Análise de paredes resistentes através de analogia de pórticos

(1)

ANÁL

ISE DE PAREDES

RESISTENTES ATRAVÉS

DE

ANALOGIA DE PÓRTICOS

DANTE ALVES MEDEIROS FILHO

Dissertação apresentada ao corpo docente do curso de Pós-Graduação em Engenharia Civil da Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, como parte dos re -quisitos para obtenção do título de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL.

Porto Alegre 1985

ESCOLA Di: ENGENHARIA BIBLIOTECA

(2)

ma final pelo orientador e pelo curso de Pós-Graduação.

Prof. Armando Miguel Awruch Orientador

Ferraz Hennemann

BANCA EXAMINADORA:

- Prof. Armando Miguel Awr~ch (Orientador), Ph.D. pela COPPE/UFRJ

- Prof. Nelton Fernandes Bonilha, M.Sc. pelo CPGEC/UFRGS

a

- Prof. Maria Inês Gobbo dos Santos M.Sc. pelo CPGEC/UFRGS

- Prof. Silvio Paulo Klein Eng9 pelo CPGEC/UFRGS

(3)

(4)

~o rrofcssor ~rmando Miguel ~wruch pela recebida.

oricntaç5o

~o professor José Carlos Ferraz Ilennemann, coordena -dor do curso de Pós-Graduação em Engenharia Civil da UFRGS, ?elo incentivo dado ao longo desse empreendimento.

Ao professor Nelton Bonilha pela colaboração e aten-ção dispensada neste trabalho.

A CNEN pela concessao da bolsa de estudos .

Ao amigo Celso Hiromitsu Tanabe pela ajuda na con-fecção das figuras e a todos colegas, amigos e funcionãrios que de forma direta ou indireta participaram

deste trabalho.

IV

(5)

LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX LISTA DE SÍHOOLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI I LISTA DE TABELJ\S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI 1 . Ii.J'l'RODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. REVISÃO Dl\ LITERATURA . . .. .. .... . . .. . . ... . ... . . 3 2.1. Abordagem do problema . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3 2. 2. Métodos de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3. A Analogia de P6rtico . .. ... . . .. .. . . . .. . . 9 2.4. Elementos painéis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. IDEALIZAÇÃO ESTRUTURAL . . . ... . . . .. . . .. . . ... . . .. 17 3. 1 . Proposições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2. Paredes Resi stentes .... . . ... . . .. . . 21

3.3. Deformações por corte .. . . ... .. . . 22

3.4. Efeito da conexão entre grandes painéis .. . .. . . 23

3.5. Fundações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.6. Comportamento tridimensional do si stema estru -tural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.7. Deformações e deslocamentos ... . . . .. . . ... . 33

3.8. Rigidez de um elemento de "Pl\REDE RESISTENTE" ... . 36

3.9. Corpos rígidos com estruturas reticulares 43 3. 10. Matriz de rigidez dos elementos propostos . . ... . . . 47

3. 10. 1. Elemento para paredes com aberturas . . . 47

3.10.2. Elemento para paredes sem aberturas . ... .. 50

3.10.3. Elemento convencional de barra de p6rtico. 53 3.10.4. Elementos compostos . . . 54 3. 10.4. 1. Elemento tipo 5 . . . 54 3.10.4. 1.1. Rigidez a flexão 56 3.10.4. 1.2. Rigidez ao corte 57 3.10.4.1.3. Rigidez axial . . ... . 58

v

(6)

3. 10.4.1.5. Conversão dos resu l-tados para tensões

nas paredes . . . 59 3.10.4.2. Elemento 6 e 7 .. . . ... . . 60 3. 10.4. 2.1. Rigidez 3.10.4. 2. 2. Rigidez 3.10.4.2. 3. Rigidez 3.10.4. 2.4. Solução a· flexão ao corte axial

.

...

.

das equaçoes

62 62 63

para o elemento 7 . . 63 3.10.4. 2. 5. Conversão dos

resul-tados para tensões

nas paredes . . . . . . 64

4. APLICAÇÕES 65

4.1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2. Paredes sem aberturas . . . . .. . .. . ... .. . . 65

4. 2.1 . Representação de paredes sem aberturas através de elementos do tipo "1" (f igura 64 )

4.2.2. Representação de paredes sem aberturas através de elementos do tipo "3" (figura 65)

4.2.3. Representação de paredes sem aberturas através de elementos do tipo "5" (figura 6 6)

4. 2.4. Representação de paredes sem aberturas através de elementos do tipo "6" (figura 67)

4. 2.5. Represent ação de paredes sem aberturas através de elementos do tipo "7'' (figura

68)

4.3. Paredes com linhas de aberturas

4. 3.1. Representação de paredes com aberturas através de elementos do tipo "1" (figura 70)

4. 3.2. Represent ação de paredes com aberturas através de elementos do tipo "2" (figura

VI 66 66 66 66 68 68 68

(7)

através de elementos do tipo "5" (figura

72) . .. . .. . . .. . o • • • • • • • • • o . 69 4. 3.4. Representação de paredes com aberturas

através de elementos do tipo "7" (figura

73)

.

....

.

..

.

...

.

...

69 4 .4. Paredes com larguras desiguais . . . . . . . . . . 70

4.4. 1. Representação de paredes com larguras de-siguais através de el ementos do tipo "1"

(figura 75) .. . . o • • • • • • • • • • • o . 71 4.4.2. Representação de paredes desiguais atra

-vés de elementos do tipo "2" (figura 76) 71 4.4.3. Representação de paredes com larguras

desiguais através de elementos do tipo "5"

(figura 77) . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4.4. Representação de paredes com larguras de

-siguais através de elementos do tipo "7" (figura 78)

4. 5. Paredes com seção transversal variável .. . . . 4.5.1. Representação de paredes com seção trans

-versal variável através de elemento do tipo "1" (figura 80)

4.5.2. Representação de paredes com seção trans -versal

variável

através de elemento do

72 72

72

tipo "2" (figura 81) . . . . ..

o

.

...

73 4.6. Paredes com vigas de transição . . . . . .. .. 73

4.6 .1. Representação de paredes com vigas de transição através de elementos propostos

do t ipo "1" (figura 83) . . . . . . . . . . . . . 74 4.6.2. Representação de paredes com vigas de

transição através de elemento do tipo

"2" (figura 84) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.7. Paredes interligadas a pórtico .. . . o • • • • • • · · o o o 75

4.7.1 . Representação de paredes ligadas a pór t i

-cos com elementos do t ipo "1" (figura 86). 75 4.7. 2. Representação de paredes ligadas a pórt i

-cos com elementos do tipo "2'' (figura 87) . 75

(8)

5. RESULTADOS . • • • . . . • . . . • . . . . • • . . . . . . . . . . • . . . . . • . . . . . . . . . 7 7 6. CONCLUSÃO . . . • . . . • . . . • . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . • . . . • 91 ANEXO I • . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • . . . • . . . • • . . • • . . . 9 4

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 24

(9)

Figuras

01 02 03

Planta de um edifício com "Paredes Resistentes". Planta de um edf. com ''Part. Resist".simétricas.

