U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE SANTA CATARINA
CURSO DE PÓS G R A D U A Ç Ã O EM ENGENHARIA MECÂ N I C A
0 USO DE POLINÔMIOS CÚBICOS DE HERMITE NO PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS DE MANIPULADORES
TESE S U B M E T I D A A U N I V E R S I D A D E FEDERAL DE SANTA CATA R I N A P ARA A O B T E N Ç Ã O DO GRAU
DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
EDISON DA ROSA
P L A N E JAMENTO DE TRAJETÓRIAS DE MANIPULADORES
EDISON DA ROSA
ESTA TESE FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE (
•DOUTOR EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESPECIALIDADE ENGENH A R I A MECÂNICA, ÁREA DE CONCENTRAÇÃO SÓLIDOS, APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO CURSO DE PÔS GRADUAÇÃO EM
E N G E N H A R I A MECÂNICA. BANCA EXAMINADORA: NELSON BACK, Ph. D. /ARNO BLASS. Ph. D. NELSON BACK, Ph. D. ORIENTADOR CLOVIS ^ P E R B DE.; rrPh. D
À
OLGA, C As s iA,
L EON A R D O e BRUNO
0 autor, ao término deste trabalho, deseja agradecer a todos que d i r e t a ou indiretamente c o l a b oraram para a sua conclusão, e em especial,
A m i n h a esposa Olga, p e l a s incontáveis horas de convívio que não foram desfrutadas e pela sua compreensão;
Ao Prof. Nelson Back, orientador e amigo, que acompa n h o u e incentivou este trabalho desde o seu início, que com suas inúmeras sugestões permiti u atingir a forma atual;
Ao Prof. Clovis S p e r b de Barcellos, por suas sugestões e indicações de melhorias no trabalho preliminar;
Ao Prof. Luiz B e v i l a c q u a que em um primeiro instante indicou a viabilidade deste trabalho;
A srta. Isolene Berna d e t e Hoffmann, que muito se d e d i c o u nos serviços de digitação dos originais deste trabalho.
NOMENCLATURA. DEFINIÇÕES. RESUMO. ABSTRAGT.
1. INTRODUÇÃO. 1
1.1. A n e c e s sidade de definir trajetórias. 2
1.2. 0 enfoque proposto.
2. P L A N E J A M E N T O DE T R A J ETÓRIAS EM ROBÓTICA. 5
2.1. Conceitos de robótica. 5
2.2. Plan e j a m e n t o de trajetória. 11
2.3. Mét o d o s usuais de pla n e j a m e n t o de trajetória. 14
2.4. Plan e j a m e n t o em coordenad as de Junta. 2.'5. P l a n e j a m e n t o em coordenadas cartesianas.
18 20
2.6. D i s c u s s ã o sobre pla n e j a m e n t o de trajetória. 25
3. USO DOS P O L I N Ó M I O S CÚB I C O S DE HERM I T E NO P L A N E JAMENTO DE
TRA J E T Ó R I A S DE MANIPULADORES. 28
3.1. Ajuste de curvas e splines. 29
3.2. Trajet ó r i a com polinómios cúbicos de Hermite. 30
3.3. Pro p r i e d a d e s dos polinó m i o s cúbicos de Hermite. 31
3.4. Efeitos da função t(s) não linear. 33
4. TRAJET Ó R I A NÃO ADAPTATIVA. 37
4.1. T r a j e t ó r i a de três trechos. 37
4.2. Trajet ó r i a de quatro trechos. 42
4.3. Trajet ó r i a genérica. 46
4.4. Res u m o das equações relevantes em cada formulação. 48
4.5. Aplica ç õ e s das trajetórias formuladas. 50
5. TRAJETÓRI A ADAPTATIVA. 57 5.1. Conceito. 58 5.2. ^Formulação. 59 5.3. Aplicações. 62 6. RESULT A D O S COMPARATIVOS. 66 7. CONCLUSÕES. 75 REFERÊNCIAS. 77
APÊNDICE.
Al. F o r m u l a ç ã o de trajetórias.
Al.l. Uma mane i r a de obter um polinómio cúbico de Hermite. A l . 2. Formulação usando os polinó m i o s cúbicos de Hermite.
80 82 80
A2. D e s e n v o l v i m e n t o d e t a l h a d o da formulação de trajetórias. A2.1. Tr a j e t ó r i a de três trechos.
A2.2. Trajetória de quatro trechos. A 2 . 3. Tr a j e t ó r i a genérica.
A 2 . 4. Trajet ó r i a de dois trechos.
A 2 . 5. Tabelas da matriz A^^ e sua inversa.
86 86 93 98 108 111
A3. M a n i pula dor exemplo. A3.1. Cinemática.
A 3 . 2. Célula de trabalho e visualização.
114 114 115
A4. Trajetórias do tipo 4-3-4 e 3-5-3.
A 4 . 1. Formulação de uma trajetória do tipo 4-3-4. A 4 . 2. Formul a ç ã o de uma trajetória do tipo 3-5-3.
117 117
120
A5. Outros resultados.
A 5 . 1. Trajetórias para um g r a u de liberdade. A5.2. T r a j e tórias no espaço 3D.
122
122
126
A6. Os sistemas computacionais. A6.1. 0 sistema TRA-GEN. A6.2. 0 sistema TRA-3D.
/ /■ / 130 130 132
iii
NOMENCLATURA.
A relação das variáveis utilizadas no desenvolvimento das diferentes formulações de trajetórias, através dos polinómios cúbicos de Hermite (PCH), é logo a seguir colocada. A figura N. 1 mostra algumas destas variáveis para um trecho genérico i.
Figura N. 1 - Notação utilizada para identificar as variáveis que def i n e m um trecho de trajetória, usando a formulação dos polinómios cúbicos de Hermite. D J IR e R c R m X 0
matriz de configuração inicial do manipulador matriz de configuração final do manipulador
matriz de transformação da configuração inicial na final matriz Jacobiana do manipulador
matriz de rotação do pulso sobre o eixo longitudinal matriz de rotação do pulso sobre o eixo transversal quatérnion na trajetória cartesiana
quatérnion na trajetória de coordenadas de Junta matriz de translação
vetor de coordenadas cartesianas vetor de coordenadas de junta
a a
aceleração.
aceleração inicial.
dF^ - d e r i v a d a da função F(s) no ponto inicial do PCH.
dF^ - d e r i v a d a da função F(s) no ponto final do PCH.
dt^ - d e r i v a d a da função t(s), no ponto s = 0.
dt^ - d e r i v a d a da função t(s), no ponto s = 1.
dt^^ - d e r i v a d a de t(s), no ponto s = 0, para o trecho i.
dtj^ - d e r i v a d a de t(s), no ponto s = 1, para o trecho i.
dx^ - d e r i v a d a da função x(s), no ponto s = 0.
dx^ - d e r i v a d a da função x(s), no ponto s = 1.
dx^^ - d e r i v a d a de x(s), no pont o s = 0, para o trecho i.
dx^^ - deri v a d a de x(s), no pont o s = 1, para o trecho i.
K - relação de v e l o cidades para a trajetória de três trechos.
- comprimento do primeiro membro do manipulador.
- comprimento do segundo membro do manipulador. í - comprimento do terceiro membro do manipulador.
r - p a r â m e t r o de trajetória nas coordenadas cartesianas,
r - relação de incrementos Ax.
xl
r - relação de incrementos Ax.
x4
- parâm e t r o da trajetória nas coordenadas de j u n t a . •
- instante em que o iésimo ponto da trajetória é atingido. - p r i m e i r a deri v a d a da função t(s).
- segunda deriv a d a da função t(s). - tempo no ponto de aproximação. - tempo no ponto de bifurcação. - tempo de retardo.
- tempo no ponto final.
, S , s s A B D F
tp - tempo de redefinição da trajetória.
V - velocidade.
V O - velo cidade inicial.
X, ~ posiç ão no ponto i, especificado, da trajetória.
X ^ - prim e i r a deri v a d a da função x(s).
