oquesaoalgoritmos

Como Descrever e Avaliar Algoritmos de

Computador

Talles Brito Viana

*Apresentac¸˜ao baseada na discuss˜ao apresentada em “Algorithms:Unlocked” de Thomas H. Cormen

Como descrever algoritmos?

Linguagens e abstrac¸ ˜oes

Qual o problema em usar linguagens de programac¸˜ao reais (Java, C, C++, Python, Pascal) para especificar algoritmos?

Se prender em detalhes e n˜ao perceber as ideias que fundamentam o algoritmo!

Optamos neste curso por utilizar uma linguagem de:

Em alguns momentos de “pseudoc´odigo”: parece uma mistura de v´arias linguagens.

Em outros momentos: baseada em linguagem natural e analogias com cen´arios do mundo real.

Como descrever algoritmos?

Linguagens e abstrac¸ ˜oes

Qual o problema em usar linguagens de programac¸˜ao reais (Java, C, C++, Python, Pascal) para especificar algoritmos?

Se prender em detalhes e n˜ao perceber as ideias que fundamentam o algoritmo!

Optamos neste curso por utilizar uma linguagem de:

Em alguns momentos de “pseudoc´odigo”: parece uma mistura de v´arias linguagens.

Em outros momentos: baseada em linguagem natural e analogias com cen´arios do mundo real.

Como descrever algoritmos?

Linguagens e abstrac¸ ˜oes

Qual o problema em usar linguagens de programac¸˜ao reais (Java, C, C++, Python, Pascal) para especificar algoritmos?

Se prender em detalhes e n˜ao perceber as ideias que fundamentam o algoritmo!

Optamos neste curso por utilizar uma linguagem de:

Em alguns momentos de “pseudoc´odigo”: parece uma mistura de v´arias linguagens.

Em outros momentos: baseada em linguagem natural e analogias com cen´arios do mundo real.

Pseudoc ´odigos e linguagem abstrata

O que s ˜ao?

N˜ao devemos descrever algoritmos para software ou hardware mas para “massacinzentaware”: aquilo que est´a entre suas orelhas!

Apesar disso, acredito que vocˆe ´e totalmente capaz de traduzir as descric¸˜oes em linguagem espec´ıfica e c´odigo compil´avel.

Descric¸ ˜oes de algoritmos

Conceitos recorrentes

Procedimentos (ou func¸˜oes): especificam algo a fazer.

Chamada de procedimento: para que o procedimento fac¸a algo devemos o chamar especificando uma entrada.

Retorno: se o procedimento produz algum resultado este deve ser retornado.

Exemplo

Elevar x a y

Algoritmo: Elevar (x, y)

Dados: Um valor x e um valor y ≥ 0 Resultado: O valor de xy

1 resposta←− 1;

2 para i ←− 1 at ´e y fac¸a

3 resposta←− resposta × x;

Exemplo

Elevar x a y

Algoritmo: Elevar (x, y)

Dados: Um valor x e um valor y ≥ 0 Resultado: O valor de xy

1 resposta←− 1;

2 para i ←− 1 at ´e y fac¸a

3 resposta←− resposta × x;

Arranjos

O que s ˜ao?

Um arranjo agrega dados do mesmo tipo em uma entidade. Cada elemento tem um ´ındice de uma entrada.

Em “massacinzentaware“ usualmente comec¸amos em 1. Um Arranjo de Livros ´Indice Livro 1 O C´odigo da Vinci 2 A Sombra do Vento 3 O Nome da Rosa 4 O Labirinto Perdido 5 O Iluminado

Nosso primeiro problema

e primeiro algoritmo que o resolva...

Como buscar um valor particular dentro de um Arranjo?

Analogia: imagine uma longa prateleira cheia de livros e gostar´ıamos de saber onde est´a um determinado livro. Restric¸˜oes:

Talvez os livros n˜ao estejam organizados de nenhum modo particular.