Edifício com "Paredes Resistentes" . . . .. . . 04 Fatores que afetam a rigidez das ''Paredes Resis

-Pag. 3 4 5

tentes" . . . .. . . .. . . ... . . ... 7

05 Modelos de "Paredes Resi stentes". . . .. . . 8

06 Métodos de anál ise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

07 Pórt icos equivalentes. 11 08 ''Parede Resistente·' com carregamento lateral . . . 12 09 Pórtico equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

10 Elementos painéis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

11 Elemento f in i to para "Paredes Resistentes". . . . . . . . . . . 15

12 Elemento finito híbrido . ... . .. . . ... . . 16 1 3 Elemento tipo "1" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

14 Elemento tipo "2".. . . .. . . .. . . .. . . 18 15 Elemento tipo "3" . . . .. . . 18 16 Elemento t ipo "4" . . . 19 1 7 Elemento t ipo "5". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1<.l Elemento tipo "6" . . . 20 19 Elemento tipo "7" .. . . .. . . 20

20 Pórtico equivalente para paredes com aberturas . . . 22 21 Efeitos da deformação por corte . .. . . .. .. 23 22 Modelo de edifício com "Paredes Resistentes" . . . 24

23 Modelo de pórtico equivalente . .. . ... . . .. . . 25 24 Paredes paralelas (sem torção) . .. . . .. . . 26

25 Pórtico equivalente para a f igura 24 . . .. . . 26

26 Paredes perpendiculares .. .. . . 27

27 Pórticos equivalentes para a figura 26 . . . .. . . 28

28 Paredes paralelas (com torção) . . . 29

29 Pór ticos equivalentes da figura 28 . . . ... . ... . 29

30 Paredes paralelas e perpendiculares . . . 30

31 Sistema equivalente para figura 30 . . . 31

32 Nucleos de edifício. . . 32

33 Sistema equivalente para figura 32 . . .. .. . ... .. . . 32

34 Elemento de barra circular .. . . .. . . .. . 34

(10)

35 36 37 3tl 39 Deformação axial.

Deformação devido ao cortante . . . .... . . 0eformação devido a flexão.

Deformação devido a torção.

Representação de uma "Parede Resistente" . . . . 40 Representação de uma "Par. Res" c/ 4 graus de

35 35 36 36 37 liberdade . . . .. . . ... 38 41 Representação de uma ''Par. Hcs" c/ 6 graus de

1 iberdade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 O 42 Pórtico sobre as linhas B e I d~ figur~ 42 41 43 · Representação dos deslocamentos . . . . ... ... ... . .. . . .. 42 44 Pórtico espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 45 Estruturas l igadas a corpos rigidos - Desloca

-46 47

48

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 ó6 mentos . . . ... . .. . . 44 Estruturas l igadas a corpos r{gidos - AçÕes . ... . . Elementos de paredes com aberturas.

Elemento com extremidades rigidas.

Elemento de paredes sem aberturas . . . ... . . .. .. . Desenvolvimento para elemento de parede sem

aberturas. . . . . ... . . Elemento padrão de barra de pórtico . . . .. . Representação através de pórticos . . . ... . . . Representação através de módulos . . . .. . ... . . . MÓdulo simulador de paredes . ... . ... .. . . .. . Segmento de parede sujeito a flexão . . . ... . . ... . Segmento de parede sujei to ao corte . . . ... .. .. . Segmento de parede sujeito a esforço axial .. . ... . ... . MÓdulo simétrico . . . .. . . .. . . . Módulo assimétrico . . . .. . . Módulo assimétr ico sujeito a flexão .. . . . Módulo assimétr ico sujei to ao corte ... . . .. . Módulo assimétrico sujeito a esforço axial . . . . Paredes sem ai::>erturas .. . . .. . . .. . . .. . . . Representação através do elemento " 1 11 • • • • • • • • • • • • • • • • Representação através do elemento l t 3 , •... .. . . .. Representação através do elemento 11 5 11 • • • • • • • • • • • • • • • •

X 46 47 48 50 51 53 55 55 56 56 58 58 61 61 62 63 63 66 66 67 67

(11)

67 Representação através do elemenlo "6'' .. ... . . 67 68 Representação através do elemento 11

7" . . . 68 69 Paredes com aberturas . . . .. .. . .. 68 70 71 72 73 76 77 78 87 88 89 ~o ';:11 92 93

Representação através do elemento Re::->resentação através do elem<.:n·to Representação através do elemento Hepresentação através do elemento

Representação através do elemento Representação através do elemento Representação através do elemento Representação através do elemento

Representação através do elemento Representação através do elemento Representação através do elemento Malha de elementos finitos para o l·lalha de elementos finitos para o rvia lha de elementos finitos para o Malha de elementos finitos para o t1alha de elementos finitos para o

XI 11 1 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • " 2 ll • • • • • • • • • • • • • • • • • 11 6 tJ • • • • • • • • • • • • • • • • • 11 7 '' . . . 11 1 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • " 2 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • H 5 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • ., 7 tt • • • • • • • • • • • • • • • • • tI 1 ~~ • • • • • • • • • • • • • • • • • 11 2 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • " 5 11 • • • • • • • • • • • • • • • • • exemplo 1 .•• •.. •• •• • • exemplo 2 •. •... ••••• exemplo 3 . . . exemplo 4 ••. ••• •. . . . exemplo 5 . . . . ... . .. . 69 69 70 70 71 71 72 76 76 77 77 78 78 78

(12)

A {Aji} Ad {Api} AC b {D*} {Dij} {Dpi} E E f Ew [f] {F*} . {F*} i G [H] I I c Iw [ KEAB) [Kprl

Área de seçao transversal. Ações "i " aplicadas no nó "j". Área transversal das diagonais. Ações "i" apl icadas no nó "p". Ãre~ efetiva sujeita ao corte.

largura de um módulo.

Deslocamentos nodais de um pórtico. Deslocamentos "i" do no "j".

Deslocamentos "i" do ponto "p" .

Hódulo de elasticidade longitudinal. Hódulo de elasticidade de pórticos. Módulo de elasticidade de paredes. Hatriz de flexibilidade.

Forças resultantes no nivel dos andares.

.Forças resultamentes no nivel dos andares de um pórtico. Módulo de elasticidade transversal.

Matriz de transformação. Momento de inircia.

Momento de inércia de uma coluna. Momento de inircia de uma parede.

Matriz de rigidez de um elemento de paredes com aber -turas.

Matriz de rigidez de um elemento de paredes sem aber-turas.

L

P~ direito, comprimento de uma barra. My Momento em torno do eixo y.

Mz Momento em torno do eixo z. Nx Força axial em uma barra.

Ações na extremidade de um elemento de paredes com a -berturas. {ppr} Rj [ K] [I<*] [ K*l i

AçÕes na extre~idade de um elemento de aberturas.

Distância Radial. Matriz de rigidez.

Matriz de rigidez de toda a estrutura. Matriz de rigidez de um pórtico.

XII

(13)

..

