gildeane tcc esp

(1)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas Colegiado de Matem´atica

Curso de Especialização em Matemática

Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

OS TEOREMAS DE SYLOW

Gildeane Almeida Duarte

Orientador: Prof. Dr. Maur´ıcio de Araujo Ferreira

Feira de Santana 2014

(2)

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA

Departamento de Ciˆencias Exatas Colegiado de Matem´atica

Curso de Especialização em Matemática

Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

OS TEOREMAS DE SYLOW

Gildeane Almeida Duarte

Trabalho apresentado ao Colegiado de Ma-temática como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Especialista em Matemática na Uni-versidade Estadual de Feira de Santana.

Orientador: Prof. Dr. Maur´ıcio de Araujo Ferreira

Feira de Santana 2014

(3)

Gildeane Almeida Duarte

OS TEOREMAS DE SYLOW

Trabalho apresentado ao Colegiado de Ma-temática como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Especialista em Matemática na Uni-versidade Estadual de Feira de Santana.

Trabalho apresentado e aprovado em de de 2014.

Prof. Dr. Maur´ıcio de Araujo Ferreira

Orientador - Universidade Estadual de Feira de Santana

Profa. Msc. Joilma Silva Carneiro Universidade Estadual de Feira de Santana

Prof. Dr. Kisnney Emiliano de Almeida Universidade Estadual de Feira de Santana

(4)

Aos meus pais Jo˜ao e Maria.

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co a Deus por sempre está comigo e não permitir que as dificuldades me fizessem desistir. A minha fam´ılia pelo amor incondicional e apoio em tudo. Aos meus amigos que sempre me incentivam e me apoiam. Aos colegas do Curso da Especializa¸cão pela torcida. A todos os professores do curso pelo compromisso de oferecer um ensino de qualidade. Ao professor Maur´ıcio pela orienta¸cão e paciência. Enfim, agrade¸co a todos que se alegram comigo por mais esta conquista.

(6)

Resumo

Neste trabalho apresentamos conceitos básicos da Teoria de Grupos e a¸cão de grupos. Apresentamos e demonstramos os três teoremas de Sylow, e em seguida fazemos aplica¸cões dos mesmos, utilizando os teoremas para mostrar a existência de p-subgrupos de Sylow normais em grupos com ordem finita. Uma das aplica¸cões é a prova de que o grupo A5 é

simples. E por fim, mostramos a existˆencia de p-subgrupos de Sylow em qualquer grupo que tenha pelo menos um p-subgrupo, estendendo o Primeiro Teorema de Sylow para alguns grupos infinitos.

Palavras-chave: p-subgrupos de Sylow; a¸c˜ao de grupos; teoria de grupos.

(7)

Abstract

In this work we present basic concepts of the theory of groups and action groups. We present and demonstrate the three Sylow theorems, and then make applications thereof, using theorems to show the existence of p-subgroups of normal sylow in groups with finite order. One application is the proof that the group A5 is simple. Finally, show existence

of p-subgroups Sylow of any group that has at least one p-subgroup, extending the First Sylow Theorem for some infinite groups.

Keywords: Sylow p-subgroup; groups action; group theory.

(8)

Sum´

ario

Resumo 6

Introdu¸c˜ao 9

1 Grupos e A¸c˜ao de Grupos 10

1.1 Grupos . . . 10 1.2 A¸c˜ao de Grupos . . . 16

2 Os Teoremas de Sylow 20

3 Os Teoremas de Sylow e os Grupos Infinitos 30

Conclus˜ao 34

Referˆencias Bibliogr´aficas 35

(9)

Introdu¸

c˜

ao

Os três Teoremas de Sylow foram provados em 1872 por Ludwig Sylow e estão re-lacionados a estudos sobre p-subgrupos em grupos finitos. O primeiro teorema é o que garante a existência de p-subgrupos, inclusive a existência de um máximo p-subgrupo, denominado p-subgrupo de Sylow. Além disso, este teorema nos dá uma rec´ıproca parcial para o Teorema de Lagrange. O segundo teorema traz informa¸cões sobre o número dos p-subgrupos de Sylow, do qual podemos concluir quantos p-subgrupos de Sylow há em um determinado grupo finito. O terceiro teorema garante que os p-subgrupos de Sylow são dois a dois conjugados, assim podemos concluir que se em um grupo há apenas um p-subgrupo de Sylow, então este p-subgrupo é normal.

Por meio dos Teoremas de Sylow podemos mostrar a existência ou não de subgru-pos normais em um grupo G diferentes do {e} e do próprio G. Assim, nós aplicamos os teoremas para provar a simplicidade de determinados grupos com ordem finita. Con-clu´ımos que os teoremas são importantes ferramentas para a classifica¸cão de grupos finitos, conhecendo-se apenas a ordem deste grupo.

O trabalho é apresentado em três cap´ıtulos. No primeiro cap´ıtulo é apresentado alguns conceitos básicos da Teoria de Grupos e exemplos. Ainda neste cap´ıtulo é apresentado um estudo sobre a¸cão de grupos, ferramenta utilizada nas demonstra¸cões dos teoremas de Sylow. No segundo cap´ıtulo, são apresentados e demonstrados os Teoremas de Sylow, assim como são apresentadas aplica¸cões destes teoremas, como por exemplo que o grupo A5 é simples. No terceiro cap´ıtulo, é feita a generaliza¸cão do Primeiro Teorema de Sylow,

ou seja, é provada a existência de p-subgrupos de Sylow em qualquer grupo que contenha um p-subgrupo. Apesar do primeiro teorema ser válido para alguns grupos infinitos, o mesmo não acontece para os outros dois teoremas.

(10)

Cap´ıtulo 1

Grupos e A¸

c˜

ao de Grupos

Neste cap´ıtulo apresentaremos os conceitos básicos e exemplos da Teoria de Grupos, necessários para o entendimento dos próximos cap´ıtulos. Além disso, apresentaremos conceitos relacionados a a¸cão de grupos e algumas proposi¸cões que serão usadas nas demonstra¸cões dos Teoremas de Sylow. Seguimos as referências, Gon¸calves [AG], Garcia e Lequain [GL] e Grillet [PG].

1.1 Grupos

Defini¸cão 1.1. Um grupo é um par (G, ∗), em que G é um conjunto e ∗ : G × G −→ G

(g, h) 7−→ g ∗ h

´

e uma opera¸c˜ao de G satisfazendo as seguintes propriedades: (i) (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z), para todo x, y, z ∈ G (associativa);

(ii) Existe e ∈ G tal que x ∗ e = e ∗ x, para todo x ∈ G (elemento neutro);

(iii) Para todo x ∈ G, existe um x−1 ∈ G tal que x ∗ x−1_{= e = x}−1_{∗ x (inverso).}

Se (G, ∗) satisfaz a propriedade comutativa, ou seja, x ∗ y = y ∗ x, para todo x, y ∈ G, ent˜ao G ´e chamado de grupo abeliano.

Exemplo 1.2. O conjunto dos números inteiros é grupo com a opera¸cão da adi¸cão. Exemplo 1.3. Seja S um conjunto não vazio e seja G = {f : S 7−→ S ; f bijetiva} com

(11)

1.1. GRUPOS 11 a opera¸c˜ao:

∗ : G × G −→ G (g, f ) 7−→ g ◦ f.

Temos que G ´e um grupo, em que IS : S −→ S, definida como IS(x) = x ´e a

identi-dade. Esse grupo é chamado grupo das permuta¸cões do conjunto S. Se S = {1, 2, ..., n} denotaremos esse grupo por Sn e a fun¸cão f por:

  1 2 ... n f (1) f (2) ... f (n)  .

