Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental - reflexões e relato de experiência
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(2) 154. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. 1.. INTRODUÇÃO O presente trabalho procurou apresentar um relato de experiência e reflexões a respeito de nossas aulas ministradas a alunos de 6ª série do Ensino Fundamental onde foi trabalhado o conteúdo “Equações de 1º Grau com uma incógnita”. Além disso, fizemos breves reflexões sobre o papel do professor e do educador matemáticos como formas de motivação ao trabalho de investigação e estudo a respeito das temáticas ligadas ao ensino e aprendizagem em Matemática. Objetivamos, em suma, com este trabalho: a) fazer uma breve reflexão sobre o ser professor/educador matemático, b) relatar e refletir a respeito de nossa prática pedagógica desenvolvida durante as aulas, c) buscar compreender o processo de construção do conhecimento algébrico realizado pelos alunos ao estarem lidando com as equações de primeiro grau com uma incógnita. Para a realização deste trabalho, nos valemos de pesquisa bibliográfica e/ou pesquisa de campo e estivemos analisando as aulas desenvolvidas e as atividades propostas e executadas pelos alunos.. 2.. REFLEXÕES SOBRE O SER PROFESSOR E EDUCADOR MATEMÁTICO Ao escrevermos, precisamos aprender a ter uma atitude investigativa. Segundo Marques (2001), devemos sempre questionar as próprias idéias. Do porquê que colocamos tal idéia, tal frase, tal palavra. É aí que iniciamos um processo de apreensão do conhecimento, do mundo ao redor. Tomar parte do mundo em que vive e atua e torná-lo “vivente” em nós, de forma consciente e ativa. Consciente porque dá a visão clara e perfeita de nossos atos e pensamentos sobre o nosso agir e à nossa consciência com o outro ser (pensante o não). Ativo porque nos convida e, muitas vezes, nos impele à movimentação de nossas capacidades e energias para movimentar nossa consciência. O ato de escrever, como dizia Paulo Freire (1998), é o ato de tornar o homem humanizado e presente no mundo. Mas refletir sobre o ato de escrever é torná-lo humanizado, crítico e consciente, libertando-se da ignorância sobre si mesmo e sobre o mundo.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(3) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. Neste sentido não é preciso dizer que o papel do próprio pesquisador é extremamente importante: ele pesquisa, reflete, registra e humaniza-se durante o ato de escrever. Mesmo para nós, que estamos constantemente ensaiando o papel de pesquisadores, este papel está presente em muitos aspectos de nosso cotidiano. Nos faz estar em permanente consciência e “ligado” em tudo e em todos os elementos em nosso derredor. Eis aí a importância da “inauguração do próprio pensar” (MARQUES, 2001). Para inaugurarmos o nosso próprio pensar, a respeito do temas que nos propusemos trabalhar, lemos o artigo “Desafios da Educação Matemática no novo milênio” escrito pelo Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrósio, donde em determinado trecho é nos dito que: “O grande desafio que nós, educadores matemáticos, encontramos é tornar a matemática interessante, isto é, atrativa; relevante, isto é, útil; e atual, isto é, integrada no mundo de hoje.” (D’AMBRÓSIO, 2001, p. 14-17). Em nossa prática, enquanto professores, buscamos diferentes formas e maneiras de enfrentar o desafio do “ser educadores” no contexto educacional em que estamos inseridos. Nesta busca, procuramos exercitar o que aponta Candau (1996) sobre a necessidade de partir da prática pedagógica, procurando refletir e analisar as diferentes teorias em confronto com ela. Trata-se de trabalhar continuamente a relação teoriaprática procurando, inclusive, reconstruir a própria teoria a partir da prática e tornar eficiente e eficaz o ensino e aprendizagem dos objetos de conhecimento de uma determinada Ciência. Acreditamos que, com base nas experiências cotidianas que realizamos em nossa sala de aula e na escola, a questão do preparo do professor e do educador devem vir de encontro com a necessidade dos instrumentais acima referenciados com uma certa ênfase no processo de ação-reflexão-ação. Acreditamos ainda que é uma forma de tornar a práxis pedagógica num movimento dinâmico e com sentido para os professores e, conseqüentemente, aos educandos que são os principais (e não mais importantes) personagens deste “teatro da vida escolar”: o nosso processo educativo. O ponto fulminante do “despertar” do educador é a tomada de consciência de si e do mundo e de suas intra e inter-relações que fazem com que o sujeito (professor) se ilumine do conhecimento desse mundo e o “misture” com o conhecimento de si mesmo. Com as misturas desses dois conhecimentos, o professor fica cheio de sabedo-. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 155.
