ESTUDO MATEMÁTICO TRIDIMENSIONAL APLICADO À SECAGEM E AQUECIMENTO DE TIJOLOS CERÂMICOS

ESTUDO MATEMÁTICO TRIDIMENSIONAL APLICADO À SECAGEM E AQUECIMENTO DE TIJOLOS CERÂMICOS

J. J. S. Nascimento1,F. A. Belo2, T. L. C. C. Novaes1 e A. G. B. de Lima1

(1)Departamento de Engenharia Mecânica, CCT, Universidade Federal de Campina Grande (UFCG), P.O. Caixa Postal 10069, Cep

58109-970, Campina Grande-PB, Brasil. E-mail: jefferson@dem.ufcg.edu.br

(2) Departamento de Tecnologia Mecânica, CT, Universidade Federal da Paraíba (UFPB), Cep 58059-900, João Pessoa-PB, Brasil. E-mail: belo@les.ufpb.br

RESUMO

Apresenta-se neste trabalho um estudo tridimensional transiente aplicado à secagem e aquecimento de tijolos cerâmicos. Neste sentido a solução analítica é resolvida com propriedades termofísicas constantes e condição de contorno convectiva. Resultados da variável adimensional(massa ou temperatura) no interior do sólido são mostrados e analisados.

Palavras-chave: Difusão, Secagem, Aquecimento, Cerâmica

INTRODUÇÃO

A secagem é um processo termodinâmico que ocorre com simultânea transferência de calor e massa incluindo variações dimensionais. Durante o processo de secagem dos tijolos de argila ocorre significativas alterações da temperatura e umidade no interior dos mesmos, que geram tensões termomecânicas e que dependendo de sua intensidade, podem causar trincas e deformações, reduzindo a qualidade a qualidade do produto final. Soluções analíticas da equação

da equação de difusão para esferas, cilindros, placas e paralelepípedos são reportadas por (1), (2), (3), (4), para esferóides prolatos podemos mencionar os trabalhos de (5) e (6), no entanto, existem poucos resultados científicos obtidos apartir de geometrias tridimensionais, neste sentido este trabalho é original. Ao se considerar geometrias uni e bidimensionais para descrever processos tridimensionais, algumas discrepâncias, na cinética de secagem e distribuição do teor de umidade e temperatura no interior do sólido são encontradas, quando comparadas com resultados experimentais. O objetivo da presente pesquisa é desenvolver da equação de difusão transiente aplicada a sólidos paralelepípedos considerando propriedades termofísicas constantes e condição de contorno convectiva.

MODELAGEM MATEMÁTICA

Para simplificar a modelagem matemática as seguintes considerações foram adotadas:

• As propriedades termofísicas são constantes; • Sem geração interna de calor;

• O sólido é homogêneo e isotrópico;

• A distribuição da variável é uniforme no início do processo; • A condição de contorno é do tipo convectiva;

• Alterações do volume do sólido são omitidas.

R2 y x z R2 R1 R3 R3 R1 O

A figura 1 apresenta o sólido paralelepípedo de dimensões 2R1x2R2x2R3. A equação diferencial parcial que descreve o fenômeno de difusão pode ser escrita da seguinte forma: '' ' ) .( t ) ( Φ + Φ ∇ Γ ∇ = ∂ Φ ξ ∂ _Φ (A)

Na equação (A), ξ=ρ ; Φ=M; para massa, onde , M e D são respectivamente a densidade, teor de umidade e coeficiente de difusão do sólido, enquanto para temperatura,

D ρ = ΓΦ ρ p c ρ = ξ ;Φ=T; ΓΦ =k, onde , T e k representa o calor especifico, temperatura e condutividade térmica do sólido respectivamente.

é a geração de massa ou energia.

p

c

'' ' Φ

De acordo com a figura 1, devido a simetria que existe , é considerado apenas 1/8 do volume do sólido. Sendo a condição inicial, de simetria e de contorno para o problema dadas da seguinte forma:

Condição Inicial: o ) 0 t , z , y , x ( = =Φ Φ (B) Condição de Simetria: 0 z ) t , z , y , x ( y ) t , z , y , x ( x ) t , z , y , x ( ₌ ∂ Φ ∂ Γ − = ∂ Φ ∂ Γ − = ∂ Φ ∂ Γ − Φ Φ Φ , in x=0,y=0,z=0 and t>0 (C)

Condições de contorno superficiais:

] ) t , z , y , x ( [ h x ) t , z , y , x ( ∞ Φ _{= Φ −Φ} ∂ Φ ∂ Γ − in t>0 and x = R1 (D)