X - segunda derivada da função x(s).
y SS
X - prime i r a deri v a d a de x, em relação a t.
X - segunda derivada de x, em relação a t.
Xgi “ coordenada no ponto de bifurcação.
Xg - veloci d a d e no ponto de bifurcação.
- c o o r denada no ponto final,
x^ - veloci d a d e no ponto final,
x^ - aceler a ç ã o no ponto final.
At - acréscimo de tempo.
At^ - acréscimo de tempo para o intervalo i.
Ax - acréscimo de coordenada.
Ax^ - acréscimo de coorde n a d a para o intervalo i.
0^ - valor para a prim e i r a coordenada de junta.
0^ - valor para a segunda coo rdenada de junta.
Nesta secção estão colocadas as principais definições dos termos e va riáveis que são utiliz a d o s ao longo do texto, para facilitar sua leitura .
At uador - Elemen to de acionamento de uma d e t e r minada junta do manipulador.
C i nemática di r e t a - Processo para obter a posição e orientação do efetuador, em c oordenadas cartesianas, qu a n d o fornecidas as coordenadas de junta, q ue d e f i n e m a configuração.
Cinemátic a inversa - Proc e s s o analitico ou numérico para obter as coordenadas de Junta, relativas a uma d a d a posição e orientação do efetuador em coordenadas cartesianas.
E f etuador ( end effector ) - Elem e n t o ativo do manipulador, que realiza o trabalho p r o p r iamente dito a que o manipulador se propõe. Pode ser na forma de uma garra, de uma ferramenta de montagem, de uma pistola de solda ou de pintura, etc. .
J a cobiana - Matriz que relaciona os incrementos infinitesimais das coordenadas cartesianas, com os incrementos das coordenadas de Junta, conforme equação (2.15).
Junta - E lemento construtivo do m a n i p u lador que faz a conexão entre dois membros ou ligações, permitindo m o v i mento relativo entre as partes, podendo ser de rotação ou de translação.
Aprendizado ( le arning ) - Processo primitivo de p r o g r amação de manipuladores, onde o efetuador é pos i c i o n a d o de forma seqüencial ao longo da trajetória, sobre pontos bastante pr óximos entre si, e a posição d estes pontos, em coordenadas de junta, é memorizada pelo sistema de programação.
Ligação ( link ) - Elemento construtivo do manipulador, formando a parte estrutural que une duas Juntas consecutivas.
Manipulador - Mecan i s m o servocontrolado concebido para a execução de tarefas que estão programadas na mem ó r i a do sistema.
P rogramação off-line - Proc e s s o de programação em que esta é efetuada em um sistema dedicado, onde o usuário pode testar várias alternativas e
possibilidades, podendo contar inclusive com uma simulação
tridimensional do programa.
Pulso - Eleme nto construtivo do manipulador, usualmente colocado no extremo móvel deste, onde é fixado o efetuador, com movimento em geral
esférico, ou seja, com rotação segundo três eixos mutuamente
ortogonais.
Qu a t é r n i o n - R epr e s e n t a ç ã o m a t e m á t i c a de entidades formadas por um escalar s e por um vetor X, notado como IR = (s,2?), útil na representação de rotações finitas por exemplo.
Per curso - Conju n t o de pontos no espaço que formam o lugar geométrico por onde
passa a extremidade do efetuador. Pode conter adicionalmente a
informação de orient a ç ã o do efetuador em cada ponto.
Sensores externos - D i s p o sitivos que obtém informações acerca do meio ambiente onde o manipulador se insere, no que diz respeito às distâncias, proximidade, tato,etc.
Sensores internos - D i s p o sitivos que detec t a m as variáveis de estado do manipulador, como posição e velocidade, em cada uma das juntas do manipulador.
Trajetória - Conjunto de dados referentes à posição, velocidade e aceleração, ao
longo do tempo, que o efetuador descreve no espaço, seja no
Este trabalho trata do prob l e m a de planejamento de trajetórias de manipuladores servocontrolados, com ênfase no uso dos polinómios cúbicos de Hermite para a geração da trajetória. Esta é formada pela justaposição de vários trechos, onde cada trecho tem a sua formulação dada por um polinómio de Hermite. Com base neste princ í p i o vários tipos de trajetórias foram formulados, como a de três trechos,, a de quatro trechos, a genérica. Uma outra aplicação deste tipo de formulação é a defin i ç ã o de trajetórias adaptativas, com possibilidade de redefinição do objetivo da trajetória em tempo real. Estas formulações são u sadas na simu lação de um m a n i p ulador articulado, dentro de uma célula de
ABSTRACT.
The p r o b l e m of g e n e r a t i n g a trajectory for a servo controlled manipulator is treated in this work. The main objective is to use the Hermite cubic polinomiais for the trajectory definition. The trajectory is built by the c onnection of several parts, e a c h one w i t h its own Hermite cubic polinomial. Based in this methodology, some trajectory formulations are developed, as the three parts, the four parts and a generic one. Based also on the Hermite cubic polinomiais, it is also propo s e d a formulation for adaptative trajectories, w h i c h allows for the terminal point redefinition, in real time, as needed in a collision avoidance strategy. These formulations are used in an articulated manipulator simulation, wor k i n g inside a m a n u f acturing cell.
INTRODUÇÃO.
Com a no va revolução industrial, decorr e n t e da maciça aplicação da i nformática no proc e s s o produtivo, seja a nível de de s e n v o l v i m e n t o de produto, a nível de fabric a ç ã o e controle de qualidade, ou a nível de planejamento e gerenciamento, a n e c e s sidade de um melhor uso de sistemas e conceitos de automação industrial se faz sentir, vis a n d o uma crescente integração entre os sistem as e o emp rego de p r o c e s s o s inteligentes, capazes de tomarem decisões, não ficando assim de p e n d e n t e s de uma p r o g ramação rígida e pré-estabelecida. No
âmbito da autom a ç ã o da manufatura, o conceito de células flexíveis de
fabricação, por exemplo, é um campo de aplicação de m a n i p uladores mecânicos onde a tendência atual é o uso de sistemas com sensores, sejam de proximidade, de tato, ou de visão, que f o r n e c e m assim ao sistema de controle do manipulador
informações ace rca do meio ambiente. Estas informações p o d e m então ser
i nterpretadas e, se o sistema de controle julgar necessário, redefinir o p roc e s s o ou a tarefa do manipulador, como por exemplo no caso de uma situação de e m e r g ê n c i a quando for d e t e c t a d o u m obstá c u l o estranho à célula.
Assim, em sistemas robotizados com sensores, a trajetória, descrita pela garra ou ferram e n t a do manipulador, não deve ser tratada de forma rígida, onde é pré - d e f i n i d a através de uma pr o g r a m a ç ã o "off-line" ou de um sistema de "learning". De modo a responder aos sinais enviados pelos sensores externos, o sistema de controle do ma n i p u l a d o r deve ser capaz de efetuar alterações de
trajetória, seja em termos de um de s v i o do obstáculo entre o manipulador e o
objetivo, seja a alter ação da pos i ç ã o do próprio objetivo ou ponto alvo, ou ainda do tempo em que deve ser atingido.
Quando a trajetória é alte r a d a em função da resposta dos sensores, a pr o g r a m a ç ã o deve também ser a l t e r a d a para respeitar as indicações destes sensores. Deste modo, o prob l e m a que se coloca é de o manipulador, que já está se movendo, segundo uma dada trajetória, ter que recalcular uma nova trajetória em vista da mudança da pos i ç ã o do obj e t i v o ou da presença de obstáculos. Assim, este trabalho ex plora o conceito de pla n e j a m e n t o de trajetória, com o uso de po l i n ó m i o s cúbicos de Hermite, d e f i n i d o s sobre trechos da trajetória, tanto para uma trajetória pré-definida, via uma programação "off-line", como também para uma trajetória adaptativa, com o obje t i v o variável ao longo do tempo, que possa ser implementada e m s istemas de m a n i p u l a d o r e s com sensores.
