A TRANSFORMADA DE LAPLACE

(1)

Prof. Me. Ayrton Barboni

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 1

2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1

2.1. Definição 1

2.2. Cálculo da transformada de Laplace 2

2.3. Exercícios resolvidos 4

2.4. Exercícios propostos 8

3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 9

3.2. Teorema da translação sobre o eixo s 10

3.3. Teorema da translação sobre o eixo t 12

3.5. Outros exercícios sobre teoremas de translação 15

4. FORMAS DE APRESENTAR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA POR PARTES 16 4.1. Exercícios propostos 19

5. FUNÇÕES PERIÓDICAS 20

5.2. Teorema: Transformada de uma função periódica 20

6. CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA A EXISTÊNCIA DE F(s) 22

7. TEOREMA da TRANSFORMADA da DERIVADA de UMA FUNÇÃO 23

8. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 26

8.1. Exercícios resolvidos 26

9. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 32

9.1. Resolução dos exercícios propostos em 2.4 32

(2)

A TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. INTRODUÇÃO

A proposta neste trabalho é a de obter soluções de equações diferenciais lineares:

( ) ( 1)

1 ... 2 '' 1 ' 0 ( ),

n n

a y  a _ y   a y  a y a y  f t

com coeficientes a0, a1, a2, ... ,an1 e an constantes, com f sendo contínua em

[0, [ e sujeitas as condições de valor inicial:y(0)y0, y'(0)y1,... , y( 1)n (0) y( 1)n .





O processo, até aqui estudado, de obtenção da solução de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e de valor inicial consiste em encontrar:

a) a solução y_h da equação homogênea:

( ) ( 1)

1 ... 2 '' 1 ' 0 0

n n

a y  a _ y   a y  a y a y  b) a solução particular y_p da equação não-homogênea:

( ) ( 1)

1 ... 2 '' 1 ' 0 ( )

n n

a y  a _ y   a y  a y a y  f t

c) a solução geral da equação diferencial não-homogênea: y_G  y_h  y_p

d) os valores das constantes arbitrárias de y_G, relativas a y_h, de modo que atendam as condições iniciais estabelecidas.

As transformadas de Laplace1_{simplificam o processo de resolução de uma equação}

diferencial utilizado para a obtenção de y_G atendendo as condições iniciais. Elas transformam uma equação diferencial numa Equação Algébrica com todas as condições estabelecidas inclusas e, após ser resolvida, sua solução é transformada de modo inverso obtendo-sey_G, este

procedimento é conhecido como “inverter a transformada”.

Portanto, não é necessário calcular y_h, y_p e nem determinar as constantes

arbitrárias que atendam as condições iniciais apresentadas, conforme o roteiro acima. 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE

Queremos conceituar a transformada de Laplace e mostrar que ela é um operador linear. 2.1. Definição

Suponhamos que f seja uma função contínua2 em t[0, [. A integral

0

( ) st ( )

F s 





e

 f t dt, *

s (1)

será chamada de transformada de Laplace de f, se a integral for convergente.

1

Laplace, Pierre Simon (1749 – 1827) foi matemático, físico e astrônomo. 2

A função f poderá ser seccionalmente contínua, isto é, em qualquer intervalo a t b,coma,b _, considerado em [0, [, existir um número finito de pontos de descontinuidade, nos quais os limites laterais de f são finitos e f é contínua nos subintervalos de [a, b]. A função f pode estar representando

(3)

A função de duas variáveis de sentença K(s,t) = est,com s * e t _, é

chamada de núcleo da transformada de Laplace.

É evidente, em (1), que a integral de [K(s,t) f(t)] em relação a

t

resulte na função

F de variável s. A variável s permanece constante durante o processo de integração.

Notação:

0 ( )

( ) st { ( )}

f t dt

F s 



e 

L

f t

2.2. Cálculo da Transformada de Laplace

A transformada de Laplace, em (1), é definida por uma integral no intervalo

[0,[, caso esta seja convergente. O fato de um dos extremos ser mais infinito

indica que é uma integral imprópria. Portanto, a transformada é obtida pelo limite da

integral definida de 0 até A, onde A tende para infinito. Assim,

A

0

A

0 ( ) lim ( )

{ ( )}

_{f t}



_e

st_{f t dt}

_e

st_{f t dt} 

 



_



_

L

_,

se o limite existir e for finito.

Caso o limite não exista ou é infinito, a integral é divergente e a transformada de Laplace não estará definida.

OBSERVAÇÃO 1:

A transformada de Laplace é um operador, pois transforma uma função em outra

função. No caso, f(t) em F(s) mediante integração.

A integração é um operador, pois transforma, por exemplo, a função real de

sentença f x( ) 2 , x x ,na família de funções F( )x x2C C,  . A diferenciação é

também um operador, visto que transforma _{F( )} 2 _,

x x C C _em f x( ) 2 , x x . As operações de diferenciação e integração são lineares, elas transformam uma combinação linear de funções numa combinação linear de transformadas.

