Pergunta: Como encontrar a solu¸c˜

(1)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares

Primeira Aula

Equa¸c˜

ao Linear

Umaequa¸cão linearnas incógnitasx1, x2,· · · , xné uma equa¸cão da forma

(E) a1x1+a2x2+· · ·+anxn =b

onde a1, a2,· · ·, an, b são constantes e n≥1 é um número natural.

• ak ´e chamada coeficiente dexk

• b ´e chamada constanteda equa¸c˜ao

Solu¸c˜

ao e conjunto solu¸c˜

ao

• Uma solu¸cão (ou uma solu¸cão particular) da equa¸cão linear é uma n -upla de números reais

(x1,· · ·, xn)

que satisfaz a equa¸c˜ao (E).

• O conjunto de todas as solu¸cões é chamadoconjunto solu¸cãoousolu¸cão geral da equa¸cão.

Exemplos

1. Os pares (−2,0),(0,1),(1,3₂) são solu¸cões da equa¸cão −x1+ 2x2 = 2

2. As triplas (1,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1₂,3₂,−1) são solu¸cões da equa¸cão

x1+x2+x3 = 1

3. Os pares (0,0), (1,−3), (−2,6) são solu¸cões da equa¸cão 3x1+x2 = 0

4. Consideremos a equa¸c˜ao x+ 2y−4z+w= 3.

• A 4-upla (3,2,1,0) é solu¸cão da equa¸cão pois 3 + 2·2−4·1 + 0 = 3

(2)

Inc´

ognita Principal

A inc´ognita principal da equa¸c˜ao

a1x1+a2x2+· · ·+anxn=b

é a primeira incógnita com coeficiente diferente de zero. As demais incógnitas são chamadas vari´veis livres.

Exemplo

Considere a equa¸c˜ao 2x−4y+z = 8.

• Reescrevendo temos x = 4 + 2y − 1

2z. Qualquer valor para y e z

produzir´a um valor para x. Por exemplo, se y = 3 e z = 2 temos que

x= 9. Assim, a 3-upla (9,3,2) é solu¸cão da equa¸cão.

Pergunta: Como encontrar a solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ?

• Encontramos a solu¸c˜ao geral como segue:

Atribuimos valores arbitrários (parámetros) às variáveis yez, digamos

y=α e z =β.

Assim, a solu¸cão geral da equa¸cão é

x= 4 + 2α− 1

2β, y=α, z =β, em outras palavras

(4 + 2α− 1

2β, α, β), onde α, β ∈_R.

Observa¸c˜

ao 1

Na exemplo anterior temos que

• x ´e a inc´ognita principal.

(3)

Oberva¸c˜

ao 2

As vezes ´e conveniente escrever a solu¸c˜ao geral da seguinte forma

 

x y z

 =

  4 + 2

α− 1 2β

α β

 =

  40

0

 +α

 

−2 1 0

 +β

 

−1 2

0 1

 ,

onde α, β ∈R, ou seja,

(x, y, z) = (4,0,0) +α(−2,1,0) +β(−1

2,0,1), α, β ∈R

Geometricamente, esta é equa¸cão de um plano que: (i) passa pelo ponto (4,0,0) e, (ii) seus vetores diretores são (−2,1,0) e (−1

2,0,1)

Equa¸c˜

ao Homogˆ

enea

Se b = 0, dizemos que a equa¸cão (E) é uma equa¸cão linear homogênea. Observe que (0,0,· · · ,0) é solu¸cão da equa¸cão homogênea. Esta solu¸cão é chamada solu¸cão trivial.

Equa¸c˜

ao degenerada

Equa¸c˜oes da forma

0x1+ 0x2+· · ·+ 0xn=b

s˜ao chamadas equa¸c˜oes degeneradas. ´

E claro que

• se b̸= 0, a equa¸cão acima não tem solu¸cão.

(4)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares

Um sistema de m equa¸cões lineares e n incógnitas (com m, n≥ 1) é um conjunto de equa¸cões da forma

(S)

                    

a11x1+a12x2+· · ·+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+· · ·+a2nxn = b2

... ...

ai1x1+ai2x2+· · ·+ainxn = bi

... ...