(4) 156. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. rias e melhor está em condições de “guiar” dinamicamente seus educandos para uma educação libertadora e consciente. Aqui, o professor não é um mero executor de obrigações e imposições burocráticas e acadêmicas de forma passiva e ideologicamente. É o indivíduo que, em constante formação construtiva, faz despertar o ser integral e completo em cada educando seu e em si mesmo. Sob este caminhar – o da ação-reflexão-ação – estamos iniciando o processo do despertar do educador em nós. E é isto que desejamos e almejamos: de Professor, principalmente professor de matemática, para o educador, principalmente o educador Matemático. A respeito da reflexão, que permeia o movimento da ação-reflexão-ação, a encaramos como instrumento de formação profissional e acreditamos que é um poderoso meio de o professor unir seus próprios conhecimentos teóricos com os de outros educadores e, destes dois com o seu cotidiano, sua prática, suas relações com seus educandos. Segundo Freire (1998), a reflexão implica uma perscrutação, ativa, voluntária, persistente e rigorosa daquilo em que se julga acreditar ou daquilo que habitualmente se pratica, evidencia os motivos que justificam as nossas ações. Compreendemos, com este pensamento, que o ato de refletir é atribuir sentido sobre a prática pedagógica. A reflexão baseia-se na vontade, no pensamento, em atitudes de questionamento e curiosidade, na busca da verdade e da justiça. Dá voz ao sujeito em formação (o professor que busca ser o educador) numa tentativa de restituir aos professores a identidade perdida, aos alunos à responsabilidade perdida e de devolver à escola a sua condição de lugar onde se interage para aprender e onde se gosta de estar porque se aprende com o inerente entusiasmo e prazer de quem parte à descoberta do desconhecido. Concluímos estas reflexões iniciais que, para sermos professores e educadores matemáticos implica em: •. Sabermos quem somos e o que buscamos, sendo professores de matemática;. •. As razões pelas quais fazermos o que fazemos como professores;. •. Conscientizar-nos do lugar que ocupamos na escola, na sociedade e na vida;. •. Estarmos em constante busca do ser Educador.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(5) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. Talvez seja este momento em poder refletir sobre a nossa prática e o nosso trabalho pedagógico. Então, com um certo sentimento de alegria e com desejo de buscas de esclarecimentos e soluções ao nosso processo pedagógico, faremos uma pequena viagem em algumas de nossas aulas ministradas no segundo semestre de 2007 a qual será iniciada falando um pouco sobre os nossos alunos e a escola em que atuamos.. 3.. CARACTERIZAÇÃO DO PÚBLICO ALVO E DA ESCOLA “PROFª. ALEGRINA FELICIDADE” As aulas ministradas por nós, em meados de agosto e setembro de 2006, foram para o Ensino Fundamental da Escola “Profª. Alegrina Felicidade”1, localizada na periferia de município de Jacareí, interior do Estado de São Paulo, municipalizada em 1999 e funcionava em regime de 4 períodos sendo manhã, intermediário, vespertino e noturno. O público alvo que a escola atende são alunos que, em sua maioria, pertence a famílias de baixo nível sócio-econômico. A escola para estes alunos é uma das únicas oportunidades de acesso ao mundo do conhecimento e da cultura letrada. Devido à diminuição de salas nos período noturno, fomos obrigados a trabalhar com uma turma de 7ª série no período vespertino e três turmas de 6ª série no período noturno (turmas essas objetos de nossas discussões neste trabalho). Em meio a muitas dificuldades próprias de uma escola municipalizada sem alguma estrutura que possibilite o pleno desenvolvimento de suas atividades, e relembrando nossas reflexões constantes no capítulo anterior quanto a nossa formação, fizemos todos os esforços de oferecer um ensino que atenda as necessidades básicas para a formação de cidadãos éticos, solidários, críticos, participativos, conscientes de seus direitos e deveres principalmente, para melhor viverem no meio social em que impera a problemática da violência, do tráfico de entorpecentes, da falta de oportunidades de emprego e laser e da própria convivência familiar. A nossa preocupação maior é oferecer aos nossos alunos, conhecimentos que estejam ligados à sua realidade de vida, de relacionamento social e econômico e os conhecimentos matemáticos que, interligados às outras áreas do saber, possam instruir e instrumentalizar os alunos para enfrentarem o mundo capitalista cruel e competitivo.. 1Nome. fictício. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 157.