Podemos observar que, há n possibilidades para f (1). Como f é bijetiva temos (n − 1) possibilidades para f (2), (n − 2) possibilidades para f (3), (n − 3) possibilidades para f (4), seguindo assim, em f (n) teremos apenas uma possibilidade. Logo, temos n · (n − 1) · (n−2)·...·1 = n! fun¸cões distintas. Deste modo, o número de elementos de Sné igual a n!.

Defini¸cão 1.4 (Subgrupo). Seja G um grupo e H um subconjunto não vazio de G. Dizemos que H é um subgrupo de G se H é um grupo com a mesma opera¸cão de G. Ou seja, se as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(1) e ∈ H;

(2) x, y ∈ G implica em xy ∈ H; (3) x ∈ H implica em x−1 ∈ H.

Neste caso, utilizamos a nota¸c˜ao H ≤ G.

Exemplo 1.5. Seja P = P (x1, ..., xn) o seguinte polinˆomio nas indeterminadas x1, ..., xn,

em que xixj = xjxi, para todo i, j ∈ {1, ..., n},

P = (x1− x2)(x1− x3)...(x1− xn)(x2− x3)...(x2− xn)...(xn−1− xn) =

Y

1≤i<j≤n

(xi− xj)

Se σ ∈ Sn denotaremos por Pσ o seguinte polinˆomio,

Pσ = Y

1≤i<j≤n

(xσ(i)− xσ(j))

Temos ent˜ao: Pσ _{= ±P . Se P}σ _{= P dizemos que a permuta¸c˜}_{ao σ ´}_{e uma permuta¸c˜}_{ao par.}

Se Pσ _{= −P dizemos que σ ´}_{e uma permuta¸c˜}_{ao ´ımpar. Se σ, τ ∈ S}

(12)

12 CAPÍTULO 1. GRUPOS E AÇ ÃO DE GRUPOS e τ são permuta¸cões pares, então σ ◦ τ também é par. Se σ é par(´ımpar) e τ é ´ımpar(par) então σ ◦ τ é uma permuta¸cão ´ımpar. Agora, se σ e τ são permuta¸cões ´ımpares, temos que σ ◦ τ é um permuta¸cão par. Assim, podemos verificar que (Pσ₎τ _{= P}σ◦τ _{e que o}

conjunto {σ ∈ Sn; σ é uma permuta¸cão par} é um subgrupo de Sn, denotado por An,

onde o número de elementos é a metade do número de elementos de Sn, ou seja, é igual

a n! 2.

Exemplo 1.6. Seja G um grupo. O conjunto

Z(G) = {a ∈ G ; a · x = x · a, para todo x ∈ G} ´

e um subgrupo de G, denominado de centro do grupo G.

Exemplo 1.7. Seja G um grupo e x ∈ G. Se n ∈ Z, definimos xn _como:

xn =          e se n = 0; xn−1· x se n > 0; (x−n)−1 se n < 0.

O conjunto {xn_{; n ∈ Z} = hxi ≤ G ´e um subgrupo de G, chamado de grupo c´ıclico}

gerado pelo elemento x.

Defini¸cão 1.8. Seja G um grupo finito chamamos de ordem de G o número de elementos de G. Denotaremos ordem de G por |G|. Se G é um grupo infinito dizemos que |G| = ∞. Defini¸cão 1.9. Seja G um grupo e x ∈ G. A ordem do elemento x ∈ G é a ordem do subgrupo gerado por x. Denotaremos por |x|.

Proposi¸cão 1.10. Se |x| é finita então |x| é igual ao menor inteiro positivo k tal que xk _{= e.}

A demonstra¸cão desta proposi¸cão pode ser encontrada em Garcia e Lequain [GL], na página 132.

Defini¸cão 1.11. Sejam G um grupo, H um subgrupo de G e x ∈ G, temos que Hx = {hx ; h ∈ H} é uma classe lateral (à direita) de H em G.

Proposi¸c˜ao 1.12. Todas as classes laterais de H em G tem a mesma cardinalidade de H.

(13)

1.1. GRUPOS 13 A demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.12 pode ser encontrada em Garcia e Lequain [GL] na página 133.

Defini¸c˜ao 1.13. A cardinalidade do conjunto de todas as classes laterais de H em G ´e chamada de ´ındice de H em G e a denotaremos por |G : H|.

Proposi¸cão 1.14. Se G é um grupo. A rela¸cão em G, definida por:

x, y ∈ G, x ∼ y, se e somente se, existe y = g−1xg para algum g ∈ G. ´

e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em G.

Demonstra¸cão: Vamos mostrar que a rela¸cão é reflexiva, simétrica e transitiva. (i) x ∼ x, pois x = e−1xe para todo x ∈ G;

(ii) Se x ∼ y ent˜ao existe g ∈ G tal que y = g−1xg. Da´ı temos gyg−1 = gg−1xg−1g = x. Tomando u = g−1, temos x = u−1yu, isto ´e y ∼ x;

(iii) Se x ∼ y e y ∼ z ent˜ao y = g−1xg e z = h−1yh. Assim, z = h−1g−1xgh. O que

implica em z = (gh)−1x(gh). Logo x ∼ z.

Da Proposi¸cão 1.14 temos que a classe ¯x = {y; x ∼ y} = {g−1xg; g ∈ G} é chamada classe de conjuga¸cão em G determinada pelo elemento x ∈ G.

Dois elementos g e h de um grupo G são ditos conjugados quando eles pertencem à mesma classe de conjuga¸cão, ou seja, quando h = ghg−1, para algum g ∈ G. E dizemos que um subgrupo H de G é normal se gHg−1 ⊆ H, para todo g ∈ G. Neste caso, denotamos por H E G. Temos, por exemplo que Z(G) e todos os seus subgrupos são normais em G. Se os únicos subgrupos normais de G são {e} e o próprio G dizemos que G é simples.

Veremos no Cap´ıtulo 2 que, aplicando os Teoremas de Sylow, podemos verificar que determinados grupos finitos possuem subgrupos normais diferentes do {e} e do próprio grupo, ou seja, podemos usar estes teoremas para classificar grupos em simples ou não, conhecendo-se apenas a ordem do grupo em questão.

Proposi¸c˜_{ao 1.15. Seja G um grupo e sejam H ≤ G e N E G. Ent˜ao HN = {h · n ; h ∈} H, n ∈ N } ´e um subgrupo de G.

(14)

14 CAPÍTULO 1. GRUPOS E AÇ ÃO DE GRUPOS Proposi¸cão 1.16. Sejam H e K dois subgrupos de um grupo finito G. Então:

|HK| = |H||K| |H ∩ K|.

As demonstra¸cões das Proposi¸cões 1.15 e 1.16 são apresentadas em Garcia e Lequain [GL], nas respectivas páginas: 141 e 142.

Defini¸cão 1.17 (Grupo Quociente). Seja H um subgrupo normal de G. Então o conjunto quociente das classes laterais com a opera¸cão induzida de G é um grupo, chamado Grupo quociente e denotado por G/H.

Proposi¸c˜ao 1.18. Seja G um grupo e H um subgrupo de G tal que |G : H| = 2, ent˜ao H E G.

A demonstra¸cão desta proposi¸cão pode ser encontrada em Garcia e Lequain [GL], na página 139.

Exemplo 1.19. A4 ´e um grupo de ordem 12 que n˜ao possui subgrupo de ordem 6.

Seja A4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234),

(243)}. Vamos supor que G = A4 tem um subgrupo H de ordem 6. Temos |G : H| = 2,

ent˜_{ao H E G, pela Proposi¸cão 1.18. Assim, G/H é um grupo de ordem 2. Temos que o} quadrado de cada elemento de G/H é o elemento neutro. Seja gH ∈ G, temos (gH)2 ₌

g2H = eH = H. Isso implica que para todo g ∈ G temos g2 ∈ H. Agora, seja g ∈ G um elemento de ordem 3, temos que g = e · g = g3_{· g = (g}2₎2 _{∈ H. Desta forma H cont´em}

todos os elementos de ordem 3 de G. Isto é um absurdo, pois podemos observar que em A4 há 8 elementos de ordem 3, mas H tem ordem 6. Portanto A4 não possui subgrupos

de ordem 6.