[T] [Ti] [T2] t {UAB) {Upr } Vy Vx XCRj YCRj Matriz de transformaçâo.

~atriz de transf. p/ um elemento de par . c/ aberturas.

Matri z de transf. p/ um elemento de par . s/ aberturas.

Espessura de um módulo .

Deformaç6es nas extremidades de um cle~ento de paredes

com aberturas .

Deformaç6es nas extremidades de um el emento de paredes

sem aberturas.

Força cortante na direçâo y.

Força cortante na direção x.

Componente segundo o eixo X da di stância radial Rj .

Componente segundo o eixo y da c1ist5ncia radial Rj .

(14)

TabeJas pag.

TABELA 1

_-

Tabela de deslocamentos nodais

.

..

.

...

.

..

25

TABELA 2

-

...

.

..

.

...

..

.

27

TABELA 3

-

...

.

...

28

TABELA 4

-

....

.

...

..

30

TABELA 5

-

..

.

...

31

'rABELA 6

-

'l'abela de deslocamentos nodais

...

..

.

...

.

33

Tl\BELA 7

-

Exemplo deslocamentos ... .. .. .... . .. ... .... . .. 79

TABELA 8

-

Exemplo 2 desloeamentos

.

...

.

..

...

.

..

.

...

80

TABELA 9 - Exemplo 2 deslocamentos

.

...

.

...

.

..

...

.

...

.

81

TABELA 1 O- Exemplo 3 deslocar.1entos

.

....

..

...

.

82

TABELA 11

-

Exemplo 3 deslocamentos

...

.

...

..

.

83

...

.

..

...

.

..

.

84

...

.

...

.

...

85

TABELA 14

-

Exemplo 6 deslocamentos

.

..

...

.

...

.

..

.

...

86

'.i.'ABELA 15 - Exemplo tensoes

...

.

....

.

...

..

.

..

.

87

rABELl\ 16 - Exe;nplo 2 tcnsoês

.

..

.

...

..

.

...

.

...

88

'l'ABELl\ 1 7 - Exemplo 2 tensoes

..

.

...

.

...

.

...

.

...

89

TABELA 18 - Exemplo 3 tensoês

...

..

.

..

...

.

...

90

(15)

Existem vários métodos para det erminação de esforços

em estruturas como as do tipo "Paredes Resistentes" . O método

dos elementos finitos é o mais indicudo para a determinação de

esforços neste tipo de estrutura, porém, para emprega-lo é ne

-cessário um equipamento (computador) , que tenha boa velocidade

e suficiente quantidade de memória para armazenar as variáveis envolvidas no método. Assim sendo, seu emprego fica restrito a

computadores que possuam estes requisitos.

Apresenta-se neste trabalho um programa para computa

-dores, que engloba vários elementos para solução de estruturas

e sistemas estruturais como os de "Paredes Resistentes". Os

elementos incorporados no programa sao formados por

barras,sen-do sua formulação bem mais simples que a do método dos elemen

-tos finitos. Devido a esta simplicidade em sua formulação, o

programa é facilmente implantado em microcomputadores,

cendo assim uma poderosa ferramenta ao escritório de

do engenheiro.

f orne

-cálculo

Vários exemplos foram resolvidos e os resultados fo

-ram comparados com elementos finitos.

(16)

There are many methods for the determination of the actions on structures such as the "shear wall" type. 'I'he fini te element method is the most indicated for the determination of the actions on this type of structure, but, i t requires a very

large and fast computer.

This work presents a computer program formed by several elements to find the solution of structures anel structural systems like the 11

shear wall 11

type. 'I'he elements incorpora ted in the

program are formed by bars and have the advantadge of having a simplier formulation than the finite element method. The program aims for simplicity, allowing the use of microcomputers and

provides a powerful and pratical way for solving "shear wall"

problems.

Several examples are solved and the accuracy of the method is proved by comparison of the results obtained with the

element method.

(17)

A função básica da engenharia é construir com segu

-rança e economia . Com o passar do tempo os anseios e aspira -ções das populações requerem diferentes tipos de construções,

com uso e formas cada vez mais diversificadas. Frente a essas necessidades, e o alto custo do material e mao de obra nas construções, é fundamental a existência de critérios, adequa

-dos na sua utilização. Para atender tais critérios o engenhei

-ro necessita da maior quantidade possivel de dados a respeito da estrutura e assim a fase de determinação de esforços de uma

estrutura se torna de urna importância substancial. Para deter

-minação desses esforços seria necessário representar o proble

-ma real através de modelos matemáticos. Todavia, nem sempre esta representação

é

possível devido ao grande número de

fato-res intervenientes e assim se faz necessário algumas hipóteses

simplificadoras; obviamente a solução encontrada através des

-tas simplificações nem sempre condiz 80rn a realidade. Desta

forma o dimensionamento dessas estruturas e realizado com o

auxílio de coeficientes de segurança, majorando o custo da

construção.

Corno na atualidade a economia se torna prioritária

sem que as condições de segurança e conforto sejam negligen

-ciadas, a busca de novos si stemas estruturais com modelos ma

-temáticos próximos a realidade são a cada dia mais requisita -dos.

O uso de "Paredes Resistentes" na construção de tor

-res tem promovido pesquisas a respeito do comportamento básico

dessas estruturas (23].

Com base nessas pesquisas vários métodos de análise

deste tipo de estrutura tem sido desenvolvidos [23] .

Em construções altas é importante assegurar urna ade

-quada r igidez a estrutura paru que esta possa resistir a for -ças devidas a ventos ou efeitos de abalos sísmicos. Essas for

(18)

-I>

_

...

.

2

ças podem desenvolver altas tensões c produzir moviment

ososci-latórios ou vibrações, causando conscquentemente desconforto

QOS ocupantes. Paredes de concreto, as quais tenham elevada ri

-gidez no seu plano, postas em lugares convenientes sao fre

-quentemente utilizadas com economia para prover a resistência

necessária a tais forças . Este tipo de parede estrutural é

cha-mada de "Parede Resistente", [9]. Colunas também resi stem a

forças horizontais; sua contribuição depende da sua r igidez

relativa as "Paredes Resistentes", sendo que o objetivo da análise com carregamentos laterais e o de determinar em que

proporção os carregamentos externos se di stribuem entre ''Pare

(19)

2. REVISÃO DA LITERATURA

2.1. Abordagem do Problema

As forças horizontais geralmente agem no nível dos andares. A rigidez do andar na direção horizontal e muito gran -de comparada com a rigidez das "Paredes Resistentes" ou colu -nas. Por esta razão e comum assumir que cada andar desloca-se no plano horizontal como um corpo rígido. Este movimento de corpo rígido pode ser definido por translações entre eixosper

-pendiculares e rotações sobre um eixo vertical de um ponto ar

-bitrário do andar (figura 1) .

