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Números Reais intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional.

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Texto

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA

UNIDADE DE APOIO EDUCACIONAL – UAE

MAT 099 - Tutoria de Matemática

Tópicos:

Números Racionais

∗ operações e propriedades (frações, regra de sinal, soma, produto e divisão de frações, potência com expoente inteiro), Radiciação (propriedades)

Polinômio

∗ Expressão polinomial e domínio de validade

∗ Igualdade de polinômios, operações (adição, multiplicação, divisão, potenciação)

∗ Identidades mais usuais: produtos notáveis

∗ Raízes de polinômio

∗ Fatoração de polinômios: frações parciais, simplificação, equações e inequações polinomiais (estudo do sinal), Regra de Girard (cálculo de raízes), Polinômios com coeficientes inteiros.

Números Reais

∗ intervalos, números decimais, dízimas, números irracionais, ordem, a reta, módulo, potência com expoente racional.

∗ Equação modular

Funções

∗ Definição e notação

∗ Domínio e Imagem (algebricamente e graficamente), domínio natural

∗ Gráfico, Produto cartesiano e sistema de coordenadas cartesianas

∗ Tipos mais comuns:

∗ constante, afim(coeficiente angular, equação da reta), quadrática(vértice, raízes), cúbica, raiz, modular, por partes, racionais, etc.

∗ Translação vertical e horizontal

∗ Funções crescentes e decrescentes, sinal de funções

∗ Composição de funções

∗ Funções inversíveis

∗ Logaritmo e Exponencial (propriedades)

Modelagem com funções

Trigonometria

∗ Funções trigonométricas

(2)

Números Racionais

FRAÇÕES a b a dividen rador b divisor ou denominador do ou nume    , ,a b¢ e b 0

O conjunto de todas as frações é chamado conjunto dos números racionais. Isto é, *

*

/ , ,

exclui o zero de

números racionais não negativos m x x m Z n Z n +  ==          ¤ ¤ ¤ ¤

SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇ ÕES

Para simplificar uma fração é necessário dividir o numerador e o denominador pelo seu máximo divisor comum. Na realidade, quando simplificamos uma fração apenas estamos representamos o mesmo número racional de uma outra maneira.

Exemplos: 36 48 36 12 48 12 3 4 = ÷ ÷ = 2 4 2 4 2 2 x xy x x x y x y = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , onde x, y ≠ 0 14 21 2 7 3 7 2 3 2 2 a bc ab c a a b c a b b c a b = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , onde a, b, c ≠ 0

Pode-se também simplificar frações, aplicando os casos de fatoração nos termos da fração e cancelando os fatores comuns. Exemplos: 5 10 15 5 2 5 15 5 2 3 xx x = − ÷ ÷ = − ( ) a a a a a a 2 4 2 2 2 2 2 − − = + − − = + ( )( ) , onde a ≠ 2 x y x xy y x y x y x y + + + = + + = + 2 2 2 2 1 ( ) , onde x + y ≠ 0

Por que , nas simplificações, deve-se tomar cuidado com as restrições do tipo x0, x+y 0, x≠2, etc .?

O

PERAÇÕES COM

F

RAÇÕES

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: Só é somar ou subtrair frações com mesmo denominador. Reduzimos as frações ao mesmo denominador, se necessário.

a b c b a c b + = + , onde b ≠ 0 a b c b a c b − = − , onde b ≠ 0

(3)

a b c d ad bc bd + = + , onde b, d ≠ 0 a b c d ad bc bd − = − , onde b, d ≠ 0 Exemplo: 4 5 2 3 4 3 2 5 15 22 15 + = ⋅ + ⋅ = 2 32 2 23 1 2 2 3 x x x x x x + = ⋅ + ⋅ = + 4 5 2 3 4 3 2 5 15 2 15 − = ⋅ − ⋅ = 2x x32 2 23 1 2 2 3 x x x x − = ⋅ − ⋅ = −

MULTIPLICAÇÃO: multiplica-se os numeradores entre si e os denominadores entre si.

a b c d ac bd ⋅ = , onde b, d ≠ 0 Exemplos: 3 2 5 3 10 2 a a b a b ⋅ = 2 7 5 10 7 c d c d ⋅ =

DIVISÃO: multiplica-se a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador.

a c a d ad b÷ = ⋅ =d b c bc ou

a

a d

ad

b

c

b c

bc

d

= ⋅ =

, onde b, c, d ≠ 0 Exemplos: a b c a b c a b c a bc = ÷ = ⋅ =1 , onde b, c ≠ 0 1 1 1 a b a b b a b a = ÷ = ⋅ = , onde a, b ≠ 0

ATENÇÃO: não cometa mais estes erros:

x y y x + = ERRADO x y y x= CERTO 1 1 1 a+ =b a+b ERRADO 1 1 a b b a a b + = + ⋅ CERTO a b a b= − ERRADO a b a b a= − 1 CERTO

(4)

Potenciação Se a∈¤ e n∈¥,

n

>

1

, então,

a

n

=

a

a

a

K

a

expoente base → → n a

;

1

0

=

a

;

1

n n

a

a

=

Exemplos: a) 7 2 7 2 4 1 4 a b a b     = b)    = − − 7 10 10 7 1 c)

( )

−32= − ⋅ − =( 3) ( 3) 9 d) −   = −  = −  ⋅ −  = − 4 5 5 4 5 4 5 4 25 16 2 2 Mas − = − ⋅52 1 25= −25 e)

( )

−43= − ⋅ − ⋅ − = −( 4) ( 4) ( 4) 64 Propriedades:

Se a, b

¤ , m, n

IN , valem as seguintes propriedades: (1)

a

m

a

n

=

a

m n+ (2)

a

a

a

a

a

m n m n m n

=

÷

=

− (3)

( )

a

m

a

n m n

=

⋅ (4) n n n

a

a

b

b

     

=

, b ≠ 0 (5)

( . )

a b

n

=

a b

n

.