1.1. A N E C E S S I D A D E DE DEF I N I R TRAJETÓRIAS.
Um dos pontos fun d a m e n t a i s p a r a a automação industrial é o emprego de sistemas de m a n i p u l a d o r e s controlados digitalmente, para uso nas mais diferentes aplicações, como pega de peças, transporte destas entre dois pontos, montagem de produtos, pintura, solda, e inúmeras outras aplicações. Uma classificação tradicional qu a n t o ao tipo de trajetória que o manipulador descr e v e distingue
entre trajetórias p onto a ponto, e trajetórias de interpolação, [12]. Uma
trajetória p o n t o a ponto é espe c i f i c a d a para o sistema de controle de m anipulador apenas com alguns po u c o s pontos, onde o sistema de controle deve então estabelecer uma e s t r a t é g i a para, partindo de um ponto, atingir o ponto seguinte. Esta e s t r a t é g i a é usualm e n t e e s t a b elecida usando a velocidade máxima que o m a n i p ulador consegue des e n v o l v e r para cada um dos eixos. Outro tipo de trajetória é a de interpolação, onde agora o sistema de controle recebe informações complementares, d e f i n i n d o não só pontos intermediários, mas também a
v elocidade do manipulador, com o sistema de controle gerando pontos
intermediários, unifo r m e m e n t e espaç a d o s no tempo, de acordo com um algoritmo de interpolação linear, ou circular, por exemplo. No que diz resp e i t o à exigência de desempenho do manipulador, qu a n t o ao tipo de trajetória p e r c o r r i d a durante a movimentação, é possível classificar segundo duas categorias, figura 1.1, como
segue:
- Trajetória de transporte ou de movimentação:
É o caso típico quando o ma n i p u l a d o r realiza o m o v i m e n t o entre dois pontos p e r f e i t a m e n t e defin i d o s no espaço, sendo livre a trajetória seguida entre estes dois pontos. Aplicações típicas são a pega de peças em um ponto e descarga em outro, montagens de prod u t o s e operações de transferência de uma forma geral. Uma variante d e s t a trajetória é a trajetória de movimentação com restrições, onde são a d i c ionados pontos intermediários, pelos quais a trajetória deve passar, de modo a permitir um melhor controle sobre esta, como se requer no d esvio de obstáculos.
- Trajetória de precisão:
Qu a n d o o importante passa a ser a trajetória pro p r i a m e n t e dita e não os pontos de início e fim, é necess á r i o que esta respeite o máximo possível a trajetória idealizada, de modo a cumprir a d e q uadamente a tarefa. Aplicaçõe s típicas neste caso são as de pintura, de rebarbeamento, de solda elétrica a arco ou a ponto, bem como outras, em que existe uma trajetória ideal que deva ser seguida tanto qu a n t o possível.
Para a trajetória de transporte são relevantes as posi ç õ e s dos pontos de início e de término, não importando muito a forma da trajetória entre estes dois pontos, a menos que existam obstáculos no meio do percurso, ou então que a
de precisão, os pontos de início e de fim da trajetória não são fundamentais, mas o acompanhamento exato da trajetória pretendida é essencial. Este tipo de
trajetória pode ser considerada, em \om grande número de casos de aplicação prática, como um segmento de reta, ou um arco de circxinferência, por exemplo.
Em qualquer um dos casos de utilização de sistemas de manipuladores, é necessário realizar a programação do processo a ser desenvolvido pelas várias partes que formam a estrutura do manipulador. Esta programação normalmente usa procedimentos com base em trajetórias formadas por segmentos de reta, ou então por um polinómio de grau elevado, para a trajetória como um todo. Isso envolve a solução de um sistema de equações para definir os coeficientes, a partir de condições de contorno pré-estabelecidas.
Figura 1.1 - Trajetória de movimentação e trajetória de precisão.
Como será visto no presente trabalho, com o uso de polinómios cúbicos de Hermite é possível obter uma solução explícita para a trajetória, a partir das condições de contorno, nos pontos extremos, e de pontos intermediários que são usados para controlar a trajetória no espaço cartesiano.
Esta formulação pode ser aplicada tanto para o planejamento de uma trajetória de transporte, como para o planejamento de uma trajetória de precisão, onde é usado um maior número de pontos para especificar a trajetória pretendida. Finalmente a formulação é usada para o planejamento de trajetórias adaptativas, onde então a trajetória deve ser passível de ser reprogramada em tempo real, quando uma indicação é fornecida pelo sistema de sensores e o sistema de controle do manipulador fornece uma resposta àquela indicação.
Um ponto importante desta formulação , e sua principal vantagem, é a solução da trajetória colocada de uma forma explícita, com uma sequência de cálculo estabelecida por um conjunto de equações algébricas ou de u m sistema de equações, que não requerem a solução iterativa para determinar os coeficientes apropriados. Tal vantagem se justifica em um sistema de controle em tempo real, onde a trajetória deve ser calculada com o mínimo de esforço computacional,
p r i n c i p a l m e n t e no caso de uma f o r m ulação adaptativa, em que o objetivo final da trajetória é móvel.
1.2. 0 E NFO Q U E PROPOSTO.
O p r e s e n t e trabalho se propõe a d e s e n volver uma familia de f ormulações para o p l a n e j a m e n t o de trajetórias de manipuladores, com o uso dos p olinô n i o s cúbicos de Her m i t e (PCH), com as mais difere n t e s possi b i l i d a d e s de aplicação, seja em trajetórias de movimentação, em trajetórias de precisão, ou, ainda, em trajetórias adaptativas, aplicadas a qualquer um dos dois tipos citados acima. Conf o r m e já comentado, em qual q u e r um dos casos se busca uma simplicidade algébrica, que se traduz em um reduzido tempo de processamento numérico, fundamental para a p l i c a ç õ e s com sensores externos, aplicações estas que de v e m ter a sua trajetória recalculada em tempo real como consequência de a lgum sinal env i a d o pelo sistema de sensores. O trabalho p r o p r iamente dito divid e - s e em cinco gra n d e s partes, respectivamente nos Capitulos 2, 3, 4, 5 e 6. A primei ra parte diz respeito a uma a p r e s entação dos conceitos relacionados à robótica, à tarefa de p l a n e j a m e n t o de trajetórias e, finalmente, à revisão dos p r o c e dimentos e f o r m u lações que estão d i s p oníveis na literatura especializada.
A seg u n d a parte a p r e s e n t a os polinó m i o s cúbicos de Her m i t e e as suas c aracterísticas básicas, essenc i a i s para uma compreensão do seu emprego no
plan e j a m e n t o de trajetórias, p r i n c i p a l m e n t e no que diz respeito a sua
representação paramétrica, seja para as funções que calculam as dimensões de c oordenadas espaciais, como p a r a a função que calcula a dime n s ã o tempo.
A terceira parte do trabalho det a l h a a a p l i cação dos P C H na formulação de trajetórias pré-programadas, sejam estas de movimentação, sendo
defin i d o s apenas os pontos extremos, sejam de precisão, com pontos
intermediários. Em ambos os casos visa-se, sempre que possível, a obtenção de uma solução algéb r i c a explícita.
A qu a r t a parte, por sua vez, aprese nta a formul a ç ã o de trajetórias adaptativas, em que uma trajetória inicial qualquer, seja ela obtida pelos mét o d o s que usa m os po l i n ô n i o s cúbicos de Hermite, ou qual q u e r outro tipo de formulação, é redefinida, com a espe c i f i c a ç ã o de posição do novo objetivo, bem como o instante de tempo em que tal obje t i v o deva ser alcançado.
Finalm e n t e a qu i n t a parte fornece uma série de resultados obtidos com as formu lações propostas, p r o c u r a n d o salientar pontos caract e r í s t i c o s destas formulações. Aqui também é feita a comparação entre a prop o s t a deste trabalho com formulações que se e n c o n t r a m na bibliografia.
PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS EM ROBÓTICA.