Itens podem estar repetidos mas gostar´ıamos de encontrar qualquer posic¸˜ao em que o livro procurado esteja. Tamb´em gostar´ıamos de saber caso o livro n˜ao esteja na prateleira.

Nosso primeiro problema

e primeiro algoritmo que o resolva...

Como buscar um valor particular dentro de um Arranjo? Analogia: imagine uma longa prateleira cheia de livros e gostar´ıamos de saber onde est´a um determinado livro.

Restric¸˜oes:

Talvez os livros n˜ao estejam organizados de nenhum modo particular.

Itens podem estar repetidos mas gostar´ıamos de encontrar qualquer posic¸˜ao em que o livro procurado esteja. Tamb´em gostar´ıamos de saber caso o livro n˜ao esteja na prateleira.

Nosso primeiro problema

e primeiro algoritmo que o resolva...

Como buscar um valor particular dentro de um Arranjo? Analogia: imagine uma longa prateleira cheia de livros e gostar´ıamos de saber onde est´a um determinado livro. Restric¸˜oes:

Talvez os livros n˜ao estejam organizados de nenhum modo particular.

Itens podem estar repetidos mas gostar´ıamos de encontrar qualquer posic¸˜ao em que o livro procurado esteja. Tamb´em gostar´ıamos de saber caso o livro n˜ao esteja na prateleira.

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Um lac¸o da forma ”Para i = 1 at´e n” executa n iterac¸˜oes e n + 1 testes. Al´em disso, i ´e incrementada n vezes.

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Um lac¸o da forma ”Para i = 1 at´e n” executa n iterac¸˜oes e n + 1 testes. Al´em disso, i ´e incrementada n vezes.

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Um lac¸o da forma ”Para i = 1 at´e n” executa n iterac¸˜oes e n + 1 testes. Al´em disso, i ´e incrementada n vezes.

Como caracterizar tempos de execuc¸ ˜ao?

e analisar algoritmos...

Precisamos caraterizar o tempo de execuc¸˜ao baseado no tamanho da entrada.

Presumimos que cada operac¸˜ao individual (aritm´etica, comparac¸˜ao, acesso `a vari´avel, chamada de procedimento) demora uma quantidade de tempo que ´e fixa e independente do tamanho da entrada.

Vamos dizer que a execuc¸˜ao da etapa i do algoritmo leva tempo ti, em que ti ´e uma constante que independente do tamanho da

Como caracterizar tempos de execuc¸ ˜ao?

e analisar algoritmos...

Precisamos caraterizar o tempo de execuc¸˜ao baseado no tamanho da entrada.

Presumimos que cada operac¸˜ao individual (aritm´etica, comparac¸˜ao, acesso `a vari´avel, chamada de procedimento) demora uma quantidade de tempo que ´e fixa e independente do tamanho da entrada.

Vamos dizer que a execuc¸˜ao da etapa i do algoritmo leva tempo ti, em que ti ´e uma constante que independente do tamanho da

Como caracterizar tempos de execuc¸ ˜ao?

e analisar algoritmos...

Precisamos caraterizar o tempo de execuc¸˜ao baseado no tamanho da entrada.

Presumimos que cada operac¸˜ao individual (aritm´etica, comparac¸˜ao, acesso `a vari´avel, chamada de procedimento) demora uma quantidade de tempo que ´e fixa e independente do tamanho da entrada.

Vamos dizer que a execuc¸˜ao da etapa i do algoritmo leva tempo ti, em que ti ´e uma constante que independente do tamanho da

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND} 2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:}

a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i,indo de 1a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i,indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao ajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Algoritmo: BUSCA-LINEAR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Ajustamos resposta para NOT-FOUND}

2 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜aoajuste resposta para o valor de i.