n Exemplos: (a)

(

−4xy3 2

) (

= −4xy3

) (

⋅ −4xy3

)

=16x y 2 6 (b) 5 7 5 7 5 7 5 7 3 2 3 2 2 1 2 x y xy x y xy x y x y = ÷ = − = (c) 2 3 8 27 8 27 2 3 3 6 3 6 xy x y x y       = ⋅ = (d)

( )

( )

4 3 3 4 3 4 9 16 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 6 4 x b b x b x b x       =      = = −

(5)

Radiciação

a

q

, se q é par então a ≥ 0, q ∈¥ * se q é ímpar então a ∈ ¤

q q

a b

= ⇔ =

b

a

a

q

não é sempre um número racional. Isto é, nem sempre existe p

q ∈¤ tal que

a

q

= p

q . Esses

números são chamados de irracionais. Um número irracional tem representação decimal ilimitada e não-periódica.

exemplos: 2=1,4142K, π=3,14159K, e=2,718K

I - conjunto dos números irracionais

conjunto dos números reais: ¡ ¤= ∪I

PRINCIPAIS PROPRIEDADES DA RADICIAÇÃO: 1) n

a

n

=

a

2) n

a b

= n

a

n

b

3) a b = a b 4) (a

x

m )n = (a

x

m n. ) 5) n

a

m =

a

m n

Atenção! Pode acontecer de a.b>0 e a/b >0 mesmo a e b não sendo. Como isso afeta as propriedades de 1 a 4. É possível encontrar exemplos em que essas igualdades não se verificam???

Exemplos:

2

3

=

2

2

2

= 2 2

2

4 6 = 6 2÷

2

4 2÷ = 23 2

4 25

=

4

25

= 2 . 5 = 10 25 9 = 25 9 = 5 3 ( 27 )5 = 27 5 (2 5

2

3 )2 = 22 ⋅5

2

6 = 4 5

2

6 = 8 25 a 3 = 3 2⋅

a

= 6

a

a a3 5 = 5 a a2 3 . = 10a5 = a5

Observação: para introduzir um termo numa raiz eleva-se o número na potência correspondente ao índice da raiz onde ele será introduzido. Por exemplo:

(6)

x x+x2 = x x2( +x2) = x3+x4

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES: transformar os números irracionais dos denominadores em números racionais.

Primeiro Caso: o denominador é formado somente pelo radical. 1) 3 2 7 = 3 2 7 . 7 7 = 3 7 2.7 = 3 7 14 2) 1 2 3 = 1 2 3 . 2 2 2 3 2 3 = 4 2 3

Segundo Caso: o denominador é a soma de dois termos, sendo ao menos um deles um radical.

Se a e b são números, então (a + b) e (a – b) são outros dois números chamados conjugados. Usando este fato e um dos produtos notáveis, podemos “racionalizar denominadores de frações em que aparecem raízes quadradas”. Veja os exemplos seguintes:

1)

(

)(

)

2 5 3 2 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 1 − − = − − = − − = − + − = + 2)

(

)

4 3 1 5 ... 5 1 3 = = − − + 3) .... 5

(

7 2

)

2 7 25 = = + − 4)

(

)

[

(

[

(

)

]

[

(

)

]

)

]

(

6

)

5 3 2 6 5 3 2 5 3 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 = = + − − + + + − + = + + = + + K

Estes exemplos permitem observar que se no denominador de uma fração aparece uma soma ou uma diferença de raízes quadradas, então o conjugado do denominador é o fator racionalizante.

Uma outra propriedade permite associar raízes com potencia de números racionais.

a

p

a

q p q

=

, sendo q ≥ 2

(

)

(

)

(

)

x x x 2 2 3 2 2 3 2 2 3 7 1 7 1 7 − = − = − − 1 7 2 1 7 2 7 2 2 7 3 1 3 1 3 1 3 + − = + −     = + −     =+x y x y x y y x

ATENÇÃO! Não cometa mais estes erros:

x x+x2 = x2+x3

ERRADO x x+x2 = x x2( +x2) = x3+x4 CERTO

(7)

x+ =y x + y ERRADO x+ =y

(

x+y

)

1 2 CERTO x x − = 1 3 3 1 ERRADO x x x − = = 1 3 1 3 3 1 1 CERTO

(8)

Polinômios

monômio: expressão algébrica cuja parte literal é um produto de variáveis com expoentes naturais.

Exemplos: 2 3

;

2

2

4

1

;

3

x

y

xy

z

xy

1

x

não é monômio

polinômio: soma algébrica de monômios.

Exemplos:

x

y

x

y

x

z

x

2

5

;

2

5

5

3

2

+

2

3 4

2 6

+

( )

x

=

x

5

2

x

3

+

4

P

( )

x

,

y

=

x

3

y

2

+

3

x

2

y

2

x

+

5

P

grau de polinômio em relação a uma variável é o maior expoente dessa variável.

valor numérico de um polinômio: observe os dois últimos exemplos de polinômios dados acima:

se

x

=

2

então

P

( )

2

=

2

5

2

2

3

+

4

=

32

16

+

4

=

20

;

20

é o valor numérico de

P

( )

x

.

se

x

=

1

e

y

=

1

então P

(

2,−1

)

=13.

( )

−12 +3⋅12

( )

−1 −2⋅1+5=1−3−2+5=1, que é o valor numérico de

P ,

( )

x

y

.

Estes são exemplos de um procedimento genérico que consiste em “substituir a parte literal de um polinômio por números reais e efetuar todas as operações indicadas”. O resultado obtido é o valor numérico do polinômio.

