D E S C O N T i N U I D A D E S G E O l V I E T R i C A S E
F R A T U R A D U T I L E M A Ç O E S T R U T U R A L
TESE S U B METIDA Â UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ENGENHARIA.
INGEBORG KÜHN ARROYO
FLORIANÓPOLIS
SANTA CATARINA - BRASIL' DEZEMBRO - 1979
INGEBORG KÜHN ARROYO
ESTA TESE FOI JULGADA A DEQUADA PARA OBTENÇÃO DO TÍTULO DE "MESTRE EM ENGENHARIA"
E S PECIALIDADE ENGENHARIA M ECÂNICA E A P ROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O .
Banca Examinadora:
Prof. Edison da Rosa, M.Sc, Orientador
r l / m ytw
Prof. Arno Blass, Ph.D. ■ Coordenador
Prof. Edison da Rosa, M.Sc.
Pi^f. R a u l / G u e n t h e r , M.Sc,
A autora, ao término deste trabalho, deseja agradecer:
- Ao professor Edison da Rosa, pela impecável o r i e n t a ção e inestimável apoio e incentivo dados em todos os momentos da execução deste trabalho.
- A o s professores Arno Blass e Berend Snoeijer pelo a- poio, estímulo e assistência recebidos.
- Aos técnicos Anildo Corrêa Agostinho, Antônio Duarte da Silva Filho e Valdir Ristov\r Jr. pela assistência amiga em v á rias fases da execução deste trabalho.
- Aos técnicos do Laboratério de Máquinas Operatrizes pela preparação dos vários dispositivos e corpos de prova utiliza dos na parte experimental.
- Ao pessoal do Laboratório de Medidas Mecânicas pelas sugestões e ajuda recebidas.
- Aos amigos e colegas que de alguma forma contribuíram neste trabalho, em particular ao acadêmico Nestor Back, pelo s e r viço de datilografia.
- Ao meu marido, pais e irmã pelo estímulo sempre r e n o vador e efetiva ajuda no transcurso deste trabalho.
1 . INTRODUÇÃO ... 1
2. TEORIAS MICROSCÓPICAS DE RUPTURA DÜTIL ... 3
2.1 - Introdução ... ... 3
2.2 - Teoria de Broek ... ... . 7
2.3 - Modelo 4e McCli n t o c k .... ... ... 8
2.4 - Modelo de Tracey ... ... 11
2.5 - Modelo de Rice e Tracey ... 12
2.6 - Modelo de T h omason ... 15
2.7 - Modelo de Nemat-Nasser ... ... 18
2.8 - T e oria específica para corpos de prova fissurados ... 20
3.. CONCENTRAÇAO DE TENSÕES E DEFORMAÇOES ... .26
3.1 - C o n centração de tensões e deformações ... .27
4. M EC ÂN I C A DA FRATURA E L ÁS T I C A LINEAR ... .37
4.1 - Desen v o l v i m e n t o da M e cânica da Fratura ... .37
4.2 - Fratura com plasticidade restrita ... .42
4.2.1 - Estim a t i v a da zona p l ástica segundo Irwin ...43
4.2.2 - E stimativa da zona p lástica segundo Dugdale .... 45
5. M EC ÂN IC A DA FRATURA E L A S T O -P LÁ ST IC A ... .49
5.1 - Introdução ... .49
5.2 - Integral J ... .50
5.3 - D e s l o camento de abertura da trinca ... .51
5.3.1 - Análise teórica segundo B urdekin e Stone ... .52
5.3.2 - Algumas considerações sobre COD ... ..53
5.4 - Método de Dowling e Town l e y ... ... .55
A l . 2.2 - Analise da integral J ... .115
A l . 3 - Estima t i v a de pela integral J ... ... .122
IR d A A l . 4 - Alguns comentários sobre a validade da integral J .... 128
APÊNDICE 2 - 0 MÉTODO DE MOIRÉ ... ... .131
A 2 .1 - Introdução ... .131
k l . 2 - 0 fenômeno físico ... .131
A2.3 - Propriedade fundamental das franjas de Moire .... ... 132
A2.4 - Determinação grafica das componentes de deslocamento e deformação .... ... ... .135
A - ârea da seção transversal do corpo de prova a - dimensão característica da trinca
a - dimensão da trinca equivalente tíq
B - espessura do corpo de prova
b - distância entre o extremo da trinca e a extremidade do corpo de prova
c - metade da distância entre o extremo da trinca e a e x tremidade do corpo de prova
E - m5dulo de elasticidade do material
Eq - m o dulo de elasticidade tangente, correspondente â ten são nominal
Eg - módulo secante correspondente à tensão máxima EgQ - módulo secante correspondente ã tensão nominal
E-p ~ módulo de elasticidade tangente, correspondente ã ten são máxima
F - carga
Fj^^ - carga máxima
G - taxa de liberação de energia de deformação J - valor da integral J
Jp - incremento da integral J causado pelo comportamento não linear do material
- fator de intensidade de tensão segundo o modo i de a- bertura da trinca
Kjj, - fatòr de intensidade de tensão crítico
“ fator de intensidade de tensão crítico segundo a equa ção (5.17)
- fator de intensidade de deformação
Kp - fator de intensidade de tensão plástico - fator teórico de concentração de tensão - fator de concentração de deformação - fator de concentração de tensão
k - constante da relação a = k (equação (3 .11)) k - constante elástica de rigidez do corpo de prova Lf - carga de falha real
u n P r U
w
w Y a ■ A ^P 6 e ^mãx o0
V o a frat a, o - max o o R“ carga de falha prevista pela análise limite - expoente de encruamento do material
- passo do reticulado
- coordenada polar cilíndrica de um ponto em relação ao extremo da trinca
- raio plástico
- raio de curvatura do entalhe - energia potencial
- deslocamento do extremo da d escontinuidade na direção i
- função densidade de energia de deformação
- distância entre o ponto de aplicação de carga e a e x tremidade do corpo de prova
- fator geométrico
- fator de correção plástico
- coeficiente (equação 14 - Apêndice 1) - deslocamento total
- deslocamento elãstico - deslocamento plástico
- deslocamento de abertura da trinca - deformação
- deformação máxima na descontinuidade - deformação nominal
- deformação transversal
- coordenada polar cilíndrica - coeficiente de Poisson elástico - tensão
- tensão de escoamento do material - tensão de fratura
- tensão real de fratura
- m é d i a entre as tensões de escoamento e ruptura conven cionais
- tensão máxi m a na descontinuidade - tensão nominal
Neste estudo, são analisadas teorias existentes de c o n centração de tensões e deformações, no regime e l a s t o - p l ã s t i c o ,bem como métodos de analise para caracterizar o início de uma ruptura dütil. Estas teorias são comparadas com dados obtidos e x p e r i m e n talmente quanto ã concentração de deformações e ã aplicação dos métodos de analise. £ dado enfoque ã u tilização da Integral J tan to como parâmetro caracterizador de fratura dütil como também no cálculo da concentração de deformações. Simul t a n e a m e n t e foram e s tudadas algumas teorias de ruptura visando fornecer uma e xp li ca ção sobre a forma como esta se processa.
