CURSO DE !.Îj\TEr/J.TIGA PARA PPOFESSOH I
l a . L i s t a d e E x e r c i c i o s
1) Escreva do todas as raan'eiras possivcis o conjxmto aïb^c ,
2 ) S e j a A o c o n j u n t o d a s v o g a i s . A ' l e t r a d p e r t e n c e a e s s e c o a o a r i t o . D e s u a r e s p o s t a s i n D o l i c a m e n t e .
5) Diga quais das sentenças abaixo determinaia'o conjunto vasio e
quais déterminai um conjunto unitârio.
a ) 0 c o n j u n t o d o s n u m é r o s n a t u r a i s t a i s q u e , c a d a u n d e l e s s o n a
-d o a 2 r é s u l t a
b ) 0 c o n j u n t o d o s n u m é r o s n a t u r a i s m s i o r e s q u e 1 0 e m e n o r e s e u e 12, que sâo pares.
c) 0 ccnjunto dos numéros naturais tais que cada um deles multi-p l i c a d o multi-p o r 2 r é s u l t a 2 .
d) 0 conjunto dos participantes deste c\irso com mènes de 15 anos
4) De todos os subconjuntos de {o,l,2j
5) A afirmaçao 0 = [o] é falsa ou verdadeira? Por que ?
6) Seja P um piano e H \iraa reta desse piano. Considerando P e R
co-mo conjimtos de pontos, quai das seguintes afirmaçoes e verdadea
r a ? E C P o u E £ P
7) Do OG ecguintcG oonjuntost^v^*.^^ Jl' o
a) dos multiplor. de 6 mèneras que 70?
b) dos divisores de 40^
c) dos multiplos de 15 e 45 menores que 100 P
8 ) S e j a A u m c e r t o c o n j u n t o d e a u t o m o v e i s . S e j a p o p n e u d e u n
-desses. automoveis. É correto escrever p £ A? Por que?
9) Sendo A = {_a,b,c,d,e3 e H = {a,e,i,o,u3 e C o conjunto de
t o d a s a s l e t r a s d o a l f a b e t o , d e :
A n s , AV O y A U B , B U G , B D C , A n C .
1 0 ) S e n d o A u n c o n j i m t o q u a l q u é r, c o m p l e t e c o r r e t a m e n t e :
- ^ r C u r s o d o r n a t o n v . T b i c . - " ' . t î ^ . r a P r o r - " v p n o r I L i s t a d e e x o r c i c l o s 1 - D e c Î T i c o r e p r e s e n t a ç o e s d i f e r e n t e s d o n u r a e r o c i n c o . 2 - D e c o m p o n h a s e g u n d o a s p o t e n c i a s d a b a s e : L 2 0 p a - 3 5 3 b -c - 2 5 0 5 d -e - f -g ~ ( 1 0 ) h
-3- 221 sio represeataçoes de um aesao nuasro? Por qu'a?
C o m p l e t e o s e g u i n t e q u a d r c ; B a s e d e a B a s e c i n c o B a s e d e l s 1 0 1 ^ B 1 0 1 1 2 1 1 0 1 1 1 0 1 C o a o t e r n i n a t i i o s n u n e r o s p a r e s n o s i s t e n a d a " b a s e 2 ? 6 - B e n a b a s e t r è s o a n t e c e s s o r e o s u c e s s o r d o s s e g u i n t e s n u L i e . r o 3 ; 1 0 0 1 . ^ 2 2 1 2 2 0 0 0 _ 1 0 0 0 0 : ; _ 2 2 2 2 . 7 - O r d e n e o s s e g i i i n t e s n u n e r o s e s c r i t o s n a b a s e d o i s : 1 1 1 0 , 1 1 0 1 , 1 0 , 1 0 0 0 0 , 1 1 1 , 1 0 1 1
8- 200 ê a representaçâo de que nunero ;
«V a) dia base très? b ) b a s e q u a t r o ? c ) - Y B . b a s e c i n c o ? d) "«"ia.base seis? e ) d î a b a s e s e t s ?
9- a) ^ual ê o lienor nuaoro de très algarisnos na base seis? b) Qual é o raaior numéro de dois algarisr.os na base seis?
c) Qual é o maior numéro de quatro algarisnos na base seis?