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn = bm

onde cada aij e cada bj s˜ao constantes. Aqu´ı 1≤i≤m e 1 ≤j ≤n.

• Umasolu¸cão (ou umasolu¸cão particular) do sistema (S) é uman-upla de números reais (x1, x2,· · · , xn) que satisfaz simultaneamente as m

equa¸c˜oes.

• O conjunto de todas as solu¸cões é chamadoconjunto solu¸cãoousolu¸cão geral do sistema.

Exemplo

Consideremos o sistema

{

x1 + 2x2 − 5x3 + 4x4 = 3

2x1 + 3x2 + x3 − 2x4 = 1

• A 4-upla (−8,6,1,1) ´e uma solu¸c˜ao do sistema.

• A 4-upla (−8,4,1,2) não é solu¸cão do sistema.

• A solu¸c˜ao geral do sistema ´e dada por

(x1, x2, x3, x4) = (−7,5,0,0) +α(−17,11,1,0) +β(16,−10,0,1)

(5)

Exerc´ıcios

1. Mostre que a solu¸cão geral da equa¸cão 2x+y= 4 é dada por

(x, y) = (2,0) +α(−1 2,1

)

, α ∈_R.

Interprete geometricamente este resultado. 2. Considere e equa¸c˜ao x+y−2z+t= 0

(a) Identifique a variável principal e as variáveis livres (b) Determine o conjunto solu¸cão.

(c) (0,0,0,0) pertence ao conjunto solu¸c˜ao ?

3. Considere e equa¸c˜ao x1+ 4x3−3x4+x5 = 5

(a) Identifique a variável principal e as variáveis livres (b) Determine o conjunto solu¸cão.

(6)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Segunda Aula

Sistemas em Forma Escalonada

Um sistema está naforma escalonada se 1. nenhuma equa¸cão é degenerada,

2. a incógnita principal, em cada equa¸cão, está a direita da incógnita principal da equa¸cão precedente.

Observa¸c˜

ao

Se num sistema escalonado o número de equa¸cões é igual ao número de incógnitas, dizemos que este é um sistema triangular.

Vari´

avel Livre

A incógnita xk no sistema escalonado é chamada variável livre sexk não

é incógnita principal em qualquer equa¸cão.

Exemplos

1. O sistema _

 

2x + 4y − z= 11 5y + z= 2 3z= −9

é triangular e possui uma única solu¸cão (2,1,−3) obtida por substi-tui¸cão.

2. O sistema _{

x + 4y − 3z + 2t= 5

z − 4t= 2 ´e um sistema escalonado.

(7)

• As variáveis livres sãoyet. Atribuimos valores arbitrários (parámetros) às variáveis y et, digamos y=α et =β. Assim, a solu¸cão geral é:

(x, y, z, t) = (11,0,2,0) +α(−4,1,0,0) +β(10,0,4,1),

onde α, β ∈_R.

Teorema 1

Seja (S) um sistema escalonado com r equa¸c˜oes e n inc´ognitas tal que

r ≤n.

(i) Se r=n, então o sistema tem solu¸cão única.

(ii) Se r < n, ent˜ao o sistema tem n−r vari´aveis livres.

Sistemas Equivalentes

Sistemas nas mesmas incógnitas são equivalentes se admitem o mesmo conjunto solu¸cão.

Opera¸c˜

oes Elementares

Uma forma de obter um sistema equivalente a um sistema dado, é aplicar uma sequência de opera¸cões chamadas opera¸cões elementares.

Consideremos o seguinte sistema

(S)

                          

a11x1+· · ·+a1nxn = b1 →1a-equa¸c˜ao−→L1

... ... ...

ai1x1+· · ·+ainxn = bi →i-´esima equa¸c˜ao−→Li

... ... ...

aj1x1+· · ·+ajnxn = bj →j-´esima equa¸c˜ao−→Lj

... ... ...

am1x1+· · ·+amnxn = bm →m-´esima equa¸c˜ao−→Lm

(8)

1. Permuta da i-ésima equa¸cão com a j-ésima equa¸cão:

Li ↔Lj.