Some existing theories of stress and strain c o nc en tr a tion applicable in the e l astic-plastic range as well as some m e thods o£ analysis for characterizing the b egining of a ductile rupture are analised. Results of such theories are compared with e xperimental data in so far as strain c o ncentration and a p p l i c a tion of analysis methods are concerned. Moreover, attention is paid to the use of the J-Integral as a c h a r acteristic parameter of ductile fracture and in the strain c o ncentration computation. Simultaneously, some fracture theories are analised wi t h respect to the assumption which describes how the rupture develops.
Uin aspecto importante no d imensionamento de elementos estruturais é a capacidade do material suportar carga, sem que ve nha a falhar. De uma forma geral esta falha pode ser p r o vocada por uma sobrecarga, que leva a uma ruptura estática, ou então d e vido a nucleação e propagação de trincas, p r o v e nientes de um c a r regamento dinâmico.
Durante muitos anos, a indústria a e ronáutica d e s e n v o l veu esforços para compreender e prever o crescimento das trincas de fadiga.Mais recentemente, as indústrias de veículos e e q u i p a mentos pesados, pas s a r a m a mostrar um interesse crescente na p r o pagação de fissuras. A análise da rejeição ou não de uma peça por algum processo não destrutivo, como por exemplo o uso do ultrasom, raios-X, r a i o s - y , etc., baseia-se na indicação da existência de algum defeito interno de dimensão razoável. Este defeito, todavia, poderia ser aceito desde que houvesse a pos s i b i l i d a d e de definir intervalos de inspeção de manutenção em função do seu crescimento, para evitar que este atinja um tamanho perigoso. Isto ê de vital importância para peças de grandes dimensões, onde o custo de f a bricação ê elevado.
A Mec â n i c a da Fratura E l ástica Linear levou ao a pa r e c i mento de novos conceitos de projeto. Se um componente com um p e queno defeito for aceito, então o conhecimento da sua taxa de crescimento, geralmente por fadiga, irá per m i t i r uma definição lo gica de um ciclo de re-inspeção adequado para detectar a largura da trinca antes que ela aumente o bastante para causar a fratura. Similarmente, se há uma incerteza sobre o tamanho da trinca que tenha escapado ã detecção, os testes de sobrecarga demons t r a m que uma trinca maior que um certo tamanho não causa fratura, e port a n to pode-se considerar como se não existisse. A M e câ n i c a da F r a t u ra E l ástica Linear pode ajudar na seleção do m aterial otimo ou tratamento térmico para um trabalho em particular.
Por outro lado, há a n e c essidade de examinar-se cuidado samente os campos de tensão local, inclusive tensões residuais e
fetadas pela deterioração através de soldagem, alguma forma de fragilização m e t a l ú r g i c a (como a pre s e n ç a de altas concentrações de fósforo ou enxofre), anisotropia bem como outras causas. As in düstrias com alta tecnologia tem tentado estabelecer vários proce dimentos de controle de qualidade, inspeção e ensaios não d e s t r u tivos, como uma m e t o d o l og ia complementar n e c e s s á r i a ao uso dos mé todos de projeto baseados na Me c â n i c a da Fratura E lástica Linear.
Para os materiais usualmente u tilizados em componentes estruturais, os critérios de falha baseados na M e câ n i c a da F r a t u ra Elástica Linear não são aplicáveis, pois existe, quando da ru£ tura, uma plastif i c a ç ã o generalizada. 0 presente trabalho visa ob ter informações detalhadas sobre o aspecto de c o n c e ntração de ten sões e deformações quando dentro do regime plástico, importante para o p roblema de fadiga, b em como analisar os métodos propostos para caracterizar o início da ruptura dútil, através da Mec â n i c a da Fratura E l a s t o - P l á s t i c a .
0 trabalho visa ainda comparar os dados obtidos e xp e ri m e n t a l m e n t e com as teorias existentes de concentração de tensões
e d e f o r m a ç õ e s ,assim como com os métodos de análise para caracteri zar o início de uma ruptura dütil. É dada maior atenção ã utiliza ção da integral J tanto como um método de análise pa r a c ar ac t e r i zar a ruptura,como também no cãlculo da concentração de d e f o r m a ções .
Ao m esmo tempo, fez-se um estudo sobre algumas teorias de ruptura dütil, com o fim de fornecer uma explicação sobre a forma como esta se processa.
2.1 - Introdução
Uma ruptura pode ser classificada como fragil ou dutil. 0 termo frágil refere-se à fratura associada com baixa tenacidade, ou seja, pouca energia absorvida antes e durante a ruptura. Já a fratura dútil ê aquela associada com alta tenacidade e grande d e formação p lá st i c a antes da ruptura.
Os metais, em sua maioria, apresentam fratura dútil e ë este tipo de ruptura que este trabalho se propõe a analisar.
Para um monocristal puro sob a ação de uma força de tra ção, ocorre o deslizamento sobre um plano devido a um esforço co£ tante ao longo de uma direção p r e f e rencial de escorregamento.
Este esforço requerido para iniciar o deslizamento denomina-se tensão tangencial crítica (Lei de Schmid) e ë uma constante p a ra cada m aterial a uma dada temperatura. Os planos pr e f e r e n c i a i s de escorregamento v a ri a m conforme o tipo de estrutura cristalina, mas, de forma geral, são aquelas famílias de planos com menor di^
tância interplanar. As direções preferenciais de escorregamento s emelhantemente variam com a estrutura cristalina, p o r e m são aque las que tem maior densidade linear \21 \ . A ruptura em um m o n o c r Í £
tal puro ë m o st r a d a na figura 2 .1a.
Para o caso de um policristal puro sob tensão, há o e s corregamento simultâneo em vários planos conjugados de deslizamen to. Isto ocorre porque cada cristal que compõe o m aterial tem uma orientação distinta e assim, para cada um haverá um plano p r e f e rencial de deslizamento. Desta m a ne i r a a elongaçao pl á s t i c a torna se não homogênea, c oncentrando-se em uma pequena porção do corpo atê que haja uma redução de área na sua seção transversal de 1 0 0 °ô, conforme esquematizado na figura 2 .1b.
Os materiais reais apresentam uma certa quantidade de defeitos cristalinos, inclusões e partículas,de segunda fase. A fratura du til destes materiais ocorre pelo deslizamento de um plano
crista-(a)
\ /
Fig. 2.1 - Ruptura dutil de (a) um m o n ocristal puro m o s t r a n d o a tensão tangencial crítica necessária ao cisalhamento e,
(b) de um policristal puro por cisalhamento.
logrãfico sobre outro, paralelamente ã formação de vazios em t or no das inclusões ou partículas de segunda fase, com o consequente crescimento destes vazios atê o seu coalescimento final.
Assim, a ruptura dútil pode ser caracte r i z a d a por três eventos essenciais: a nucleação de vazios em torno das inclusões ou partículas de segunda fase; o crescimento dos vazios sob a a- ção de deformação crescente; e a interconexão dos vazios levando ã falha final.