Teorema 1.20 (Teorema de Lagrange). Se G ´e um grupo finito e H um subgrupo de G ent˜ao a ordem de H divide a ordem de G.

A demonstra¸cão deste teorema pode ser vista em Gon¸calves [AG], na página 134. E pelo mesmo teorema temos os seguintes corolários.

Corol´ario 1.21. Seja G um grupo finito e seja x ∈ G. Ent˜ao, a ordem de x divide a ordem de G.

(15)

1.1. GRUPOS 15 Corolário 1.22. Todo grupo finito com ordem igual a um número primo é c´ıclico.

A rec´ıproca do Teorema de Lagrange não é válida em geral, pois o grupo A4 tem

ordem 12, mas não possui subgrupo de ordem 6, como vimos no Exemplo 1.19. No entanto, vamos apresentar no Cap´ıtulo 2, por meio do Primeiro Teorema de Sylow, o caso mais geral em que esta rec´ıproca é válida.

Defini¸cão 1.23. Sejam G e G0 grupos e Ψ : G 7−→ G0 uma fun¸cão de G em G0. Dizemos que Ψ é um homomorfismo se Ψ(gh) = Ψ(g)Ψ(h), para todo g, h ∈ G.

Exemplo 1.24. Seja G um grupo, N E G e ¯G, o grupo quociente de G por N . Então a fun¸cão sobrejetiva, denominada proje¸cão canônica:

π : G 7−→ ¯G g 7−→ ¯g

´

e um homomorfismo de G em ¯G.

Se um homomorfismo Ψ : G 7−→ G0 for bijetivo, então Ψ é dito um isomorfismo. Nesse caso, dizemos que G é isomorfo a G0. Um isomorfismo Ψ : G 7−→ G, do grupo G em si mesmo é chamado de automorfismo de G. As fun¸cões Ψg : G 7−→ G,definida por

Ψg(h) = ghg−1, chamada conjuga¸c˜ao pelo elemento g ∈ G, s˜ao exemplos de automorfismos

de G. Desta forma, podemos escrever que um subgrupo H de um grupo G ´e normal em G se Ψg(H) = gHg−1 = H, para todo g ∈ G.

Defini¸c˜ao 1.25 (Subgrupo Caracter´ıstico). Um subgrupo H de um grupo G ´e um sub-grupo caracter´ıstico se σ(H) = H, para todo automorfismo σ de G.

Proposi¸c˜ao 1.26. Se H ´e caracter´ıstico de G ent˜_{ao H E G.}

Demonstra¸cão: Sabemos que a fun¸cão α : G 7−→ G, α(H) = gHg−1 é um automorfismo de G. Como H ´_{e caracter´ıstico de G, temos α(H) = H, logo H E G.}

Proposi¸cão 1.27. Se H é o único subgrupo de ordem n de um grupo G, então H é caracter´ıstico de G.

(16)

16 CAPÍTULO 1. GRUPOS E AÇ ÃO DE GRUPOS Demonstra¸cão: Para todo automorfismo σ de G temos |H| = |σ(H)|. Por hipótese, H ´

e o ´unico subgrupo de ordem n em G, logo σ(H) = H para todo automorfismo σ de G.

Portanto H ´e caracter´ıstico de G.

Proposi¸c˜_{ao 1.28. Seja K um subgrupo carater´ıstico de H. Se H E G ent˜ao K E G.} Demonstra¸c˜ao: Seja g ∈ G e considere o automorfismo Xg : G 7−→ G, Xg(h) = ghg−1.

Vamos mostrar que Xg(K) = K. Considere a restri¸c˜ao de Xg a H:

Xg |H: H 7−→ G

h 7−→ ghg−1

Por hip´_{otese, H E G, logo X}g(H) = Xg |H (H) = H. Assim, Xg |H ´e um automorfismo

de H. Como K ´e caracter´ıstico de H, temos que Xg(K) = Xg |H (K) = K. Logo K EG.

1.2 A¸

c˜

ao de Grupos

Defini¸cão 1.29. Seja G um grupo e X um conjunto. Uma a¸cão à esquerda de G em X ´

e uma fun¸c˜ao G × X 7−→ X, com (g, x) 7−→ g · x de tal modo que, para todo g, h ∈ G e x ∈ X, temos:

(i) e · x = x;

(ii) g · (h · x) = (gh) · x.

Existe também a a¸cão à direita de G em X, definida de maneira análoga. Mas não faremos referência a esta a¸cão, assim trataremos a¸cão à esquerda apenas por a¸cão. Defini¸cão 1.30. Em uma a¸cão de um grupo G em um conjunto X o conjunto {g · x ; g ∈ G} é chamado de órbita de x e a denotaremos por Ox.

Defini¸cão 1.31. Em uma a¸cão de um grupo G em um conjunto X, o conjunto {g ∈ G ; g · x = x} é chamado de estabilizador do elemento x, e o denotaremos por Ex.

(17)

1.2. AÇ ÃO DE GRUPOS 17 Demonstra¸cão: De fato, Ex é um subgrupo pois,

(i) e · x = x, logo e ∈ Ex;

(ii) Sejam g, h ∈ Ex. Temos (gh) · x = g · (h · x) = g · x = x, logo gh ∈ Ex;

(iii) Seja g ∈ Ex. temos g · x = x, fazendo g−1 agir em ambos membros desta igualdade,

obtemos g−1· (g · x) = g−1 _{· x, implicando em (g}−1_{g) = g}−1_{· x, assim x = g}−1_{· x. Logo}

g−1 ∈ Ex.

Exemplo 1.33. Sejam o conjunto A = {1, 2, ..., n} e Sno grupo de todas as permuta¸c˜oes

de A. A fun¸c˜ao

Sn× A 7−→ A

(σi, a) 7−→ σi· a = σi(a)

´

e uma a¸c˜ao de Sn em A, uma vez que, para qualquer a ∈ {1, 2, 3, ..., n}, temos:

(i) e · a = e(a) = a

(ii) Se σi e σj ∈ Sn, ent˜ao (σiσj) · a = (σiσj)(a) = σi(σj(a)) = σi· σj(a).

A órbita do elemento a é {σi(a) ; σi ∈ Sn} e seu estabilizador é Ea= {σi ∈ Sn; σi(a) = a}

Vejamos um caso particular deste exemplo:

Exemplo 1.34. Seja A = {1, 2, 3} e S3 o grupo de todas as permuta¸c˜oes do conjunto A.

Sabemos que: S3 = 1 2 3 1 2 3 , 1 2 3 1 3 2 , 1 2 3 2 1 3 , 1 2 3 2 3 1 , 1 2 3 3 1 2 , 1 2 3 3 2 1 . Vamos considerar as respectivas permuta¸c˜oes desta forma: S3 = {e, σ2, σ3, σ4, σ5, σ6}.

Temos e(2) = 2, σ2(2) = 3, σ3(2) = 1, σ4(2) = 3, σ5(2) = 1 e σ6(2) = 2. Assim, a ´orbita

O2 do elemento 2 é o conjunto {1, 2, 3}, ou seja, é o próprio A. Já o estabilizador E2 de

2 ´e o subgrupo {e, σ6}. Note que |O2| · |E2| = |S3|. Veremos na proposi¸c˜ao 1.36 que isto

vale em geral.

Proposi¸c˜ao 1.35. Seja G um grupo agindo em um conjunto X. A rela¸c˜ao em X definida por:

(18)

18 CAPÍTULO 1. GRUPOS E AÇ ÃO DE GRUPOS ´

e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em X.

