Fenomenologia do Mecanismo Seesaw Tipo-I
Natal
2020
Fenomenologia do Mecanismo Seesaw Tipo-I
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre em Física.
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Departamento de Física Teórica e Experimental
Programa de Pós-Graduação em Física
Orientador: Farinaldo da Silva Queiroz
Natal
2020
Jesus, Álvaro Santos de.
Fenomenologia do Mecanismo Seesaw Tipo-I / Álvaro Santos de Jesus. - 2020.
92 f.: il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Física, Natal, RN, 2020.
Orientador: Prof. Dr. Farinaldo da Silva Queiroz.
1. Neutrinos Dissertação. 2. Neutrinos de MãoDireita -Dissertação. 3. Mecanismo Seesaw Tipo-I - -Dissertação. I. Queiroz, Farinaldo da Silva. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 539.123
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Agradeço inicialmente à minha família, por tudo que me foi dado e ensinado.
Aos meus pais, Maria Raimunda e Reginaldo, por toda a orientação ao passar dos anos, vocês são uma peça essencial para que eu tenha chegado neste ponto da minha jornada.
Aos meus irmãos, Elvis e Maurício, pela paciência, suporte e cuidado todos esses anos. À minha namorada, Yasmim, por todo o apoio dado durante esse processo, mesmo com a distância.
Agradeço também à todos os meus amigos e colegas do grupo de Física de Partículas e Astropartículas da UFRN, Yoxara, Téssio, Clarissa e Antonio, por todas as experiências e discussões sobre os mais diversos temas.
Agradeço ao meu orientador, Farinaldo, por todo o suporte e discussões que foram primordiais para o desenvolvimento do senso crítico e minha formação como pesquisador.
Agradeço também à CAPES, pelo auxílio financeiro durante o mestrado.
Por fim, deixo meu grande obrigado à natureza, pois seu comportamento, muitas vezes intrigante, faz o trabalho de físico ser tão gratificante e satisfatório.
Os neutrinos são partículas elementares envolvidas em grande parte dos fenômenos da natu-reza, desde processos da física nuclear, tal como o decaimento beta, até problemas em escalas cosmológicas, onde os neutrinos possuem um papel essencial na evolução do universo. Pelo Modelo Padrão da Física de Partículas, os neutrinos são partículas que não possuem massa e de mão esquerda. Entretanto, descobriu-se que os neutrinos são partículas que oscilam entre si, o que é uma evidência direta de que os neutrinos possuem massa, em contradição ao Modelo Padrão. Isto implica na necessidade de que seja feita uma extensão ao modelo para descrever o mecanismo de geração de massa dos neutrinos. Neste trabalho abordaremos o Mecanismo Seesaw Tipo-I, que propõe a geração de massa para os neutrinos através da adição de neutrinos de mão-direita e da suposição que os neutrinos são partículas de Majorana. Apesar de ser um modelo que inicialmente tem como objetivo apenas a geração de massa para os neutrinos, o Mecanismo Seesaw Tipo-I também prediz a existência de eventos inicialmente considerados proibidos pelo Modelo Padrão, tais como processos de violação de número e sabor leptônico. Faremos uma análise das consequências dessa extensão, com o estudo de processos que contém a assinatura dos neutrinos de mão direita, assim como sua fenomenologia proveniente de colisores e decaimentos raros, de forma a obter limites sobre as propriedades físicas dos neutrinos de mão direita.
Palavras-chave: Neutrinos. Modelo Padrão. Neutrinos de Mão-direita. Mecanismo Seesaw Tipo-I.
Neutrinos are elementary particles present on many phenomena in nature, from nuclear physics, such as the beta decay, to cosmology, where neutrinos have an essential role in the evolution of the universe. In the Standard Model of Particle Physics, neutrinos are hypothesized to be massless left-handed particles. However, with the discovery of the neutrino oscillations, it became known that the neutrinos are massive particles, which is direct evidence against the Standard Model. Therefore, there is a necessity for models beyond the Standard Model that can explain how the neutrinos become massive. In this work, we are going to study the Type-I Seesaw Mechanism, which is a model that explains how the neutrinos become massive by adding right-handed neutrinos (RHN) and the hypothesis that neutrinos can be Majorana particles. Even though this is a very simple model to explain the neutrinos masses, it also predicts the existence of several prohibited events, such as lepton flavor violation and lepton number violation processes. To analyze the consequences of the Type-I Seesaw Mechanism, we are going to study processes that have the RHN signature, as well as its phenomenology by using colliders and rare decays, so that we can obtain bounds on the RHN physical properties.
Figura 1 – Gráfico do potencial escalar complexo para o caso µ2 < 0. . . 30
Figura 2 – Diagrama do decaimento beta mediado pelo bóson W. . . 42
Figura 3 – Limites para a matriz de mistura dos neutrinos obtidos pela análise NuFIT 4.1. 49
Figura 4 – Sumário dos limites mais recentes para os parâmetros da matriz PMNS. . . 51
Figura 5 – Diagrama do processo descrito pelo operador de Weinberg para o caso do Mecanismo Seesaw Tipo-I. . . 55
Figura 6 – Diagramas do processo e+e− → N ν`mediado pelo Z (esquerda) e pelo W
(direita), que podem ser observado pelo LEP. . . 65
Figura 7 – Diagramas para o processo u ¯d → N `+→ `+`++ j
1j2, com a presença dos
neutrinos RH. . . 66
Figura 8 – Duas possíveis contribuições referentes ao processo u + u → d + d + l+l+. 67
Figura 9 – Diagrama do processo µ → eγ, envolvendo o neutrino RH. . . 68
Figura 10 – Contribuições envolvendo os neutrinos RH para o processo µ → 3e. . . 69
Figura 11 – Diagrama de Feynman do decaimento beta duplo sem neutrinos. . . 72
Figura 12 – Sumário de limites existentes para o termo de mistura entre o neutrino do elétron e o neutrino RH correspondente. . . 74
Figura 13 – Sumário de limites existentes para o termo de mistura entre os neutrinos do múon (esquerda) e tau (direita) e o neutrino RH correspondente. . . 74
Tabela 1 – Propriedades dos férmions do Modelo Padrão. . . 23
Tabela 2 – Bósons de Gauge do Modelo Padrão. . . 25
Tabela 3 – Limites experimentais no Branching Ratio de diferentes processos de violação de sabor leptônico.. . . 68
Introdução . . . . 15
1 O MODELO PADRÃO DE FÍSICA DE PARTÍCULAS . . . . 17
1.1 Partículas Elementares do Modelo Padrão . . . 19
1.1.1 Férmions do MP . . . 19
1.1.2 Bósons de Gauge do Modelo Padrão . . . 22
1.1.3 Bóson de Higgs . . . 25
1.2 Invariância de Gauge . . . 26
1.3 Quebra Espontânea de Simetria . . . 28
1.4 Mecanismo de Higgs . . . 30
1.5 Setor Eletrofraco do MP . . . 32
1.5.1 Invariância de Gauge no Setor Eletrofraco . . . 32
1.5.2 Massa dos Bósons de Gauge do Modelo Eletrofraco . . . 33
1.5.3 Massa do Bóson de Higgs . . . 37
1.5.4 Lagrangiana de Yukawa e a massa dos Férmions do MP . . . 38
1.5.4.1 Massa dos Léptons Carregados . . . 38
1.5.4.2 Massa dos Quarks . . . 39
1.5.5 Correntes do Setor Eletrofraco . . . 41
1.5.5.1 Corrente Carregada . . . 42
1.5.5.2 Corrente Neutra . . . 44
2 INTRODUÇÃO AO MECANISMO SEESAW TIPO-I . . . . 47
2.1 Neutrinos são partículas massivas? . . . 47
2.2 O Problema da Ordenação da Massa dos Neutrinos . . . 49
2.3 Massa dos Neutrinos . . . 52
2.4 O Mecanismo Seesaw Tipo-I . . . 55
3 FENOMENOLOGIA DO MECANISMO SEESAW TIPO-I . . . . 61
3.1 Limites do LHC e LEP sobre os Neutrinos RH . . . 63
3.2 Processos de Violação de Sabor Leptônico. . . 67
3.3 Decaimento beta duplo sem neutrinos . . . 70
3.4 Sumário de limites referentes aos neutrinos de mão direita . . . . 73
4 CONCLUSÃO . . . . 77
APÊNDICES
87
APÊNDICE A – INFORMAÇÕES ÚTEIS . . . . 89
APÊNDICE B – FUNÇÕES DOS BRANCHING RATIOS PARA OS DECAIMENTOS DO MÚON . . . . 91
Introdução
Desde a Grécia antiga, com a criação do conceito dos 4 elementos; fogo, terra, vento e água para descrever a composição da natureza de forma simplificada, nota-se a curiosidade de entender a composição do mundo que vivemos. Com o passar dos séculos, os 4 elementos se tornaram átomos indivisíveis, que depois se mostraram divisíveis, com a descoberta dos elétrons e núcleo atômico. Após isso, descobriu-se que o núcleo atômico é novamente uma estrutura composta, sendo formada por prótons e nêutrons, que subsequentemente são formados pelos quarks e glúons.