(6) 158. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. Segundo Cenpec (1994), para podermos cumprir o nosso papel de Educadores e nossa função social a fim de implementar tudo que comentamos a respeito do nosso trabalho com os alunos na Matemática, fomos obrigados a caminhar na solidão de nossas reflexões e na das quatro paredes da sala de aula. Em nossa escola não havia uma proposta pedagógica que promovesse e estimulasse um trabalho coletivo a fim de possibilitar a todos a discussão da função social da escola no cenário social, econômico e cultural e a pensarmos sobre os nossos papéis no ensino e aprendizagem no processo instrutivo e educativo de nossos alunos em nossas especialidades. Para que uma escola fosse uma instituição de sucesso é preciso que o alvo marcante de todo o processo educacional seja o sucesso de cada um de nossos alunos. Assim, é necessário que seja mudado o olhar sobre a concepção de ensino e aprendizagem, do papel político do professor e até mesmo do próprio processo educacional. Também é necessário, conforme Rubem Alves (1998), que deixemos de ser passageiros e frágeis eucaliptos para cultivarmos a eternidade e a fortaleza dos jequitibás. Ou seja, devemos passar da condição de meros Professores (inclusive de Matemática) para Educadores. E tudo isso é um processo de contínuas discussões, reflexões e de troca de experiências e sentimentos entre os todos os personagens que atuam no cenário da escola. Mas, o cenário de nossa escola era sem vida, sem atores, roteiros, luzes, ensaios, música... Fomos obrigados a construir o cenário em nossa sala de aula, juntamente com os nossos alunos, diante de tantas incertezas, da falta de perspectivas, do futuro mergulhado num tenebroso mar de insensibilidade e indiferença.. 4.. ENSINANDO EQUAÇÃO DE 1º GRAU ÀS TURMAS DE 6ª SÉRIES DA ESCOLA “PROFª. ALEGRINA FELICIDADE”: A AVENTURA ESTÁ COMEÇANDO! A esta altura nos perguntávamos se, diante de toda esta realidade educacional que enfrentamos dentro e fora da escola, estávamos cumprindo o nosso papel de Professores e Educadores de Matemática de acordo nos as reflexões nossas anteriormente feitas. O que nos motivou a lançarmos esta pergunta foram justamente as aulas em que trabalhamos com as 6ª séries sobre o tema “Equação do 1º Grau com uma incógnita”.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(7) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. E será esta a viagem a que nos referíamos no início de nossas reflexões. Durante a segunda quinzena de setembro de 2006 trabalhamos com os alunos o assunto acima referido. Utilizamos a seqüência didática e metodológica abaixo descrita: a) Definição de equação através de texto escrito no quadro de giz e transcrito pelos alunos em seus cadernos; b) Explicação da definição; c) Exemplos e contra-exemplos de equações; d) Exercícios de fixação do assunto, onde os alunos teriam que reproduzir os exemplos feitos e demonstrados; e) Correção dos Exercícios; f) Passagem para outro item do tema; g) Avaliação, podendo ser um teste, exercícios para nota ou mesmo prova. Utilizamos também na avaliação o famoso “visto no caderno” ao final de cada aula. E assim, repetia-se o processo em todos os assuntos e temas trabalhados por nós. Como diz o ditado popular de que “tudo o que é demais faz mal”, sentimos que nossas aulas da forma em que eram ministradas estavam fazendo muito mal aos alunos e a nós mesmos no sentido de que a aprendizagem não acontecia de forma como pretendíamos. Percebíamos isto desde o final do ano anterior quando os alunos se tornavam apáticos, desinteressados em certos momentos ou agitados e cibernéticos em outros certos momentos. Às vezes, os alunos sempre saiam da sala para tomar água, irem pedir emprestado material a alguém de outra turma ou simplesmente andarem pelos corredores da escola, além daqueles que nem avisam que iam sair da sala de aula para fazer alguma “atividade extraclasse”. De nossa parte, sentíamos cansaço, desânimo, uma certa apatia diante de aulas improdutivas e desinteressantes. Todas as vezes que tínhamos de começar um novo assunto, é o período noturno que nos dava calafrios e temores, pois já sabíamos de que teríamos de enfrentar o desinteresse dos alunos aos estudos e à escola. E sentimento de incompetências e impotências profissionais começava a tomar conta de nossos pensamentos e preocupações diante desta. Tudo o que sabíamos de novos recursos e materiais didáticos que utilizávamos no período vespertino, jamais deu resultado no noturno. Os próprios alunos eram. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 159.