Operações com Expressões Algébricas

Adição e multiplicação. Vamos revê -las através de exercícios. Reduza os termos semelhantes:

a)

5

x

3

y

2

+

2

x

3

y

5

4

xy

3

+

3

x

3

y

2

2

x

3

y

5

4

b) 3 2 3 3 5 3 2 3 3 5

2

3

5

4

3

2

5

4

3

2

y

x

y

x

x

y

x

y

x

x

+

+

+

Efetue e reduza os termos semelhantes:

a)

3

x

2

(

4

xy

3

5

x

3

y

)

b)

(

x

+

2

)(

x

+

3

)

c)

(

3

x

2

y

)(

3

x

+

2

y

)

(9)

Produtos Notáveis e Fatoração

Ao operar com expressões algébricas, ocorrem com bastante freqüência certos produtos que recebem, por causa disso, o nome de notáveis. Alguns deles, relacionados em seguida, são de grande utilidade na fatoração e em certas racionalizações. Sejam

a

e

b

dois números;

• quadrado de uma soma:

(

a

+

b

)

2 =

a

2 +

b

2 +

2

ab

• quadrado de uma diferença:

(

a

b

)

2=

a

2 +

b

2 −

2

ab

• produto da soma pela diferença:

(

a

+

b

)(

a

b

)

=

a

2 −

b

2

• cubo da soma:

(

)

3 3 3 2 2 3 3a b ab b a b a+ + + + + • cubo da diferença:

(

a

b

)

3=

a

3−

b

3−

3

a

2

b

+

3

ab

2

Observe que não há fórmula para a expressão a2 + b2, pois ela não pode ser fatorada utilizando números reais.

Uma expressão algébrica se diz fatorada se puder ser escrita na forma de um produto. Isto pode ser muito útil para operar com fração algébrica. Essencialmente, a fatoração pode ser aplicada quando:

a) Existe, em uma expressão algébrica, um fator comum. Exemplos: 1) 7xy3−x y2 2+ 8x y4 3− x y3 5

como xy2 é o fator comum a todos os termos da expressão, 7xy3−x y2 2+ 8x y4 3− x y3 5 = xy2(7y− +x 8x y3 − x y2 3) 2)

6

ab

2

x

4

a

2

bx

2 +

2

abx

2 =

2

abx

(

3

b

2

ax

+

x

)

b) Outra expressão que, em geral, pode ser fatorada é a do tipo ax2 + bx +c, que se transforma no

produto de dois binômios, (x - x1)(x - x2). Por exemplo: x2 - 2x + 8 = (x - 4)(x + 2)

Os termos grifados (x1 , x2) podem ser encontrados resolvendo-se a equação ax2+ bx+c = 0 através da fórmula de Báskara. x b b ac a = − ± − 2 4 2 Exemplos: 1) Fatorar x2 - 2x -15 x2 - 2x - 15 = 0 x= 2± 4+ 60 = ± 2 2 8 2 Logo, x1 = 5 x2 = −3

(10)

Então x2 - 2x -15 = (x - 5)(x + 3)

2) Fatorar x6 - 16 = (x3)2 - (4)2

x6 - 16 = (x3 + 4)( x3 - 4)

3) Fatorar 64a3 - 27b3 = (4a)3 - (3b)3 64a3 - 27b3 = (4a - 3b)(16a2 + 12ab + 9b2)

c) Estiver presente algum produto notável;

exemplos: 2

(

2

)

(

)

2 1 4 1 2 4 4 8 4x + x+ = x + x+ = x +

(

x y

)(

x y

)

y x2− 2= + −

(

)

2 2

1

4

1

8

16

m

+

m

+ =

m

+

d) Se puder fazer a reunião dos termos em grupos, fatorar esses grupos e recair em um dos casos

anteriores. Exemplos:

(

1

) (

1

) (

1

)(

1

)

( 1)( 1)

(

1

)

1 3 2 2 2 3 3 2 3 5 + − + = + − = − + − = − + −a a a a a a a a a a a

(

m

n

)

y

(

m

n

) (

m

n

)(

x

y

)

x

nx

my

ny

mx

+ + + = + + + = + + Fatore: 1) 4x2 −12x+9 2) x2+ 2 ax+ a 3) 4 4 16ab 4) 27m3n2+ 9m2n4−18mn2

Observação: a equação

(

x

+

a

)

2 =

x

2 +

a

2 +

2

ax

é ponto de apoio usado num processo que consiste em “completar o quadrado”. Você verá uma aplicação disso no Cálculo I.

Divisão de polinômios

Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo , significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições:

1) P(x) = D(x) . Q(x) + R(x) .

2) gr R(x) < gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio. Notas:

1) se R(x) = 0 , então dizemos que P(x) é divisível por D(x). 2) se gr P > gr D então gr (P : D) = gr P - gr D .

3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor .

Efetue:

a)

(

27x3y2z5

)

:(9xyz) b) f)

(

3 3 3

) (

2 2 2

)

9 :

(11)

c) g)

(

6x3 +13x2+18x+8

) (

: 2x2+3x+4

)

d) h)

( )

x

4

1

:

(

x

1

)

e) i) 6

(

x2 −5x+8

)

:

(

x−3

)

f)

(

x3+3x2+3x+1

)

:

(

x+1

)

Resto da divisão pelo binômio x - a.

Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a) .

Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a) . Q(x) + R(x). Logo, fazendo x = a vem imediatamente

que P(a) = (a - a) . Q(a) + R(a). Portanto, P(a) = R onde R é o resto da divisão .

Assim, se P(a) = 0 , então R = 0 ( R = resto ) e portanto , P(x) é divisível por x - a . Essa afirmação é conhecida como teorema de D’Alembert

Polinômios e equações polinomiais

Seja o polinômio P(x) = a0+a x1 +a x2 2+ +L a xn n onde a0, a1, ...., an são os coeficientes

Uma equação polinomial é expressão da forma P(x) = 0. Se r é uma raiz da equação P(x) = 0 então P(r) = 0.