Para  e reais,

d [ f x( ) g x( )] df x( ) dg x( )

dx     dx   dx



[f x( )g x( )]dx  



f x dx( )  



g x dx( )

se cada integral e cada derivada existirem.

O fato da transformada de Laplace ser definida por uma integral segue que ela tem a propriedade da linearidade:

L

{f t( )g t( )}  

L



f t( )



 

L

 

g t( ) Exemplo 1: Seja f(t) = 1, t _.

Temos que:

A

A A

0

A

0 1

1 ( ) lim lim

{ } st _dt st e st

s dt

e



 



   

 

  



_



_



(4)

* A

A ,

1

1 lim

{ }

e s s

s s

  

 



 

   



L

_.

Caso s < 0, o limite da primeira parcela da diferença indicada tenderá a  e a

segunda tenderá a +1/s (finito). A diferença é valor infinito. Logo, a integral é

divergente. Logo, a transformada de Laplace não está definida.

Caso s > 0, o limite do primeiro termo da diferença tenderá a zero (finito) e o

limite do segundo termo tenderá a +1/s (finito). Assim, a integral é convergente.

Portanto, a transformada de Laplace de f(t) = 1 , t0, existe se s *_, isto é,

1

1 , 0

{ }

s

s 



L

_.

Exemplo 2: Seja f(t) = 1 / t , t  1. Temos que:

A 1

1 1

lim st

st

t t

e t

dt

e







    

   

 





 





L

₍₂₎

Cálculo da integral indefinida e st t

I







dt

Fazendo  s t u, tem-se s dt du e, também, dt du

s



 . Substituindo estas

igualdades na integral indefinida, teremos:

u. s .du u u s

e du u

I

e

 









Considerando o desenvolvimento de

_e

u_{em série de potências, vê-se:}

2 3

2

(1 ...) ₁

2! 3! ₍ ₁ _...)

2! 3!

u u u u _u

du du

u u

e u

du u

I

   

    



_



_

Integrando,

2 3 ...

2.2! 3.3!

lnu u u u C, C

I

      

2 3

( ) ( )

( ) ...

2.2! 3.3!

ln( st) st st st C, C (3)

I

          

Vemos, na sentença acima, que ln(–st) existe somente se s < 0.

Substituindo a expressão (3) em (2), segue que:

2 3 A

1

A A

A 1

1 ( ) ( )

ln( ) ( ) ... 2.2! 3.3!

lim st lim s t s t s t s t

t

e t

dt



 

 _ _ 

  _ _{ } _ _ _

 

 

 







_ _



L

2 3 2 3

( ) A

A A

A) A) ( ) ( ) ( )

ln( ( ... )

2.2! 3.3! 2.2! 3.3!

lim ( s s ) (ln( s s ...)

s s s s

   

   

 

    

 

     



2 3 2 3

A A

( A) ( A)

A) ( A) ...

2.2! 3.3!

( ) ( )

lim ln( lim ln( ) ...

2.2! 3.3!

s s s s

 

 

       

   

    

 

 



 



[

]

   

[

série convergente = valor finito]



 

.

(5)

2.3. Exercícios resolvidos

Obter a transformada de Laplace das funções reais de variável real dadas pelas sentenças abaixo:

1) f(t) = 1, t  0

Temos que:

{ }

1 1 , s 0

s 



L

₍_{Exemplo 1}_–_{resolvido acima}₎

2) f t( )

e

a t_,t  0, a

A A

0 0

0

( )

A A ₍ ₎

( )

lim lim

{

a t

}

s a t

s a s a t

s t a t e

e



e

dt

_

e

dt

_     

 

 

 

 _ _



_

L

( )A

A

1 ( ) ( ) lim

{

a t

}

s a

s a s a e

e

 



 



 

   

 

 



L

Se (s–a) < 0, então o limite é infinito e a integral divergente.

Se (s–a) > 0, então o limite é finito e igual a 1/(s–a), logo, a integral é

convergente.

Daí,

1 _,

{

a t

}

_s _a

s a

e







L

Nota: Analogamente teremos:

{

a t

}

1 , s a s a

e

  





L

3) f t( )

e

at, t0, sendo a  i número complexo.

A

0 A 0

a a _lim ( a)

{

_e

t

}



_e

s t

_e

t

_dt

_e

s t

_dt



 

 _ _



_

L

A _A _A _A

A A A

0

( a) ( ) ₁ ( ) _. ₁

( a) ( a) ( a) ( a) ( a)

lim s t lim s i lim s ei

s s s s s

e e   e  

  

      

     

 

     

         

     

        







A A

( ) _{. cos(} _A_{)+ sen(} _A)

1

( a) ( a)

lim

s

i

s s

e   



 

 



 

   

 

 



A identidade de Euler nos permitiu substituir i A

e  _porcos(A)+ sen(i A).

