Caracterização de propriedades elásticas de painéis MDF através do método das grelhas

(1)

UNIVERSIDADE DE TR ´

AS-OS-MONTES E ALTO DOURO

CARACTERIZAC

¸ ˜

AO DE PROPRIEDADES EL ´

ASTICAS DE

PAIN´

EIS MDF ATRAV´

ES DO M´

ETODO DAS GRELHAS

ESCOLA DE CI ˆENCIAS E TECNOLOGIA

DISSERTAÇ ÃO DE MESTRADO EM ENGENHARIA MEC ÂNICA

JOAQUIM DIOGO DA SILVA PINTO DE MOURA

(2)

(3)

Disserta¸cão apresentada à Universidade Trás-os-Montes e Alto Douro para obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia Mecânica, realizada sob orienta¸cão cient´ıfica do Dr. José Manuel Cardoso Xavier, do Centro de Investiga¸cão e de Tecnologias Agro-ambientais e Biológicas (CITAB) e co-orienta¸cão do Professor Doutor José Joaquim Lopes Morais, do Departamento de Engenharias da Escola de Ciências e Tecnologia da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.

(4)

(5)

“I am not young enough to know everything.” Oscar Wilde

(6)

(7)

Agradecimentos

Ao Doutor Jos´e Manuel Cardoso Xavier, meu orientador, pela ajuda, disponibilidade,

dedica¸cão e paciência que teve comigo, na elabora¸cão deste trabalho.

Ao Professor Doutor Jos´e Joaquim Lopes Morais, meu Co-orientador, pela disponibilidade

e ajuda na elabora¸c˜ao deste trabalho.

Ao Eng. Cristóvão Santos pela ajuda prestada na prepara¸cão do dispositivo criado para

os ensaios de ﬂex˜ao.

Aos meus pais, Fernando e Clara, que sempre me incentivaram e apoiaram nos meus

estudos e na realiza¸c˜ao deste documento.

Ao meu irm˜ao Fernando pelo apoio, incentivo e amizade.

`

A Marta Pinto. `

A UTAD, Universidade de Tr´as-os-Montes e Alto Douro, por ter possibilitado as condi¸c˜oes

necessárias à cria¸cão deste trabalho.

(8)

(9)

Resumo

Neste trabalho é apresentado um estudo de caracteriza¸cão mecânica das propriedades

elásticas de painéis de fibra de média densidade (MDF) a partir de ensaios de flexão

heterogéneos. Esta abordagem é baseada no método dos campos virtuais acopulado a

medi¸c˜oes de campo obtidas pela t´ecnica de deﬂectometria (i.e., t´ecnica das grelhas por

reflexão). Está técnica ótica mede o campo das rota¸cões gerado na superf´ıcie externa

de uma placa submetida a ﬂex˜ao. Os campos de curvatura da placa deformada foram

reconstru´ıdos por diferencia¸cão numérica a partir dos campos de rota¸cões. O método dos

campos virtuais foi então usado para a identifica¸cão das componentes de rigidez à flexão

assumindo a teoria da flexão de placas de Love-Kirchhoff. As placas MDF ensaiadas eram

constitu´ıdas de uma mistura de ﬁbras de eucalipto e part´ıculas recicladas de cana de

a¸cúcar, representando um novo produto que carece de caracteriza¸cão f´ısica e mecânica.

As propriedades elásticas obtidas utilizando o método de identifica¸cão proposto neste

tra-balho (i.e. identifica¸c˜ao simultânea do m´odulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e

m´odulo de corte) foram comparados com valores determinados atrav´es de ensaios

conven-cionais de flexão em três pontos e referidos na literatura. Os valores obtidos comparam

relativamente bem com estes ´ultimos.

Keywords

Painéis de fibra de média densidade, Deflectometria, Método dos campos virtuais

(10)

(11)

Abstract

This thesis deals with the characterisation of bending stiffness components of medium den-sity fibreboard (MDF) from a plate bending test. The approach is based on the virtual fields method coupled with full-field slope measurements provided by the deflectometry technique. MDF panels consisting of different fractions of Eucalyptus fibres and sugar-cane bagasse particles were used. The slope fields generated across the plate surface were measured by deflectometry. The curvature fields of the deformed plate were then recons-tructed by numerical differentiation. The virtual fields method was then implemented for material parameter identification under the framework of Kirchhoff-Love plate bending theory. The elastic properties obtained from the proposed data reduction (i.e., simul-taneous identification of modulus of elasticity, Poisson’s ratio and shear modulus) were compared with values determined from classical three-point bending tests and reported in the literature. The set of properties were found in relatively good agreement.

Keywords

Medium density fibreboard, Deflectometry, Virtual fields method

(12)

(13)

´Indice

Agradecimentos vii Resumo ix Abstract xi ´_Indice _xiv Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xvii

Lista de Acr´onimos xix

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Metodologia 5

2.1 Deﬂectometria . . . 5

2.1.1 Escolha do m´etodo . . . 5

2.1.2 Princ´ıpio . . . 6

2.1.3 Sensibilidade, resolu¸c˜ao e resolu¸c˜ao Espacial . . . 8

2.1.4 M´etodos de unwrapping da fase . . . 9

2.2 Método dos campos virtuais aplicado à flexão de placas finas . . . 10

2.2.1 Escolha do m´etodo . . . 10

2.2.2 Princ´ıpio . . . 11

2.2.3 Escolha dos campos virtuais . . . 13

3 Trabalho Experimental 17 3.1 Material e provetes . . . 17

3.2 Medi¸c˜oes de campo: deﬂectometria . . . 17

3.2.1 Prepara¸c˜ao da superf´ıcie reﬂectora . . . 17

(14)

3.2.2 Sistema óptico. . . 19 3.3 Ensaio mecânico de flexão de placa . . . 21

4 Resultados e Discuss˜ao 23

4.1 Avalia¸cão dos campos de rota¸cões . . . 23 4.2 Reconstru¸cão do campo das curvaturas . . . 24 4.3 Identifica¸cão das componentes de rigidez à flexão . . . 26

5 Conclus˜oes e trabalho futuro 29

Referˆencia 30

6 Anexo A 35

(15)

Lista de Figuras

2 Metodologia

2.1 Representa¸cão esquemática da técnica ótica de deflectometria. . . 7 2.2 Ensaio de flexão de placa fina. . . 14

3.1 Placa MDF: (a) superf´ıcie natural, (b) superﬁcie especular revestida com resina ep´oxida. . . 19

3 Trabalho Experimental

3.2 Ensaio de flexão á placa acopulado com a técnica da deflectometria: (a) sistema de fixa¸cão da placa; (b) sistema de carregamento; (c) imagem da grelha; (d) sistema ótico câmera-lente. . . 20

4.1 Campo de rota¸c˜oes: (a) θX(x, y), (b) θY(x, y) (F = 45.1 N; caso de

carre-gamento F(0,b/2)). . . 24

4 Resultados e Discuss˜ao

4.2 Varia¸cão do desvio padrão dos campos residuais obtidos pela subtra¸cão dos campos de rota¸cões medidas e aproximadas. . . 25 4.3 (Campos de curvatura: (a) Kxx (K1), (b) Kyy (K2), (c) Kxy (K6) (F =

45.1 N; caso de carregamento F(0,b/2)). . . 25 4.4 Avalia¸cão dos parâmetros de rigidez à flexão duma placa MDF em fun¸cão

da for¸ca aplicada. . . 26

(16)

(17)

Lista de Tabelas

2 Metodologia

2.1 Escolha dos campos virtuais. . . 15

3 Trabalho Experimental

3.1 Composition of MDF panels and treatments. . . 18 3.2 Componentes do sistema ´otico e parˆametros de medida. . . 21

4.1 Propriedades de rigidez à flexão das placas MDF determinados a partir de ensaios de flexão de placa e ensaios clássicos de flexão em 3 pontos. . . 28

(18)

(19)

Lista de Acr´

onimos

MDF Pain´eis de ﬁbra de m´edia densidade (Medium

den-sity fibreboard)

MCV M´etodo dos campos virtuais

(20)

