Mecânica e Ondas fascículo 23

Mecˆanica e Ondas

fasc´ıculo 23

May 27, 2008

Contents

23.3 Equa¸c˜ao das cordas vibrantes . . . 421

23.4 Intensidade de uma onda . . . 422

23.5 Modos normais de vibra¸c˜ao . . . 423 Mario J. Pinheiro

Departamento de F´ısica e Instituto de Plasmas e Fus˜ao Nuclear Instituto Superior T´ecnico

“O homem vulgar, por mais dura que lhe seja a vida, tem ao menos a felicidade de a n˜ao pensar. Viver a vida decorrentemente, exteri-ormente, como um gato ou um c˜ao - assim fazem os homens gerais, e assim se deve viver a vida para que possa contar a satisfa¸c˜ao do gato e do c˜ao. Pensar ´e destruir. O pr´oprio processo do pensamento o indica para o mesmo pensamento, porque pensar ´e decompor. Se os homens soubessem meditar no mist´erio da vida, se soubessem sen-tir as mil complexidades que espiam a alma em cada pormenor da ac¸c˜ao, n˜ao agiriam nunca, n˜ao viveriam at´e. Matar-se-iam assus-tados, como os que se suicidam para n˜ao ser guilhotinados no dia seguinte.”

- Fernando Pessoa, in “O Livro do Desassossego”

23.1

Oscila¸c˜

oes acopladas

Consideremos um sistema de dois pˆendulos acoplados com o mesmo compri-mento l e massa m, ligados por uma mola de constante el´astica k e sujeitos a oscilar no plano vertical definido pelas suas posi¸c˜oes de equil´ıbrio (Fig. 1). O sistema tem dois graus de liberdade.

Sejam x1 e x2 os deslocamentos das duas part´ıculas suspensas em rela¸c˜ao `a

posi¸c˜ao de equil´ıbrio e que por hip´otese sejam suficientemente pequenos para que se possam confundir os arcos com as cordas, x1 ≈ lθ1 e x2 ≈ lθ2. A

mola deforma-se com o alongamento x2− x1, supostamente positiva, tal como

se apresenta na Fig. 1 e donde se pode concluir que ter´a que resultar a for¸ca

k(x2 − x1) para a direita agindo sobre a part´ıcula 1 e −k(x2 − x1) (para a

esquerda) agindo sobre a part´ıcula 2. As duas massas encontram-ser igualmente sujeitas `as for¸cas grav´ıticas com as componentes tangenciais respectivas:

−mg sin θ1≈ −mgθ1= −mgx1 l = −ω 2 ox1−mg sin θ2≈ −mgθ2= −mgx2 l = −ω 2 ox2 (23.1) onde ωo= p_g

l. Desprezando qualquer tipo de amortecimento, temos

m¨x1= −mω2ox1+ k(x2− x1)

m¨x2= −mω2ox2− k(x2− x1) (23.2)

Pondo

K = k

m (23.3)

e dividindo as Eqs. 23.2 por m, obtemos ¨

x1+ ω2ox1= K(x2− x1)

¨

Neste caso podemos desacoplar as duas equa¸c˜oes. Somando membro a membro, obtemos primeiro

(¨x1+ ¨x2) + ω2o(x1+ x2) = 0 (23.5)

Subtraindo as mesmas Eqs. 23.4, obtemos

(¨x1− ¨x2) + ω2o(x1− x2) = 2K(x1− x2) (23.6)

Se escolhermos um novo tipo de vari´aveis, tais como,

q1= 1₂(x1+ x2)

q2= 1₂(x1− x2) (23.7)

As Eqs. 23.4 ficam na forma ¨ q1+ ω2oq1= 0 ¨ q2+ ω22q2= 0 (23.8) onde ω2= p ω2 o+ 2K (23.9)

e cujas solu¸c˜oes s˜ao

q1(t) = A1cos(ωot + δ1)

q2(t) = A2cos(ω2t + δ2) (23.10)