Exemplos :

(1) x3 + 3x2 -10x = 0

solução: pode ser fatorado: x.(x2 +3x-10) =0 ou x.(x-2).(x+5) = 0

conjunto - solução ={0, 2, -5}

Todo polinômio P(x) = a0 +a x1 +a x2 2 + +L a xn n de grau n pode ser decomposto em n fatores do primeiro grau , isto é, P (x) = an (x - r1).(x - r2). ... .(x - rn) onde r1, r2, ..., rn são as raízes (não

necessariamente distintas e não necessariamente reais) de P(x). Exemplos :

x2 - 2xy + y2 = (x - y)2

x2 - y2 = (x -y).(x + y)

x4 -10x3 + 37x2 - 60x + 36 = (x-2)2.(x-3)2

x2 + 1 não possui raízes reais. De fato, x2 + 1 = (x + i).( x – i) Todo polinômio P(x) pode ser decomposto em fatores irredutíveis. Exemplos:

x3 - y3 = (x - y).(x2 + xy + y2) x3 + y3 = (x + y).(x2 - xy + y2)

(12)

Exemplos:

1) A equação x3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o

conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}. 2) A equação x3 + x = 0 possui 1 raiz real e duas complexas.

Relações de Girard

São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica .

Para uma equação do 2º grau , da forma ax2 + bx + c = 0 , já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x1 e x2 :

x1 + x2 = - b/a e x1 . x2 = c/a .

Para uma equação do 3º grau , da forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 , sendo x

1 , x2 e x3 as raízes , temos as

seguintes relações de Girard : x1 + x2 + x3 = - b/a

x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

x1.x2.x3 = - d/a

Para uma equação do 4º grau , da forma ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 , sendo as raízes iguais a x1 , x2 , x3 e x4 , temos as seguintes relações de Girard :

x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a

x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

x1.x2x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 = - d/a

x1.x2.x3.x4 = e/a

NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ), tornando fácil a memorização das fórmulas. Um outro resultado útil no cálculo de raízes racionais é o seguinte:

Seja P x( )=a xn n+an1xn−1+ +L a x a1 + 0 onde ai∈¢ e a0≠0. Se o racional p

q , p e q primos entre

si, é uma raiz de ( )P x , então p é divisor de a e q é divisor de 0 a . n

Observação: este teorema não garante a existência de raízes racionais mas, no caso delas existirem, mostra como obtê-las.

(13)

Colocando x em evidência, temos 4 3 2

( ) ( 2 2 2 3)

P x =x x + xx + x− . Portanto, uma das raízes é zero e as outras são raízes de x4+2x3 −2x2+2x3. Usando o resultado anterior, como

0

a = -3 e a = n

1, p= ±1 ou p= ±3 e q= ±1 Assim, se P x tiver raízes racionais elas estão no conjunto ( ) { 3, 1,1,3}− − . Como somente P(1)= − =P( 3) 0, as raízes racionais de P x são {0, 1, -3}. Este ( ) polinômio pode ser colocado na forma fatorada ( )P x =x x( +3)(x−1) ( )Q x . Usando um algoritmo de divisão, temos que Q x( )= x2+1 que não tem raízes reais.

(14)

NÚMEROS REAIS

A maior parte das quantidades variáveis que estudamos, tais como comprimento, área, volume, posição, tempo e velocidade, é medida por meio de números reais e, neste sentido, o Cálculo está baseado nos números reais.

O sistema dos números reais contém diversos tipos de número: os inteiros, os racionais e os irracionais.Há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais (Å) e os pontos de uma reta.

Valor absoluto ou módulo de um número real

O valor absoluto |a| de um número real a é definido como:

|a| =

a

se a

a

se a

<

0

0

De acordo com a definição, ∀a, |a|

0. Isto é, módulo de um número real é sempre positivo. Por exemplo, |6| = 6 e |-2| = - (-2) = 2

Geometricamente,

x

é um número que representa uma distância: a distância do ponto que corresponde ao número

x

, à origem; então, pode-se dizer que

x

=

x

2 .

Observe que, pela definição:

Se a é um número positivo, |x| < a

-a < x < a (por que?)

Se a é um número positivo, |x| > a

x > a ou x < - a (por que?)

Intervalos

Intervalos são subconjuntos de números reais tais como os casos descritos abaixo. Pode-se fazer uma representação gráfica desses conjuntos.

Notação Definição Gráfico

6 (a, b) {x∈¡ : a < x < b}

(

)

a b [a, b] {x∈¡ : a

x

b}

[

)

a b [a, b) {x∈¡ : a

x < b} [ ] a b (a, b] {x∈¡ : a < x

b}

(

]

a b (a,

) {x∈¡ : x > a }

(

a [a,

) {x∈¡ : x

a }

[

a (-

, b) {x∈¡ : x < b }

)

b (-

, b] {x∈¡ : x

b }

]

b

(15)
(16)

Equações e Inequações modulares

Para se resolver uma equação (em x), é necessário que se ache o valor (ou valores) da variável que tornem a sentença verdadeira.

(1) Resolva |2x +1| = 3 Por definição, |2x +1| = 3 ⇔ 2 1 3 2 1 3 x ou x + = + = −      ⇔ x ou x = = −      1 2

Para se resolver uma inequação, é necessário determinar todos os valores da variável (ou variáveis) que tornem a inequação verdadeira.

Exemplos :

(1) x + 3 < 5x –1 (que valores entre (-,) satisfazem essa equações?) Conjunto solução = (1, ∞) (2) x x + − 2 2 3 < 4 ⇒ para x ≠ 3/2, |x + 2| < |2x - 3|

(a pergunta agora deverá ser a mesma? que valores entre (-,) satisfazem essa equações?

|x + 2| = x se x x se x + ≥ − − + <    2 2 2 2 ( ) e |2x - 3| = 2 3 3 2 2 3 2 x se x x se x − ≥ − + <    / ( ) / | |

caso 1 caso 2 caso 3

-2 3/2

Caso 1) x < -2 ⇒ -x -2 < 4(-2x +3) ⇒ x <2 . Logo S1 = (- ∞ , -2)

Caso 2) -2 ≤ x < 3/2 ⇒ x + 2 < 4(-2x +3). Logo S2 = (-2, 10/9)

Caso 3) x ≥ 3/2 ⇒ x + 2 < 4(2x - 3). Logo S3 = (2, ∞ )

(17)

Funções

Uma função é uma correspondência existente entre dois conjuntos, A e B, de modo que a cada elemento a

∈ A corresponda um, e apenas um, elemento b ∈ B.