1

Introdu¸c˜

ao

A madeira é um material compósito biológico formado durante o crescimento de uma

´

arvore, possuindo uma estrutura complexa e heterog´enea. Dada a abundˆancia de

recur-sos ﬂorestais, a madeira sempre desempenhou um papel importante como material de

engenharia, nomeadamente na constru¸cão naval e civil. Nas últimas décadas surgiram

no mercado novos produtos de engenharia `a base da madeira designados por derivados

de madeira. Estes novos produtos justiﬁcam-se na medida em que, por um lado,

promo-vem a utiliza¸cão mais racional da madeira maci¸ca (devido à altera¸cões dos recursos na

natureza e preocupa¸c˜oes em reciclar os res´ıduos inerentes aos processos de transforma¸c˜ao

da madeira) e, por outro lado, aumentar a eficiência e competitividade em rela¸cão a

ou-tros materiais de engenharia em aplica¸c˜oes estruturais. Entre os produtos derivados da

madeira, destacam-se, por exemplo, as placas de part´ıculas ou ﬁbras de madeira ou o

laminado colado, que tˆem nos nossos dias um volume de mercado e um impacto

socio-económico crescentes. Nomeadamente, os painéis MDF têm vindo a sofrer um aumento

de produ¸cão, consequência da inova¸cão no mercado de acabamentos e do aumento da sua

procura. Efetivamente, tanto a madeira maci¸ca como os seus derivados s˜ao hoje materiais

de engenharia importantes devido às seguintes razões: (1) as árvores são produzidas por

uma fonte de energia livre (o sol), sendo renov´aveis e recicl´aveis; (2) existem importantes

recursos e diversas espécies florestais na terra; (3) a silvicultura e a transforma¸cão da

ma-deira tˆem um custo relativamente baixo; (4) a madeira tem um bom r´acio rigidez/peso,

comparativamente a outros materiais. No entanto, para a utiliza¸c˜ao eﬁciente da madeira

e seus derivados em aplica¸c˜oes de engenharia, as suas propriedades mecˆanicas, que

carac-terizam o seu comportamento a solicita¸c˜oes exteriores atrav´es de leis de comportamento,

(21)

necessitam de ser devidamente determinadas atrav´es de ensaios mecˆanicos adequados.

Neste trabalho pretende-se estudar o comportamento el´astico de pain´eis MDF (Medium

Density Fiberboard). Os painéis MDF são fabricados através da aglutina¸cão de fibras

da madeira com resinas sint´eticas e outros aditivos. Estes materiais foram desenvolvidos

para preencher algumas lacunas estruturais, para al´em de permitirem uma melhor gest˜ao

dos recursos naturais das ﬂorestas. Neste estudo foram utilizados pain´eis MDF compostos

de fibras de eucalipto e part´ıculas recicladas de cana de a¸cúcar. Este produto é proposto e

fabricado por empresa Brasileira. O desenvolvimento deste tipo de painel vem no sentido

de uma pol´ıtica de preserva¸c˜ao e gest˜ao dos recursos naturais dispon´ıveis, com a proposta

de fontes alternativas de ﬁbras de lignocelulose no processo de fabrica¸c˜ao de MDF. Este

MDF representa em certa medida um novo produto que carece de caracteriza¸c˜ao f´ısica

e mecânica. Contudo, o ensaio de flexão em três pontos normalizado para este tipo de

material apenas permite a determina¸cão do módulo de elasticidade e tensão de ruptura à

ﬂex˜ao (EN 310,1993).

Actualmente as técnicas óticas de medi¸cão de campos de deslocamento ou deforma¸cão

estão a ser utilizados de forma crescente em mecânica experimental (Grédiac, 2004).

De acordo com os fenómenos f´ısicos envolvidos nestas medi¸cões, estes métodos podem

dividir-se em t´ecnicas de luz branca (e.g., correla¸c˜ao digital de imagem e m´etodo das

grelhas), e técnicas interferom´etricas (e.g., feixe de Moir´e, shearografia de Moiré, feixe

interferométrico e shearografia interferométrica). Seguindo o desenvolvimento destas

técnicas óticas, novos métodos de identifica¸cão têm sido propostos para a caracteriza¸cão

de parˆametros materiais baseados de informa¸c˜ao de campo (Avril et al., 2008). Esta

abordagem oferece várias vantagens sobre a formula¸cão clássica, tais como a identifica¸cão

de múltiplos parâmetros constitutivos numa única configura¸cão de ensaio.

Neste trabalho é proposto um ensaio de flexão de placa para a identifica¸cão de todas

as componentes de rigidez à flexão do painel MDF. O método de ensaio consiste em

ﬁxar a placa em v´arios pontos e aplicar uma carga pontual em um determinado local

no interior da placa. Nesta configura¸cão serão gerados campos de rota¸cão heterogéneos,

que podem ser medidos experimentalmente utilizando a t´ecnica de deﬂectometria (Surrel,

2004). Esta t´ecnica requer que a superf´ıcie de interesse da placa tenha caracter´ısticas

reflectoras. Contudo, é uma técnica adequada destacando-se a boa rela¸cão resolu¸cão

espacial (controlada pelo passo da grelha) e resolu¸c˜ao (∼ 10−5 µm/m). Os campos de

(22)

curvatura da placa podem ser reconstru´ıdos posteriormente por diferencia¸c˜ao num´erica.

Por último, o método campos virtuais é implementado para a identifica¸cão de parâmetros

materiais assumindo a teoria das placas finas de Kirchhoff-Love (Grédiac et al., 2003).

Este é um método de identifica¸cão inversa no qual todo um conjunto de parâmetros

material ativo no ensaio pode ser determinado a partir de medi¸c˜oes de campo.

(23)

(24)

2

Metodologia

2.1 Deﬂectometria

2.1.1 Escolha do m´

etodo

No modelo mecânico de flexão de uma placa, o comportamento do material é descrito a

partir das componentes de rigidez à flexão que relacionam os momentos flectores aplicados

com a curvatura da placa. Neste caso, por forma a resolver o problema inverso de

caracte-riza¸cão dos parâmetros constitutivos, torna-se necessário medir experimentalmente quer as

for¸cas aplicadas a uma placa de geometria conhecida, quer a curvatura heterog´enea sofrida

pela placa. De acordo com a teoria clássica de placa finas (teoria de Love-Kirchhoff), a

deforma¸cão de uma placa pode ser completamente descrita pela deflexão da sua superf´ıcie

m´edia. Neste caso, a curvatura pode ser determinada das seguintes formas: (1) pela

se-gunda derivada parcial da deflexão; (2) pela primeira derivada do rota¸cão (declive). O

campo de deslocamentos fora do plano pode ser medido usando t´ecnicas de luz branca

como a estereovisão (Xavier et al., 2012a) ou técnicas interferométricas tais como o ESPI

(do Inglˆes Electron Speckle Pattern Interferometer) (M¨uller et al., 2005). Vale a pena

referir que os deslocamentos no plano tamb´em podem ser medidos usando estas t´ecnicas,

mas no caso da flexão estas têm uma amplitude de ordem inferior, o que as torna dif´ıceis

de medir experimentalmente. Os grupos de t´ecnicas referidos diferem entre si quer no

apa-rato experimental quer na resolu¸c˜ao e sensibilidade. Contudo, a principal desvantagem

destas escolhas reside na necessidade de se derivar numericamente duas vezes o desloca-mento fora do plano, pois este processo ampliﬁca signiﬁcativamente o ru´ıdo experimental.

(25)

Por forma a contornar esta limita¸c˜ao, o campo de rota¸c˜oes pode ser medido directamente

experimentalmente recorrendo à técnica da deflectometria (método da grelha reflectida)

(Surrel,2004). Desta forma o campo de curvatura necessário no problema de identifica¸cão

será reconstru´ıdo apenas por uma deriva¸cão numérica. De seguida apresentar-se-á uma

breve descri¸c˜ao do princ´ıpio da deﬂectometria.