O ramo do conhecimento responsável por esse estudo compreensivo da estrutura elemen-tar da natureza é a física de partículas. No século XX, tornou-se necessária uma mudança na descrição dos fenômenos observados, devido ao fato de que foi possível observar fenômenos em escalas microscópicas cujo comportamento não era possível de ser explicado com as teorias vigentes, o que resultou no desenvolvimento da mecânica quântica. O mesmo ocorreu para os fenômenos em altas velocidades, onde a mecânica Newtoniana se mostrou incapaz de descrever esses fenômenos, resultando no desenvolvimento da relatividade especial. Como uma forma de unir esses dois campos, foi desenvolvida a teoria quântica de campos, o que tornou possível a descrição de fenômenos envolvendo partículas subatômicas no regime relativístico.
Com o passar dos anos, diversas teorias foram apresentadas para descrever a estrutura da natureza, mas o modelo mais bem sucedido na descrição dos fenômenos envolvendo as partículas elementares da natureza é conhecido como Modelo Padrão de Física de Partículas (MP). O MP foi (e ainda é) extensivamente testado e comprovado nos mais diversos processos envolvendo as partículas elementares, possuindo um alto nível de preditividade e precisão experimental. Porém, apesar de descrever diversos processos de forma precisa, o modelo padrão ainda não é uma teoria completa. Isso se deve ao fato do MP não ser capaz de conseguir descrever alguns fenômenos, tais como a geração de massa dos neutrinos e a matéria escura, que possui diversas evidências a favor de sua existência, apesar de nunca ter sido observada diretamente.
Os neutrinos são partículas elementares cuja dinâmica e interações com as outras partí-culas elementares são bem descritas pelo MP. Contudo, com a descoberta de que os neutrinos realizam oscilações entre seus sabores de interação, os neutrinos devem ser partículas massivas, o que não é previsto pelo MP. Assim, torna-se necessária uma expansão ao Modelo Padrão para o desenvolvimento de um mecanismo de geração de massa dos neutrinos, pois o fato dos neutrinos serem massivos é a única evidência concreta até o momento de que o MP não é uma teoria completa. Neste trabalho, será feito um estudo sobre uma das possíveis extensões do MP para explicar a massa dos neutrinos.
Padrão de Física de Partículas no Capítulo1, onde serão abordados os aspectos mais importantes do modelo. Visando compreender os aspectos referentes à oscilação e geração de massa dos neutrinos, de forma a obter uma motivação do porquê existe a necessidade de uma expansão ao MP, no Capítulo2será feita uma introdução à uma das extensões mais simples do MP que pode gerar massa aos neutrinos, conhecido como Mecanismo Seesaw Tipo-I. No Capítulo3, será feito um estudo da fenomenologia resultante da extensão do MP gerada pelo Mecanismo Seesaw Tipo-I, considerando diversos aspectos experimentais e teóricos, como experimentos em colisores e decaimentos raros, de forma que será possível observar que, apesar de se tratar de uma extensão simples ao MP, o Mecanismo Seesaw Tipo-I possui uma rica fenomenologia, sendo capaz de abrir portas para diversos processos antes considerados proibidos.
1 O Modelo Padrão de Física de
Partí-culas
No século XX, com a ascensão da mecânica quântica, o estudo dos processos em escalas microscópicas se tornou essencial para a descrição dos fenômenos observados na natureza. Um dos processos mais importantes da época foi o decaimento beta, o qual consiste no decaimento de um nêutron e são observados como resultado um próton e um elétron. Porém, viu-se que o espectro de energia do elétron emitido é contínuo e que a energia total do processo não era conservada, o que levou Wolfgang Pauli a postular a existência de uma terceira partícula resultante do decaimento, denominada neutrino (PAULI,1934) (depois descobriu-se que essa partícula se trata de um anti-neutrino).
Baseando-se na QED (Eletrodinâmica Quântica) e no postulado de Pauli, Enrico Fermi propôs que o decaimento beta fosse uma interação envolvendo 4 férmions (FERMI,1934). A teoria de 4 férmions de Fermi foi aplicada para descrever os mais diversos fenômenos, sendo considerada o primeiro passo para a criação de um modelo para a interação fraca entre as partículas elementares conhecidas na época. Contudo, a teoria de Fermi se mostrou incompleta, havendo problemas de unitariedade na seção de choque dos processos. Contudo, apesar de incompleta, a teoria de Fermi foi essencial para a criação de modelos posteriores, pois a partir dela se observou a necessidade da introdução de partículas mediadoras para os processos, hoje conhecidos como bósons de gauge, para solucionar os problemas de unitariedade, dando início à criação do Modelo Padrão de Física de Partículas.
O Modelo Padrão de Física de Partículas (MP) é o resultado da combinação dos conceitos de Teoria de Grupos, Quebra Espontânea de Simetria e Invariância de Gauge. O MP é um modelo extensivamente testado e bem-sucedido na descrição de fenômenos envolvendo partículas elementares da natureza, ou seja, partículas que não possuem estrutura interna. A descrição desses fenômenos se dá com a introdução dos mediadores, com todas as partículas interagindo entre si com seu auxílio, o que tornou possível a descrição com grande precisão dos processos que envolvem as interações fraca, forte e eletromagnética. Até o determinado momento, não se tem uma teoria quântica para a interação gravitacional.
Como supracitado, o modelo padrão é baseado em teoria de grupos, havendo diversas ten-tativas para a descrição dos fenômenos físicos a partir da utilização de grupos de transformações conhecidos na literatura, onde seus geradores são conectados com os mediadores das interações da natureza. Uma delas é a interação eletromagnética, descrita através do grupo U (1)EM pela
QED, cujo gerador é relacionado com o fóton. A QED é uma das teorias mais bem sucedidas da física, sendo capaz de obter resultados teóricos compatíveis com o observado em laboratório com alta precisão, o que se tornou uma evidência de que a descrição de fenômenos físicos a
partir de teorias de grupos é um caminho promissor.
O modelo padrão foi desenvolvido com o objetivo de descrever as interações da natureza, porém não realiza essa descrição de forma unificada. Uma tentativa bem sucedida foi a unificação em um mesmo grupo de simetria de gauge das interações fraca e eletromagnética, através do grupo SU (2)L⊗ U (1)Y, também conhecido como modelo eletrofraco, que será tratado
poste-riormente. Baseando-se no sucesso do modelo eletrofraco, foram propostos diversos modelos para a descrição das interações forte, fraca e eletromagnética a partir de uma mesma simetria de gauge conhecida, tais como os modelos baseados nos grupos SO(10) e SU (5) (CHANOWITZ; ELLIS; GAILLARD,1977;GEORGI; GLASHOW,1974), porém ainda não há confirmação da compatibilidade desses modelos com o observado na natureza, devido ao fato das teorias de unificação se originarem em escalas de energia atualmente inalcançáveis experimentalmente.
A estrutura do modelo padrão é baseada no grupo de simetria de gauge local SU (3)C⊗ SU (2)L⊗ U (1)Y,
onde dos grupos contidos na simetria de gauge do MP, o grupo SU (3)C é correspondente às
interações fortes, que afetam apenas as partículas que possuem carga de cor (quarks e glúons), representada pelo subscrito C. O grupo SU (3)Cpossui 8 geradores e consequentemente 8 bósons
de gauge, denominados glúons, que também possuem cor, o que se deve ao fato de SU (3) ser um grupo não abeliano, de forma que os glúons interagem entre si.
O grupo SU (2)L⊗ U (1)Y representa a descrição em uma mesma simetria de gauge
das interações eletromagnética e fraca, também sendo conhecido como modelo eletrofraco. Esse grupo possui 4 geradores e consequentemente 4 bósons de gauge que são combinações desses geradores, 3 provenientes do grupo SU (2)L e um de U (1)Y. Os subscritos L e Y são
referentes à helicidade das partículas que possuem isospin, que é a carga do grupo SU (2)L, e à
hipercarga, respectivamente. O subscrito L representa as partículas de mão esquerda (left-handed). A helicidade é uma característica referente à relação entre a direção do spin com o momento linear da partícula, enquanto a hipercarga é a carga do grupo U (1)Y, dependente da carga elétrica
e do isospin, definida de forma que a carga elétrica seja conservada após a quebra espontânea da simetria do modelo eletrofraco para o eletromagnetismo SU (2)L⊗ U (1)Y → U (1)EM.