Demonstra¸cão: Vamos mostrar que a rela¸cão é reflexiva, simétrica e transitiva, aplicando as propriedades da a¸cão de grupos.

(i) Como x = e · x, temos x ∼ x. Logo, a rela¸c˜ao ´e reflexiva.

(ii) Se x ∼ y, ent˜ao x = g · y para algum g ∈ G. Temos ent˜ao que g−1· x = g−1_{· (g · y) =}

(g−1_{g) · y = e · y = y. Assim, y ∼ x, logo a rela¸cão é simétrica.}

(iii) Se x ∼ y e y ∼ z, então x = g · y e y = h · z, para algum g, h ∈ G. Temos x = g · y = g · (h · z) = (gh) · z. Logo, x ∼ z. Logo, a rela¸cão é transitiva.

Portanto, a rela¸cão definida é uma rela¸cão de equivalência.

Podemos observar que a classe de equivalência de x ´_{e o conjunto {y ∈ X ; x ∼ y} =} {y ∈ X ; x = g · y} que é a órbita de x. Assim, as diferentes órbitas dos elementos de X constituem uma parti¸cão de X, ou seja, |X| = P

x∈X

|Ox|.

Proposi¸cão 1.36. A ordem da órbita de um elemento x é igual ao ´ındice do estabilizador de x.

Demonstra¸cão: Para provar esta proposi¸cão vamos exibir uma bije¸cão entre a órbita de x e o conjunto das classes laterais de Ex em G . Vamos considerar a seguinte fun¸cão:

Ψ : Ox 7−→ {Classes laterais de Ex em G}

g · x 7−→ gEx

A fun¸cão Ψ está bem definida, pois, se g · x = h · x, então h−1· g · x = h−1_{· h · x, ou seja,}

(h−1g) · x = x. Assim, h−1g ∈ Ex. Logo, h−1gEx = Ex, o que implica em gEx = hEx.

A fun¸cão Ψ é sobrejetiva, pois se gExé uma classe lateral de Exem G, então gEx = Ψ(g ·x).

Sejam g · x e h · x dois elementos de Ox. Se Ψ(g · x) = Ψ(h · x), ent˜ao gEx= hEx. Assim,

g−1h ∈ Ex, logo (g−1h) · x = x que implica em g · x = h · x. Logo a fun¸c˜ao Ψ ´e injetiva.

Sendo assim, bijetiva. Portanto |Ox| = |G : Ex|.

Defini¸cão 1.37 (A¸cão por Conjuga¸cão). A a¸cão de um grupo G em si mesmo por con-juga¸cão é definido por g · x = gxg−1, para todo g, x ∈ G.

(19)

1.2. AÇ ÃO DE GRUPOS 19 De fato, temos uma a¸cão, pois, g · e = geg−1 = e, e g · (h · x) = g · (hxh−1) = g(hxh−1)g−1 = (gh)x(gh)−1.

´

E a a¸cão por conjuga¸cão que aplicaremos para provar boa parte dos Teoremas de Sylow, principalmente, os dois últimos teoremas.

Defini¸cão 1.38. Na a¸cão de um grupo G em si mesmo por conjuga¸cão, as órbitas são as classes de conjuga¸cão de G.

Defini¸c˜ao 1.39. O normalizador em G de um subgrupo H de um grupo G ´e: NG(H) = {g ∈ G, gHg−1 = H}

Na a¸cão de G em seus subgrupos, o normalizador de H é um subgrupo de G. A conjuga¸cão é uma rela¸cão de equivalência. Assim podemos escrever a seguinte proposi¸cão: Proposi¸cão 1.40. O número de conjugados de um subgrupo H de um grupo G é o ´ındice de seu normalizador em G.

De forma análoga a demonstra¸cão da Proposi¸cão 1.36, podemos definir uma bije¸cão entre o conjunto dos conjugados de H e o conjunto das classes laterais de NG(H) em G

(20)

Cap´ıtulo 2

Os Teoremas de Sylow

Neste cap´ıtulo, apresentaremos os três Teoremas de Sylow e como os mesmos podem ser utilizados para classificar determinados grupos finitos. Vamos verificar se um determinado grupo possui subgrupos normais diferentes do {e} e do próprio grupo, conhecendo-se apenas a ordem deste grupo. Por fim, provaremos que o grupo A5 é simples. Seguiremos

as abordagens, feitas por Grillet [PG] e Dummit e Foote [DF].

Defini¸c˜ao 2.1. Seja G um grupo finito e p um n´umero natural primo. Se a ordem de G ´

e igual a pk_{, com k > 0, dizemos que G é um p-grupo. Subgrupos de G que são p-grupos} são chamados p-subgrupos.

Defini¸cão 2.2. Seja p um número primo. Um p-subgrupo de Sylow de um grupo finito G é um subgrupo de ordem pk_{, tal que p}k+1 _n˜_{ao divide a ordem de G.}

Da defini¸cão decorre que em um grupo os p-subgrupos de Sylow são os p-subgrupos em que a ordem é a maior potência de p. Vimos no Capitulo 1, no Exemplo 1.19 que a rec´ıproca do Teorema de Lagrange não é válida em geral, ou seja, o fato de um certo n natural dividir a ordem de um grupo finito G, não implica, necessariamente, que exista um subgrupo de G com ordem igual a n. E isto foi constatado, observando-se o grupo A4 que tem ordem 12, mas não possui subgrupo de ordem 6. Porém, Sylow provou um

resultado em que a rec´ıproca do teorema de Lagrange é válida para subgrupos com ordens iguais a potências de p, sendo p um número natural primo que divide a ordem do grupo. Este resultado é conhecido como o Primeiro Teorema de Sylow, o qual garante a existência

(21)

21 de p-subgrupos de Sylow em qualquer grupo finito G para todo n´umero natural primo divisor de G.

O Segundo Teorema de Sylow afirma que o número de p-subgrupos de Sylow do grupo G é congruente a 1 módulo p e divide a ordem de G. Por meio desses dois fatos, podemos determinar valores para o número de p-subgrupos de Sylow de G. O Terceiro Teorema de Sylow mostra que quaisquer dois p-subgrupos de Sylow são conjugados. Este teorema traz um resultado que permite, por meio do número de p-subgrupos, verificar que determinado grupo possui subgrupos normais diferentes do {e} e do próprio grupo.

Antes de enunciarmos e provarmos o Primeiro Teorema de Sylow, vamos mostrar um caso particular deste teorema, enunciado a seguir como o Lema 2.3.

Lema 2.3. Se G é um grupo abeliano e p um número natural primo que divide a ordem de G, então G tem um subgrupo de ordem p.

Demonstra¸cão: Se |G| = p, então o próprio G é o subgrupo de ordem p.

Se |G| > p, vamos provar por indu¸cão sobre |G|, assumindo que o resultado é válido para todos os grupos de ordem menor do que |G| e mostrar que o resultado vale para G. Seja a ∈ G, a 6= e. Se p divide |a|, ent˜_{ao |a| = m · p, para algum m ∈ N. Sendo assim,} (am₎p _{= e , ent˜}_{ao |a}m_{| divide p, temos ent˜}_{ao |a}m_{| = 1 ou |a}m_{| = p. Se |a}m_{| = 1, temos}

am_{= e, ent˜}_{ao |a| divide m, isto ´}_{e um absurdo pois p ´}_{e primo e |a| = m · p , logo |a}m_{| = p.}

Portanto G tem um subgrupo < am > de ordem p.