A fratura dütil pode ainda ser classificada |02, 17,35 como transgranular (formação de vazios em torno das inclusões ou
forme esquematizado na figura 2.2. Contudo, a fratura i nt er g r a n u lar so ocorre em altas temperaturas e a baixos níveis de d e fo rm a ção |l7 Com base nestas conclusões, apenas a fratura dütil transgranular serã estudada mais detalhadamente.
Intergranular
CRESCIMENTO PLÁSTICO
OE VAZIOS
Fig. 2.2 - Classificação da fratura dütil
A n u c leação dos vazios depende muito do tipo de part í c u la e da forma pela qual esta esta ligada a matriz. As partículas p o d e m ser classificadas como |06
a) Partículas grandes, cujo tamanho varia entre 1 a 20 ym. Consi_s tem de compostos complexos formados por varios elementos de liga e não são tão resistentes quanto o m a terial da matriz, ex ceto
n o
caso dos carbonetos em certos aços;b) Partículas intermediárias, com tamanho da ordem de 500 a 5000 A°. C o n s istem de compostos complexos de vários elementos de 15^ ga, geralmente essenciais ãs propriedades do material;
c) Partículas de precipitados, cujo tamanho ê da ordem de 5 0 ‘a 500 A°. Os elementos de liga são adicionados ao m a terial a t r a vés de tratamentos térmicos ou envelhecimento, com o fim de dar ã liga uma tensão de escoamento elevada.
A n u c l eação dos vazios pode ocorrer ou pela separação da interface entre a partícula e a matriz, ou pela ruptura das partículas. Lindley et al. Il7| c oncluiram que não é a magnitude da tensão aplicada que determina o início da nucleação, mas sim o estado local de deformação. A ma ne i r a pela qual as partículas r e £ p o ndem ã deformação e induzem ã formação de vazios depende de uma
regular geralmente rompem por fratura interna.
Gurland |17| observou a d e pendência entre o tamanho da p a r t ícula e a forma de nucleação, concluindo que as partículas grandes rompem com pequenas deformações. Este comportamento pode ser devido à redução na capacidade de relaxação pl á s t i c a para a- liviar as grandes concentrações de tensão (ou deformação) na i n terface da partícula. Broek |06| observou que, embora os vazios sejam iniciados pelas partículas grandes a baixos níveis de defor mação, a fratura final so ocorre com deformações b em maiores, con
cluindo que as grandes inclusões não são essenciais ao processo de fratura, embora reduzam a dutilidade do material.
Conforme Broek |06|, a fratura é induzida pelas par t í c u las intermediárias, já que estas,como não podem d e f ormar-se tão faciliíiente quanto a matriz, p e rdem coesão com a m esma quando o corre extenso trabalho plástico.
Nema t - N a s s e r |35| relacionou a resi s t ê n c i a das p a r t í c u las e a energia interfacial entre a p a r t ícula e a matriz com a nu cleação dos vazios. Conforme o autor citado, quando as partículas são frágeis, de forma que não acomodam a deformação p l ás t i c a sofrõ^ da pela matriz, a nucleação ocorre pela ruptura destas partículas a baixos níveis de deformação. Por outro lado, quando as p a r t í c u las são tão resistentes quanto a matriz, mas estão fracamente l i gadas a esta, a nucleação pode ocorrer pelo deslizamento da inter face entre a p a r tícula e a matriz. Finalmente, quando as p a r t í c u las são resistentes e estão fortemente ligadas ã matriz, a nuclea ção é retardada, e o material exibe alta dutilidade. Vários m o d e los teóricos tem sido propostos com o fim de p r edizer o inicio da nucleação dos vazios, em termos dos processos m i cr o e s t r u t u r a i s e da m e cânica do contínuo, tais como os modelos de Brown e Stobbs
1 7 |, Tanaki et al. Il7| e A r go n et al. |l7[.
E mbo r a a nucleação seja essencial ao pro c e s s o de f r a t u ra dútil, o evento principal que leva ã falha final é o crescimen to e a interconexão dos vazios. Diversos modelos tem sido apresen tados a fim de explicar o crescimento e o c o alescimento dos v a zios. Estes p o de m ser classificados em m odelos baseados na teoria
tos por M c C l i n t o c k |31 son 50 H e l l an 49 , Tracey N e e d leman 49 49 Rice e Trac e y , Nem a t - N a s s e r 43| I 35 Thoma- e ou-tros. Rice e J o h n s o n l42| e p o st er i o r m e n t e Green e Knott [isl, a- p r e s e n ta ra m um mo delo específico de ruptura dütil em corpos de p r o v ã ' f i s s u r a d o s , baseados na m e c an ic a do contínuo. N e nhum destes m o d e l o s , n o entanto, ê compatível, com as observações que p o d e m ser feitas em superfícies com fratura dütil, embora muitos deles p o s sam ser aplicados a casos particulares.
2.2 - Teor i a de Broek
Baseado na teoria das discordâncias, B roek |06| d e s e n volveu um mode l o para a nucleação, crescimento e coalescimento dos vazios, conforme resumido a seguir.
Quando as discordâncias encontram uma inclusão através dos planos de e s c o rregamento ao longo dos quais v em se move n d o du raftte a deformação plástica, elas tenderão a e m p ilhar-se contra este obstáculo |23| (Figura 2.3a). 0 laço de discordâncias mais proximo à p ar tí c u l a sera impelido em sua direção pelas tensões provocadas pelos laços subsequentes que emergem c o ntinuamente de uma fonte de discordâncias e pela tensão de c i s a l hamento a p li ca da. Este empilhamento, por sua vez, produz uma tensão contraria sobre a fonte, a qual continuará a p roduzir discordâncias até que a m a g n i t u d e da tensão c o n t rária;seja igual ã da tensão aplicada menos a tensão necess á r i a para ativar a fonte. Quando um laço QU
um par de laços, de discordâncias são impulsionados contra a i n terface da partícula, há uma separação entre a interface e o mate^ rial, formando-se assim um vazio. Como c o n s e q u e n c i a , as forças de repulsão sobre os laços subsequentes são drastic a m e n t e reduzid^as e a maior parte destes pode atingir o vazio recém formado. As fon tes de discordâncias, que se tornaram inativas devido à tensão de repulsão criada pelo empilhamento das discordâncias ao redor da. inclusão, r e c omeçam a agir e o p rocesso leva ao crescimento l at e ral instável do vazio e ao coalescimento final, logo que os v a zios tenham se nucleado (Figura 2 . 3c,d).
Fig. 2.3 - Modelo das discordâncias para o início e crescimento de vazios, (a) Laços de discordâncias empilhados.
(b) Seção transversal; (c) Detalhe; (d) Cavidade.
0 modelo de Broek |0 6 | sugere que a n u c l eação dos____ va-zios s5 ocorre em altas tensões ou d e f o r m a ç õ e s ,de forma que o cres c imento e coalescimento destes acontece imediata e exp o n t a n e a m e n t e , Isto está em desacordo com as observações experimentais, onde se c onstata que a nucleação ocorre em baixos n í v e i s de d e f o r m a ç a o , en quanto que a falha final acontece em níveis bem mais elevados.