Neste Capítulo estão apresentados todos os conceitos e informações que são necessários para fundamentar o presente trabalho. Assim, na secção 2.1 é feita uma descrição sobre os aspectos básicos que envolvem um sistema robótico, quanto aos elementos que formam o sistema como um todo, bem como quanto aos elementos que constituem o manipulador. Nas secções 2.2 e 2.3 são apresentados, de uma maneira genérica, os conceitos relacionados à tarefa de planejamento de trajetória, enquanto que as secções 2 .4 e 2.5 detalham os trabalhos descritos e disponíveis na literatura especializada. 0 Capítulo encerra com uma discussão sobre os vários procedimentos e métodos de planejamento de trajetória, e acerca das características e vantagens ou desvantagens que cada um possui, direcionando assim o enfoque a ser dado quando do desenvolvimento do presente trabalho.
2.1. CONCEITOS DE ROBÓTICA.
A idéia básica de um sistema robótico é de um mecanismo
servocontrolado que executa tarefas de acordo com um padrão pré estabelecido de movimentos e de ações, embora passível de tomada de decisões, quando conectado a sensores externos. A figura 2. 1 a seguir ilustra esquematicamente a idéia exposta.
Program a
\ \ Sistem a de Controle
Meio A m biente
M anipulador
A tarefa a ser executada é codificada, formando o programa de comando do manipulador, o qual é a entrada do sistema de controle, que por sua vez verifica a pos i ç ã o atual de cada uma das juntas e a posição desejada, conforme solicitado pela programação. No caso de existir um erro de posição, o atuador da junta correspondente é excitado pelo sistema de controle, de modo a reduzir o erro, teoricamente até zero. Os sensores internos colocados sobre a estrutura do
manipulador, n o r m a lmente na forma de "encoders", fornecem um sinal
correspondente à posição instantânea da junta que está sendo monitorada. 0 efetuador por sua vez é a parte ativa do manipulador, que executa a tarefa fim, podendo ser form ado por uma garra para a pega de peças, uma ferramenta de desbaste, uma pis t o l a de solda, ou qualquer outro tipo de elemento.
Depend e n d o da configuração geométrica do manipulador, a posição de cada junta não especifica diretamente a posição e orientação do efetuador no espaço cartesiano, sendo necessário o uso de uma formulação própria, que gera a chamada cinemática direta, na qual, dadas as coordenadas de junta, são obtidas
as coordenadas cartesianas, de posição e de orientação do efetuador. A
formulação da cinemática direta é apenas geométrica e usualmente não apresenta dificuldades para ser obtida. Assim, a obtenção das coordenadas cartesianas, através das equações da cinemática direta, é geralmente simples e rápida de ser efetuada, mesmo no caso de manipuladores com seis graus de liberdade. Já o caminho inverso, qual seja, o de dadas as coordenadas cartesianas do efetuador, obter as coordenadas de Junta, não é imediato, sendo normalmente dificil de
tratar de forma analitica, existindo solução fechada apenas em casos
particulares. A cinemática inversa, a menos destes casos especiais, deve em geral ser tratada por meio de processos numéricos, iterativos, ou não, o que pode comprometer o uso de procedimentos de controle e planejamento de trajetória
m ente deve ser d i t o que p o d e m oco r r e r situações onde a cinemática inversa não existe. Isto pode ocorrer de v i d o a limitações do mecanismo de acionamento, como b a t e n t e s de f i m de curso, ou de v i d o a pon t o s singulares dentro do espaço de trabalho. Uma d i s c u s s ã o mais d e t a l h a d a é feita no item 2.5.
No caso p a r t i c u l a r do pres e n t e trabalho, o enfoque a ser dado sobre o p r o b l e m a de p l a n e j a m e n t o de trajetória é geomét r i c o e assim a configuração g e o m é t r i c a do man i p u l a d o r é o asp e c t o mais relevante. Neste sentido, os
m a n i p u l a d o r e s cost u m a m ser c l a s s i f i c a d o s como esféricos, articulados,
cartesianos, cilindricos, e t c . , conforme o tipo de juntas que poss u e m e sua disposição. U m m an i p u l a d o r do tipo esfé r i c o possui uma junta de rotação na base, de eixo vertical, e outra junta de rotação, esta de eixo horizontal. 0 último elemento antes do p u l s o tem agora uma Junta prismática, levando a s s i m o pulso a u m m o v i m e n t o esférico. U m m a n i p u l a d o r do tipo articulado c a r a cteriza-se por apresentar todas as Juntas de rotação, enqu a n t o que um ma n i p u l a d o r cartesiano possui todas as Juntas do tipo de translação, advindo deste fato o seu nome, já que o perc u r s o segue as três d i r e ç õ e s ortogonais. Finalmente, um manipulador cilíndrico possui uma Junta de rotação na base e duas Juntas prismáticas a seguir, uma vert i c a l e u m a horizontal. A figura 2.2 mo s t r a estas configurações.
0 p r o b l e m a d a cinemática de m a n i p uladores de cadeia aberta consiste
b a s i c amente em um prob l e m a geométrico, de defi n i d a a posição relativa entre as várias ligações que formam a e s t r utura mecânica, obter a posição e orientação do extremo da úl t i m a ligação, que c o r r e sponde ao elemento ativo do manipulador. D e s t e modo, inúmeros enfoques p o d e m ser dados no tratamento do problema da cinemática, d e p e n d e n d o da forma ado t a d a para definir a geometria, quanto à
orient a ç ã o rela t i v a entre as ligações e qu anto à posi ç ã o relativa destas
mesmas [2, 10, 12]. Assim, d e p e n d e n d o do autor, a formulação é base a d a no uso de ma trizes de t r a n s formação de rotação, em conjunto com vetores que p o s i c i o n a m as juntas, n o uso de m a t r i z e s de transformação homogêneas, no uso dos ângulos de Euler ou dos p a r â m e t r o s de Rodrigues, ou ainda no uso de q u a t érnios para definir rotações, etc. De um modo geral, predomina, porém, o uso das matrizes de transform ação homogênea, com a d e f i n i ç ã o dos parâme t r o s de Denavit - Harten b e r g 12, 6, 10]. Uma matriz de transformaç ão homog ê n e a pode ser rep r e s e n t a d a por uma matriz 4x4, com a estrutura;
(2. 1)
onde R é uma m a t r i z 3x3, que c o r r e sponde à transformação de rotação entre as
duas Juntas analisadas, e é o vetor posição da Junta i+1 em relação à junta
(D. H.) são uma maneira de, através de quatro escalares, que representam dois ângulos e duas distâncias, descrever a posição relativa entre duas ligações
adjacentes na cadeia cinemática do manipulador. Os parâmetros a^ e são
parâmetros constantes, determinados pela geometria da ligação. A figura 2.3 mostra a definição dos quatro parâmetros, onde:
a^ - Comprimento da ligação i, definido como a distância entre os eixos das juntas da ligação i;
d^^- Excentricidade ou "offset" da junta, medida entre as normais comuns para a ligação i e i+1;
- Ângulo de torção da ligação i, medido como o ângulo entre o eixo i e o eixo i+1, sobre a reta definida por a^;
Ângulo da junta i+1, medido pelo prolongamento de a.^ e torno do
eixo i+1.
Figura 2.3 - Parâmetros de Denavit-Hartenberg.
variável conforme a junta é movida, d e p e n d e n d o se for uma Junta prismá t i c a ou de revolução. U s a n d o a not a ç ã o de D. H. e os sistemas de coordenadas da figura 2.4, c o m p á t iveis com a d e f i n i ç ã o de D. H. , a matriz de transformação entre o sistema i e o sis t e m a auxi l i a r é dada por [2] :
,AUX IR a K 'a
0 1 (2.2)
onde R é a ma t r i z de rotação sobre o eixo x . de um ângulo a e X é o vetor
(X i d
que p o s i c i o n a a o r i g e m 0^ em relação à 0'.