Seja A =< a > tal que p não divide a ordem de A. Temos que A é um subgrupo normal em G, pois é abeliano. Seja G/A, o grupo de todas as classes laterais de A em G. Pelo Teorema de Lagrange, |G| = |A| · |G/A|. Como p divide |G| e p não divide |A|, temos que p divide |G/A|. Como |G/A| < |G|, pois a 6= e, temos, por hipótese de indu¸cão, que G/A possui um subgrupo de ordem p. Seja ¯b = bA em G/A de ordem p em G/A para algum b ∈ G. A ordem de ¯b em G/A divide a ordem de b em G, já que se |b| = n, então (¯b)n _{= ¯}_bn _{= ¯}_{e. Isso implica que |¯}_{b| divide n. Como |¯}_{b| = p, temos que n ´}_{e um m´}_ultiplo

de p, ou seja, n = |b| = q · p, ent˜ao (bq₎p _{= e. Logo, |b}q_{| divide p. Procedendo como}

anteriormente, conclu´ımos que |bq| = p, e portanto G tem um subgrupo < bq_{> de ordem}

(22)

22 CAP´ITULO 2. OS TEOREMAS DE SYLOW Teorema 2.4 (Primeiro Teorema de Sylow). Seja G um grupo finito e seja p um n´umero natural primo. Se pk _{divide a ordem de G, ent˜}_{ao G tem um subgrupo de ordem p}k_.

Demonstra¸cão: Seja G um grupo finito. Vamos provar por indu¸cão sobre |G|. Vamos supor que o teorema é verdade para todos os grupos com ordem menor que a ordem de G e mostrar que é verdade também para G.

Se |G| = 1 então não há o que provar.

Seja |G| > 1 e Z(G) o centro de G. Se p divide |Z(G)|, então, pelo Lema 2.3, Z(G) tem um subgrupo A de ordem p. Como Z(G) e todos seus subgrupos são normais em G, temos que A é um subgrupo normal em G. Se pk _{divide |G|, ent˜}_{ao p}k−1 _{divide |G/A| < |G|. Por}

hip´otese de indu¸c˜ao, G/A tem um subgrupo B/A de ordem pk−1_{, onde A 6 B 6 G. Logo} B tem ordem pk_{, pois, pelo Teorema de Lagrange, |B| = |A||B/A| = p · p}k−1 _{= p}k_.

Se pk _{divide |G|, mas p n˜}_{ao divide |Z(G)|, ent˜}_{ao vamos considerar uma a¸c˜}_{ao de G em si}

mesmo por conjuga¸cão, em que para cada g ∈ G, x 7→ gxg−1. As órbitas de G constituem uma parti¸cão de G. Além disso, a órbita de x ∈ G é o próprio x se, e somente se x ∈ Z(G). Então, para todo x ∈ G, temos,

|G| = |Z(G)| + X |Ox|>1 |Ox|, onde, |Z(G)| = X |Ox|=1 |Ox|

Como p n˜ao pode dividir todas as |Ox| > 1, uma vez que p n˜ao divide |Z(G)|, temos que

alguns |Ox| > 1 não são múltiplos de p. Seja Ex o estabilizador de x. Sabemos que ordem

da órbita de x é igual ao ´ındice de Ex. Tomando uma das órbitas com |Ox| > 1, temos

|Ox| = |G : Ex|. Pelo Teorema de Lagrange, temos |G| = |Ex||G : Ex|, ent˜ao |G| = |Ex||Ox|

o que implica em |Ex| = |G|

|Ox|. Como p

k _{divide |G| e p}k _n˜_{ao divide O}

x, temos que pk divide

|Ex|. Além disso, |Ex| < |G|, pois |Ox| > 1. Portanto, pela hipótese de indu¸cão, Ex 6 G

tem um subgrupo de ordem pk_.

Exemplo 2.5. Seja G um grupo de ordem 12. Temos que |G| = 12 = 22_{· 3. Assim, o}

(23)

23 3-subgrupos de ordem 3. Sendo os 2-subgrupos de ordem 4 e os 3-subgrupos de ordem 3, p-subgrupos de Sylow.

Proposi¸cão 2.6. Se um p-subgrupo de Sylow de um grupo finito G é normal em G, então ele é o maior p-subgrupo de G e o único p-subgrupo de Sylow de G.

Demonstra¸c˜ao: _{Seja S um p-subgrupo de Sylow de um grupo finito G com S E G. Se T} ´

e um p-subgrupo de G, ent˜_{ao ST 6 G. Como S e T s˜ao subgrupos finitos de um grupo,} temos:

|ST | = |S||T |

|S ∩ T | ≥ |S| (2.1)

Todos os números do quociente acima são potências de p, logo ST é um p-subgrupo de G. E como |ST | divide |G| e |S| é a maior potência de p que divide |G|, temos:

|ST | 6 |S| (2.2)

Pelas desigualdades (2.1) e (2.2) temos que |ST | = |S|. Como T ⊆ ST = S, conclu´ımos que S ´e o maior p-subgrupo de G e o ´unico p-subgrupo de Sylow de G.

Teorema 2.7 (Segundo Teorema de Sylow). Seja p um número natural primo. Quaisquer dois p-subgrupos de Sylow de um grupo finito G são conjugados, isto é, pertencem a mesma classe de conjuga¸cão.

Teorema 2.8 (Terceiro Teorema de Sylow). Seja G um grupo finito e p um n´umero natural primo. Temos que:

(i) O número de p-subgrupos de Sylow de G é congruente a 1 módulo p; (ii) O número de p-subgrupos de Sylow de G divide a ordem de G.

Demonstraremos os dois últimos Teoremas de Sylow juntos, pois as dedu¸cões utili-zadas se aplicam a ambos. Mas, para melhor leitura, apresentamos a demonstra¸cão dos teoremas em três partes:

(A) Teorema 2.8 (i) (B) Teorema 2.7 (C) Teorema 2.8 (ii)

(24)

24 CAP´ITULO 2. OS TEOREMAS DE SYLOW Demonstra¸c˜ao:

(A) Seja S um p-subgrupo de Sylow. Sabemos que gSg−1 ´e conjugado de S em G, para todo g ∈ G. Como |S| = |gSg−1|, temos que gSg−1 _´_{e p-subgrupo de Sylow. Assim S age}

no conjunto Ω = {H 6 G; |H| = pk} de todos os p-subgrupos de Sylow por conjuga¸c˜ao. Consideremos a a¸c˜ao seguinte:

S × Ω 7−→ Ω (g, H) 7−→ gHg−1

A órbita de S é {gSg−1; g ∈ S} = {S}. Se {T } é uma órbita trivial, então gT g−1 = T para todo g ∈ S. Seja NG(T ) = {g ∈ G; gT g−1 = T }, o normalizador de T em G. Temos

que S ⊆ NG(T ). Como gT g−1 ⊆ T , temos T normal em NG(T ). Pela Proposi¸c˜ao 2.6, T ´e

o ´unico p-subgrupo de Sylow em NG(T ). Mas S ⊆ NG(T ) e S ´e um p-subgrupo de Sylow,

então {S} = {T }. Assim {S} é a única órbita trivial de Ω. A ordem das outras órbitas são ´ındices em S de estabilizadores, ou seja, |Ox| = |G : Ex|. Pelo Teorema de Lagrange,

|G| = |Ex||Ox|, então a ordem das órbitas são múltiplos de p. Podemos escrever Ω como

uma união disjunta de órbitas, no âmbito desta a¸cão por S. Assim, |Ω| = |O(S)| + X

O(H)>1

|O(x)|, para todo H ∈ Ω

logo |Ω| = 1 + pk, k ≥ 0, portanto np ≡ 1(mod p).

