1. A FÓRMULA INTERNACIONAL DA GRAVIDADE NORMAL
As fórmulas para a determinação da gravidade teórica (ou normal) sobre a terra normal são do tipo
𝛾 = 𝛾𝑒 1 − 𝛽 sin2𝜑 + termos de ordem superior [1.1]
Com precisão de primeira ordem (𝛼2= 0), por exemplo, temos
𝛾 = 𝛾𝑒 1 + 𝛽 sin2𝜑 [1.2]
Com precisão de segunda ordem (𝛼3= 0) 𝛾 = 𝛾𝑒 1 + 𝛽 sin2𝜑 + 𝛽
1sin22𝜑 [1.3]
Onde 𝛾 e 𝛾𝑒 são respectivamente a gravidade normal no paralelo 𝜑 e no equador; os
coeficientes 𝛽 e 𝛽1 dependem das dimensões do elipsóide de referência e da velocidade
angular.
Vários autores propuseram valores numéricos para os três parâmetros que aparecem na fórmula [1.3] resultando diversas fórmulas da gravidade normal, cujo nome é o do autor proponente. Não é difícil perceber o inconveniente da multiplicidade de tais fórmulas. Por isso, na Assembléia Geral da U.G.G.I., reunida em Praga em 1927, foi debatido, mas sem que houvesse uma solução, o problema da adoção de uma fórmula internacional da gravidade normal visando uma uniformização nas aplicações da fórmula.
Na Assembléia seguinte, realizada em Estocolmo, 1930, foi adotada oficialmente a fórmula sugerida por Cassinis, fundamentada nos trabalhos de Pizzitti, Somigliana, Silva, Heiskanen etc e aplicável ao elipsóide internacional de Hayford (1924), onde
𝑎 = 6 378 388 m 𝛼−1= 297
Para 𝛾𝑒 foi escolhido o valor calculado por Heiskanen em 1928 com base em anomalias
isostáticas da gravidade, resultando
𝛾30 = 978,049 1 + 0,0052884 sin2𝜑 − 00000059 sin22𝜑 [1.4]
onde 𝛾 vem expresso na mesma unidade que 𝛾𝑒, no caso o Gal. Os valores extremos
equador 𝛾𝑒 = 978,049
pólos 𝛾𝑝 = 983,221
revelam uma discrepância de 5172 mGal.
Em 1967, decorrido quase meio século, após a adoção da fórmula internacional da gravidade, a U.G.G.I. recomendou o Sistema Geodésico de Referência 1967 cujas constantes básicas já foram apresentadas e cujos valores derivados são as seguintes:
𝛼 = 0,0033529237 𝜔 = 72921151467 × 10−15 rad/s 𝑚 = 0,0034498014 𝛾𝑒 = 978 031,846 mGal 𝛾𝑝 = 983 217,739 mGal 𝛽 = 0,0053023655 𝛽1= −0,0000059
do que resultou, para a fórmula internacional da gravidade 1967
𝛾67 = 978031,8 1 + 0,0053024 sin2𝜑 − 0,0000059 sin22𝜑 [1.5]
Muitas vezes é usada a fórmula que não utiliza o dobro da latitude e é mais precisa
𝛾 = 978031,846 1 + 0,005278895 sin2𝜑 + 0,000023462 sin4𝜑 [1.6]
2. CÁLCULO DOS PARÂMETROS DE UMA FÓRMULA DA GRAVIDADE NORMAL
Conforme foi visto na seção anterior, a fórmula da gravidade normal é do tipo
𝛾 = 𝛾𝑒 1 + 𝛽 sin2𝜑 + 𝛽1sin22𝜑 [2.1]
A obtenção de uma fórmula da gravidade normal consiste na determinação dos parâmetros 𝛾𝑒,
𝛽 e 𝛽1. Isto pode ser feito com a utilização de valores observados da gravidade em pontos
distintos. Em princípio, para uma terra ideal, esses parâmetros podem ser obtidos a partir de três pontos. Entretanto, devido à irregular distribuição de massas, essa fórmula, conforme já sabemos, é apenas uma aproximação. Assim, são necessárias observações abundantes para a resolução de um sistema de equações de condição pelo método dos mínimos quadrados. Encontrados os valores numéricos desses coeficientes, teremos uma fórmula da gravidade normal, que representa uma lei de distribuição da gravidade que mais se aproxima da real. Vamos admitir que com base em um grande número de dados gravimétricos, geograficamente bem distribuídos, pretendemos introduzir correções para melhor ajustar os valores de 𝛾𝑒 e 𝛽
na fórmula [2.1].
A fórmula que procuramos é do tipo 𝛾′ = 𝛾
𝑒+ 𝑥 1 + 𝛽 + 𝑦 sin2𝜑 + 𝛽1sin22𝜑 [2.2]
Subtraindo desta a antiga [2.1], resulta 𝑑𝛾 = 𝛾′ − 𝛾 = 𝛾
−𝛾𝑒 1 + 𝛽 sin2𝜑 + 𝛽
1sin22𝜑
Com precisão de primeira ordem, temos
𝑑𝛾 = 𝑥 + 𝑦𝛾𝑒sin2𝜑 [2.3]
A anomalia da gravidade antes da correção proposta seria
Δ𝑔 = 𝑔0− 𝛾 [2.4]
e após Δ𝑔′ = 𝑔
0− 𝛾 + 𝑑𝛾
que com [2.3] toma a forma Δ𝑔′ = −𝑥 − 𝑦𝛾
𝑒sin2𝜑 + Δ𝑔 [2.5]
Assimilando a anomalia Δ𝑔′ a um resíduo
−𝑣 = 𝑥 + 𝑦𝛾𝑒sin2𝜑 − Δ𝑔 [2.6]
Obtemos as equações de observação nas quais as anomalias medidas Δ𝑔 representam os termos independentes. As correções 𝑥 e 𝑦 são obtidas minimizando as somas dos quadrados dos resíduos.
