CN Slides_10 Derivação Numérica 2020_02

Equação da Reta

Equação Reduzida da Reta

1)Dada a equação reduzida da

reta

( y=

m

·x + q), determine:

o

coefiente angular (m)

e o coeficiente linear (q).

a) 𝑦 = 3𝑥 − 1

m=

e q =

b) 𝑦 = 𝑥

m=

e q =

c) 𝑦 =

−𝑥 5

− 7

m=

e q =

3

− 1

1

0

−1

5

− 7

Reta Tangente a um ponto

Problema : Traçar a reta tangente (

t

) a um ponto P( x

₀

,f(x

₀

) ) em uma curva f(x)

.

Equação da

Reta Tangente

y –

f(

𝑥

₀

)

=

m

_t

(x – 𝑥

₀

)

m

_t

= 𝑓

′

𝒙

_𝟎

f

Reta Secante

Reta Secante s

Equação da

Reta Secante

y – f(x

₀

) =

𝒎

_𝒔

(x – x

₀

)

Coeficiente Angular

da

Reta Secante

𝒎

_𝒔

=

∆𝑦 ∆𝑥

𝒎

_𝒔

=

𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0) ℎ

Derivação Numérica

O objetivo da

derivação numérica

é:

calcular o valor aproximado

da derivada

de uma função f(x), num ponto

dado x

₀

, ou seja, calcular o

valor aproximado

de

f’(x

₀

).

𝑚

_𝑡

≅

𝑚

_𝑠

𝑚

_𝑡

= 𝑓

′

𝒙

_𝟎

Equação da

Reta Secante

y – f(x

₀

) =

𝒎

_𝒔

(x – x

₀

)

Coeficiente Angular da

Reta Secante

𝑚

_𝑠

=

∆𝑦 ∆𝑥

𝑚

_𝑠

=

𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0) ℎ

Retas secantes S

Derivada Analítica

x

Derivação Numérica

Coeficiente Angular Reta Tangente

𝑓

′

(

𝑥₀

) = 𝒎

_𝒕

= lim

ℎ→0

𝑓 𝑥₀+ℎ −𝑓(𝑥₀)

ℎ

Equação da

Reta Secante

y – f(𝑥

₀

) =

𝒎

_𝒔

(x – 𝑥

₀

)

Coeficiente Angular Reta Secante 𝒎_𝒔 = 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0)

ℎ Equação da Reta Tangente

Derivação Numérica

O objetivo da

derivação numérica

é:

calcular o valor aproximado

da derivada

de uma função f(x), num ponto

dado x

₀

, ou seja, calcular o

valor aproximado

de

f’(x

₀

).

𝑓

′

𝒙

_𝟎

≅

𝑓 𝒙

𝟎

+ ℎ − 𝑓(𝒙

𝟎

)

ℎ

Derivação Numérica: Método da Aproximação Linear

Dado um intervalo [a; b].

Uma função f(x) derivável neste intervalo e uma abscissa x₀  [a; b]. Seja um incremento h de valor reduzido e diferente de 0.

A aproximação da derivada da função f(x) em x₀ e dada por:

Obs: Se h > 0, esta fórmula é chamada de diferença superior .

𝑓

′

𝒙

_𝟎

≅

𝑓 𝒙

𝟎

+ ℎ − 𝑓(𝒙

𝟎

)

Método da Aproximação Linear

𝑓

′

𝒙

_𝒐

≅

𝑓 𝒙

𝒐

+ ℎ − 𝑓(𝒙

𝒐

)

Exemplo: Dado f(x) = ln x, calcular a derivada numérica utilizando a fórmula da diferença superior para x₀ = 1,8 , considerar:

a)h=0,1 b)h=0,01 c)h=0,001.

𝑓′ 𝒙_𝒐 ≅ 𝑓 𝒙𝒐 + ℎ − 𝑓(𝒙𝒐)