Após a quebra espontânea de simetria, os bósons de gauge do modelo eletrofraco para as interações fracas são Wµ±e Zµ, onde os mediadores Wµ±agem apenas em partículas que possuem
isospin, sendo responsável por mediar os processos que envolvam as correntes fracas carregadas, como o decaimento beta, e Zµage em todas as partículas do modelo padrão, mediando o setor
neutro das interações fracas, cuja existência foi uma das predições do MP. O último boson de gauge, Aµ, representa o fóton, mediador da interação eletromagnética, que atua em todas as
partículas que possuem carga elétrica.
O modelo das interações eletrofracas é conhecido como modelo de Glashow-Salam-Weinberg, onde Glashow descobriu que era possível alocar os dois tipos de interação no grupo
de simetria SU (2)L⊗ U (1)Y (GLASHOW,1961), enquanto Salam e Weinberg (SALAM,1968;
WEINBERG,1967) desenvolveram independentemente um sistema para a geração da massa das partículas, atualmente conhecido como mecanismo de Higgs, que tem como peça principal um bóson escalar que desenvolve um valor esperado de vácuo não nulo, conhecido como bóson de Higgs.
Deve-se enfatizar que o modelo padrão não é uma teoria unificada das interações forte, fraca e eletromagnética, o que apenas seria válido caso fosse possível encontrar um grupo de simetria de gauge maior do que o do MP, de forma que, após a quebra de simetria desse modelo unificado, o grupo de simetria do modelo padrão seja a simetria remanescente.
1.1
Partículas Elementares do Modelo Padrão
O MP é baseado no estudo da interações das partículas elementares da natureza, de forma que existem 4 grupos de partículas elementares: léptons, quarks, bósons de gauge e o bóson de Higgs. Os léptons e quarks são os férmions do modelo padrão, ou seja, partículas cujo spin é semi-inteiro, enquanto os bósons de gauge e de Higgs são partículas que possuem spin inteiro, com os bósons de gauge sendo bósons vetoriais e o Higgs sendo uma partícula escalar.
As partículas do modelo padrão possuem diversas propriedades, também chamadas de cargas, tais como carga elétrica, carga de cor e isospin. O fato das partículas possuírem essas propriedades resultam na existência de interações com os mediadores relacionados com essas propriedades e representações sobre o grupo que descreve essas interações. No caso do isospin, todas as partículas de mão esquerda do modelo padrão o possuem, logo podem ser descritas na representação fundamental do grupo SU (2)L, que é uma matriz 2 × 1 e interagir com os
bósons de gauge W± e Z, participando de todos os processos envolvendo a interação fraca. Enquanto isso, as partículas de mão direita não possuem isospin, logo não podem ser descritas pela representação fundamental de SU (2)L, sendo singletos do grupo. Porém, devido ao fato de
possuírem hipercarga, elas podem participar das interações fracas a partir da interação com o bóson Z. O mesmo é válido para as partículas que possuem carga elétrica e carga de cor, que participam das interações forte e eletromagnética e podem ser descritas como elementos dos grupos U (1)EM e SU (3)C, respectivamente.
1.1.1
Férmions do MP
Os férmions são partículas de spin 1/2, de forma que devem obedecer a equação de Dirac, cuja densidade lagrangiana1para um férmion ψ de massa m é dada por
Lférmions = ψ(iγµ∂µ− m)ψ , (1.1)
onde γµsão as matrizes de Dirac, que podem ser escritas a partir das matrizes de Pauli e da matriz
identidade, como pode ser visto no ApêndiceA. Na lagrangiana de Dirac, o primeiro termo envolvendo a derivada do campo é chamado de termo cinético, enquanto o termo envolvendo a massa do campo é denominado de termo de massa, cujas especificidades serão vistas no decorrer do capítulo.
Além disso, os férmions podem ser descritos a partir de suas componentes de helicidade, ou seja, a relação da direção entre suas projeções de spin e momento linear, podendo ser de mão direita (right-handed) ou mão esquerda (left-handed), onde a projeção do spin está na mesma direção ou na direção contrária à do momento, respectivamente. Dessa forma, como a princípio os férmions podem ser tanto de mão direita quanto de esquerda, podemos escrever os campos como combinações das projeções de ambas as helicidades,
ψ = PLψ + PRψ = ψL+ ψR,
onde PR,Lsão os operadores de projeção de spin, dados por:
PR,L=
1 2(1 ± γ
5).
(1.2) A matriz γ5depende das matrizes de Dirac γµ, que também pode ser vista no ApêndiceA.
A necessidade da descrição dos férmions em função da helicidade se tornará visível quando analisarmos o setor eletrofraco do MP, pois as interações fracas violam paridade, como observado por diferentes fontes (LEE; YANG,1956;FRIEDMAN; TELEGDI,1957). A violação de paridade indica a existência de uma preferência na natureza de uma das projeções de helicidade das partículas na corrente fraca carregada (que é mediada pelo bóson W±), onde observou-se que essas interações ocorrem apenas entre os férmions de mão esquerda.
Os férmions do modelo padrão são divididos em duas classes: léptons e quarks. Os léptons e quarks são divididos em famílias, baseando-se na ordem de sua descoberta e interações. Ambas as classes possuem 3 famílias, como pode ser visto nas Equações (1.3) e (1.4), onde as componentes de mão esquerda de mesma hipercarga podem ser agrupadas em dubletos de SU (2)Le as componentes de mão direita são singletos.
Os léptons são partículas elementares e podem ser divididos entre os léptons carregados, com carga elétrica Q = ± 1, e os léptons neutros. O primeiro lépton observado foi o elétron em 1897 por J. J. Thomson (THOMSON,1897), com o estudos dos raios catódicos. Os elétrons são conhecidos por fazerem parte de toda a matéria da natureza, sendo encontrados na eletrosfera dos átomos da natureza.
Depois do elétron, descobriu-se a existência de um novo lépton carregado, denominado múon. O múon é uma partícula similar ao elétron, porém mais massivo. Foi descoberto em 1937 por Carl D. Anderson e Seth Neddermeyer, durante o estudo da interação dos raios cósmicos na atmosfera (NEDDERMEYER; ANDERSON,1937). O terceiro lépton carregado é o tau, que assim como o múon, possui características similares ao elétron, sendo mais massivo do
que o múon. A primeira evidência da existência do tau foi observada em 1975, no estudo de experimentos de aniquilação e+e−(PERL et al.,1975).
Assim, existem 3 léptons carregados, denominados elétron, múon e tau, que são partículas massivas. Contudo, também existem os 3 léptons neutros, que são seus respectivos neutrinos, νe, νµe ντ. Como citado anteriormente, o neutrino do elétron foi inicialmente suposto por Pauli
como uma forma de garantir a conservação da energia no decaimento beta, porém devido ao fato de ser uma partícula que interage fracamente com a natureza, apenas foi observado em 1956 (COWAN et al.,1956).
Diferentemente do neutrino do elétron que pode ser observado no decaimento beta, os neutrinos de outras famílias são mais difíceis de serem detectados, visto que não existe matéria formada por múons e taus. Por conta disso, o neutrino do múon νµ foi observado apenas em
1962 com o estudo dos decaimentos dos píons (DANBY et al.,1962), enquanto o neutrino do tau ντ foi observado em 2000, pela colaboração DONUT (Direct Observation of the Nu Tau), no
Fermilab (KODAMA et al.,2001).
No MP, os neutrinos são partículas de mão esquerda, o que é consequência dos estudos do decaimento beta e por não ter sido observado um neutrino de mão direita na natureza. Pelo fato de todos os férmions do MP serem férmions de Dirac, é necessário que possuam ambas as helicidades para que sejam massivos, o que faz com que os neutrinos não sejam massivos, pois seria necessária a existência da componente de mão direita. Porém, não há nenhuma razão teórica ou experimental de que os neutrinos de mão direita não existam, sendo uma possível adição ao MP.2A classificação das famílias dos léptons pode ser observada na Equação (1.3).
νe e L , νµ µ L , ντ τ L , eR, µR, τR | {z } léptons . (1.3)
Os quarks são partículas massivas de carga elétrica fracionária que constituem o interior dos hádrons, tais como o próton e o nêutron. Além disso, possuem isospin, hipercarga e cor, participando em todas as interações descritas pelo MP. Uma outra característica interessante dos quarks é que nunca é possível observar um quark sozinho na natureza, o que é uma característica da natureza da interação forte, sempre sendo encontrados em grupos de 2 ou 3 quarks.3
Em 1961, baseando-se na teoria budista do "Eightfold Way", Gell-Mann (GELL-MANN,
1961) propôs o grupo de simetria SU (3) para explicar os processos mediados pela interação forte, onde ele dividiu os hádrons conhecidos na época, também conhecido como zoológico de partículas, em duas classes, hoje conhecidas como bárions e mésons, que seriam formadas por 3 e 2 subpartículas, respectivamente. Em 1964, Gell-Mann e George Zweig (Gell-Mann,1964) e
2 Descobriu-se em 1998 (FUKUDA et al.,1998;AHMAD et al.,2002) que os neutrinos oscilam entre si, de forma
que eles devem ser massivos, o que é uma evidência direta de que o modelo padrão deve ser estendido.
