Boxe Desafio
PÁGINA 136A área do polígono regular da figura pode ser calcula-da multiplicando-se o semiperímetro s do polígono pelo raio r da circunferência nele inscrita.
r a a a a a a a Apolígono r s
Qual é a justificativa para esse cálculo?
O polígono pode ser decomposto em n triângulos con-gruentes, onde n é o número de lados do polígono regu-lar, como mostra a figura.
Analisando um desses triângulos, nota-se que a medida a do lado do polígono e o raio r da circunferência inscri-ta são, respectivamente, a base e a altura do triângulo, logo
Atriângulo a r ____ 2 . Como os triângulos são congruentes,
pode-se determinar a área do polígono multiplicando a área de um triângulo pela quantidade n de triângulos ge-rados pela decomposição, isto é:
Apol n a r _______ 2 V Apol r n a _____ 2 .
Observando que o semiperímetro s é igual a n a _____ 2 , tem-se Apol r s.
Atividades para classe
PÁGINA 1381 Calcule as áreas das seguintes regiões poligonais. a) 6 4 10 c) 10 8 12 b) 6 4 7 5 3 d) 7 12 6 5 a) A ___________ (4 6) 102 V A 10 10 ______ 2 V A 50 b) A ______________ (3 4 5) 62 (3 4 5) 7______________ 2 V V A 12 6 _____ 2 _____ 12 7 2 V A 36 42 V A 78 c) A 12 8 _____ 2 V A 48
d) A figura pode ser decomposta em dois triângulos, sendo um de base 7 e altura 6 e outro de base 5 e altura 12. Logo, tem-se:
A 7 6 _____ 2 5 12 _____ 2 ___ 42 2 60 ___ 2 21 30 V A 51
Módulo 1: Áreas de regiões poligonais 2 Em cada item abaixo está indicado o nome do
po-lígono e algumas medidas. Determine a área de cada polígono. a) triângulo c) losango 6 8 20 32 b) retângulo d) paralelogramo 35 37 15 12 a) A 8 6 _____ 2 V A 24
b) Seja h a altura do retângulo. Pelo teorema de Pi-tágoras, tem-se:
h2 352 372V h2 1 225 1 369 V
V h2 1 369 1 225 V h2 144 V
V h 6 d XXXX 144 V h 612
Como o valor de h não pode ser negativo, h 12. Assim:
A 35 12 V A 420
c) Seja d a medida da diagonal menor do losango. Pelo teorema de Pitágoras tem-se:
@
d __ 2#
2 162 202V d___ 24 256 400 V V d___ 4 400 256 V 2 ___ d4 144 V2 V d2 144 4 V d2 576 V
V d 6 d XXXX 576 V d 624
Como d não pode ser negativo, então: A 32 24 _______ 2 V A 384
d) A 15 12 V A 180
3 Em cada caso é dado um polígono e a área da re-gião por ele delimitada. Determine o valor das in-cógnitas. a) retângulo c) trapézio x � 2 48 cm2 x 4x 4 112 cm2 x b) triângulo d) quadrado x � 4 x � 2 20 cm2 441 cm2 x
a) (x 2) x 48 V x2 2x 48 V
V x2 2x 48 0
Resolvendo a equação do 2o grau, tem-se:
d 22 4 1 (48) V d 4 192 V d 196
x 2 __________ 2 1 6 d XXXX 196 V x 2 6 14 ________ 2 V x1 6 e x2 8
Como o valor de x não pode ser negativo, tem-se x 6 cm. b) (x 2) (x 4)_______________ 2 20 V V x2 4x 2x 8 20 2 V V x2 2x 8 40 V V x2 2x 8 40 0 V V x2 2x 48 0
Resolvendo a equação, tem-se: x1 8 e x2 6. O
valor de x não pode ser negativo, então x 8 cm. c) (4x 4) x___________ 2 112 V 4x2 4x 112 2 V
V 4x2 4x 224 V 4x2 4x 224 0
Resolvendo a equação, tem-se: x1 7 e x2 8.
Logo, x 7 cm.
d) x2 441 V x 6 d XXXX 441 V x 621. Então,
x 21 cm.
4 Calcule o que é pedido em cada item. a) A área de um quadrado de diagonal 12 cm. Seja L o lado do quadrado. Pelo teorema de
Pi-tágoras tem-se 12 L d XX 2 V L 12 ___ d XX 2 . A área do quadrado é A
@
12 ___ d XX 2#
2 V A 12_____ ( 2 d XX 2 )2 V V A 144 ____ 2 V A 72 cm2.b) A área de um triângulo equilátero de perímetro 24 cm.
3 L 24 V L 24 ___ 3 V L 8 cm.
A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos, de onde é possível calcular altura pelo teorema de Pitágoras:
82 42 h2 V h2 64 16 48 V
V h d XXX 48 d XXXXXX 16 3 4 d XX 3
A área do triângulo é A b h _____ 2 V A _______ 8 4 2 d XX 3 V V A _____ 32 2 V A 16 d XX 3 d XX 3 cm2.
c) O lado de um triângulo equilátero de área 9 d XX 3 cm2.
Seja L o lado do quadrado. Sua altura h é calcula-da pelo teorema de Pitágoras:
L2
@
L __2
#
2
h2V h2 3L___ 2
4 V h L ____ d 2 XX 3 Assim, a área do triângulo é dada por: A L L d XX 3 ____ 2 _______ 2 L2d XX 3 ____ 4 9 d XX 3 V L2d XX 3 4 9 d XX 3 V V L2d XX 3 36 d XX 3 V L2 _____ 36 d XX 3 d XX 3 L2 36 V L 6 d XXX 36 V L 66 cm Portanto, L 6 cm.
d) A área de um triângulo equilátero de altura 6 cm. h L____ d 2 V 6 XX 3 L____ d 2 V L 3 XX d XX 3 6 2 V V L 12 ___ d XX 3 . A área do triângulo é: A 12 ___ d XX 3 6 ______ 2 V A ____ 72 2 d XX 3 V A 36 d XX 3 _____ 3 V V A 12 d XX 3 cm2.
5 Uma fábrica produz peças de cerâmica com as se-guintes formas e dimensões.
a) retângulo c) paralelogramo 17 8 4 5 10 b) losango d) trapézio 120° 6 15 7 16
a) Seja b a base do retângulo. Por Pitágoras tem-se: b2 82 172V b2 64 289 V
V b2 289 64 V b 6 d XXXX 225 V b 615. Logo,
b 15 cm.