2. Multiplica¸cão dai-ésima equa¸cão por um escalar β ̸= 0:

Li →βLi.

3. Substitui¸cão da i-ésima equa¸cão pela i-ésima equa¸cão mais β vezes a

j-´esima equa¸c˜ao:

Li →Li+βLj.

Algoritmo da Redu¸c˜

ao

1. Permutar as equa¸c˜oes de maneira quea11 ̸= 0.

2. Use a11 como pivˆo para eliminar x1 de todas as equa¸c˜oes exceto a

primeira.

3. Se a equa¸cão Lj tem a forma 0x1+· · ·+ 0xn = 0, ou se ela é múltiplo

de outra, retire Lj do sistema.

Se a equa¸c˜ao Lj tem a forma 0x1+· · ·+ 0xn =b, comb̸= 0, o sistema

n˜ao tem solu¸c˜ao.

4. Continue o processo at´e que sistema esteja na forma escalonada ou apare¸ca uma equa¸c˜ao degenerada.

Observa¸c˜

ao

Quando usamos a 3a_{opera¸cão seguida da 2}a_{opera¸cão, na prática estamos}

usando uma única opera¸cão, ou seja,substituir a i-´esima linha por α vezes a j-ésima linha mais β vezes a i-´esima linha:

Li →αLj+βLi

Pivˆ

o de uma equa¸c˜

ao

(9)

Teorema 2

Seja ( ˜S) um sistema de equa¸cões lineares obtido do sistema (S) por uma sequência finita de opera¸cões elementares. Então ( ˜S) e (S) tem o mesmo conjunto solu¸cão. Nesse caso os sistemas ( ˜S) e (S) são equivalentes.

Exemplos

1. A solu¸c˜ao geral do sistema

(S)

      

x3 + 2x4 − x5 = 4

x4 − x5 = 3

x3 + 3x4 − 2x5 = 7

2x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 7

´e

(x1, x2, x3, x4, x5) = (−6,0,−2,3,0)+α(−2,1,0,0,0)+β(−3,0,−1,1,1)

onde α, β ∈_R.

Observe que temos tres variáveis principais sãox1, x3, x4e duas variáveis

livres x2 ex5.

O sistema (S) ´e equivalente ao sistema escalonado

(Se)

  

2x1 + 4x2 + x3 + 7x4 = 7

x3 + 2x4 − x5 = 4

x4 − x5 = 3

Podemos usar o Teorema 1 para concluir que (Se) temn−r= 5−3 = 2 duas var´aveis livres.

2. O sistema _

 

(10)

Classifica¸c˜

ao de um sistema de equa¸c˜

oes lineares

(

S

)

(S)

          

Inconsistente ou incompat´ıvel → não há solu¸cão

Consistente ou compat´ıvel →

    

solu¸c˜ao ´unica

infinidade de solu¸c˜oes

Exerc´ıcios

1. Mostre que o conjunto solu¸c˜ao do sistema

  

2x + y − 2z = 10 3x + 2y + 2z = 1 5x + 4y + 3z = 4

é W = {(1,2,−3)}. (Sugestão: Após aplicar o algoritmo de redu¸cão identifique as variáveis principais e as variáveis livres.)

2. Use o Algoritmo de Redu¸c˜ao para mostrar que o conjunto solu¸c˜ao do

sistema _

 

(11)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Terceira Aula

Matrizes

Defini¸c˜

ao

Uma matrizA= (aij) m×n ´e uma tabela de escalaresaij, dispostos em

m-linhas e n-colunas do seguinte modo

A=

        

a11 a12 · · ·a1j · · ·a1n

a21 a22 · · ·a2j · · ·a2n

... ... ...

ai1 ai2 · · ·aij · · ·ain

... ... ...

am1 am2 · · ·amj · · ·amn

        

a21 → n´umero localizado na 2a linha e 1a coluna

aij → número localizado nai-ésima linha e j-ésima coluna

amn → número localizado nam-ésima linha e n-ésima coluna

Nota¸c˜

ao

O conjunto das matrizes reaism×n ser´a denotado por Mm×_n(R).