´

E f´acil confirmar que x1 e x2 s˜ao dados em fun¸c˜ao deste q’s:

x1(t) = q1(t) + q2(t)

x2(t) = q1(t) − q2(t). (23.11)

As coordenadas q1e q2, como verific´amos, oscilam harmonicamente e chamamos

coordenadas normais. Com elas o sistema fica desacoplado e podemos ver sem dificuldade que q1 corresponde ao deslocamento do centro de massa,

en-quanto que 2q2 = x1− x2 corresponde ao deslocamento relativo entre as duas

part´ıculas.

Se escolhermos apropriadamente as condi¸c˜oes iniciais, tais como:

A2= 0 Corresponde a q1(t) = A1cos(ωot+δ1) = x1(t) = x2(t). O deslocamento

dos dois pˆendulos s˜ao iguais, ´e o chamado modo sim´etrico e como a mola n˜ao ´e deformada, tudo se passa como se ela n˜ao existisse e cada pˆendulo oscila com a sua frequˆencia livre ωo(Fig. 1-(b)).

A1= 0 Corresponde a q2(t) = x1(t) = A2cos(ω2t + δ2) = −x2(t). O

desloca-mento dos dois pˆendulos s˜ao iguais e contr´arios sendo chamado de modo assim´etrico. Como a for¸ca restauradora da mola aparece, a frequˆencia de oscila¸c˜ao ´e mais elevada, ω2> ωo (Fig. 1-(c)).

Figure 1: (a) Sistema de dois pˆendulos acoplados; (b) modo sim´etrico; (c) modo antissim´etrico.

As condi¸c˜oes iniciais para o modo sim´etrico correspondem ao mesmo desloca-mento inicial e `a mesma celocidade inicial:

x10= x20

˙x10= ˙x20 (23.12)

No modo antisim´etrico temos deslocamentos e velocidades iniciais contr´arias:

x10= −x20

˙x10= − ˙x20 (23.13)

Em particular podemos analisar o que se passa se deslocarmos apenas um dos pˆendulos da posi¸c˜ao de equil´ıbrio, deixando o outro no repouso:

x10= a; x20= 0; ˙x10= ˙x20= 0. (23.14)

As condi¸c˜oes iniciais para as coordenadas normais s˜ao:

q10= q20=

a

2; ˙q10= ˙q20= 0 (23.15) Como se pode ver rapidamente, as solu¸c˜oes gerais d˜ao

δ1= δ2= 0; A1= A2= a₂. (23.16)

ou seja, obtemos como solu¸c˜ao duas superposi¸c˜oes de mesma amplitude e frequˆencia diferentes:

x1(t) = a₂[cos(ωot) + cos(ω2t)]

x2(t) = a₂[cos(ωot) − cos(ω2t)] (23.17)

Se definirmos uma frequˆencia angular m´edia:

ω ≡ 1

2(ωo+ ω2) (23.18)

e as diferen¸cas de frequˆencias

∆ω ≡ ωo− ω2 (23.19)

podemos reescrever as Eqs. 23.17 na forma

x1(t) = a cos(∆ω2 t) cos(ωt)

x2(t) = a sin(∆ω₂ t) sin(ωt) (23.20)

No caso limite do acoplamento fraco, quando a for¸ca restauradora ´e pequena, verifica-se

K ¿ ω2

o ; ∆ω ¿ ω. (23.21)

As solu¸c˜oes correspondem ao fen´omeno de batimentos, onde x1 ´e modulado

por cos∆ω

Figure 2: Fen´omeno de batimentos.