] ) t , z , y , x ( [ h y ) t , z , y , x ( ∞ Φ _{= Φ −Φ} ∂ Φ ∂ Γ − in t>0 and y = R2 (E) ] ) t , z , y , x ( [ h y ) t , z , y , x ( ∞ Φ _{= Φ −Φ} ∂ Φ ∂ Γ − in t>0 and z = R3 (F)

Onde Φ_∞ representa a temperatura do ar para Φ=Tou teor de umidade de equilíbrio para Φ=M

A solução da equação de difusão tridimensional transiente, com as condições de contorno especificadas é obtida pela solução de problemas unidimensionais em coordenadas cartesianas aplicadas a placas infinitas, cuja intersecção forma o paralelepípedo (1). Realizando uma sequência de procedimentos matemáticos a solução geral do problema proposto é dada por:

t ] [ 3 k 2 m 1 n 3 k 2 m 1 n m1k1 1 n * 2 3 k 2 2 m 2 1 n e ) z ( Cos ) y ( Cos ) x ( Cos A A A ) t , z , y , x ( ξ Γ β + β + β − ∞ = ∞ = ∞ = Φ β β β = Φ

∑∑ ∑

As constantes Aij mostradas abaixo, são obtidas usando a condição inicial e a propriedade de ortogonalidade das funções trigonométricas:

) R ( Cos ) R ( Sen R ) R ( Sen 2 A 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 n _{β + β β} β = ) R ( Cos ) R ( Sen R ) R ( Sen 2 A 2 2 m 2 2 m 2 2 m 2 2 m 2 m _{β + β β} β = ) 3 R ( Cos ) R ( Sen R ) R ( Sen 2 A 3 k 3 3 k 3 3 k 3 3 k 3 k _{β + β β} β =

Os valores da equação (G) são as raízes da equação transcendental dada abaixo: ij β 1 i B 1 R 1 n ) 1 R 1 n ( Cotg β =β (H) 2 i B 2 R 2 m ) 2 R 2 m ( Cotg β =β (I) 3 i B 3 R 3 k ) 3 R 3 k ( Cotg β = β (J) Onde k j R j h j i

B = _{é o numero de Biot para a face j do sólido.}

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Para demonstrar o mérito da metodologia apresentada, relativo a uso e limitações, selecionou-se, para ilustrar, um problema de difusão de calor num paralelepípedo (tijolo refratário) de dimensões (R₁xR₂xR₃)0,100x0,045x0,025 m3, para que uma solução exata pudesse ser obtida, e servir para validar a metodologia numérica, que será discutida nos itens posteriores.

A Norma Técnica EB-19 estabelece dois tamanhos 2R1x2R2x2R3 para tijolo cheio ou maciço: (0,240+5)x(0,115+2)x(0,052+2) m3 e (0,200+5)x(0,045+ 2)x(0,053+2) m3, mas nem sempre é obedecida pelas olarias (7). As propriedades termofísicas do material são: ρ=2100(kg/m3), k=1,13k

(

)

e difusividade térmica de 4,48x10^-7 m

(

p

c =

)

A solução analítica foi usada para a análise do problema sob o ponto de vista de transferência de calor ou massa.

Os resultados foram obtidos de forma adimensional utilizando o programa computacional desenvolvido no ambiente Mathematica®, considerando diferentes valores para o número de Biot, nos vários planos analisados.

Um decréscimo das variáveis adimensionais (temperatura ou massa) durante o processo transiente para os diversos instantes de tempo e em qualquer posição (z, y) ou (x, y) é observada, logo a temperatura do tijolo tende a igualar-se à temperatura do ambiente de secagem e a massa tende ao equilíbrio.

A análise das figuras 4.1, 4.2 e 4.3 evidencia mudanças significativas nos gradientes das variáveis adimensionais (temperatura ou massa) nos planos zy (x=0.000m) e xy (z=0.045m). Em uma análise comparativa entre as figuras citadas, nota-se que os maiores gradientes no interior do sólido estão associados, em qualquer instante de tempo, ao aumento do numero de Biot. Neste sentido é evidente que a velocidade de aquecimento e de secagem não são uniformes por todo o tijolo e, nesse caso, se o processo não for controlado adequadamente, pode ocorrer intensas deformações não uniformes, onde a partir delas podem surgir danos estruturais que afetam a qualidade do produto final.

As figuras 4.1, 4.2 e 4.3 também evidenciam que as regiões de maior aquecimento ou maior perda de água, sob o aspecto da secagem, estão situadas nos vértices do sólido e particularmente no plano z = 0.045m. A região citada é a primeira a sofrer retração produzindo uma redução nas dimensões do tijolo e conseqüentemente do seu volume. Quando esta camada exterior se contrai, os poros do sólido também, dificultando a saída de água. A saída de água sendo restringida gera tensões de sentido contrário entre as camadas externa e interna, e quanto maiores forem essas tensões, maiores os riscos do aparecimento de deformações e trincas (8), (9), (10), (11). As trincas ocorrem quando a tensão de cisalhamento excede a tensão de cisalhamento máxima do material, as maiores tensões (compressão) ocorrem na superfície do material que é uma região mais frágil. Já no interior do sólido existem tensões de tração (12), (13), (14).

