Neste cap´ıtulo, examinaremos em que medida os teoremas de Sylow s˜ao v´alidos para grupos infinitos, ou seja, vamos verificar se os teoremas j´a provados para grupos finitos, como visto no Cap´ıtulo 2 podem ser generalizados para grupos infinitos. Estudaremos, principalmente, a existˆencia de p-subgrupos de Sylow em grupos infinitos. Seguiremos como referˆencia Derek [RD].
Definimos um p-subgrupo de um grupo infinito como um subgrupo, em que todos os elementos tem ordem igual a pk, p um n´umero natural primo. E um p-subgrupo de Sylow
de um grupo infinito G ´e definido como um p-subgrupo maximal de G.
Em geral, se um grupo qualquer tem um p-subgrupo, ent˜ao este grupo tem um p- subgrupo de Sylow. Este fato ´e garantido pelo Lema de Zorn, enunciado no Lema 3.1. Nem todo grupo infinito possui um p-subgrupo , como ´e o caso do grupo Z em que todos os seus subgrupos tem ordem infinita, logo n˜ao possuem p-subgrupos de Sylow. Sem a existˆencia de um p-subgrupo, pela defini¸c˜ao, n˜ao ´e poss´ıvel discutirmos a existˆencia de p-subgrupos de Sylow em tais grupos. Deste modo, os teoremas de Sylow n˜ao podem ser generalizados para todos os grupos infinitos.
Lema 3.1 (Lema de Zorn). Se em um conjunto X n˜ao vazio parcialmente ordenado todo subconjunto totalmente ordenado tem uma cota superior, ent˜ao X cont´em um elemento
31 maximal.
Para entendermos melhor este teorema, precisamos entender as defini¸c˜oes encontra- das em seu enunciado, sobre conjuntos parcialmente e totalmente ordenados, elemento maximal e cota superior.
Defini¸c˜ao 3.2. Uma rela¸c˜ao ≤ entre os elementos de um conjunto X ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial sobre X se as seguintes propriedades s˜ao satisfeitas:
(a) x ≤ x para todo x ∈ X (Propriedade reflexiva);
(b)x ≤ y e y ≤ x, com x, y ∈ X, implica em x = y (Propriedade antissim´etrica); (c)x ≤ y e y ≤ z, com x, y ∈ X, implica x ≤ z (Propriedade transitiva).
Neste caso, dizemos que X ´e um conjunto parcialmente ordenado pela rela¸c˜ao ≤ definida. Defini¸c˜ao 3.3. Uma rela¸c˜ao de ordem total sobre um conjunto X ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial ≤, em que para quaisquer x, y ∈ X temos ou x ≤ y ou y ≤ x.
E neste caso, dizemos que X ´e um conjunto totalmente ordenado pela rela¸c˜ao ≤ definida. Exemplo 3.4. Seja A uma cole¸c˜ao qualquer de conjuntos. A rela¸c˜ao de inclus˜ao ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial sobre A.
Defini¸c˜ao 3.5. Seja A ⊆ X. Um elemento m ∈ X ´e uma cota superior para A se x ≤ m para todo x ∈ A.
Defini¸c˜ao 3.6. Seja X um conjunto parcialmente ordenado pela rela¸c˜ao ≤, um elemento x0 ∈ X ´e maximal se x0 ≤ x, para x ∈ X, implica em x = x0.
Agora, apresentaremos o teorema que traz a generaliza¸c˜ao da existˆencia de p-subgrupos de Sylow para qualquer grupo que tem pelo menos um p-subgrupo de Sylow.
Teorema 3.7. Seja G um grupo qualquer. Se G tem um p-subgrupo, ent˜ao G tem pelo menos um p-subgrupo de Sylow.
Demonstra¸c˜ao: Seja H um p-subgrupo de G e Ω = {N ; H ⊆ N e N p-subgrupo de G} o conjunto de todos os p-subgrupos de G contendo H. Como, utilizaremos o Lema de Zorn, ent˜ao devemos mostrar que:
(i) Ω ´e parcialmente ordenado. De fato, pela rela¸c˜ao de inclus˜ao, temos que Ω ´e parcial- mente ordenado pois, para todo A, B, C ∈ Ω, temos,
32 CAP´ITULO 3. OS TEOREMAS DE SYLOW E OS GRUPOS INFINITOS a) A ⊆ A,
b) se A ⊆ B e B ⊆ A, ent˜ao A = B, c) se A ⊆ B e B ⊆ C, temos A ⊆ C.
(ii) Seja {Nλ}, um subconjunto totalmente ordenado de Ω, com λ ∈ Γ, ent˜ao {Nλ} possui
uma cota superior. De fato, Nλ ⊆ S λ∈Γ
Nλ, para todo Nλ ∈ Ω, logo S λ∈Γ
Nλ ´e uma cota
superior para {Nλ}.
