DISCUSSÃO SOBRE PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS.

Com os conceitos e procedimentos genéricos sobre p l a n e jamento de trajetória, apresentados nas secções 2.2 e 2.3, bem como com os trabalhos

e s p e cíficos sobre planejamento, apr e s e n t a d o s nas secções 2.4 e 2.5, é possivel retirar-se algu mas conclusões sobre o estado atual da pesq u i s a em planejamento de trajetória e sobre a p r o p o s t a do pres e n t e trabalho.

Inicialmente, todos os méto d o s e formulações têm como ponto de p artida um conjunto de pontos no espaço cartesiano, que, via cinemática inversa são mapeados em po n t o s no espaço de c o o r denadas de Junta, ou seja, o vetor J? é t ransformado no vetor 0. Sobre estes pontos são colocadas restrições, quanto à posição, veloci d a d e e aceler a ç ã o que a trajetória do efetuador deve respeitar, restrições estas em termos absolutos, especificadas, ou em termos relativos, de m odo a garantir a continuidade do movimento, da v e l o cidade ou da aceleração. Por outro lado, é possível também c l a s s ificar as restrições como rígidas, que devem ser n e c e s s a r i a m e n t e respeitadas, ou como flexíveis, que a trajetória final não é o brig ada a respeitar, devendo p o r é m a p r o x imar-se ao má x i m o possível daquela restrição, como ocorre, por exemplo, no caso de pontos intermediários que o r i e n t a m a trajetória, sem que esta, porém, passe e x a t amente por eles, definindo a ssim um erro, que pode ser então minimizado.

Q u a n t o à função u t i l i z a d a para gerar a trajetória, pode ser uma única função, que passe por todos os po ntos e respeite as restrições de posição, veloci d a d e e a c e l e r a ç ã o (função i n t e r p o l a d o r a ) , o u que se aproxime o máximo possível dos po n t o s espe c i f i c a d o s (função de ajuste). Por outro lado, é possível usar não uma ú n i c a função que passe por todos os pontos, mas u m conjunto de funções, em que cada uma define a trajetória sobre u m trecho, ficando assim a trajetória final formada pela supe r p o s i ç ã o dos vários trechos em que esta foi

dividida. Dest e modo a trajetória p a s s a a ser uma função contínua,

s eccionalmente definida, sendo este o conceito básico envolvido na defin i ç ã o de curvas quaisquer através do uso de splines.

Tendo por base estas considerações, as mais d i f e r e n t e s metodologias p o d e m ser d e s e n v o l v i d a s para definir a trajetória, seja buscando um p l a n e jamento em coordenadas de Juntas, como d i s c u t i d o na secção 2.4, seja e m coordenadas cartesianas, como d i s c u t i d o em 2.5. A d i c i o n a l m e n t e é n e c e s s á r i o ainda considerar os métodos que têm a sua formulação na forma explícita e os m é t o d o s que a tem na forma implícita, exigindo ou a solução de um sistema de equaç õ e s algébricas, ou um pr ocesso numérico iterativo.

Q u a n d o o nú m e r o de restriç ões é relativamente elevado, o uso de uma única função, seja interpoladora, seja de ajuste, exige, em p r i m e i r o lugar, um significativo esf o r ç o numérico para d e f i n i - l a e, em segundo lugar, apres e n t a em geral um comport amento pouco satisfatório. Assim, é conveniente usar um conjunto de funções mais simples, cada uma d e f i n i n d o um trecho da trajetória, o que m el h o r a o comportamento da função e s i m p l i f i c a o seu cálculo.