2.3 - Modelo de McClintock
McCli n t o c k |3l[ apresentou um modelo baseado na_me c â n i c a do contínuo para o crescimento e coalescimento de vazios cilíndri-cos de seção t ra ns v e rsal e l í p t.ica, c uj os eixos e st ão alinhados com as d ir eç ões principais da tensão a p li cada. Cada vazio ê circundado por uma célula cilíndrica cujas dimensões são metade do e sp a ç a m e n to entre os vazios adjacentes. McCli n t o c k c o n sidera que os vazios p e r m a n e c e m bastante pequenos durante a maior parte do carregamento, tal que as interações entre eles possa ser desprezada. Des_ ta forma, o problema fica reduzido ã deformação ge n e r a l i z a d a de um vazio em um estado plano de deformação, em um meio i n f i n ito. 0 vazio pode expandir-se ou contrair-se e
vazios, calculado como se eles estivessem em um meio infinito, é tal que cada vazio atinge as paredes de sua célula. Em outras p a lavras, um dos semi-eixos a ou b do vazio alcança o tamanho c o r r espondente da sua célula (metade do e s p a ç a m e n t o ) , ou
a.
£|^/27 respectivamente. Esta condição pode ser descrita em termos de um fator de crescimento relativo, fornece o aumento dos semi-eixos do vazio em relação aos espaçamentos c o r r es po nd en tes. Por exemplo, para vazios com o eixo cilíndrico na direção z e que crescem na direção b, o fator de crescimento relativo pode ser definido como
Fzb = (b/£^)/(b°/£°)
onde os sobre-índices o referem-se aos tamanhos iniciais do se- mi-eixo b e do espaçamento entre vazios adjacentes. Portanto, o fator de crescimento relativo de um vazio no mome n t o de falha, de_ vido aos vazios com eixo cilíndrico na direção z c r e scerem na di^ reção b é
= (l/2)/b°/£°) (2 .1 )
Devido ã h istoria do carregamento anterior, os semi- eixos e espaçamentos iniciais podem ser diferentes em direções d^ ferentes. Assim, para o material como um todo, a fratura ocorrerá no plano ij (vazios paralelos ao eixo x^^^ coalescendo na direção j) quando o fator de crescimento F^^ é o que primeiro alcança o seu v a l o r crítico para a ruptura
F. . = F.f ij ij
M c C l i n t o c k |3l| definiu ainda uma medi d a para o dano a£ sociado com o coalescimento parcial de um vazio, quando o m a t e rial estiver sujeito a carregamentos variáveis, como sendo
Uma expressão simplificada para a taxa de crescimento dos vazios, denominada por M cGlintock |3l| como taxa de dano, foi encontrada como sendo
dn^b senh (1 -n)(a^+a^)/(2ã//3)
---- - --- ^--- (2.3)
de (1 -n) In
onde e são as componentes transversais de tensão aplicadas ao sistema, ã e são a tensão e a deformação equivalentes s e g u n do a teoria dc Von Mises e n e o expoente de encruamento. McClin- tock |31| integrou a equação (2.3) para o caso em que as relações entre as componentes de tensão são constantes, obtendo assim uma expressão para a deformação equivalente na fratura, n e c e s s á ria para que os vazios com o eixo cilíndrico na direção z coales- çam na direção b como
. (1 - n) In (£°/2b°)
e = --- ---^ — (2.4)
senh [(1 - n) (a^ + a^)/(2a//3).
A aplicação do critério de fratura de M c Cl in t o c k a t e s tes de tração pode ser feita com a ajuda da fórmula de B r i d g ma n
4 7 I, já que esta relaciona as tensões tangenciais e radiais que surgem em um corpo com o início da estricção. Se a distribuição de deformações for uniforme ao longo da seção transversal do co r po, a tensão radial, a^, pode ser dada na forma
= In (1 + a/2R)
onde a é a tensão media do corpo em estricção, a ê o raio na s e ção onde ocorreu a estricção e R ë o raio de curvatura da s u pe r f ^ cie externa.
---A equação (2.4) está em concordância q ualitativa [49
com o resultado de testes experimentais,ja que prevê um aumento na dutilidade com o aumento do expoente de encruamento e um d e
créscimo na deformação da fratura com o aumento das tensões tran^ versais aplicadas. Contudo, a equação não esta em concordância
q uan t i t a t i v a com testes experimentais, já que superestima conside ravelmente as deformações na fratura para testes de tração, c o n forme comparações feitas com os dados experimentais obtidos por Edelson e Baldwin |49|. No sentido de reduzir a dis c r e p â n c i a e n
tre os resultados teoricos e experimentais, M c C li n t o c k introduziu um critério de coalescimento dos vazios pelo cisalhamento locali- zado“~entre vazios adjacentes; contudo este p r oc e d i m e n t o não o b t e ve sucesso, já':.que os valores experimentais r e lativamente baixos das deformações na fratura não p odem ser fundamentados nesta e x plicação I 49 I .
2.4 - M o delo de Tracey
T r a c e y |49l apresentou um modelo, com b ase n a m e c â nica do contínuo, para o c re scimento transvera^il, d e um v azio circular, sobre o e ixo de um cilindro d e d:^metro f i ni to, em um ma t e r i a l r_i gido-plãstico com encruamento. 0 autor admitiu p ri me i r a m e n t e ; que 0 cilindro, estivesse sujeito a uma taxa de deformação axial e a uma tensão transversal uniforme aplicada sobre sua parede e x te r na. Sob esta condição, T r a c e y dese n v o l v e u uma equação para a taxa de crescimento transversal do vazio em termos do expoente de e n cruamento do material e da triaxialidade do estado de tensões. Seus resultados m o st ra m que um aumento no e x p o e n te de encruamento pode causar uma m a rcante r e d u ç ã o na taxa inicial de crescimento do v a z i ^ . Em grandes d efo rm aç õ e s , porém, a taxa de crescimento_ c o n ve rge rapidamente para a s o l u ção p e r f e i t a m e n t e pjjAtic.§ (sem e n c r u a m e n t o ) . A redução inicial da taxa de crescimento do vazio com o encruamento é grande para altos níveis de triaxialidade, po rém peq u e n a a baixos níveis de triaxialidade.
0 critério de coalescimento do vazio adotado por T r acey 49| foi aquele p r oposto por M c C l i n to ck |31|, ou seja, haverá ru £ tura quando o crescimento transversal do vazio for tal que este .>■. alcance as paredes da célula cilíndrica que o envolve.