Observa¸c˜

ao

Se m = n, isto é, o número de linhas é igual ao número de colunas, diremos que A é uma matriz real quadrada. Nesse caso, Mn(R) denota o

(12)

Linhas e Colunas de uma Matriz

1. Asm n-nuplas horizontais

(a11, a12, · · · , a1n)

(a21, a22, · · · , a2n)

... (am1, am2, · · · , amn)

s˜ao as linhas da matriz A. 2. Asn m-uplas verticais

     a11 a21 ... am1     ,      a12 a22 ... am2     , · · · ,      a1n a2n ... amn     

s˜ao as colunas da matriz A.

Exemplo

A matrizC =

(

1 −3 4 0 5 −2

)

´e uma matriz 2×3, ou seja,C ∈M2×3(R)

• Suas linhas s˜ao

(1, −3, 4) e (0, 5, −2)

• Suas colunas s˜ao

( 1 0 ) , ( −3 5 ) e ( 4 −2 )

Matrizes Escalonadas

Uma matriz A´e uma matriz escalonada se:

1. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas n˜ao-nulas.

Observe que n˜ao pode acontecer

A=

 

−5 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2

(13)

2. O primeiro elemento não-nulo de uma linha (chamado elemento princi-pal) está a direita do primeiro elemento não-nulo da linha precedente.

Observe que n˜ao pode acontecer

A=



 1 3 2 50 0 7 4 0 5 1 2

 

Exemplos

As seguintes matrizes s˜ao escalonadas: 1.

A=

   

2 3 2 0 4 5 −6 0 0 1 1 −3 2 0 0 0 0 0 0 6 2 0 0 0 0 0 0 0

   

2.

B =

 

1 2 3 0 0 1 0 0 0

 

3.

C =

 

0 1 3 0 0 4 0 0 0 1 0 −3 0 0 0 0 1 2

 

Matriz em forma canˆ

onica reduzida por linha

Uma matriz escalonada A está naforma canônica reduzida por linha se 1. Cada elemento principal não-nulo é 1.

2. Cada elemento principal é o único elemento não-nulo em sua coluna.

Exemplos

(14)

Opera¸c˜

oes Elementares com Linhas de uma Matriz

1. Permuta da i-´esima linha com a j-´esima linha:

Li ↔Lj.

2. Multiplicar a i-´esima linha por um escalar β ̸= 0:

Li →βLi.

3. Substituir a i-ésima linha pela i-ésima linha mais β vezes a j-ésima linha:

Li →Li+βLj.

Observa¸c˜

ao

Quando usamos a 3a_{opera¸cão seguida da 2}a_{opera¸cão, na prática estamos}

usando uma única opera¸cão, ou seja,substituir a i-´esima linha por α vezes a j-ésima linha mais β vezes a i-´esima linha:

Li →αLj+βLi

Equivalˆ

encia por Linha

Sejam A e B duas matrizes reaism×n. A ´e equivalente por linha a B, escrevemos

A∼B,

seBpode ser obtida deApor uma sequˆencia finita de opera¸c˜oes elementares.

Algoritmos de Redu¸c˜

ao

Algoritmo 1: Redu¸cão à forma escalonada (elimina¸cão Gaussiana)

Seja A= (aij) uma matriz:

1. Determine a 1a _{coluna com um elemento n˜ao-nulo. Seja a coluna}_j 1.

(15)

3. Usar a1j1 como pivˆopara obter zeros abaixo dele.

4. Repita os passos acima com a submatriz formada por todas as linhas exceto a primeira.

5. Continue o processo at´e que A esteja na forma escalonada.

Exemplo

Usando o Algoritmo 1 temos que

A=

  1 2

−3 0 2 4 −2 2 3 6 −4 3

 ∼

  1 2

−3 0 0 0 4 2 0 0 0 2

 =B

Para obter a equivalˆencia acima seguimos os passos a seguir: 1. Usamosa11 = 1 como pivˆo para obterzeros abaixo de a11