(8) 160. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. resistentes em receber algo novo que pudessem facilitar sua aprendizagem: somente aceitavam a copiar as lições da lousa, nossas explicações sobre o conteúdo e tínhamos que dar exemplos e exercícios corrigi-los, dar visto no caderno para nota e fazer prova para poder tirar nota. Para exemplificar a resistência que os alunos tinham em fazer determinadas atividades, que não fossem cópia, lembramos de uma turma da 8ª série noturna do ano anterior, na qual levamos para sala de aula um jogo de Tangram2 para mostrar “concretamente” alguns fatos do processo algorítmico da fatoração algébrica para resolver uma equação do 1º Grau. Aproveitamos estes momentos para dar algumas noções de Geometria, assunto não familiarizado pelos alunos ao longo de seus anos de estudos. Realmente houve uma participação satisfatória por parte dos alunos neste processo que promovemos. No final desta atividade, quando íamos lançar algumas perguntas para desencadear a reflexão sobre o feito na aula e para podermos avaliar se conseguiram aprender uma nova estratégia para resolver as equações do 2º grau, alguns dos alunos nos fizeram perguntas ou comentários a seguir: “- Professor, quando é que o senhor vai dar lição pra nós?” “- Eu prefiro copiar lição da lousa do que fazer arte na aula”. “- ‘Fessor’, o senhor não vai dar mais isto não, né? É muito ruim fazer isto!” “- Brincamos na aula e serviço mesmo... Nada!” Diante desta situação resolvemos fazer uma pequena experiência: propomos aos alunos resolverem uma série de exercícios sobre o assunto com o objetivo de saber se houve de fato a aprendizagem de conceitos fundamentais e se dominaram as habilidades necessárias para resolvê-los. Combinamos com eles de que teriam que resolvêlos como se fosse uma prova, mas sem qualquer ajuda de nossa parte. E assim, atenderam as nossas orientações e resolveram os exercícios. Observamos que toda sala de aula estava mergulhada em um ambiente quase silencioso e os alunos levaram a sério a sua realização como se realmente estivessem se submetendo a avaliação por meio de uma prova. Terminado o tempo que lhes damos para executar a tarefa solicitada, recolhemos os exercícios e em seguida comentamos. 2. Quebra-cabeça de origem chinesa.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(9) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. aos alunos que iria corrigi-los na lousa a fim de conferirem as respostas e se autoavaliarem. Para que esta auto-avaliação acontecesse de forma menos rígida e formal, pedíramos que durante a correção falassem sobre o desempenho de cada um durante a execução da atividade. Com surpresa, a maioria deles relataram que se saíram muito mal na atividade, onde uns manifestaram que não entenderam como resolver certas equações. Outros não lembravam como mudar de posição os termos de um membro para outro na equação. Ainda outros alunos faziam grandes “misturas” entre o uso das operações presentes numa equação e o uso de muitas letras quaisquer. Mas a surpresa maior foi quando relataram que tiveram grande dificuldade em resolver um dos exercícios que tratava da resolução de uma pequena situaçãoproblema em que os alunos deveriam encontrar o valor desconhecido das equações propostas. Ou seja, tiveram dificuldade de traduzir uma situação-problema para a linguagem algébrica. Analisando com uma certa profundidade