Tr acey |49| usou este modelo para estimar a deformação na fratura da superfície estriccionada de um corpo de prova sob
tração uniaxial. 0 autor admitiu que as células cilíndricas e s t i v e s s e m uniform e m e n t e distribuídas através da região estriccionada,
com seus eixos paralelos à linha de centro do corpo de prova. Tra cey considerou ainda que as células tinham o mesmo diâmetro do va zio quando as relações de espaçamento fossem iguais à raiz cúbica da fração de volume dos vazios na região estriccionada. A equação da taxa de crescimento foi então integrada com a ajuda da formula de B r i dgmann |47| para obter a distribuição das tensões na região estr-iccionada de um corpo de prova sob tração. As deformações na fratura obtidas por T r acey |49|, assim como aquelas obtidas por M cC l i n t o c k |3l|, desprezam os efeitos de um p ossível c o a l e s c i m e n to instável dos vazios em níveis de deformação onde as superfícies dos vazios estejam ainda bastante espaçadas. A dm it in do que as p r£ priedades do material fossem as mesmas do usado por E de l s o n e • Baldwin |49| em suas experiências, foram calculadas as d e f o r m a ções na fratura teórica segundo o modelo de Tracey. Os resultados teóricos s u p e restimam grandemente os experimentais, exceto os ca
sos em que se tenha uma pequ e n a fração de volume de vazios.No intuito de determinar se esta disc r e p â n c i a era devido aos efeitos do encruamento, Tracey |4 9 | admitiu o expoente de encruamento c o mo sendo zero e calculou as deformações na fratura para o mesmo modelo. Contudo ,estes novos resultados, embora um pouco menos dis crepantes com os experimentos, pouco diferiram dos resultados teo ricos para o modelo com encruamento. Estes resultados estão em m a rcante contraste ao forte efeito do encruamento pr e v i s t o pelo modelo de M c C l i n to ck |3l|. Os resultados de T ra c e y suge r e m que o forte efeito do encruamento previsto na equação p a r a a deformação na fratura do m o delo de M cC l i n c t o c k 31 é devido ã falha da teo-ria ao desprezar a n atureza transiente da taxa de crescimento dos vazios sob condiçoes de encruamento.
2.5 - Modelo de Rice e T r acey
Rice e T r acey [ 4 3 | a p r e s entaram um modelo, fundamentado na m e cânica do contínuo, para o crescimento de um vazio em um co£ po de dimensões infinitas de um material r í g i d o - p l â s t i c o incom- pressível, sujeito a um estado triaxial de tensões e a um campo de d eformação u niforme aplicado no infinito. Contudo, os autores não introduziram um critério para o coalescimento do vazio a fim
de estimar as deformações na fratura, i nteressando-se apenas em obter expressões para as taxas de crescimento do vazio nas d i r e ções dos eixos principais do campo p lástico remoto.
No d e s e n v olvimento do modelo, Rice e Trac e y |43 c o n s i deraram p r imeiramente o crescimento de um vazio esférico de raio R ^ , conforme ilustrado na figura 2.4, sob um campo de deformação constituído p e l a expansão do vazio na direção 3 e por sua contra ção nas direções 1 e 2 , além de uma tensão normal m é di a aplicada no infinito. 0 campo de velocidades através do mat e r i a l foi c o l o cado em termos de três componentes básicos: (i)uma. componente r e sultante do-campo de deformação uniforme a fim de satisfazer as condições de contorno remotas; (ii)uma componente de dilatação D, correspondente ã m u da n ç a de volume do vazio, sem v ar ia ç ã o de sua forma; (iii)uma componente de variação de forma E, dando a m u d a n ça da forma do vazio a volume constante. 0 termo (1+E) r epresenta a razão entre a m ud a nç a de forma incompressível e a taxa de defor m aç ã o imposta que, juntamente com D, determina c o mpletamente a geometria do vazio. Rice e Tracey |43l ob t i v e r a m soluções n u m é r i cas para D e E no caso de u m mat e r i a l sem encruamento, concluindo
Fig. 2.4 - Vazio esférico sujeito a um campo de d eformação e a uma tensão m é d i a aplicados no infinito.
que D depende exponencialmente da tensão m é d i a aplicada, , e n quanto que o fator (1+E) ê uma função linear de 0 ^^. Logo, em a l tos níveis de tensão aplicada, o crescimento do vazio é guiado pe lo fator D.
Rice e-Tracey l43| posteri o r m e n t e cons i d e r a r a m que o campo de deformação aplicado fosse da m e s m a ordem de g randeza da tensão aplicada, e ambos fossem grandes, de modo que o corpo e s tivesse sujeito a um alto nível de triaxialidade. Desta análise os autores obtiveram u ma expressão para o fator D que m os tr ou ser uma boa aproximação de D em todos os níveis do estado de tensão triaxial, como sendo
D = 0,558 senh (— — ) + 0,008v cosh (— — ) (2.5)
2 Tg 2 Tg
onde Tg é a tensão de escoamento ao cisalhamento de um mat e r i a l sem encruamento e v é definido como
■ 3éi j
V = - ^ 4 --- (2
.6)-" ^III
sendo Cj > Cjj > a-S componentes principais do campo de v e l o cidades de deformação remotamente aplicado.
Rice e Tracey |43l des e n v o l v e r a m então uma expressão a- p r ox im ad a pa r a a taxa de crescimento de um vazio esférico em um
-• • • •
campo de deformação arbitrario. Sendo ^ ^oll ® '^oIII v e lo c^ dades radiais sobre a superfície do vazio em pontos alinhados com
^ w • • •
as direções das deformações principais £j, e tem-se que
^ok R^, k = I , I I , III (2.7)
onde é a deformação remota equivalente e R^^ é o raio do vazio esférico. A equação (2.7) pode ser integrada de modo a dar o cres cimento finito de u m vazio Í 4 3 l , substituindo-se para isto, R^ pe la m é d i a dos três raios principais do vazio.
Embo r a Rice e T ra c e y não tivessem usado as equações (2.5) e (2.6) para p r edizer as deformações ná fratura em um teste
de tração uniaxial, T homason |49] efetuou esta tarefa admitindo o critério de coalescimento proposto por McClin t o c k |3l| e Tracey
4 9 I. As deformações resultantes na fratura, em um teste de tra- • ção,para o modelo de crescimento do vazio sem encruamento de Rice e Tracey, foram comparadas com os resultados de testes e x p e r i m e n tais obtidos por Edelson e Baldwin [ 4 9|. T h o m a so n |4 9 | concluiu que os resultados teoricos superestimam grandemente os resultados experimentais e que esta discrepância poderia ser ainda maior se os efeitos de escruamento fossem incluídos no modelo da taxa de crescimento. Contudo, Tho m a s o n |4 9 | admite que o critério de c o a lescimento dos vazios empregado levou a erros apreciáveis no c á l culo das deformações envolvidas nos resultados.
Com base nos resultados de Thomason, parece não ser con veniente p r o p or-se um modelo para o coalescimento dos vazios e daí u ti l i z a r - s e as equações de Rice e T r a c e y |43| para predizer as deformações na fratura em um teste de tração.