ℎ

Derivação Numérica: Método da Aproximação Linear

Exemplo: Dado f(x) = ln x, calcular a derivada numérica utilizando a fórmula da diferença superior para x₀=1,8, considere:

a)h=0,1 b)h=0,01 c)h=0,001 Solução: A derivada numérica : para h=0,1 é

𝑓

′

1,8

≅

𝑙𝑛 1,8+0,1 −𝑙𝑛 1,8 0,1 para h=0,01 é

𝑓

′

1,8

≅

𝑙𝑛 1,8+0,01 −𝑙𝑛 1,8 0,01 para h=0,001 é

𝑓

′

1,8

≅

𝑙𝑛 1,8+0,001 −𝑙𝑛 1,8 0,001

∴

𝑓

′

1,8

≅

𝟎, 𝟓𝟒𝟎𝟔𝟕𝟐

∴

𝑓

′

1,8

≅

𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟎𝟏𝟖

∴

𝑓

′

1,8

≅

𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟒𝟎𝟏

𝑓′ 𝒙_𝒐 ≅ 𝑓 𝒙𝒐 + ℎ − 𝑓(𝒙𝒐) ℎ

Derivação Numérica:Método da Aproximação Linear

Dado f(x)=ln x, calcular a derivada numérica utilizando a fórmula da diferença superior para x₀=1,8, para : a)h=0,1 b)h=0,01 c)h=0,001

Solução: A derivada numérica :

para h=0,1 é 𝑓′ 1,8 ≅ 𝟎, 𝟓𝟒𝟎𝟔𝟕𝟐

para h=0,01 é 𝑓′ 1,8 ≅ 𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟎𝟏𝟖

para h=0,001 é 𝑓′ 1,8 ≅ 𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟒𝟎𝟏

Obs: A derivada analítica de f(x)=ln x é

f’(x) =

1 𝑥 . Logo,

f’(1,8) =

1

Derivação Numérica: Método da Aproximação Linear Derivada numérica : para h=0,1 é 𝑓′ 1,8 ≅ 𝟎, 𝟓𝟒𝟎𝟔𝟕𝟐 para h=0,01 é 𝑓′ 1,8 ≅ 𝟎, 𝟓𝟓𝟒𝟎𝟏𝟖 para h=0,001 é 𝑓′ 1,8 ≅ 𝟎, 𝟓𝟓𝟓𝟒𝟎𝟏 Derivada analítica: f’(1,8) ≅ 0,555556

Pode-se notar que com a diminuição do valor de h

o valor da derivada numérica aproxima-se do valor da derivada analítica. Entretanto, por menor que seja o valor do incremento h,

Derivação Numérica: Fórmula de Três Pontos

Método de Aproximação Linear:

Como vimos o método de aproximação linear apresenta

erro de arredondamento relativamente grande.

Fórmula de Três Pontos :

No geral, para se encontrar uma derivada numérica com menor erro se deve utilizar mais pontos .

𝑓′ 𝒙_𝒐 ≅ 𝑓 𝒙𝒐 + ℎ − 𝑓(𝒙𝒐)

Derivação Numérica: Fórmula de Três Pontos

O Polinômio Interpolador de Lagrange que se aproxima da função f é dado por :

f(x)  𝑷

_𝒏

(𝒙) = σ

_𝑗=0𝑛

( 𝑓(𝑥

_𝑗

) ∙ ς

_𝑖=0𝑛 𝑥−𝑥𝑖 (𝑥_𝑗−𝑥_𝑖)

)

i  j

Derivação Numérica:

f(x)  𝑷

_𝒏

(𝒙)

f’(x)



𝑷

_𝟐′

(𝒙)

(Três pontos)

f(x)  𝑷

_𝟐

(𝒙)

Derivação Numérica: Fórmula de Três Pontos

Polinômio Interpolador de Lagrange para 3 pontos 𝑓(𝑥_𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐)

∙ 𝒙 − 𝑥

𝟏

∙ 𝒙 − 𝑥

𝟐

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐)

∙ 𝒙 − 𝑥

𝟎

∙ 𝒙 − 𝑥

𝟐

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏)

∙ 𝒙 − 𝑥

𝟎

∙ 𝒙 − 𝑥

𝟏 𝑷_𝟐(𝒙) = 𝑷_𝟐(𝒙) = 𝑓(𝑥𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐)

∙ [ 𝒙

𝟐

_{− 𝑥}

𝟏

+ 𝑥

𝟐

∙ 𝒙 + 𝑥

𝟏

·

𝑥

𝟐

]

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐)

∙ [ 𝒙

𝟐

_{− 𝑥}

𝟎

+ 𝑥

𝟐

∙ 𝒙 + 𝑥

𝟎

·

𝑥

𝟐

]

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏)

∙ [ 𝒙

𝟐

_{− 𝑥}

𝟎

+ 𝑥

𝟏

∙ 𝒙 + 𝑥

𝟎

·

𝑥

𝟏

]

Derivação Numérica: Fórmula de Três Pontos

Polinômio Interpolador de Lagrange para 3 pontos

𝑷_𝟐(𝒙) = 𝑷_𝟐′ (𝒙) = 𝑓(𝑥𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐)

∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥

𝟏

+ 𝑥

𝟐

]

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐)

∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥

𝟎

+ 𝑥

𝟐

]

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏)

∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥

𝟎

+ 𝑥

𝟏

]

𝑓(𝑥_𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐)

∙ [ 𝒙

𝟐

_{− 𝑥}

𝟏

+ 𝑥

𝟐

∙ 𝒙 + 𝑥

𝟏

·

𝑥

𝟐

]

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐)

∙ [ 𝒙

𝟐

_{− 𝑥}

𝟎

+ 𝑥

𝟐

∙ 𝒙 + 𝑥

𝟎

·

𝑥

𝟐

]

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏)

∙ [ 𝒙

𝟐

_{− 𝑥}

𝟎

+ 𝑥

𝟏

∙ 𝒙 + 𝑥

𝟎

·

𝑥

𝟏

]

Derivada do Polinômio Interpolador de Lagrange para 3 pontos 𝑷_𝟐′ (𝒙) = 𝑓(𝑥𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟏 + 𝑥𝟐 ]

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟎 + 𝑥𝟐 ]

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟎 + 𝑥𝟏 ]

Assumindo que os números do intervalo são igualmente espaçados por um incremento h, então há 3 situações para fórmula de três pontos.

1ª Situação para Fórmula de Três Pontos.

ቐ

𝒙

_𝟎

=

𝛉

𝑥

₁

=

𝛉

+ 𝒉

𝑥

₂

=

𝛉

+ 𝟐𝒉

𝒇

′

(𝒙

_𝟎

) =

𝟏 𝟐𝒉

[−𝟑𝒇 𝒙

𝟎

+ 𝟒𝒇(𝒙

𝟏

) − 𝒇(𝒙

𝟐

)]

Derivada do Polinômio Interpolador de Lagrange para 3 pontos 𝑷_𝟐′ (𝒙) = 𝑓(𝑥𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟏 + 𝑥𝟐 ]

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟎 + 𝑥𝟐 ]

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟎 + 𝑥𝟏 ]

2ª Situação

para Fórmula de Três Pontos.

ቐ

𝒙

_𝟎

=

𝛉

− 𝒉

𝒙

_𝟏

= 𝛉

𝑥

₂

=

𝛉

+ 𝒉

𝒇

′

(𝒙

_𝟏

) =

𝟏 𝟐𝒉

[ 𝒇 𝒙

𝟐

− 𝒇 𝒙

𝟎

]

Derivada do Polinômio Interpolador de Lagrange para 3 pontos 𝑷_𝟐′ (𝒙) = 𝑓(𝑥𝟎) (𝑥_𝟎−𝑥_𝟏)∙(𝑥_𝟎−𝑥_𝟐) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟏 + 𝑥𝟐 ]

+

𝑓(𝑥𝟏) (𝑥_𝟏−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟏−𝑥_𝟐) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟎 + 𝑥𝟐 ]

+

𝑓(𝑥𝟐) (𝑥_𝟐−𝑥_𝟎)∙(𝑥_𝟐−𝑥_𝟏) ∙ [ 𝟐𝒙 − 𝑥𝟎 + 𝑥𝟏 ]

3ª Situação

para Fórmula de Três Pontos.

ቐ

𝒙

_𝟎

=

𝛉

− 𝟐𝒉

𝒙

_𝟏

=

𝛉

− 𝒉

𝒙

_𝟐

= 𝛉

𝑓

′

(𝑥

₂

) =

1 2ℎ

[𝑓 𝑥

0

− 4𝑓 𝑥

1

+ 3𝑓(𝑥

2

)]

Derivação Numérica: Fórmula de Três Pontos

1ª Situação ቐ 𝒙_𝟎 = 𝛉 𝑥₁ = 𝛉 + ℎ 𝑥₂ = 𝛉 + 2ℎ 2ª Situação ቐ 𝑥₀ = 𝛉 − ℎ 𝒙_𝟏 = 𝛉 𝑥₂ = 𝛉 + ℎ 3ª Situação ቐ 𝑥₀ = 𝛉 − 2ℎ 𝑥₁ = 𝛉 − ℎ 𝒙_𝟐 = 𝛉 𝑓′(𝑥₀) = 1 2ℎ [−3𝑓 𝒙𝟎 + 4𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)] 𝑓′(𝑥₁) = 1 2ℎ [𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥0)] 𝑓′(𝑥₂) = 1 2ℎ [𝑓 𝑥0 − 4𝑓 𝑥1 + 3𝑓(𝑥2)]