Em princípio, a cada estação gravimétrica onde se processou a determinação de uma anomalia da gravidade corresponde uma equação de observação do tipo [2.6]. A aplicação do método dos mínimos quadrados conduz a duas equações normais
𝑎 𝑎 𝑥 + 𝑎 𝑏 𝑦 + 𝑎1 = 0
𝑏 𝑏 𝑦 + 𝑏1 = 0 [2.7]
Foi este, em linhas gerais, o método utilizado por Heiskanen em 1938 para deduzir correções aos parâmetros da fórmula internacional. Isto foi feito considerando a superfície terrestre dividida em “quadrados” de 1∘× 1∘ e substituindo as estações gravimétricas de cada um por uma única estação hipotética, central, de anomalia igual à média das anomalias isostáticas do “quadrado”.
Por razões de ordem prática, Heiskanen incorporou a contaste 𝛾𝑒 = 978049 à incógnita 𝑦
ficando com equações de observação da forma 𝑥 + 𝑦′sin2𝜑
𝑖+ Δ𝑔𝑖 = 𝑣𝑖
às quais correspondem às equações normais 𝑛𝑥 + 𝑦′∑ sin2𝜑
𝑖+ ∑Δ𝑔𝑖 = 0
𝑦′∑ sin4𝜑
𝑖+ ∑Δ𝑔𝑖sin2𝜑𝑖 = 0
Valendo-se de 1591 “quadrados” e de anomalias isostáticas, Heiskanen chegou às seguintes equações normais
1591𝑥 + 496𝑦′− 676,6 = 0
239𝑦′− 1394 = 0
e das quais obteve 𝑥 = −3.92 mGal 𝑦′ = 13,94 mGal
Introduzindo essas correções na fórmula internacional 1930 resulta 𝛾 = 978,045 1 + 0,0053026 sin2𝜑 − 0,0000059 sin22𝜑
3. GRADIENTE NORMAL DA GRAVIDADE NORMAL
O gradiente normal da gravidade normal 𝜕𝛾/𝜕𝑛 exprime a taxa de variação de 𝛾 ao longo da normal.
Admitindo em primeira aproximação a terra normal como esférica, homogênea e ainda destituída de movimento de rotação, podemos escrever
𝛾 ≈𝐺𝑀
𝑅2 [3.1]
A derivada normal será
𝜕𝛾 𝜕𝑛 = 𝜕𝛾 𝜕𝑅 = − 2𝐺𝑀 𝑅3 = − 2𝛾 𝑅 [3.2]
Adotando os valores médios 𝛾 = 981 Gal e 𝑅 = 6371 × 105 cm, resulta
𝜕𝛾
𝜕𝑅 = −0,3080 mGal/m [3.3]
Uma expressão mais rigorosa pode ser obtida da fórmula de Bruns aplicada a pontos exteriores a terra normal, o que nos dá
𝜕𝛾
𝜕𝑛 = −2𝛾𝐶 − 2𝜔2 [3.4]
A forma da terra normal é a de um elipsóide de revolução o que nos permite escrever 𝐶 =1 2 1 𝑀+ 1 𝑁 [3.5]
onde 𝑀 e 𝑁 são os raios de curvatura de duas seções normais, perpendiculares entre si, que são respectivamente a seção meridiana
𝑀 = 𝑎 1 − 𝑒2 𝑞−3/2 [3.6]
𝑁 = 𝑎𝑞−1/2 [3.7] com 𝑞 = 1 − 𝑒2sin2𝜑 De modo que 1 𝑀+ 1 𝑁= 𝑞32+𝑞12 1−𝑒2 𝑎 1−𝑒2 = 1−32𝑒2sin2𝜑+⋯ + 1−12𝑒2sin2𝜑+⋯ 1−𝑒2 𝑎(1−𝑒2) = 2−𝑒2−2𝑒2sin2𝜑 𝑎(1−𝑒2) [3.8]
Levando esta expressão em [3.5] e a expressão aí obtida em [3.4] e fazendo 𝑚 = 𝑎𝜔2/𝛾𝑒,
obtemos 𝜕𝛾 𝜕𝑛 = − 2𝛾 2−𝑒2−2𝑒2sin2𝜑 2𝑎(1−𝑒2) − 2𝑚𝛾𝑒 𝑎 [3.9]
Com precisão de primeira ordem (𝛼2= 0), chega-se a
𝜕𝛾 𝜕𝑛 = − 2𝛾 𝑎 (1 + 𝑒2 2 − 𝑒2sin2𝜑 + 𝑚) Ou em função do achatamento 1 − 𝛼 = 1 − 𝑒2 𝜕𝛾 𝜕𝑛 = − 2𝛾 𝑎 1 + 𝛼 − 2𝛼 sin2𝜑 + 𝑚 [3.10]
Para o elipsóide de referência 1967 𝑎 = 6378160 m 𝛼 = 0,003352924 𝑚 = 0,0034498014 resulta: a) no equador 𝛾 = 978031,846 𝜕𝛾 𝜕𝑛 = −0,30877 mGal/m b) no paralelo 45∘ 𝛾 = 980619,047 𝜕𝛾 𝜕𝑛 = −0,30856 mGal/m c) nos pólos 𝛾 = 983217,720 𝜕𝛾 𝜕𝑛 = −0,30834 mGal/m
De modo que o valor médio será
𝜕𝛾
𝜕𝑛 = −0,3086 mGal/m [3.11]