A
Para cada urn, de duas representaçoes: na base seis e na ba
p i - i . c 3
( 1 0 1 ) 2 = 1 x 2 + 0 x 2 + 1 = 4 + 1 = 5
( 1 0 1 ) 2 = 5
CoQO vinte e sete ê representado na "base <îs&s?
27
L5-Ë .
[ 2 .
0 12 7 ( 1 0 2 )
-COL10 cinco é representado na "base dois? ^
5
1 2
0
CURSO DE MATEilÂTIGA PARA PROFESSOR I 2 â L i s t a d e E x e r c l c i o s
1) Justifique porque è verdade que
a) 2 ^ b) 0 G
(2,5)]
(2,5) , (5,2)
c)^a,cj U 1^(3,^)î (c,d).
2) Se A tem 4 elementos e B tem 5 elementos ,quantos elementos tem;
a )
A x B
b )
B x A
c )
A x A
d )
B x B
?
3) Se AxB tem 18 elementos,quantos elementos poder ter A? e B? 4) Responda as mesmas perguntas do exercxcio anterior quando AxB
t e m 1 5 e l e m e n t o s .
5) Seja A= [l,4,8,16_
a ) E f e t u e A x A
b) Quai ê o conjunto R determinado por" é o dobro de..,,.
I l 9 • • • • c) Faça um diagraaa de R. 6 ) D a s r e l a ç o e s : a ) " t e v e o m e s m o p a l q u e " n o c o n j u n t o d a s p e s s o a s d e s u a c i d a d e ; b ) " é p a l d e " n o c o n j u n t o d a s p e s s o a s d e s u a c i d a d e ; c ) " è p a r a l e l a " n o c o n j u n t o d a s r e t a s d e u m p i a n o ;
d ) " é p e r p e n d i c u l a r . " n o c o n j u n t o d a s r e t a s d e u m p i a
n o ;e ) " é d i v i s o r d e " n o c o n j u n t o A = 11 , 2 , 3 5 4 , 5 , 6
f ) " e s t a n a m e s m a c l a s s e q u e " n o c o n j u n t o d o s a l u n o s d e u m a e s c o l a ; g ) " . . . p o rb ) " é m a i o r q u e " n o c o n j i i n t o I N , q u a i s s â o r e f l e x i v a s ?
quais sâo sinétricasîquais sao transitivas?Quais sâo as rela
ç ô e s d e e q u i Va l e n c i a ?
7) Dada a relaçao em '•••••,e.«divididos por 3 deixam o mes
m o r e s t o " " "
a) Faça um diagrama sagital de iN
b) De a partiçao de IN determinada por essa relaçâo.
8) Ê falsa ou yerdadeira a afirreaçâo:"Era um conjunto E podera estar
definidos varias relaçoes de equivalencia,cada uma delas
deter-E i n a n d o u m a p a r t i ç a o d e deter-E " ?
9) De as propriedades da relaçâo" x é divisor de y" em|N .
10) De as propriedades da relaçao" x e multiplo de y" em |N .
. . . d i v i d i d o p o r 2 , d e i x a o m e s m o r e s t o q u e . d i v i d i d o 2 n o c o n j u n t o [ N
C u r s o d e n a t e m â t i c a p a r a P r o f e s s o r I L i s t a d e e x e r c l c l o s 1 - D e c i n c o r e p r e s e n t a ç o e s d i f e r e n t e s d o n u m é r o c i n c o . 2 - D e c o m p o n i i a s e g u n d o a s p o t e n c i a s d a b a s e : a - 5 3 5 b -c - 2 5 0 5 d -e
-(1^)5
f -s -(10)^
2 h-(1001)2
5- (1541)^ e 221 sao representaçoes de uni mesmo numéro? Por qu'a?
C o m p l e t e o s e g u i n t e q u a d r o : B a s e d e s B a s e c i n c o B a s e d o i s 1 0 a o l 0 l O 1 4 1 no ^ S i 0 o O W a . \ 1 0 1 1 2 3 U O A q ^ 1 0 1 1 1 0 1 5 - C o m o t e r m i n a m o s n u m é r o s p a r e s n o s i s t e m a d a b a s e 2 ?