2.1.2 Princ´ıpio

O princ´ıpio da técnica ótica de deflectometria está ilustrado na Figura 2.1. Pode-se

dis-tinguir neste esquema três partes distintas: (1) uma placa fixa verticalmente é submetida

a um momento ﬂector externo; (2) uma grelha convenientemente alinhada ´e posicionada

frente à placa a uma distˆancia D; (3) um sistema ´otico câmara-lente é posicionado por

detr´as de um pequeno buraco feito no centro da grelha, registando o seu padr˜ao por

reﬂex˜ao na superf´ıcie da placa. O princ´ıpio da deﬂectometria baseia-se na lei de Snell

aplicada á luz de reflexão especular. Esta técnica baseia-se na deforma¸cão geométrica da

imagem da grelha reflectida na superf´ıcie do provete. Por conseguinte, é necessário que a

superf´ıcie da placa tenha uma reflexão especular suficiente de tal modo que a imagem da

grelha possa ser formada com contraste e retilinearidade adequados. A grelha ´e deﬁnida

por um padrão periódico de linhas escuras e claras, caracterizada por um vector frequência

espacial F (linhas/mm), ortogonal `as linhas da grelha e com amplitude igual ao inverso do

passo da grelha (p). Uma grelha cruzada (i.e. de linhas horizontais e verticais) pode ser

usada para a obten¸cão em simultâneo das duas componentes do deslocamento (rota¸cão).

A imagem de uma grelha pode ser matematicamente descrita por

I(x1, x2) = I0(x1, x2){1 + γ(x1, x2)f [2πF.R(x1, x2)]} (2.1)

onde I0(x1, x2) ´e a intensidade m´edia local, γ(x1, x2)∈ [0, 1] ´e o contraste local da grelha,

f representa uma fun¸c˜ao cont´ınua peri´odica que descreve o padr˜ao de intensidade da luz

na grelha e cujo argumento ´e a fase ´otica, ϕ(x1, x2) = 2πF.R(x1, x2), em que R(x1, x2) ´e

o vector posi¸c˜ao de um determinado pixel na imagem.

Um método de cálculo de fase é usado para determinar o campo de fase a partir do

(26)

Figura 2.1 – Representa¸cão esquemática da técnica ótica de deflectometria.

campo de intensidade de luz na imagem (Equa¸c˜ao 2.1), que deﬁne em cada instante

(for¸ca aplicada) a posi¸cão geométrica da grelha. Geralmente é registado pelo menos

um par de imagem, antes (i) e ap´os (f ). ´E poss´ıvel mostrar que a diferen¸ca de fase,

∆ϕ(x1, x2) = ϕf(x1, x2)− ϕi(x1, x2), ´e proporcional ao deslocamento virtual da imagem

da grelha (u), observados entre dois estados mecˆanicos, de acordo com a seguinte rela¸c˜ao

∆ϕβ(x1, x2) =

2π

p uβ(x1, x2) (2.2)

onde β = 1 or 2, respectivamente, para a componente horizontal (linhas verticais) ou vertical (linhas horizontais) do deslocamento.

Considere-se um ponto P na placa, cuja intensidade de luz ´e registada no pixel O do

sensor da câmara digital. Assumindo reflex˜ao especular, em repouso o ponto P reflectir´a

a intensidade de luz proveniente do ponto M da grelha (Figura 2.1). Contudo, ap´os

solicita¸c˜ao de um momento ﬂector na placa, o mesmo ponto P ir´a reﬂectir uma intensidade

de luz proveniente de um ponto visiono, o ponto N . Desta forma, no plano do sensor da

câmara digital a rota¸cão local da placa será interpretada como um deslocamento aparente

da grelha, vista por reﬂex˜ao sobre a superf´ıcie da placa.

(27)

2.1.3 Sensibilidade, resolu¸

c˜

ao e resolu¸

c˜

ao Espacial

A sensibilidade (s) ´e deﬁnida pelo quociente entre a varia¸c˜ao em fase (resposta do sistema

de medida) e a varia¸cão de declive (estimulo). Para a técnica de deflectometria este termo

´ e dado por s = ∂ϕ ∂α = 4πD p . (2.3)

Da Equa¸c˜ao (2.3) compreende-se que a sensibilidade desta t´ecnica pode ser

convenien-temente ajustada quer pela escolha da distˆancia de trabalho (D) quer pelo per´ıodo da

grelha (p).

A resolu¸cão é definida como o mais pequeno valor do mesurando detectável pelo sistema

de medida. A resolu¸c˜ao em fase pode ser globalmente caracterizada como o desvio padr˜ao

do n´ıvel de ru´ıdo presente nas medi¸c˜oes experimentais. Este ru´ıdo pode ter v´arias origens

como na forma¸cão da imagem (distor¸cões introduzidas nas lentes do sistema ótico) ou

na aquisi¸cão digital de imagem (ru´ıdo térmico e electrónico da câmara digital...). Na

prática, uma forma expedida de quantificar a resolu¸cão é através da subtra¸cão de duas

medidas sucessivas e independentes correspondentes a um objecto est´atico: m1(x, y) =

s1(x, y) + r1(x, y) e m2(x, y) = s2(x, y) + r2(x, y), em que si(x, y) representa o verdadeiro

valor do sinal e ri(x, y) ´e o n´ıvel de ru´ıdo, com i = 1, 2 para a primeira e segunda aquisi¸c˜ao

de imagem, respectivamente. O sinal resultante desta subtra¸c˜ao ser´a dado por

∆m(x, y) = r2(x, y)− r1(x, y) (2.4)

Desta forma, o desvio padr˜ao do sinal de ru´ıdo em fase (σϕ) pode ser determinado em

fun¸cão do desvio padrão do sinal obtido pela diferen¸ca de fase entre duas medi¸cões

inde-pendentes (σ∆ϕ) pela raz˜ao

σϕ=

σ_√∆ϕ

2. (2.5)

A resolu¸c˜ao em rota¸c˜ao (σα) poder´a posteriormente ser avaliada tendo em conta a

sensi-bilidade do sistema ´otico por

σα =

σϕ

s . (2.6)

(28)

A resolu¸cão espacial é definida como sendo a menor distância separando duas medidas

independentes. No t´ecnica de deﬂectometria esta corresponde aproximadamente ao passo

da grelha no plano objecto (superf´ıcie da placa em estudo): ∆x = p/2. De notar que o

pós-tratamento do campo de rota¸cão, por exemplo, através de um processo de filtragem

por convolu¸cão, embora possa atenuar o n´ıvel de ru´ıdo (resolu¸cão) irá alterar (degradar)

a resolu¸c˜ao espacial das medi¸c˜oes.

2.1.4 M´

etodos de unwrapping da fase

O mapa de diferen¸ca de fase, obtido entre dois estados mecânicos distintos, é definido

no intervalo [−π, π]. Desta forma, o campo de fase pode apresentar descontinuidades

caracterizadas por saldos 2π. Para a reconstru¸c˜ao do campo cont´ınuo ´e necess´ario remover

estas descontinuidades recorrendo a m´etodos de unwrapping da fase. Estes algoritmos

podem ser divididos em duas categorias (Ghiglia and Pritt, 1998; Lopes, 2007): m´etodos

selectivos do caminho (path-following methods) e m´etodos da minimiza¸c˜ao da norma do

erro (mininum-norm methods).

No caso de campos de fase bi-dimensionais, a fase unwrapping (∆ϕ) ´e proporcional `a fase

wrapping (∆ψ) atrav´es da seguinte rela¸c˜ao linear (Ghiglia and Pritt,1998)

∆ϕ(x1, x2) = ∆ψ(x1, x2) + 2kπ, k ∈ Z. (2.7)

Normalmente a resolu¸cão da Eq. (2.7) coloca algumas dificuldades sobretudo se as medi¸cões

de fase forem acompanhadas com n´ıveis de ru´ıdo importante ou existir localmente falta de

informa¸c˜ao (Lopes,2007). Desta forma, o m´etodo de unwrapping da fase deve apresentar

baixa sensibilidade à propaga¸cão de erros (ru´ıdo). Neste trabalho utilizou-se o método

de unwrapping de Goldstein (Goldstein et al., 1988; Xavier et al., 2012b). Neste m´etodo

as descontinuidades ao longo do campo de fase s˜ao removidas adicionando ou subtraindo

m´ultiplos de 2π. Concretamente, ao longo de cada linha da imagem, se a diferen¸ca de

fase entre pix´eis consecutivos for superior a π ou −π, todos os restantes pix´eis da linha

s˜ao alterados, adicionado ou subtraindo 2π.