Figure 3: Duas massas unidas por trˆes molas el´asticas a duas paredes fixas. Exemplo 1: Osciladores acoplados longitudinais: Duas massas iguais est˜ao ligadas por meio de molas entre si e a duas extremidades fixas, segundo a mesma direc¸c˜ao (como mostra a Fig. 3). As molas que ligam as massas `as extremidades tˆem constante de restitui¸c˜ao k e a mola que liga as duas massas tem constante

k0_.

a) Escreva o lagrangeano do sistema: [Sugest˜ao: escolha como coordenadas generalizadas os deslocamentos das massas em rela¸c˜ao `as suas posi¸c˜oes de equil´ıbrio.] K =1 2m1˙x21+12m2˙x22 U =1 2kx21+12k0(x1− x2)2+12kx22 L = K − U = 1 2m1˙x21+12m2˙x22−12kx21−12k0(x1− x2)2−12kx22 (23.22)

b) Determine as equa¸c˜oes do movimento.

Exemplo 2: Um corpo de 2 kg oscila preso a certa mola com a constante de for¸ca k = 400 N/m. A constante de amortecimento tem o valor b = 2.00 kg/s. O sistema ´e excitado por uma for¸ca sinusoidal cujo valor m´aximo ´e de 10 N e a frequˆencia angular ω = 10 rad/s. (a) Qual a amplitude da oscila¸c˜ao? (b) Se a frequˆencia de excita¸c˜ao variar, em que frequˆencia ocorrer´a a ressonˆancia? (c) Qual a amplitude das oscila¸c˜oes

Os dados num´ericos s˜ao os seguintes:

m = 2kg k = 400N/m b = 2.00kg/s Fo= 10N ω = 10rad/s (23.23)

A equa¸c˜ao do movimento ´e a seguinte: P Fx= max= md 2_x dt2 = −kx − bv + Focos ωt ∴ md2_x dt2 + bdx_dt + mωo2x = Focos ωt (23.24) A solu¸c˜ao ´e do tipo:

x = xtrans+ xperm xperm= A cos(ωt − δ) A =√ Fo m2_(ω2 o−ω2)+b2ω2 tan δ = bω m(ω2 o−ω2) (23.25) QuadroNegro 2

23.2

Conceito de onda

Uma onda ´e qualquer sinal que se tranmite de um ponto a outro de um meio com velocidade definida. As ondas podem ser transversais (ex: onda electro-magn´eticas) ou longitudinais (ex: ondas sonoras).

Vamos abordar o caso mais simples da propaga¸c˜ao de uma onda a 1 dimens˜ao, por exemplo, ondas transversais numa corda com amplitude y(x, t). A forma geral de uma onda progressiva que se desloca nos dois sentidos do eixo Ox (onda a uma dimens˜ao) com velocidade constante v ´e do tipo:

y(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt), (23.26) onde f e g representam fun¸c˜oes arbitr´arias de x e t.

Uma onda harm´onica tem a forma

f (x0) = A cos(kx0+ δ) (23.27) onde f (x0_{) representa uma perturba¸c˜ao num ponto x}0_{, que corresponde a um}

referencial que acompanha a onda. Se quisermos passar para um referencial que est´a fixo no espa¸co, teremos que aplicar as transforma¸c˜oes de Galileu, para uma onda progressiva que se desloca para a direita ser´a x0 _{= x − vt, e a amplitude}

da onda neste referencial fixo passar´a a ser

y(x, t) = A cos[k(x − vt) + δ]. (23.28) Mas havendo a rela¸c˜ao

ω = kv = 2πν = 2π

τ (23.29)

e substituindo na Eq. 23.28, temos

y(x, t) = A cos(kx − ωt + δ). (23.30) O argumento do coseno ´e a fase da onda:

ϕ(x, t) = kx − ωt + δ (23.31) e δ a constante de fase. Se acompanharmos o deslocamento da onda com o tempo de modo a que a fase ϕ se mantenha constante, obtemos

dϕ dt = k

dx

dt − ω = 0, (23.32)

obtendo-se finalmente a velocidade de fase, v:

dx dt =

ω

k = v = νλ. (23.33)

A frequˆencia ν = 1/τ d´a o n´umero de oscila¸c˜oes por unidade de tempo, e

σ = 1/λ d´a o n´umero de comprimentos de onda por unidade de comprimento, chamando-se n´umero de onda.