A 15 8 V A 120 cm2
b) Dividindo o losango em dois triângulos, um superior e outro inferior, a área de cada triângulo será 1 __ 2 6 6 sen 120o. Assim, a área do losango é:
A 2 1 __ 2 6 6 sen 120° V A 36 ___ d XX 3 2 V V A 18 d XX 3 cm2 c) A 10 4 V A 40 cm2
d) Calculando a altura do trapézio por Pitágoras: h2 (16 7)2 152 V h2 92 152 V V h2 152 92 V h2 225 81 V V h2 144 V h 6 d XXXX 144 V V h 612 cm, logo h 12 cm. A (B b) h__________ 2 V A ___________ (16 7) 122 V V A 23 · 6 V A 138 cm2
6 Calcule a área do quadrado ABCD em cada caso.
a) C B
A D
A C D B R S Q P
a) Por Pitágoras: 14 L d XX 2 V L 14 ___ d XX 2 . A área do qua-drado é, portanto:
A
@
14 ___d XX 2
#
2
V A 196 ____ 2 V A 98 cm2.
b) Considerando x o lado do quadrado ABCD e y o lado do quadrado PQRS, tem-se: y2 36 V
V y 6 d XXX 36 V y 66. Como y é o lado do qua-drado PQRS, o valor negativo não convém, logo y 6 cm. Note que o triângulo APQ é retângulo em A, de forma que pelo teorema de Pitágoras tem-se:
@
__ x 2#
2 @
__ x 2#
2 62V x__ 2 4 x 2 __ 4 36 V V 2x____ 4 36 V x2 2 4 36 ______ 2 VV x 6 d XXX 72 . O valor negativo não convém, logo x d XXX 72 cm. Assim, A ( d XXX 72 )2 V A 72 cm2. 7 Calcule as áreas dos triângulos.
a) 15 cm 18 cm 15 cm c) 10 cm 10 cm 10 cm b) 20 cm 16 cm d) 13 cm 14 cm 15 cm
a) Seja s o semiperímetro do triângulo,
s 15 15 18 ____________ 2 V s 48 ___ 2 V s 24 cm. Pela fórmula de Herão, tem-se:
A d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 24 (24 15) (24 15) (24 18) V V A d XXXXXXXXXXXX 24 9 9 6 V A d XXXXXX 11 664 V V A 108 cm2.
b) h2 162 202V h2 400 256 V
V h 6 d XXXX 144 V h 12 cm, pois o valor negativo não convém. Logo:
A 16 12 ______ 2 V A 96 cm2. c) A L____ 24 d XX 3 _______ 102 4 d 3 XX V A 25 d XX 3 cm2. d) s 13 15 14 ____________ 2 V s 21 cm. Pela fórmula de Herão, tem-se: A d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 21 (21 13) (21 15) (21 14) V V A d XXXXXXXXXXXX 21 8 6 7 V A d XXXXXX 7 056 V V A 84 cm2.
8 No triângulo ABC ilustrado a seguir, as medidas dos lados são números consecutivos.
x � 1 x � 2 x B C A
Se o perímetro desse triângulo é igual a 42 cm, determine a área do triângulo.
p 42 V x (x 1) (x 2) 42 V
V 3x 3 42 V 3x 39 V x 39 3 13 V V x 1 14 e x 2 15
Sendo assim, os lados do triângulo são 13, 14 e 15, e sua área pode ser obtida pela fórmula de Herão: s 13 15 14 ____________ 2 V s 21 cm
A d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 21 (21 13) (21 15) (21 14) V V A d XXX 21 8 6 7 V A d XXXXXX 7 056 V A 84 cm2.
Atividades para casa
PÁGINA 1399 Dado um triângulo de lados 17 cm, 25 cm e 28 cm, determine o que se pede em cada item.
a) A área desse triângulo.
s 17 25 28 ____________ 2 V s 35 cm.
A d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 35 (35 17) (35 25) (35 28) V V A 210 cm2
b) A medida da altura relativa ao lado de 28 cm. 210 28 h ______ 2 V h ____ 420 28 15 cm
c) O raio da circunferência nele inscrita. 210 r 35 V r 6 cm
10 Calcule o raio da circunferência ilustrada a seguir.
25 cm 20 cm 15 cm O valor do semiperímetro é s 15 20 25 _____________ 2 V V s 30 cm. A área do triângulo é A d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 30 (30 15) (30 20) (30 25) V V A 150 cm2. Como A r · s, tem-se 150 r 30 V r 5 cm.
11 Dois lados de um triângulo têm medidas iguais a 5 cm e 8 cm respectivamente, e o ângulo formado por eles tem medida igual a 60°. Determine a medida do raio da circunferência inscrita nesse triângulo.
Dica: use a lei dos cossenos para determinar a me-dida do terceiro lado e, depois, a fórmula de Herão. b) PQRS é quadrado de área 36 cm2
Usando a lei dos cossenos para determinar a medida do outro lado do triângulo:
c2 52 82 2 5 8 cos 60°V V c2 25 64 80 1 __ 2 V c 6 d XXX 49 V V c 7 cm. s 5 8 7 __________ 2 V s 10 cm. Ad d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 10 (10 5) (10 8) (10 7) V V Ad 10 d XX 3 cm2. 10 d XX 3 r 10 V r d XX 3 cm.
12 Considerando o triângulo ilustrado, determine o que se pede em cada item.
B C 14 cm 6 cm A 120° a) A medida do lado ___AC . Seja x a medida do lado ___AC .
142 62 x2 2 6 x cos 120° V
V 196 36 x2 12 x
@
1 __2
#
V V x2 6x 160 0 V x1 10 e x2 16
Logo, a medida do lado ___AC é 10 cm. b) A área da região limitada por esse triângulo. Ad 1 __ 2 6 10 sen 120° V
V Ad 30 ___ d 2 V AXX 3 d 15 d XX 3 cm2.
13 Com dois vértices de um quadrado ABCD de área 36 cm2 e um ponto P foi determinado um triângulo
equilátero PAB.
a) Faça uma figura que represente a situação des-crita em seu caderno.
A B
C D
P
b) Determine o lado do quadrado.
Seja x o lado do quadrado. Tem-se x2 36 V
V x 6 cm.
c) Determine o lado do triângulo.
O lado do triângulo equilátero é igual ao lado do quadrado, ou seja, 6 cm.
d) Calcule a área do triângulo. A _______ 62 4 V A 9 d XX 3 d XX 3 cm2
14 Considere um triângulo equilátero cujo perímetro é igual a 36 cm.
a) Determine o lado desse triângulo.
Seja x o lado do triângulo equilátero. 36 3 x V V x 12 cm.
b) Calcule a área desse triângulo, usando a fórmu-la 1 __ 2 a b sen a.
O triângulo equilátero tem os três ângulos con-gruentes, que medem 60º.
A 1 __ 2 12 12 sen 60° V A 72 d ___ 2 VXX 3 V A 36 d XX 3 cm2.
15 Calcule a área do quadrilátero a seguir.
Dica: trace a diagonal ___AC . B 52 D 60 A 39 25 C
A diagonal ___AC divide o quadrilátero em dois triângu-los retângutriângu-los. Somando as áreas desses triângutriângu-los tem-se a área do quadrilátero.
A 25 60 _______ 2 39 52 _______ 2 V A 1 764 cm2.
16 Maciel fez uma pipa com o formato mostrado na figura. Sabendo que ABCD é um quadrado de lado 2 e que PBD é um triângulo equilátero, calcule a área de papel que foi gasta para forrar a pipa.
P D
C B
A
Observe que o lado do triângulo equilátero PBD é igual à medida da diagonal do quadrado ABCD. Consideran-do x o laConsideran-do Consideran-do triângulo, tem-se x 2 d XX 2 cm. Pode-se determinar a área do papel da seguinte forma: Apapel Aquadrado ________ 2 AdPBDV V Apapel 2 2 ___ 2 __________ (2 d XX 2 )4 2 d XX 3 V V Apapel 2 (1 d XX 3 ) cm2.
17 Desenhe em seu caderno um retângulo ABCD. Tome sobre o lado ___CD um ponto P. Se a área do retângulo é igual a 84 cm2, quanto vale a área do triângulo PAB?