Para pa s s a r do sistema auxiliar para o sistema i-1, a matriz de tr ansformação é ;
AUX (2.3)
sendo R a ma t r i z de rotação sobre Z , de um ângulo 0 e
b 1-1 1 e o vetor que
p osic i o n a a o r i g e m 0 ’ em relação a 0^ Assim, para realizar a transformação de
Oj para 0^ a mat r i z será :
i
,i-l ^ A U X
AUX 1 (2.4)
o u seja, sendo C0^,
correspondentes.
C a ^ , S0^e Sa^os cossenos e senos dos ângulos
1 C01 -S0 Ca S0 Sa a C0 1 1 1 1 1 S01 C0 Ca -C0 Sa a S0 1 1 i 1 1 0 S ai Ca d 1 1 0 0 0 1 (2.5)
Esta m a t r i z representa a transformação de um vetor, desc r i t o no
sistema de coo r d e n a d a s i, para o sistema de coordenadas i-1. O u seja, sendo e
a r e p r e sentação do vetor, respec t i v a m e n t e em i e i-1, v e m ;
,
1-1(2.6)
No caso geral de um ma n i p u l a d o r de cadeia cinemá t i c a aberta, com n ligações, o objetivo é de t e r m i n a r a m atriz de transformação desde o extremo do e fetu a d o r até a base do manipulador. Assim, no caso de juntas prismáticas, d^ é
variável, ficando a ; a e 0 co n s t a n t e s e par a as Juntas de rotação, 0^ é a
^ ^ ^ i“1
variável, com a ; d e a constantes. D e s t e modo, a matriz é função ou de
dj ou de 0^, d e p e n d e n d o do tipo de Junta que é a Junta i-1 (Fig. 2.4). Chamando
de q^ a co o r d e n a d a g e n e r a l i z a d a d a Junta que será d^ ou 0^, então a
transformação do vetor 2?' será d a d a por:
10
= aJ-' (q^) (2.7)
Como o ma n i p u l a d o r é for m a d o por um enca d e a m e n t o sequencial das vá r i a s ligações, p a r a def i n i r a p o s i ç ã o de um po nto do efetuador (elemento ativo do manipulador), dada pelo sistema de coordenadas deste em relação ao sistema de coordenadas da base do manipulador, ba s t a aplicar s e q ü e ncialmente as sucessivas matr i z e s de tran sformação de cada uma das ligações, desde o e f e t u a d o r até a base
do manipulador. Assim, sendo k” o v e t o r posi ção de um ponto em relação ao
sistema de coord enadas da ligação n, o vetor posição do mesmo ponto, 2?°, agora em relação ao sistema de c o o r d enadas d a base, será obtido como :
(q^) 1?' = Ihl (q^) 5«^ ( q ) n n O U (q )
Ihl
(q ) (q ) ... (q ) 2?" ( 2 . 8 ) 1 1 2 2 3 3 n nonde o prod u t o de matri z e s 4x4 pode ser substituido por uma única ma t r i z T:
„0
= ir (q q q ...q ) 2?" (2.9)
1 2 j n
A mes ma formul a ç ã o pode ser usada se o vetor 2?" representar uma o rient a ç ã o no e spaço e n ã o uma posição, sendo 2?° a r e p r e s e n t a ç ã o da mesma o rient a ç ã o no espaço, só que em relação ao sistema de coordenadas d a base.
D e s t a forma, a matriz T (q , q ...q ) contém todas as informações a
1 2 n
respeito da p o s i ç ã o e da orient a ç ã o do efetuador, em relação ao sistema de c o o r d enadas da base, na mesma e s t r u t u r a da matriz A, onde agora 2?^ fornece a p os i ç ã o da o r i g e m do sistema de coo r d e n a d a s do efetuador e (R é a matriz de rotação entre o sistema da base e o d o efetuador, com suas colunas representando os cossenos d i r e t o r e s dos vetores u n i t á r i o s do sistema do efetuador, no sistema d a base. [1, 2, 3, 6, 10, 12, 18, 29, 41].
2.2. PLA N E J A M E N T O D E TRAJETÓRIA.
T i p i c amente o p l a n e j a m e n t o de trajetória de um manipulador consiste e m gerar uma s e q ü ê n c i a temporal d e pontos, que define todas as posições i ntermediárias dos elementos do manipulador, enquanto este se move de uma p osição de origem até uma posição de des t i n o [6]. Esta seqüência de pontos deve e specificar totalmente a c o n f i guração do manipu lador em um instante qualquer de tempo, e assim é n e c e s s á r i o fornecer tantos dados qua n t o s são os graus de liberdade do manipulador, para cada ponto na seqüência temporal. Isto pode ser colocado de forma que cada g r a u de liberdade do manipulador deve ter sua própria s equência temporal de pontos, que fornece a p osição desta junta ao longo do tempo. A sequência de pontos, bem como as suas primeira e segunda derivadas em relação ao tempo, são então enviada s ao sistema de controle do manipulador, o qual, por sua vez aciona os atuadores que m o v i mentam o manipulador. A referência [10] coloca, como o b j e t i v o final d a tarefa de plan e j a m e n t o de trajetória, a d e f i nição de uma descr i ç ã o temporal do movimento do m a n i p ulador quanto à posição, veloci d a d e e aceleração, para cada um dos graus de liberdade.
A curva que o man i p u l a d o r deve descr e v e r no espaço é denominada de percurso e a trajetória é d e f i n i d a com a informação adicional de tempo, em que o percurso é desc r i t o pelo ma n i p u l a d o r [6,12]. De um modo geral, os pontos de inicio e de fim da trajetória p o d e m ser e s p e c ificados no espaço das coordenadas d e Junta, onde a pos i ç ã o de cada Junta é definida, ou então no espaço cartesiano, através das coordenadas do efetuador e d e sua orientação. Do ponto de vista do s istema de controle, da formul ação cinemática e dinâmica do manipulador, a d e s c rição mais conven iente de uma configuração é na forma de um vetor em coorden adas de Junta.
Conforme Já discutido, as coordenadas de Junta são transformadas em coordenadas car tesianas através das equações da cinemática direta, e isto é g e r a lmente simples de ser efetuado. No entanto, a cinemática inversa deve em geral ser tratada por proce s s o s numéricos. Assim, como é mais simples manter um controle sobre o c o m p o rtamento de algoritmos de p l a n e j a m e n t o de trajetória em coordenadas de Junta e como isso também evita um cálculo constante da cinemática inversa, a p r e f e rência é a de gerar a trajetória em coordenadas de Junta, mesmo que a fonte de informações e as configurações início e fim sejam especificadas em coordenadas cartesianas. Deste modo, no prese n t e trabalho, a trajetória será sempre tratada e f o r m u l a d a em coordenadas de Junta, sendo que a trajetória
c artes i a n a será então obtida pela cinemática direta. A referência [12]
apresenta, em sua secção 4.2, uma interessante discu s s ã o sobre as vantagens e d es v a n t a g e n s do pla n e j a m e n t o em coordenadas de Junta e em coordenadas cartesianas, no espírito dos argume n t o s que estão sendo d i s c u t i d o s no presente Capítulo.
0 planejamento de trajetória em coordenadas de junta corresponde, tipicamente, a definir, parametricamente, uma função em um espaço de sete dimensões, no caso de um manipulador de seis graus de liberdade (as seis coordenadas de junta mais o tempo). Esta função vetorial é mapeada em um espaço
cartesiano, também de dimensão sete (três coordenadas de posição, três
coordenadas de orientação e o tempo). A transformação de mapeamento do espaço de junta para o espaço cartesiano é a transformação definida pela cinemática direta, enquanto que a transformação que mapeia o espaço cartesiano no espaço de junta corresponde à cinemática inversa, figura 2.5. Ambas as transformações são não lineares.
12
Figura 2.5 - Mapeamento entre o espaço de coordenadas de jvinta e o espaço cartesiano.