A equa¸c˜ao de ondas unidimensional ´e uma das equa¸c˜oes mais fundamentais da f´ısica e tem a forma:

1 v2 ∂2_y ∂t − ∂2_y ∂x2 = 0. (23.34) ´

E uma equa¸c˜ao a derivadas parciais linear de segunda ordem.

23.3

Equa¸c˜

ao das cordas vibrantes

Seja µ a densidade linear de massa da corda. Um elemento infinitesimal de comprimento ∆x tem a massa ∆m = µ∆x.

Vamos considerar um deslocamento transversal de pequena magnitude de um ponto x da corda da sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio e designar a sua nova posi¸c˜ao por

y(x, t). Nesta aproxima¸c˜ao vamos considerar praticamente constante o

compri-mento da corda assim como as tens˜oes exercidas sobre ela em dois pontos x e x + ∆x. As for¸cas exercidas ser˜ao assim devidas unicamente `a varia¸c˜ao da direc¸c˜ao da tens˜ao, introduzindo uma for¸ca restauradora ao longo de Oy. Vˆe-se na Fig. ?? que no ponto x + ∆x a componente em y da tens˜ao ´e

T sin θ ≈ T tan θ = T∂y

∂x. (23.35)

O ˆangulo θ ´e o ˆangulo entre a tangente `a corda e o eixo Ox e us´amos a aprox-ima¸c˜ao sin θ ≈ tan θ v´alida para pequenos ˆangulos θ ¿ 1. Recordamos que tan θ = ∂y/∂x.

A for¸ca vertical resultante que actua sobre o elemento ∆x da corda ´e dada por

T∂y ∂x(x + ∆x, t) − T ∂y ∂x(x, t) = T ∆x[ ∂y ∂x(x + ∆x, t) − ∂y ∂x(x, t) ∆x ]. (23.36)

Podemos agora usar uma expans˜ao em s´erie de Taylor:

f (x) = f (xo) + (x − xo)(∂f ∂x)o+ 1 2!(x − xo) 2₍∂2f ∂x2)o+ ... + 1 n!(x − xo) n₍∂nf ∂x2)o+ ... (23.37) que, neste caso, se ∆x ¿ 1, podemos escrever (tente fazer)

∂y ∂x(x + ∆x) ≈ ( ∂y ∂x)(x, t) + ∆x( ∂2_y ∂x2) (23.38)

Substituindo a Eq. 23.38 na Eq. 23.36, obtemos

Chegamos finalmente `a equa¸c˜ao das cordas vibrantes unidimensional

µ∂2y ∂t2 = T

∂2_y

∂x2 (23.39)

onde a velocidade de propaga¸c˜ao da onda transversal ´e

v =

s

T

µ. (23.40)

23.4

Intensidade de uma onda

Uma onda progressiva transporta energia, podendo em particular ser transmi-tida a uma part´ıcula colocada na extremidade da corda. A for¸ca transversal actuando sobre um elemento da corda no ponto x ´e dada por

Fy= −T∂y

∂x(x, t). (23.41)

O trabalho realizado sobre o elemento da corda por unidade de tempo ´e dado pelo produto da for¸ca pela velocidade:

P (x, t) = Fy∂y ∂t = −T ∂y ∂x ∂y ∂t. (23.42)

Para uma onda harm´onica temos

∂y

∂x = −kA sin ϕ ∂y

∂t = ωA sin ϕ

(23.43) A potˆencia ´e dada por

P (x, t) = ωkT A2_sin2_{(kx − ωt + δ). (23.44)}

`

A m´edia sobre um per´ıodo chamamos intensidade I da onda. Ela ´e facilmente obtida fazendo a m´edia temporal do temos sinusoidal ao quadrado, que j´a vimos em fasc´ıculo anterior que vale 1/2:

I =< P >= P = 1

2ωkT A

2_{. (23.45)}

Como j´a vimos, T = µv2 _{e ω = kv, e a intensidade da onda tamb´em se pode}

escrever

I = P = 1

2µνω

2_A2_{. (23.46)}

A intensidade da onda ´e proporcional ao quadrado da amplitude, `a velocidade da onda e ao quadrado da frequˆencia.