(ZWEIG,1964) propuseram independentemente que era necessário que essas subpartículas, hoje denominadas quarks, deveriam possuir carga elétrica fracionária −13 e +23.
Após isso, com os experimentos de espalhamento inelástico elétron-próton realizados pelo SLAC e outras colaborações, foram obtidas evidências de que de fato os prótons possuem uma estrutura interna, como proposto por Gell-Mann e Zweig. Essas partículas que formam os prótons foram identificadas como sendo os quarks up (u) e down (d), que atualmente são conhecidas como os quarks de valência dos prótons e neutrons. No modelo proposto por Gell-Mann, além dos quarks up e down, também existiria o quark estranho ou strange (s), necessário para explicar a existência de hádrons "estranhos"identificados em laboratório.
Com o passar dos anos, a existência de apenas 3 quarks se mostrou insuficiente para explicar os fenômenos envolvendo o decaimento dos hádrons, de forma que (GLASHOW; ILIOPOULOS; MAIANI,1970) propuseram a existência de um novo quark, denominado charme ou charm (c). O quark charm foi detectado em 1974 pela colaboração SLAC (AUBERT et al.,1974). Entretanto, para solucionar anomalias no MP, percebeu-se que era necessária uma terceira família de quarks, formada pelos quarks top (t) e bottom (b), que foram descobertos posteriormente por experimentos do Fermilab (ABE et al.,1995;HERB et al.,1977).
Assim como os léptons, os quarks podem ser divididos em famílias ou gerações, como indicado em (1.4), onde os quarks u, c e t possuem carga elétrica +23, enquanto os quarks d, s e b possuem carga elétrica −13.
u d L , c s L , t b L , uR, dR, cR, sR, tR, bR | {z } quarks (1.4)
A hipercarga dos férmions pode ser calculada a partir da relação de Gell-Mann/Nishijima, dada por:
Q = T3+
Y
2 , (1.5)
com Q representando a carga elétrica, T3 a terceira componente do isospin e Y a hipercarga,
relacionando as cargas dos grupos que descrevem as interações fraca e eletromagnética. Por convenção, as partículas que estão na componente superior dos dubletos possuem T3 = +12 e as
que estão na componente inferior possuem T3 = −12.
Um resumo das propriedades gerais dos férmions do MP estão na Tabela 1.
1.1.2
Bósons de Gauge do Modelo Padrão
No modelo padrão existem 4 tipos de bósons de gauge, que são os mediadores das interações forte, fraca e eletromagnética, denominados glúons, W e Z e o fóton, respectivamente.4
Partícula Carga elétrica (Q) Isospin (T3) Hipercarga (Y ) e, µ, τ -1 −1/2 -1 νe, νµ, ντ 0 +1/2 -1 u, c, t +2/3 +1/2 +1/3 d, s, b −1/3 −1/2 +1/3 eR, µR, τR -1 0 -2 uR, cR, tR +2/3 0 +4/3 dR, sR, bR −1/3 0 −2/3
Tabela 1 – Propriedades dos férmions do Modelo Padrão.
Os bósons de gauge são partículas de spin 1, também chamadas de bósons vetoriais, que podem possuir carga elétrica e massa.
A introdução dos bósons de gauge na teoria das interações da natureza se deu devido ao fato das seções de choque calculadas pela corrente de Fermi possuírem problemas de unitariedade para processos em altas energias. Para o caso do decaimento beta, a lagrangiana de Fermi é dada por LF ermi = G√F 2 ¯ ψpγµψn ¯ ψeγµψν ,
onde GF é a constante de Fermi, e ψp,n,e,νrepresentam as funções de onda referentes às partículas
envolvidas no decaimento beta, ou seja, próton, nêutron, elétron e neutrino do elétron.
Assim, para solucionar o problema da unitariedade nos processos de altas energias, tornou-se necessária a introdução dos propagadores na teoria e consequentemente dos bósons de gauge massivos. A existência dos bósons de gauge massivos são também uma necessidade para explicar o comportamento de curto alcance da interação fraca, pois o alcance da interação é inversamente proporcional à massa do mediador.5
Como os mediadores são bósons vetoriais, obedecem a equação de Proca, cuja lagrangi-ana para um bóson de gauge massivo Bµé dada por
Lbosons = − 1 4FµνF µν+m2 2 BµB µ, (1.6)
onde o termo com BµBµé um termo de massa e o primeiro termo é o termo cinético do bóson de
gauge, com Fµν sendo seu tensor de força, que aparece na teoria pelo fato dos bósons de gauge
possuírem dinâmica própria, definido como:
Fµνa ≡ ∂µBaν − ∂νBµa+ gCabcBµbB c
ν . (1.7)
5 No caso da interação forte, os glúons são partículas sem massa, porém devido ao fato do grupo SU(3) ser um
grupo não-abeliano, os glúons interagem entre si, de forma que mesmo não sendo massivos, a interação forte não permite que as partículas envolvidas sejam separadas por longas distâncias. Uma evidência disso é o fato de que nunca se observou quarks livres na natureza.
O fator Cabcno tensor de força é a constante de estrutura do grupo de gauge, proveniente
da álgebra de Lie dos geradores tado grupo, dada por6
[ta, tb] = iCabctc.
A definição para o tensor de força em (1.7) se refere aos casos onde o grupo é não abeliano, ou seja, Cabc 6= 0. Para o caso de grupos abelianos, tal como o U (1), basta apenas desconsiderar
o terceiro termo da expressão, pois como o grupo é abeliano, os geradores comutam entre si e Cabc = 0.
Dos 4 tipos de bósons de gauge, a interação fraca é mediada por 2 deles, que são os bósons massivos W±e Z. A descoberta do bóson W±se deu em 1983 por (BANNER et al.,
1983) e (ARNISON et al.,1983), na observação de processos cujo estado final observado eram léptons + energia faltante. O bóson Z teve sua primeira evidência observada em 1974 (HASERT et al.,1973), com a primeira observação de correntes neutras na natureza. A existência do bóson Z é uma das predições do modelo padrão, sendo um dos maiores sucessos do modelo. A teoria por trás da interação fraca vem do grupo SU (2), que por ser um grupo não abeliano, os bósons de gauge interagem entre si, de forma que é possível estudar esses processos. A interação fraca é responsável por diversos processos, tais como os decaimentos atômicos e alguns tipos de espalhamento.
A interação forte é responsável pela manutenção da estabilidade do núcleo atômico, sendo mediada pelos glúons, que atuam em processos envolvendo as partículas que possuem carga de cor e é representada pelo grupo SU (3). Os glúons foram descobertos em 1979 (BERGER et al.,1979), porém a interação forte ainda não é tão bem entendida quanto as outras interações conhecidas. Grande parte disso se deve ao fato da teoria ser não abeliana, o que faz com que os glúons possuam cor e interajam entre si, tornando a análise de dados referente à processos mediados pela interação forte se tornem difíceis.
Por último, temos a interação eletromagnética, cujos processos envolvem partículas que possuem carga elétrica e são mediados pelos fótons. A interação eletromagnética é descrita pelo grupo abeliano U (1), de forma que os fótons não interagem entre si, diferentemente das interações fraca e forte, sendo a interação mais conhecida na natureza.
Um resumo geral das características dos bósons de gauge é dado na Tabela 2.
Uma coisa que deve ser enfatizada é que a escolha dos grupos referentes às interações é feita de forma representar o que é visto na natureza, tal que a escolha do grupo de simetria de gauge do modelo padrão é uma consequência de resultados obtidos em estudos teóricos e experimentais sobre as interações. Isso faz do MP uma teoria de alta relevância tanto pela parte teórica quanto experimental, o que é claramente visível pelo sucesso do modelo na previsão de diversos processos.
Bóson Nomenclatura Tipo de Interação Massa
Fóton A eletromagnética sem massa
W W± fraca massivo
Z Z fraca massivo
Glúon g forte sem massa
Tabela 2 – Bósons de Gauge do Modelo Padrão.
Neste trabalho visamos revisar conceitos como a quebra espontânea de simetria e o processo de aquisição de massa das partículas elementares, logo será dado um enfoque no setor eletrofraco do modelo padrão, pois essa simetria é quebrada pelo bóson de Higgs. Assim, a lagrangiana para os bósons de gauge do setor eletrofraco é dada por:
L = −1
4WµνW
µν− 1
4BµνB
µν (1.8)
onde o primeiro termo é referente aos 3 campos associados aos geradores de SU (2), que são dados por Wa
µ, com a = 1, 2, 3. O segundo termo é referente ao único campo associado
ao gerador de U (1), denominado como Bµ. Esses campos estão relacionados aos processos
envolvendo a interação eletrofraca.
Usualmente, deveríamos ter os termos de massa em (1.8), porém esses termos não são permitidos pela invariância de gauge. Assim, é necessário um mecanismo para gerar a massa dos bósons de gauge, chamado de mecanismo de Higgs, que será discutido nas próximas seções.