3 _{Retorne o valor de resposta como sa´ıda.}

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior

t1+ t2+ t02· (n + 1) + t200· n + t02a· n + t002a· 0 + t3

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t002a· n + t3

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior

t1+ t2+ t02· (n + 1) + t200· n + t02a· n + t002a· 0 + t3

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t002a· n + t3

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· 0 + t3= t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t3 = t1+ t2+ t02· n + t20 + t002 · n + t02a· n + t3= t0₂· n + t₂00· n + t02a· n + t1+ t2+ t₂0 + t3= (t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· 0 + t3= t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t3 = t1+ t2+ t02· n + t20 + t002 · n + t02a· n + t3= t0₂· n + t₂00· n + t02a· n + t1+ t2+ t₂0 + t3= (t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· 0 + t3= t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t3 = t1+ t2+ t02· n + t20 + t002 · n + t02a· n + t3= t0₂· n + t₂00· n + t02a· n + t1+ t2+ t₂0 + t3= (t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· 0 + t3= t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t3 = t1+ t2+ t02· n + t20 + t002 · n + t02a· n + t3= t0₂· n + t₂00· n + t02a· n + t1+ t2+ t₂0 + t3= (t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· 0 + t3= t₁+ t2+ t02· (n + 1) + t 00 2· n + t 0 2a· n + t3 = t1+ t2+ t02· n + t20 + t002 · n + t02a· n + t3= t0₂· n + t₂00· n + t02a· n + t1+ t2+ t₂0 + t3= (t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· n + t3= t₁+ t2+ t02· n + t 0 2+ t 00 2 · n + t 0 2a· n + t002a· n + t3 = t0₂· n + t00 2 · n + t02a· n + t002a· n + t1+ t2+ t02+ t3 = (t₂0 + t00₂+ t02a+ t002a) · n + (t1+ t2+ t0₂+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· n + t3= t₁+ t2+ t02· n + t 0 2+ t 00 2 · n + t 0 2a· n + t002a· n + t3= t0₂· n + t00 2 · n + t02a· n + t002a· n + t1+ t2+ t02+ t3 = (t₂0 + t00₂+ t02a+ t002a) · n + (t1+ t2+ t0₂+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· n + t3= t₁+ t2+ t02· n + t 0 2+ t 00 2 · n + t 0 2a· n + t002a· n + t3= t0₂· n + t00 2 · n + t02a· n + t002a· n + t1+ t2+ t02+ t3= (t₂0 + t00₂+ t02a+ t002a) · n + (t1+ t2+ t0₂+ t3)

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior t1+ t2+ t0₂· (n + 1) + t₂00· n + t02a· n + t002a· n + t3= t₁+ t2+ t02· n + t 0 2+ t 00 2 · n + t 0 2a· n + t002a· n + t3= t0₂· n + t00 2 · n + t02a· n + t002a· n + t1+ t2+ t02+ t3= (t₂0 + t00₂+ t02a+ t002a) · n + (t1+ t2+ t0₂+ t3)

Busca linear

Tempo de execuc¸ ˜ao: conclus ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior

(t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior

Busca linear

Tempo de execuc¸ ˜ao: conclus ˜ao

O tempo de execuc¸˜ao est´a em algum lugar entre o limite inferior (se x n˜ao estiver no arranjo):

Limite inferior

(t₂0 + t00₂+ t02a) · n + (t1+ t2+ t02+ t3)

e o limite superior (se todo valor de A[i] for igual a x):

Limite superior

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

Observe que ambos os limites s˜ao da forma an + b onde a e b s˜ao constantes.

O tempo de execuc¸˜ao de BUSCA-LINEAR ´e limitado por baixo e por cima por uma func¸˜ao linear.

Quando o tempo de execuc¸˜ao ´e limitado por baixo e por cima por uma func¸˜ao linear dizemos que o tempo de execuc¸˜ao ´e θ(n), isto ´e, “teta de n”.

Perdemos a precis˜ao ao descartar coeficientes constantes mas destacamos a ordem de crescimento do tempo de execuc¸˜ao.

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

Observe que ambos os limites s˜ao da forma an + b onde a e b s˜ao constantes.