O conjunto A chama -se domínio da função, D(f) e o conjunto dos valores b ∈ B, associados aos pontos

a do domínio é chamado imagem.

Por exemplo:

1. A área de uma circunferência depende somente de seu raio, através da equação A = π r2. Diz-se então

que A é função de r.

2. O número de bactérias n presentes em uma cultura de bactéria após uma hora de observação depende da quantidade N de bactérias presentes inicialmente na cultura; diz -se então que n é uma função de N.

Uma função pode ser representada de quatro maneiras:

(i) Por uma tabela (ou quadro)

Exemplo: Uma pequena fábrica pode produzir de 0 a 4 unidades diárias de um artigo. O custo

operacional diário da fábrica é dado por:

Custo Operacional da Fábrica

x (nº de unidades) 0 1 2 3 4

y (custo diário) 500 700 900 1100 1300

Esta tabela é equivalente a: (0, 500), (1, 700), (2, 900), (3, 1100), (4, 1300)

(ii) Por uma regra

Exemplo: para obter o custo operacional diário, no exemplo anterior, para 0, 1, 2, 3 ou 4 unidades,

multiplique o número de itens por 200 e adicione 500 ao resultado.

(iii) Por um gráfico

(18)

(iv) Por uma equação

Exemplo: para obter o custo operacional diário dado no exemplo anterior, tem-se:

y = 200x + 500, onde x = 0, 1, 2, 3, 4 e y é o custo operacional diário.

Porém, nem toda tabela, gráfico ou equação representam uma função

Se uma quantidade b depende de uma quantidade a de modo que cada valor a determina

exatamente um único valor b, então dizemos que b é função de a.

Por exemplo, seja A = π r2

Valor de r 0 1 2 3

A 0 π 4 π 9 π

r é chamada variável independente e A é chamado de variável dependente.

Em geral, representa-se as funções através de letras do alfabeto. Por exemplo, A = π r2 indica que a área A é função do raio r. Escreve-se A = f(r) e representa-se f(r) = π r2 que significa que f é a função que

associa a cada raio r o valor A = πr2. Por exemplo, f(2) = 4 π.

O conjunto de todos os valores assumidos pela função é chamado conjunto imagem de f, representado por Im(f).

Dado x A, y = f(x) B é o valor da função f no ponto x ou imagem de x por f.

Utiliza-se a letra f para indicar a função, o valor da função no ponto x por f(x) e a notação f: A→ B para indicar a função com os conjuntos A e B relacionados.

Exemplos :

(i) Seja f: Å - {1} Å tal que f(x) =

x

x

2

4

1

− − , determine: (a) f(½ ) (b) f(x - 2) (c) f(t2) (d) f(x + ∆x ) - f(x)

Se uma função f é definida por uma expressão sem especificação do seu domínio, pode-se então considerar como domínio de f os números reais para os quais a expressão assume um valor real, isto é, o maior subconjunto de Å tal que f(x) Å. Este domínio é chamado domínio natural de f.

Por exemplo: seja h(x) = 1

1 3

(x− )(x− ). Esta função não está definida para 1 e 3. Logo, D(f) = Å - {1, 3}

(19)

O cancelamento de fatores comuns no denominador e no denominador de uma expressão podem alterar o

domínio natural de uma função.

Por exemplo: se h( x) = x x 2 4 2 −

− , D(h) = Å - {2} se rescrevermos h(x) = x + 2 temos de ter o cuidado de

conservar o domínio da função original, isto é, h( x) = x + 2, com x ≠ 2. Exercício: determine o domínio natural das seguintes funções :

(a) f(x) = 4 1 + − x x , D(f) = [-4, 1) (b) f(x) = ( )( ) ( )( ) x x x x x x 2 2 2 3 4 9 12 3 + − − + − + , D(f) = Å - {-4, -3, 3} (c) f(x) =

4

1

1

2 3 + + − + −

x

x

x

x

, D(f) = (-4, 1]]

Gráfico de Funções Reais

Sistema de coordenadas retangulares

O conjunto forma do por todos os pares ordenados de reais é chamado de espaço bidimensional e indicado por Å2. Isto é, Å2.= {(a, b) / a, b Å }.

Um sistema de coordenadas retangulares é uma correspondência entre pares ordenados (a, b) e pontos de um plano. Este sistema é necessário para descrever geometricamente a dependência ou relação entre duas quantidades.

O plano é chamado plano coordenado ou plano xy. Então um elemento (a, b) do Å2. pode ser representado no plano cartesiano, por um ponto P de abcissa a e ordenada b.

Definição: Seja f: AB, o gráfico de f é o conjunto de todos os pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x∈ D(f), isto é Gf = {(x, f(x)) / x D(f)}

Dada uma curva c no plano xy é possível determinar se ela representa o gráfico de uma função: quando

qualquer reta vertical corta a curva no máximo em um ponto. Isto porque se f é uma função, um ponto

(20)

Através do gráfico de f também podemos determinar o domínio e a imagem de f .

Funções Reais mais comuns

1. Função Constante

• O tipo mais simples de função é aquela que associam o mesmo valor a todo ponto do seu domínio. Isto é, é toda função do tipo f(x) = k. São chamadas funções constantes. Por exemplo, f(x) = 3; então f(1) =3, f(0) = 3, etc.

• D(f) = Å e Im(f) = {k} Atenção!!! NÃO É FUNÇÃO

f(x) = k x = k

Função do 10 grau ou função linear

É toda função do tipo f(x) = ax + b

∗ a = tgθ é o coeficiente angular da reta ou declividade da reta.