Exercício: a) Dada a tabela, determine f’(2) , utilizando Fórmula de Três Pontos : i) 1ª Situação ቐ 𝒙_𝟎 = 𝟐, 𝟎 𝑥₁ = 2,1 𝑥₂ = 2,2 x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 𝒇 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 10,889365 12,703199 14,778112 17,148957 19,855030 𝑓′(𝑥₀) = 1 2ℎ [ −3𝑓 𝒙𝟎 + 4𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2 ]

Exercício: a) Dada a tabela, determine f’(2) , utilizando Fórmula de Três Pontos : ii) 2ª Situação ቐ 𝑥₀ = 1,9 𝒙_𝟏 = 𝟐, 𝟎 𝑥₂ = 2,1 x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 𝒇 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 10,889365 12,703199 14,778112 17,148957 19,855030 𝑓′(𝑥₁) = 1 2ℎ [ 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥0 ]

Exercício: a) Dada a tabela, determine f’(2) , utilizando Fórmula de Três Pontos : iii) 3ª Situação ቐ 𝑥₀ = 1,8 𝑥₁ = 1,9 𝒙_𝟐 = 𝟐, 𝟎 x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 𝒇 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 10,889365 12,703199 14,778112 17,148957 19,855030 𝑓′(𝑥₂) = 1 2ℎ [ 𝑓 𝑥0 − 4𝑓 𝑥1 + 3𝑓 𝑥2 ]

Exercício: a) Dada a tabela, determine f’(2) , utilizando Fórmula de Três Pontos : i) 1ª Situação ቐ 𝒙_𝟎 = 𝟐, 𝟎 𝑥₁ = 2,1 𝑥₂ = 2,2 ii) 2ª Situação ቐ 𝑥₀ = 1,9 𝒙_𝟏 = 𝟐, 𝟎 𝑥₂ = 2,1 iii) 3ª Situação ቐ 𝑥₀ = 1,8 𝑥₁ = 1,9 𝒙_𝟐 = 𝟐,𝟎 x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 𝒇 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 10,889365 12,703199 14,778112 17,148957 19,855030 𝑓′(𝑥₀) = 1 2ℎ [−3𝑓 𝒙𝟎 + 4𝑓(𝑥1) − 𝑓(𝑥2)] 𝑓′(𝑥₁) = 1 2ℎ [𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥0)] 𝑓′(𝑥₂) = 1 2ℎ [𝑓 𝑥0 − 4𝑓 𝑥1 + 3𝑓(𝑥2)]

Exercício: Dada a tabela, determine f’(2)

a)Utilizando Fórmula de Três Pontos :

i) 1ª Situação : f’(2) = 22,032310

ii) 2ª Situação: f’(2) = 22,228790

iii) 3ª Situação: f’(2) = 22,054425

b) Determine f’(2), utilizando a fórmula da diferença superior .

𝑓′ 𝒙_𝟎 ≅ 𝑓 𝒙𝟎+ℎ −𝑓(𝒙𝟎) ℎ 𝑓′ 𝟐 ≅ 𝑓 𝟐+0,1 −𝑓 𝟐 0,1 = 𝑓 𝟐,𝟏 −𝑓 𝟐 0,1 = 23,708450

c) Derive a função 𝒇 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒆𝒙 e determine o valor exato de f’(2) .

Derivada Analítica: f’(x) = 𝒆𝒙 + 𝒙 ∙ 𝒆𝒙

f’(2) = 𝒆𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒆𝟐  f’(2) = 22,167168

x 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2

Exercício: a) Fórmula de i) 1ª Situação ii) 2ª Situação iii) 3ª Situação

de Três Pontos f’(2)= 22,032310 f’(2)= 22,228790 f’(2)= 22,054425

b) Fórmula da diferença superior : 𝑓′(2)= 23,708450

c) Derivada Analítica: f’(2) = 22,167168

d) Calcule o erro absoluto : 𝑬_{𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐} = 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑹𝒆𝒂𝒍 − 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒑𝒓𝒐𝒙𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐

Fórmula de Três Pontos: 𝑬_{𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐} = 22,167168 − 22,032310 = 0,134858 𝑬_{𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐} = 22,167168 − 22,228790 = 0,061622 𝑬_{𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐} = 22,167168 − 22,054425 = 0,112743

Fórmula da diferença superior : 𝑬_{𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐} = 22,167168 − 23,708450 = 1,541282 Observação: A derivação numérica é considerada instável, uma vez que os valores

pequenos de h são necessários para reduzir o erro de truncamento, porém também há um acrescimento no erro de arredondamento.