M
ATEMÁTICA
D
ISCRETA
– L
ISTA
DE
E
XERCÍCIOS
3
1. Construa tabelas-verdade para as expressões abaixo. Note quaisquer tautologias ou contradições.a) A → (B → A)
b) A
∧
B ↔ B'
∨
A'
c) (A
∨
B')
∧
(A
∧
B)'
d) [(A
∨
B)
∧
C'] → A'
∨
C
2. Justifique cada passo (dizendo ao lado de cada linha qual a regra foi aplicada) na demonstração de validade dos argumentos abaixo:
a) C
∧
(D' → C ' ) → D
1. C
2. D' → C '
3. (D' )'
∨
C '
4. D
∨
C '
5. C '
∨
D
6. C → D
7. D
b) [(A
∨
B') → C]
∧
(C → D)
∧
A → D
1. (A
∨
B') → C
2. C → D
3. A
4. A
∨
B'
5. C
6. D
3. Usando lógica proposicional, prove que cada argumento verbal abaixo é válido:
a) Se segurança é um problema, então o controle será aumentado. Se segurança não é um
problema, então os negócios na Internet irão aumentar. Portanto, se o controle não for
aumentado, os negócios na Internet crescerão.
b) Não é verdade que, se as tarifas de energia subirem, então o uso diminuirá, nem é verdade
que ou novas usinas elétricas serão construídas ou as contas não serão pagas com atraso.
Portanto, o uso não vai diminuir e as contas serão pagas com atraso.
c) Se José levou as jóias ou a Sra. Krasov mentiu, então foi cometido um crime. O Sr. Krasov
não estava na cidade. Se um crime foi cometido, então o Sr. Krasov estava na cidade.
Portanto, José não levou as jóias.
4. Encontre o valor lógico da expressão
(
∃
x)(A(x)
∧
(
∀
y)[B(x,y) → C(y)])
com a interpretação de que o conjunto universo é o conjunto dos inteiros, A(x) significa que “x > 0”, B(x) significa que x > y e C(x) é “y ≤ 0”.
5. Usando os símbolos predicados indicados e quantificadores apropriados, escreva cada declaração em português como uma expressão lógica. Considere o conjunto universo como o mundo inteiro.
P(x) = x é uma pessoa
T(x) = x é um período de tempo
E(x, y, z) = x é enganado por y no período de tempo z a = Você
a) Você pode enganar algumas pessoas todo o tempo.
b) Você pode enganar todas as pessoas durante algum tempo. c) Você pode enganar todas as pessoas todo o tempo.
6. (Sem resposta) Usando os símbolos predicados indicados e quantificadores apropriados, escreva cada declaração em português como uma expressão lógica. Considere o conjunto universo como o mundo inteiro). J(x) = x é um juiz F(x) = x é um farmacêutico L(x) = x é um advogado M(x) = x é uma mulher A(x, y) = x admira y
a) Existem algumas mulheres advogadas que são farmacêuticas. b) Nenhuma mulher é, ao mesmo tempo, advogada e farmacêutica. c) Alguns advogados só admiram juízes.
d) Todos os juízes admiram apenas juízes. e) Só juízes admiram juízes.
f) Todas as mulheres advogadas admiram algum juiz. g) Algumas mulheres não admiram nenhum advogado.
RESPOSTAS:
1. a) Conclusão: é uma tautologia
A | B | B → A | A → (B → A) ---V | ---V | ---V | ---V V | F | V | V F | V | F | V F | F | V | V
1. b) Conclusão: é uma contradição
A | B | A'| B'| A ∧ B | B' ∨ A' | A ∧ B ↔ B' ∨ A' ---V | ---V | F | F | ---V | F | F V | F | F | V | F | V | F F | V | V | F | F | V | F F | F | V | V | F | V | F 1. c) A | B | B'| A ∨ B'| A ∧ B | (A ∧ B)'| (A ∨ B') ∧ (A ∧ B)' ---V | ---V | F | ---V | ---V | F | F V | F | V | V | F | V | V F | V | F | F | F | V | F F | F | V | V | F | V | V 1. d) A | B | C | A'| C'| A ∨ B | (A ∨ B)∧ C'| A' ∨ C | [(A ∨ B)∧ C']→ A'∨ C ---V | ---V | ---V | F | F | ---V | F | ---V | ---V V | V | F | F | V | V | V | F | F V | F | V | F | F | V | F | V | V V | F | F | F | V | V | V | F | F F | V | V | V | F | V | F | V | V F | V | F | V | V | V | V | V | V F | F | V | V | F | F | F | V | V F | F | F | V | V | F | F | V | V 2. a)
C
∧
(D' → C ' ) → D
1.C
hip
2.D' → C '
hip
3. (D' )'
∨
C '
2, cond
4. D
∨
C '
3, dn
5. C '
∨
D
4, com
6. C → D
5, cond
7. D
1, 6, mp
2. b)[(A
∨
B') → C]
∧
(C → D)
∧
A → D
1.(A
∨
B') → C
hip
2.C → D
hip
3.A
hip
4.A
∨
B'
3, ad
5.C
1, 4, mp
6.D
2, 5, mp
3. a)
A = Segurança é um problema B = O controle será aumentado
C = Os negócios na Internet irão aumentar
Hipóteses: Conclusão:
A → B
B' → C
A' → C
Argumento:(A → B)
∧
(A' → C) → (B' → C)
aplicando o método dedutivo temos: (A → B)
∧
(A' → C)
∧
B' → C
1.
A → B
hip
2.A' → C
hip
3.B'
hip
4.A'
1, 3, mt
5.C
2, 4, mp
3. b)A = As tarifas de energia subiram B = O uso vai diminuir
C = As novas usinas elétricas serão construídas D = As contas serão pagas com atraso
Hipóteses: Conclusão:
(A → B)'
∧
(C
∨
D' )'
B'
∧
D
A' → C
Argumento:(A → B)'
∧
(C
∨
D' )' → B'
∧
D
1. (A → B)'
∧
(C
∨
D' )'
hip
2. (A → B)'
1, simp
3. (C
∨
D' )'
1, simp
4. (A'
∨
B) '
2, cond
5. A
∧
B'
4, de morgan
6. B'
5, simp
7. C'
∧
D
3, de morgan
8. D
7, simp
9. B'
∧
D
6, 8, conj
3. c)A = José levou as jóias B = A Sra. Krasov mentiu C = Foi cometido um crime
Hipóteses: Conclusão:
A
∨
B → C
A'
D'
C → D
Argumento:(A
∨
B → C)
∧
D'
∧
(C →
D) → A'
1. A
∨
B → C
hip
2. D'
hip
3. C → D
hip
4. C '
2, 3, mt
5. (A
∨
B)'
1, 4, mt
6. A'
∧
B'
5, de morgan
7. A'
6, simp
4. A expressão é verdadeira, pois podemos encontrar um valor de x no qual a expressão
(A(x)
∧
(
∀
y)[B(x,y) → C(y)])
é verdadeira. Se considerarmos x = 1, então temos que A(1) = 1 > 0 = V
Resta demonstrar que para todo valor de y, B(1, y) → C(y), ou que [(1 > y) → (y <= 0)]. Para todo número inteiro y que colocarmos na expressão o valor será verdadeiro. Para todo número maior que 1, o antecedente da implicação será falso, e a implicação será verdadeira. Se y for um número inteiro menor que 1, o antecedente e o conseqüente serão verdadeiros, e a implicação também será verdadeira. Logo, a expressão toda é verdadeira, para um conjunto universo dos números inteiros.
5. a) (