∗ Dado dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) pertencentes ao gráfico de f, isto é, que tornem a equação y

= ax + b verdadeira, então a =

y

y

x

x

2 1 2 1 − − .

∗ (b, 0) é o ponto onde a reta corta o eixo do y.

D(f) = Å e Im(f) = Å

(21)

a < 0 ⇒ tgθ < 0. Logo, θ é obtuso é decrescente. Exemplo: f x( )= 2x−1

(22)

Função quadrática

É a função definida por f(x) = ax2 +bx +c, a ≠ 0.

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo do y. A interseção da parábola com o eixo x define os zeros da função. A interseção do eixo de simetria com a parábola é um ponto chamado vértice (v) onde v = (-b/2a, -∆ /4a).

∆ > 0 a > 0 ∆ = 0 a > 0 ∆ < 0 a > 0 ∆ > 0 a < 0 ∆ = 0 a < 0 ∆ < 0 a < 0 h x( ) = x2− 2 D(f) = ¡ Im f: [-2 ; +∞) Função cúbica Exemplos: (a) f(x) = x3 (b) f(x) = x3 + 2 (c) f(x) = (x - 1)3

(23)
(24)

Função definida por partes

As funções também podem ser definidas por expressões distintas em partes do seu domínio. Exemplos: 1) x x x x x + ≤ − + < ≤ − + >      4 0 4 4 0 4 2 12 4 2 , , , se x se se x D(f) = Å Im f: ( -∞ ; 4 ] (2) 2, 4 2, 4 1 4, 1 se x se x se x − ≤ −   − < ≤   >D(f) = Å Im f = {-2, 2, 4} Exercícios:

1) Seja f:ÅÅ tal que f(x) = 2 1 1

1 2 x se x x se x − ≥ <    , calcule f(2), f(-2) e f(x + 1)

2) O custo de uma corrida de táxi em uma certa área metropolitana é tabelado da seguinte maneira: qualquer corrida inferior a 2Km custa R$ 1,75; após os 2Km, o passageiro paga um adicional de R$0,50 por Km. Se f(x) é o custo total de uma corrida de x Km, então o valor de f(x) é:

f(x) = 1 75 0 2 1 75 0 5 2 2 , , , .( ) se x x se x ≤ ≤ + − >   

(a) Qual o gasto de um passageiro se ele anda 1 km? (b) Qual o gasto de um passageiro se ele anda 4 km?

Função modular

É a função definida por f(x) = | x |. Ela também pode ser escrita seguinte forma: f(x) = x se x x se x ≥ − <    0 0 D(f) = Å e Im(f) = [0, ∞ )

(25)

Exemplos: (a) f(x) = |x - 1| = 1 1 1 1 x se x x se x − ≥   − + <  (b) f(x) = | x | - 1 = 1 0 1 0 x se x x se x − ≥   − − <  Função racional

É uma função definida pelo quociente de duas funções polinomiais, isto é, f(x) = p x

q x ( ) ( ) ( ) { / ( ) 0} D f = x∈¡ q x ≠ Exemplos: (a) f(x) = 1 x (b) f(x) = 1 x + 1 (c) f(x) = 1 1 x +

Atenção!!! Podemos simplificar uma função racional, mas isso não quer dizer que o gráfico desta outra função é igual ao gráfico da função original. Por exemplo, obtenha o gráfico de f(x) = x

x 2 1 1 − + .

Função crescente e decrescente

- Uma função f é crescente em (a, b) se ∀ x1, x2 ∈ (a, b) com x1 < x2 ⇒ f(x1) ≤ f(x2)

- Uma função f é decrescente em (a, b) se ∀ x1, x2 ∈ (a, b) com x1 < x2 ⇒ f(x1) ≥ f(x2)

Exemplo: f(x) = x2 é crescente em [0, ∞ ) e decrescente em (-∞ , 0) -1 1

(26)

OPERAÇÕES DE TRANSLAÇÃO:

NA IMAGEM - Observe os gráficos abaixo:

f(x) = x2 f(x) = x2 + 2 f(x) = x2 - 2

Pode-se observar que somando-se uma constante positiva à imagem da função o gráfico desta desloca -se para cima, bem como ao subtrairmos uma constante positiva este desloca-se para baixo.

f(x) = x2 f(x) = 2x2

f(x) = x

2

2

Nestes gráficos, nota-se que ao multiplicar a função por uma constante maior que 1 o gráfico desta “espicha”, bem como ao dividi-la por uma constante maior que 1 este torna-se mais “achatado”.

NO ARGUMENTO:

f(x) = x2 f(x) = (x + 2)2 f(x) = (x - 2)2

Observando-se os gráficos, nota-se que ao somar uma constante positiva (k) no argumento da função o gráfico desta se deslocará para esquerda k unidades, bem como ao subtrair uma constante positiva (k) este se deslocará para a direita k unidades. Por exemplo :

( )

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(28)

Função Contínua

Entende-se por função contínua aquelas onde seu gráfico se apresenta como uma linha contínua, isto é, uma linha que não possua “furos” ou “saltos”.

f(x) = x2 Contínua f(x) = x3 Contínua f(x) = 1 x

Esta função é descontínua, pois no ponto x = 0, a função não existe.

f(x) = 2 , x ≠ 1

Esta função é descontínua, pois no ponto x = 1, a função não existe Variação do sinal de uma função

Muitas vezes precisamos determinar os pontos x nos quais a função derivada muda de sinal. Sejam os dois gráficos abaixo:

a

y = g(x)

a y = h(x)

Gráfico I Gráfico II

Observe que, no gráfico I, que y = g(x) muda de sinal no ponto de abcissa x = a e passa de y = g(x) < 0 para y = g(x) > 0 e g(a) = 0. no gráfico II, que y = h(x) muda de sinal no ponto de abcissa x = a e passa de y = h(x) < 0 para y = h(x) > 0 e h(x) é “descontínua” em zero.

