TEMAS: • Matrizes
• Representação genérica de uma matriz
• Matrizes especiais e transposta de uma matriz • Igualdade e operações entre matrizes
• Determinante de matrizes de ordem 2 e de ordem 3 • Sistemas de equações lineares
• Classificação dos sistemas lineares • Discussão de um sistema linear
Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1. DEFINIÇÃO DE MATRIZ
Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela retangular formada por m ⋅ n números reais, dispostos em m linhas e n colunas.
Dizemos que a matriz é do tipo m x n ou de ordem m x n.
Exemplo:
𝟏
𝟐 −𝟓 𝟏
𝟐 𝟑 𝟎
Observações:
1. Quando m = 1, a matriz é chamada matriz linha.
Exemplo: 1 3 − 2 é uma matriz linha do tipo 1 x 3
2. Quando n = 1, a matriz é chamada matriz coluna.
Exemplo: 𝟐𝟓
−𝟏
é uma matriz coluna do tipo 3 x 1
3. Quando m = n = 1, a matriz é chamada matriz unitária.
Exemplo: 4 é uma matriz unitária (1 x 1 ) DEFINIÇÃO DE MATRIZ
Observe que no item 1., o elemento 3 encontra-se na primeira linha e segunda coluna da matriz; no item 2., o elemento -1 encontra-se na terceira linha e primeira
coluna da matriz; no item 3., o único elemento se encontra na primeira linha e primeira coluna da matriz.
Os números que aparecem na matriz são chamados elementos ou termos da matriz. A matriz A, do tipo m × n, será escrita, genericamente, do seguinte modo:
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZ
A= (aij)m × n, com 1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n e i, j ∈ Lê-se: matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.
MATRIZES ESPECIAIS
Matriz quadrada
Matriz identidade
Matriz nula
Em uma matriz m × n, quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada do tipo n × n ou simplesmente de ordem n.
É a matriz quadrada de ordem n em que todos elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a zero e seu símbolo é In.
É a matriz onde todos os elementos são iguais a zero. A matriz nula do tipo m × n é simbolizada por 0m × n, e a matriz nula de ordem n por 0n.
Igualdade entre matrizes
Duas matrizes, A e B, são iguais se, e somente se, têm o mesmo tipo e seus elementos correspondentes são iguais As matrizes 3 1
5 6 e
6 ∶ 2 2 − 1
5 . 1 4 + 2 são iguais, pois ambas são do mesmo tipo (quadradas de ordem 2) e possuem os elementos correspondentes iguais.
Adição de matrizes
Dadas duas matrizes, A e B, do mesmo tipo, m × n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que
representamos por A + B, a matriz C do tipo m × n na qual cada elemento é obtido adicionando-se os elementos correspondentes de A e B.
Matriz oposta
Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representa-se por − A) a matriz que somada com A resulta em uma matriz nula.
MATRIZ OPOSTA E SUBRTRAÇÃO DE UMA MATRIZES
Subtração de matrizes
Sendo A e B duas matrizes do tipo m x n, denomina-se diferença entre A e B (representada por A − B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B, isto é, A − B = A + (− B).
Se A = 3 6
−2 1 , então a matriz oposta de A é
−3 −6 2 −1 . 3 −2 5 10 0 −1 -2 −3 6 −4 5 1 = 3 −2 5 10 0 −1 + −2 3 −6 4 −5 −1 = 1 1 −1 14 −5 −2
Multiplicação de matriz por um número real
Se A é uma matriz m × n, de elementos aij, e α é um número real, então α ⋅ A é uma matriz m × n cujos elementos são α ⋅ aij.
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UMA MATRIZ E MATRIZ TRANSPOSTA
Matriz
transposta
Seja A uma matriz m × n. Denomina-se matriz transposta de A (indica-se por At) a matriz n × m cujas linhas são,
ordenadamente, as colunas de A.
A = 6 −2
4 5 𝐴
𝑡 = 6 4
−2 5
Notamos que, se A = (aij) é do tipo m × n, então At = (b ji) é do tipo n × m e bji = aij. Sendo A = 5 8 −1 −4 3 6 , então 2A = 2 −45 8 −13 6 = 2(−4)2 . 5 2 . 8 2(−1)2 . 3 2 . 6 = 10 16 −2−8 6 12 𝐴 = 3 10 −1 0 −2 6 𝐴𝑡 = 3 0 10 −2 −1 6 Exemplos:
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
Dada uma matriz A = (aij) do tipo m × n e uma matriz B = (bij) do tipo n × p, o produto da matriz A pela matriz B é a matriz C = (cij) do tipo m × p tal que o elemento cij é calculado multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz B, e somando-se os produtos obtidos. Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, vamos indicá-la por AB.