2. Usamosa23 = 4 como pivˆo para obterzeros abaixo de a23

Algoritmo 2: Redu¸cão à forma canônica (elimina¸c˜ao de Gauss-Jordan)

Seja A= (aij) uma matriz na forma escalonada:

1. Multiplique a última linha não-nula por um número de modo que o elemento principal não-nulo seja 1.

2. Use este elemento como pivˆo para obter zerosacima do pivˆo . 3. Repita os passos acima com as linhas “anteriores”.

4. Multiplique a 1a_{linha por um n´}_{umero de modo que o elemento n˜ao-nulo}

(16)

Exemplo

Usando o Algoritmo 2 na matrizB do exemplo anterior temos

B =

  1 2

−3 0 0 0 4 2 0 0 0 2

 ∼



 1 2 0 00 0 1 0 0 0 0 1

 =C

onde C ´e uma matriz em forma canˆonica reduzida por linha.

Observa¸c˜ao: Assim, A∼C, ou seja, a matriz A do exemplo anterior ´eequivalente por linha a matriz C.

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Consideremos o seguinte sistema linear

(S)

                    

a11x1 +a12x2 +· · ·+ a1jxj +· · ·+ a1nxn= b1

a21x1 +a22x2 +· · ·+ a2jxj +· · ·+ a2nxn= b2

... ... ...

ai1x1 +ai2x2 +· · ·+ ainxi +· · ·+ ainxn= bi

... ... ...

am1x1 +am2x2 +· · ·+ amjxj +· · ·+ amnxn= bm

Matriz dos coeficientes

A matriz A=         

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n

... ... ... ...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain

... ... ... ...

am1 am2 · · · amj · · · amn

        

(17)

Matriz aumentada ou ampliada

A matriz

M =

        

a11 a12 · · · a1j · · · a1n | b1

a21 a22 · · · a2j · · · a2n | b2

... | ...

ai1 ai2 · · · aij · · · ain | bi

... | ...

am1 am2 · · · amj · · · amn | bm

        

´e chamada matriz aumentadaou ampliadado sistema (S).

Exemplo 1

Considere o sistema

  

x + 2y − 4z = −4 5x + 11y − 21z = −22 3x − 2y + 3z = 11

A matriz ampliada do sistema e a matriz dos coeficientes s˜ao:

M =



 1 2

−4 | −4 5 11 −21 | −22 3 −2 3 | 11



 e A=



 1 2

−4 5 11 −21 3 −2 3

 

respectivamente.

Exemplo 2

Considere o sistema

{

x + 4y − 3z + 2t= 5

z − 4t= 2

A matriz ampliada do sistema e a matriz dos coeficientes s˜ao:

M =

(

1 4 −3 2 | 5 0 0 1 −4 | 2

)

e A=

(

1 4 −3 2 0 0 1 −4

)

(18)

Exerc´ıcios

1. Use os dois algoritmos de elimina¸c˜ao para mostrar que



 2 3 4 5 60 0 3 2 5 0 0 0 0 4

 ∼



 2 3 4 5 60 0 3 2 5 0 0 0 0 4

 ∼

 

1 3₂ 0 7₆ 0 0 0 1 2₃ 0 0 0 0 0 1

 

2. Considere o sistema

  

x + 3y + 13z = 9

y + 5z = 2

− 2y − 10z = −8

(a) Determine a matrizA dos coeficientes e a matriz ampliada M do sistema.

(b) Reduza a matriz M a sua forma canˆonica.

(c) Qual o sistema associado a matriz obtida no item anterior? Este sistema tem solu¸c˜ao ? Em caso afirmativo, encontre a mesma.

3. Mostre que o sistema

  

x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4

2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3

5x1 + 7x2 + 4x3 + x4 = 5

n˜ao

(19)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Quarta Aula

Objetivos:

1. Estudar o sistema (S) reduzindo sua matriz ampliada M `a forma es-calonada, para concluir se o sistema (S) ´e consistente.