5- De na base très o antecessor e o sucessor dos seguintes nurn^
r o s :
l O o O m m \ o o ^ ? ? i ? 2 . ^ - 2 O \ z z . 2 ? q o q z ^ o o ^ 2 . 2 l z z - m o n o t o o o I ? ? p p A o o o o
7 - O r d e n e o s s e g u i n t e s n u m é r o s e s c r i t o s n a b a s e d o i s : 1 1 1 0 , 1 1 0 1 , 1 0 , 1 0 0 0 0 , 1 1 1 , 1 0 1 1
8- 200 e a representaçâo de que n^ero ?
•\ a ) ' n a b a s e t r è s ? = z K . h ' b ) D l i a b a s e q u a t r e ? - 1 ^ c ) ' m b a s e c i n c o ? ^ ^ d ) > i a b a s e s e i s ? e ) b a s e s e t e ?
9- u) Quai e o mener numéro de très algarismos na base seis?
b) Quai e o maior numéro de dois algarismos na base seis?
c) Quai e o maior numéro de quatre algarismos na base seis?
A
Para cada un, de duas representaçoes: na base seis e na ba
s e d e z .
q
5 Ç .
u )
^
5
2 . S C T i - ' C ' - / . ' ' i . s i ' - i . ' , ; • T . . . " ■ • " - v " ' " " ' , • • ' • / " S C " ' . ' : C C M o f ; M C I : " i Ï Î C A [ : - A ' c A : - A i j C / , { ( : i > C . A ; i C . A : ■ 3 " . ' . . 5 . I J i i A o c o ' i i p o s i c ^ o . A : - M x r ^ j v o - r s p - " , ' . ■ ' s ; ; C . O ; . T I ù ' - J C e f i S C r ' 3 . - C - i C . - r - . C f ; - v . , - ; r \ . - J n v ^ r - b ^ r o - ' i ; > i . - • • : ? j - î _ _ _ i ' r 5 . . _ . A A A / 5 . P o r ' H i c ^ c î o i : 5 i i A r : c : . " s ï ï o p r A . . - i / î . s : V
6. So 0 co.Mjrji'co r]n:i; ,;û"A.-.iT..,î.o."» J.e v;-.' o c- p-V:.'-:-•
•>--q v. o e s i X Q : > . u i r. e T C e Î . - H : : o r o Y . p / ' "
7 . 0 I i i n o k . s i n f . n i A i c a - i : • - n , / S ?
S. Para 0 par de iidsioro^ ':acJ.o:-i.?.is (OfAj-3, do a sua A.ViAii "'' ]A
d u i ' c o .
9v Ki-)tre cue iiUircros; iiacurais e-stâo locaAl;iados oa nû.-.tirros :
- 1
b )
4 -
- )
/ . »
2 H " T "
10. Por cfue a prcprAedad-r da nultiplicacao cojp.io^Mv'a c :r.c ';A\/.;v-c-i' do Hleîïiento inveruo r-ultiplicativo* una o va.liida p .ro m tu-I".:; v-: c a o d e f i j i i d a n o C o a l u n t o d o s Î i u î n e r c i î M a t v ^ T l a ?