DETERMINANTE DE UMA MATRIZ
O determinante de uma matriz é um número real associado às matrizes quadradas. Toda matriz quadrada possui determinante.
O determinante de ordem 2
Dada a matriz A = 𝑎𝑎11 𝑎12
21 𝑎22 , indicamos seu determinante deste modo:
det A =
𝑎
𝑎
11𝑎
12O DETERMINANTE DE ORDEM 3
Consideremos a matriz genérica de ordem 3: A = .
O determinante da matriz de ordem 3 é o número:
Exemplo:
EQUAÇÕES LINEARES
De modo geral, denomina-se equação linear toda equação que pode ser escrita na forma geral:
a
1x
1+ a
2x
2+ a
3x
3+ … + a
nx
n= b
na qual:x
1,
x
2,
x
3, …,
x
nsão
incógnitas
;
a
1,
a
2,
a
3, …,
a
nsão números reais chamados
coeficientes
das incógnitas;
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Denomina-se sistema linear m x n o conjunto de m equações lineares em n incógnitas, que pode ser representado da seguinte forma:
Solução de um sistema linear
(α1, α2, α3, …, αn) é solução de um sistema linear quando (α1, α2, α3, …, αn) é solução de cada uma das equações do sistema, ou seja, satisfaz simultaneamente todas as equações do sistema.
CLASSIFICAÇÃO DOS SISTEMAS LINEARES Sistema impossível possível determinado indeterminado tem solução
não tem solução
a solução é única
tem infinitas soluções
Sistema possível e determinado
Sistema possível e indeterminado
CONSIDERAÇÕES
Sistemas possíveis e determinados sempre têm determinante não nulo (D ≠ 0)
Sistemas possíveis e indeterminados ou impossíveis sempre têm determinante nulo (D = 0) Qualquer sistema linear n x n pode ser escrito como um produto de matrizes.
O sistema pode ser escrito como . Matrizes, sistemas lineares e determinantes
ESCALONAMENTO DE SISTEMAS LINEARES
Considerando um sistema genérico m x n, dizemos que ele está escalonado quando a matriz dos coeficientes tiver, em cada uma de suas linhas, o primeiro elemento não nulo situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da linha seguinte. Além disso, linha com todos os elementos nulos deve estar abaixo de todas as outras. Observando as equações do sistema escalonado, percebe-se que, em cada linha considerada, a primeira incógnita com coeficiente não nulo está sempre à esquerda da primeira incógnita com coeficiente não nulo da linha seguinte.
CLASSIFICAÇÃO E RESOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES ESCALONADOS
Considere an ⋅ xn = kn a última linha de um sistema de equações lineares escalonado, em que an, xn e kn são, respectivamente o coeficiente, a incógnita e o termo independente.
an ≠ 0 ⟹ a solução é única. (Sistema possível e determinado).
an = 0 e kn = 0 ⟹ infinitas soluções. (Sistema possível e indeterminado).
an = 0 e kn ≠ 0 ⟹ nenhuma solução. (Sistema impossível).
Sistemas lineares equivalentes
PROCESSO PARA O ESCALONAMENTO DE UM SISTEMA LINEAR
Para transformar um sistema não escalonado em um sistema equivalente escalonado, podemos usar os seguintes procedimentos que não irão alterar a solução do sistema.
Trocar a posição das equações
Multiplicar todos os termos de uma equação por um número real não nulo. 3x − y + z = 5 6x − 2y + 2z = 10
Multiplicar todos os termos de uma equação por um mesmo número real diferente de zero e somar os resultados aos membros correspondentes da outra equação.
Se no processo de escalonamento, obtivermos uma equação com todos os coeficientes nulos e o termo
independente diferente de zero, essa equação será suficiente para afirmar que o sistema é impossível, isto é, tem S= ∅
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR N × N, COM N > 2.
Primeira maneira:
Escalonamos o sistema até a última linha e, a partir dela, fazemos a discussão do sistema.
Segunda maneira:
• Calcula-se o determinante de modo que seu valor não seja nulo, obtendo, então, as condições dos parâmetros para que o sistema seja possível e determinado.
• Com o mesmo determinante, impõe-se que seu valor seja nulo para então substituirmos no sistema os valores obtidos a partir dessa condição.
• Escalona(m)-se o(s) sistema(s) até a última linha e, a partir dela, pode ser concluída a discussão do sistema de acordo com as classificações possíveis dos sistemas lineares escalonados.