A suposição do comportamento de corpo rígido no plano

e importante, pois reduz consideravelmente os graus de

inde-(;

_o_

3 _ _ _

--io

_

1_ ·- ·

-Paredes Resistentes colunas

Resultante de forças externas

(20)

terminação cinemática da estrutura. Todavia, para análise do

caso geral de estrut uras t r idimensionais representa um proble

-ma complexo, e deverão ser feitas mais suposições para prod

u-zir uma anál ise com razoável custo e moderado tempo. Essas su

-posi ções diferem com a escolha do método de análise ou do tipo

da estrutura , mas a suposição de que os andares sao rígidos

em seu plano e geralmente aceita [20] .

Uma maior simplificação do problema é feita se a ana

-lise for limitada a estruturas planas, compostas de "Paredes

Resistentes" e pórticos sujeitos a forças horizontais no plano.

Isto é possível quando a construção é esquematizada em um mo

-delo retungular de grelha simétrica, a estrutura também pode

ser considerada como dois conjuntos de pórticos paralelosagin

-do em direções perpendiculares (figura 2) . Frequentemente em

estruturas de forma irregular uma ideal ização de estruturapla

-na é ut ilizada para obter uma solução aproximada. A maior par

-te dos trabalhos publicados sobre a análise de estruturas com

"Paredes Resistentes" parte para problemas do tipo bidimensio

-nal.

colunas

Paredes Resistentes

I

-

.

·--n

• I

• i

A B

c

!) _E _F' _G H I J Resultante de Forças

(21)

Nos ~ltimos anos com o uso dos computadores na enge

-nharia estrutural, tornou-se possível diminuir as suposições

simplificadoras obtendo-se bons resultados com paquenos tos.

cus-Vários trabalhos tem sido publicados abordando dife -rentes técnicas de solução para esses tipos de estrutura.

~1acLeod [13] examina vários métodos do estimativa da

rigidez a carregamentos laterais de edifícios com vários

anda-res levando-se em conta o tamanho e disposição das aberturas.

Os fatores que podem afetar a rigidez sao discutidos e , métodos práticos de análise são classificados. A cornparaçao

e feita com os resultados de testes sobre modelos de alumínio e o efeito da variação do tamanho das aberturas

é

pesquisado.

l\ investigação parte do estudo do comportamento da se -çao transversal de estruturas como a do tipo indicado na figu -ra 3 submetida a carregamento devido ao vento. As "Paredes Re-sistentes" geralmente tem mesma altura e largura mas nao n

e-cessariamente o mesmo modelo de aberturas.

(22)

6

2.2. Métodos de análise

Há dois passos para anál i se de estruturas sujeitas a carregamento lateral devido ao venlo.

I o carregamento total devido ao vento e distri-buído para paredes distintas conrorme a sua ri-gidez.

II - As tensões nas paredes devido ao carregamento sao estimadas.

A rigidez da parede pode ser definida como "o carre

-gamento lateral uniformemente distribuído para produzir uma de

-flexão unitária no topo da parede" ou "o carregamento lateral puntual aplicado no topo da parede para produzir uma deflexão unitária em sua linha de ação". Para propósitos práticos uma ou outra definição é suficiente para a distribuição do carre

-gamento [13].

A figura 4 é um diagrama de fluxo mostrando os vários fatores que afetam a rigidez lateral. Os quatro níveis repre-sentam variáveis envolvidas na construção, todas as dimensões, disposições de aberturas e de linhas de aberturas.

A figura 5 mostra as chapas consideradas nos modelos de alumínio usados no trabalho experimental [13]. Trés tipos são considerados:

Tipo A - Representa paredes com aberturas de portasem todos os andares e t em vigas de ligação es

-beltas.

Tipo B - Representa paredes com aberturas de portas em andares alternativos considerando a rigi-dez das vigas de ligação.

Tipo C - Representa paredes com uma abertura de jane

-la em todos os andares .

O diagrama mostrando os possíveis métodos de análise e dado na figura 6. Dois fatores são considerados na escolha

(23)

7

dos métodos a serem comparados:

I - A comparaçao entre as diferentes idealizações e

feita sem levar em conta o trabalho desenvolvido

antes da programação para cada caso.

II - Os métodos devem ser esquematizados de maneira

que sua utilização seja feita sem dificuldade,

isto é , com um mínimo de cálculo manuais e de da

-dos de entrada para o computador.

r-11\ 'I' E R I l\ L MÉTOOO DE CONSTRL'ÇÃO

I..AffiURA NlNERo

FSPESSUR'\ DE

Tal'AL ANDARES

LINHAS DE ABERTURAS ABERTURAS

INTER~1ITENTES

N9 DE LINHAS FOSIÇÃO DAS

DE ABER'IURAS I..A.fGJRA RIGIDEZ DAS ABF.R'.IUAAS ~1

POR PAREDES DAS VIGAS DE RELAÇÃO AS

ABERI'URAS LIG.Z\ÇÃO

EXTRENIDl\DES

(24)

.,

D

o

D

êl )

o

D

"

" " " ( b )

D

o

· D

D

( c )

FlGURA 5 - ~1odelo de "Parc'C!es Resislentes"

8

Considerando que as soluções através das equaçoes da

elasticidade aplicam-se somente a casos simples, resulta

conve-niente o emprego de métodos computacionais que forneçam solu-çoes aproximadas levando-se em conta principalmente o fatorii. Para análise de "Paredes Resistentes", vários métodos tem sido

aplicados em edifícios com este tipo de elemento estrutural

[5] , [13] .

Todos os métodos considerados envolvem idealizaçõesda estrutura como uma interconexão contínua de elementos, nos

quais suas propriedades são estimadas. Como mostra a figura 6

os métodos se enquadram em duas categorias.

(1) - Analogia de Pórtico: ns paredes sao ideal izadas

em uma série de elementos como os indicados na

figura 7.

(2) - Elementos tipo "Painel" : Neste caso a parede e

idealizada como um sistema de el ementos cujas

propriedades seguem um comportamento similar ao

(25)

PÓRTICO EQUIVALENTE

9

elementos

é

arbitrária e a precisão da solução

depende do grau de refinamento da malha de ele

-mentos.

ANALISE ESTATICA DE PAREDES

I

IN TE RCONE XAO DOS

ELEMENTOS

t

ANALOGIA DE ELEMENTOS PORTICO PAINEIS

I

EOUIVALENCIA _ELEMENTOS P/ ELEMENTOS DE BARRAS FINITOS

I

COLUNAS HRENNIKOFF TRIANGULAR, LARGAS GRINTER

COMO PORTICOS MC CORNICK

RETANGULAR, RETANGULAR DE

I

MC LEOD,

SOLUÇÃo POR CONEXÃO POR 1-liBRIOO DE

AWRUCH, etc.

EOUILI.BRIO _CORTE

FIGURA 6 - Hétodos de Análise

2.3. A Analogia de Pórtico

Todas as publicações a respeito de "Paredes Resisten

-tes" com linhas de aberturas tem sido idealizadas corno urna in

-terconexão de colunas (paredes) e vigas. Existe sempre urna

ten-dência para simplificações na idealização facilitando a form

u-lação e prograrnaçao.

No que tem sido chamado de "Método do Pórtico Equiva

-lente" [13] f [10] f os comprimentos das vigas são tornados corno

distãncia entre os eixos centrais das colunas adjacentes (fi

-gura 7b) . Esta aproximação tem apl icabilidade limitada para

(26)

..