23.5

Modos normais de vibra¸c˜

ao

Consideremos agora uma corda vibrante de comprimento finito l com as ex-tremidades presas. Vamos procurar os modos normais de vibra¸c˜ao da corda, isto ´e, o modo de oscila¸c˜ao em que todos os elementos da corda oscilam com a mesma frequˆencia ω e a mesma constante de fase δ, embora cada ponto x possa naturalmente deslocar-se com amplitude A(x) diferente de ponto para ponto. Isto ´e, consideremos uma onda estacion´aria:

y(x, t) = A(x) cos(ωt + δ) (23.47) Verifica-se rapidamente que

1 v2∂ 2_y ∂t2 = −ω 2 v2A(x) cos(ωt + δ) ∂2_y ∂t2 = d 2_A dx2 cos(ωt + δ) (23.48) ou seja d2_A dx2 + k 2_{A(x) = 0 (23.49)}

cuja solu¸c˜ao geral ´e da forma

A(x) = a cos(kx) + b sin(kx) (23.50) A condi¸c˜ao de que as duas extremidades permane¸cam fixas ´e dada pela condi¸c˜ao de contorno:

y(0, t) = y(l, t) = 0, ∀t. (23.51) Esta rela¸c˜ao implica que temos que ter tamb´em

A(0) = a = 0

A(l) = b sin(kl) = 0 (23.52)

Atendendo a que b 6= 0 for¸cosamente (de outro modo seria tudo nulo), con-clu´ımos que esta condi¸c˜ao s´o pode ser satisfeita para valores discretos da varia´avel k:

kn =nπ

l (23.53)

onde n = 1, 2, 3, .... As frequˆencias dos modos normais de vibra¸c˜ao s˜ao

ωn= knv =nπ

l v (23.54)

e a express˜ao dos modos normais de vibra¸c˜ao ´e dada por

yn(x, t) = bnsin(knx) cos(ωnt + δn). (23.55)

O comprimento de onda associado λn associado ao modo n ´e

λn= 2π

kn =

2l

Figure 4: (a) Modos de vibra¸c˜ao de uma corda vibrante. (b) Escala harm´onica em nota¸c˜ao musical.

A frequˆencia νn do modo n ´e

νn= ωn 2π = n v 2l = nν1 (23.57) onde ν1= _2lv =_2l1 q T

µ ´e a frequˆencia do modo fundamental. As frequˆencias da

corda vibrante s˜ao m´ultiplos inteiros da frequˆencia ν1 do modo fundamental.

Exemplo 3: Duas ondas transversais de mesma frequˆencia ν = 100 s−1 _s˜ao

produzidas num fio de a¸co de 1 mm de diˆametro e densidade ρ = 8 g/cm3_,

submetido a uma tens˜ao T = 500 N. As ondas s˜ao dadas por

y1= A cos(kx − ωt +π₆)

y2= 2A sin(ωt − kx).

onde A = 2 mm. (a) Escreva a express˜ao da onda harm´onica progressiva resul-tante da superposi¸c˜ao das duas ondas. (b) Calcule a intensidade da resulresul-tante. (c) Se fizermos variar a diferen¸ca de fase entre as duas ondas, qual ´e a raz˜ao entre os valores m´aximo e m´ınimo poss´ıveis da intensidade da resultante?