Esse resultado depende da posição do ponto P? Não importa onde esteja o ponto P, a área do triân-gulo PAB será sempre igual e dada por base altura ____________ 2 , onde a base vale AB e a altura AC. Em particular, quando o ponto P coincide com C, é fácil visualizar que a área do triângulo PAB é metade da área do retângulo ABCD.
B A
D
C P
Assim, A 84 ___ 2 42 cm2, e não depende da posição
do ponto P.
18 Na elaboração de um mosaico, Cristiane fez o de-senho mostrado ao lado. Calcule a área do qua-drado colorido, sabendo que ABCD também é um quadrado. B A C 60° 6 cm 60° 60° 60° D
Chamando de x o menor lado do triângulo assinala-do na figura, tem-se: sen 30° x __ 6 V x 6 sen 30° V x 6 1 __ 2 V V x 3 cm. A Aquadrado 4 AtriânguloV V A 62 4
@
1 __ 2 6 3 sen 60°#
V V A 36 2 18 ___ d 2XX 3 V A 36 18 d XX 3 V V A 18 (2 d XX 3 )cm2.19 A prefeitura de Florlinda quer plantar flores num terreno que tem a forma de um trapézio retângulo, de bases 4 m e 13 m e perímetro 44 m. Se couberem 10 flores em cada metro quadrado, quantas flores a prefeitura conseguirá plantar nesse canteiro?
4 m x x y 13 m 13 � 4 � 9 m (I) x 4 y 13 44 V x y 27 V V y 27 x (II) x2 92 y2
Substituindo (I) em (II) tem-se:
x2 92 (27 x)2V x2 81 272 2 27 x
x2 V 54x 729 81 V x 12 m
A área do trapézio é (13 4) 12___________ 2 A 102 m2
Logo, cabem no terreno 102 · 10 1 020 flores.
20 Parte da planta de uma casa é mostrada abaixo. Calcule a área da sala.
Dica: use a semelhança de triângulos.
8
6
9
x y
Por Pitágoras: x2 82 62 V x 10 m
O triângulo maior e o triângulo rosa são semelhan-tes pelo caso AA, portanto tem-se:
9
__ 6 ______ 10 y8 V 6 (10 y) 9 8 V V 60 6y 72 V y 2 cm
Pode-se determinar a área da sala da seguinte ma-neira:
Asala Admaior AterraçoV
V Asala ___________ (10 2) 92 8 6 _____ 2 V Asala 30 cm2
Boxe Desafio
PÁGINA 142Determine a razão entre o raio r da circunferência inscrita e o raio R da circunferência circunscrita a um mesmo quadrado de lado L.
L
A razão pedida corresponde à razão entre o apóte-ma do quadrado e a metade de sua diagonal. Cha-mando de x o lado do quadrado, tem-se:
r __ R ____ x __ 2 x d XX 2 ____ 2 V r __ R __ 2 x ____ x d XX 2 2 V r __ R ___ d XX 1 2 ___ d XX 2 d XX 2 V r __ R d XX 2 ___ 2
Módulo 2: Polígonos regulares e circunferências inscrita e circunscrita
Boxe Cálculo mental
PÁGINA 143A figura mostra dois triângulos equiláteros, em que a circunferência inscrita em um deles é cir-cunscrita ao outro. Determine a razão entre a área desses triângulos.
Considerando o triângulo menor, de lado l, a circun-ferência está circunscrita a ele e seu raio pode ser escrito como R ___ l d 3 .XX 3
Considerando o triângulo maior, de lado L, a circun-ferência está inscrita a ele e seu raio pode ser escri-to como R ____ L 6 .d XX 3
igualando as duas expressões para o raio, tem-se:
l d XX 3 ___ 3 ____ L d XX 3
6 V l __ L 2
Portanto, o lado do triângulo menor tem a metade da medida do lado do triângulo maior. Logo, a razão entre as áreas dos triângulos é:
_______ L2 d XX 3 4 _________
@
L __ 2#
2 d XX 3 ________ 4 L2d XX 3 _____ 4 ______ L2d XX 3 _____ 16 L2d XX 3 _____ 4 _____ 16 L2d XX 3 4Atividades para classe
PÁGINA 1441 Considere um quadrado de lado 6 d XX 2 e calcule em seu caderno o que é pedido em cada um dos itens. a) Sua área.
A (6 d XX 2 )2V A 72 cm2
b) Sua diagonal.
d 6 d XX 2 d XX 2 V d 12 cm
c) O raio da circunferência nele inscrita. r 6 ____ d XX 2 V r 3 2 d XX 2 cm
d) O raio da circunferência circunscrita a ele. R 12 __ 2 V R 6 cm
2 Considerando um triângulo equilátero de lado 12 cm, determine o que se pede em cada item. a) A altura do triângulo.
h 12 _____ 2 V h 6 d XX 3 d XX 3 cm b) A área desse triângulo. A ______ 1224 V A 36 d XX 3 d XX 3 cm2
c) O raio da circunferência inscrita. r 12 _____ 6 V r 2 d XX 3 d XX 3 cm
d) O raio da circunferência circunscrita. R _____ 12 3 V R 4 d XX 3 d XX 3 cm
3 Considere um hexágono regular de lado 6 cm e de-termine em seu caderno o que se pede em cada item.
a) A área.
A 6 _____ 624 V A 54 d XX 3 d XX 3 cm2
b) O raio da circunferência inscrita. r 6 ____ 2 V r 3 d XX 3 d XX 3 cm
c) O raio da circunferência circunscrita.
O raio da circunferência circunscrita é igual à medi-da do lado do hexágono regular, isto é, R 6 cm.
4 Juca tem uma mesa cujo tampo tem o formato de um hexágono regular com 1 m de lado. Ele deseja cortar esse tampo para que a mesa fique com for-mato circular. Qual é o maior diâ metro possível para o novo tampo?
O maior diâmetro d possível é igual ao diâmetro da circunferência inscrita nesse hexágono regular de lado 1 m. Assim: d 2 1 _____ 2 V d d XX 3 d XX 3 m
5 Determine a área do hexágono regular com lados de medida igual a 3 cm, sabendo que o apótema tem medida igual a 3 d XX 3 cm.
Pode-se determinar a área desse hexágono multipli-cando o semiperímetro pelo apótema:
A s a V A 6 3 _____ 2 3 d XX 3 V A 27 d XX 3 cm2 6 O raio de uma circunferência inscrita em um
triân-gulo equilátero é d _____ XXXX 105 30 .
Determine em seu caderno o perímetro desse triângulo.
Sejam L o lado do triân-gulo ABC e r o raio da circunferência.
Com relação ao triângu-lo MOC na figura ao lado, o ângulo M C O mede 30° (pois vale metade do ângulo interno do tri-ângulo equilátero ABC). Assim, tem-se: tg 30° ___ d 3 V XX 3 __ r L __ 2 d XX 3 ___ 3 V 2r ___ L ___ d XX 3 3 V L ___ d 6r XX 3 2r d XX 3 Portanto, o lado do triângulo ABC mede 2r d XX 3 2 d _____ XXXX 105 30 d XX 3 , e o perímetro mede 3 · L 3 2 d _____ XXXX 105 30 d XX 3 6 ___ 30 d XXXX 315 _____ 3 d 5 .XXX 35 M B A C O L 2
7 Calcule o raio da circunferência inscrita em um he-xágono regular, de acordo com a situação descrita em cada item.
a) O lado do hexágono mede 8 m. r 8 ____ 2 V r 4 d XX 3 d XX 3 m
b) A área do hexágono mede 150 d XX 3 cm2.