Podemos concluir que se y = f(x) muda de sinal em x = a, então ou f(a) = 0 ou f(x) é descontínua em a. Isto é, os únicos pontos em que uma função pode mudar de sinal são aqueles onde ela se anula ou onde é

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Exercício: determine os pontos em que as funções f(x) = x3 - 3x2 + 4 = (x - 2)2(x + 1) e h(x) = 1 3

xf(x) pode mudar de sinal em x = 2 ou x = -1 e h(x) pode mudar de sinal em x = 3.

Observe que para determinar o sinal de uma função contínua (se é positiva ou negativa) num intervalo, é suficiente determinar seu sinal em um ponto x deste intervalo. Para isto, estamos supondo que a função não se anule em qualquer ponto deste intervalo.

Exemplos:

1) Determine o(s) intervalo(s) em que 2

( ) 2 8

f x = xx− ≥ 0 Serão feitas duas resoluções diferentes:

a) Utilizando a fatoração, transforma -se a expressão x22x 8 no produto (x – 4)(x + 2) e analisa-se o sinal de cada uma das funções y = x – 4 e y = x + 2.

- - - + + + + + y = x - 4 4 - - - - + + + + + + + + + + + + + y = x + 2 -2 + + + - - - + + + + + y = (x -4)(x + 2) -2 4

b) Analisa-se o sinal da função y =x22x 8(parábola).

+ + + + + - - - + + + + + + +

-2 4

2) Determine o(s) intervalo(s) em que ( ) 1 5 x f x x − = + > 0.

Analisando o sinal das equações y = x - 1 e y = x + 5, temos: - - - + + + + + + + y = x - 1 1 - - - + + + + + + + + + + + y = x + 5 -5 + + + + - - - + + + + + + + Solução: (-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞) Solução: (-5 ; 1) ou S={x ∈ R / -5 < x <1} Solução: (-∞ ; -2] ∪ [4 ; +∞)

(30)
(31)

Função composta

Vamos definir agora uma operação com funções (composição) que não possui analogia com a aritmética dos números reais.

Basicamente esta operação consiste em substituir a variável independente de uma função por outra função, obtendo assim uma nova função.

Por exemplo: sejam f(x) = x + 1 e g(x) = x2 então g(f(x)) = (x +1)2

Dadas as funções f e g, a função composta de g com f, denotada por g fo , é definida por: ( ) ( ( ))

go f x = g f x

O domínio de go f é o conjunto de todos os pontos x no domínio de f tais que f(x ) está no domínio de g. Isto é, D( go f ) = {x D(f) / f(x) D(g)}

Exemplos:

(a) Sejam f(x) =

x

e g(x) = x - 1. Logo, f o g x( )= x−1 e g f xo ( )= x - 1 - D(f) = [0, ∞ ) e Im(f) = [0, ∞ ) ⊂ D(g) = Å então, D(go f ) = [0, ∞ ) - D(g) = Å e Im(g) = Å. D( f o g) = {x ∈ Å / (x - 1) ∈ D(f)} = [1, ∞ ) (b) Sejam f(x) = x2 + 3 e g(x) =

x

⇒ (f o g)(x) = x + 3

- D( f og) = {x D(g) / g(x) D(f)} = {x ∈ [0, ∞ ) / (

x

Å)} = [0, ∞ ) Assim, ( f o g)(x) = x + 3, x ≥ 0

Muitos problemas matemáticos podem ser atacados decompondo funções na composição de funções mais simples. Por exemplo a função h dada por h( x) = (x + 1)2. Para calcular h(x) em um determinado valor x, calculamos x + 1 e depois elevamos este resultado ao quadrado.

Estas operações são realizadas pelas funções g(x) = x + 1 e f(x) = x2. Podemos então expressar h em termos de f e g escrevendo h( x) = (x + 1)2 = (g(x))2 = f(g(x)) = ( f o g)(x) Seja h(x) = 1 1 x+ . Se f(x) = 1/x, g(x) = x + 1. h(x) = ( f o g)(x) = f(x +1) = 1 1 x+

(32)

Função Inversa

Seja f: A → B. Se para cada y ∈ B, existir exatamente um valor x A tal que y = f(x), isto é, se f é bijetora, então podemos definir uma função g: B → A tal que x = g(y).

A função g definida desta maneira é chama da função inversa de f e denotada por f -1.

Se f: A → B é uma função bijetora então g: B → A é a inversa de f se e somente se: (i) g(f(x)) = x, x ∈ A

(ii) f(g(y)) = y, y ∈ B Exemplos :

(i) f: ÅÅ tal que f(x) = 2x -5 ⇒ f-1: ÅÅ com f-1(x) = ½ (x + 5) (ii) f: Å - {3}Å - {-1} tal que f(x) = x

x − − 1 3 ⇒ f -1: Å - {-1}Å - {3} com f-1(x) = 1 3 1 + + x x

Graficamente pode-se determinar se uma função admite inversa: passando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico sempre e em apenas um ponto. Para se traçar o gráfico da função inversa traça-se a reta y = x. O gráfico de f e f-1 são simétricos em relação a esta reta.

Exemplo:

f: [0, ∞ )→ [0, ∞ ) tal que f(x) = x2 admite inversa g: [0, ) [0, ) tal que g(x) = x

x

y x

x2

Função exponencial

Dado um número a, tal que 0 < a ≠ 1, define-se a função exponencial de base a, f: Å Å tal que f(x) = ax

D(f) = Å e Im(f) = (0, ∞ )

f(x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

(33)

Logaritmo

Sejam a e b números reais positivos, com a ≠ 0. Chama-se logaritmo de b na base a, o expoente que deve ter a para que a potência obtida seja b. Isto é,

log ab = x ⇔ ax = b

Como conseqüência da definição, segue para 0<a≠ 1, b, c>0, as seguintes propriedades: 1) log a 1 = 0

2) log a a = 1

3) log a (b+c) = log ab + log ac 4) log a (b/c) = log ab - log ac 5) log a bm = m log a b

Função logarítmica

Dado um número a, tal que 0 < a ≠ 1, chamamos função logarítmica de base a, a função

f: (0, ∞ ) → Å tal que f(x) =logax, sendo f a função inversa de g definida por g(x) = a

x

. D(f) = (0, ∞ ) e Im(f) = Å

f(x) = logax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.