Os dados que temos permitem obter: ν = 100s−1_{s = 100Hz.} ω = 2πν = 628rad/s. µ = ρA = ρπ(D 2)2 µ = 2π10−3_kg/m ∴ v = q T µ = q 500 2π10−3 = 282.1m/s ⇒ k = ω v =282.1628 = 2.23m−1. ´

E conveniente usarmos n´umeros complexos z = Aei(ωt+δ)_{. A parte real do}

n´umero complexo ´e dada por

y(t) = <z(t) = <[Aei(ωt−kx+δ)_{] = A cos(ωt − kx + δ) (23.58)}

A superposi¸c˜ao dos dois movimentos consiste no seu somat´orio. Iremos somar as quantidades complexas respectivas:

y = y1+ y2

⇒ z = z1+ z2= Aei(kx−ωt+

π

6)+ 2Aei(ωt−kx) (23.59)

Podemos verificar em tabelas trigonom´etricas os eguintes resultados: sin θ = cos(θ + π 2) cosπ 6 = √ 3 2 sinπ 6 =12

eiφ _{= cos φ + i sin φ}

(23.60)

Um n´umero complexo pode-se colocar na forma

z = x + iy = r(cos φ + i sin φ) = reiφ_{− f orma − trigonometrica − do − numero − complexo}

r =| z |=px2_{+ y}2

φ = Argz = arctan(y_x)

(23.61) Com estes dados podemos reescrever as duas Eqs. 23.60 na forma mais conve-niente y = A cos(kx − ωt +π₆) + 2A sin[−(kx − ωt)] y = A cos(kx − ωt +π 6) + 2A cos(kx − ωt +π2) z = Aei(kx−ωt+π 6)+ 2Aei(kx−ωt+π2) z = Aei(kx−ωt)_[eiπ 6 + 2ei(π2)] z = Aei(kx−ωt)_[√3 2 + i12+ 2i] z = Aeiφ_[√3 2 +52i] (23.62)

onde φ = kx − ωt. Podemos escrever a ´ultima express˜ao dentro do parentesis recto na forma zc = [ √ 3 2 + 5 2i] = re iδ _(23.63)

O seu m´odulo ´e

| zc|= r = A

√

enquanto que o argumento de zc calcula-se atrav´es da f´ormula δ = Argzc = arctany x = arctan 5 2 √ 3 2 = arctan√5 3 = 1.237rad = 70.89 o_. (23.65) Finalmente, podemos escrever a resultante das duas vibra¸c˜oes:

y = <z = Arei(φ+δ)

y = 5.20 × 10−3_{cos(kx − ωt + 1.237).} (23.66)

b) A intensidade resultante ´e dada por

I = (y1+ y2)2 I = 1 2µνω2A2 I =1 26.28 × 10−3 q 500 6.28×10−3(2π100)2(5.29 × 10−3)2 I = 9.79W (23.67)

c) Intensidade resultante ´e calculada usando o seguinte resultado (aqui dado sem demonstra¸c˜ao). Se duas vibra¸c˜oes tˆem a mesma frequˆencia angular, tal que

x1(t) = A1cos(ωt + φ1)

x2(t) = A2cos(ωt + φ2) (23.68)

ent˜ao a magnitude A da resultante ´e dada pela express˜ao:

A2= A21+ A22+ 2A1A2cos(φ2− φ1) (23.69)

Verificamos de imediato que os m´aximos da intensidade (que ´e proporcional ao quadrado da amplitude) correspondem a

δ12≡ φ2− φ1= 2nπ(n = 0, ±1, ±2, ...)

∴ Imax∝ (A1+ A2)2 (23.70)

enquanto que os seus m´ınimos correspondem a

δ12= (2n + 1)π

∴ Imin∝ (A1− A2)2 (23.71)

O seu r´acio ´e:

R = Imax Imin = (A1+ A2)2 (A1− A2)2 = (A + 2A) A − 2A = (3A)2 A2 = 9. (23.72)