(B) Agora vamos supor que S cont´em duas classes de conjuga¸c˜ao de subgrupos distintos C0 _{= {hC}0_h−1_{; h ∈ G} e C}00 _{= {hC}00_h−1_{; h ∈ G}. Qualquer S ∈ C}0 _{age em C}0 _{e C}00 _por

conjuga¸cão. Então temos as seguintes a¸cões:

(I) S × C0 7−→ C0 (g, H0) 7−→ gH0g−1 (II) S × C00 7−→ C00

(g, H00) 7−→ gH00g−1

De fato em (I) e (II) s˜ao a¸c˜oes de S em C0 e S em C00, respectivamente, pois H0 ∈ C0

im-plica em H0 = hC0h−1 para algum h ∈ G. Ent˜ao, gH0g−1 = ghC0h−1g−1 = (gh)C0(gh)−1, logo gH0g−1 ∈ C0_{. De forma an´}_{aloga, provamos que H}00 _{∈ C}00 _{implica em gH}00_g−1 _{∈ C}00_.

(25)

25 Em (I) a órbita {S} é trivial em C0, pelo que foi feito para provar o (i) do Segundo Teo-rema de Sylow, temos |C0| ≡ 1(mod p), então |C00| ≡ 0(mod p). Qualquer T ∈ C00 _{age em}

C0_{∪ C}00 _{por conjuga¸c˜}_{ao. Mas T ´}_{e uma ´}_{orbita trivial em C}00_{, de modo que, |C}00_{| ≡ 1(mod p)}

e |C0| ≡ 0(mod p). Esta contradi¸cão mostra que Ω não pode conter duas classes de con-juga¸cão de grupos distintos. Portanto, Ω é uma classe de conjuga¸cão, assim provamos o Terceiro Teorema de Sylow.

(C) Pelo Teorema 1.40, apresentado no Cap´ıtulo 1, o n´umero de conjugados de Ω ´e o ´ındice de seu normalizador NG(Ω) em G, ou seja, |Ω| = |G/NG(Ω)|. Pelo teorema de

Lagrange, temos que |G| = |NG(Ω)||G/NG(Ω)| = |NG(Ω)||Ω|. Portanto |Ω| divide |G|.

Do Segundo Teorema de Sylow obtemos o seguinte resultado:

Corolário 2.9. Um p-subgrupo de Sylow de um grupo finito G é normal se, e somente se, é o único p-subgrupo de Sylow de G.

Demonstra¸cão: Seja S um p-subgrupo de Sylow de G. Se S é normal, a Proposi¸cão 2.6 já prova que S é o único p-subgrupo de Sylow. Reciprocamente, se S é o único p-subgrupo de Sylow de G, temos que gSg−1 é um p-subgrupo de Sylow, então gSg−1 = S, logo

gSg−1 ⊆ S, e portanto S ´e normal.

A seguir, apresentaremos alguns exemplos, onde veremos a aplicabilidade dos Teore-mas de Sylow. Nos exemplos, usaremos os TeoreTeore-mas de Sylow para estudar a estrutura de grupos de uma determinada ordem, como classificar um grupo em simples ou não. Os Teoremas são eficazes para classificar grupos como não simples.

Para provarmos estes exemplos, utilizaremos os teoremas de Sylow da seguinte forma: se, para um primo p que divide a ordem de G, mostrarmos que existe um só p-subgrupo de Sylow de G, então pelo Segundo Teorema de Sylow este subgrupo deve ser normal em G, assim provamos que G não é um grupo simples.

Exemplo 2.10. Todo grupo G, com ordem igual a 18 tem um subgrupo normal n˜ ao-trivial. Temos |G| = 18 = 2 · 32_{. O Primeiro Teorema de Sylow garante que G tem pelo}

(26)

26 CAPÍTULO 2. OS TEOREMAS DE SYLOW ordem 9. Sabemos, pelo Terceiro Teorema de Sylow, que o número de 3-subgrupos de Sylow de G (n3) é congruente a 1 módulo 3 e divide |G| = 2 · 32. Nestas condi¸cões a única

possibilidade é n3 = 1, logo, pelo Corolário 2.9, G possui um subgrupo normal não-trivial.

No exemplo 2.10, a prova de que o grupo apresentado não é simples, é encontrado imediatamente na aplica¸cão dos teoremas. Mas na maior parte dos grupos este resultado só é obtido depois de uma contagem, como veremos no exemplo que segue.

Exemplo 2.11. Todo grupo G de ordem 56 tem um subgrupo normal de ordem 7 ou um subgrupo normal de ordem 8 .

Temos |G| = 56 = 23_{· 7. O Primeiro Teorema de Sylow garante que G tem pelo menos um}

2-subgrupo de ordem 8 e pelo menos um 7-subgrupo de ordem 7. Pelo Terceiro Teorema de Sylow, temos:

(i) n2 ≡ 1(mod 2) e n2 | 56 = 23· 7, logo n2 = 1 ou n2 = 7.

(ii) n7 ≡ 1(mod 7) e n7 | 56 = 23· 7, logo n7 = 1 ou n7 = 8.

Se n7 = 1, então este 7-subgrupo de Sylow é único e portanto é normal em G.

Seja S1 e S2, 7-subgrupos de Sylow de G. Esses subgrupos s˜ao c´ıclicos, pois a ordem ´e

um n´umero primo. Assim S1∩ S2 = e. Se n7 = 8, ent˜ao podemos contar 8 · 7 − 8 = 48

elementos distintos de G, sem o elemento neutro. Dos 56 elementos de G tiramos estes 48, restando 8 elementos. Sabemos que existe pelo menos um subgrupo H de ordem 8, em que nenhum dos 48 elementos contados acima podem pertencer a H. Assim, s´o podemos contar mais um subgrupo de ordem 8, completando os 56 elementos de G. Logo H ´e o ´

unico 2-subgrupo de Sylow, e portanto normal em G.

Portanto, podemos concluir que G possui um subgrupo normal de ordem 7 ou um subgrupo normal de ordem 8.

A seguir provaremos uma proposi¸c˜ao que afirma que o grupo A5 ´e simples. Mas antes,

apresentaremos uma série de exemplos necessários para provar o lema que nos dá a prova de que A5 é simples. Sabemos que |A5| = 60 = 22· 3 · 5. Pelo Teorema de Lagrange temos

que os poss´ıveis subgrupos de A5 devem ter ordem: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ou 60

que s˜ao os divisores de 60. Para provarmos que A5 ´e simples devemos mostrar que seus

´

(27)

27 o que devemos provar ´e que n˜ao existem subgrupos normais com ordem igual aos outros divisores de 60.

Exemplo 2.12. Todo grupo G de ordem 10 possui um subgrupo normal de ordem 5. Temos que |G| = 2 · 5, logo pelo Primeiro Teorema de Sylow G tem um 5-subgrupo de Sylow de ordem 5. Como n5 | 2 · 5 e n5 ≡ 1(mod 5), temos n5 = 1. Portanto G tem um

subgrupo normal de ordem 5.

Exemplo 2.13. Todo grupo G de ordem 12 possui um subgrupo normal de ordem 4 ou de ordem 3.

Temos |G| = 12 = 22· 3. Como vimos no Exemplo 2.5, G tem tem 2-subgrupos de Sylow de ordem 4 e 3-subgrupos de Sylow de ordem 3. E pelo Terceiro Teorema temos:

(i) n2 ≡ 1(mod 2) e n2 | 22· 3, logo n2 = 1 ou n2 = 3.

(ii) n3 ≡ 1(mod 3) e n3 | 22· 3, logo n3 = 1 ou n3 = 4.

Sabemos que o 3-subgrupo de G ´e c´ıclico, assim, se n3 = 4, teremos 4 · 3− 3 (elementos

neutros que se repetem) = 9 elementos em G. Se, al´em de n3 = 4, tivermos n2 = 3, ent˜ao

acrescentaremos aos 9 elementos, pelo menos mais 5 elementos distintos, totalizando 14 elementos. Isto ´e um absurdo, pois G tem ordem 12. Assim, n2 = 1 ou n3 = 1. Logo, G

tem um subgrupo normal de ordem 4 ou de ordem 3.