O tempo de execuc¸˜ao de BUSCA-LINEAR ´e limitado por baixo e por cima por uma func¸˜ao linear.

Quando o tempo de execuc¸˜ao ´e limitado por baixo e por cima por uma func¸˜ao linear dizemos que o tempo de execuc¸˜ao ´e θ(n), isto ´e, “teta de n”.

Perdemos a precis˜ao ao descartar coeficientes constantes mas destacamos a ordem de crescimento do tempo de execuc¸˜ao.

Busca linear

Caracterizac¸ ˜ao de tempo de execuc¸ ˜ao

Observe que ambos os limites s˜ao da forma an + b onde a e b s˜ao constantes.

O tempo de execuc¸˜ao de BUSCA-LINEAR ´e limitado por baixo e por cima por uma func¸˜ao linear.

Quando o tempo de execuc¸˜ao ´e limitado por baixo e por cima por uma func¸˜ao linear dizemos que o tempo de execuc¸˜ao ´e θ(n), isto ´e, “teta de n”.

Perdemos a precis˜ao ao descartar coeficientes constantes mas destacamos a ordem de crescimento do tempo de execuc¸˜ao.

Notac¸ ˜ao θ

Definic¸ ˜ao

Notac¸ ˜ao θ

Para uma dada func¸˜ao g(n), denotamos por θ(g(n)) = {f (n) : existem constantes positivas c1, c2

e n0tais que

0 ≤ c1g(n) ≤ f (n) ≤ c2g(n) para

Otimizando a busca linear

Como melhorar o tempo de execuc¸ ˜ao?

Normalmente vocˆe continuaria a procurar um livro assim que o encontrasse na prateleira?

Podemos ajustar a busca linear de maneira que ela pare assim que encontrar o valor procurado.

Otimizando a busca linear

Como melhorar o tempo de execuc¸ ˜ao?

Normalmente vocˆe continuaria a procurar um livro assim que o encontrasse na prateleira?

Podemos ajustar a busca linear de maneira que ela pare assim que encontrar o valor procurado.

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao retorne o valor de i como sa´ıda.

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i,indo de 1a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao retorne o valor de i como sa´ıda.

2 _{Retorne NOT-FOUND como sa´ıda.}

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i,indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao retorne o valor de i como sa´ıda.

2 _{Retorne NOT-FOUND como sa´ıda.}

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao retorne o valor de i como sa´ıda.

2 _{Retorne NOT-FOUND como sa´ıda.}

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao retorne o valor de i como sa´ıda.

2 _{Retorne NOT-FOUND como sa´ıda.}

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜aoretorne o valor de icomo sa´ıda.

2 _{Retorne NOT-FOUND como sa´ıda.}

Busca linear melhorada

Algoritmo: BUSCA-LINEAR-MELHOR (A, n, x) Dados:

A: um arranjo.

n: o n´umero de elementos em A no qual procurar. x: o valor que buscamos.

Resultado: Um ´ındice i para o qual A[i] = x ou o valor especial

NOT-FOUND, que pode ser qualquer ´ındice

inv´alido no arranjo, por exemplo, 0 ou qualquer inteiro negativo.

1 _{Para cada ´ındice i, indo de 1 a n, em ordem:} a Se A[i] = x, ent˜ao retorne o valor de i como sa´ıda.

2 _{Retorne NOT-FOUNDcomo sa´ıda.}

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Qual a situac¸˜ao de melhor caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR?

O elemento x est´a na primeira posic¸˜ao, o algoritmo iterar´a apenas uma vez.

Qual a situac¸˜ao de pior caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR? Se o elemento x n˜ao estiver no arranjo, o algoritmo iterar´a todas as n vezes.

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Qual a situac¸˜ao de melhor caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR?

O elemento x est´a na primeira posic¸˜ao, o algoritmo iterar´a apenas uma vez.

Qual a situac¸˜ao de pior caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR? Se o elemento x n˜ao estiver no arranjo, o algoritmo iterar´a todas as n vezes.