Seja x o lado do hexágono, então: 150 d XX 3 6 _____ x24 V xd XX 3 2 100 V x 10 cm
r 10 _____ 2 V r 5 d XX 3 d XX 3 cm
c) A diagonal maior do hexágono mede 20 d XX 3 cm. A diagonal maior, que liga um vértice do
hexágo-no ao vértice oposto, tem medida igual ao dobro da medida do lado do hexágono regular, de forma que o lado desse hexágono mede 10 d XX 3 cm. Assim, r 10 _________ d XX 3 2 d XX 3 15 cm.
d) A diagonal menor do hexágono mede 13 cm. Seja x o lado do hexágono regular.
x x
x 13 cm
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se: (x x)2 132 x2V (2x)2 169 x2V V 4x2 x2 169 V 3x2 169 V V x2 169 ____ 3 V x ___ d 13 XX 3 cm. r 13 ___ d XX 3 d XX 3 _______ 2 V r 6,5 cm.
e) O raio da circunferência circunscrita ao hexágo-no mede 4 cm.
O lado do hexágono regular é igual ao raio da cir-cunferência circunscrita, logo o raio da circunfe-rência inscrita vale:
r 4 ____ 2 V r 2 d XX 3 d XX 3 cm
8 Calcule o raio da circunferência circunscrita a um quadrado, em cada caso apresentado nos itens abaixo.
A medida do raio da circunferência circunscrita a um quadrado é igual à metade da medida da diago-nal desse quadrado. A letra x representa o lado do quadrado nas resoluções a seguir.
a) A área do quadrado mede 196 cm2.
x2 196 V x d XXXX 196 14 cm
d 14 d XX 2 cm r 14 _____ 2 V 7 d XX 2 d XX 2 cm
b) A diagonal do quadrado mede 40 cm. r 40 ___ 2 V r 20 cm
c) O lado do quadrado mede 26 cm. d 26 d XX 2 cm
r 26 _____ 2 V r 13 d XX 2 d XX 2 cm
d) O raio da circunferência nele inscrita mede 5 cm.
x 2 5 V x 10 cm d 10 d XX 2 cm
r 10 _____ 2 V r 5 d XX 2 d XX 2 cm
9 O hexágono da figura é regular e tem apótema igual a 6 cm.
6 cm
Determine a área desse hexágono.
Seja x a medida do lado desse hexágono, logo: 6 x ____ d 2 V x XX 3 ___ 12
d XX 3 cm
A área do hexágono é dada pelo produto do semipe-rímetro pelo apótema:
A 6 __ 2 ___ 12 d XX 3 6 V A 3 12 6 d XX 3 ____________ d XX 3 d XX 3 V V A 12 6 d XX 3 V A 72 d XX 3 cm2 10 O dono de uma loja de
brin-quedos estava à procura de um logotipo para representar a empresa dele. Um dos fun-cionários da empresa sugeriu o logotipo que se vê abaixo: um quadrado inscrito em uma circunferência, que está inscri-ta em um triângulo equilátero.
Se o lado do quadrado mede 6 cm, determine em seu caderno a área do triângulo equilátero. Sejam x o lado do triângulo equilátero, h a altura do triângulo e d a diagonal do quadrado. Observe que o raio da circunferência é igual a d __ 2 , de modo que h 3 d __ 2 . Assim: h 3 ____ 6 d XX 2 V h 9 2 d XX 2 cm A partir da altura calcula-se a medida do lado do triângulo:
9 d XX 2 ____ x d 2 V x XX 3 18 _____ d XX 2 d XX 3 cm E a partir do lado calcula-se a área:
Ad
@
18 _____ d XX 2 d XX 3#
2 d XX 3 ___________ 4 V Ad 324 2 _______ 3 d XX 3 ___________ 4 V V Ad 54 d XX 3 cm2Atividades para casa
PÁGINA 14511 Determine o perímetro de um polígono regular, sa-bendo que o apótema desse polígono tem medida igual a 12 cm e a área dele é igual a 576 cm2.
Sejam s o semiperímetro e p o perímetro do polígono regular. Sabendo que a área pode ser escrita como o produto do semiperímetro pelo apótema tem-se: 576 s 12 V s 48 cm
p 2 48 V p 96 cm
12 Determine a medida do apóte-ma do triângulo equilátero da figura, sabendo que o raio da circunferência ilustrada é igual a 5 cm.
Seja a a medida do apótema. Assim, tem-se:
sen 30° a __ R 2 V a 1 __ __ R 2 __ 5 2 2,5 cm
13 Um quadrado está inscrito numa circunferência de raio igual a 10 cm.
a) Faça em seu caderno um desenho que represen-te a situação descrita.
10 cm x
b) Determine a medida do apótema desse quadrado. x d XX ___ 2 10 V 2 10 x 2 d XX 2 V x 20 ___ d XX 2 cm
O apótema mede metade do lado, logo: a 20 ___ d XX 2 ___ 2 V a ___ 10 d XX 2 d XX 2 ___ d XX 2 V a 5 d XX 2 cm c) Calcule a área do quadrado.
A
@
20 ___d XX 2
#
2
V A 400 _____ 2 V A 200 cm2
d) Determine o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado.
Se o quadrado está inscrito na circunferência, a circunferência está circunscrita ao quadrado, e seu raio é R 5 10 cm.
14 A figura mostra um triângulo equilátero ABC e um hexágo-no regular, cuja área é igual a 96 d XX 3 cm2.
Sejam x o lado do hexágono, r o raio do círculo e y o lado do triângulo. Determine: a) O lado do hexágono. 96 d XX 3 6 x_____ 24 V xd XX 3 2 96 4 ______ 6 V V x d XXX 64 V x 8 cm b) O raio do círculo.
O raio do círculo corresponde ao apótema do he-xágono: r ____ 8 d 2 V r 4 XX 3 d XX 3 cm
c) O lado do triângulo. 4 d XX 3 ____ y d 3 V y 12 cmXX 3 d) A área do triângulo. A ______ 1224 V A 36 d XX 3 d XX 3 cm2
15 Os polígonos na figura abaixo são regulares, e o lado do triângulo mede 6 dm. Calcule o que se pede em cada item.
a) A altura do triângulo. h ____ 6 d 2 V h 3 XX 3 d XX 3 dm b) O raio do círculo. r ____ L d 3 XX 3 ____ 6 d 3 V r 2 XX 3 d XX 3 dm, onde L é o lado do triângulo. c) O lado do quadrado.
O lado do quadrado tem medida igual ao dobro do raio do círculo, ou seja: 2 2 d XX 3 4 d XX 3 dm
16 Cada item mostra um polígono regular. Calcule os raios das circunferências circunscritas a eles. a) 12 c) 6 b) 12 d) 2 � 2 a) R _____ 12 3 V R 4 d XX 3 d XX 3 b) R _______ 12 2 V R 6 d XX 2 d XX 2
c) O raio tem a mesma medida que o lado do hexá-gono: R L 6
d) O ângulo central do octógono mede 360° _____ 8 45°. Usando a lei dos cossenos:
( dXXXXXXX 2 d XX 2 )2 r2 r2 2 r r cos45° V V 2 d XX 2 2r2 2 r2 d XX ___ 2 2 V V 2 d XX 2 r2 (2 d XX 2 ) V r2 _______ 2 d XX 2 2 d XX 2 V V r d X 1 V r 1 30° R
17 A figura mostra um qua-drado de lado 6 m inscrito em uma circunferência que está inscrita em um hexá-gono regular. Determine o que se pede em cada item. a) A diagonal do quadrado. d 6 d XX 2 m
b) O raio do círculo.