Vemos que, sendo s >  ,  = Re(a) , o limite na primeira parcela acima é igual

a zero, visto que:

A A





A _A _A

( ) ₎ _{0. (limitado)} _0.

lim _e s  . lim cos( ) + sen(_ _i _ = =

 

 

Daí,

a 1 _,

a

{

t

}

_s

s

e







L

_{, sendo}_a_{ }_{ }_i_.

(6)

4) f t( )cosh( )k t , t0, k

Sabe-se que cosh( )

2

k t k t

kt e e







e, pela observação 1, a transformada de

Laplace tem a propriedade da linearidade. Então:

1 1

2 2

cosh( )

{

}

{

k t

}

{

k t

}

k t



e



e

L

Aproveitando os resultados do exercício 2 resolvido, segue que:

1 1 1 1

2 2

cosh( ) com e

{

}

,

s k s k

k t   s k s k

    





L

Logo,

2 2

1 1 1 1 ( ) ( ) ,

2 2

cosh( )

{

}

s k s k s k

k t _ _    

  

 







L

{

cosh( )

}

2 2 , s k

s k t

s k 



L

5) f t( )



senh( )k t , t0, k

Sabe-se que sen h

( )

2

kt kt

kt



e



e

 . Utilizando o mesmo procedimento da

linearidade do exercício 4, temos:

2 2 2 2

1 ( ) ( )

, 2

h

sen ( )

{

}

s k s k s k

s k

k k t

s k

   _

 



L

6) f t( ) cos( ) e k t f t( ) sen( ), k t t0, k

Podemos evitar o cálculo, de integração por partes, das transformadas de Laplace destas funções se considerarmos a identidade de Euler:

cos( ) sen(

cos( ) sen( ) ) i k t

ik t _{k t} _i _{k t}

e k t i k t

e



 

 

 

 e, daí, temos que:

2cos( ) 2 sen( ) i k t i k t

i k t i k t

k t k t

e e

e e i



 

  



 

Assim, cos( )

2

ik t ik t

kt e e







e sen( )

2

i k t i k t

kt e e

i 





Utilizando a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, temos:

1 1 1 1 1

2 2 2

cos( )

{

}

{

ik t

}

{

ik t

}

s i k s i k

k t e e _  _

 

 

 

 



L

1 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 0

2 ,

s i k s i k s

s i k s k s

 

 

 

  

   



.

Nota: A condição

s

> 0 vale para a parte real do número complexo z =

0 + i k (ex.3). Analogamente,

1 1 1

2

1 1

2 2

sen( )

{

}

{

ik t

}

{

ik t

}

i s i k s i k k t

i

e

i

e

 _ _ 

 _ _ 

  





(7)

1 ₂2 ₂ ₂ ₂ ₂ 0

2 ,

i k k

i s i k s k s

 

  

     



---

Nota: As transformadas de Laplace das funções cos(kt) ou sen(kt) podem ser obtidas utilizando-se, diretamente, a definição de transformada:

0 cos( )

cos( )

{

_{k t}

}





_est _{kt dt}

L

_{(Aplicar o método de integração por partes)}

Temos que:

I





_estcos( )_{kt dt} _

2

2 2 sen( ) cos( )

I C

k k

I e st k t s e st k t s k

 

  

 e,

daí, 2₂ sen( ) cos( )₂ C

k k

1 .I e st k t s e st k t

s k

 

 

 



 

    2 2

sen( ) cos( )] C

[

I e st k t s kt s k

k

 _

 

 .

Logo,

A 2 2

A

0 sen( ) cos( )]

[ lim

cos( )

{

}

e st k t s kt s k

k

k t

  



 

 _ 

 



L

₂ ₂ 0 ₂ ₂

A

A_[ _{sen( A)} _{cos( A)]} _[ _sen(0) _cos(0)] lim

cos( )

{

}

e s k s k e s

s k s k

k k

k t

 

 

 



 

 _ _ 

 

 



L

Considerando s > 0, tem-se A

Alim 0

s

e

   e pelo fato de [ksen( A)k  scos( A)]k

ser limitado, segue que:

{

cos( )

}

₂ s ₂ , 0,

s k s k

k t  





L

Analogamente,

{sen

( )

}

₂ k ₂ , 0,

s k s k

k t  





L

_.