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Qual a situac¸˜ao de melhor caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR?

O elemento x est´a na primeira posic¸˜ao, o algoritmo iterar´a apenas uma vez.

Qual a situac¸˜ao de pior caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR?

Se o elemento x n˜ao estiver no arranjo, o algoritmo iterar´a todas as n vezes.

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Qual a situac¸˜ao de melhor caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR?

O elemento x est´a na primeira posic¸˜ao, o algoritmo iterar´a apenas uma vez.

Qual a situac¸˜ao de pior caso para BUSCA-LINEAR-MELHOR? Se o elemento x n˜ao estiver no arranjo, o algoritmo iterar´a todas as n vezes.

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

e o limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

t1+ t10 · (n + 1) + t001· n + t01a· n + t2=

t1+ t₁0 · n + t0₁+ t00₁· n + t01a· n + t2 =

t0₁· n + t₁00· n + t0_1a· n + t₁+ t0₁+ t2 =

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

e o limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

t1+ t10 · (n + 1) + t001· n + t01a· n + t2=

t1+ t₁0 · n + t0₁+ t00₁· n + t01a· n + t2 =

t0₁· n + t₁00· n + t0_1a· n + t₁+ t0₁+ t2 =

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

e o limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

t1+ t10 · (n + 1) + t001· n + t01a· n + t2=

t1+ t₁0 · n + t0₁+ t00₁· n + t01a· n + t2 =

t0₁· n + t₁00· n + t0_1a· n + t₁+ t0₁+ t2 =

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

e o limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

t1+ t10 · (n + 1) + t001· n + t01a· n + t2=

t1+ t₁0 · n + t0₁+ t00₁· n + t01a· n + t2 =

t0₁· n + t₁00· n + t0_1a· n + t₁+ t0₁+ t2 =

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

e o limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

t1+ t10 · (n + 1) + t001· n + t01a· n + t2=

t1+ t₁0 · n + t0₁+ t00₁· n + t01a· n + t2 =

t0₁· n + t₁00· n + t0_1a· n + t₁+ t0₁+ t2 =

Otimizando a busca linear

Custo da situac¸ ˜ao de melhor caso

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

O tempo de execuc¸˜ao do melhor caso ´e constante por quˆe? Especificamente nesta situac¸˜ao de melhor caso:

O tempo de execuc¸˜ao est´a dentro de um fator constante. O tempo de execuc¸˜ao ´e uma constante que n˜ao depende de n.

Otimizando a busca linear

Custo da situac¸ ˜ao de melhor caso

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

O tempo de execuc¸˜ao do melhor caso ´e constante por quˆe?

Especificamente nesta situac¸˜ao de melhor caso:

O tempo de execuc¸˜ao est´a dentro de um fator constante. O tempo de execuc¸˜ao ´e uma constante que n˜ao depende de n.

Otimizando a busca linear

Custo da situac¸ ˜ao de melhor caso

O tempo de execuc¸˜ao est´a entre o limite inferior (quando A[1] = x ):

Limite inferior

t1+ t10 + t01a+ t001a

O tempo de execuc¸˜ao do melhor caso ´e constante por quˆe? Especificamente nesta situac¸˜ao de melhor caso:

O tempo de execuc¸˜ao est´a dentro de um fator constante. O tempo de execuc¸˜ao ´e uma constante que n˜ao depende de n.

Otimizando a busca linear

Custo da situac¸ ˜ao de pior caso

O tempo de execuc¸˜ao tem o seguinte limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

(t0₁+ t00₁+ t01a) · n + (t1+ t10 + t2)

O tempo de execuc¸˜ao do pior caso depende de n por quˆe?