a
d U u . \ ^ A ^
•
X A ) 3 1 1 2 - 0 5 C > oI ^ 1>./
^n.XX'-.aa-o . ^SE:CR£ÏARJ.« DE ESTADO DA EDUCAÇÏÏD - SKO PAUCO
CODRDEWADGRÎA DE ESTUDOS E fiiOFïF-îAS PEDAGÔGÎCAS
UFJÎVERSÎDAOE
• i N S T Î T U T E o u D £ PA R TA M E i \ I T D
P r o j e t O î O p a c i t a ç Q o c i a F î e c u r s o s H u m s n o s p a r e o E n e i n o d © 1 2 G r a u
^ J o ^ J e d o C u r a o ;
A V A L I A Ç ^ O
An término c-nGt© curso, quersmon que voce reflifcs e coioqus un para céda a.ltarnatxija que correaponda à sua opiniaoc
K Quantc n urqaniïsgîîiï do cureOy yoc© coneiderou comc satîsratorioi S i m K ^ â o E m p a r t e a ) t e r : p r j r i e d u r a ç a t i d o c u r s o ( ) ( ) ( ) b ) c o fi d l g o a s o r o c u r s o s a m b i a n t s i e ( ) ( ) ( ) c ) a a s u r r ; ' 3 s s c o l h x d o { ) ( ) ( ) d ) s a c l î S n n i s d s p i - c y r s m a o a o { ) ( ) ( ) a ) m a t a r x Q l a i n a t r L i c i o o a i a u t i i i s a d o s ( ) ( ) ( ) Outras obsfjrvsçoQS r 7 . 9 Q u e n t o fi a t e c n i c a s u t i i i r a d a o n o c u r s o , u o c s o o n e i d o r a u c o m o a d e q u e d o s : S i m W a o E m p a r t e a) ©ulî eî:po3itlva ( ) ( ) ( )
b) tra.n£2hrî3 eut grupo
( ) ( ) ( )c) pninel ( ) ( ) ( )
d) loi-ura: (individiisi ou sm grupo)
{ ) ( ) ( )Outras obiiervacoeo :
0 deoenpsrho do(s) tic:cDPTto(s) durante o c u r s o c a r a c t e r i z o u• s © p e l a
S i m r j 0 o E m p e r t e
a) linçjuarem clara n objstive
( ) ( ) ( )b) dispo nibiliderio om osclarscsr duviclas( )
( ) ( ) c) adopao cJg uma li ns coarsnte de ©çaop s r e c n n d u z i r o s û r a b a l h o e ( ) ( ) ( )
d) assistancia cong ^unte aos particips^^
t S 3 { ) ( ) ( )
e) adaquapiîo des in-tsriasgoos â Pinollde^
d e C O c u r s o ( ) ( ) ( )
î T é o s G u b c o î r i u ï i t o s d e { 0 ^ 3 - 0 , 2 0 }
S c ï i d o A = { 0 , [ 1 } } , a s s i a s 5 . e V » a s s e n t e n t j a s v e r c j ? d o i r a s , ? a s s e i ^ t e n ç a s f a i s a s :
0 £ A î 0 } £ A ? e A { I l s A 0 C A { 0 } C A i C A { 1 } C A
Ue a deco7i>posiçao do jiûVioro 3847,se^-urtdo as potsncias dn hase.
D e o i ^ n t e c e s s o r e o s ' o c o s s o ) * d e c a d a u n c l o s n u m é r o s n a b a s e o r r ' . i - , r o .
3 0 0 . 1 2 5 ^ 3 : 5 3 5
Porque dois nuîiieros pi-inos sao prinos entre si?
S e o c o n j u n t o d o s n u l t i p l o s d e u n n u n e r o g p c ? d e m o s c o n c i u i r que esse numéro ê igual a zero? Per que?
fv
0 q u e s i g n i fi e s a i g n a i d a d e ^
Para o par de mineros 'racionais (0,-^)j dê a sua soma g o sc-u
pro-d u t o .
Entre que numéros naturals estâo localizados os nuineros:
K - » 7 2 S 1 . 1 2
a )
- y
b )
c )
d )
P o t q u e a p r o p r i e d a d e d a n u l t i p l l c a ç a o c o n h e c i d a c o n o " H x i s t e n c i a d e E i e n e n t o i i i v e r s o n u l t i p ' l i ç a t i v o ' n â q é v a l i d a p a r a a m u i t i p l i c a
F 1 : 5 . 1
CURGO DK r/IATEPL^TICA PARA PROFKGGOR I
3 - L i s t a d e e x e r c i c i o
c - ( a , a ) — ^
d - b + 1 2 - C o m p l e t e p a r a m u l t i p l i c a ç a o : a - 2 1 b - ( a , a )c - ( b , . . . ) - ^ b
5- Nas seguintes igualdades, dizer qual è a propriedade que
s e n d o e m p r e g a d a -a - 3 + ^ 9 = ^ 9 + 3 b- (4+4) + 90= 4+4(4+90) c- (2x40) X 784 = 2 X (40x734) d ^ 9 X ( 1 0 + 4 ) = ( 9 X 1 0 ) + ( 9 x 4 ) e - 9 0 X 1 0 8 4 = 1 0 3 4 x 9 0
4- Sendo a » b e £ numéros naturals quaisquer, dizer quais ex
p r e s s o e s a b a i x o s a c f a l s a s e q u a i s s â o v e r d a d e i r a s # a- (a + b) + c= c + (b + a)
b- (a X b) + a = (à x à) + (b x a)
c- (a + b) X b = (a X b) + ( b x b ) d- (a.+ 0) X b = a X b 5 - C o m p l e t e c o r r e t a m e n t e ; a- 3-2 = 1 porque 1+2 = b- x-0 = X porque x+0 = c- 1000:100= 10 porque 10x100 d- Se X 0, x:x= 1 porquee- Se y:=^Oj 0:x= 0 porque
6- A subtraçao goaa da propriedade comutativa?