---

7) _{f t}( )__tn, _t_0

Acreditamos que a transformada de Laplace de

t

n será melhor entendida se

considerarmos os casos: a) n = 1

0 0 0

(1)

1 1

0 1 ver Ex

{ }

s t _dt st s t_dt

{ } (

)

s s

t e t

s

t

e

 

 _  _

  

 



_

L

Assim,

1 1

1

₁

1 1 _{1 ,} ₀

{ }

s

s s s s

t







  _ 

L

b) n = 2

2

2 2

0 0

0

2 2

0

{ }

s t_{t dt} t e s t s t_{t dt}

{ }

s s s

t

e

t

 

 _  _

  





_

L

Assim,

2

1 1 2 1 2 1

2 2 1 2.1 _{2! ,} ₀

{ }

s

s s s s

s

t





t



 _  _  _ 

L

(8)

3 0

3 2 2

0 0

3 3 ₀ 3

{ }

s t _dt t e st s t _dt

{ }

s s s

t t

t

e

t



 _   _

  





_

L

Assim,

3 2

2 1 3 1 3 1

3 3 2! 3.2! _{3! ,} ₀

{ }

s

s s s s

s

t





t



 _  _  _ 

L

d) n = 4

4

4 3 3

0 0

0

4 4 ₀ 4

{ }

s t _dt st s t _dt

{ }

s s

t e

t t

s

t

e

t



 _   _

  

 



_

L

Assim,

4 1 4 1

4 3

3 1

4 4 3! 4.3! 4! _, ₀

{ }

s s s

s s

s

t





t



 _



_



_ 

L

Generalizando,

1

, 0

!

{ }

n _n

n

_s

s

t



_ 

L

Nota: Pesquise sobre a função Gama e faça uma demonstração formal de

L

{ }.

t

n

Ou, então, aplique a definição da transformada seguindo, sucessivamente, as potências

decrescentes de

t

naté obter

{ }

n n n( 1)(n_n 2) ... 1 { }1

.

s F

t



 

L

8) ( ) 0 se 0 , 0

1 se

t c

t c c

t c

u





 

  

 , conhecida como função degrau unitário

ou função Heaviside (Oliver Heaviside, matemático inglês - Camden Town, Londres (1850 – 1925).

A

0 A

( ) 0 lim , 0

{

}

c

c c

cs

st st e

t c dt e dt e dt

s s

u

   





















L

Tabela 1

: Resumo das transformadas de Laplace calculadas acima

f

(

t

)

L

{ ( )}f t F s( ) Domínio de

F

1 1 1

s

0

s 2

t

n, n_{0, 1, 2,...}

1

!

n n

s 

0

s

3

_e

a t

_s_1_a sRe{ }a 4 cosh( )k t

2 2 s s k

s k 5 sen ( )h k t

2 2 k s k

s k 6 cos( )k t

2 2

s s k

0 s

7

sen( )

k t

2 2 k s k

0 s

8 _{u t c}₍  ₎ _e c s

s

(9)

9) _{( ) 7 5} 3t _{8sen(5 ),} ₀

f t   e  t t

Sabendo-se que a transformada de Laplace tem a propriedade da linearidade e

utilizando a tabela 1, temos que:

2 2 2 2 3

3 3

(5

sen(5 ) 7 5 8sen(5 )

7 5 8sen )

1

1 1 5

3 5

7 5 40

3 5

{ }

7 5 8

{ } { } { }

{ } { }

{ ( )}

{

t

}

t t

t

e e

e

s s s

f t



 



 



L

10) _{f t}_{( ) 3}_ _t5__{4cosh(5 )}_t __{cos(7 ) 6}_t _ _e2t _, _t_₀

Sabendo-se que a transformada de Laplace tem a propriedade da linearidade e

utilizando a tabela 1, temos que:

2 5

5 2

cosh 5 cos 7

4cosh(5 ) cos(7 ) cosh(5 ) cos(7 )

3 4 ( ) ( ) 6

{3 } 6

3 { } 4 { } { } 6

{ } { } { }

{ }

{ ( )}

{

t

}

t t

t t t e

t e

f t



 

  

 

  





L

2 2

5 1 2 2

2 2 2 2

6 5!

5 360

5

1

3 4 6

2 7

4 6

2 7

s s

s s s

s s

s

 _



 

  



2.4. Exercícios propostos

Obter a transformada de Laplace das funções reais de variável real dadas pelas sentenças:

1) f(t) = 3t + 5, R: 3₂ 5, s 0

s s  

2) _{( )} 2

f t at  bt c, a≠ 0, b e c reais R: 2₃a b₂ c, s 0

s s s   3) _{( ) 3 7} 5t

f t   e : 3 7 , 5

5

R s

ss  4) _{( )}



_{3 7} 5t



2

f t   e : 9 42 49 , 10

5 10

R s

ss s  5) _{( ) cos ( / )}2 ₂

f t  t : 1 1 ₂ , 0

2 1

s

R s

s s

 _  _

 _ 

 

6) _{f t}_{( ) sen ( / )}_ 2 _t ₂

2 0

1 1

: ,

2 1

s

R s

s s

 _  _

 _ 

 