1.1.3
Bóson de Higgs
Finalizando a apresentação das partículas elementares do MP, temos o bóson de Higgs, que será denominado por h, que é uma partícula neutra e escalar, ou seja, possui spin zero, responsável por dar massa à todas as partículas do modelo padrão. Historicamente falando, era necessária a existência de uma partícula escalar na teoria para solucionar problemas de unitariedade do modelo padrão, através da existência de um novo canal para o processo e+e−→ W+W−. Além disso, também era necessário uma partícula escalar neutra para realizar a quebra
da simetria do modelo, de forma a gerar graus de liberdade para que os bósons de gauge se tornem massivos. Assim, a existência e detecção do bóson de Higgs não foi uma surpresa, mas uma necessidade.
Uma das propriedades mais importantes do bóson de Higgs é que ele se acopla à todas as partículas do modelo padrão proporcionalmente à sua massa, o que foi essencial para a sua detecção em 2012 no LHC (AAD et al.,2012). Essa característica do bóson de Higgs o diferencia de todas as outras partículas do MP, pois isso indica que o bóson de Higgs tende a se acoplar com as partículas de maior massa.
Klein-Gordon, cuja Lagrangiana é dada por: Lh =
1
2(∂µh)(∂
µh) − V (h) (1.9)
O potencial V (h) usado na Lagrangiana do bóson de Higgs é essencial para o estudo da quebra espontânea de simetria, além de ser uma fonte para o estudo das propriedades do bóson de Higgs, tal como sua auto-interação, que é um tema de pesquisa estudado atualmente. O potencial do bóson de Higgs é dado por:
V (h) = µ2h2+ λh4, (1.10)
onde µ2h2 é um termo referente à massa do Higgs e λh4 é um termo de auto-interação. Outros termos podem ser escritos, porém eles não podem ter dimensionalidade maior do que 4, pois neste caso a teoria se torna não-renormalizável ou efetiva.
Veremos como o bóson de Higgs atua no processo de quebra de simetria e na aquisição de massa dos bósons de gauge e férmion do MP nas próximas seções.
1.2
Invariância de Gauge
O conceito das transformações de gauge ou calibre foram introduzidos na física a partir do eletromagnetismo, pois devido ao fato dos campos elétrico e magnético obedecerem as equações de Maxwell, é possível adicionar um grau de liberdade aos campos sem influenciar em suas equações de movimento, ou seja, a física é preservada mesmo após uma transformação nos campos. A ideia da invariância de Gauge vem exatamente disso: aplicar transformações nos campos de forma que suas equações de movimento permaneçam inalteradas.
Existem 2 tipos de transformações de gauge, global e local. As transformações de gauge globais são aquelas em que o sistema é modificado como um todo, como o caso de uma rotação sobre um ângulo qualquer. As transformações de gauge locais são mais complexas, pois são transformações contínuas, dependentes do espaço e que podem modificar a dinâmica dos campos. No modelo padrão, as transformações utilizadas são as transformações de gauge locais, de forma que daremos foco a esses casos.
No modelo padrão são tratados sistemas quânticos, logo as transformações de gauge locais devem obedecer o Teorema de Wigner (WIGNER,1959), onde transformações de pa-râmetros contínuos no espaço de Hilbert são dadas por transformações unitárias, ou seja, para uma dada transformação contínua T (x), T T† = T†T = 1, de forma que a unitariedade da probabilidade não seja perdida.
Assim, podemos dizer que, para um campo ψ(x)7, sua transformação para um campo ψ0(x) sob uma matriz unitária U é dada por:
ψ(x) → ψ0(x) = U ψ(x) . (1.11)
7 Onde estiver x, deve-se ler x µ.
Como queremos transformações físicas, é necessário que det(U ) = 1.8De forma geral,
podemos definir uma transformação local U (x) sob um grupo qualquer como U (x) = exp(−iTaαa(x)) ,
onde Taé uma representação dos geradores do grupo tae α é um parâmetro que depende do espaço-tempo.
Considerando o caso de um férmion de spin 1/2 ψ, sua lagrangiana é dada por (1.1), que pode ser dividida em 2 partes: uma parte cinética, que envolve a derivada do campo e um termo de massa. Para uma transformação como (1.11), o termo de massa não possui problema, pois
ψ0(x) = ψ(x)U†,
de forma que pela unitariedade o termo ψψ não é modificado. Entretanto, o termo cinético sofre uma modificação, pois como o fator α depende do espaço, a derivada gera novos termos na lagrangiana, o que faz com que a lagrangiana não seja invariante.
Como queremos que a física resultante não se modifique com essa transformação, é necessário que a lagrangiana seja invariante. Assim, precisamos introduzir o conceito da derivada covariante Dµ, também conhecido como acoplamento mínimo, que consiste na adição
de um bóson de gauge Aµ no operador da derivada. A utilidade desse campo é devido ao
fato da transformação dos campos gerar novos termos na lagrangiana, de forma que existe o cancelamento dos termos extras provenientes da transformação de gauge local no termo cinético da lagrangiana.
A derivada covariante é dada por
Dµ= ∂µ− igTaAaµ, (1.12)
com g sendo um parâmetro relacionado ao tipo da interação, também chamado de constante de acoplamento, e Aµsendo o bóson de gauge necessário para manter a lagrangiana invariante. Para
cancelar os termos gerados pela derivada, a transformação do bóson de gauge Aµé dada por:
Aa 0µ = Aaµ− 1 g∂µα
a+ C
abcαbAcµ. (1.13)
Assim, a transformação dos fatores envolvendo a derivada covariante do campos é dada por
(Dµψ)0 = U Dµψ ,
onde é possível observar que as derivadas se transformam como os campos, o que resulta na invariância da lagrangiana.
8 Essa propriedade também é conhecida como proper transformation, em tradução direta, transformação
Como a introdução da derivada covariante utiliza um bóson de gauge, ela também introduz à teoria um tensor de força Fµν, que será responsável por formar o termo cinético da
lagrangiana do bóson de gauge. A transformação do bóson de gauge também influencia o tensor, que se transforma como:
Fµνa 0→ Fa
µν+ CabcαbFµνc .
Baseando-se nisso, é possível desenvolver um sistema prático para a construção da derivada covariante de qualquer campo, que consiste em 3 passos:
• Observar quais são as propriedades ou cargas dos campos envolvidos, ou seja, se os campos possuem isospin, hipercarga, cor, etc;
• Escolher um grupo para descrever essas propriedades (ou utilizar uma representação conhecida para tal);
• Sabendo das propriedades dos campos, adicionar os termos referentes a partir da definição da derivada covariante em (1.12).
1.3
Quebra Espontânea de Simetria
O conceito de quebra espontânea de simetria (QES) vem da ideia de que, dada uma lagrangiana que possui uma determinada simetria, após algum processo ou mudança no sistema, essa simetria é quebrada. Um caso famoso da QES é o alinhamento dos spins dos elétrons de um material ferromagnético sob a temperatura crítica, o que quebra a simetria sob rotações em SO(3) proveniente da arbitrariedade dos spins do sistema, de forma que sobra apenas uma simetria em SO(2) ao redor dos spins.
O processo da QES é adaptada para o modelo padrão através de uma analogia do processo de quebra da simetria em um material ferromagnético pelo resfriamento do material abaixo da temperatura crítica com o resfriamento do universo pela sua expansão, o que é uma ligação entre a física de partículas e a cosmologia. Isso resulta em uma visão de que poderia existir uma simetria maior que representaria uma teoria unificada para as interações da natureza em algum momento no universo, contudo essa unificação foi quebrada com a expansão e consequentemente resfriamento do universo.
Formalmente falando, a quebra espontânea de simetria é um processo onde há a transfe-rência de graus de liberdade entre as partículas de um sistema, o que ocorre quando a densidade lagrangiana possui uma simetria contínua, porem seu vácuo não a possui. A existência desse grau de liberdade a ser absorvido é prevista pelo teorema de Goldstone (GOLDSTONE,1961), onde quando uma simetria contínua é quebrada, é gerado um bóson de Goldstone, que é uma partícula sem spin e sem massa, que representa esse grau de liberdade.
Para mostrar o funcionamento da quebra espontânea de simetria, faremos uso da lagran-giana de um campo escalar complexo sob a ação de um potencial do tipo chapéu mexicano, onde
Lescalar = (∂µφ)∗(∂µφ) − V (φ∗φ) , (1.14)
com
V (φ∗φ) = µ2(φ∗φ) + λ(φ∗φ)2 . (1.15) Pode-se observar que essa lagrangiana é invariante pela transformação global
φ → exp(−iθ)φ.
Devemos então verificar se o vácuo desse sistema é invariante. Para o encontrar o estado de vácuo do sistema, devemos minimizar o potencial com relação ao campo. Minimizando o potencial, temos:
dV dφ = µ
2
φ∗+ 2λ|φ|2φ∗ = 0. Assim, temos 2 casos:
|φ|2 = −µ2
2λ =
v2
2; φ∗ = 0 .