(29)

2.2 M´

etodo dos campos virtuais aplicado `

a ﬂex˜

ao de

placas ﬁnas

2.2.1 Escolha do m´

etodo

Os parâmetros que regem as equa¸cões constitutivas são determinados experimentalmente

através de ensaios mecânicos adequados. No âmbito da mecânica dos sólidos

experi-mental, este problema ´e dito inverso e consiste em determinar os parˆametros materiais

a partir do conhecimento da geometria do provete, das condi¸c˜oes de fronteira e da

res-posta cinemática (deforma¸cão). Convencionalmente, esta identifica¸cão é feita através de

ensaios mecânicos para os quais se assume válida a hipótese de um estado homogéneo

de deforma¸cão/tensão na região de interesse. Contudo, esta condi¸cão é dif´ıcil de

garan-tir na prática sobretudo para materiais anisotrópicos e heterogéneos como é o caso da

madeira por exemplo. Recentemente, no sentido de ultrapassar esta limita¸c˜ao, novos

métodos de identifica¸cão foram propostos copulando ensaios para os quais o campo de

deforma¸cão/tensão é suposto heterog´eneo (i.e., combinando simultaneamente v´arias

for-mas de carregamento elementar como traçcão, compressão, corte...) com técnicas óticas

de campo (Avril et al., 2008). De entre estes m´etodos, o mais utilizado na literatura ´e

o m´etodo baseado no m´etodo dos elementos ﬁnitos (finite element model updating). O

princ´ıpio deste m´etodo consiste em construir um modelo de elementos ﬁnitos do ensaio

mecânico em análise usando informa¸cão da geometria e condi¸cões de fronteira. Uma

estimativa das propriedades mecˆanica do material ´e inicialmente usada para resolver o

problema directo de determina¸cão do campo cinemático e de tensões no ensaio. Este jogo

de parâmetros material é posteriormente actualizado pela minimiza¸cão de uma fun¸cão

objectivo entre a diferen¸ca da resposta num´erica do modelo e a resposta experimental

medida. Este método é versátil mas exige a correcta modela¸cão das condi¸cões de

fron-teira, o que é particularmente dif´ıcil de conhecer na prática. Por outro lado, este método

pode ser demorado na convergˆencia para os verdadeiros parˆametros material dado o seu

caracter iterativo. No sentido de ultrapassar estas limita¸c˜oes, novas estrat´egias de

identi-fica¸cão têm vindo a ser propostas, de entre as quais o método dos campos virtuais (MCV)

(Pierron and Grédiac, 2012). Uma vantagem deste método é a directa identifica¸cão dos

parâmetros materiais no caso de propriedades elásticas (isotrópicas ou ortotrópicas). Por

(30)

outro lado, este método é bem adaptado a informa¸cão de campo, obtida por um

deter-minado método ótico, dada a sua formula¸cão integral baseado no princ´ıpio dos trabalhos

virtuais. Neste trabalho foi utilizado o MCV, cujo princ´ıpio b´asico aplicado ao problema

de flexão de placas finas é apresentado a seguir de acordo com as referências (Grédiac

et al., 2003; Xavier et al., 2013).

2.2.2 Princ´ıpio

O MCV é um método de identifica¸cão baseado no processamento de informa¸cão de campo

(deslocamentos, deforma¸cões...), obtidas por uma técnica ótica, para a determina¸cão de

parˆametros constitutivos que governam o comportamento mecˆanico dos materiais. O

MCV baseia-se no princ´ıpio do trabalho virtual, que estabelece que o somat´orio das for¸cas

internas aplicadas na deforma¸cão causadas pelo campo virtual das desloca¸cões é igual ao

somat´orio das for¸cas externas aplicadas num deslocamento virtual dos pontos de aplica¸c˜ao

das for¸cas externas aplicadas ao corpo. Nessa ausˆencia de for¸cas de volume, o princ´ıpio

dos campos virtuais pode ser descrito por

− ∫ V σ : ε⋆ dV | {z } W⋆ int + ∫ S T· u⋆ dS | {z } W⋆ ext = 0 (2.8)

onde σ ´e o tensor das tens˜oes de Cauchy, ε⋆ ´e o tensor das deforma¸c˜oes virtuais, T ´e a

distribui¸c˜ao de tra¸c˜oes externas aplicadas sobre a superf´ıcie S e u⋆ o seu deslocamento

virtual.

Na aplica¸cão do MCV é necess´ario definir a priori a lei de comportamento. Neste trabalho

foi escolhida a teoria das placas de Love-Kirchhoﬀ (Apˆendice 6.1). Esta teoria

baseia-se nos baseia-seguintes hip´oteses: (i) um segmento de recta inicialmente perpendicular ao eixo

neutro da placa (plano x1−x2 na Fig. 2) permanece recto e perpendicular ap´os deforma¸c˜ao

(ε13 = ε23= 0); (ii) a placa ´e inextens´ıvel ao longo da dire¸c˜ao x3 (ε33= 0). Neste caso os

campos de deslocamento e deforma¸cão na placa são fun¸cões lineares da primeira e segunda

derivada partial da deflex˜ao da placa (u3(x1, x2)), respectivamente. Na teoria da flexão

de placas, as componentes de tens˜ao ({σ}) s˜ao integradas ao longo da espessura da placa

(h) deﬁnindo momentos de ﬂex˜ao resultantes ({M}), enquanto que as componentes das

deforma¸cões ({ε}) são dadas em fun¸cão do campo de curvaturas ({K}), respectivamente,

(31)

de acordo com as seguintes express˜oes (ver Anexo 6)

{σ} = 12

h3 x3{M} e {ε} = x3 {K}. (2.9)

Admite-se nesta etapa que o material ´e homog´eneo no interior da placa. Desta forma, o

integral de volume no primeiro membro na Eq. (2.8), simpliﬁca-se pela integra¸c˜ao ao longo

da espessura da placa (x3) num integral de superf´ıcie. Assim, substituindo as Eqs. (2.9)

no PTV (Eq. 2.8) obtˆem-se

∫ S {M}T_{K⋆_{} dS =} n ∑ j=1 Fju⋆3j (2.10)

em que n representa o n´umero de cargas pontuais aplicadas na placa e Fj o valor da carga

aplicada à placa. As equa¸cões constitutivas do par momento flector-curvature para um

material isotr´opico escrevem-se como

{M} = ∫ h 2 −h 2 {σ} x3 dx3 = h3 12[Q]{K} = [D]{K} (2.11) onde,            M11 M22 M12            =       D11 D12 0 D12 D11 0 0 0 (D11− D12)/2                  K11 K22 K12            (2.12) = h 3 _E 12 (1− ν2₎       1 ν 0 ν 1 0 0 0 (1−ν)₂                  K11 K22 K12            (2.13)

em que [D] representa a matrix de flexibilidade em flexão, E is módulo de Young e ν

is coeﬁciente de Poisson. Al´em disso, o m´odulo de corte pode ser dado pelas seguintes

rela¸c˜oes: G = E/2(1 + ν) = (12/h3)D66, com D66 = (D11 − D12)/2. Ao substituir a

equa¸c˜ao constitutiva (Eq.2.12) no PTV (Eq. 2.8) obtemos a seguinte equa¸c˜ao

(32)

∫ S {K}T_[D]_{K⋆_{} dS =} n ∑ j=1 Fju⋆3j (2.14a) ou, desenvolvendo D11 ∫ S (K11K11⋆ + K22K22⋆ + 1 2K12K ⋆ 12) dS + (2.14b) D12 ∫ S (K11K22⋆ + K22K11⋆ − 1 2K12K ⋆ 12) dS = n ∑ j=1 Fju⋆3j.

onde os parâmetros desconhecidos de rigidez à flex˜ao (Dij) são expressos em fun¸cão do

campos de curvatura medido ({K}), da for¸ca aplicada (Fj), e dos campos de deﬂex˜ao

(u⋆

3j) e curvatura ({K

⋆}) virtuais.

