Faculdades Integradas Campograndenses
Professor: Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos
Lista 3 de Exercícios de Lógica Matemática
1. Encontre as negações em cada uma das proposições: a) Todas as cobras são répteis.
b) Alguns matemáticos não são sociáveis. c) Alguns cavalos são dóceis.
d) Nem todos os números são pares. e) Todos os gatos não são ariscos. f) Todos os triângulos são isósceles. 2. Negue os enunciados abaixo:
a) (x) ( p(x) q(x)) b) (x ) ( p(x) q(x)) c) (x) ( p(x) q (x)) d) (x) (~p(x) q(x)) e) P(x) (y) q(y) f) (x) t(x) M(x)
g) (y) (p(y) q(y) r(y)) h) (x) ( p(x ) q(x) r(x)) i) (x) ( p(x) q(x))
j) (x ) p(x) (x) ( q(x) r(x))
3. Qual o valor lógico de cada uma das fbfs a seguir na interpretação onde o domínio consiste em todos os inteiros, I(x) é “x é ímpar”, L(x) é “x 10” e G(x) é “x 9” ?
a) (
x)I(x) b) (
x )[L(x) I(x)]c) (
x)[L(x) G(x)] d) (
x )[L(x) G(x)]4. Qual o valor lógico de cada uma das fbfs na interpretação onde o conjunto universo é o conjunto dos números inteiros ?
a) (
x )(
y)(x + y = x) b) (
y)(
x )(x + y = x)c) (
x )(
y)(x + y = 0) d) (
y)(
x )(x + y = 0)e) (
x )(
y ) (x y y x) f) (
x )[x 0 (
y)(y 0 x + y = 0)] g) (
x)(
y)(x2 = y)5. Indique o valor lógico de cada uma das fbfs a seguir na interpretação onde o domínio consiste nos estados do Brasil, Q(x,y) é “x está ao norte de y”, P(x) é “x começa com a letra M” e a é “Mato Grosso”.
a) (
x )P(x)b) (
x )(
y )(
z )[Q(x,y) Q(y,z) Q(x,z)] c) (
y)(
x)Q(y,x)d) (
x )(
y)[P(y) Q(x,y)] e) (
y)Q(a,y)6. Com o uso de símbolos predicados mostrados e os quantificadores apropriados, escreva cada sentença na língua portuguesa como uma fbf predicativa. (O domínio é o mundo inteiro).
D(x) é “x é uma dia”
S(x) é “ x está fazendo sol” C(x) é “x está chovendo”
M é “segunda-feira” T é “terça-feira”
a) Todos os dias são ensolarados. b) Alguns dias não está chovendo.
c) Todo dia que não está fazendo sol está chovendo. d) Alguns dias está fazendo sol e chovendo.
e) Nenhum dia está fazendo sol e chovendo ao mesmo tempo. f) Ë Sempre um dia de sol apenas se for um dia chuvoso. g) Nenhum dia faz sol.
h) Segunda-feira fez sol; portanto, vai fazer sol todos os dias . i) Choveu na Segunda e na terça-feira.
j) Se chover algum dia, então vai fazer sol todos os dias 7. Idem para
A(x) é “x é uma abelha” F(x) é “x é uma flor” G(x) é “x gosta de y”
a) Todas as abelhas gostam de todas as flores. b) Algumas abelhas gostam de todas as flores. c) Todas as abelhas gostam de algumas flores. d) Toda abelha detesta apenas flores.
e) Apenas abelhas gostam de flores. f) Toda abelha gosta apenas de flores. g) Nenhuma abelha gosta apenas de flores. h) Algumas abelhas gostam de algumas flores. i) Algumas abelhas gostam apenas de flores. j) Toda abelha detesta algumas flores.
k) Toda abelha detesta todas as flores. l) Nenhuma abelha detesta todas as flores. 8. Se
B(x) for “x é bonita” j for “João”
c for “Cátia”
dê as traduções para a língua portuguesa das fbfs a seguir: a) V( j ) A(c , j)
b) (
x )[H(x) V(x)]c) (
x )(M(x) (
y )[A(x,y) H(y) V(y)]) d) (
x)[H(x) V(x) A(x,c)]e) (
x)(M(x) B(x) (
y )[A(x,y) V(y) H(y)]) f) (
x )[M(x) B(x) A(j,x)]9. Diversas formas de negação são apresentadas para cada uma das sentenças a seguir. Qual é a correta ?
a. Algumas pessoas gostam de Matemática. 1. Algumas pessoas não gostam de Matemática. 2. Todo o mundo não gosta de Matemática. 3. Todo o mundo gosta de Matemática.
b. Todo o mundo gosta de sorvete. 1. Ninguém gosta de sorvete.