E a divisao? Por que? 7- Determine o valor de x: a - x - 3 « 6 b - 2 1 - x = 8 c - x , S = 2 1 6 d - 0 + x = 0 e - x - 0 = 0 P - 0 , x = 0 6 - 0 : x = 0
F i s . 2
8- Sabendo- se que o conjunto A tem 18 eleraentos, o conjunto B
"tea 25 eleaentos e que AOB tea 50 eleaentos, dar o numéro
d e e l e m e n t o s d e A O B .
9- Sabendo- se que o conjunto A tera 11 elementos, 3 tem 15 ©le
mentos e AU B tem 26 elementos, dar o numéro dos elementos
d e A O B .
10- Sabendo- se que A tem 13 elementos, B tem 11 e que AUB tem
15 elementos, dar o numéro de elementos de AHb.
11- Um numéro é igual a um multiple de 17 aumentado de 12. Quai
e o r e s t e d a d i v i s a o d e s t e n u m é r o p o r 1 7 ?
12- De G- conjunto dos multiples de 2.
15- Quantos multiples tera um numéro dl.ferente de xero? 1^- De o conjunto dos divisores de 48.
15" a e multiple de b e b é multiple de c , a é multiple de
ç ? ■
16- De 03 divisores comuns de: a - 5 2 , 2 4 e 4 0
b - 0 e 9
17— Dois numeroa primes sac sempre primes entre si? Por que?
18— Dois numéros priraos entre si sâo necessariamente primos?
CUESO D3 Î,1ATSÎÏIATICA PARA. PROFESSOR I 3 - L i s t a d e e x e r c i c i o s 1 - a . S e — e n t i o m = . . . . 5 1 5
"b. Se 1 X 15 = 5 X 3, entao: ^
• • •c. Se f\J ° , entâo a x.. = b x....
b d 2 - D e m a i s 5 r e p r é s e n t a n t e s d a s e g u i n t e c l a s s e d e e q u i V a l e n c i a : 1 2 . 5 — ï »)
1 4 2 1 ■ r a ç ô e s . 8 4 0 - 7 3 5 ^ 3 - P r o v e , q u e a s f r a ç o e s - i - e p e r t e n c e m a m e s m a c l a s s e d e e q u i V a l e n c i a :Dadas as fraçSes: i22-, A, 11, i-, i-, 11 ^ diga
7 2 2 0 3 7 â 3 0 0 . 1 5 5 0 q u a i s d e l a s r e p r e s e n t a m o m e s r a o n u m é r o r a c i o n a l .
5 - E s c r e v a a c l a s s e d e e q u i v a l e n c i a d a q u a i u m r e p r é s e n t a n t e é
a fraçâo ^
5
6- 0 mesmo para a fraçao ^
4 0 7 - D e t e r m i n e : a . a f r a ç â o é q u i v a l e n t e a ~ d e d e n o m i n a d o r 5 0 2 ~ 1 6 b . a f r a ç â o é q u i v a l e n t e a d e d e n o m i n a d o r 6 . 3 2 c . a f r a ç â o é q u i v a l a n t e a d e d e n o m i n a d o r 2 0 . 2 0 C o m p l e t e p a r a q u e s e t e n h a i q u a l d a d e e n t r e n u m é r o s r a c i o n a i s
a .
- 1
=
^
c .
^
=
1
5 1 0 8 2b . 2 1 ^ 3
~
y
d .
1
=
1 ?
5 X 9 - C o n s i d é r é o s i ) a r e s d e n u m é r o s r a c i o n a i s e v o r i f i q u o q u a i s s a i q u a i s e q u a i s o â o d i f e r e n t e s :a .
1 -
e
y
c .
y
e
1 _
3 6 5 5b .