7) f t( ) sen( ).cos( ) t t : ₂1 , 0

4

R s

(10)

8) f t( ) 3 u t(  2) 4 ( 1)u t

2

3 4

: e s e s , 0

R s

s s s

 

  

9) ( ) 1 se 0 1

1 se 1

t f t

t

  



  _

 0

1 : 2 s ,

R e s

s

 _



10) ( ) sen( ) se 0 / 2 1 se / 2

t t

f t

t

    

  _



2

2 0

: ,

1) (

s

R s e s

s s





 



11) ( ) 2 se 0 3

se 3

t

t f t

e t

  

 





3 3( 1)

1

: 2 , 1

1 s s

e

R s

s

e s

  

  

 

 

  

3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Pretendemos obter uma função f se a sua transformada de Laplace for conhecida.

Este processo de conseguir f(t) a partir de F(s) é conhecido como inverter a

transformada.

Portanto, se

F s

( )



L

{ ( )}

f t

, então a transformada inversa será dada por

1

_{{ ( )}}

_{F s}

_{f t}

_{( ).}





L

Exemplo 3:

1) Dada

( )

_nn!₁

s

F s



_ , pede f t( ) , t0

.

Utilizando a Tabela 1, 1 1

1

!

( )

{ ( )}

_nn n

s f t t F

s

 



 

 

 

  

L

Nota: A transformada inversa também tem a propriedade da linearidade.

2) Dado que ( ) 1 1 ₂ a ₂ , s a 0

s s a s a

F s    

 

 , pede f t( ) , t0

.





1 1 1 1

2 2

1 1

0.

1 sen( ),

( )

a

s s a s a

at _at _s _a

F s

e

   _   _   

   _   



     

   



L

3) Dado que 7₂ 3,

1

( ) s

s

F s 



 pede f t( ) , t0

.

Decompondo F(s) em frações parciais, temos que: 7₂ 3 2 5

1 1 1

s

s s

s

 _

 

 

Utilizando a propriedade da linearidade e tabela 1, segue que:





1 1 1 1 1

1 5 1

2

2 5

( )

s s

t t

F s

e

   _   

 _   _ 

   

 _



L

(11)





2 2 2

2 2

1 1 1 1

1 1

7 3 7 3

1 1 1

1

3 7

1 1

7 cosh( ) 3 senh( )

( )

s s

s s s

s

s s t t

F s

   

 



   _  

 _   _   _ 

   

 

 _  

   

 

    



L

7 10 4 5 4

2

3

2 2 2

t t t t t t

t t

e e e e e e

e e

  



  _ _







Obter a transformada inversa de Laplace considerando as sentenças: 1) F s( ) 1₄ , s 0

s

  1 1

4 3 1

3

3!

1 1 1

: ( )

3! 3! .

R f t t

s s

 



   

 _{ } _ _

   

L

2) ₂ 0

25 1

( ) ,

F s s

s  

 1

 

1

 

2 2 2

5

1 1 1

( ) sen(5 )

5 5

25 5

: f t

s s

R    t

   

L L

3) ₂ 0

9

2 6

( ) s ,

F s s

s  



 R: f t( )2cos(3 ) 2sent  (3 )t

4) ₂

4 2

2

5 ( )

s

,

F s

s

 





_: _{( )} 1 ₉ 2 2

4

t t

f t

R  _ e e _

5) ₂ 10

10

2

( ) ,

s s F s

s  

 _: _{( )} 1₍ 10 ₁

5 )

t

R f t  e 

6) ( ) 4 , 1

( 1)( 2)

s

F s s

s s  

 

  R: f t( ) 6 e2t5et

7) ( ) 4 , 2

( 2)( 1)

s

F s s

s s 

 

  R: f t( )2₃ e2t  ₃5 et

8) ( ) ₄2 , 1

1

s

F s s

s 



 R: f t( ) 1₄ [et



et2sen( )]t

3.2. Teorema da translação sobre o eixo s

O teorema mostra que, conhecida a transformada de Laplace de uma função f,

{ ( )}

f t



F s

( )

L

_{, é possível obter a transformada de Laplace de um múltiplo}

exponencial desta função, isto é,

_L

{

_{e f t}

ct

( )}



_{F s c}

(



),

_c



_.

A importância do fato é verificar que a transformada de Laplace de f(t)

multiplicada pela exponencial

_e

ct_,_c_ _{, tem o seu gráfico cartesiano deslocado de}_c

unidades sobre o eixo s em relação ao gráfico de F(s).

(12)

1º.Teorema: Se

L

{ ( )}

f t



F s

( )

, s > k, então

L

{

e f t

ct

( )}



F s c

(



)

, s > k + c, ,

k c . Prova:

0 0

( )

. ( ) ( ) ( )

{

ct

( )}

st ct s c t

e e f t dt e f t dt F s c

e f t





  



  





L

_.