Nesta fase o MCV consiste em escrever a Eq. (2.14b) com tantos campos virtuais

cinema-ticamente admiss´ıveis quantos parˆametros contitutivos a determinar. Este procedimento

conduz a um sistema linear de equa¸c˜oes da forma

[P ]{D} = {R} (2.15a) ou,    ∫ SK11dS ∫ SK22dS ∫ SK22dS ∫ SK11dS       D11 D12    = n ∑ j=1 Fj    u ⋆ (1) 3j (x1, x2) u⋆ (2)₃_j (x1, x2)    (2.15b)

que pode ser resolvido para as componentes do rigidez à flexão, desde que os campos de

curvaturas sejam medidos ao longo da superf´ıcie da placa e os campos virtuais (u⋆ (k)₃ , K_ij⋆ (k)

com k = 1, 2) sejam linearmente independentes (i.e., [P ]−1 existe).

2.2.3 Escolha dos campos virtuais

Para abordar o problema da escolha dos campos virtuais, considere-se o exemplo

repre-sentado na Figura 2.2. Nesta caso, a placa ´e suportada em trˆes pontos: P1(0, 0), P2(a, 0)

e P3(b, 0). Os campos virtuais que figuram na Eq. (2.14b) são fun¸cões matemáticas,

con-tinuas e diferenci´aveis, que devem satisfazer as condi¸c˜oes de fronteira do problema (i.e.,

(33)

Figura 2.2 – Ensaio de flex˜ao de placa fina.

serem cinematicamente admiss´ıveis). Neste trabalho os campos virtuais escolhidos

cor-respondem a curvaturas virtuais constantes como se ilustra na Tabela 2.1. ´E f´acil de

constatar que estes campos virtuais veriﬁcam os deslocamentos impostos nos trˆes

pon-tos de fixa¸cão da placa. Além disso, estes campos virtuais correspondem fisicamente a

campos de curvatura para solicita¸c˜oes em ﬂex˜ao segundo o eixo x1 (1 campo virtual) e

x2 (2 campo virtual) da placa, assim como ´a tor¸c˜ao da placa (3o campo virtual). Para

a resolu¸c˜ao do sistema de Eqs. (2.15), os campos virtuais 1 e 2 (Table 2.1) podem se

escolhidos conduzindo ao seguinte sistema linear de equa¸c˜oes

   ∫ SK11dS ∫ SK22dS ∫ SK22dS ∫ SK11dS       D11 D12    = − n ∑ j=1 Fj    x_1j 2 (x1j− a) x_2j 2 (x2j− b)    . (2.16)

Os integrais nas Eqs. (2.16) podem ser aproximados pela regra do rectˆangulo. Desta forma,

a escolha de um sistema de carregamento F1(x11, x21) (j = n = 1) (Fig. 2.2) conduz a

identifica¸cão de todas as componentes independentes da matriz de rigidez à flexão. Além

disso, ´e poss´ıvel obter uma terceira equa¸c˜ao usando o 3o campo virtual (Table 2.1), que

pode ser usada como uma verifica¸cão da condi¸cão de isotrópica da placa de MDF. Assim,

pode-se ter uma avalia¸c˜ao independente de D66= (D11− D12)/2 escolhendo um segundo

sistema de carregamento F2(x12, x22) tal que

(34)

Tabela 2.1 – Escolha dos campos virtuais.

1o campo virtual 2o campo virtual 3o campo virtual

• Campo de curvatura: • Campo de curvatura: • Campo de curvatura:

K₁₁⋆(1)= 1 K₂₂⋆(2)= 1 K₁₂⋆(3) = 1

K₂₂⋆(1)= K₁₂⋆(1) = 0 K₁₁⋆(2) = K₁₂⋆(2) = 0 K₁₁⋆(3) = K₂₂⋆(3) = 0s • Campo de deflexão: • Campo de deflexão: • Campo de deflexão:

u⋆ 31 =− x1 2 (x1− a) u ⋆ 32 =− x2 2 (x2− b) u ⋆ 33 =− x1x2 2 D66 =− F2 2∫_SK12 dS x12x22 (2.17)

aonde x12 ̸= 0 e x22 ̸= 0. Experimentalmente, para resolver as Eqs. (2.16) e (2.17), o

ensaio de ﬂex˜ao de uma placa pode ser executado independentemente duas vezes usando

dois sistemas de carregamento distintos. O segundo ensaio pode ser utilizado como um

teste de avalia¸c˜ao da qualidade do fabrico da placa MDF (aleatoriedade - isotropia - da

distribui¸c˜ao de ﬁbras no processo de fabrico da placa MDF).

(35)

(36)

3

Trabalho Experimental

3.1 Material e provetes

As placas de MDF foram fabricadas a partir de ﬁbras de eucalipto incorporando uma certa

percentagem de part´ıculas cana de a¸c´ucar, de acordo com os tratamentos identiﬁcados na

Tabela 3.1. As ﬁbras de eucalipto e as part´ıculas de cana de a¸c´ucar foram secas (70o_C;

2-3% humidade) e aglomeradas utilizando resina de formalde´ıdo de ureia e a emuls˜ao da

cera (Belini et al.,2012). Os placas de MDF foram manualmente dispostos numa caixa de

madeira, colocada sobre uma placa de alum´ınio. Foi aplicada uma press˜ao manual sobre a

cobertura da caixa. Depois, o manto de fibras foi colocado sobre pressão num laboratório

de press˜ao da Siempelkamp, onde os n´ıveis aumentam controladamente em cada estado,

a uma temperatura constante de 190◦C. Seguidamente, os pain´eis foram arrefecidos at´e

`

a temperatura ambiente e cortados com as dimens˜oes nominais de 15 × 370 × 370 mm

e com densidade nominal de 750 Kg/m3_{. Foram preparados 12 provetes para os ensaios}

mecˆanicos (Tabela 3.1).

3.2 Medi¸

c˜

oes de campo: deﬂectometria

3.2.1 Prepara¸

c˜

ao da superf´ıcie reﬂectora

O princ´ıpio f´ısico da t´ecnica da deﬂectometria requer que a superf´ıcie de interesse seja

especular (superf´ıcie reﬂectora) (Sess˜ao 2.1.2). Contudo, naturalmente as placas MDF

não satisfazem esse pré-requisito. Neste caso, é necessário transferir para a superf´ıcie das

(37)

Tabela 3.1 – Composition of MDF panels and treatments.

Treatment Resin content Wax Raw material content Thickness (h)

Eucalyptus Bagasse Mean C.V.

(N.◦) (%) (%) (%) (%) (mm) (%) 1 13 0.8 100 0 15.28 0.9 2 16 0.8 100 0 15.94 1.1 3 13 0.8 95 5 16.26 0.4 4 16 0.8 95 5 16.38 1.3 5 13 0.8 90 10 16.44 1.3 6 16 0.8 90 10 16.12 1.8 7 13 0.8 85 15 16.15 1.9 8 16 0.8 85 15 16.22 1.8 9 13 0.8 80 20 16.22 1.9 10 16 0.8 80 20 16.73 2.2 11 13 0.8 75 25 16.61 1.6 12 16 0.8 75 25 16.63 1.9

placas uma camada de revestimento reﬂetora. Diferentes procedimentos foram inicial-mente testados numa abordagem de tentativa-erro utilizando diferentes tipos de produtos

(vernizes, resinas...). A melhor solu¸cão, em termos de reflexão especular, foi obtida

utili-zando uma resina de ep´oxido. O procedimento implementado baseia-se no procedimento

proposto porKim et al.(2007), para reflexão especular de placas de materiais compósitos

de matrizes polim´ericas. Por forma a garantir o nivelamento do revestimento resinoso, foi

usada uma superf´ıcie vidrada. Sobre a superf´ıcie de vidro foi aplicada cera de abelha com

a fun¸c˜ao de agente desmoldante. Na aplica¸c˜ao da cera foram tidos cuidados particulares

para evitar res´ıduos ou poeiras, que localmente poder˜ao perturbar a forma¸c˜ao de

ima-gem por reﬂex˜ao. O seguinte procedimento foi usado para se obter a superf´ıcie especular

desejada nas placas MDF:

(1) Polir a superf´ıcie da placa, com lixa de granulometria 240, de forma a remover

im-perfei¸c˜oes e melhorar o nivelamento da placa;

(2) Aplicar uma pasta, com a ajuda de uma esp´atula met´alica, de forma a lacrar e a

prevenir absor¸c˜oes por parte da placa. Deixar secar durante 24 horas;

(3) Polir a superf´ıcie da placa, com lixa de granulometria 400, de forma a remover a

massa aplicada e imperfei¸c˜oes relacionadas;

(38)

Figura 3.1 – Placa MDF: (a) superf´ıcie natural, (b) superficie especular revestida com resina ep´oxida.