O diâmetro do círculo tem medida igual à diago-nal do quadrado. Assim, o raio do círculo mede r ____ 6 d XX 2 V r 3 2 d XX 2 m
c) O lado do hexágono. Seja x o lado do hexágono.
30° x r x 2 cos 30° r __ x V d ___ 2 XX 3 x V x r __ ___ 2r d XX 3 Assim, x _______ 2 3 d XX 2 d XX 3 6 d XX 2 ____ d XX 3 d XX 3 ___ d XX 3 2 d XX 6 m. d) A área do hexágono. A 6 __________ (2 d XX 6 )4 2 d XX 3 V A 6 4 6 _________ 4 d XX 3 V V A 36 d XX 3 m2 18 Os hexágonos mostrados na figura ao lado são re-gulares. Determine a razão entre a área do maior e a área do menor.
Considere r o raio da cir-cunferência, x o lado do he-xágono menor e y o lado do hexágono maior.
O lado do hexágono menor tem medida igual à do raio da circunferência: x r V Amenor 6 r 2d XX 3 _____ 4 V Amenor 3r 2d XX 3 ______ 2 Dividindo o hexágono maior em seis triângulos, a al-tura de cada um dos triângulos tem medida igual à do raio da circunferência. Assim, tem-se:
r ____ y d 2 V y XX 3 ___ 2r d XX 3 V AmaiorV 6
@
2r ___ d XX 3#
2 d XX 3 _________ 4 V V Amaior 6 4r 2d XX 3 ______ 3 4 V A1 __ maior 2r2d XX 3 Amaior ______ Amenor 2r2d XX 3 _______ 3r2d XX 3 ______ 2 V Amaior ______ Amenor 2r 2d XX 3 2 ______ 3r2d XX 3 V V ______ Amaior Amenor 4 __ 319 Considere o decágono regular inscrito na circunfe-rência de raio R 10 m. B A L O 36° R 18° R h L 2
a) Utilize a relação sen 18° 0,31 e calcule a medida do lado L do decágono.
sen 18° L __ __ 2 R ___ 10 V 0,31 L __ 2 ___ 10 V L __ 2
V 0,31 10 L __ 2 V L 2 3,1 V L 6,2 m
b) Utilize cos 18° 0,95 para determinar a medida do apótema desse polígono.
A apótema corresponde à altura h do triângulo da figura acima.
cos 18° h __ R ___ 10 V 0,95 h ___ 10 Vh V h 10 0,95 V h 9,5 m
c) Determine em seu caderno a área desse decá-gono.
A área do decágono é obtida multiplicando a área de um triângulo por 10:
A 10 9,5 6,2________ 2 V A 294,5 m2
Atividades para classe
PÁGINA 1491 Determine em seu caderno o que se pede em cada item.
a) O raio de uma circunferência cujo comprimento é igual a 144 cm.
2r 144 V r 144 _____ 2 V r 72 cm
b) O comprimento de uma circunferência cujo raio tem medida igual a 6 cm.
C 26 V C 12 cm
c) A área de um círculo de raio 6 cm. A 62V A 36 cm2
d) O raio de um círculo de área 64 cm2.
r2 64 V r d XXX 64 V r 8 cm
2 Calcule em seu caderno o diâmetro de uma circun-ferência cujo comprimento é igual a 26 cm. d 26 V d 26 cm
3 Se o raio de um círculo for duplicado, quantas ve-zes aumenta a área desse círculo?
A área de um círculo de raio r é A r2. Se o raio for
duplicado passará a valer 2r, e a nova área será: A (2r)2V A 4r2V A 4 r2. Portanto, a
área aumenta 4 vezes.
Módulo 3: Comprimento da circunferência, área do círculo e de suas partes
4 Determine em seu caderno o comprimento de cada uma das circunferências a seguir.
a) c) b) d) a) 24 5 r O Usando Pitágoras: r2 52 122V r2 25 144 V r2 169 V r 13 C 213 V C 26
b) Unindo o centro O ao ponto onde o segmento tange a circunferência, tem-se um triângulo re-tângulo de lados r, 6 e (r 2). Usando Pitágoras tem-se:
62 r2 (r 2)2V 36 r2 r2 4r 4 V
V 4r 36 4 V r 8 C 28 V C 16 c) C d 20
d) Unindo o centro O ao ponto onde o segmento intercepta a circunferência, tem-se um triângulo retângulo de lados r, 12 e (18 r). Usando Pitágo-ras tem-se:
r2 122 (18 r)2V r2 144 324 36r r2V
V 36 r 468 V r 13
Logo, o comprimento é C 2r 213 26 .
5 Determine em seu caderno a área de cada um dos círculos a seguir.
a) c)
b) d)
a) r 22 ___ 2 V r 11 cm A 112V A 121 cm2
b) Fechando um triângulo como na atividade 4 item a), tem-se: r2 22
@
3 __ 2#
2 V r2 4 9 __ 4 V r2 25 ___ 4 A r2 25 ___ 4 V A 6,25 c) 12 18Fechando o triângulo retângulo como na figura e aplicando o teorema de Pitágoras tem-se: (12 r)2 r2 182 V 144 24r r2
r2 324 V 24r 180 V r 180 ____ 24 ___ 15 2 Assim, a área do círculo é r2
@
15 ___2
#
2
225 ______ 4 . d) Fechando o triângulo retângulo e usando
Pitágo-ras temse:
r2 92 (3 r)2V r2 81 32 6r r2V
V 6r 81 9 V r 72 ___ 6 12 A 122V A 144
6 Um carro, andando numa estrada retilínea, percorre 300 metros. Quantas voltas deu a roda do carro se o diâmetro da roda é igual a 0,6 metros?
O raio da roda é metade do diâmetro: r ____ 0,62 0,3 m O comprimento da roda é C 2 r 2 0,3 r 1,88 m Assim, a cada volta da roda, o carro percorre cerca de 1,88 metro. O número total de voltas da roda após o carro haver percorrido 300 metros é 300 ____ 1,88 r 159,6.
7 Qual é a área de um círculo cujo diâmetro é igual a 18 cm?
r 18 ___ 2 V r 9 cm A 92V A 81 cm2
8 Determine em seu caderno o comprimento de cada um dos arcos destacados, sabendo que o raio de cada circunferência é igual a 12 cm.
a) O C 2 12 90° ____________ 360° V C 6 cm b) O 60º C 2 12 60° ____________ 360° V C 4 cm 3 9 12 O 18 2 O 6 24 O 5 20 O 18 O 12 22 cm 3 2
12 cm C A B c) O 45º C 2 12 45° ___________ 360° V C 3 cm d) O 120º C 2 12 120° ____________ 360° V C 8 cm e) 150º C 2 12 150° ____________ 360° V C 10 cm
9 Calcule a área de uma coroa circular determinada por duas circunferências de raios de medidas 12 cm e 13 cm.
A (132 122) (169 144) V A 25 cm2 10 Determine a área em cm2 de cada um dos
seto-res circulaseto-res destacados em vermelho, sabendo que o raio de cada círculo é igual a 12 cm. a) 50º c) 150º b) 125º d) 20º a) A 12___________ 360° 2 50° V A 20 cm2 b) A 12____________ 360° 2 125° V A 50 cm2 c) A 12____________ 360° 2 150° V A 60 cm2 d) A 12___________ 360° 2 20° V A 8 cm2
11 Duas bicicletas partem, em um mesmo instante, de um mesmo ponto de uma pista circular, porém em sentidos opostos. As velocidades são respectiva-mente 4 m/s e 6 m/s. Após 20 segundos ocorre o primeiro encontro das bicicletas. Determine em seu caderno o raio da pista.