Exemplo 4:

1) Obtenha

_L

{

_e

3 5t_t }_,_c_{= 3}_{( > 0) e}_f₍_t_{) =}

_t

5

Temos que

{

5} 5 !₆ F s( )

s

t  

L

_{(ver tabela1-(2)). E, pelo teorema 3.2,}

6

3 5 5 ! _.

( 3)

} ( 3)

{

t

s

t F s

e



  

L

_{O gráfico foi deslocado 3 unidades à direita de}_F₍_s_).

2) Obtenha

{

3tcos(2)}

t

e



L

_,_c₃_{(< 0) e}_f₍_t_{) = cos(}₂_t₎

Temos que ₂ ₂ ( )

2

2 )

cos( }

{

t F s

s



 

L

_{(tabela1-(6)). E, pelo teorema 3.2,}

2 2

3 3

( 3) 2

2 ) .

cos( } F( 3)

{

t _t s

s

e

 

 



 

L

_{O gráfico foi deslocado} _₃_{unidades à}

esquerda de F(s).

Nota: A translação parece “simples” substituição de s por (s–c) na transformada de f.

OBSERVAÇÃO 2:

A transformada inversa

_L

1_{{ (}_{F s c}_ _)}_{é obtida do seguinte modo:}

a) determine

_L

1_{{ ( )}}_{F s} _ _{f t}_{( )}

e, depois,

b) multiplique ( )f t por

e

ct , c e, daí,

1_{{ (}_{F s c}_)} _ect 1_{{ ( )}}_{F s} _ect _{f t}_{( )}

 _ _  _

L

s

F( )s

k + c F

F( )s - c

(13)

Exemplo 5:

1) Dado que ( ) ₍ ₎2 2

k k F s c

s c 

 

 , pede obter

L

1{ (F s c )}.

a) Temos que 1{ ( )} 1 ₂ k ₂ senh ( )k t f t( )

s k

F s

   

 

  

  

L

( tabela 1- (5))

b) multiplicando f t( ) por

e

ct

,

c



, segue que

1_{{ (}_{F s c}_)}

_e

ct 1_{{ ( )}}_{F s}

_e

ct_f_{( )}_t

_e

ct_{senh( )}_{k t}

 _ _  _ _

L

2) Dado que ( ) ₍ ₎2 2

s c k F s c

s c  

 

 , pede obter

L

1{ (F s c )}.

a) Temos que 1 1

2 2 cos h ( ) ( )

{ ( )} s k t f t

s k

F s

  _ _

  

  

L

( Tab1-(6))

b) multiplicando f t( ) por

e

ct

,

c



, segue que

1_{{ (}_{F s c}_)}

_e

ct 1_{{ ( )}}_{F s}

_e

ct_f_{( )}_t

_e

ct_{cosh( )}_{k t}

 _ _  _ _

L

Tabela 2:

Teoremas da Translação

9

_e

_{c t f t}_{( )} _{_ect_{f t}_{( )}} _{F s c}₍ _), _c * 

  

L

1º Teor. Translação 10 ct n, 1,2,3,...

n

e t 

1

! ( )n

n sc 

c s

11

_e

c t_{sen( )}_{k t}

2 2

( )

k s c k

c s

12

_e

c t_{cos( )}_{k t}

2 2

( )

s c s c k

 

c s

13

_e

ct_{senh( )}_{k t}

₂ ₂

( )

k k s c 

c s

14

e

ctcosh( )k t

2 2

( ) k

s c s c 

 

c s

15 u t( c f) (tc)

_L

_{_f₍_t__c_{). (}_{u t}__c₎_}_ecs

_L

_{_{f t}_{( )}_} 2ºTeor.Translação

(veja em 3.3.)

16 u t( c f) ( )t

_L

_{_f_{( ). (}_t _{u t}__c₎_}_ecs

_L

_{_f₍_t__c₎_} 2ºTeor.Translação

(vejaObservação 3)

17 Transformada Inversa

1_{{ (} _)} ct 1_{{ ( )},} *

F s c e F s c

 



  

L

1º Teor. Translação

3.3. Teorema da translação sobre o eixo t

O teorema diz que a transformada de Laplace de f(t–c). u(t–c), c *, resulta

no produto da exponencial _ecs_por

_{F s}

_{( )}

_{, onde}

_{F s}

_{( )}

_{é a transformada de}_f₍_t_).

(14)

2º.Teorema: Se

L

{

f t( )

}



F s

( )

_e *

c , então

L

{ (

f tc

). (

u

tc

)}



e

csF s( ) Prova:

0

0 .