Especificamente nesta situac¸˜ao de pior caso:

Otimizando a busca linear

Custo da situac¸ ˜ao de pior caso

O tempo de execuc¸˜ao tem o seguinte limite superior (se x n˜ao estiver presente):

Limite superior

(t0₁+ t00₁+ t01a) · n + (t1+ t10 + t2)

O tempo de execuc¸˜ao do pior caso depende de n por quˆe? Especificamente nesta situac¸˜ao de pior caso:

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Podemos dizer que BUSCA-LINEAR-MELHOR ´e constante para todas as entradas a qual est´a sujeito?

Podemos dizer que BUSCA-LINEAR-MELHOR depende linearmente de n para todas as entradas a qual est´a sujeito?

N˜ao podemos dizer que o tempo de execuc¸˜ao para qualquer entrada ´e θ(n) pois, no melhor caso ´e constante.

N˜ao podemos dizer que o tempo de execuc¸˜ao para qualquer entrada ´e θ(1) pois, no pior caso depende linearmente de n.

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Podemos dizer que BUSCA-LINEAR-MELHOR ´e constante para todas as entradas a qual est´a sujeito?

Podemos dizer que BUSCA-LINEAR-MELHOR depende linearmente de n para todas as entradas a qual est´a sujeito? N˜ao podemos dizer que o tempo de execuc¸˜ao para qualquer entrada ´e θ(n) pois, no melhor caso ´e constante.

N˜ao podemos dizer que o tempo de execuc¸˜ao para qualquer entrada ´e θ(1) pois, no pior caso depende linearmente de n.

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Todavia, podemos dizer que uma func¸˜ao linear de n ´e um limite superior para todos os casos de entrada tal que

BUSCA-LINEAR-MELHOR est´a sujeito. Para isto utiliza-se a notac¸˜ao O (Big O).

Logo, podemos dizer que o tempo de execuc¸˜ao de BUSCA-LINEAR-MELHOR ´e O(n), isto ´e “O de n”.

Notac¸ ˜ao O

Definic¸ ˜ao

Notac¸ ˜ao O

Para uma dada func¸˜ao g(n), denotamos por O(g(n)) = {f (n) : existem constantes positivas c e n0

tais que 0 ≤ f (n) ≤ cg(n) para todo n ≥ n0}

Otimizando a busca linear

Custo da vers ˜ao melhorada

Al´em disso, podemos dizer que uma func¸˜ao constante ´e um limite inferior para todos os casos de entrada tal que BUSCA-LINEAR-MELHOR est´a sujeito.

Para isto utiliza-se a notac¸˜ao Ω (ˆomega).

Logo, podemos dizer que o tempo de execuc¸˜ao de

Notac¸ ˜ao Ω

Definic¸ ˜ao

Notac¸ ˜ao Ω

Para uma dada func¸˜ao g(n), denotamos por Ω(g(n)) = {f (n) : existem constantes positivas c e n0

tais que 0 ≤ cg(n) ≤ f (n) para todo n ≥ n0}

Conclus ˜oes

Notac¸ ˜oes θ, O e Ω

BUSCA-LINEAR ´e θ(n).

BUSCA-LINEAR-MELHOR ´e O(n) e Ω(1).

θ, O e Ω s˜ao notac¸˜oes assint´oticas.

θ, O e Ω capturam o crescimento de uma func¸˜ao quando o seu argumento n aproxima-se de infinito.

Podemos assim descartar detalhes tediosos e focalizar no crescimento da func¸˜ao.

Conclus ˜oes

Notac¸ ˜oes θ, O e Ω

BUSCA-LINEAR ´e θ(n).

BUSCA-LINEAR-MELHOR ´e O(n) e Ω(1). θ, O e Ω s˜ao notac¸˜oes assint´oticas.

θ, O e Ω capturam o crescimento de uma func¸˜ao quando o seu argumento n aproxima-se de infinito.

Podemos assim descartar detalhes tediosos e focalizar no crescimento da func¸˜ao.

Crescimento de func¸ ˜oes

Crescimento de func¸ ˜oes

Crescimento de func¸ ˜oes

Crescimento de func¸ ˜oes

Crescimento de func¸ ˜oes

Crescimento de func¸ ˜oes