2.6 - Modelo de T homason
0 mo d e l o empregado por Th o m a s o n |50| para d e s crever o crescimento e coalescimento dos vazios está baseado em um pequeno elemento prismá t i c o de seção quadrada (Figura 2.5) em um estado plano de deformação, que contém uma distribuição uni f o r m e de cavi_ dades prismáticas quadradas. 0 material é r í g i d o - p l á s t i c o . T h o m a son considera que o elemento é deformado pela ação de uma tensão axial, a , e uma tensão transversal, a , que p o de m ser tanto de
Z X
tração como de compressão. A deformação p l ástica ocorre sob a a- ção de uma pressão h id r o s t á t i c a sobreposta, P, tran s m i t i d a ao cor po através de um fluido não viscoso. É admitido que o fluido não penetra nas cavidades internas. Conforme T h om as on |50|, a deforma ção p l ástica é composta de duas partes: se as cavidades estão bem distantes entre si, o material se deforma u n if or m e m e n t e como um todo (escoamento plástico uniforme) até o ponto em que as c a v i d a des começam a coalescer (escoamento plástico i n s t á v e l ) . Foi a d m i tido que a pre s e n ç a das cavidades não influencia o mo d o de e s c o a m ento uniforme da matriz, já que aquelas se d eformam u n i f o r m e m e n te com a mesma.
a carga necessária para causar a estricção interna de uma linha de cavidades seja maior que a carga necess á r i a para o escoamento uniforme do elemento como um todo. Esta condição foi colocada co mo
— ^ (1 - /V^) + — < + 1 (2.8)
2xg 2tg 2xg
onde ë a tensão de tração principal neces s á r i a pa r a causar e s coamento do volume de material entre duas cavidades a d j a c e n t e s (in ter-cavidade) , ë a tensão de escoamento ao cisalhamento do m a terial e é a fração de volume das cavidades na matriz,. T h o m a son d e n o minou de fator de restrição ã razão a / 2xp e obteve uma
Ti lIi
relação entre este fator e a geometria da i n t e r - c a v i d a d e , á/b (fi^ gura 2.5) para estricções l o c a l i z a d a s .a^/2x^ foi calculado para diferentes geometrias da i n t e r c a v i d a d e , concluindo-se que se a/b < < 1 , 0 fator de restrição necessário para causar a estricção e n tre as cavidades é tão alto que o coalescimento ë impedido e o elemento continua a se deformar uniformemente, alongando as c a v i - ‘ dades na direção de tração principal e causando uma contração transversal. Este modo de deformação tem o efeito de reduzir a ra zão a/b, e com isto reduzir o fator de restrição, chegando-se a
condição em que possa ocorrer o coalescimento instável das cavida des e subsequente fratura da linha mais dêbil de cavidades. A d e formação na fratura ë,portanto, a deformação mêdia alcançada no nício do coalescimento instável, desde que o deslocamento associa do com o estriccionamento interno de uma linha de cavidades c o r responda a um incremento desprezível de deformação, a nível m a c roscópico (figura 2.5).
Tho m a s o n |50| reescreveu a equação (2.8) para o caso de um estado triaxial de tensões como
2x^ ^ 2x^ 2 2x,
<Tx ((Tî p — - o 1 - C X - — l ] □ □1 □ [ ] □ □ □ \"l I ] □ C 2 b c p -_ra— - J - !1—^ f T (0) 1— r □ D ( i b i
c n riijc ^ id
(d) <TzFig. 2.5 - (a) Elemento quadrado p rismático em u m estado plano de deformação, mostrando ( b ) , (c) escoamento uniforme e
(d) estriccionamento interno.
0 critério para o coalescimento instável das cavidades no mode l o de Tho m a s o n |50| é dependente da tensão, o que o difere fundamentalmente dos modelos de M c C l i n t o c k l3l|, T ra c e y 1 491 e ce e Tracey |43|. É proposto no m o delo de T h o m a s on que antes do i, nício do e s t riccionamento interno, as grandes expansões t ra n s v e r sais dos vazios não são uma condição essencial ã fratura dütil, desde que o grande crescimento transversal n e c e s sá ri o para o c o a lescimento dos vazios ocorra rapidamente em uma linha de vazios associada com a formação da superfície de fratura, uma vez inicia do o estr i c c i o n a m e n t o interno. Este aspecto do m od e l o é consisten te com observações experimentais de micro-seções de regiões ime diatamente adjacentes ãs superfícies de fratura dütil |50|, as quais m o s t r a m que os vazios ainda estão largamente espaçados.
A aplicação do modelo de T ho ma s o n a testes de tração po de ser feita através da equação (2 .8) e da expressão abaixo, que relaciona a geometria da inter-cavidade a/b com a deformação ' devida à tensão principal e a fração de volume V^, durante o e s coamento p lástico uniforme.
(
2
.
10
)
Quando comparados resultados teóricos obtidos por este p rocedimen to com dados experimentais |50|, vê-se que os mesmos estão em boa
c o n c o rdância qualitativa, embora os resultados teoricos tendam a dar um valor para a deformação na fratura ligeiramente menor que o valor observado experimentalmente. Um fator q.ue— contribui para esta discrepância ê indubitavelmente a ausência do encruamento mo modelo t e ó r i c o . Partindo de que, quando partículas de segunda f a se estão fracamente ligadas a matriz de um metal real que apresen ta encruamento, as condições para o início do estr i c c i o n a m e n t o in terno são provave l m e n t e retardadas até que a matriz alcance um n^ vel de deformação correspondente ao expoente de encruamento, onde este nível ê atingido a uma deformação a p r o x i madamente igual â d£ formação para a instabilidade plástica, (estriccionamento e x terno) ; e que quando as partículas estão fortemente ligadas ã m a triz, ê n e c e s sá ri a uma deformação da ordem de pa r a nuclear uma fração de volume apreciável de vazios; T ho ma s o n |5 0 |adicionou a d eformação na instabilidade plástica, aos resultados de defor mação na fratura do modelo sem encruamento. A s su mi n do = 0,1, T h om a s o n |50 m o st r o u que estes resultados teóricos que conside-ram^o-r-efeitO— dO— en_cxuamenj^o estão em excelente concordância quan- titativa com os dados experimentais.
2.7 - Modelo de Nemat-Nasser
N e m a t-Nasser |35l p r o p o s , recentemente, uma possível teoria para a fratura dütil baseada na m ec ân i c a do contínuo, que está sendo desenvolvida pelo autor e por seus colaboradores. N e s te modelo, o material é considerado dividido em células unitárias de dimensões microscópicas, cada qual contendo uma ou mais i n c l u sões onde foram nucleados vazios, 0 tamanho e a localização das partículas dentro da célula, bem conío o tamanho da célula e ainda a distribuição das células do m a terial p o d e m ser caracterizados estatisticamente, e, com este intuito, o autor ve m desenvolvendo modelos que s atisfaçam as condições precedentes.
Nem a t - N a s s e r descreve o processo de ruptura dutil em termos de dois parâmetros: o trabalho plástico médio, por unidade de volume inicial da matriz dentro de uma célula e o desvio p a drão do trabalho plástico dentro da célula, ou seja:
w = — P V. 0 V w dV P (
2
.11
) o w - w P P V ' dv}i''2(
2
.