(5) Aplicar uma camada ﬁna de spray preto mate (este procedimento pretende favorecer

o contraste da imagem final reflectida pela absor¸cão de luz reflectida directamente

sobre a superf´ıcie de placa sobre a camada de resina). Secagem durante 24 horas;

(6) Aplicar resina epoxy SD Surf Clear (SICOMIN, Fran¸ca1 _{numa por¸c˜}_{ao 3:1 (resina}

- catalisador). Por ﬁm, colocar a placa de vidro (face polida com cera de abelha)

sobre a superf´ıcie de interesse (remover a forma¸c˜ao de bolhas de ar);

(7) Sobrecarregar a superf´ıcie do vidro com pesos, de forma uniforme, de maneira a

obter uma ﬁxa¸c˜ao apropriada entre o vidro e a resina e consequentemente para se

obter uma vitriﬁca¸c˜ao optimizada;

(8) Deixar curar durante 3 dias, a uma temperatura de 20◦C e 60% de humidade

rela-tiva (Fig.3b);

(9) Remover cuidadosamente o vidro da placa, com a ajuda de um objecto aﬁado ao longo das bordas do vidro.

As imagens antes e após aplica¸cão da resina sobre a superf´ıcie de MDF estão representadas

na Figura 3.1.

3.2.2 Sistema ´

optico

A grelha utilizada na t´ecnica da deﬂectometria deve ser escolhida tendo em conta as

dimens˜oes da placa (L, W mm), da resolu¸c˜ao em pix´eis da cˆamara digital (H, V pix´eis) e

1_{SICOMIN (http://www.sicomin.com/) ´}_{e representada em Portugal pela empresa REBELCO, Parque}

Doroana Armazem CG Rua S˜ao Francisco,786 Adroana 2645-019 Alcabideche (http://www.rebelco.pt/)

(39)

Figura 3.2 – Ensaio de flex˜ao á placa acopulado com a técnica da deflectometria: (a) sistema de fixa¸cão da placa; (b) sistema de carregamento; (c) imagem da grelha; (d) sistema ótico câmera-lente.

do n´umero de pix´eis escolhidos para observar (discretizar) um per´ıodo da grelha (N ). Ao

escolhermos L = W = 370 mm, H = 1624 pix´eis, V = 1236 pix´eis, e N = 10 pix´eis/per´ıodo,

foi calculado um passo da grelha (p) de 6 mm/per´ıodo (p = 2N × max{L/H, W/V })

(Tabela 3.2).

Uma grelha com linhas horizontais e verticais (grelha cruzada) foi impressa em papel mat,

formato A0 (841×1189 mm), tendo sido usada uma impressora a laser. No centro da grelha

foi aberto um furo com 25 mm de diâmetro, através do qual o sistema óptico irá observar a

imagem virtual da grelha reﬂectida na placa MDF. Esta grelha foi ﬁxa num suporte r´ıgido

de forma a permanecer estática durante os ensaios de flexão (Figura 3.2(c)). A distância

entre a grelha e a placa MDF ´e de D = 2810 mm (Tabela 3.2). Nesta conﬁgura¸c˜ao a

sensibilidade da t´ecnica ´e de s = 5897 (Tabela 3.2).

As imagens foram adquiridas por uma cˆamera digital Baumer Optronic FWX20 de 8-bits

acoplada de uma lente Zoom Nikoor AF 28-105 f /3.5-4.5D da Nikon (Tabela 3.2). O

suporte do sistema óptico foi montado num tripé Foba ALFAE e posicionado por trás da

grelha, ao n´ıvel do furo (Figura3.2(d)). Como será de prever, na localiza¸cão do furo, não

há reflexão da grelha e portanto não existirá informa¸cão dispon´ıveis; contudo, a área do

furo no plano objecto representa apenas 0,4% da regi˜ao de interesse. A distˆancia focal da

lente (zoom) foi ajustada de forma a garantir uma distribui¸c˜ao espacial uniforme de N =

10 pix´eis/per´ıodo ao longo de toda a imagem da grelha (I(x, y)). Esta condi¸c˜ao ´e satisfeita

quando, ao analisar a subimagem I(x, y)/N , as franjas de moir´e tendem a desaparecer do

campo de visão, isto é, o número de franjas tende para zero. A focagem é realizada sobre

a imagem virtual da grelha reﬂectida sobre a superf´ıcie da placa MDF. Nesta opera¸c˜ao

(40)

Tabela 3.2 – Componentes do sistema ´otico e parˆametros de medida.

Sistema ´otico

Cˆamera digital Baumer Optronic FWX20

8 bit, 1624×1236 pix´eis

lente Zoom Nikoor AF 28-105 f /3.5-4.5D

n´umero-f : 11

Ilumina¸c˜ao LED Raylux 25

Parˆametros

Distˆancia de trabalho D = 2810 mm

Grelha p = 6 mm

Sensibilidade s = 5897 mm

Resolu¸c˜ao espacial ∆x = 3 mm

Resolu¸c˜ao em fase σϕ = 0,74◦

o diafragma da lente foi completamente aberto (abertura m´axima de f /3.5). Contudo,

durante o ensaio, a abertura foi reduzida para f /11, de forma a maximizar a profundidade

de campo (para uma determinada distância focal e distância de trabalho provete-câmera).

O tempo de exposi¸c˜ao foi deﬁnido como sendo 40 ms. Foi usada uma luz branca LED

Raylux 25 por forma a iluminar uniformemente a grelha (Figura 3.2(c)).

A resolu¸cão associada à técnica de deflectometria foi definida como o desvio padrão do

campo (sinal) de ru´ıdo obtido aquando do processamento de imagens est´aticas, para as

quais n˜ao foi introduzida qualquer deforma¸c˜ao. Pelo tratamento estat´ıstico deste sinal

aleat´orio foi determinada uma resolu¸c˜ao em fase (σϕ) de 0.013 radianos (0,74◦).

Conse-quentemente, foi determinado uma resolu¸c˜ao em declive (rota¸c˜ao) (σα = σϕ/S) de 2.2

µradianos (Tabela 3.2). A resolu¸cão espacial associada às medi¸cões de deflectometria,

definida como a menor distância entre duas medi¸cões independentes, é aproximadamente

igual ao passo da grelha no plano da placa (objecto). Assim sendo, e como existe um

factor de transferˆencia de 0,5 entre o plano da grelha e o plano da superf´ıcie da placa, a

resolu¸c˜ao espacial no plano objecto ´e de ∆x = 3 mm (Tabela 3.2).

3.3 Ensaio mecˆ

anico de ﬂex˜

ao de placa

Para o ensaio de ﬂex˜ao de placa foi desenvolvido um sistema de carregamento como se

mostra na Figura 3.2(a) e (b). A placa MDF ´e ﬁxa verticalmente em alguns pontos de

(41)

encastramento e a for¸ca ´e aplicada pontualmente na face oposta ao revestimento especular,

induzindo flexão na placa. Na constru¸cão do sistema de ensaio, foram usados perfis Maytec

de forma a flexibilizar a escolha dos pontos de fixa¸cão assim como a posi¸cão do ponto de

aplica¸cão da for¸ca. Neste trabalho as placas MDF foram fixas em três pontos como

representado na Figura 3.2(a). A carga foi aplicada nas extremidades segundo dois casos

de carregamento (Figura 2.2): (i) ponto de aplica¸c˜ao da carga na coordenada (0, b/2); (i)

ponto de aplica¸c˜ao da carga na coordenada (a, b/2). A carga foi aplicada com a ajuda de

uma c´elula de carga DBB, do tipo ”S”(Applied Measurements Limited) de 5 kN, montada

num guiamento linear. O valor da carga aplicada foi registado por um sistema SPIDER

8 da HBM. A for¸ca foi introduzida fazendo-se avan¸car o guiamento linear atrav´es da

rota¸c˜ao de um parafuso. Uma sequˆencia de imagens foi registada durante o ensaio a cada

incremento de 0.08 mm do ponto de aplica¸c˜ao da for¸ca.