Faz e n d o agora um resumo dos trabalhos levantados na bibliografia, os

de s e n v o l v i m e n t o s de p l a n e j a m e n t o de trajetória em coordenadas de Junta

m o s t r a m - s e bas ta n t e escassos, h a v e n d o inicialmente a interpolação linear, no caso de uma trajetória p o n t o a ponto. Qu a n t o às trajetórias contínuas, tem-se as for m u l a ç õ e s apre s e n t a d a s em [12], onde a trajetória é d i v i d i d a em trechos, us a n d o as fo r m u l a ç õ e s 4-3-4, 3-5-3 e 5x3, onde as duas primeiras usam três funções e a úl t i m a usa cinco funções p o l i n omiais do terceiro grau. Esta última, q u e fornece u ma solução explicita, tem como d e s v a n t a g e m a necessidade de a dicionar dois pontos, sobre os quais não se tem controle de posicionamento. Assim, vê-se que as f o r m u lações p a r a as trajetórias contínuas, em coordenadas de junta, são b a s e a d a s em fun ç õ e s polinomiais, tipicamente para trajetória de movimentação. C o m o uso dos pon t o s de afastamento e de aproximação, fica d i f i c u l t a d o o uso ou a a d a p t a ç ã o p a r a trajetórias de precisão, especialmente no caso da fo r m u l a ç ã o 5x3, onde o usuá rio não tem controle sobre o posicionamen to dos dois pontos centrais do trecho de movimentação, colocados adicionalmente.

Qu a n t o aos trabalhos d e s e n v o l v i d o s p ara o pla n e j a m e n t o de trajetórias em coordenadas cartesianas, es t e s mo s t r a m - s e em número mais expressivo, sendo é possível d i v i d i - l o s em dois grupos. No primeiro, estão os trabalhos que procuram r ealizar o p l a n e j a m e n t o de trajetórias retilíneas em coordenadas cartesianas, q ue são os trabalhos de Paul [28] e de Taylor [39], c o m p l ementados por seus p r ó p r i o s desenvolvimentos, para concat e n a r de forma suave dois segmentos de reta. No segundo grupo estão os trabalhos que usam critérios de otimização, a través da mi n i m i z a ç ã o de uma variável. Os trabalhos de M a y o r g a [23,24], p r e o c upam-se em minim i z a r a ene r g i a consu m i d a pelo manipulador. A trajetória do tipo 5x3 da referência [12], q u a n d o é utilizado o critério de otimização, busca o mínimo tempo em que a trajetória pode ser cumprida. Finalmente, os trabalhos [19,20] usam o conceito de erro entre a trajetória real e a trajetória pretendida, sendo este m i n i m i z a d o na b u s c a da solução da trajetória. Deste modo os trabalhos mais interessantes e n c o n t r a m - s e como p l a n e j a m e n t o de trajetórias em c oordenadas cartesianas, e m que ex iste a pre o c u p a ç ã o const a n t e d o cálculo da cinemá t i c a inversa, com o cálculo de J(0)"í conforme [42], o u então com os p on t o s de singu laridade de J(0), [23,24]. Assim, a mai o r i a dos trabalhos, e em especial os que u s a m algum crit é r i o de min i m i z a ç ã o na d e f i n i ç ã o da trajetória, são viáveis para uma aplicação "off-line", onde não é exigido o proc e s s a m e n t o em tempo real, tanto para os pa r â m e t r o s que defi n e m a trajetória, como para o

c álculo da trajetória p r o p r i a m e n t e dita. Finalmente, cumpre salientar a

inexistê ncia de referência na b i b l i o g r a f i a consul t a d a ao conceito de trajetória a dapta t i v a p a r a p r o c e s s a m e n t o em tempo real de indicações de sensores externos, exc e t o [35, 36].

CAPÍTULO 3.

uso

MANIPULADORES.

Conforme Já comentado, a pesquisa bibliográfica a respeito dos procedimentos existentes para o planejamento de trajetórias de manipuladores

mostra que estes apresentam-se bastante deficientes, no que concerne à

facilidade de programação (sistemas amigáveis, com pequeno volume de dados exigido), rapidez de processamento (que não exigem soluções iterativas ou então via sistema de equações) e flexibilidade de programação, isto sem contar na possibilidade de gerar trajetórias adaptativas. Com o uso de um planejamento de trajetória baseado em polinómios cúbicos de Hermite, em coordenadas de junta, é possivel suprir praticamente todas as deficiências acima, permitindo ainda gerar trajetórias de transporte, ou trajetórias de precisão.