Após 20 segundos, a primeira bicicleta percor-reu 4 · 20 80 metros, e a segunda percorpercor-reu 6 · 20 120 metros.
Como em 20 segundos ocorre o primeiro encontro das duas, isso significa que nesse instante as duas, juntas, percorreram todo o comprimento da circun-ferência.
C 80 120 200 m 2r 200 V r 100 m
12 Os arcos da figura têm o mes-mo comprimento, e o centro das circunferências que os de-terminam são os pontos A, B e C. Determine em seu caderno o perímetro da figura formada por esses arcos.
O triângulo ABC é equilátero, de modo que seus ân-gulos internos são todos iguais a 60°. Logo, cada arco da figura corresponde a um arco de 60° de uma circunferência de raio 12 cm, e o comprimento de cada um desses arcos é 2 12 60° ____________ 360° 4 cm. Portanto o perímetro do triângulo curvilíneo é: p 3 4 V p 12 cm.
Atividades para casa
PÁGINA 15013 Determine em seu caderno o que se pede em cada item.
a) A área de um setor circular de 40° cujo arco mede 4 cm.
2 r 40° ___________ 360° 4 V r 4 360° _________ 2 40° V r 18 cm A __________ 18360° 2 40° _____ 3249 V A 36 cm2
b) A área de um círculo cuja circunferência mede 36 cm.
2r 36 V r 36 ____ 2 V r 18 cm A 182V A 324 cm2
c) O comprimento de uma circunferência cujo cír-culo tem área igual a 289 cm2.
r2 289 V r2 289 _____
V V r d XXXX 289 V r 17 cm C 2 17 V C 34 cm
d) A área de um círculo no qual um arco de 60° mede 12 cm.
2 r 60° ___________ 360° 12 V r 12 360° __________ 2 60° V r 36 cm A 362 V A 1 296 cm2
14 A corda de uma circunferência determina um arco de 60°. Se o arco tem 40 cm de comprimento, determine a medida do raio desse círculo.
2 r 60° ___________ 360° 40 V r 40 360° ___________ 2 60° V V r 120 cm
15 Determine em seu caderno o comprimento de cada uma das circunferências a seguir.
a) 16 12 c) A B C D 8 18 AD � BC b) 35 14 O d) 2 10
a) Considere x a hipotenusa do triângulo retângulo, s o seu semiperímetro e r o raio da circunferência inscrita, então:
x2 122 162V x d XXXXX 400 20
s 12 16 20 ____________ 2 V s 24
Escrevendo a área do triângulo como base altura
____________ 2 e igualando com outra expressão para a mesma área, A r s, tem-se:
12 16 ______ 2 r 24 V r ___ 96 24 V r 4 C 2 4 V C 8
b) Note que a altura do trapézio é o diâmetro da circunferência inscrita e, por Pitágoras, pode-se determinar o lado BC do trapézio como mostra a figura: 35 14 21 C D A B 2r 2r 4r2 � 441 BC2 (2r)2 212V BC d XXXXXXXXXX 4r2 441
Como o trapézio está circunscrito, a soma das medi-das de dois lados opostos é igual à soma medi-das me-didas dos outros dois lados:
2r d XXXXXXXXXX 4r2 441 14 35 V V d XXXXXXXXXX 4r2 441 49 2r V V ( d XXXXXXXXXX 4r2 441 )2 (49 2r)2V V 4r2 441 492 2 49 2r (2r)2V V 4r2 441 2 401 196r 4r2V V 196r 1960 V r 10 C 2 10 V C 20
c) Como o trapézio é isósceles, AD BC. Além disso o trapézio está circunscrito, de modo que a soma dos lados opostos é igual. Assim, 8 18 AD BC V 26 2 AD V AD 13. A B C D 8 2r 18 13 132 (2r)2 52 V 169 4r2 25 V V 4r2 169 25 V 4r2 144 V V r2 36 V r d XXX 36 V r 6 C 2 6 V C 12.
d) A diagonal de um quadrado de lado x é x d XX 2 , de modo que o lado desse quadrado mede 10. Esse também é o valor do diâmetro da circunferência, de modo que seu raio mede 10 2 5. Assim, C 2 5 V C 10.
16 Numa caixa retangular, João colocou 3 latas de tinta de mesmo diâmetro, como mostra a figura abaixo.
Determine em seu caderno a área de cada um dos círculos que correspondem às tampas das latas, sa-bendo que o perímetro da caixa retangular é 48 cm. O perímetro do retângulo pode ser escrito em fun-ção do raio r dos círculos, como mostra a figura. 6r 2r 6r 2r 48 cm V 16r 48 cm V V r 3 cm A · 32 V A 9 cm2 2r r 2r r 2r r r r r r r 2r
17 Calcule em seu caderno a área da região ex-terior à circunferência menor e inex-terior à circunferência maior.
O 4
O raio da circunferência maior mede o dobro do da menor: R 8. A área pedida é calculada subtraindo a área da circunferência menor da área da maior: A · 82 · 42 64 16 48
18 As rodas dianteiras de um trator têm 40 cm de raio e dão 30 voltas no mesmo intervalo de tempo em que as rodas traseiras dão 24 voltas. Calcule em seu caderno o diâmetro das rodas traseiras. 30 voltas das rodas dianteiras correspondem a 30 2 · 40 2 400 cm.
24 voltas das rodas traseiras equivalem a 24 2 r 48 r cm.
Como as rodas dão essas voltas no mesmo interva-lo de tempo, os comprimentos percorridos por elas são iguais. Então, tem-se:
2 400 48 r V r 2 400 ______ 48 50 cm
Assim, o diâmetro das rodas traseiras é 2 50 cm 100 cm 1 m.
19 Cláudio mediu a corda de um círculo e obteve 6 dm. Se essa corda dista 4 dm do centro do círcu-lo, quanto mede a circunferência correspondente?
4 3 3 r r2 32 42V r d XXX 25 5 dm C 2 · 5 V C 10 dm 20 No triângulo equilátero ABC ao lado, o ponto mé dio de cada um dos respectivos lados corres-ponde ao centro das cir-cunferências que deter-minam os arcos da figura. Sabendo que o lado do triângulo tem medida igual a 9 m, calcule o
pe-rímetro da figura formada por esses arcos.
A figura é formada por 6 arcos de circunferência cujos centros são os pontos médios dos lados, por-tanto o raio de cada arco é igual à metade da medi-da do lado do triângulo, ou seja, 4,5 m. Além disso, pelo fato de o triângulo ser equilátero, os arcos com-preendem um ângulo de 60°.