(42)

4

Resultados e Discuss˜

ao

4.1 Avalia¸

c˜

ao dos campos de rota¸

c˜

oes

As imagens da grelha, obtidas durante o ensaio de ﬂex˜ao a que as placas foram submetidas,

foram primeiramente processadas para avalia¸c˜ao dos campos de fase. Estes mapas de fase

deﬁnem a posi¸c˜ao na grelha a cada n´ıvel de for¸ca aplicado. Para come¸car, a imagem da

grelha (linhas cruzadas) foi dividida em duas imagem separadas, um s´o com linhas verticais

e outro só com linhas horizontais. Esta etapa de pré-processo é necessária para se poder

avaliar separadamente as duas componentes do campo de fase (rota¸c˜ao), de acordo com o

sistema de coordenadas deﬁnido pelas linhas da grelha. Para este prop´osito, as imagens

foram ﬁltradas usando uma janela triangular, com comprimento 2N − 1 pix´eis, onde N

representa o n´umero de pix´eis correspondentes a um per´ıodo da grelha.

As componentes de fase, correspondentes a cada imagem, foram determinados usando

um método de cálculo de fase (Surrel, 1999). Este cálculo origina uma fase de módulo

2π, pelo que um algoritmo para desembrulhar a fase ´e necess´ario para remover saltos de

fase e assim obter campos cont´ınuos. Para o desdobramento de fase foi usado o m´etodo

de Goldstein (Ghiglia and Pritt, 1998). Um ponto perto de um dos suportes da placa

´

e usado para iniciar o processo de desdobramento da fase, aonde a rota¸c˜ao da placa

´

e min´ıma ou praticamente nula. Mesmo que a rota¸c˜ao local n˜ao seja verdadeiramente

zero, este cálculo não afeta a reconstru¸cão do campo de curvatura porque este é obtido

posteriormente atrav´es de um processo de diferencia¸c˜ao. A Figura 4.1 representa os

componentes correspondentes ao campo das rota¸c˜oes (Eq.4): (I) θ1(x1, x2) e (II) θ2(x1, x2)

(para um caso de carregamento com F(0,b/2), para uma placa MDF com 13% de resina

(43)

(a) (b)

Figura 4.1 – Campo de rota¸c˜oes: (a) θX(x, y), (b) θY(x, y) (F = 45.1 N; caso de carregamento

F(0,b/2)).

e 0% de cana-de-a¸c´ucar).

4.2 Reconstru¸

c˜

ao do campo das curvaturas

O campo de rota¸cões da placa submetida a flexão foi determinado a partir do campo de

varia¸cão de fase e da sensibilidade da técnica. Por sua vez, a partir do campo de rota¸cões

´

e poss´ıvel determinar o campo de curvaturas da superf´ıcie externa da placa por deriva¸c˜ao

numérica. Para proceder a esta deriva¸cão o campo de rota¸cões iniciais foi aproximado

no sentido do m´etodo dos m´ınimos quadrados usando uma fun¸c˜ao polinomial. Este

pro-cedimento permite suavizar (ﬁltrando ru´ıdo) a informa¸c˜ao do campo antes do processo

de deriva¸c˜ao. Esta abordagem tem a vantagem de ser um procedimento relativamente

simples, possibilitar a pondera¸c˜ao cada ponto de medida (em certos pontos os dados

po-der˜ao n˜ao existir ou possuem um ru´ıdo de medida elevado), e a possibilidade de se efetuar

interpola¸cões ou extrapola¸cões em pontos onde os dados iniciais não estão dispon´ıveis

(por exemplo, por defeitos no revestimento da grelha). Por outro lado, tamb´em existem

desvantagens, tais como: (1) quando se usam polin´omios de grau elevado, veriﬁca-se uma

certa instabilidade na reconstru¸c˜ao do campo nomeadamente nos bordos da regi˜ao de

interesse; (2) dada a natureza global da aproxima¸c˜ao usando fun¸c˜oes polinomiais, os erros

locais poder˜ao propagar-se na reconstru¸c˜ao do campo.

(44)

Figura 4.2 – Varia¸c˜ao do desvio padrão dos campos residuais obtidos pela subtra¸cão dos campos de rota¸cões medidas e aproximadas.

(a) (b) (c)

Figura 4.3 – (Campos de curvatura: (a) Kxx (K1), (b) Kyy (K2), (c) Kxy (K6) (F = 45.1 N;

caso de carregamento F(0,b/2)).

Uma questão importante na aproxima¸cão polinomial é a escolha da ordem do

polino-mial. Este valor foi escolhido ap´os terem sido analisados os mapas residuais obtidos pela

subtra¸cão dos campos de rota¸cões medidos e os campos de rota¸cões aproximados, com

especial aten¸cão aos graus de polinómio que variam do segundo grau até ao vigésimo grau.

Os resultados deste estudo est˜ao ilustrados na Figura4.2. Desta an´alise, foi escolhido um

grau de polinomial de 8, num compromisso entre tempo de computa¸c˜ao e convergˆencia

para uma resolu¸c˜ao na ordem de 10−5 µm/m. Os campos de curvatura reconstru´ıdos a

partir desta abordagem est˜ao representados na Figura4.3 (para um caso de carregamento

com F(0,b/2), para uma placa MDF com 13% de resina e 0% de cana-de-a¸c´ucar).

(45)

Figura 4.4 – Avalia¸cão dos parâmetros de rigidez à flexão duma placa MDF em fun¸cão da for¸ca aplicada.

4.3 Identiﬁca¸

c˜

ao das componentes de rigidez `

a ﬂex˜

ao

Os campos de curvatura, assim como dimens˜oes da placa e for¸ca aplicada, foram inseridos

no método dos campos virtuais (MCV) para a identifica¸cão dos parâmetros de rigidez

da placa em flexão. A Figura 4.4 mostra, para um exemplo de placa MDF, a evolu¸cão

das componentes de rigidez à flexão em fun¸cão da for¸ca aplicada (combinando ensaios

com for¸cas aplicas em F(0,b/2) e F(a,B/2)). Como se pode constatar desta an´alise, a

identifica¸cão de resultados é relativamente estáveis para os valores de for¸ca aplicados à

placa em ﬂex˜ao.

Os valores das componentes de rigidez `a ﬂex˜ao (Dxx, Dyy e Dss) das placas MDF, com

di-ferentes tratamentos, identiﬁcados pela metodologia inversa, est˜ao expostos na tabela4.1.

Os valores m´edios da rigidez das placas com diferentes caracter´ısticas tamb´em foi

avali-ado. Dada a baixa dispers˜ao dos resultados obtidos podemos concluir que embora as

percentagens das ﬁbras que constituem as placas MDF sejam diferentes, n˜ao existe uma

varia¸cão significativa do comportamento das placas nos ensaios mecânicos. Para critério

de compara¸c˜ao com os valores de referˆencia (E na tabela4.1), estes parˆametros de rigidez

(46)

foram convertidos em constantes de engenharia. O coeﬁciente de Poisson foi determinado

de acordo com a rela¸c˜ao ν = Dxy/Dxx. Em virtude de não se ter acesso à medi¸cão

expe-rimental deste parˆametro, foi admitido neste caso um valor de ν = 0.21. Este valor esta

de acordo com valores na literatura que apontam para valores de ν compreendidos entre

0.14 e 0.28 (Moboru and Taeko,2004).

Assumindo que ν = 0.21 e considerando as espessuras das placas, h, (ver tabela 3.1), a

convers˜ao para o m´odulo de Young e para o m´odulo de corte, pode ser calculada

expli-citamente (tabela 4.1). Na maioria dos casos, o m´odulo de Young medido nos ensaios

de ﬂex˜ao de placa foi superiores ao valor do m´odulo de Young de referˆencia determinado

pelos ensaios de flexão em três pontos. Contudo, apesar desta diferen¸ca (em média de

12%) pode-se considerar dentro da dispers˜ao esperada pelos ensaios experimentais.

Tendo em conta o relacionamento isotr´opico constitutivo, G = E/(2(1 + ν)) , os valores de

referˆencia para o m´odulo de corte foram estimados (tabela 4.1). Comparando os valores

obtidos pelo m´etodo dos campos virtuais (VFM), estes diferem em m´edia 14% dos valores

de referˆencia.