Pela definição do potencial, λ > 0 para que o estado possua um ponto mínimo estável e consequentemente um estado de vácuo bem definido. Dessa forma, as configurações do estado de vácuo dependem do comportamento de µ2. Se µ2 > 0, o estado de vácuo do campo é bem definido, com φ0 = 0. Entretanto, se µ2 < 0, o estado de vácuo do campo não é bem definido,
tendo vários estados possíveis, como pode ser visto pelo vale circular no potencial mostrado na Figura1. Como o caso nulo é trivial, trabalharemos apenas com o caso onde |φ|2 = v2/2, com
v2 = −µ2
λ sendo o valor esperado do vácuo (VEV) do sistema.
Como o campo φ é complexo, podemos escrevê-lo a partir de suas componentes real e imaginária,
φ = φ1√+ iφ2
2 .
Assim, podemos reescrever a lagrangiana como: L = 1 2(∂µφ1∂ µ φ1+ ∂µφ2∂µφ2) − V (φ1, φ2) (1.16) com o potencial V (φ1, φ2) = µ2 2 (φ 2 1+ φ 2 2) + λ 4(φ 2 1+ φ 2 2) 2 .
Pode-se mostrar que essa lagrangiana é invariante por rotações em SO(2), que é a simetria contínua que queremos quebrar quando selecionarmos um valor específico para o estado de vácuo.
Figura 1 – Gráfico do potencial escalar complexo para o caso µ2 < 0. É possível observar que
existem diversos valores possíveis para o vácuo do campo φ, representados pelo vale circular no potencial.
Do primeiro termo de V (φ1, φ2), podemos ver que ambos φ1e φ2são partículas massivas.
Além disso, é ideal que o VEV do sistema seja nulo, pois poderemos usar a aproximação de pequenas perturbações ao redor do vácuo.
Para isso, podemos aplicar uma translação na coordenadas φ1e φ2, de forma que
φ1 → φ01 = φ1 − v ;
φ02 = φ2.
Com isso, selecionamos um estado específico de vácuo, onde os VEV’s de φ1 e φ2são φ1,0 = v
e φ2,0 = 0. Partindo da expressão do vácuo, ao fazer a transformação de φ → φ0, temos que
|φ0|2 = 0, como desejado.
Aplicando essa translação na lagrangiana do campo complexo em função das duas componentes, obtemos que:
L = 1 2∂µφ 0 1∂µφ 0 1− 1 2(−2µ 2)φ0 2 1 + 1 2∂µφ 0 2∂µφ 0 2+ termos de interação .
Assim, temos que o termo de massa para φ2 desapareceu e, além disso, a simetria em
SO(2) da lagrangiana foi quebrada devido aos termos de interação, que consistem de termos envolvendo os campos em terceira ordem. O sistema possui agora um grau de liberdade "livre", vindo da massa de φ2, que pode ser absorvido por outras partículas e é o fator essencial para o
Mecanismo de Higgs, como veremos a seguir.
1.4
Mecanismo de Higgs
O mecanismo de Higgs consiste na união dos conceitos de Invariância de Gauge e Quebra Espontânea de Simetria vistos nas seções anteriores. Para demonstrar seu funcionamento,
utilizaremos o mesmo caso visto na seção anterior, o campo escalar complexo.
Supondo que o campo escalar complexo φ sofra uma transformação de gauge local dada por
φ(x) → φ0(x) = exp[iχα(x)]φ(x) ,
para que a lagrangiana (1.14) seja invariante, devemos introduzir a derivada covariante, onde considerando um bóson de gauge Gµ, podemos escrever
Dµ= ∂µ− iχGµ,
com χ sendo a constante de acoplamento e o campo Gµse transformando como:
G0µ= Gµ− ∂µα(x).
Assim como na Seção1.3, esse campo pode ser decomposto em suas componentes real e imaginária, utilizando os campos φ01 e φ02. Além disso, no limite de pequenas perturbações, podemos reescrever o campo φ como:
φ = exp iφ 0 2 v ! (φ01+ v) √ 2 ' 1 √ 2(φ 0 1+ v + iφ 0 2) = φ 0 + √v 2 . (1.17)
Voltando para a equação (1.16), ao fazer a introdução da derivada covariante e do termo cinético do bóson de gauge −14GµνGµν, encontramos como resultado
L = 1 2∂µφ 0 1∂ µ φ01 − 1 2(−2µ 2 )φ0 21 + 1 2∂µφ 0 2∂ µ φ02 − 1 4GµνG µν+ X2v2 2 GµG µ+ XvG µ∂µφ02+ ... (1.18)
Por (1.18), podemos observar que, apesar de φ01 ter um termo de massa bem definido, existe um termo de mistura entre φ02 e Gµ, de forma que a massa das duas partículas não é
bem definida, o que significa que os campos φ02 e Gµ não são físicos, ou seja, os estados de
interação dos campos não são seus estados de massa. Para solucionar isso, devemos fazer uma nova transformação no campo, de forma a obter os campos físicos da teoria.
Essa nova transformação pode ser feita através do grau de liberdade no parâmetro α da transformação de gauge, onde podemos definir α de forma que a componente φ2 seja eliminada.
Uma escolha possível é escrever α como
α = −φ
0 2
χv , (1.19)
de forma que Gµse transformará como
G0µ= Gµ+
1 χv∂µφ
0
Utilizando essa escolha do parâmetro α em (1.17), também conhecida como gauge unitário, obtemos φ0 = exp " iχ −φ 0 2 χv !# exp iφ 0 2 v ! (φ01+ v) √ 2 = 1 √ 2(φ 0 1+ v) , (1.21)
que independe de φ2. O gauge unitário é utilizado sempre que existe a necessidade de que os
bósons de goldstone não estejam explicitamente na teoria. Esse não é o único tipo de gauge possível, com outros tipos sendo utilizados a depender da abordagem desejada.
Substituindo (1.21) na lagrangiana juntamente com a derivada covariante, encontramos que L = 1 2∂µφ 0 1∂µφ 0 1− 1 2(−2µ 2)φ0 2 1 − 1 4GµνG µν +χ 2v2 2 G 0 µGµ 0+ termos de interação. (1.22)
Analisando (1.22), podemos observar que o bóson de gauge G0µpossui uma massa bem definida. Isso significa que o grau de liberdade representado por φ2foi absorvido pelo bóson de
gauge, tornando-se sua componente longitudinal de polarização e fazendo com que um bóson cuja massa era proibida pela invariância de gauge se tornasse massivo.
1.5
Setor Eletrofraco do MP
Nessa seção, utilizaremos todos os conceitos vistos nas seções anteriores para o contexto do modelo eletrofraco, SU (2)L⊗ U (1)Y. Aplicaremos os conceitos de quebra espontânea de
simetria, invariância de gauge e o mecanismo de Higgs para os bósons de gauge do modelo, encontrando uma expressão para suas massas. Também será feita a introdução da Lagrangiana de Yukawa, um mecanismo de geração massa dos férmions do modelo padrão de forma invariante de gauge.
Não utilizaremos o grupo de simetria SU (3)C devido ao fato da simetria de cor ser
conservada, enquanto que no modelo eletrofraco é necessária uma quebra espontânea de simetria, para que possamos explicar o mecanismo de geração de massa dos bósons de gauge e dos férmions do MP, de forma que o formalismo pode ser aplicado.
1.5.1
Invariância de Gauge no Setor Eletrofraco
Como estamos interessados no setor eletrofraco do modelo padrão, devemos adaptar todos os conceitos vistos nas seções anteriores para o modelo SU (2)L⊗ U (1)Y. Um desses
fatores é derivada covariante, que é essencial para a invariância de gauge da lagrangiana e será aplicada às partículas do modelo. Como supracitado, as partículas de mão direita e mão esquerda sentem as interações fracas de forma diferente, o que deve aparecer na derivada covariante.
Léptons e quarks de mão esquerda possuem isospin, logo são carregados por SU (2)L,
do isospin, também possuem hipercarga, de forma que é necessário um termo referente à U (1)Y,
cujo gerador, que pode ser escrito como Y /2, é proporcional à identidade.
Assim, a derivada covariante para os férmions de mão esquerda é dada por: Dµ = ∂µ− ig τi 2W i µ− ig 0Y 2Bµ (1.23)
com o índice i indo de 1 a 3, referente aos 3 geradores do grupo SU (2).
No caso dos férmions de mão direita do MP, por não possuírem isospin, não apresentam fatores envolvendo os geradores de SU (2)Lem sua derivada covariante, possuindo apenas os
fatores referentes à U (1)Y, por possuírem hipercarga. Sabendo disso, a derivada covariante para
os férmions de mão direita é dada por:
Dµ= ∂µ− ig0
Y
2Bµ (1.24)
Deve-se salientar que as constantes de acoplamento g e g’ são diferentes, visto que são referentes à dois tipos diferentes de interação.