Assim, o perímetro da figura é obtido multiplicando o comprimento de cada arco por 6:
P 6 2 r 60° ___________ 360° V P 6 2 4,5________ 6 V P 9 m
21 Luciana quer encomendar de uma fábrica de mó-veis uma mesa circular para 8 pessoas, de modo que cada pessoa disponha de um arco de 60 cm ao sentar-se nessa mesa. Calcule quanto deve medir o diâmetro da mesa.
Se cada uma das 8 pessoas disporá de um arco de 60 cm, o comprimento total da circunferência será de 8 60 cm 480 cm. Então tem-se:
2r 480 cm V r 480 cm ________ 2 240 ____ cm Portanto, o diâmetro da mesa deve ser 2 · r 480 ____ r 152,8 cm
22 Na figura, T é ponto de tangência e ___PS é secante à circunferência. Determine o comprimento dessa circunferência. O T P S 18 r r � 18 24 r2 242 (r 18)2V r2 576 r2 36r 324 V V 36r 900 V r 25 C 2 25 V C 50
23 A figura a seguir mostra duas circunferências tan-gentes internamente, sendo que a menor tangen-cia o diâmetro da maior. Calcule em seu caderno o comprimento da circunferência menor.
70 r 49 � r
28
Sejam D o diâmetro da circunferência maior, R o raio da circunferência maior e r o raio da circunferência menor. D 70 28 98 V R D __ 2 V R 49 (49 r)2 r2 212 V V 2 401 98 r r2 r2 441 V V 98 r 1 960 V r 20 C 2 20 V C 40
Atividades para casa
PÁGINA 15124 Calcule a distância aproximada, em metros, per-corrida por um pneu de 900 mm de diâmetro, ao dar uma volta completa.
d 900 mm 0,9 m V r d 2 0,45 m C 2 · 0,45 V C 2,83 m
25 Se aumentarmos em 4 cm o raio de uma circun-ferência, quantos centímetros aumentará o seu comprimento?
O comprimento inicial de uma circunferência de raio r é 2 r. Se o raio aumentar para (r 4), o novo comprimento será:
C 2 (4 r) V C 8 2 r
Portanto, o comprimento aumenta em 8 cm.
26 Duas polias de raios iguais a 16 cm são ligadas por uma correia. Calcule o comprimento aproximado da correia, sabendo que a distância entre os cen-tros das polias é igual a 30 cm. (Use 3,14.)
Seja C o comprimento da correia.
C 2 16 ______ 2 30 2 16 ______ 2 30 32 60 V V C 160,48 cm
27 Para embrulhar sorvetes de casquinha, uma máquina recorta folhas com formato de triângulo equilátero de lado 8 cm, aparando uma parte delas para recicla-gem, como indicado em verde na figura. Determine
A B
C
A B C D
30°
em seu caderno a área da apara, sabendo que o arco
tem centro em A. A
A altura h do triângulo equilátero é o raio do arco que tem centro em A.
h L ______ 2 d XX 3 8 ____ 2 V h 4 d XX 3 d XX 3
A área pedida é calculada subtraindo a área do setor circular da área do triângulo equilátero:
A _____ L24 d XX 3 _________ h360° 2 60° _____ 824 d XX 3 (4 _____________ d 360° XX 3 )2 60° V V A 16 d XX 3 8 V A 8 (2 d XX 3 ) cm2
28 Determine em seu caderno a área da região som-breada da figura a seguir.
30º 30º 120º6 cm 6 cm
Pode-se determinar a área da região sombreada cal-culando a diferença entre a área do setor circular de ângulo 120º e raio 6 cm e a área do triângulo isósceles. Portanto:
A 6___________ 360° 2 120° 1 __ 2 6 6 sen 120° V V A 12 _____ 18 2 V A 12 9 d XX 3 d XX 3 V V A 3 (4 3 d XX 3 )cm2
29 Uma circunferência está inscrita em um triângulo de lados 6 cm, 10 cm e 14 cm. Determine o que é pedido em cada item.
a) A área desse triângulo. s 6 10 14 ___________ 2 V s 15 cm
A d XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX 15 (15 6) (15 10) (15 14) V V A 15 d XX 3 cm2
b) O raio dessa circunferência.
A área do triângulo pode ser escrita como A r · s, onde r é o raio da circunferência inscrita. Assim,
A r 15 15 d XX 3 V r d XX 3 cm.
c) A área da região externa à circunferência e in-terna ao triângulo.
Basta subtrair a área do círculo da área do triân-gulo:
A 15 d XX 3 ( d XX 3 )2 V A 15 d XX 3 3 V
V A 3 (5 d XX 3 ) cm2
30 A parte verde do esquema a seguir representa um jardim de formato circular, e em volta dele uma cal-çada, formada por 2 circunferências concêntricas.
8 m jardim
a) Qual a largura da calçada?
O raio da circunferência menor é a metade do lado do quadrado
@
8 __ 2#
e o raio da circunferência maior é a metade da diagonal do quadrado@
8 ____ 2 d XX 2#
. Portanto, a largura x da calçada é a diferença en-tre a metade da diagonal do quadrado e a metade do lado do quadrado, ou seja:x 8 ____ d XX 2 2 __ 8 2 V x 4 d XX 2 4 V x 4 ( d XX 2 1) m b) Qual é a área da calçada?
Subtraindo a área do círculo menor da área do círculo maior:
A (4 d XX 2 )2 42V A 32 16 V
V A 16 m2
31 A figura ao lado, formada por círculos, mostra o es-quema de um boneco de neve. Se o comprimento dos braços do boneco é de 8 dm, calcule a área da região exterior ao boneco e interior ao círculo maior.
4 m
n
Como mostra a figura, o raio do círculo maior é m n ______ 2 , o raio do círculo da cabeça do boneco é m
__ 2 e o raio do círculo do corpo é __ n 2 . Pelas relações métricas do triângulo retângulo, tem-se:
m n 42V m n 16
A
@
m n ______ 2#
2 @
m __ 2#
2 @
n __ 2#
2 VV A
@
m______________ 2 2mn n4 2#
______ m4 2 n_____ 4 V 2 V A m______ 4 1 2 2mn ______ 4 n_____ 4 2 m______ 4 2 n_____ 4 V 2 V A mn _____ 2 V A 16 _____ 2 V A 8 dm232 Determine em seu caderno o perímetro da figura formada pelos arcos, cujos centros são os vértices do quadrado de lado 6 cm.
Dica: determine o comprimento de um dos arcos e multiplique essa medida por oito.
Cada arco foi dividido em três partes congruentes e há, ao todo, 8 arcos. O ângulo compreendido por cada arco é 90°, e o raio de cada arco é igual ao lado do quadrado: 6 cm.
C 5 8 ? 2 ? 6 ? 90° ____________ ___________ 360° 3 V C 5 8 ? 3 ___ 3 V C 5 8 cm
33 A calçada em torno de uma piscina circular é de-limitada por duas circunferências concêntricas: uma de 94,2 m e outra de 113,04 m. Calcule em seu caderno a largura aproximada dessa calçada. 2 ? r1 5 113,04 V r1 5 18 m
2 ? r2 5 94,2 V r2 5 15 m
Largura 5 r1 2 r2 5 18 m 2 15 m 5 3 m
34 Determine em seu caderno o comprimento da cir- cunferência menor, sabendo que as três semicircun-ferências têm centros na reta AB.___ 6 6 r 12 � r A B (r 1 6)2 5 (12 2 r)2 1 62 V r2 1 12r 1 36 5 5 144 2 24r 1 r2 1 36 V 36r 5 144 V r 5 4 C 5 2 ? 4 V C 5 8 35 O círculo de diâmetro ___AB tem 24 cm de compri-
mento, e seu diâmetro foi dividido em 3 partes iguais.