{ (

). (

)}

(

). (

)

(

). (

)

(

). (

)

c

st _dt

st _dt st _dt

t c t c t c t c

f f

u

e





 _ 

   





L

Visto que 0 se 0 ,

1 se

( ) t c

t c

u    

 

 _{segue que:}

(I)

{ (

). (

)}

0 (

)

c

st _dt

t c t c t c

f 

u



 





e

 f 

L

Fazendo substituição de variável: w = t–c, teremos: t = w + c e dt = dw

O novo extremo de integração para t = c em (I) é w = 0. Assim,

0 0

( )

{ }

{ (

). (

)}

( )

c w c

s w c _dw

s s _dw s

t c t c

f t

f f

f

u

w

e

w

e

 



 



 





L

Entendemos que a transformada inversa de cs ( )

e F s resulta na função f

deslocada ao longo do eixo t em c unidades a partir da origem. Exemplo 6:

1) {cos( ). ( )} s ( ) t u t  e F s

L

_{. Onde} _{F s}_{( )}_

L

_{{ ( )}}_{f t} _

L

_{{cos( )}}_t _

2 ₁

s

s  , i.é, f t( ) sem a translação de  e, daí,

{

cos(t). (u t)

}



L

2 ₁

s s

s

e



 .

2) {cos7( ). ( )} s ( ) t u t  e F s

L

_{. Temos que} _{F s}_{( )}_

L

_{{ ( )}}_{f t} _

{cos(7 )}t 

L

2 ₇2

s

s  , isto é, consideramos f t( ) sem translação de  e, daí, pelo

segundo teorema,

L

{cos7(t). (u t)} ₂ ₂

7

s s

s

e



 .

3) 5( 3) 3 _{( )} 3 5 3 1 3

5 5

( 3)

{ t } s s { }t s s

F s

s s

u t e

e e e e e



   

 





L

_.

Inversa do 2º Teorema da translação:

_L

1_{_ecs_F_{( )}}_s _ _{f t}₍ __{c u t}_{). (} __c₎

4) 1

2

9

s s

s

e 

   

 



 

L

_{(tabela 2 - 15)}

Temos que c



, ( ) ₂ ₂

3 F s s

s 

 e  

1 _{( )} _{( ) cos(3 )}

F s f t t

 _ _

L

₍_{Tabela1-linha 6}_),

logo, 1





  



2 ₉ cos(3( ))

.

cos 3 .

s s _t _t _t

s

e  t



u



u



   

 



     

L

_{, (}_{Tabela2-linha 15}_).

5) 1 3 1 ₇

7 ,

s

s s

e

   

 _ 

  

(15)

Temos que c3, ( ) 1 7

F s s



 e





1 _{( )} _{( )} 7t

F s f t e

 _ _

L

₍_{Tabela1-linha3}_),

logo, 1 3 1 7( 3)





7 3

t s

s t

e e

u

    

 _ 

  

L

_{, (}_{Tabela2-linha15}_).

6) 1 3

3 2!

7 ( 7) ,

s

s s

e

   

 



 

  

L

Temos que c3, ( 7) 2! ₃

( 7)

F

s

s 

 e    

 

1 1 1 2

3

7 7 7

( 7) t ( ) t 2! t ( )

F s F s

s

e e e t f t

  

    

L L L

(Tabela2-linha10), logo, 1 3 2 7( 3)





3

2!

( 7) ( 3) 3

t s

s t

e t e

u

    

 



 

   

L

_{, (}_{Tabela2-linha15}_).

OBSERVAÇÃO 3:

Se desejarmos obter a transformada de Laplace do produto f(t). u(t– c), onde f

não tem a forma de translação f (t – c) , conforme exige o 2ºTeorema, deveremos

proceder uma mudança de variável para que f fique na forma requerida:

0 .0

{ ( ). (

)}

c

( )

c

st _dt st _dt

t t c

f

u







e

 





e

 f

t

L

Fazendo t c w_teremos:t w c_ed td w. Sendo t = c, então o extremo

inferior da integral será w = 0. Daí,

0

( ) _.

( ). ( )

{

}

s w c

(

)

t t c dw

f u 







e

  f

w

c

L

Logo,

0

{ ( ). (

_f _t

_u

_t__c

)}



_e

sc

_



_e

sw_f

(

_w

__c

)

_dw



_e

sc

{ (

_f _t__c

)}

L

_.