Uma consideração que é intuitivamente feita é a de que a função t(s) no espaço de junta seja a mesma função t(r) no espaço cartesiano, onde s é o parâmetro em coordenadas de Junta e r é o parâmetro em coordenadas cartesianas e também que r=s. Isto leva à identidade do "tempo" em coordenadas de Junta com o "tempo" em coordenadas cartesianas, ambos também coincidentes com o tempo físico. Isso, no entanto, não é necessário, já que pode existir uma função de mapeamento entre t(s) e t(r) diferente da identidade. Este conceito não é explorado no presente trabalho, por não se tornar necessário, mas é conveniente ter-se em mente as possibilidades que uma função de mapeamento neste caso permite.
0 percurso de um ponto no espaço é matematicamente definido como uma função de posição, através de um parâmetro s, que representa a fração percorrida sobre a curva. Usualmente o parâmetro é normalizado, de forma que s = 0 no ponto inicial e s = 1 no ponto final, ou ponto objetivo. De um modo geral, a trajetória é formada pela seqüência temporal de posição e de orientação do efetuador. 0 resultado de uma tarefa de planejamento de trajetória é uma sequência temporal das configurações do manipulador, que consiste nos dados de
ent r a d a do sis t e m a de controle do manipulador. A taxa típica de amostragem de sistemas de controle está na faixa de 20 Hz a 200 Hz, sendo 60 Hz um valor típico. Esta taxa deve ser respeitada, para que o br a ç o tenha u m movimento suave e previsível. De pend e n d o do sistema de controle, além das posições, d e v e m ser fornecidas as v e l o cidades de Junta, ou até mesmo as acelerações de junta.
Devido à elevada f r e q üência de a m o s tragem e à di f i c u l d a d e de computar a c i n e mática inversa, existe a ne c e s s i d a d e de que a saída do planejamento de trajetória seja através de uma sequê n c i a temporal no espaço das coordenadas de Junta, ao invés de uma representação do manipulador no espaço cartesiano.
A div i s ã o de trabalho entre o sistema de controle e o planejamento não é absoluta. As c o n f i gurações geradas pelo p l a n e jamento podem não ser su f i c ientemente próximas no tempo, de modo a acompanhar a taxa de amostragem do sistema de controle. Neste caso, u m proc e s s a m e n t o adicional faz-se necessário, com o uso de um proc e d i m e n t o de interpolação em coordenadas de junta, de forma a aumentar a densi d a d e de pontos sobre a trajetória.
Os proce d i m e n t o s h a b i t u a i s de planejamento de trajetória fazem uso de um conjunto de restrições de posição, velocidade e aceleração, sobre um certo número de pontos na trajetória desejada, que são usados para definir esta
trajetória. Estes pontos são selecionados no espaço cartesiano, porém a
trajetória é plane j a d a no espaço de coordenadas de junta. Assim, a trajetória é defin i d a de forma implícita, e neste caso torna-se importante uma simulação tridimensional do manipulador. K o r e m [18], por sua vez, define três tipos de pontos que são usados para e s p e c ificar uma trajetória: pontos extremos, de início e fim da trajetória; po n t o s intermediários, onde não há exigência da trajetória passar exatamente sobre estes, usados para guiar o manipulador e pontos de referência, onde o sistema de controle toma alguma decisão, como por exempl o uma bifurcação ou desvio condicional. Quanto ao tipo de trajetória, que está acoplado ao tipo de sistema de controle, tem-se a chamada trajetória PTP, ou ponto a ponto, onde o m a n i p ulador parte de sua posi ç ã o inicial e cada um dos eixos é acionado na sua veloci d a d e máxima, até atingir o ponto final conforme já comentado na secção 1.1. Neste tipo de trajetória não se tem controle sobre o percurso que é realizado entre os pon t o s extremos. 0 outro tipo de trajetória é a chamada trajetória contínua, ou CP, onde é feita uma interpolação linear entre cada dois pontos pré-programados.
Nu m outro enfoque de planejamento, a trajetória é definida
explicitamente por uma função analítica, usualmente no espaço cartesiano, e o objetivo é determ i n a r um perc u r s o que se aproxime ^ o máximo possível da trajetória pretendida.
Vários critérios po d e m ser identificados p a r a comparar e avaliar trajetórias e sistemas de planejamento. Em primeiro lugar; as trajetórias devem
ser eficientes, tanto p a r a o cálculo como para a execução. E m segundo lugar, as trajetórias d e v e m ser p r e v i síveis e precisas, não devendo degenerar de forma inaceitável próximo a singularidades, o que pode ocorrer para um planejamento no e spaço cartesiano. Em terceiro lugar, a posição, velocidade e aceleração deve m ser funções suaves do tempo. T i p i c ame nte a trajetória deve ser uma função suave,
com continuidade C° e , b e m como, eventualmente, também contínua em C^, pois
que uma d e s c o n t i n u i d a d e leva a um aumento no desgaste dos orgãos mecânicos e
e xcita v i b r a ç õ e s no m e c a n i s m o articu l a d o do manipulador, conforme [10]. Q u a n t o à interface homem-máquina, esta deve ser a mais amigável possível, fazendo com que o usuário deva definir, ou especificar, o mínimo de informações qu a n d o do p l a n e jame nto da trajetória. F i n a l m e n t e deve ser possível determinar, de forma eficiente, se a trajetória propo s t a leva o braço para fora do espaço de
trabalho, ou, então, se os limites de velocidade ou de aceleração são
ultrapassados.
2.3. MÉT O D O S USU A I S D E P L A N E J A M E N T O D E TRAJETÓRIA.
Nesta secção é feita uma revisão dos métodos de p l a n e jamento de trajetória que estão di s p o n í v e i s na literatura. A análise dos procedimento s permite c l a s sif icá-los inicialmente em métodos de pla n e j a m e n t o no espaço cartesiano e em métodos de plan e j a m e n t o no espaço de coordenadas de Junta. Uma outra c l a s s ifica ção possível é qu a n t o ao tipo de curva tratada. Já que muitos p r o c edime ntos limitam-se a analisar um segmento de reta, sob a a r g u mentação de que qualquer curva pode ser composta por um número adequado de pequenos
segmentos de reta. Outros mét o d o s usam agora funções não lineares,
tradicionalmente funções polinomiais, para definir a trajetória. Os
p r o c e dimentos d e s e n v o l v i d o s por Paul [28] e por Taylor [39], discutidos na
secção 2.5, são atualm e n t e considerados clássicos, sendo a p r e s entados e
d i s c u t i d o s em qu al q u e r texto que se preocupe com o problema de p l a n e jamento de trajetória, como as referências [2, 6, 10, 12, 18 e 31]. Seg u n d o [6], o uso de polinómios, de g r a u crescente, perm i t e que trajetórias sejam definidas, com um nível também cre scente de sofisticação. Assim, a descr i ç ã o mais simples de um m o v i mento consiste em especificar as posições de início e fim, b e m como as r espectivas v e l o c idades e acelerações. Quanto à posição, é fácil verificar que um proc e s s o como o desc r i t o abaixo, parte da pos i ç ã o x e chega à posição x ,
1 2
onde f(s) é qualquer função contínua que satisfaça f(0) = 0 e f(l)=l.
x(s) = f(s) x^ + (1 - f(s)) x^ (2.10)
Se o parâmetro s for proporcional ao tempo, então a função f(s) converte o perc u r s o do m a n i p ulador na sua trajetória. No caso de f(s) = t, x é uma combinação linear de x e x , e a vel oci d a d e da Junta, x, é constante ao longo
1 Á
da trajetória. No caso de serem a d i c i onadas restrições de velocidade, e x^, x(t) passa a ser uma cúbica, na forma [6]
x(t) = (1 - t)^ [x^ + (2x^ + x^)t] +
t [x^ + (2x^ + x^)(l - t)] (2.11)
e m que a aparente não h omogeneidade d a equação decorre do fato de estar o tempo adimensionalizado; a ssim x e x são dim e n s i o n a l m e n t e iguais. No caso agora de serem adicionadas restri ções de aceleração, x^ e x^ , a equação passa a ser uma do quinto grau, como [6]:
x(t) = (1 - t)^ [x^ + (3Xj + x^) t -t- (x^ + 6Xj + 12x^)t^/ 2] +
t^[x + (2x - X )(1 - t) + (x - 6x + 12x )(1 - t ) V 2) (2.12)
0 uso de fun ções pol i n o m i a i s é confortável, pois f(t) = t" satisfaz sempre as condições f(0) = 0 e f(l) = 1. As trajetórias polinomiais são funções suaves de t, nas quais as potências t" formam uma base do espaço vetorial das f unções polinomiais.