Azul Amarelo Verde
A B
Cálculo do diâmetro AB do círculo: ? d 5 24 V d 5 24 cm
O diâmetro foi dividido em 3 partes congruentes de 24 ___ 3 5 8cm, logo o raio do círculo pequeno na figura acima mede 4 cm e o raio do outro círculo mede 8 cm.
a) Calcule a área da região azul.
A área da região azul que pertence à parte supe-rior do círculo corresponde à área de um semicír-culo de raio 4 cm: 4____ 2 2
A área da região azul que pertence à parte in-ferior do círculo pode ser calculada subtraindo a área do semicírculo de raio 8 cm da área do semi-círculo grande, de raio 12 cm: 12____ 2 2 2 8____ 2 2 Assim, a área total da região azul é obtida
soman-do os resultasoman-dos obtisoman-dos acima:
A 5 ____ 2 1 42
@
12____ 2 2 2 8____ 2 2#
V A 5 8 1 40 V V A 5 48 cm2b) Calcule a área da região amarela.
Por simetria, a área da região verde é congruen-te à área da região azul. Portanto, a área da re-gião amarela é calculada subtraindo duas áreas correspondentes à região azul da área do círculo grande:
A 5 122 2 2 ? 48 5 144 2 96 V
V A 5 48 cm2
c) Calcule o perímetro da região amarela.
O perímetro da região amarela corresponde ao comprimento de dois semicírculos de raio 8 cm somado ao comprimento de dois semicírculos de raio 4 cm:
C 5 2 ? 24 ____ 2 1 2 ? 28 ____ 2 V C 5 24 cm d) Calcule o perímetro da região azul.
O perímetro da região azul corresponde ao com-primento de um semicírculo de raio 12 cm soma-do ao comprimento de um semicírculo de raio 8 cm somado ao comprimento de um semicírculo de raio 4 cm.
C 5 212 _____ 2 1 24 ____ 2 1 28 ____ 2 V C 5 24 cm
e) Observando a área e o perímetro das re giões calculadas anteriormente, o que você pode con-cluir?
As regiões azul, amarela e verde têm áreas con-gruentes e a medida dos seus perímetros é igual à medida do perímetro da circunferência maior.
Atividades para classe
PáginA 154:1 Em cada um dos itens abaixo, escreva a relação entre as medidas dos segmentos indicados. a) x b k a ab5 xk b) a w x z y b ab 5 xy 5 zw c) x y b a xa 5 yb
d) x a r x2 (a r) · (a r) e) a r x x2 a (a 2r) f) c b x a bc (x a) · (x a)
2 Determine o valor das incógnitas em cada um dos itens abaixo. a) 3 4 9 x 3x 4 9 V x 36 3 12 b) 16 12 3 k 12k 3 16 V k 48 12 4 c) 5 12 16 O t (12 t) · (12 t) 16 5 V V 144 t2 80 V t2 64 V V t 8 d) 11 3 4 f 4 (4 f) 3 (3 11) V V 16 4f 42 V f 6,5
3 Usando a relação entre segmento tangente e se-cante, determine o valor de s e w nos itens seguin-tes. a) 24 3 s s2 3 · (3 24) V V s2 81 V s 9 b) 5 6 w w · (w 5) 62V V w2 5w 36 0 V V w 4
4 Calcule o comprimento da corda ___AB .
C B A D x � 1 x � 7 x � 4 x � 5 (x 1) (x 7) (x 5) · (x 4) V V x2 6x 7 x2 9x 20 V V 9x 6x 20 7 V x 9 AB 9 5 9 4 V AB 9
5 Calcule o comprimento do segmento ___PA .
x � 3 2x A 6 P B x � 1 6 (6 2x) (x 3) · (x 1 x 3) V V 36 12x (x 3) (2x 2) V V 36 12x 2x2 8x 6 V 2x2 4x 30 0 V x 1 5 e x2 3
x2 3 não convém, pois alguns dos segmentos
fi-cam negativos.
Assim, x 5 e PA 2 5 6 16.
6 Determine o raio do círculo e o ângulo a indicado na figura. 6 8 7 7 7 O � 6 (6 2r) 8 (8 7) V 36 12r 120 V V 12r 84 V r 7
Como o raio mede 7, o triângulo desenhado na fi-gura acima é equilátero de lado 7, de modo que o ângulo indicado mede 60º.
7 Calcule o raio do círculo mostrado abaixo.
Por potência de ponto, verifica-se que a medida do outro segmento da figura também é 17.
Pelo teorema de Pitágoras, de acordo com a figura, tem-se: r2
@
7 17 ______ 2 7#
2 @
7 17 ______ 2#
2 V V r2 52 122V r 13 �7 r 7 � 17 2 7 � 17 2 � 78 Determine os valores das incógnitas a e b.
9 b a 4 2 5 b (b 9) 4 (4 5) V b2 9b 36 V b2 9b 36 0 V b 3 2 (2 a) 3 (3 9) V 4 2a 36 V a 16
9 Uma circunferência que tangencia um lado de um triângulo e o prolongamento dos outros dois é cha-mada de ex-inscrita do triângulo. Determine o raio da circunferência ex-inscrita do triângulo retângulo ABC ilustrado a seguir.
10 r r r 6 � r r 8
Seja h a altura do triângulo.
82 h2 102V h2 100 64 V h2 36 V h 6
Observa-se então que os dois segmentos indicados na figura, por serem tangentes à circunferência e possuírem um ponto comum fora dela, são con-gruentes, de forma que ambos medem 6 r. Pela figura acima, tem-se:
10 6 r 8 r V V 2r 8 V
V r 4 cm
Atividades para casa
PÁGINA 15510 Determine o valor da incógnita x em cada um dos itens abaixo. a) 9 24 x � 5 x � 5 b) c) d) x � 6 x � 4 x � 4 x � 3 a) 24 (x 5) 9 (x 5) V V 24x 120 9x 45 V 15x 165 V V x 11 b) 6 (6 x 4) x (x 2) V V 60 6x x2 2x V V x2 4x 60 0 V V x 10 c) x x (x 2) (x 3) V V x2 x2 x 6 0 V V x 6 d) (x 6) (x 4) (x 3) (x 4) V V x2 2x 24 x2 x 12 V V x 12
11 Determine o valor das incógnitas x e y na figura abaixo. x y x � 3 2 x x � 4 4 Dentro da circunferência: 4 (x 3) x (x 4) V 4x 12 x2 4x V V x2 8x 12 0 V V x1 6 e x2 2
x2 2 não convém pois alguns segmentos ficam
ne-gativos, logo x 6. Fora da circunferência: (2x)2 y (y 4 x 3) Substituindo x 6 tem-se: 122 y (y 7) V y2 7y 144 0 V y 1 9 e y2 16.
y2 16 não convém, pois alguns segmentos ficam
negativos.
Assim, x 6 e y 9.
12 Determine as medidas indicadas por incógnitas nos itens abaixo.
a) 48 7 x b) x � 3 x x x � 2 6 2 x x � 4 x 15 9