10

as deflexões.

A aproximação mais geral

ê

considerar o comprimento

das vigas como o existente entre as colunas , computando-se na

análise as defl exões nos extremos das vigas obrigando a rota

-ção das colunas .

A idealização pode também ser considerada como um por -tico com membros rígidos como o most rado na figura 7c que e

chamado de "Analogia de colunas largas como pórticos" .

Na maioria das publ icações existentes , seus autores tem usado essa analogia básica empregando vários métodos de

so-lução. Uma alternativa elegante é encontrada su?ondo linhas de

vigas submetidas a cizalhamento puro como um meio contínuo

ser-vindo de conexão para paredes adjacentes (figura 7d) . Uma e

qua-ção diferencial de segunda ordem em termos específicos de for-ça cortante pode representar esta conexão [13] . Beck [2) apa -rece como o primeiro a publicar este tipo de solução para "Pa

-redes Resistentes" com aberturas. Mui tas out ras publicações dão

tratamento similar para este problema [21]. A omissão das de

-formações axiais das vigas e deformações por corte das colunas

sao suposições necessarias havendo um ponto de contraflexão

(ou inflexão) no centro das vigas sendo as conexões uniformes e

contínuas. Esta solução apresentada dá bons resultados?ara uma variedade de casos práticos e é chamada de "Método da conexao

por corte" , [ 1 3] .

Frischmann, Pralbhu e Toppler [7] t em usado o "Método dos coeficientes de Influência" (que e um método de compatibi

-lidade) para a solução de uma coluna larga como pórtico. Eles

também tratam a estrutura como uma "coluna Equivalente"

obten-do uma equação diferencial de segunda ordem em termos de mo

-mentos sobre a coluna equivalente. Em ambas as deformações a

-xiais da coluna foram omitidas.

Um método de análise aplicável a quase todo tipo de estruturas do tipo "Paredes Resistentes" é o da "Analogia de colunas Largas como Pórticos". Com algumas simplificações tor -na-se uma grande ferramenta no escritório de cálculo do enge

-nheiro. "Paredes Resistentes" e "Sistemas estruturais com Pa

-redes Resistentes" são anal isados usando programas computacio -nais familiares ao engenheiro [231.

(27)

,,

11

O aspecto básico deste rnitodo e a solução de diversos

problemas de "Paredes Resistentes" corno sendo pórticos,que sao

bastante conhecidos pelos engenheiros calculistas.

As suas vantagens são:

D

a )

Simplicidade e eficiênciai

- i\pl icabil idade para qualquer t·ipo de "Parede

Resistente" i

- Limitações corno altura de andar constante e

tamanho constante das aberturas não são

im-posições para esse rnãtodoi

- O método aceita qualquer tipo de carregamento

lat eral (uniforme, triangular, etc.). Corno

também carregamento vertical arbitrár io (gra

-vidade) i r---1

D

i

I I I 1---~ I

D

i

I I I : I r ---1 : I I 1 ' I ' I :

:

I t I I : I

:

I

( b )

D

( c )

FIGURA 7 - Pórticos LQuival entes

P--< o----< o----< ~ ic>---< ( d )

(28)

tl

,,

A figura 8a mostra parte de uma "Parede Resistente".

A figura 8b mostra o deslocamento da "Parede Resistente", so

-bre aplicação do carregamento indicado.

í

o

-

l

!-

-·

-·-·-

· -

·--

· -l

l

D

i

~

-·

-

· -·-·

- ·-

~

I

0 I

r-

-·-·

-·

-

· -·

-·

-1

.

I

D

I

i

I

i

~·-·-·.===·-·-·i i i

i

i i j i -L--~ ~--~ ( a ) ( b )

FIGURJ\ 8 - "Parede Resistente" can c<:~rregamento laterul

Tomando as linhas centrais das paredes conectando vi

-gas antes e depois da aplicação do carregamento, essa "Parede

Resistente" pode ser simulada por um ';Portico Equivalente",

[21], [13] , o qual tem as seguintes características mostradas

na figura 9:

- As linhas centrais das paredes e todas as conexoes

de vigas formam o pórtico equivalente;

- As características da seção transversal de todas as

colunas do pórtico equivalente são idênticas a das

seções transversais das paredes correspondentes;

As características da seção transversal das vigas

são as mesmas das vigas de conexão e das "Paredes

(29)

"

,.-- -.-- - parte flexível

I

rt-- -l?arte rígida

I

FIGURA 9 - Pórtico C~uivalente

As seçoes dos extremos das vigas deveriam

possuirteo-ricamente grande área e momento de inércia. Alguns programas

de pórtico disponíveis não tem provisões para incorporar

ele-mentos que tenham rigidez i nfinita nos extremos dos elementos.

Excelentes resultados podem ser obtidos se forem escolhidos valores apropriados para as propriedades d~ seçao transversal

[ 2 3] •

2.4. Elementos Painéis

Duas idealizações deste tipo sao mostradas na figura

10. Me Cormick Lattice [18] é uma variação da analogia de bar

-ras de Hrennikofd [11] e analogi a de Grinter [13). Para "Pare

-des Resistentes" com aberturas tem sido aplicado o modelo de

Kazimi [13). O mais recente método desenvolvido é o dos "Ele

-mentos Finitos", [25) . Tem sido formulados programas com ele

(30)

"

[6) , [4) .

elementos finitos I'lC Corrnick

FIGURA 10 - Elementos 9ainéis

Para obter bons resultados através do método dos ele

-mentos finitos tem-se duas opções, ou aumenta-se o número de

elementos ou a sua ordem. Corno grande inconveniªncia do método

encontramos o seu custo e a exigibilidade de grande quantidade

de memória de computador. Desta forma a análise por elementos

finitos fica restrita a determinados computadores. Ressalte-se

também que sua forrnulaç~o é mais complexa que o caso de estru -turas de barras, onde as matrizes de rigidez est~o explicita

-das e s~o perfeitamente assimiladas apenas com conhecirnentosde

hiperestática.

Várias publicações foram feitas analisando "Paredes

Resistentes" através do método dos elementos finitos. O pro

-grama "SUBWALL" [19] foi criado para dar urna ferramenta

práti-ca para obtenç~o de soluções elástico-lineares precisas e eco

-nômicas para sistemas complexos de paredes estruturais.

Detalhes descritivos são dados na referência 19 e

aqui somente aspectos gerais do programa s~o resumidamente co

-mentados. Escrito em linguagem FORTRAN o programa e baseado

em um grande programa de elementos finitos o GENFEM-5 [19] .

O programa é capaz de reconhecer vários tipos de car

-regamentos. Carregamento devido a forças gravitacionais podem

(31)

-te tambãm carregamentos concentrados, uniformemente e linear

-mente distribuídos. Assim a maioria dos tipos de condições de

carregamento encontrados nos cálculos de construções

ser considerados sem qualquer aproximação.

podem

Considerações especiais tem sido feitas para minimi

-zar o trabalho de preparação dos dados de entrada.