12
)
onde Wp ê a densidade media do trabalho plástico, ê o volume i nicial da m atr i z dentro de uma célula, é a densidade do traba lho plástico m e d i d a poírunidade do volume inicial e é a medi d a da localização do trabalho plástico. 0 autor definiu um parâmetro de localização, , como sendo
(2.13)
e introduziu uma m e d i d a para o dano causado durante o p r ocesso de fratura, D, como
D = D(w
tal que a falha final ocorre quando D alcança um valor crítico D .
_ c
Para avaliar-se w e a é necessário um modelo r e p r e s e n t a t i v o do P P
material em questão.
Segundo N e m a t -Nasser |35|, o modelo considera os e f e i tos de um estado triaxial de tensões, bem como os efeitos das pro priedades da matriz, especialmente sua resi s t ê n c i a e plasticidade e ainda inclui os efeitos do espaçamento entre p a r t í c u l a s , t a ma nho destas e sua interação, já que todos infl u e n c i a m a densidade média do trabalho plástico, , e o parâmetro de localização, ct^. 0 autor argumenta que o uso,dos parâmetros e são suficientes na caracterização da incipiência da fratura dütil,com base no seguinte: o crescimento dos vazios envolve intensa d e f o r mação p l ástica e, portanto, intenso trabalho plástico; esta defor mação plástica, e logo o trabalho plástico, está altamente local^ zada; e, a distribuição dos vazios é aleatória, sendo que a d i s tribuição do trabalho plástico é aleatória, de forma que e
r e p resentam duas medidas elementares para uma descrição estatístj^ c a .
0 modelo apresentado por N e m a t-Nasser parece estar bem embasado, embora não seja possível fazer-se uma análise mais com pleta do mesmo pela ausência de maiores resultados.
2.8 - Teoria específica para corpos de prova fissurados.
Rice e Johnson |42| apresentaram um modelo de ruptura específico para corpos de prova fissurados. Green e Knott |l8 |,ba seados neste primeito modelo, desenvo l v e r a m uma análise para predizer a fratura dutil de um corpo contendo um entalhe, sujeito a um estado plano de deformação, com pequ e n a pias tificação. 0 procedimento de Green e Knott será descrito já que este considera ainda os efeitos do encruamento e do tamanho e numero de inclusões no m aterial sobre a ruptu ra dutil.
Se um corpo contendo uma trinca aguda, como o proposto por Green e Knott [ISj, for tracionado, o campo de linhas de e s corregamento ê tal que não há concentração de d eformação ao redor do extremo da trinca, mas intensa concentração de tensões de cisa lhamento (figura 2.6 ),que tenderá a abrir a trinca. Como c o n s e quência, as linhas de escorregamento não ficam centradas com o ex tremo da trinca e convergem a uma distância x^ que pode ser r e l a cionada à abertura da trinca 6 . Esta região de c o n v ergência ê o foco de uma espiral logarítmica de linhas cisalhantes e e uma zo na que apresenta intensa concentração de deformação, A tensão máT> xima de tração localiza-se no ponto D, conforme pode ser visto ria
figura 2.7. Para um material apresentando encruamento, a tensão máxima ocorreria no extremo da trinca. 0 critério de coalescimen^ to adotado consiste no seguinte: quando uma inclusão fçr envolvi'^ da pela zona de grande deformação criada à frente da trinca, esta ficará sujeita ã deformação p l ástica atê o mom e n t o em que o ponto D coincidir com o seu centro, onde então ocorrerá a n u c l eação de um vazio (Figura 2.8). Este vazio irá crescendo juntamente com u- ma extensão adicional na abertura da trinca. 0 c o alescimento f i nal ocorrerá pelo intenso cisalhamento ao longo da espiral
Ioga-C Y
Fig. 2.6 - Campo de linhas de es corregamento para o extremo de u ma trinca aguda em um estado pia no de deformação.
Fig. 2.7 - Campo de linhas de escorregamento para o extremo aberto de uma trinca em um e s tado plano de deformação.
Xo - O ,2 R o Posiçõo do v a z io s n v o lv id o por uma re g iõ o com g ra n d e d e fo rm a ç flo C re s c im e n to C r e s c im e n to a d ic io n a l com 0 início do esco am en to lo c a liz a d o Fig. 2.8 - M o d e l o p a r a a r u p t u r a d ü t i l c o n f o r m e | 1 8, 4 2
rítmica. Se ocorrer encruamento, a distribuição de deformação ao redor da extremidade da trinca é mais espalhada, jã que cada in cremento sucessivo de deformação causa encruamento e este, por sua vez, faz com que o proximo incremento de deformação ocorra nu ma disposição diferente. Em locais mais distantes ocorre d ef o r m a ção uniforme antes de ser atingida a condição para o estricciona- m e n t e final entre o vazio expandido e o extremo aberto da trinca
18 p r o p u s er am que o i-(Figura 2.8). Desta forma. Green e Knott
n í c i o da r u p t ura_dut.il_para m a t e r i a i s que a pr es en tam e n c r u amento depende de duas componentes. A primeira ë a zona p lastica m a cr o s ^ cop i c a , onde o ç pr rem p eg u e ^ s d ef ormaçoes em uma ârea constituída por doi_s J,obi^q_s de co m p r i m e n to mãximo d e_5J3x^ e mínimo de
conforme esta esquematizado na figura 2 .9. A segunda componente ë a zona de processo, ou região na qual as deformações são grandes e a proximadamente iguais ã deformação na fratura. Para que_a_;zona de p r ocesso se desenvolva ê necessário que a zona p lá st i c a tenha tamanho suficiente a fim de acomodar os deslocamentos envolvidos, a t ravés dos g r a d i e n t es de deformação;os quais v a r iam de acordo com a capacidade de encruamento da matriz.
i y
Xo
V isto o u m en la d o do e x tr e m o a b e r t o da t rin c o
Green e Knott [isl estudaram o efeito da capacidade de encruamento do material sobre o início da fratura dütil, através de dados experimentais. A capacidade de encru.am.e.nX^^o— d©— ma-t-e-r-i-a 1, medida pelo jxpp^ente de e n cr ua ment o~n ,__e s.t á_d ixe.tam e n t e— rala ci on a da ao tamanho.da zona plástica (Figura 2.10). Logo, nos materiais com b aixa capacidade de encruamento, a deformação está altamente localizada no extremo da trinca e, uma vez que a zona de processo tenha envolvido uma inclusão, a ligação entre o vazio e a extrem^ dade da trinca torna-se instável. Ja para os materiais com alta capacidade de encruamento, a deformação é dissipada através do ar redondamento da fissura e será necessário então um grande cresci^^ mento dos vazios antes que a região entre estes e o extremo da trinca torne-se instável. 0 modelo teorico considera a d e q u a d am en te estes efeitos, como m ostrado em 18
Fig. 2.10 - Influencia da taxa de encruamento no tamanho da zona plástica.