Uma secagem prévia controlada é de grande importância. Se a secagem não for uniforme, aparecerão distorções nas peças, mas se for muito lenta a produção tornar-se-á antieconômica. Para se ter uma secagem uniforme (gradientes de temperatura e umidade minimizados) é importante moderar adequadamente a intensidade da secagem. Essa moderação é realizada pelo controle das velocidades umidade relativa, temperatura do ar de secagem, forma do corpo, particularmente a

relação área/volume e a porosidade do material. Para se ter uma idéia, argilas maleáveis perdem a secagem cerca de 5 a 8% do seu volume, enquanto que as menos maleáveis cerca de 3 a 5% dependendo da granulométrica das partículas de argila. No entanto, betonite, por exemplo, que é uma argila bastante maleável, de grão muito fino (baixa porosidade), chega a perder de 10 a 15% do seu volume. Uma discussão detalhada dos defeitos em materiais cerâmicos oriundos do processo de secagem pode ser encontrada na literatura recente (15).

0 .0 0 0 0.050 0.100 0.150 0.200 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500 0.525 0.550 0.600 0.650 0.700 0.750 0.800 0.850 0.900 0.950 1.000 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 Z(m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y(m) a) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040 0.045 Z(m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y( m) b)

Figura 4.1– Perfis Bidimensionais Mostrando os Gradientes de Temperatura no PlanoZ=0,045m, B i= 5,0 nos tempos: a) t_c =50s b) c) t_c =500s.

0 .0 0 0 0. 0 5 0 0. 1 0 0 0. 1 5 0 0. 2 0 0 0. 2 5 0 0. 3 0 0 0. 3 5 0 0. 4 0 0 0. 4 5 0 0. 5 0 0 0. 5 2 5 0. 5 5 0 0. 6 0 0 0. 6 5 0 0. 7 0 0 0. 7 5 0 0. 8 0 0 0. 8 5 0 0. 9 0 0 0. 9 5 0 1. 0 0 0 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 X (m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y ( m ) a) 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 X (m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y (m) b) 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 X (m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y (m ) c) 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 X (m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y (m ) d)

Figura 4.3 – Perfis Bidimensionais Mostrando os Gradientes de Temperatura no

PlanoZ=0,0450m, Bi = 2,0, nos Tempos: a) b) c) d)

. s 50 c t = t_c =200s t_c =500s s 1800 c t =

0 .0 0 0 0.0 5 0 0.1 0 0 0.1 5 0 0.2 0 0 0.2 5 0 0.3 0 0 0.3 5 0 0.4 0 0 0.4 5 0 0.5 0 0 0.5 2 5 0.5 5 0 0.6 0 0 0.6 5 0 0.7 0 0 0.7 5 0 0.8 0 0 0.8 5 0 0.9 0 0 0.9 5 0 1.0 0 0 0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 X(m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y(m) a) 0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 X(m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y( m) b) 0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 X(m) 0.000 0.010 0.020 Y( m ) c) 0.000 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 X(m) 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 Y( m) d)

Figura 4.2– Perfis Bidimensionais Mostrando os Gradientes de Temperatura no PlanoZ=0,045m, B i= 10,0 nos Tempos: a) t_c =50sb) t_c =200sc) t_c =500sd)

s 1800 c

t =

Do ponto de vista industrial, pode-se afirmar que o controle das propriedades termodinâmicas e velocidade do ar de secagem conduzem a um produto industrial de qualidade aceitável comercialmente.

O controle dos parâmetros de secagem gera como conseqüência o controle dos coeficientes de transferência convectiva de calor e massa na superfície do sólido.

De uma forma geral, como os resultados são adimensionais, estes também podem ser usados para estudos sob o ponto de vista de resfriamento e umidificação.

REFERÊNCIAS

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Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico), por financiamento de projeto associado a este trabalho.

THREE-DIMENSIONAL MATHEMATICAL STUDY APPLIED TO THE DRYING AND HEATING OF CERAMIC BRICKS

ABSTRACT

This work presents a study transient three-dimensional applied to the drying or heating of ceramic bricks. In this sense, the analytical solution is solved considering constant physical properties, convective boundary conditions and without shrinkage. Results of the variable dimensionless (mass or temperature) inside the solid are shown and analyzed.