vetores

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IFPA Prof. Lucas Nascimento

Técnico em Eletroeletrônica

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Resumo

(3)

Técnico em Eletroeletrônica

Resumo

(4)

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Forças que regem a natureza

Nuclear Forte

Nuclear Fraca

Eletromagnética

Gravitacional

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Força Nuclear Forte

Atua em distâncias muito pequenas.

100x mais forte que a força eletromagnética, 1000000 mais

forte que a nuclear fraca

Confina as partículas subatômicas em suas posições (quark)

Confina prótons e neutrons no núcleo

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Força Nuclear Fraca

Responsável pelo decaimento radioativo

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Força Gravitacional

Explica a atração entre quaisquer coisas que possuam

energia

Teoria Geral da Relatividade

Muito próxima da lei da gravitação universal de Newton

G= 6,674.10

-11

_N.m

2

_/kg

2

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Força Eletromagnética

Explica a interação entre partículas carregadas, tais como

campos eletromagnéticos, campos elétricos, campos

magnéticos, cargas e até mesmo a luz.

Leis de Faraday

Equações de Maxwell

Relatividade especial (Albert Einstein)

É a interação mais comum (desde forças aplicadas a reações

químicas)

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Força Magnética

Gerada pela movimentação de cargas elétricas

Imãs

Dipolos magnéticos

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Força Elétrica

Gerada pela interação entre duas partículas eletricamente

carregadas

Corrente elétrica

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Revisão de Cálculo Vetorial

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Tipos de Grandezas

Existem 2 tipos de grandezas:

Grandezas Escalares

Grandezas vetoriais

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Grandezas Escalares

Em sua definição existe seu módulo e sua unidade.

Ex: massa, temperatura, etc

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Grandezas Vetoriais

Em sua definição existe, além de seu módulo e sua unidade,

também direção e sentido.

Ex: Velocidade, Força, etc.

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Grandezas Vetoriais

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Grandezas Vetoriais

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O vetor

1 - O VETOR

Mas o que é um vetor? Considere a figura abaixo:

Note que temos um segmento, delineado por AB, que temos três

características facilmente perceptíveis:

comprimento (denominado módulo)

direção

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O vetor

1 - O VETOR

Considere o segmento orientado AB na figura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por tres

aspectos bastante definidos:

comprimento (denominado módulo)

direção

(19)

O vetor

Denomina-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos

orientados equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de

todos os segmentos orientados que possuem o mesmo

comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.

Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:

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O vetor

Assim, quando delimitamos um determinado vetor, estamos

apresentando apenas um dos infinitos vetores que têm mesmo

módulo, direção e sentido que o compõem. Um vetor é grafado

como uma letra minúscula e um vetor acima, para indicar que é

uma grandeza vetorial, tal qual o vetor “u” abaixo:

Para simplificar, neste material utilizaremos a letra do vetor grafada

em negrito.

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Tipos fundamentais de

vetores

Vetor livre: aquele que fica completamente caracterizado,

conhecendo-se o seu módulo, a sua direção e o seu sentido

Vetor deslizante: quele que para ficar completamente caracterizado,

devemos conhecer além da sua direção, do seu módulo e do seu

sentido, também a reta suporte que o contém. Os vetores

deslizantes são conhecidos também como cursores.

Vetor ligado: aquele que para ficar completamente caracterizado,

devemos conhecer além da sua direção, módulo e sentido,

também o ponto no qual está localizado a sua origem.

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Vetor Livre

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Vetor Deslizante

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Vetor Ligado

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Projeção de um vetor sobre

um eixo

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de

medida algébrica igual a

ux = u . cos . Observe que se  = 90º , teremos cos = 0 e, portanto, a

projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.

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Versor

Em matemática, um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normalizado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

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Versor

Em matemática, um vetor unitário ou versor num espaço vetorial normalizado é um vetor (mais comumente um vetor espacial) cujo comprimento é 1. Um vetor unitário é muitas vezes denotado com um “circunflexo”, logo: î.

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Vetores em três dimensões

Observando o sistema cartesiano acima, temos um espaço tridimensional formado por “x”, “y” e “z”, onde os versores são respectivamente “i”, “j” e “k”. Note que qualquer vetor pode ser designado por uma soma de múltiplos destes três vetores, simplificando (x.i, y.j, z.k) ou (x, y, z).

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Vetores em três dimensões

O módulo de um vetor u é dado por:

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Operações com vetores

Adição: Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.

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Operações com vetores

Subtração: Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u - v , como sendo igual à soma u + ( -v ). Veja o exemplo abaixo:

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Operações com vetores

Multiplicação por escalar: Dado um vetor u e um escalar   R, define-se o vetor  .u , que possui a mesma direção de u e sentido coincidente para  > 0 e sentido oposto para  < 0. O módulo do vetor  .u será igual a | |.u .

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Operações com vetores

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Projeção de um vetor sobre

um eixo

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de

medida algébrica igual a

ux = u . cos . Observe que se  = 90º , teremos cos = 0 e, portanto, a

projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.

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Operações com vetores

Adição: Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas figuras abaixo.

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Operações com vetores

Subtração: Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u - v , como sendo igual à soma u + ( -v ). Veja o exemplo abaixo:

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Operações com vetores

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Lei dos Cossenos

Para realizar a some de vetores, revisaremos a lei dos cossenos.

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Soma de vetores

(u + v)2_{= u² + v² -2.u.v.cosƟ} _{(m + n)}2_{= m² + n² -2.m.n.cos(180- )}_Ɵ

(m + n)2_{= m² + n² +2.m.n.cosƟ}

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Produto vetorial

Para muitas propriedades físicas, temos o produto vetorial como um vetor perpendicular ao plano que contem os dois vetores da operação, tal qual a figura ao lado. O resultado algébrico pode ser obtido por meio da equação:

Onde o versor n é o vetor perpendicular (normal) ao plano dos vetores a, e b.

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