1.5.2
Massa dos Bósons de Gauge do Modelo Eletrofraco
Para gerar a massa de um bóson de gauge, é necessário realizar o mecanismo de Higgs, como mostrado na Seção 1.4. Para o setor eletrofraco do modelo padrão, devido ao fato dos 3 bósons de gauge da interação fraca serem massivos, são necessários 3 novos graus de liberdade ao sistema. Uma forma de obter esses graus de liberdade é pela utilização de um dubleto escalar complexo, chamado de dubleto de Higgs. As componentes do dubleto são complexas, logo existem 4 graus de liberdade correspondentes. Porém, como existem 3 bósons de gauge massivos, 3 graus de liberdade devem ser absorvidos pelos bósons de gauge, enquanto o campo resultante vai ser identificado como o bóson de Higgs.
O dubleto de Higgs deve possuir isospin e hipercarga, de forma a interagir com os bósons de gauge do modelo e gerar suas massas após a quebra espontânea de simetria. O dubleto de Higgs é então formado pelos campos complexos φ+e φ0, sendo dado por:
Φ ≡ φ+ φ0 . (1.25)
Assim como os dubletos das componentes de mão esquerda dos léptons e quarks, a componente superior do dubleto possui isospin T3 = +1/2, enquanto para a componente inferior
T3 = −1/2. Além disso, pela relação de Gell-Mann-Nishijima, o dubleto de Higgs possui
hipercarga Y = 1.
Como partículas carregadas não podem desenvolver um VEV devido à conservação da carga elétrica, apenas a componente neutra do dubleto pode desenvolver VEV. Com isso, após a
quebra espontânea de simetria, podemos reescrever o dubleto de Higgs no gauge unitário como: Φ → Φ0 = (v + h)√ 2 0 1 , (1.26) com v =q−µλ2.
Como a lagrangiana deve ser invariante de gauge, devemos introduzir a derivada covari-ante9 dada por (1.23) juntamente com o potencial (1.15) em (1.14), obtemos que:
Lescalar = ∂µ+ ig τi 2W i µ+ i g0 2Y Bµ ! (v + h) √ 2 0 1 2 − µ2 (v + h) 2 2 − λ (v + h)4 4 . (1.27)
Usando a definição das matrizes de Pauli presentes no ApêndiceAe o fato do gerador de U (1)Y ser a matriz identidade no primeiro termo, encontramos que:
Lescalar ⊃ 0 ∂µH/ √ 2 + i 2(v + H) g(W1 µ√−iWµ2) 2 (−gW3 µ+g0Bµ) √ 2 2 . (1.28)
Podemos reduzir essa expressão ao identificar os bósons de gauge carregados como Wµ± = √1 2(W 1 µ ∓ iW 2 µ) . (1.29)
Expandindo a expressão da Eq. (1.28) e considerando a definição dos bósons de gauge W±da Eq. (1.29), obtemos: Lescalar ⊃ 1 2∂µh∂ µ h +g 2 4(v + h) 2 Wµ+W− µ+ (v + h) 2 8 (−gW 3 µ+ g 0 Bµ)(−gWµ 3+ g0Bµ). (1.30) Do último termo de (1.30), pode-se ver que há um termo de mistura envolvendo os bósons W3
µ e Bµ, de forma que ambos não possuem massa bem definida, o que indica que não
são os bósons físicos da teoria. Porém, podemos reescrever o último termo em função do produto das matrizes (Bµ Wµ3) g02 −gg0 −gg0 g2 | {z } M Bµ Wµ3 , (1.31)
de forma que podemos resolver o problema das massas através da definição de uma transformação que diagonalize a matriz M.
Para diagonalizar M, existem duas opções de procedimento: usar o mecanismo da equação característica, definindo os autovalores e autoestados de massa, ou supor uma matriz de
9 Uma questão importante de ser discutida é o fato de que o dubleto de Higgs tem a mesma derivada covariante
transformação que diagonalize a matriz M. É importante notar que ambos os procedimentos geram o mesmo resultado, de forma que utilizaremos o procedimento da matriz de transformação devido ao fato de obtermos uma relação entre os campos parametrizada em função de um ângulo de mistura. Assim, utilizaremos uma matriz de rotação ortogonal RW, parametrizada em função
do ângulo θW, dada por:
RW = cos θW sin θW − sin θW cos θW .
A partir da matriz de transformação RW, ao realizar uma transformação de similaridade
na matriz de massa obtemos que:
Mdiag = R−1WMRW = 0 0 0 4cosg22v(θ2 W) , com cos(θW) = g √ g2+ g02 = cW; sin(θW) = g0 √ g2+ g02 = sW.
Além disso, obtemos 2 autoestados de massa que são dependentes dos campos de interação do modelo, dados por:
Aµ = Bµcos(θW) + Wµ3sin(θW);
Zµ = −Bµsin(θW) + Wµ3cos(θW).
Os dois campos físicos são relacionados aos dois autovalores de massa obtidos no termos diagonais da matriz resultante da diagonalização da matriz M, onde podemos identificar o campo Aµcomo o fóton, que possui massa nula, enquanto o campo Zµrepresenta o bóson Z,
responsável por mediar os processos da corrente fraca neutra e possui massa não-nula. O ângulo θW é conhecido como ângulo de Weinberg, que realiza a transformação entre os campos de
interação e os campos físicos.
Aplicando essa transformação em (1.30), temos como resultado uma lagrangiana envol-vendo apenas os bósons físicos da teoria,
Lescalar ⊃ 1 2∂µH∂ µH + g2 4(v + H) 2 W+ µW − µ + 1 2c2 W ZµZµ ! . (1.32)
Por (1.32) podemos observar os termos de massa referentes aos bósons Wµ± e Zµ,
enquanto não há um termo de massa para o fóton. Isso é uma consequência que, após a quebra de simetria, o grupo resultante é o U (1)EM, de forma que a carga elétrica é conservada. Isso
demonstra a relação entre a massa dos bósons de gauge e a conservação da simetria, que indica que os bóson de gauge de uma simetria conservada não são massivos.
Além disso, é possível observar que as massas dos bósons Wµ±e Zµsão dadas por: MW2 = g 2v2 4 ; MZ2 = g 2v2 4 cos2 W = M 2 W cos2 W .
O modelo das interações fracas foi descrito inicialmente pela teoria de Fermi, sendo uma expansão da teoria para o regime de altas energias, logo as duas teorias devem ser equivalentes no regime de baixas energias. Sabendo disso, podemos obter informações sobre os parâmetros do modelo eletrofraco a partir dos resultados existentes da teoria de Fermi. Um desses parâmetros é o VEV do dubleto de Higgs, que pode ser obtido a partir da relação entre a constante de acoplamento fraca, a constante de Fermi GF e a massa do bóson de gauge MW, dada por:
g 2√2 = M√W2 GF 2 !1/2 . (1.33)
Sabendo da expressão da massa do bóson W±e do valor da constante de Fermi, podemos escrever o VEV como
v =√2GF
1/2∼
= 246 GeV . (1.34)
Do estudo das interações de SU (2)L⊗ U (1)Y envolvendo os léptons, existe uma relação
entre as constantes de acoplamento g e g0 com a carga elétrica e o ângulo de Weinberg, dadas por10
e = gsW = g0cW.
Dessa forma, podemos obter a massa dos bósons de gauge a partir dos valores experimen-tais da carga elétrica, constante de Fermi, cW e sW. A carga elétrica e constante de Fermi são bem
definidas, sobrando apenas o ângulo de Weinberg. Existem diversos processos para a obtenção do valor de sW, porém o resultado mais preciso vem do estudos de processos envolvendo a
Forward-Backward Asymmetry (ABAZOV et al.,2008), cujo valor experimental mais atual é dado por s2W ≈ 0, 2314 ± 0, 00012. Usando esses resultados, obtemos que a massa dos bósons de gauge W e Z são MW2 = e 2 4s2 W v2 = πα s2 W v2 ' 37.2 sW GeV 2 ∼ (80 GeV)2; MZ2 ' 37.2 sWcW GeV 2 ∼ (90 GeV)2,
onde α é a constante de estrutura fina, α = 4πe2.
Com a definição das massas dos bósons W± e Z, é possível definir um parâmetro adimensional ρ, definido como:
ρ = M 2 W M2 Zc2W . (1.35)
No modelo padrão, partindo da relação teórica entre a massa dos bósons de gauge W± e Z, existe a predição de que ρ = 1. Partindo de resultados experimentais independentes para a massa dos bósons de gauge e do cosseno do ângulo de Weinberg, encontra-se que ρ ≈ 1, o que é uma das predições bem sucedidas do modelo.