Exemplo 7: 1)

_L

_{

_{t u}

2

₍

_t__c

_)}



_e

sc

_L

_{(

_t__c

_{) }}

2

2 2

2 ₂ _{ 2_{} 2} _{ _} _{1_}

{

}

sc sc

c c c c

t t t t

e

  

e

 _   _



L



L

2 2

3 2 3 2

2 1 1 2 2

2 sc sc sc

sc _c _c c c

s s

s s s s

e

 _   _      

 



2)

_L

{cos( ) (_{t u} _t__)}  _es

_L

{cos(_t



)}

2 ₁

{ cos( )}

{cos( )}

s s s s

s

e

 

t



e

 

t



e

 





L





L



3)

_L

{sen( ) (_{t u} _t__)}  _es

_L

{sen(_t



)}

2

1 1

sen

{ sen( )}

{

( )}

s s s

s

e

 

t



e

 

t



e

 





L





L



Obtenha a função correspondente:

1)

L

{(

t2

). (

u

t2

)}

_R. ₂

2s

e s 

2)

L

{(

t3

). (

u

t3

)}

_R. 3 2

s

e s

(16)

3)

_L

_{

_{t u}

3

₍

_t_₂

_)}

R. 4 3 2

2s 6 12 12 8

e

s s s s   _ _ _ 

 

 

4)

L

{(3 5) (

t



u

t3

)}

_R. 3 2

3 4

s

e

s s   _ 

 

 

5)

_L

_{

_e

2t

_u

₍

_t_

_)}

R.

( 2)

2

s

e s



 



6) 1

2

5 1

4

,

2

s

s s

e

   

 _ 

  

L

R. 1₂sen [2(h t5)] (u t5) 7) 1

2 3

4

,

2

s s

e

   

 



  

L

R. cos [2(h t3)] (u t3) 8) 1

2

2 1

( 1) 9

,

1

s s

e

    

 

 

  

L

R. e( 2)t cos[3(t2)] (u t2)

9) 1

2

5 3

( 2) 9

,

1

s

s s

e

   

 _ _ 

  

L

R. e2( 5)t sen[3(t5)] (u t5) Obter a transformada inversa de Laplace considerando as sentenças:

10) ( ) ₂4 , 2

( 2) ( 1)

s

F s s

s s 

 

 

5 20

2 2

3 3 3

1

: ( ) [2 t t t]

R f t  t e  e  e

11) ( ) 4 ₂ , 2

( 2) ( 1)

s

F s s

s s 

 

 

2 (15 2) 2 : ( )

9

t

t t

R f t e e



 



12) ( ) 8 ₃ , 2

( 2)

F s s

s s 





2 2

: ( ) (2 2 1) t 1 R f t  t  t e 

13) ( ) 2₂ , 2

( 1)

s

F s s

s 

 

 R: f t( )et(1t)

3.5. Outros exercícios sobre os teoremas de translação

Obtenha a transformada de Laplace 1)

L

{

t e

10t

}

R. 2

1

(s10)

2)

_L

_{

_{t e}

3 2t

_}

R. 4 3! (s2)

3)

2 2₎

{ (

_{t e}

t



_e

t

}

L

R. 2 2 2

1 2 1

(s2) (s3) (s4)

4)

_L

{(1

_{ }

_e

t

3 _e

4 ) cos(5 )t _t

}

R. 2 2 2 1 3( 4) 25 ( 1) 25 ( 4) 25

s s s

 

  

5) 3

2 9

4

10

sen( )

t t

e

t

  

 _ _



 



L

R. 2 2 1/ 4

9 4 5

3 ( 3) ( 3)

(17)

6)

L

{ . ( 2)}

t u t



R. 2

2 1 2 s

s

s e



 _ 

 

 

7)

L

{cos(2 ). (

t u t





)}

R. 2 4 s s

s

e 

8)

L

{sen( ). (

t u t





/

2

)}

R. 2 2 /

1

s s

s

e



Obtenha a transformada inversa de Laplace

9) 1

3

1 (s 2)

  

 



 

L

R.

2 2

2 t

t e

10) 1 ₂ 1

6 10

s s

  

 

 

 

L

R.

3t_{sen( )}_t e

11) 1

2

1 (s 1)

 _ _ 

 

L

R.

t e t

12) 1

3

2s e

s

   

 

 

 

L

R.

2 1

( 2) 2 2 t u(t )

13) 1

2 ₁

s

e s



 _  _



 

L

R. sen (t)u(t)

14) 1

( 1) s

e s s

   

 _ 

 

L

R.

( 1)

( 1) t ( 1) u t  e  u t

15) 1 . ₂ /2

4

s s e

s



   

 _ 

 

 

L

R. cos(2 ) (t u t/2)

16) 1 ₂

( 1)

s s

  

 



 

L

_R. _et_{(1 )}__t

17) 1 ₂

( 3)

s s

 _ _ 

 

L

_R. _e3t_{(1 3 )}_ _t

4. FORMAS de APRESENTAR UMA FUNÇÃO CONTÍNUA POR PARTES

É habitual apresentar funções por partes com duas ou mais sentenças matemáticas, que traduzem a referida função em cada um dos seus intervalos de continuidade.

Consideremos, como exemplo, a função f , onde

h

( ) ( ), 0 _*

( ), ,

g t t c

f t

h t t c c _

  

  

  f g