Consequen-temente coordenadas dos nós , conetividade dos e~ementos,

pro-priedade dos elementos e condições globais de contorno são

au-tomaticamente geradas pelo programa. Casos especiais de

con-dições de contorno tambãm podem ser especificadas.

Outra publicação interessante usando o mãtodo dos ele

-mentos finitos e feita na referência 14, onde utiliza elem

en-tos retangulares para problemas da elasticidade plana. Diver

-sos elementos deste tipo tem sido desenvolvidos c comparados [5] .

Na maioria das formulações existentes para elementos

da elasticidade plana, somente dois graus de liberdade

saocon-siderados para cada nó. Esses graus de liberdade são repre

-sentados por deslocamentos em direções ortogonais. Essa publi

-cação [14], resolve o problema introduzindo um terceiro qrau

de liberdade correspondente

à

rotação dos nós conforme mostra

a figura 11.

o

..

"'

1)

----

~~---~---J

(32)

,

Um elemento finito híbrido de estado plano de tensões

com rigidez de rotação

é

apresentado por AWRUCli [1 ] . Utiliza

-se um enfoque híbrido, adaptando- se, no domínio um campo de

t ensões representado por funções quadráticas, assumindo que no

contorno os deslocamentos são expandidos com as mesmas funções

de interpolação desenvolvidas para elementos de flexão em vi

-gas. Sua característica fundamental é que, além. dos graus de

l iberdade correspondentes aos deslocamentos, existe uma

rigi-dez de rotação, sendo sua formulação feita através de um mode

-lo híbrido de quadrilátero, apresentando excelentes resultado~

(figura 12) .

y

X

(33)

·'

3. IDEALIZAÇÃO ESTRUTURAL

3.1. Prooosições

o

presente trabalho tem por objetivo apresentar uma

maneira alternativa para análise de sistemas estruturais do t i

-po "Paredes Resistentes" através de elementos especiais,

ade-quadamente incorporados em um programa de análise de pórticos

planos, [ 3] .

graus de liberdade

FIGURA 13 - Clemente tipo ''1"

Elemento tipo "1" - A figura 13 mostra um elemento padrão de

barra de pórtico.

Elemento tipo "2" - A figura 14 mostra um elemento de pórtico

com extremidades rígidas podendo a parte

flexível deformar-se na flexão, axialmente

e no corte. ~utilizado para paredes com

(34)

I.

2 3 ~ 6 ~

4""'

/

5

FIGURA 14 - Elemento t ipo "2"

graus de liberdade

Elemento tipo "3" - A figura 15 mostra um elemento que permite

a representação de paredes sem aberturas.

graus de

lilierdade

4

FIGURA 15 - Elemento t ipo "3"

Elemento tipo "4" - A figura 16 mostru. um elemento padrão de

(35)

l',

graus de . liberdade

FTGU TU\ 16 - P.l cm0..ntc· t i no "4"

Elemento tipo "5" - A figura 17 mostra um elemento que simula um "módulo" para analogia de colunas lar-gas corno pórticos.

tirantes dispos----'-- - ---1 tos em diagonal

_ vigas rígidas

" coluna conectada

" - - - - rigidamente as

vigas

FIGURA 17 - Elemento tipo "5"

Elemento tipo "6" - A figura 18 mostra um elemento que simula um "módulo" l_)ara analogia de colunas lar-gas corno pórticos.

(36)

"

,. ,. t irantes dispostos em d~agonal colunas conectadas rigidamente as vigas vigas rígidas

FIGURl\ 18 - Elemento tipo "61t

Elemento tipo "7" - A figura 19 mostra um elemento que simula

um "módulo" para analogia de colunas lar

-gas como pórticos.

vigas rígidas colunas co -nectadas r igidamente as vigas r - --

-FIGURA 19 - Elemento tipo "7"

tirantes

dispostos

em diagonal

(37)

11

A análise e feita comparando os resultados com

mentos finitos.

ele-O programa e elaborado na linguagem Fele-ORTRAN

engloban-do toengloban-dos os elementos propostos e aceitando a combinação entre

eles. Outra linguagem de programação cientifica pode ser

uti-lizada para elaboração deste programa, desde que se tenha o

resp~ctivo compilador.

Devido a várias técnicas de programaçao empregadas o

programa requer baixa quantidade de memória podendo ser

imple-mentado até mesmo em microcomputadores.

3.2. Paredes Resistentes

A precisão dos resultados obtidos na solução de

pro-blemas de engenharia está diretamente ligada ao modelo

matemá-tico empregado para representar a estrutura real . Quanto mais

próximo da realidade estiver este modelo matemático os

resul-tados encontrados também caminharão para uma maior precisã~Pa

ra se conseguir um modelo matemático realista é necessário ter

um bom conhecimento do funcionamento e comportamento da estru

-tura a ser analisada.

Através destes conhecimentos

é

simulado então um mo

-delo apropriado que atenda pelo menos as caracteristicas

bási-cas da estrutura.

O Termo "Parede Resistente" tem a conotação de uma pa

-rede que resiste a carregamentos laterais e como já foi

veri-ficado no capitulo prescedente várias técnicas foram

desenvol-vidas para abordar este tipo de problema. Essas técnicas sao

principalmente desenvolvidas para carregamentos laterais;

to-davia carregamentos verticais podem perfeitamente ser

analisa-dos. A discussão maior verifica- se em torno ·de carregamentos

laterais, devido ao tipo de estrutura utilizada que sao

pare-des resistentes predominantemente ao corte, por esta razao e

dado mais enfoque para este tipo de carregamento.

Uma "Parede Resistente" simples sem aberturas pode

ser analisada utilizando somente técnicas analíticas

elcmenta-res, todavia na prática é grande ocorrência

aberturas e a sua análise não é tão simples.

de paredes com

(38)

G

••

Com o advento do ~utudor, recentes estudos tem mos

-trado que é possivel simular uma "Parede Resistente"

de uma idealização de pórtico.

através

l\ grande característica das "Paredes Resistentes" é a

sua resistência ao corte e para representar este tipo de

pare-de estrutural, obviamente necessitamos de um modelo de ideali

-zação de pórtico que l eve em conta as deformações por

(figura 20). part e rígida

D

vigas de conexao (flexível) colunas corte

FIGURA 20 - Pórtico equivalente para paredes com aberturas 3.3. Deformações por corte

O efeito das deformações por corte podem facilmente

ser incluídas na matriz de rigidez de um el emento de pórtico [12], devendo ser adicionado ao conjunto de dados da estrutura o coeficiente de "Poisson" e a área sujeita e

cortante .

este esforço

A figura 21 mostra a contribuição das deformações por

corte na deflexão de uma viga engastada sujeita a um carrega

(39)

~

~ o c o l!ll @ .-i 4-l Q)

"'

!1l c o )-1 )-1 Q) ~ <J-0

.,

de flexão

---.---;

~

-F

4-l (f) Q) 80 carrcgarnen to

,g

unitário o l!ll 0 60 ·ri

&

b

_c40

8

!1l

r8

20 _1.₀ c ·ri ~

.