Neste sentido, outras bases que satisfaçam as condições extremas, podem ser selecionadas, como funções transcedentes e suas potências. Assim, por exemplo, as restriçõe s de posição e v e l o cidade que levaram ao polinómio cúbico, equação (2.12), são também satisfeitas pela seguinte trajetória cossenoidal [6];
x(t) = cos^ (n(l - t)/2) [x - — ^ 2x cos (írt/2)] +
2 71 2
cos^(n:t/2) [x + 2x cos (7r(l-t)/2)l (2.13)
1 7T 1
Craig [10] desenvolve em deta l h e s o uso de polinómios p a r a descrever uma trajetória, como polinómios cúbicos no caso de serem especificadas a posição e a velocidade nos dois pontos extremos, ou então como polinónios do quinto grau quando são ainda adicionalmente e s p e c ificadas as acelerações nos pontos extremos. 0 autor des creve ainda o uso de polinó m i o s em trajetórias com pontos intermediários e finalmente trajetórias retilíneas com transição parabólica entre cada dois trechos sucessivos.
Segu n d o [6], M u j t a b a fez um estudo exploratório onde compara
diferentès formulações de trajetórias, incluindo cosseno, polinómios e a soma de uma função seno com uma função rampa, conforme mostra a figura 2.6. As
restrições impostas de velocidade eram zero no início e no fim da trajetória e, as condições de aceleração eram zero, ou então um valor máximo absoluto. Adicionalmente estudou uma trajetória exponencial decrescente, que se aproxima do comportamento de um sistema de segunda ordem amortecido. A trajetória do tipo "bang-bang" é a que apresenta menor tempo de execução e as trajetórias com cosseno, polinómio de quinto grau e seno mais rampa são, aproximadamente, de 10 a 20% mais lentas. A trajetória exponencial amortecida é da ordem de 70% mais lenta. A trajetória do tipo "bang-bang" é a que apresenta melhor desempenho, mas a des continuidade de aceleração é prejudicial, tendo em vista que pode excitar modos de vibração na estrutura do manipulador.
16
Fi g u r a 2.6 - Resultados de posição , velocidade e aceleração, para vários tipos de trajetória, segundo Mujtaba [6].
A l é m dos pontos extremos da trajetória, novas restrições po d e m ser introduzidas, como, por exemplo, pontos intermediários que procurem direcionar o manipulador, de modo a prevenir a colisão com obstáculos. Outra situação ocorre quando os extremos da trajetória devem ser executados com cuidado, de modo a fazer contato com uma superfície. A figura 2.7 mostra uma trajetória com pontos intermediários para evitar colisão e a figura 2.8 mostra uma trajetória com os pontos de afastamento e de aproximação, para definir regiões ou trechos de m o v i mento lento, cuidadoso, como os de partida e de chegada.
Figura 2.8 - Trajetória com trechos de movimento lento, no início e fim do percurso.
Para o planejamento de trajetórias com um maior número de restrições, o uso de uma base de potências, t", leva a funções polinomiais de elevado grau. Embora estes polinómios sempre existam, esta metodologia apresenta desvantagens. Por exemplo, é difícil verificar, a priori, se um polinómio de grau n gera uma trajetória que ultrapassa os limites físicos do braço durante o movimento. Exemplificando, para verificar se uma dada trajetória polinomial ultrapassa o espaço de trabalho, é necessário achar os máximos de uma função do g r a u n, logo é necessário resolver uma equação algébrica de grau n-l, ou seja, sua primeira derivada. Por outro lado, como um polinómio de grau n possui até n raizes distintas, a trajetória pode cruzar até n vezes uma dada reta, ou seja, a trajetória passa a ser muito ondulada, com oscilações muitas vezes indesejáveis. Outro ponto a considerar é a precisão de cálculo de um polinómio de grau elevado, que é menor do que no caso de um polinómio de menor grau, já que um pequeno erro numérico no tempo, que é a variável do polinómio, é ampliado pela potência t”. Todos estes aspectos devem ainda levar em conta que quanto maior o
grau do polinómio, maior esforço computacional deve ser realizado para
determiná-lo. Finalmente, um polinómio que é usado para gerar uma trajetória que passe por um conjunto de pontos intermediários, deve ser totalmente .recalculada caso um ponto seja deslocado, ou um novo ponto de referência deva ser introduzido. No caso de um novo ponto ser definido, um polinómio de grau ainda mais elevado deve ser gerado, exigindo um esforço computacional ainda maior.
Assim, da discussão acima colocada, vê-se que o uso de trajetórias baseadas em funções polinomiais, que visam satisfazer um conjunto de'r e s t r i ç õ e s de posição, velocidade e aceleração, leva a polinómios de grau elevado, e isto é indesejável sob vários aspectos. Deste modo, uma possibilidade é a de fazer uso do conceito de splines, ou seja, de dividir a trajetória em um certo número de trechos, entre pontos de referência e, para cada um destes trechos, de forma
individual, d e t e r m i n a r um polin ó m i o específico, em geral de baixo grau. Assim, o p r o b l e m a p a s s a a ser o de d e t e r m i n a r alguns polinómios de ba i x o grau, u m para cada trecho, ao invés de um único p o l i nómio de grau elevado. 0 conceito de splines é amplam e n t e u t i l i z a d o em CAD, no m o d e lamento g e o m é t r i c o de curvas,
s u p e r fíci es e sólidos, [5, 8, 11, 13, 15, 27, 33]. De m o d o a manter a
continuidade do movimento, é n e c e s s á r i o que splines consecutivas tenham a mesma posição, v e l o c i d a d e e aceleração, no ponto de transição. Fu [12] propõe uma trajetória onde os trechos extremos são polinó m i o s do qu a r t o g r a u e os trechos intermediários são p o l i n ó m i o s cúbicos, conforme detalhado mais à frente.
No caso de trajetórias do tipo "bang-bang", [6], tem-se aceleração constante até u m certo ponto, e, após, desa c e l e r a ç ã o constante até a parada, no ponto objetivo. A c o n s i deração de ac e l e r a ç ã o constante e igual à máxima que a Junta admite, o u consegue gerar, p a r a cada configuração do manipulador, é c o n s e r v a t i v a e isto leva , portanto, a uma trajetória quadrática. Segundo [5], W al t e r s c o n s idera uma trajetória em que a aceleração é constante e igual ao máximo, o u ao mínimo, permissível p a r a a Junta, ou então é zero. Para os trechos de trajetória onde a a c e l eração é constante, a velocidade é função linear do tempo; portanto, a posição é uma fun ç ã o quadrática. De modo similar, Höller b a c h [6] d e t e r m i n o u que a trajetória de mí n i m o dispê n d i o de energia, de um modelo flexível de um músculo humano, é uma trajetória do tipo " b a n g - c o a s t - b a n g " , ou
seja, uma trajetória formada por três trechos, respectivamente, máxima
aceleração, m o v i m e n t o livre por inércia e finalmente, máxima desaceleração.