O gráfico da função logarítmica é simétrico ao gráfico da função exponencial em relação a reta y = x.

0 < a < 1 a > 1

Os logaritmos mais largamente utilizados nas aplicações são os logaritmos naturais, os quais têm uma base irracional denotada por e em homenagem ao matemático Leonard Euler. Até 6 casas decimais o valor de

(34)

Representa-se logeb= lnb.

(35)

Modelagem com funções

1. Um número excede seu quadrado em uma unidade a) Modele a equação

b) Esboce o problema geometricamente, sabendo que y = x e y = x2 c) Resolva a equação

d) Caso não haja solução, qual o maior valor que N pode assumir na equação x – x2 = N, para que haja solução.

2. Um retângulo tem área 280m2. Se triplicarmos a sua altura e reduzirmos o seu comprimento a um quarto, qual será a área desse novo retângulo.

3. Em um pomar em que existem 30 laranjeiras produzindo, cada uma, 600 laranjas por ano. Foram plantadas n novas laranjeiras. Depois de um certo tempo, constatou-se que, devido à competição de nutrientes do solo, cada laranjeira tanto nova quanto velha) estava produzindo 10 laranjas a menos, por ano, por cada nova laranjeira plantada no pomar. Se f(n) é a produção anual do pomar, determine:

a) A expressão algébrica de f(n)

b) Os valores de n para os quais f(n) = 0 (o que isso significa?)

c) Quantas novas laranjeiras deveriam ter sido plantadas para que o pomar tivesse produção máxima. d) Qual o valor dessa produção?

Solução:

a) número total de laranjeiras = 30 + n a queda de produção das laranjeiras = 10n produção de cada laranjeira = 600 – 10n produção anual do pomar = (30 + n)(600 - 10n)

f(n) = (30 + n)(600 - 10n)

b) – b/2a = 15 c) f(15) = 20.250

(36)

Funções trigonométricas

Considere a circunferência unitária com centro na origem. O comprimento dela é 2π .

Associa -se a cada número real a um único ponto P as circunferência da seguinte forma:

Se a≥ 0, realiza-se a partir de A um percurso de comprimento a, no sentido anti-horário e marcamos P como ponto final do percurso.

Se a<0, realiza-se a partir de A um percurso de comprimento a, no sentido horário e marcamos P como ponto final do percurso.

A circunferência assim construída, com ponto inicial A, é chamada ciclo trigonométrico. O número a é a medida do ângulo θ em radianos. Assim, se θ = 360o, a = 2π .

Se o ponto P está associado ao número x, diz-se que P é a imagem de x no ciclo. Observa-se que se P é imagem do número x0 então P é imagem dos números x0 + k π , k ∈ Í.

O eixo das abcissas é chamado eixo dos cosenos, o eixo das ordenadas é chamado eixo dos senos, a reta

x = 1 é o eixo das tangentes e a reta y = 1 é o eixo das

cotangentes..

Seja a um número real. Marcamos um ângulo com medida a radianos, na circunferência unitária

com centro na origem e seja a reta y = ax.

Seja P o ponto de interseção da reta y = ax com essa circunferência. Denomina-se seno de a, a ordenada 0P , cos de a a abcissa 01 P . 2

Seja Q o ponto de interseção da reta y = ax com a reta x = 1. Denomina-se tangente de a o comprimento do segmento AQ . P a A A B P θ

(37)

Seja T o ponto de interseção da reta y = ax com a reta y = 1. Denomina-se cotangente de a o comprimento do segmento B T.

Função seno

Denomina-se função seno a função f: Å Å ,que associa a cada real x, o número real 0P = senx, isto 1

é, f(x) = senx. Observações:

1. A imagem da função seno é o intervalo [-1, 1], isto é,-1 ≤ senx ≤1 pois se P está no círculo, sua ordenada pode variar de –1 a 1.

2. A função seno é periódica e seu período é 2π , portanto, senx = sen(x + k.2 π)

Exemplos:

a) ( )f x = sen x(2 ) b) ( )f x = 2sen x( )

Função coseno

Denomina-se função coseno a função f: Å Å ,que associa a cada real x, o real 0P = cos(x), isto é, 2 f(x) = cosx.

A imagem da função coseno é o intervalo [-1, 1], isto é,-1 ≤ cosx ≤1 A função coseno é periódica e seu período é 2π.

Exemplos:

(38)
(39)

Funções tangente, secante, cotangente e cossecante

Essas funções são definidas em termos de seno e coseno. As funções tangente, secante, cotangente e cossecante são denotadas pelos símbolos tg, sec, cotg e cosec e definidas por:

tg(x) = ( ) cos( ) sen x x , cotg(x) = cos( ) ( ) x sen x , 1 sec( ) cos( ) x x = e cosec( ) 1 ( ) x sen x = Função tangente

Dado um número real x

2

π

+ kπ , denomina-se função tangente a função f: DÅ que associa a

cada x em D = {xÅ |x≠ π

2 +kπ,k∈¢ } o comprimento do segmento AQ , isto é, f(x) = tg(x).

A função tangente é periódica e seu período é π. Funções secante e cossecante

( ) sec( )

f x = x f(x) = cotg(x).

Relações Trigonométricas mais comuns :

sen(x+y) = sen x cos y + cos x sen y sen(x-y) = sen x cos y - cos x sen y cos(x+y) = cos x cos y - sen x sen y cos(x-y) = cos x cos y + sen x sen y • sen2x + cos2x = 1

• sec2 x = 1 + tg2 x • cosec2 x = 1 + cotg2 x

Referências

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