Green e Knott |18| consideraram também os efeitos das inclusões sobre o início da fratura dijtil, concluindo que estas influenciam a deformação n ecessária para iniciar a fratura e a i n da d eterminam a distância característica, x ^ , sobre a qual é a l cançada a deformação na fratura. Conforme já pre v i s t o nos modelos anteriores |3 1 , 4 3 , 4 9 , 5 0 | , a d e fo rm ação na fratura está d i r e t a m en te relacionada à fração de v o lume das inclusões no m a t e r i a l , de forma que quanto maior é o nilmero de i nc lu sõ es , menor é a dutilida
de do material. 0 g r au de v í nculo da inclusão â matriz também a f e ta os níveis de d e fo r m a ç ão nos quais irá iniciar-se o crescimento dos v a z i o s . A orientação da inclusão em relação ao extremo da trinca também produz um efeito sobre a dutilidade do material.No modelo, o estágio crítico é o envolvimento de uma inclusão pela espiral logarítmica de linhas cisalhantes ao redor da extremidade aberta da trinca. Somente depois que este estágio é atingido é que se inicia um crescimento apreciável do vazio. Se as inclusões são a longadas, a linhadas normalmente ao extremo da trinca, n e c e s sitarão u m a ^ r a n d e zona de processo para envolvê-las, e a taxa de crescimento do vazio para tais inclusões será menor quando c o m p a rada ã taxa de c r e s c i m en to para inclusões a c h a t a das, por c o n s e guinte dando origem a uma maior d ut il id ade. Os resultados experi^ mentais m o st ra m que o modelo se adapta per f e i t a m e n t e ao caso das
inclusões achatadas em relação ao extremo da trinca, p o r é m s u p e r estima os valores da'dutilidade para as inclusões alongadas. A in fluência das inclusões na determinação da d i s t ancia c a r a c t e r í s t i ca, x^, sobre a qual é atingida a deformação na fratura, e^, pode ser determinada como
6- = x^ C.2-14)
onde 6 ^ é a abertura da trinca no início da ruptura dútil. Os r e sultados teoricos previstos pelo modelo e as observações e x p e r i mentais m o st r a r a m - s e em boa concordância. 0 tamanho das i n cl u sões também afeta a dutilidade do material. As inclusões grandes
(>1 ym) d eterminam a distância x^ sobre a qual ocorre o processo de fratura e as inclusões pequenas d eterminam a deformação a t r a vés da distância característica x^, n ecessária ã fratura. 0 maior efeito das inclusões sobre a energia n e c e s s á r ia pa r a o início da fratura.dütil é na distância característica sobre a qual é atingi da a deformação na fratura, x ^. Esta dita o tamanho da zona de processo, a qual por si proprià determina o tamanho da zona p l á s
tica para determinadas propriedades de encruamento. Um pequeno de créscimo no teor das inclusões pode, no entanto, p roduzir um gran de aumento de dutilidade.
A aplicação do modelo de Green e Knott para testes de tração em corpos apresentando entalhes pode ser feita diretamente
da medida do deslocamento de abertura da trinca, 6 , conforme será visto no capítulo 4, e da micro g r a f i a da região fraturada.
0 modelo proposto por Green e Knott 18| p a rece ser o que m e l h o r se adapta em c a ra ct er iz ar o início da r u p t u r a— dútil de materiais reais, já q u e os efeitos previs tos_de_e_n.cr.uamen t o ,_ forma, tamanho e quantidade d e in c l u s õ es estão em boa concordân-^ cia com os resu 1 1ados_,exp,erimentais .
3.
C o n c e n t r a ç a o d e
T e n s õ e s
e D e f o r m a ç õ e s
Se um corpo esta sujeito ã ação de forças externas, sur gem tensões internas no seu interior, de forma que seja e s t a b e l e cido o equilíbrio entre as forças externas e internas. No caso de uma barra prismá t i c a sob tração uniaxial, a distribuição de t en sões apresenta-se conforme m ostrado na figura 3.1, onde os e s f o r ços internos na seção A - A equilibram a carga aplicada.
Fig. 3.1 - Corpo sob tensão
Contudo, se este corpo contiver uma descontinuidade geo, métrica, ocorre uma perturbação na distribuição de tensões,ja que
os elementos adjacentes ã descontinuidade devem ser fisicamente contínuos em um estado deformado. Logo, as deformações são m á x i mas na v izinhança da descontinuidade e as tensões correspondentes também o são (figura 3.2). Assim, as equações elementares r el a c i £ nando as tensões aos carregamentos não mais d e s crevem o estado de tensões naquela região.
Ê usado um fator teorico de concentração da tensão, K^, a fim de relacionar a tensão m ax im a na d escontinuidade com a t en são nominal, admitindo um material p e rfeitamente elástico, é definido pela equação
ffo
Fig. 3.2 - Distribuição de tensões próximas a um entalhe,
C3.1)
onde ë a tensão máxima na seção da desco n t i n u i d a d e g e om é t r i ca e ë a tensão nominal.
Dentro do regime elástico as tensões e as deformações estão relacionadas pela lei de Hooke. Assim, o fator de concentra ção de tensão pode ser tambêm definido como
>'t
-e - E e -
max max
(3.2)
'O oo
onde é a deformação máxi m a na descontinuidade, ê a d e f o r mação nominal e E i o modulo de elasticidade do material.
3.1 - Concentração de tensões e deformações
No regime plástico a tensão efetiva excede a tensão H mite de elasticidade do material e, portanto, as deformações não serão somente elásticas mas também plásticas. Sob estas condições, em um estado plano de tensões, é conveniente definir u m fator de concentração de tensão, , e um fator de concentração de d ef o r m ^ ção, K , como sendo
K = a - /a
K = e - /e (3.4)
e m ax o ^ ^
De um modo mais geral, pode-se designar como sendo o fator elástico de concentração de tensão ou deformação.
No entanto, quando a tensão m á x i m a u lt r a p a s s a o limite elástico, ocorre um escoamento localizado nas proximidades da des continuidade, de forma que a tensão m á xima é menor do que a e s pe rada para o caso elástico. Para compensar a redução da tensão má xima, ocorre um aumento da tensão no interior do corpo, e eleva- se também a deformação que se verifica no material, mant e n d o - s e assim o equilíbrio com as cargas externas. Logo,o fator de concen tração de tensões decresce em relação ao fator teórico, enquanto que o fator de concentração de deformação aumenta, ou seja,
^ S Kt f3.5a)
''e '
i *=t
(3.5b)
A fim de p redizer o comportamento plá s t i c o de u ma d e s continuidade geométrica foram propostas várias relações a na l í t i cas, dentre elas a de Neuber e a de Stowell-Hardrath-Ohman. Em am b a s , 0 comportamento plástico da descontinuidade está caracteriza do em termos dos fatores de concentração de tensão e deformação.
Segundo Neuber |01,36|
Kt = (3.6)
e, segundo a teoria de Stowell- H a r d r a t h - O h m a n |01 ,08 ,38 ,53 I
■ 1 * (K^ - 1 ) E 3 / E ^ „ (3.7)
onde Eg é o módulo secante do material correspondente ã tensão má xima e E^^ é o módulo secante para a tensão nominal, definidos co