Na b i b l i o g r a f i a e s p e c i a l i z a d a e m sistemas de automação, robótica e sistemas CAE/CAD/CAM, e x i s t e m trabalhos que, embora não tratando d i r e t amente do I prob l e m a de p l a n e j a m e n t o de trajetória, n e c e ssitam intimamente dos conceitos, ao ' tratar dos aspectos do sistema de controle, seja usando um modelo dinâmico do m a n i p ulador no laço de controle, ou não [2,10]. A referência [37] apresenta a implementação e v a l i d a ç ã o experimental de um sistema de controle adaptativo direto, que disp e n s a o uso de um mod e l o dinâm i c o do manipulador, o que em geral é benéfico, pois que as incertezas e as alterações dos p a r â m e t r o s do manipulador p r e j u d i c a m o de s e m p e n h o do sistema de controle. Os autores usam um algoritmo de controle com sinal de erro de posi ç ã o e de velocidade. Na v a l i dação experimental é usada uma trajetória cicloidal, c o m p a r a n d o o traçado d e s e j a d o e o obtido, em cada uma das juntas. 0 sistema p r o p o s t o mostrou-se muito mais preciso, em compar açã o com o sistema original, me s m o considerando que a freqüência de a m o s t r a g e m deste último seja sete v e z e s maior do que no sistema proposto.
2.4. P L A N E J A M E N T O E M CO O R D E N A D A S DE JUNTA.
De t a l h a n d o agora a d i s c u s s ã o anterior sobre pla n e j a m e n t o de
trajetória, as referências [6,10,12] forn e c e m várias formulações e p r o c e dimentos 18
, os quais serão aqui discutidos. S e g u n d o [12], uma série de considerações devem ser ponder a d a s qu a n d o do planejamento, em especial para trajetórias como a ilustrada na figura 2.8, cons i d e r a ç õ e s estas que são :
1. Q u a n d o da p e g a de al g u m objeto, o movim e n t o da garra deve ser
d i r e c i o n a d o de forma a se afastar da posição original do objeto, caso contr á r i o a g a r r a pode colidir com a superfície sobre a qual o objeto está apoiado;
2. Se for e s p e c i f i c a d a u m a p o s i ç ã o de a f a s t amento (lift-off point), sobre
o vetor normal à superfície, a partir do ponto de or i g e m do movimento, então está sendo e s p e c i f i c a d o um movim e n t o admissível para o início da trajetória. Se a d i c i o n a l m e n t e for esp e c i f i c a d o o tempo em que esta p osição deve ser atingida, a velocidade com que o ob j e t o está sendo levantado da superfície é também definida;
3. 0 m e s m o c o n j u n t o de a r g u m e n t o s apresentados, para a e s p e c ificação do
ponto de a f a s t amento serve p a r a e s p e cificar o p o n t o de aproximação (set-down point), até a p o s i ç ã o final, de modo que a dir e ç ã o correta de a p r o x imação seja e x e c u t a d a e o movimento controlado;
4. Da d i s c u s s ã o ac i m a , e x i s t e m qu a t r o pontos da trajetória que estão
especificados, o u seja, o ponto inicial, o ponto de afastamento, o p onto de a p r o x imação e o p o n t o final ou ponto objetivo;
5. As r e s t r i ç õ e s em c a d a uma das quatro posi ç õ e s especificadas são
respectivamente:
P osição inicial : Tanto a v e l o c i d a d e como a a c e l e r a ç ã o são dadas, em geral nulas;
Pos i ç ã o de a f a s t amento : Cont i n u i d a d e do movimento; Posição de ap r o x i m a ç ã o : C o n t i n u i d a d e do movimento;
Pos i ç ã o final : Tanto a v e l o c i d a d e como a ac e l e r a ç ã o são dadas, em geral nulas;
6. A d i c i o n a l m e n t e a e s t a s restrições, os máx i m o s valores de todas as
trajetórias de junta d e v e m estar dentro dos valores g e o m é t r i c a e cinemat i c a m e n t e a d m i ssíveis p a r a cada Junta; e
7. 0 tempo e n v o l v i d o para c u m p r i r c a d a u m a das partes da trajetória, no
trecho inicial e final, é ba seado nas v e l o c idades de a p r o x imação e de a f a s t amento e nas caract e r í s t i c a s dos atuadores. No trecho central, ou de movimentação, o tempo é baseado nas c a p a cidades de ve l o c i d a d e e de aceleração de cada Junta e o maior destes tempos é usado, ou seja, dep e n d e da junta mais lenta p a r a executar o movimento.
Com o uso de trajetórias polinomiais, uma p r i m e i r a poss i b i l i d a d e para cumprir as restriçõe s acima, c o n s iderando que os pontos de afa s t a m e n t o e de
ap r o x i m a ç ã o sejam d e f i n i d o s apenas q u a n t o às suas posições, e x i s t e m assim oito restrições ou especificações. Destas, três são para cada ponto extremo e uma p ara cada ponto intermediário, levando as s i m a um p o l i nómio do sétimo grau, se for usado um ú n i c o p o l i nómio p a r a cobrir toda a trajetória. Isto, no entanto, não é conveniente, conforme visto, e uma melhor solução é usar polinómios de menor grau, u m entre cada d o i s p o n t o s d a trajetória, onde agora existem restrições adicionais, quais sejam as de continuidade no ponto c o m u m entre dois polinó m i o s adjacentes. Adotando, assim, três p o l i n ó m i o s [6], como existe m q u a t o r z e restri ç õ e s a serem cons i d e r a d a s ( as oito acima citadas e mais três c ondições de cont i n u i d a d e em cada p o n t o intermediário), é possivel usar uma trajetória do tipo 4-3-4, ou seja, co m polinó m i o s do quarto g r a u nos extremos e u m p o l i n ó m i o do terceiro g r a u no trecho central, ou então uma trajetória do tipo 3-5-3, onde o trecho central usa um p o l i n ó m i o do qui n t o grau. 0 desenv o l v i m e n t o d e t a l h a d o de s t a s fo r m u l a ç õ e s indica que para a solução da trajetória, ou seja, d e t e r m i n a r os c o e f i c i e n t e s de cada um dos três polinó m i o s envolvidos, chega-se a u m sistema de equaç õ e s lineares, com sete incógnitas. As trajetórias do tipo 4-3-4 e 3-5-3 estão d e t a l h a d a s no Apên d i c e A4.
Uma outra formul a ç ã o interessante é de, para a m e s m a situação anterior, adotar uma trajetória form a d a por cinco polinó m i o s do terceiro grau, port a n t o com cinco trechos e seis pontos, [12]. No entanto inicialmente foram e s p e c ificados apenas qu a t r o pontos, os dois pontos extremos e os de afastamento e de aproximação. Os dois pontos adicio n a i s são selecionados internamente ao trecho de movimentação, mas com flexi b i l i d a d e no posicionamento, no sentido de que nestes dois pontos a c o o r d e n a d a não neces s i t e ser localizada exatamente, sendo apenas n e c e s s á r i o es p e c i f i c a r os intervalos de tempo e assegurar que as c o n t in uidades de v e l o c i d a d e e de aceler a ç ã o sejam satisfeitas ne s t e s pontos. Isto leva a u m total de vinte restrições, que são as oito restrições iniciais, mais três restrições de c o n t i nuidade em cada um dos quatro pontos intermediários
d a trajetória. Como cada p o l i n ó m i o possui qua t r o coeficientes, os cinco
po l i n ó m i o s cúbicos p o d e m ser p e r f e i t a m e n t e definidos. 0 d e s e n v o l v i m e n t o desta fo r m u l a ç ã o leva a uma interessante solução explí c i t a p a r a as equações de cada um dos polinómios, [12]. Este método, no entanto, ao liberar a posi ç ã o dos dois pontos centrais, perde o cont r o l e sobre a forma da trajetória.
2.5. P L A N E J A M E N T O E M C O O R D E N A D A S CARTESIANAS.
No p l a n e j a m e n t o de trajetórias no espaço cartesiano, uma das
p r i m e i r a s p r e o c u p a ç õ e s foi com o tratamento de trajetórias retilíneas, pois ou t r a s trajetórias p o d e m ser formadas pela J u s t a posição de segmentos de reta. Assim, a b i b l i o g r a f i a preocupa-se, inicialmente, deste caso. A trajetória, a ser seguida pelo manipulador, p l a n e j a d a no espaço cartesiano é retilinea. Existem