Portanto, pelo Lema de Zorn, Ω tem um elemento maximal, que ´e o maior dos p-subgrupos,
ou seja, G tem um p-subgrupo de Sylow.
Defini¸c˜ao 3.8. Um grupo G ´e dito finitamente gerado se existir um conjunto X ⊂ G finito tal que G = hXi.
Defini¸c˜ao 3.9. Um grupo ´e localmente finito quando seus subgrupos finitamente gerados s˜ao finitos.
Proposi¸c˜ao 3.10. Seja G um grupo localmente finito n˜ao trivial ent˜ao G possui um p-subgrupo de Sylow.
Demonstra¸c˜ao: Seja a ∈ G − {e}. Temos que H = hai ´e um subgrupo c´ıclico, ent˜ao H ´e finito, logo |H| = n = (p1)n1 · ... · (pk)nk. Assim, pelo Primeiro Teorema de Sylow,
o Teorema 2.4, H tem um p-subgrupo P . Temos P ≤ H ≤ G, logo P tamb´em ´e um subgrupo de G. Portanto, pelo Teorema 3.7, G tem um p-subgrupo de Sylow.
Por esta proposi¸c˜ao, conclu´ımos que o Primeiro Teorema de Sylow pode ser gene- ralizado para os grupos localmente finitos. E no exemplo abaixo, apresentamos um p- subgrupo de Sylow em um grupo localmente finito.
Exemplo 3.11. Seja H a soma direta de um infinito enumer´avel de c´opias de S3. Temos
que H ´e o subgrupo do produto direto composto pelos elementosQ ai ∈ (S3× S3× ...S3×
...), em que apenas um n´umero finito de ai n˜ao s˜ao o elemento neutro. Pela defini¸c˜ao da
soma direta, vemos que G ´e um grupo localmente finito. Se ai ´e um elemento de ordem
2 no i-´esimo fator direto, ent˜ao P = ha1i × ha2i × ha3i × ... ´e um 2-subgrupo de Sylow.
33 observar que em S3, a ordem dos elementos δ, δσ, δσ2´e 2 e a ordem dos elementos σ, σ2´e 3.
Tomando um dos elementos aide ordem 2 em cada S3, temos que P = ha1i×ha2i×ha3i×...
´
e um 2-subgrupo de G, j´a que todos seus elementos tem ordem 2. Agora, qualquer subgrupo estritamente maior que P em G cont´em um elemento de ordem 3, pois colocando outro elemento em P , temos um elemento de ordem 3, pois os elementos σ, σ2j´a tem ordem
3 e colocando outro de ordem 2 temos um elemento de ordem 3, pelos c´alculos abaixo: δ · δσ = σ tem ordem 3;
δ · δσ2 = σ2 tem ordem 3;
δσ · δσ2 = δσσδ = δσ2δ = δδσ = σ tem ordem 3.
Conclus˜ao
Neste trabalho fizemos um estudo sobre os Teoremas de Sylow, mostrando a im- portˆancia destes teoremas na classifica¸c˜ao de grupos finitos. Apresentamos alguns exem- plos, onde os teoremas foram ferramentas fundamentais para verificar a simplicidade ou n˜ao de alguns grupos, como a demonstra¸c˜ao de que A5 ´e um grupo simples.
Buscamos tamb´em, verificar se os teoremas de Sylow seriam v´alidos para grupos infi- nitos, estudando-os em grupos localmente finitos. Constatamos que p-subgrupos de Sylow sempre existem em qualquer grupo que possuem pelo menos um p-subgrupo. J´a os outros teoremas, por exigir muitos outros resultados sobre grupos localmente finitos e produto livre, n˜ao apresentamos estudos espec´ıficos. Mas, em geral, falham para grupos infinitos, pelo fato dos p-subgrupos de Sylow n˜ao serem sempre conjugados em tais grupos. Uma demonstra¸c˜ao desta afirma¸c˜ao ´e feita por Derek [RD] na Se¸c˜ao 14.3, utilizando o produto livre de p-grupos arbitr´arios. Nesta demonstra¸c˜ao conclui-se que p-subgrupos de Sylow podem ter diferentes cardinalidades e portanto n˜ao s˜ao conjugados.
Em grupos localmente finitos, p-subgrupos de Sylow tamb´em n˜ao s˜ao sempre conju- gados. Mas h´a casos, mostrados por Derek [RD], que em um grupo G localmente finito, os p-subgrupos de Sylow s˜ao conjugados. Isto ´e v´alido, por exemplo, para os p-subgrupos de Sylow finitos em G.