De um modo geral, conforme usado neste trabalho, a trajetória a ser analisada é formada, na realidade, por vários polinómios cúbicos de Hermite (PCH), de modo que a trajetória na realidade seja constituida por um certo número de trechos, existindo em cada \am destes um polinómio de Hermite. Assim, é possível definir pontos intermediários à trajetória, o que permite controlar a forma desta, conforme ilustra a figura 3.1, no caso com o uso de quatro polinómios de Hermite.

Figura 3.1 - Trajetória de quatro trechos.

Nas secções a seguir são detalhadas as principais características das trajetórias planejadas através dos polinómios cúbicos de Hermite, iniciando com uma breve revisão sobre splines.

3. 1 A J U S T E DE C U R V A S E SPLINES.

A d e c i s ã o de de s e n v o l v e r trajetórias com o uso dos p o l i nómios cúbicos d e Her m i t e d e v e - s e à gr a n d e f l e x i b i l i d a d e que estes apresentam, na defin i ç ã o de trajetórias, aliada à s i m p l icidade algébrica, o que permite, em prim e i r o lugar, o d e s e n v o l v i m e n t o de f o r m u lações de trajetórias de movimentação, de trajetórias de precisão, e d e trajetórias adaptativas. Em segundo lugar, estas formulações levam a um e q u a c i o n a m e n t o explícito, com cons equente redução do esforço de cálculo, v i a b i l i z a n d o o d e s e n v o l v i m e n t o de mani p u l a d o r e s rápidos a d a p t ativos [6, 18, 35, 36]. Dentre outras funções c om possi b i l i d a d e de uso no plan e j a m e n t o de trajetória, p o d e - s e citar os p o l i n ó m i o de Lagrange, as curvas de Bezier e as curvas de B-Splines.

No caso dos p o l i n ó m i o s de Lagrange, como é uma formulação

interpoladora, onde a função passa e x a t a m e n t e sobre todos os pontos fornecidos, a presenta uma série de dificuldades, como por exemplo;

T r a j e t ó r i a de movimentação, com pontos extremos especificados. Como

são dados apenas dois pontos, o polinómio de Lagrange neste caso é uma reta. Com o uso da formul a ç ã o por Hermite, a trajetória é c omposta por três trechos, em cada um existindo um polinómio do terceiro grau, conforme fig ura 3.2.

- T r a j e t ó r i a de precisão, com pontos intermediários para orientar a

trajetória. Neste caso o g r a u do p o l i nómio dep e n d e do número de pon t o s fornecidos, a s s i m a p r e s e n t a n d o um número de inflexões na curva que é também função do n ú m e r o de pontos. Isto leva a uma trajetória ondulada, com pouco cont r o l e sobre o c o m p o rtamento da trajetória nos trechos entre pontos, como mo s t r a a figura 3.3.

0 uso das curvas de Bezier, assim como das curvas por B-Spline, c a r a c terizam-se por serem fo r m u l a ç õ e s de aproximação, onde a curva não passa

pelos pontos dados, com exceção dos pontos extremos. Isto leva a uma

c onsiderável d i f i c u l d a d e no p l a n e j a m e n t o de trajetórias de precisão, em que o efetuador deve o b r i g a t o r i a m e n t e p a s s a r por certos pontos. U m po n t o adicionai que é desf avorável à uma formul a ç ã o b a s e a d a em B-Splines é o fato do cálculo das funções não ser explícito, dev e n d o ser feito um p r o c e s s a m e n t o recursivo, tanto mais trabalhoso qu a n t o maior o nú m e r o de pontos e a ordem das splines.

Assim, para o uso na f ormulação de plan e j a m e n t o de trajetória, tanto Lagrange, como Bezier, como B - S p l i n e s a p r e s e n t a m d e s v a n t a g e n s em relação aos polinó m i o s cú bicos de Hermite.

Fi g u r a 3.2 - Trajetória de três trechos, com formulação por polinómios cúbicos de Hermite. Apenas os dois pontos extremos d e v e m ser fornecidos.

F igu ra 3.3 - Trajetória por Lagrange, com pontos intermediários.