_ y
e
_ 1 _
d ;
1
e
y
5 5 ^ 8 1 0 , S â o v e r d a d e i r a s o u f a l s a s a s s e g u i n t e s a f i r m a ç o e s : 3 / T . 9 n . . A / 2 _f T L s ^ . C ^
e .
— 5
=
- 2
f .
! t
=
^
1 6 4 8 9 3 1 1 . D e : a . d o i s n u m é r o s r a c i o n a i s m a i o r e s q u e — " 9 b . d o i s n u m é r o s r a c i o n a i s m e n o r e s q u e « 212. Golocar o sinal conveniente ^ ou = ), de maneira a
o b t e r s e n t e n ç a s v e r d a d e i r a s :
. 3 1 '
. 2 3
a . c l . — • » « —v
v .s
. »9
a .p
e . •5
• •8
1 5 2 ^ 7c i
i
f .
5
1
2 4 8 4 1 3 » E n t r e q u e n u m é r o s n a t u r a l s e s t à o l o o a l i a a d o s o s n u m é r o s r a -c l o n a l s 7 5 2 0 5 2 5 p 1 0 0 ^ — J — 9 ) « y » 5 7 3 1 1 ^ 3 1 4 . R e p r e s e n t s n a r a t a n u m e r i c a o s s e g u i n t e s n u m é r o s r a c i o n a i s : 3 4 2 1 1 „ 5 — , — » — y — y — — 2 8 4 4 2 815» Use a definiçâo e complete (para adiçâo)
a .
( I , i ) è . e . ( i , 3 )
3 3 2b .
( l , i )
>
f .
( 1 , 5 2 )
^
5 8 4 1 6c . ( 0 , i ) ^ g . ( a ^ b ) >
3 2 5^
C O ,
£ )
^
2 2 ^ ^16. Paça o exercicio anterior para a multiplicaçao
17, Usando^a propriedade distribuitiva da multiplicaçâo em
re-laçâo a adiçâo calcule :
5 " ( i . i ) =
XV P L 5
b . ( ^ + i ) X ( 1 + 2 . ) =
5 ^ 2 S 1 8 . D e t e r m i n e ( s e p o s s i v e l ) o s i n v e r s e s m u l t i p l i c a t i v o s d o s n u m é r o s r a c i o n a i s ; - , „ t ^ , , 0 ^ 1 0 e ^ — y — y y 5 5 1 9 - C o m p l e t e : a . S e 5 - X = 1 , e n t â o x =b . i x l = . . . .
5 ^ 2 2 c . S e x . ^ = _ , = e n t a o x = d . S e m + , e n t a o m . -4 4 4 e . S e — . x a = 0 , e n t a o a = 5 f . - X 2 = 2 0 . U s a n d o a d e f i n i ç â o , d e t e r m i n a r a d i f e r e n ç a e n t r e ;a .
)
d . (
i
,
£
)
7 8 2 3b .
( 1 , - i )
e . (
3 7
,
3 )
5 8 1 2 4c .
(
9
,
3
)
f . (
,
5
)
3 3 4 121. Représente na reta nimérica os seguintes numéros
ra-c l o n a l 3 :
1 , 1 , i
- L - l e - i
4 ' 2 ' 5 ' 4 4 3
2 2 . D e t r m i n e o q u o c i e n t e d e ;a .
( 1 , 1
)
^
0 .
(
1 ,
i
)
^
2 4 5( 2 , î ) 4 . < i , £ ) ^
2
4 - 3
< 4 .
| )
>
( î , ® )
i
ru9 OH 2 3 » S e ^ a o c o n j u n t o A = r e l a ç â o R " . . . é é q u i v a l e n t e a 1 7 5 2 2 1 3 3 6 — » — y — » — 9 — 9 — ' T " ' " " 7 L 2 5 6 5 ^ 8 6 1 3 J e a a . d e o c o n j u n t o R . b . d e a s p r o p r i e d a d e s d e s s a r e l a ç â o . c . d e a p a r t i ç â o d e A d e t e r m i n a d a p o r R .
24. Seja o conjunto do exercicio anterior e a relaçâo:"o
numera-d o r numera-d e . . . é i q u a l a o numera-d e n o n i n a numera-d o r numera-d e "
a - d e o c o n j u n t o E .
b. faça 0 diagrama da relaçâo