§

0.0.5 2 810 0-1 2 4 5 H/O B D

FIGURA 21 - Efeitos da deformação por corte

Note- se que as deformações por corte sao mais impor

-tantes em paredes com formas especiais. O efeito nas tensõesé,

entretanto menos significativo do que sobre as deformações.

3.4. Efeito da ~xao entre grandes painéis

Nas construções de grandes painéis a conexao

entrees-tas unidades produz alterações na flexibilidade da estrutura.

Esta flexibilidade pode ser simulada com a introdução de uma

coluna entre andares adjacentes [15] , sendo que e rigidez da

coluna corresponde

elêstês

andares.

a rigidez da parede que liga as laj es

(40)

(.

3. 5. Fundações

Pequenas rotações na base de uma viga engastada podem

ter efeitassignificativossobre a rigidez dessa viga. A

intro-dução de fundações elásticas em programas com9utacionais não é

difícil, mas a obtenção dos val ores das constantes de rigidez

deste tipo de vinculo na prática apresenta sérias dificuldades

[ 1 51 .

3.6. Comportamento tridimensional do sistema estrutural

Na prática é normal encontrar paredes submetidas a

açao de carregamentos horizontais ou um conjunto de paredes pa

-ral elas unidas por lajes (figura 22).

(41)

Um modelo de pórtico tridimensional nao precisa en

-volver nós com s~is graus de liberdade e soluções mai s

efi-cientes podem ser obtidas usando sistemas de interconexão de

pórticos planos, podendo esta interconexão ser feita de várias

maneiras. Para cada nó na idealização estrutural é normalmente

designado um determinado número de graus de liberdade (os graus

de liberdade sao as posições e direções nas qu~is sao comuns

para uma dada força a sua correspondente deformação).

Alguns sistemas computacionais designam o número de

graus de liberdade da estrutura montando uma tabela, (figura

23) •

NO

2 3 4 y

FIGURA 23 - Modelo de pórtico equivalente

TABELA 1

TABELA DE DESLOCAMENTO NODAIS

DESL. X DESL. y 1 2 4 5

o

onde:

DESL.X - NÚmero do deslocamento na direção x

DESL.Y - Número do deslocamento na direção y

GIRO Z - Número do deslocamente em torno de z

GIRO

z

3 6

o

(42)

26

Considerando o sistema estrutural de paredes parale

-las mostrado na figura 24.

/

~

/

i

...

_,) v I' ~

~

v li

[ )

1 ~

/

FIGURA 24 - Paredes paralelas (sem torção)

Observando a direção do carregamento e fácil de se

notar que não há torção. Separando as paredes e introduzindo o pórtico equivalente tem-se:

5

1

6

7

- 1

FIGUR~ 25 - Pórtico equivalente para figura 24

9

1

Os deslocamentos nodais em suas respectivas direções indicadas na figura 25 podem ser colocados em forma de tabela, ficando :

(43)

..

('

TABELA 2

TABELA DE DESLOCAHENTOS NODAIS

NÓ DESL. X DESL. y _GIRO

z

2 3

2 1 4 5

3 1 6 7

4 1 8 9

Analisando um sistema estrutural com paredes pe

rpen-diculares mostrado na figura 26 (não há torção), tem-se:

y

X

FIGUR~ 26 - Paredes perpendiculares

Introduzindo os pórticos equivalentes , com seus

(44)

..

28 I ₁ I // / / / ; V/ // / -'---·- ·- ·- ·

-FIGURA 27 - Pórticos equivalentes para a figura 26

Colocando os deslocamentos nodais em forma de tabela,

para facilitar a análise do comportamento tridimensional do

sistema, fica:

TABELA 3

TABELA DE DESLOCANENTOS NODAIS

NÓ DESL. X DESL. Y DESL. Z GIRO X GIRO Y

1 2 3 4 4 2 2 6 3 GIRO Z 5 7

Existem casos em que, dependendo da aplicação do car

-regamento, pode surgir um momento torsor, basta haver uma

di-ferença de rigidez, que a distribuição do carregamento nao se

(45)

<I

29

lx

z

~

_~

~

/

FIGURA 28 - Paredes paralelas (a:::m torção)

Com o aparecimento do momento torsor o comportamento tridimensional torna-se mais complexo , aparecendo esforços em

outros planos (figura 29).

7 11 10 1 5 9 -'--· ___..._

_

._ _{- -}_·_{- -}_·_-1....- _-_1.--_._-~_.-_~ 1

l

₄ 5 f 8

9

1

~~ 12

~

I

@

I

@

(46)

,,

O momento torsor agirá no plano das lajes, interagi

n-do com as paredes. Montando a tabela de deslocamentos nodais

tem-se:

TABELJI_ 4

TABELA DE DESLOCl\MENTOS NODAIS

NO DESL. X DESL. y _DESL_.

_z

_{GIRO X} _GIRO y _GIRO

_z

1 1 2 3 2 1

o

4 3 5 6 7 4 5

o

8 5 9 1

o

11 6 9

o

12

(47)

..

A figura 30 mostra um outro sistema estrutural com

interligação de paredes para dar urna melhor noção do comporta

-mento do modelo empregado.

Introduzindo novamente a ideal ização de pórt ico equi

-valente a este sistema estrutural com interligação de paredes,

tem- se o seguinte modelo (figura 31):

2 4 7 7 10

-

1

-

8

_ a

V/ / / 77t _~_t'-'-'

-

~ / / / 77 v /

-

D

~

_"--" ₁

D

- · -·'-·- - -'-·

o

·-

-FIGURA 31 - Sistema equivalente para figura 30

TABELA 5

TABELA DE DESLOCJ\MENTOS NODAIS

!'JÓ DESL. X DESL. y _D_ESL_. li, GIRO X GIRO y GIRO

z

1 2 2 ₃ 2 4 5 3 4 6 4 7 6 5 8 7 9 6 8 10 1 1

(48)

Para sistemas estruturais como os de caixa de escada

ou caixa de elevador também torna-se fácil a análise do

com-portamento da estrutura utilizando a mesma idealização (figura

3 2) •

tirante

FIGURA 32 - Núcleos de edifícios

Com a implantação da idealização de pórtico, pode- se montar um modelo representativo das caracteristicas do sistema

estrutural (figura 33) .

7

___ 8 _{_} _{_}₈

FIGURA 33 - Sistema equivalente para a figura 32

(49)

,

33

TABELA 6

TABELA DE DESLOCAi·1ENTOS NODAIS

NÓ DESL. X DESL. y _DESL.

z

_GIRO _X _GIRO y _GIRO

_z

1 1 2 3 2 1 4 5 3 4 6 4 7 6 5 8 7 6 8 9 7 9 1

o

8 2 1

o

3. 7. Deformações e deslocamentos

Quando uma estrutura está solicitada por forças , os

membros da estrutura sofrem deformações (ou pequenas mudanças

"-na forma) e como consequencia, pontos dentro da estrutura des

-locam-se para novas posições. Em geral todos os pontos da es

-trutura, exceto os pontos de apoio imóveis, sofrerão desloca

-mentos. O cálculo destes deslocamentos

i

uma parte essencial

da análise estrutural. Contudo, antes de considerar os

deslo-camentos, é necessário primeiro compreender as deformações que

os produzem.