2. Todo o mundo não gosta de sorvete. 3. Algumas pessoas não gostam de sorvete.
c. Todas as pessoas são altas e magras. 1. Algumas pessoas são baixas e gordas. 2. Ninguém é alto e magro.
3. Algumas pessoas são baixas ou gordas.
d. Alguns fotos são velhas ou estão apagados.
1. Todas as fotos nem são velhas nem estão apagadas. 2. Algumas fotos não são velhas ou não estão apagadas. 3. Todos as fotos não são velhas ou não estão apagadas.
10. Forneça interpretações que provem que as wffs a seguir não são válidas: a) (
x)A(x) (
x)B(x) (
x)[A(x) B(x)]b) (
x )(
y)P(x,y) (
x) (
y )P(x,y)c) (
x )[P(x) Q(x)] [(
x)P(x) (
x )Q(x)]d) (
x )[A(x)]’ [(
x )A(x)]’11. Quantificador Assinale verdadeiro ou falso nas sentenças abaixo e apresente a negação de cada uma delas: Considere x e y números inteiros.
d) x, y, x + y = 0. e) x, y, xy = 0. f) x, y, xy = 0. g) x, y, xy = 0. h) x, y, xy = 0.
12. Quantificador Escreva as sentenças seguintes usando a notação de quantificador (isto é, use os símbolos e/ou ). Apresente a negação de cada sentença. Não se preocupe com a veracidade das sentenças.
a) Todo inteiro é primo.
b) Há um inteiro que não é primo nem composto. c) Existe um inteiro cujo quadrado é dois.
d) Todos os inteiros são divisíveis por 5.
e) O quadrado de qualquer número inteiro é não negativo. f) Para todo inteiro x existe um inteiro y tal que xy=1.
g) Existe um inteiro que quando multiplicado por qualquer outro inteiro, sempre dá o resultado 0.
13. Utilizando quantificadores, traduza cada uma das seguintes expressões: a) Há um número racional maior que 3;
b) Todos os números naturais são não negativos.
14. Negue cada uma das proposições seguintes usando as 2ªs leis de De Morgan: a) xIN, x 3 x2
b) y Z : y2 + 3 = 0
y2 – 1 = 0c) xIR
y
IR
,y
x
2d) x ,y IR:x2 yx2
15. Considere a condição emIN , x y 5
19.1. Transforme-a numa proposição, utilizando dois quantificadores a) universais
b) existenciais
c) o primeiro universal e o outro existencial d) o primeiro existencial e o outro universal
15.2. Traduza as proposições obtidas em linguagem corrente e indique o seu valor lógico
16. São dadas, em IR, as condições: 2 3 2 1 0 2
1 ;x2 x; x2
x
20.1. Classifique cada uma delas
20.2. Diga qual é o valor lógico de cada uma das seguintes proposições a) xIR , x12 0
b) x IR x x
2 1 , 2
c) x IR x x
2 1 : 2
d) x 2 1 x : IR
x
1 2
e) xIR :x2 32
b) Todos os quadrados são losangos
c) Existe pelo menos um número real que não é racional d) Há pelo menos um número inteiro cujo dobro é positivo
18. Traduza em linguagem corrente e indique o valor lógico de cada uma das proposições seguintes:
a) xIR y IR:xyx
b) xIR yIR:x yx
c) xIR yIR:xy0
19. Negue cada uma das proposições seguintes (não utilize o símbolo ) a) xIR , x2 x3
b) xIR:x5 x7
c) x IR , 1x 5
d) xIR yIR , x2 xy
e) xIR yIR, x y2
f) x,yIR, xy x1
