.

(49)

53

Figura 16 - Intensidade Acústica. Fonte: O autor.

(50)

54

Figura 17 - Intensidade Acústica Supersônica via Fourier. Fonte: O autor.

Figura 18 - Intensidade Acústica via Hartley. Fonte: O autor.

(51)

55

Ocorre, novamente, grande semelhança entre os resultados encontrados pela intensidade acústica via transformada de Hartley e a intensidade supersônica via transformada de Fourier, encontrando-se agora um modo de superfície, obtendo-se: NPSIS = 124,622 dB e NPSIH = 124,622 dB, respectivamente.

(52)

56

6 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS

Neste trabalho foi apresentada a Transformada de Hartley bem como suas relações com a transformada de Fourier, destacando as vantagens na sua utilização em problemas práticos, pois não trabalha com o conjunto dos números complexos.

Um exemplo pratico na área de acústica foi resolvido via transformada de Hartley, neste caso foi implementado um algoritmo para identificar fontes sonoras em uma geometria plana tipo placa. Os resultados obtidos foram muito satisfatórios quando comparados aos esperados na literatura em especial aos via abordagem de Fourier, levando sobre este ultimo a vantagem de não trabalhar com números complexos, encontrando desta forma uma intensidade acústica sem componentes de ondas não propagantes, semelhante à intensidade supersônica proposta por Williams (1995). Desta forma os objetivos do trabalho foram alcançados.

Para trabalhos futuros aconselhasse um estudo mais detalhado sobre a viabilidade da aplicação da transformada de Hartley em geometrias mais complexas.

(53)

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