Exemplo 2.14. Todo grupo G de ordem 15 possui um subgrupo normal de ordem 5. Temos que |G| = 3 · 5, logo G tem pelo menos um 5-subgrupo de ordem 5. Como n5 ≡ 1(mod 5) e n5 | 3 · 5, temos n5 = 1. Portanto, G tem um subgrupo normal de ordem

5.

Exemplo 2.15. Todo grupo G de ordem 20 possui um subgrupo normal de ordem 5. Temos que |G| = 22 _{· 5, logo G tem pelo menos um 5-subgrupo de Sylow de ordem 5.}

Como n5 ≡ 1(mod 5) e n5 | 22· 5, temos n5 = 1. Logo, temos em G um subgrupo normal

de ordem 5.

Exemplo 2.16. Todo grupo G de ordem 30 possui um subgrupo normal de ordem 5. Temos que |G| = 2 · 3 · 5, logo G tem pelo menos um 3-subgrupo de Sylow de ordem 3 e 5-subgrupo de Sylow de ordem 5.

(28)

28 CAPÍTULO 2. OS TEOREMAS DE SYLOW Seja P um 3-subgrupo de Sylow de ordem 3 e Q um 5-subgrupo de Sylow de ordem 5. Vamos supor que P e Q não são normais em G, isso implica que n3 = 10 e n5 = 6. Como

P e Q são c´ıclicos, teremos, tirando os elementos neutros, 3 · 10 − 10 = 20 elementos em P e 6 · 5 − 6 = 24 elementos em Q. Assim, teremos 20 + 24 = 44, acrescentado o elemento neutro, totalizamos 45 elementos em G. Isto é um absurdo, pois |G| = 30. Logo, P ou Q são normais em G. Da´ı, podemos concluir que P Q é um subgrupo de ordem 15 em G. O ´ındice de P Q em G é 2, logo P Q é normal em G. Pelo Exemplo 2.14, P Q tem um 5-subgrupo de Sylow normal, logo P é normal em P Q. Sendo assim, P Q contém todos os conjugados de P . Se n5 = 6, então temos 6 · 5 = 30 elementos em P Q, tirando

os 5 elementos neutros que se repetem, temos 24 elementos distintos em P Q. Isto ´e um absurdo, pois |P Q| = 15. Assim n5 = 1 em G. Logo P normal em G, portanto G tem

um subgrupo normal de ordem 5.

Lema 2.17. Se um grupo G de ordem 60 tem pelo menos dois 5-subgrupos de Sylow, ent˜ao G ´e simples.

Demonstra¸c˜ao: Vamos supor por contradi¸c˜ao que |G| = 60 e n5 > 1, mas que existe um

subgrupo normal H de G, sendo H 6= {e} ou G.

Pelo Terceiro Teorema de Sylow sabemos que n5 ≡ 1(mod 5) e n5 | 22· 3 · 5. Ent˜ao, n5 = 1

ou n5 = 6. Temos que n5 não pode ser 1, pois n5 > 1 por hipótese, assim a única

possibi-lidade é n5 = 6. Se P é um 5-subgrupo de Sylow de G, então a ordem do normalizador de

P em G é igual a 10, já que, pela Proposi¸cão 1.40, |G| = |NG(P )| · n5 = |NG(P )| · 6 = 60,

lembrando que n5 = 6, significa que P possui 6 conjugados. Assim, se 5 divide a ordem de

H então H contém um 5-subgrupo de Sylow. Como H é normal, ele contém todos os con-jugados deste subgrupo. Assim, |H| ≤ 1 + 6 · 4 = 25, contando os 6 concon-jugados e tirando os elementos neutros que se repetem. Logo, a possibilidade que temos é |H| = 30. Isto leva a uma contradi¸cão, pois provou-se no Exemplo 2.16 que se um grupo tem ordem 30, então tem um 5-subgrupo de Sylow normal, da´ı único. Assim 5 n˜_{ao divide H para H E G.} Logo, podemos afirmar que não existem subgrupos normais em G de ordem 5, 10, 15, 20 e 30. Eliminando estas possibilidades, restam os casos em que H tem ordem 2, 3, 4, 6 e 12 para analisar. Se |H| = 2, 3, 4 ou 6, seja | ¯G| = |G/H|, então temos | ¯G| = 30, 20, 15 ou 10. Já sabemos que em cada caso ¯G tem um subgrupo normal ¯P de ordem 5. Considerando

(29)

29 a proje¸c˜ao canˆonica π : G 7−→ ¯G, temos que existe H1 ∈ G, tal que H1 = π−1( ¯P ). Assim

H1 E G pois, para todo h ∈ H1 e g ∈ G, temos π(ghg−1) = π(g) · π(h) · π(g)−1 ∈ ¯P ,

logo ghg−1 ∈ π−1_{( ¯}_{P ) = H}

1. Temos H1 6= G e 5 | |H1|, o que contradiz o que foi feito

anteriormente, logo G n˜ao possui subgrupos normais de ordem 2, 3, 4 e 6.

Se |H| = 12, então H tem um p-subgrupo de Sylow normal K de ordem 3 ou de ordem 4. Em qualquer um dos casos, temos que K é único em H, logo pela Proposi¸cão 1.27, K é caracter´ıstico em H. Como, por hip´_{otese, H E G, podemos concluir pela Proposi¸cão} 1.28, que K E G. Isto não é poss´ıvel, pois provamos acima que G não possui subgrupos normais de ordem 3 e 4. Assim G não possui subgrupos normais de ordem 12. Portanto

G ´e simples.

Munido deste lema, a prova de que A5 ´e um grupo simples ´e provada facilmente, como

veremos a seguir.

Proposi¸c˜ao 2.18. O grupo A5 ´e um grupo simples.

Demonstra¸cão: Os subgrupos h(12345)i = {(1), (12345), (13524), (14253), (15432)} e h(13245)i = {(1), (12534), (13245), (14352), (15423)} são distintos p-subgrupos de Sylow de A5, com ordem 5. Portanto, pelo Lema 2.17, A5 é simples.

(30)

Cap´ıtulo 3

Os Teoremas de Sylow e os Grupos

Infinitos

Neste cap´ıtulo, examinaremos em que medida os teoremas de Sylow são válidos para grupos infinitos, ou seja, vamos verificar se os teoremas já provados para grupos finitos, como visto no Cap´ıtulo 2 podem ser generalizados para grupos infinitos. Estudaremos, principalmente, a existência de p-subgrupos de Sylow em grupos infinitos. Seguiremos como referência Derek [RD].

Definimos um p-subgrupo de um grupo infinito como um subgrupo, em que todos os elementos tem ordem igual a pk_{, p um n´}_{umero natural primo. E um p-subgrupo de Sylow}

de um grupo infinito G ´e definido como um p-subgrupo maximal de G.

Em geral, se um grupo qualquer tem um p-subgrupo, então este grupo tem um p-subgrupo de Sylow. Este fato é garantido pelo Lema de Zorn, enunciado no Lema 3.1. Nem todo grupo infinito possui um p-subgrupo , como ´_{e o caso do grupo Z em que todos} os seus subgrupos tem ordem infinita, logo não possuem p-subgrupos de Sylow. Sem a existência de um p-subgrupo, pela defini¸cão, não é poss´ıvel discutirmos a existência de p-subgrupos de Sylow em tais grupos. Deste modo, os teoremas de Sylow não podem ser generalizados para todos os grupos infinitos.

Lema 3.1 (Lema de Zorn). Se em um conjunto X não vazio parcialmente ordenado todo subconjunto totalmente ordenado tem uma cota superior, então X contém um elemento

(31)

31 maximal.

Para entendermos melhor este teorema, precisamos entender as defini¸c˜oes encontra-das em seu enunciado, sobre conjuntos parcialmente e totalmente ordenados, elemento maximal e cota superior.