O parâmetro ρ é essencial para o estudo de modelos além do modelo padrão onde há a introdução de novos multipletos de Higgs à teoria, pois caso esses multipletos interajam com os bósons de gauge, após a quebra espontânea de simetria haverá uma adição à massa dos mediadores. Assim, esse parâmetro pode ser utilizado para obter limites onde esse novo modelo é válido, pois como as massas dos bósons de gauge são bem medidas, elas não podem ser modificadas com a introdução de novos elementos à teoria.
Num modelo com um número arbitrário de multipletos de Higgs φi com isospin Ti,
terceira componente T3 i e valor esperado de vácuo vi, o parâmetro ρ pode ser escrito como:
ρ = P i[Ti(Ti+ 1) − (T3 i)2] v2i 2P i(T3 i)2vi2 , sendo igual a 1 para um número arbitrário de dubletos.
1.5.3
Massa do Bóson de Higgs
A partir do potencial da Eq. (1.27), é possível observar que existe um termo de massa para o bóson de Higgs, que pode ser reescrito como:
Mh = q −2µ2 =√2λ v = √ 2 GF !1/2√ λ . (1.36)
Dos parâmetros necessários para a obtenção da massa do bóson de Higgs, a constante de Fermi GF possui um valor conhecido, porém λ é um parâmetro livre, tendo como única restrição
que λ > 0, necessária para a estabilidade do potencial. Isso faz com que faz a massa do bóson de Higgs não seja bem-definida pelo modelo padrão, podendo assumir diversos valores a depender do parâmetro λ. Assim, para definir de forma precisa a massa do bóson de Higgs, é necessário estudar as propriedades das suas interações com as outras partículas do MP e sua auto-interação.
Uma dass propriedades do bóson de Higgs é o fato de que bóson de Higgs se acopla aos bósons de gauge massivos do modelo padrão proporcionalmente à sua massa, como pode ser observado na Eq. (1.32), donde obtêm-se que as constantes de acoplamento dos bósons de gauge com o bóson de Higgs são dadas por
GhW+W− = 2MW2 v , (1.37) GhZZ = M2 Z v . (1.38)
O mesmo comportamento é observado para os férmions do modelo, onde Ghf ¯f = Mf/v. Essa
que o bóson de Higgs acopla mais fortemente com partículas com maior massa. Na descoberta do bóson de Higgs no LHC em 2012 (AAD et al.,2012), os canais utilizados foram os canais nos quais o boson de Higgs, interagiria com os quarks top e bottom e o bóson de gauge Z (também conhecido como golden channel), onde inferiu-se que
Mh =
q
−2µ2 = 125 GeV,
de forma que a última peça prevista pelo modelo padrão foi encontrada em laboratório, consoli-dando mais uma vez a habilidade preditiva do modelo.
1.5.4
Lagrangiana de Yukawa e a massa dos Férmions do MP
Até este momento, os férmions do MP não possuem massa. Isso se deve ao fato de serem férmions de Dirac, cujo termo de massa para um férmion Ψ é dado por:
MΨΨΨ = Ml(ΨLΨR+ ΨRΨL) , (1.39)
e como vimos nas seções anteriores, as partículas de mão direita se transformam de forma diferente das partículas de mão esquerda sob uma transformação de gauge local, de forma que esses termos de massa vindos da lagrangiana de Dirac violam a invariância de gauge da lagrangiana, sendo proibidos.
Por conta disso, não é possível que uma lagrangiana contendo um termo de massa como o de (1.39) seja invariante de gauge. Dessa forma, precisamos de um outro mecanismo para produzir a massa dos férmions do modelo padrão, conhecido como a lagrangiana de Yukawa.
Com a introdução da Lagrangiana de Yukawa, é possível fazer um acoplamento entre as componentes dos férmions com o dubleto de Higgs, dado por:
Lyukawa= −GY h ΨR Φ†ΨL +ΨLΦ ΨR i . (1.40)
A inserção do dubleto de Higgs na lagrangiana resolve o problema da invariância de gauge, pois além do fato do dubleto possuir isospin, também possui hipercarga Y = −1, de forma que os termos de massa são invariantes. Contudo, isso vem com o preço da adição de uma constante aleatória GY, chamada de constante de Yukawa, que a princípio é desconhecida, mas
pode ser estimada a partir da massas dos férmions medidas em laboratório. 1.5.4.1 Massa dos Léptons Carregados
No MP, apenas os léptons carregados possuem massa, logo a Lagrangiana de Yukawa é dada por: L` yuk= −G` h ¯ R Φ†L+L Φ¯ Ri (1.41)
onde L representa os dubletos dos léptons de mão-esquerdam dados por L ≡ ν` ` L = L ν` L ` = ν`L `L (1.42)
e R representa os singletos de mão-direita, `R.
Substituindo os dubletos leptônicos e de Higgs, assim como o singleto, temos:11
L` yuk = −G` (v + h) √ 2 `¯R (0 1) ν`L `L + ( ¯ν`L `¯L) 0 1 `R = −G√` v 2 ¯ ` ` −√G` 2 ¯ ` ` h , (1.43) com ` = `L+ `R.
Da equação acima, podemos observar que existe um termo de massa para os léptons carregados do MP, cuja massa é dada por:
M` =
G` v
√ 2 .
Além disso, nota-se que os léptons carregados interagem com o bóson de Higgs pro-porcionalmente à sua massa, como pode ser visto pelo segundo termo da equação (1.43), onde Gh`¯` = M`/v. Vale relembrar que a lagrangiana de Yukawa não fornece uma previsão para a
massa dos léptons, pois a constante G`não é conhecida a priori, porém fornece um mecanismo
invariante para tal.
Uma ressalva deve ser feita com relação à massa dos neutrinos. Apesar de na época de construção do modelo padrão não haver evidências para tal, atualmente se sabe que os neutrinos são partículas massivas, logo deveríamos fazer o mesmo processo para os neutrinos, o que torna necessária a adição de neutrinos de mão-direita ao modelo. Porém, estudos na literatura mostram que o mecanismo da lagrangiana de Yukawa é insuficiente para explicar todos os fenômenos envolvendo os neutrinos, de forma que supõe-se a existência de um outro mecanismo para a geração da massa dos neutrinos.
Logo, o fato dos neutrinos serem massivos é uma indicação direta de que o modelo padrão deve ser estendido, seja pela inclusão de neutrinos de mão direita ou de outras partículas.
1.5.4.2 Massa dos Quarks
Para o caso dos quarks, há uma pequena mudança na lagrangiana de Yukawa, pois os quarks tipo Up, que usaremos como notação Ui = u, c, t, e Down (Di = d, s, b) são massivos,
contrariamente ao caso dos léptons, onde apenas as componentes do dubleto com T3 = −1/2
são massivas. Por conta disso, além do dubleto de Higgs, precisamos de um dubleto que possua hipercarga Y = −1, de forma que o termo referente à massa dos quarks de isospin T3 = +1/2
seja invariante.
Esse dubleto pode ser encontrado via uma transformação invariante em SU (2) no dubleto de Higgs, também chamado de dubleto conjugado, definido como:
˜ Φ = i σ2 Φ∗ = φ0∗ −φ− . (1.44)
É importante frisar que não se tratam de 2 dubletos diferentes, mas de apenas um dubleto e sua transformação invariante por SU (2). As propriedades dos 2 dubletos são as mesmas, tendo como diferença apenas que a hipercarga do dubleto conjugado é Y = −1 e componente que desenvolve um VEV é a componente com T3 = +1/2.
Assim, para as 3 gerações dos quarks, a lagrangiana de Yukawa é dada por: Lqyuk = − 3 X i,j=1 h GUij R¯Ui ˜ Φ†Lj + GDij R¯Di Φ†Lj i + h.c. , (1.45)
onde utilizamos a mesma notação para as componentes de helicidade para o caso dos léptons. Após a quebra espontânea de simetria, os dubletos Φ e ˜Φ desenvolvem valor esperado de vácuo, de forma que podemos organizar os termos de massa dos quarks do tipo up e down como o produto de matrizes, dadas por:
(u0, c0, t0) R MU u0 c0 t0 L + h.c. , (d0, s0, b0) RMD d0 s0 b0 L + h.c. .
Existem misturas entre as famílias dos quarks, de forma que os autoestados dos quarks na base de interação não são equivalentes aos autoestados dos quarks na base de massa.12Por conta disso, as matrizes MU e MDnão podem ser diagonais e, similarmente ao caso dos léptons carregados, seus valores são dados por:
MU (D)ij = √v
2G
U (D)
ij .
Como as matrizes de massa não são diagonais devido ao fato que os autoestados dos quarks das interações fracas (q0) não são equivalentes aos autoestados de massa, podemos fazer uma transformação unitária UL,R(DL,R) nas matrizes de massa, de forma que elas sejam
diagonalizadas e seja definida uma relação entre os autoestados de interação e os autoestados de massa dos quarks (q), dada por:
u0 c0 t0 L,R = UL,R u c t L,R , d0 s0 b0 L,R = DL,R d s b L,R ,