os exercícios propostos e a forma com que foi resolvida, verificamos que eles tinham dificuldades de entender e aplicar álgebra em situações que exigem o trabalho com os princípios de igualdade. Por meio de conversas que mantivemos vários dias com os alunos chegamos às conclusões confirmadas pelos exercícios que corrigimos: a) Os alunos têm dificuldade de relacionar o conceito de incógnita com a letra numa sentença algébrica. b) Assim quando estudaram “monômios” e “polinômios”, eles chegam a questionarem muitas vezes do para quê serve estudar estas “coisas” com letras, sinais de =, incógnita além do ter que sabê-los para melhor estudar os assuntos da 8ª Série e Ensino Médio. c) O próprio processo de abstração numérica exigida pela “algebrização” de situações-problema para poder resolvê-los. d) A dificuldade de resolver as equações utilizando as propriedades aritméticas e o princípio de igualdade. Com as conclusões acima levantadas procuramos investigar, de modo reflexivo, as possíveis causas para as dificuldades e insucessos dos alunos nas equações. Nesta investigação mais uma vez voltamos os nossos olhares às aulas dadas. No momento do planejamento selecionamos assuntos e conceitos relacionados aos estudos sobre equações que seriam prioritários os alunos aprenderem a fim de. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 161.
(10) 162. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. prosseguirem seus estudos posteriores em equações fracionárias, sistemas de equações, equações do 2º grau, equações irracionais etc. Sempre acreditamos que um assunto é um requisito de continuidade para o assunto futuro, ou seja, o aluno somente iria aprender equação fracionária se ele aprendesse a equação do 1º grau, aprenderia sistemas de equações com duas variáveis se ele aprendesse equação do 1º grau e fracionária e assim, sucessivamente, dentro de uma dinâmica de inter-relações entre os assuntos. Esta crença vem desde o nosso tempo como estudante de Ensino Fundamental perpassando a vida universitária de graduação e de pós-graduação. Nesta perspectiva de planejamento, sempre procuramos fazer com que os alunos estudem este assunto para poder utilizar em diversas situações que podem requerer o uso do equacionamento como estratégia para resolvê-las. No processo de planejamento pudemos deter todos os conceitos presentes no ensino-aprendizagem das equações do 1º grau que deveriam ser trabalhados com os alunos. Porém, não contemplamos as habilidades, competências e atitudes necessárias à instrumentalização e formação do cidadão que ora comentamos. Quer dizer, toda nossa atenção dirigiu-se aos conceitos e procedimentos para resolver uma equação com o objetivo de os alunos saber encontrar o valor de uma incógnita, mas não nos ativemos à pessoa humana dos nossos alunos diante destes conhecimentos. Mesmo eles sabendo que a aprendizagem da equação do 1º grau é necessária para a aprendizagem de assuntos futuros, não fomos capazes de mostrar-los ou leválos a perceberem qual a utilidade desses conhecimentos para além da Matemática. Então, diante de todo este quadro que revelou a perspectiva panorâmica da situação, lançamo-nos na busca de possíveis soluções para revertê-lo a favor de uma melhor atuação nossa e de nossos alunos no ensino e aprendizagem. A partir desta necessidade de estar efetuando esta busca e reportando-nos aos questionamentos feitos em momentos anteriores, resolvemos realizar uma capacitação profissional por conta própria através de leituras, estudos e pesquisas em diversos livros, revistas, textos, relatos de experiências com outros colegas etc. Com isto, pudemos ampliar nossas reflexões sobre o ensino de equações do 1º grau e nossa atuação na escola enquanto professores de matemática.