(47)

T ab ela 4.1 – Prop riedades de rigidez à flex ão das placas MDF determinados a pa rtir de ensaios de flex ão de placa e ensaios cl ássicos de flex ão em 3 p ontos. T reatmen t Ensaios de flex˜ ao em 3 p on tos (a ) Ensaios de flex˜ ao de placa (b ) N. ◦ E (C.V.) G (c ) D 11 D 12 D 66 ν (d ) E (e ) G (f ) G (g ) (N/mm 2 ) (N.m) (-) (N/mm 2 ) 1 3398 (12.9%) 1325 1256 355 434 0.28 3887 1515 1459 2 3643 (8.0%) 1475 1499 353 552 0.24 4195 1698 1636 3 3067 (11.9%) 1239 1351 321 495 0.24 3558 1437 1383 4 3533 (10.8%) 1381 1418 396 538 0.28 3570 1395 1469 5 3256 (10.2%) 1289 1324 349 492 0.26 3328 1317 1329 6 3732 (9.4%) 1490 1368 345 522 0.25 3670 1466 1495 7 3419 (11.2%) 1339 1240 343 471 0.28 3262 1277 1341 8 3543 (11.8%) 1434 1361 320 536 0.24 3615 1463 1507 9 3213 (8.3%) 1295 1250 300 474 0.24 3312 1335 1334 10 3408 (12.9%) 1408 1368 287 558 0.21 3352 1385 1429 11 3345 (10.8%) 1388 1375 282 520 0.21 3448 1430 1362 12 3158 (9.1%) 1254 1293 335 529 0.26 3147 1250 1380 M édia 3393 1360 1342 332 510 0.25 3529 1414 1427 C.V. (h ) (%) 5.86 6.11 5.62 9.70 7.30 10.27 8.31 8.51 6.39 ( a ) Mo dulo de elasticidade (MOE) determinados p or testes de flex˜ ao standard ap oiados em 3 p on tos assumindo a teoria de Euler-Bernoulli ( b ) P arˆ ametros de rigidez à flex˜ ao iden tificados p elo M éto do dos Camp os Virtuais assumindo a teoria Kirc hhoff-Lo v e ( c ) G = E / 2(1 + ν ), b y taking ν = D 12 /D 11 (from plate b ending tests) ( d ) ν = D 12 /D 11 ( e ) E = (12 /h 3 )(1 − ν 2 )D 11 (h in T able 3.1 ) ( f ) G = (6 /h 3 )(1 − ν )D 11 ( g ) G = (12 /h 3 )D 66 ( h ) Co efficien t of v ariation (C.V.) 28

(48)

5

Conclus˜

oes e trabalho futuro

Neste trabalho apresenta-se um método de identifica¸cão inversa para a avalia¸cão

si-multânea das componentes de rigidez à flexão de placas MDF. Para o efeito, foi

pro-posto um ensaio de flexão de placa fina, assumindo-se um comportamento de placa de

Love-Kirchhoff. A técnica ótica de defletometria foi usada para a medi¸cão do campo de

declives em toda a superf´ıcie da placa durante o ensaio. Uma vez que esta t´ecnica se

baseia no princ´ıpio da reﬂex˜ao especular da imagem da grelha sobre a placa, um

pro-cedimento experimental foi implementado para o revestimento reﬂector da superf´ıcie da

placa. Os campos de curvatura foram então reconstru´ıdos por diferencia¸cão numérica,

usando polinómios de grau oito para filtrar os dados experimentais. O Método de Campo

Virtual (MCV) foi utilizado para a identifica¸cão de parâmetros material. Os resultados

obtidos, embora, sistematicamente maiores do que os de referˆencia determinados a partir

de ensaios clássicos de flexão em três pontos, estavam num acordo satisfatório, validando

assim o procedimento de identiﬁca¸c˜ao inverso proposto.

Como trabalhos futuros, a configura¸cão do ensaio de flexão poderá ainda ser objecto

de optimiza¸c˜ao no sentido de se obter uma resposta mecˆanica complexa apenas com um

sistema de carregamento. Nesse sentido, será ainda necessária a implementa¸cão de campos

virtuais optimizados no desenvolvimento do MCV. Por outro lado, este procedimento

poderá ser aplicado em ensaios de flexão sobre madeira maci¸ca para a identifica¸cão de

componentes de rigidez à flexão assumindo um comportamento ortotrópico.

(49)

(50)

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(53)

(54)

6

Anexo A

6.1 Teoria de Love-Kirchhoﬀ

A resposta mecânica de uma placa fina sob aplica¸cão de um momento flector pode ser

descrito pela teoria das placas de Love-Kirchhoﬀ. Esta teoria baseia-se nas seguintes

hip´oteses: (i) um segmento de recta inicialmente perpendicular ao eixo neutro da placa

(plano x1−x2na Fig. 2) permanece recto e perpendicular ap´os deforma¸c˜ao (ε13= ε23= 0);

(ii) a placa ´e inextens´ıvel ao longo da dire¸c˜ao x3 (ε33 = 0). Como base nesta teoria, o

campo dos deslocamentos de um dado ponto (x1, x2, x3) na placa ´e deﬁnido como sendo

             u1(xα, x3) u2(xα, x3) u3(xα, x3) = = = uO₁(xα) uO 2(xα) uO 3(xα) + + x3 θ1 = uO1(xα)− x3∂u_∂x3(xα) 1 x3 θ2 = uO2(xα)− x3∂u_∂x3(x₂α) (6.1)

onde uO_i (xα) (i = 1, 2, 3) ´e o deslocamento na superf´ıcie neutra da placa (comportamento

de membrana) e θα(α = 1, 2) ´e a rota¸c˜ao da normal `a superf´ıcie neutra da placa

(compor-tamento em flexão). Nesta teoria de primeira ordem, a rota¸cão da seçcão transversal da

placa é uma fun¸cão da primeira derivada parcial da deflex˜ao da placa (u3,α). Assumindo

a hipótese de pequenas perturba¸cões, o campo das deforma¸c˜oes num ponto (xi) é dado

pelas seguintes equa¸c˜oes

(55)

eεαβ(xα, x3) = εαβ(xα) + x3 kαβ(xα) (β = 1, 2) (6.2) ou,            ε11 ε22 γ12            =            ∂uO 1 ∂x1 ∂uO 2 ∂x2 ∂uO 1 ∂x2 + ∂uO 2 ∂x1            + x3            −∂2_u 3 ∂x21 −∂2_u 3 ∂x2 2 −2 ∂2_u 3 ∂x1∂x2            =            ε0 11 ε0₂₂ γ0 12            + x3            K11 K22 K12            (6.3)

onde,{ε0} = {ε0₁₁, ε0₂₂, γ₁₂0 }T representa o campo das deforma¸c˜oes e{K} = {K11, K22, K12}T

´

e o campo de curvatura da superf´ıcie neutra da placa.

Assume-se neste trabalho um comportamento isotrópico, homogéneo e linear elástico.

Esta equa¸c˜ao escreve-se: {σ} = [Q]{ε}, onde [Q] ´e a matriz de rigidez do material, cujas

componentes podem ser descritas em fun¸c˜ao das constantes de engenharia. No problema

de flexão de placas, o campo das tensões é integrado ao longo da espessura da placa

resultando for¸cas por unidade de comprimento (N ) e momentos ﬂectores (M ).

Conside-rando apenas flexão pura, as equa¸cões constitutivas relacionam momentos de flexão com

curvaturas de acordo com a seguinte express˜ao

{M} = ∫ h 2 −h 2 {σ} x3 dx3 = h3 12[Q]{K} = [D]{K} (6.4) desenvolvendo,            M11 M22 M12            =       D11 D12 0 D12 D11 0 0 0 (D11− D12)/2                  K11 K22 K12            (6.5) = h 3 _E 12 (1− ν2₎       1 ν 0 ν 1 0 0 0 (1−ν)₂                  K11 K22 K12            36

(56)

em que [D] ´e a matriz de flexão `a rigidez, E é o modulo de elasticidade, e ν ´e o coeficiente

de Poisson. Al´em disso, o m´odulo de corte pode ser determinado pelas seguintes rela¸c˜oes:

G = E/2(1 + ν) = (12/h3_)D

66, with D66 = (D11− D12)/2.