Para começar a discussão, considera-se um segmento de

comprimento arbitrário cortado de um membro de estrutura

reti-culada, como mostra a figura 28. Por simplicidade considera·-se

que a barra tem uma seção transversal circular. Em qualquer

seçao transversal, tal como na extremidade da direita do seg

-mento, haverá resultantes de esforços que no caso geral ,

con-sistem em três forças e três binários. As forças sao a força

axial Nx na direção x e as forças cortantes Vy e Vz nas dire

-çoes u e z respectivamente, os binários são o binário torsor e

os binários vetores My e Mz. Note-se que os vetores momentos

estão representados na figura com flechas de dupla seta com o

objetivo de se distinguirem dos vetores força. As deformações

(50)

34

resultante de esforço e determinando-se seu efeito sobre um

elemento de barra [8] . O elemento

é

obtido isolando uma porçao

da barra entre duas seções transversais separadas entre si de

uma pequena distância "dx" (f igura 34) .

z y I ... , I ' I ' I \ I I I I I I X )-- -+---- -,,," I , I I I I , / Mz

FIGURA 34 - Elemento de barra circular

O efeito da força axial Nx sobre o elemento

é

mostra-do na figura 35. Admitindo que a força atua no centr0ide da

área da seção transversal, verifica-se que o elemento se alon

-ga uniformemente, as deformações significativas

sendo deformações normais a direção x.

(51)

v

....--...

-

,

Nx Nx

FIGURA 35 - Deformação axial

No caso de uma força cortante (figura 36) , urna seçao

transversal da barra desloca-se lateralmente em relação a

ou-tra. Também pode existir distorções das seções transversais,

mas estas tem um efeito desprezível na determinação dos deslo

-camentos e podem ser ignoradas. Um binário fletor (figura 37)

causa urna rotaçio relativa das duas seçoes transversais

xando de permanecer paralelas entre si.

Vz

FIGURA 36 - Deformação devido ao cortante

de

i-As deformações resultantes no elemento sao na direção

longi tudinal da barra e consistem num encurt amento no lado da

compressao e num alongamento no lado da tração. Finalmente, o

oinário torsor causa urna rotação relativa das duas seçoes

transversais em torno do eixo x (figura 38 e, por exemplo, o

(52)

36 I _'

(

I I I I

)~

I _\ Mz

I

_' I I I

'

I I I I l J

1~

1

FIGURA 37 - Deformação devido a flexão

No caso de uma barra circular, a torção produz defor

-maçoes cizalhantes, as seções transversais permanecendo planas.

Para outras formas de seções poderão ocorrer distorçÕes das

seções transversais.

T

FIGURA 38 - Deformação devido a torção

As deformações mostradas nas figuras 35, 36, 37 e 38

sao designados respectivamente, por deformação axial,cizalhan

-te, de flexão e de torção. Sua avaliação depende da forma de

seção transversal da barra e das propriedades mecãnicas do ma

-terial.

Os deslocamentos numa estrutura sao causados pelos

efeitos acumulados das deformações de todos os elementos.

3.8. Rigidez de um elemento de "PAREDE RESISTENTE"

Para a análise trataremos o elemento estrutural deno

-minado "Parede Resistente" como uma viga vertical de grande

comprimento transmitindo carregamentos para a fundação.O efei

(53)

-.,

cia do que em vigas convencionais, onde a razao entre rotação

e comprimento é muito grande. A matriz de rigidez de um ele

-mento de "Parede Resistente" entre dois andares adjacentes(fi

-gura 39) , será agora derivada da consideração da exist8ncia da

deformação por corte. 4 1

i

_{- -} _-

íL

3

~

2 !

I

h

I

rb_

,

B

I

FIGURA 39 - Representação de l.Ulla "Parede resistente"

Considerando a viga engastada na figura

39 ,

a matriz

de flexibilidade correspondente aos graus de liberdade estabe

-lecidos

á

a seguinte: L E. I SH1ÉTRICA [ f ]

=

onde: 2.E. I. L - Altura do andar ( 3.E.I. I - Momento de inércia da seçao

AC - Área efet iva sujeita ao corte

L

+ - - )

G.AC

E - Módulo de elasticidade longitudinal

G - Módulo de elast icidade transversal

o

termo L/ (G.AC) e a deflexão por corte no ?Onto A pa

(54)

(55)

-..

<• 12EI SIM~TRICA LJ 6EL (4+a)EI 1 L2 _L [r.] = (1 +et)

-12EI -6EI 12EI

LJ L2 LJ

6EI (2-a)EI -6EI (4+a)EI

L2 _L L2 _L

Desta forma tem- se a matriz de rigidez para uma barra

pr.Lsmática ou do elemento de "Parede Resistente !I da figura 39,

considerando as deformações por corte.

Fazendo a

=

O a matriz de rigidez transforma- se na

matriz

SIMÉ'l'RICA

4/L

{K]

=

E.I.

2/L 4/L

que

é

a matriz de rigidez de uma viga ignorando as deformações

por corte.

Em alguns casos é necessário considerar as deforma

-çoes devido ao esforço axial e a matriz deve então ser amplia

(56)

,.

FIGURA 41 - Representação de uma "par. Res. " c/ 6 graus de liberdade

A matriz de rigidez correspondente a esses graus de

liberdade, levando-se em conta deformações por corte, axial e

flexão, fica: EA L

o

12.E.I _SIM~TRICA (1 +a )h3

o

6 .E.I (4+a )E.I [ K]

₌

(1+a)h2 ( 1 +a) h -EA _E_._A

o

L _L -1 2.E.I -6 .E.I 12EI

o

_o

(1+a )h3 ₍₁₊_a _)h2 ₍₁ _+u._)h3

o

6.E.I (2-a )E.I

o

- 6E.I (4+a) :E.I (1 +a )h2 ₍₁ ₊_a _)h ₍₁₊_a_)h2 ₍₁ ₊_a _)h

Para a

=

O a matriz acima transforma-se na matriz

.

de rigidez de urna barra de pórtico ignorando a deformação por

(57)

(58)

..

,

A matriz de rigidez [K*]i (de ordem nxn onde n e o

numero de andares), corresponde aos deslocamentos to*} calcu

-lados para cada pórtico plano .

Para se ter a matriz de rigidez de toda a

[K*] adiciona-se todas as matrizes de rigidez

m

[K*] = /. [K*] i

i :::1

estrutura

( 3. 8 . 3)

onde m e o número de pórticos .

o

deslocamento de um determinado

nível de andar é calculada por:

[K*] {D*}

=

{F'*} (3 .8.4)

nxn nx1 nx1

onde {F*} sao as forças horizontais resultantes dos

dos andares e n

é

o número de andares.

níveis

Para os pórticos sobre as linhas B e I (figura 42) os

graus de liberdade são mostrados na figura 43.

eixo da parede

trechos de vigas infi

-nitamente r ígidas

representação de forças

e deslocamentos

colunas