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(11) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. Encontramos uma proposta de trabalho com as equações feita por Grasseschi, Andretta e Silva (1999). Para estas autoras: O trabalho com equações deve ser desenvolvido vinculado a situações-problema. A partir delas, as equações são resolvidas de maneira livre e criativa, utilizando o raciocínio aritmético. Esta atitude é intencional e tem como um dos objetivos aproximar o aluno dos procedimentos algébricos de maneira gradativa. Outro objetivo é que o aluno se perceba também como sujeito da construção dos procedimentos algébricos e, além disso, reforce a convicção de que, como outros procedimentos matemáticos, os caminhos para a resolução de uma equação podem ser variados. (GRASSESCHI; ANDRETTA; SILVA, 1999, p. 13).. Partindo desta proposta fizemos um replanejamento das aulas e selecionamos atividades que vinculem equações a situações-problema que possam levar os alunos a compreenderem o porquê e para quê aprender equações. E seria um desafio para nós, pois exigiria mudança de postura diante do conhecimento matemático; também o seria para os alunos que deveriam sair da condição de passividade para a de participantes da construção de conhecimentos, aprendendo e exercitando diversas habilidades necessárias. Sabedores de que estaríamos iniciando uma longa caminhada, extraímos do Projeto Experiências Matemáticas (SÃO PAULO, 1996) duas atividades que poderiam dar suporte necessário para atingir e cumprir a proposta de trabalho acima citada: a) A primeira atividade tem como sub-tema IGUALDADE cujo objetivo é levar o aluno constatar e aplicar as propriedades da igualdade. b) Já a outra atividade tema EQUAÇÕES, que leva à introdução do conceito de equação do 1º grau com uma incógnita e à tradução de uma situação por meio de uma equação. Concordando com Nunes (1992), para melhor atender as necessidades de aprendizagem dos alunos, fizemos algumas adaptações necessárias para conduzi-los da melhor maneira possível ao sucesso de suas aprendizagens. As referidas adaptações foram vivenciadas em algumas aulas cujo desenvolvimento iremos apresentar a seguir. Apesar da ausência das falas dos alunos procuramos mostrar o dinamismo da vivência nas aulas e as possíveis explorações a respeito do tema.. 4.1. Equações: Conceitos iniciais por meio de perguntas desafiadoras Nas primeiras aulas sobre as equações foram trabalhados conceitos sobre o valor desconhecido (incógnita) por meio de seguinte atividade: “Quem sabe qual é o número que estou pensando?”. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 163.
(12) 164. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. “Alguém sabe em qual número estou pensando?” “Como eu sei o número e vocês não sabem, então este número é chamado de incógnita. Por quê?” “Porque o número não é conhecido por vocês. Com eu sei, já não é incógnita.” “Já que vocês não sabem o número pensado por mim, iremos nomeá-lo por uma letra: a incógnita do número desconhecido.” “Chamaremos de x, y, z, a, b, c..., qualquer letra do alfabeto.” “Como exemplo, eu chamarei este número de x. Vou pegar o número x, acrescentar o número 2, dará 7. Escrevendo, fica assim: x + 2 = 7.” “Quem é esse número?” Os alunos, após pensarem na resposta, responderam que é o número 5. Para facilitar melhor o entendimento, eu fiz o seguinte argumento: “Que número mais dois dá sete?”. Daí em diante, demos outros exemplos enfatizando que a letra é uma incógnita por “esconder” um número desconhecido. Procuramos usar alguns exemplos que, de uma certa maneira, pudessem prender a atenção e estar contido numa realidade. Eis alguns: a) Uma loja fez a seguinte promoção: um sofá de um certo preço, comprado com uma mesa de R$ 30,00, resulta num valor de R$ 75,00. Qual é o preço do sofá? Aqui, trabalhamos a questão da linguagem expressa por palavras (chamamos de linguagem corrente) e a linguagem matemática. Combinamos com os alunos de que iremos fazer uma tradução entre ambas linguagens. No exemplo acima citado, a tradução da questão expressa em língua portuguesa para a matemática seria: x + R$ 30,00 = R$ 75,00. Antes de efetuarem a tradução, propusemos as seguintes perguntas: a) Qual o preço do sofá? Pode ser representada por qualquer letra do alfabeto, pois a gente não o sabe. Por isso, é uma incógnita. b) O preço da mesa é uma incógnita? Não porque nós o sabemos. Ainda utilizando o exemplo acima citado, eles chegaram a seguinte conclusão: X + R$ 30,00 = R$ 75,00 R$ 45,00 + R$ 30,00 = R$ 75,00. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(13) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. Encerramos os trabalhos do dia em que todos os alunos concluíram que a palavra equação significa igualdade. No dia seguinte, retomando o que foi discutido no dia anterior, trabalhamos o conceito de “Princípios de Igualdade”. Começamos dizendo que eles (os alunos) eram proprietários de mercearias. Para realizarem pesagem de produtos, necessitariam de uma balança daquelas usadas em épocas antigas não muito distantes. Seria exatamente uma balança de pratos. Só que não estariam vendendo arroz, feijão, carne... nada disso. Estariam, sim, vendendo C e E: cubos e esferas respectivamente. Lançamos, então, a seguinte pergunta: “Quando os dois pratos estiverem com o mesmo peso, podemos dizer que a balança estaria em que condições?”. Daí, os alunos fizeram várias tentativas, até que um ou dois alunos completaram com a palavra “equilíbrio”. Foi combinado com os alunos que 1 cubo valeria 10g e 1 esfera valeria 5g. Desenhamos uma balança mostrando a primeira situação: 1º prato: duas esferas 2º prato: um cubo Lançamos as seguintes perguntas: a) A balança está ou não em equilíbrio? b) Quanto pesa cada prato? Quanto pesa cada prato? A situação acima pode ser traduzida pela seguinte linguagem matemática: 2e = 1c, onde exatamente quer nos mostrar que num prato tem 2 esferas e no outro, 1 cubo. O sinal de igual é verdadeiro, pois 2 e = 10 g e 1c = 10g. Outra situação: 1º prato: 3 esferas 2º prato: um cubo e uma esfera Perguntamos: a) Qual o peso de cada prato?. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 165.
(14) 166. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. b) Há equilíbrio ou não? Por que? c) Como podemos traduzir a situação da balança pela linguagem matemática? 3e = 1c + 1e Ou seja: num prato da balança temos 3 esferas e no outro prato temos 1 cubo com 1 esfera. Mas como no primeiro prato há 15g e no segundo 15g, podemos concluir que há equilíbrio de pesos. Última situação: 1º prato: dois cubos e duas esferas 2º prato: três cubos e uma esfera No caso, há um desequilíbrio de pesos, pois o 1º prato é mais pesado que o 2º. Percebemos entre os alunos uma certa movimentação de quererem criar outras situações para comprovarem o que estavam aprendendo e vivenciando. Muitos deles pediam-nos que déssemos outras situações semelhantes para resolverem; outros criaram por si mesmos para testarem com os colegas para comprovarem o “funcionamento” dos princípios de igualdade das equações. Como eles conseguiram apreender os conceitos iniciais das equações de primeiro grau e dos seus princípios de igualdade, achamos que poderíamos partir para a formalização e definição propriamente ditas. De acordo com Nunes (1992), Grasseschi, Andretta e Silva (1999) e São Paulo (1998), criamos algumas atividades em que procuramos mostrar aos alunos a diferença entre polinômios e equações, como nos exemplos abaixo: x+7 x + 7 = 10 A pergunta que fizemos a eles foi a seguinte: qual é a semelhança e diferença entre estas duas expressões? [Demos um tempo para que os alunos verbalizassem suas idéias, hipóteses e opiniões]. Após discussões e intervenções necessárias, registramos na lousa tudo que foi dito pelos alunos no intuito de escrevermos um pequeno texto que pudesse dar uma idéia ou definição de uma equação do primeiro grau com uma incógnita.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