Defini¸cão 3.2. Uma rela¸cão ≤ entre os elementos de um conjunto X é uma rela¸cão de ordem parcial sobre X se as seguintes propriedades são satisfeitas:

(a) x ≤ x para todo x ∈ X (Propriedade reflexiva);

(b)x ≤ y e y ≤ x, com x, y ∈ X, implica em x = y (Propriedade antissim´etrica); (c)x ≤ y e y ≤ z, com x, y ∈ X, implica x ≤ z (Propriedade transitiva).

Neste caso, dizemos que X é um conjunto parcialmente ordenado pela rela¸cão ≤ definida. Defini¸cão 3.3. Uma rela¸cão de ordem total sobre um conjunto X é uma rela¸cão de ordem parcial ≤, em que para quaisquer x, y ∈ X temos ou x ≤ y ou y ≤ x.

E neste caso, dizemos que X é um conjunto totalmente ordenado pela rela¸cão ≤ definida. Exemplo 3.4. Seja A uma cole¸cão qualquer de conjuntos. A rela¸cão de inclusão é uma rela¸cão de ordem parcial sobre A.

Defini¸c˜ao 3.5. Seja A ⊆ X. Um elemento m ∈ X ´e uma cota superior para A se x ≤ m para todo x ∈ A.

Defini¸cão 3.6. Seja X um conjunto parcialmente ordenado pela rela¸cão ≤, um elemento x0 ∈ X é maximal se x0 ≤ x, para x ∈ X, implica em x = x0.

Agora, apresentaremos o teorema que traz a generaliza¸c˜ao da existˆencia de p-subgrupos de Sylow para qualquer grupo que tem pelo menos um p-subgrupo de Sylow.

Teorema 3.7. Seja G um grupo qualquer. Se G tem um p-subgrupo, ent˜ao G tem pelo menos um p-subgrupo de Sylow.

Demonstra¸c˜ao: Seja H um p-subgrupo de G e Ω = {N ; H ⊆ N e N p-subgrupo de G} o conjunto de todos os p-subgrupos de G contendo H. Como, utilizaremos o Lema de Zorn, ent˜ao devemos mostrar que:

(i) Ω é parcialmente ordenado. De fato, pela rela¸cão de inclusão, temos que Ω é parcial-mente ordenado pois, para todo A, B, C ∈ Ω, temos,

(32)

32 CAP´ITULO 3. OS TEOREMAS DE SYLOW E OS GRUPOS INFINITOS a) A ⊆ A,

b) se A ⊆ B e B ⊆ A, ent˜ao A = B, c) se A ⊆ B e B ⊆ C, temos A ⊆ C.

(ii) Seja {Nλ}, um subconjunto totalmente ordenado de Ω, com λ ∈ Γ, ent˜ao {Nλ} possui

uma cota superior. De fato, Nλ ⊆ S λ∈Γ

Nλ, para todo Nλ ∈ Ω, logo S λ∈Γ

Nλ ´e uma cota

superior para {Nλ}.

Portanto, pelo Lema de Zorn, Ω tem um elemento maximal, que ´e o maior dos p-subgrupos,

ou seja, G tem um p-subgrupo de Sylow.

Defini¸c˜ao 3.8. Um grupo G ´e dito finitamente gerado se existir um conjunto X ⊂ G finito tal que G = hXi.

Defini¸cão 3.9. Um grupo é localmente finito quando seus subgrupos finitamente gerados são finitos.

Proposi¸cão 3.10. Seja G um grupo localmente finito não trivial então G possui um p-subgrupo de Sylow.

Demonstra¸cão: Seja a ∈ G − {e}. Temos que H = hai é um subgrupo c´ıclico, então H é finito, logo |H| = n = (p1)n1 · ... · (pk)nk. Assim, pelo Primeiro Teorema de Sylow,

o Teorema 2.4, H tem um p-subgrupo P . Temos P ≤ H ≤ G, logo P tamb´em ´e um subgrupo de G. Portanto, pelo Teorema 3.7, G tem um p-subgrupo de Sylow.

Por esta proposi¸c˜ao, conclu´ımos que o Primeiro Teorema de Sylow pode ser gene-ralizado para os grupos localmente finitos. E no exemplo abaixo, apresentamos um p-subgrupo de Sylow em um grupo localmente finito.

Exemplo 3.11. Seja H a soma direta de um infinito enumer´avel de c´opias de S3. Temos

que H ´e o subgrupo do produto direto composto pelos elementosQ ai ∈ (S3× S3× ...S3×

...), em que apenas um número finito de ai não são o elemento neutro. Pela defini¸cão da

soma direta, vemos que G ´e um grupo localmente finito. Se ai ´e um elemento de ordem

2 no i-ésimo fator direto, então P = ha1i × ha2i × ha3i × ... é um 2-subgrupo de Sylow.

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33 observar que em S3, a ordem dos elementos δ, δσ, δσ2´e 2 e a ordem dos elementos σ, σ2´e 3.

Tomando um dos elementos aide ordem 2 em cada S3, temos que P = ha1i×ha2i×ha3i×...

´

e um 2-subgrupo de G, j´a que todos seus elementos tem ordem 2. Agora, qualquer subgrupo estritamente maior que P em G cont´em um elemento de ordem 3, pois colocando outro elemento em P , temos um elemento de ordem 3, pois os elementos σ, σ2_j´_{a tem ordem}

3 e colocando outro de ordem 2 temos um elemento de ordem 3, pelos c´alculos abaixo: δ · δσ = σ tem ordem 3;

δ · δσ2 _{= σ}2 _{tem ordem 3;}

δσ · δσ2 _{= δσσδ = δσ}2_{δ = δδσ = σ tem ordem 3.}

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Conclus˜

ao

Neste trabalho fizemos um estudo sobre os Teoremas de Sylow, mostrando a im-portância destes teoremas na classifica¸cão de grupos finitos. Apresentamos alguns exem-plos, onde os teoremas foram ferramentas fundamentais para verificar a simplicidade ou não de alguns grupos, como a demonstra¸cão de que A5 é um grupo simples.

Buscamos também, verificar se os teoremas de Sylow seriam válidos para grupos infi-nitos, estudando-os em grupos localmente finitos. Constatamos que p-subgrupos de Sylow sempre existem em qualquer grupo que possuem pelo menos um p-subgrupo. Já os outros teoremas, por exigir muitos outros resultados sobre grupos localmente finitos e produto livre, não apresentamos estudos espec´ıficos. Mas, em geral, falham para grupos infinitos, pelo fato dos p-subgrupos de Sylow não serem sempre conjugados em tais grupos. Uma demonstra¸cão desta afirma¸cão é feita por Derek [RD] na Se¸cão 14.3, utilizando o produto livre de p-grupos arbitrários. Nesta demonstra¸cão conclui-se que p-subgrupos de Sylow podem ter diferentes cardinalidades e portanto não são conjugados.

Em grupos localmente finitos, p-subgrupos de Sylow também não são sempre conju-gados. Mas há casos, mostrados por Derek [RD], que em um grupo G localmente finito, os p-subgrupos de Sylow são conjugados. Isto é válido, por exemplo, para os p-subgrupos de Sylow finitos em G.

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Referˆ

encias Bibliogr´

aficas

[CL] COELHO, Flávio; LOURENÇ O, Mary. Um Curso de Álgebra Linear. São Paulo: Edusp, 2005.

[RD] DEREK, Robinson. A Course in the Theory of Groups. Nova York: Springer Verlag, 1982.

[DF] DUMMIT, David; FOOTE, Richard. Abstract Algebra. John Wiley Sons, 2004. [GL] GARCIA, Aranaldo; LEQUAIN, Yves. Elementos de ´Algebra. Rio de Janeiro:

IMPA, 2006.

[AG] GONÇ ALVES, Adilson. Introdu¸cão à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. [PG] GRILLET, Pierre. Abstract Algebra. Nova York: Springer, 2007.