(15) Anderson José da Silva, Nanci de Oliveira. Tanto as discussões quanto os registros feitos, foram construídos a partir da seguinte movimentação de ensino e aprendizagem que passamos a sintetizar abaixo: As duas expressões são algébricas, pois ambas possuem uma incógnita. Na primeira expressão, qual é o valor de x? Não há um número que possa satisfazer a questão porque não informa em que resulta. Na segunda expressão, há a informação de que a expressão algébrica resulta no número 10. E, por este motivo, sabemos com certeza, que existe um único número que somado com 7 resulta no 10, que é o 3. Assim, a expressão algébrica debaixo é chamada de “EQUAÇÃO”, enquanto a primeira é simplesmente expressão algébrica. Daí podemos concluir que toda equação é uma expressão algébrica e nem toda expressão algébrica é uma equação. Retomando, a expressão 2c + 2e = 3c + 1e não é uma equação, pois está em desequilíbrio. No lugar de = colocamos ≠ para indicar uma diferença de pesos. Portanto, desequilíbrio de pesos. Daí, sem o auxílio do desenho de balança, e provavelmente incorporado à mente deles, demos exemplos de outras equações em que eles teriam de verificar se havia um equilíbrio ou não. Exemplo: 3e + 2c = 6c + 1e Após novas discussões, os alunos chegaram à conclusão de que a expressão dada acima não é uma equação porque há uma diferença de pesos. A partir daí, pudemos trabalhar com os princípios de igualdade das equações e as técnicas de resolução de equações sob a perspectiva desenvolvida no início de nossos trabalhos. Foi muito importante trabalhar todos os conceitos preliminares porque nos momentos de resolverem as equações os alunos não tiveram muitas dificuldades de compreenderem a forma de resolução empregando corretamente e de forma satisfatória os princípios de igualdade.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168. 167.
(16) 168. Ensino de equação de 1º grau com uma incógnita a alunos de 6ª série do ensino fundamental – reflexões e relato de experiência. 5.. CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta perspectiva de trabalho, sempre procuramos o máximo de fazer os alunos exporem seus pensamentos para melhor avaliar o processo de construção de conhecimentos a respeito do conceito de equações. Houve uma receptividade positiva por parte dos alunos. Parece que encontraram um motivo de estarem estudando equações, por meio de uma compreensão investigativa dos porquês de alguns fatos que regem a resolução das mesmas. Com este motivo, eles superaram algumas de suas dificuldades de aprendizagem em equações do 1º grau e superaram seus erros à medida que o nosso trabalho foi se desenvolvendo dentro das perspectivas metodológicas propostas. Contudo, este trabalho veio confirmar nossa postura de sempre procurar alternativas diversas para melhorar o processo de ensino-aprendizagem da Matemática.. REFERÊNCIAS ALVES, Rubem. Conversas com quem gosta de ensinar. São Paulo: Editora Cortez, 1988. CENPEC – Centro de Pesquisas para Educação e Cultura. A escola e sua função social. São Paulo, 1994. (Projeto Raízes e Asas, fascículo 1). D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Desafios da Educação Matemática no novo milênio. Educação Matemática em Revista, São Paulo, n. 11, dez. 2001, p.14-17. FREIRE, Paulo. A importância do ato de ler. São Paulo: Cortez, 1988. ______. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra, 1998. GRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA, Aparecida Borges dos Santos. PROMAT: Projeto Oficina de Matemática. Coleção PROMAT, v. 6. São Paulo: FTD, 1999. MARQUES, Mario Osório. Escrever é Preciso: o principio da pesquisa. Ijuí: UNIJUÍ, 2001. NUNES, Maria. Equações e Inequações. In: SÃO PAULO (ESTADO). Secretaria de Educação. Coordenadoria de Estudos Normas Pedagógicas. Prática Pedagógica: Matemática – 1º Grau. São Paulo: SE/CENP, 1992. SÃO PAULO (ESTADO), Secretaria de Educação, Coordenadoria de Estudos Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensino de Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: SE/CENP, 1998. ______. Experiências Matemáticas – 7ª Série. São Paulo: SE/ CENP, 1996.. Revista de Educação • Vol. XI, Nº. 11, Ano 2008 • p. 153-168.
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