2. Reduzir a matriz escalonada obtida à sua forma canônica, para obter a solu¸cão do sistema (S).

Observa¸c˜

oes Importantes

1. Qualquer opera¸c˜ao elementar com as linhas da matriz M equivale a uma opera¸c˜ao correspondente ao sistema (S).

2. O sistema (S) tem solu¸cão se, e somente se, a forma escalonada da matriz M não contém uma linha na forma

(0,0,· · · ,0 | b), com b̸= 0.

Posto e Nulidade de uma Matriz

Defini¸c˜

ao

Sejam A, B ∈ Mm×q(R) duas matrizes tais que A ∼ B, onde B ´e uma

matriz na sua forma canˆonica reduzida por linha.

• pA= posto de A = n´umero de linhas n˜ao-nulas de B.

• (nulidade de A) = q−pA=(n´umero de colunas de A)−pA:

Exemplo 1

Resolva o sistema

  

(20)

Solu¸c˜

ao

A matriz ampliadaM é equivalente à uma matriz N na forma canônica:

M =

 

1 1 −2 4 | 5 2 2 −3 1 | 3 3 3 −4 −2 | 1

 ∼

 

1 1 0 −10 | −9 0 0 1 −7 | −7 0 0 0 0 | 0

 =N

O sistema inicial ´e equivalente ao sistema escalonado:

{

x + y − 10t= −9

z − 7t= −7 Da´ı conclu´ımos que:

• As variáveis principais são x e z • As variáveis livres são y et. A solu¸cão geral é

(x, y, z, t) = (−9,0,−7,0) +α(−1,1,0,0) +β(10,0,7,1), onde α, β ∈R

Observa¸c˜

oes

1. O conjunto solu¸c˜ao ´e dado por

W ={(−9,0,−7,0) +α(−1,1,0,0) +β(10,0,7,1) | α, β ∈_R}.

2. pM = 2 e (Nulidade de M) = 5−2 = 3

3. Observe que a matriz dos coeficientes A´e equivalente `a uma matriz B

na sua forma canˆonica:

A=



 1 12 2 −−23 41 3 3 −4 −2

 ∼



 1 1 00 0 1 −−107 0 0 0 0

 =B

ou seja, pA= 2 e (Nulidade de A) = 4−2 = 2

Exemplo 2

Resolva o sistema

  

x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 4

2x1 + 3x2 + 3x3 − x4 = 3

(21)

Solu¸c˜

ao

A matriz ampliadaM ´e equivalente ´a uma matrizN na forma escalonada:

M =

  1 1

−2 3 | 4 2 3 3 −1 | 3 5 7 4 1 | 5

 ∼

  1 1

−2 3 | 4 0 1 7 −7 | −5 0 0 0 0 | −5

 =N

A terceira linha da matriz equivalente corresponde ´a equa¸c˜ao degenerada 0x1+ 0x2+ 0x3+ 0x4 =−5

sem solu¸cão. Logo,o sistema não tem solu¸cão.

Exemplo 3

Resolva o sistema

  

x + 2y + z = 3 2x + 5y − z = −4 3x − 2y − z = 5

Solu¸c˜

ao:

M =

 

1 2 1 | 3 2 5 −1 | −4 3 −2 −1 | 5

 ∼

 

1 2 1 | 3 0 1 −3 | −10 0 0 −28 | −84

 ∼

 

1 0 0 | 2 0 1 0 | −1 0 0 1 | 3

 =N

O sistema ´e equivalente ao sistema escalonado

  

x = 2

y = −1

z = 3

Assim, a solu¸c˜ao ´e (2,−1,3).

Observa¸c˜

oes

1. A segunda forma escalonada de M acima já indicava solu¸cão única, pois corresponde ao sistema triangular:

  

x + 2y + z = 3

y − 3z = −10

(22)

2. pM = 3 e (Nulidade de M) = 4−3 = 1

3. Observe que

A=



 12 25 −11 3 −2 −1

 ∼



 1 0 00 1 0 0 0 1

 =B

ou seja,

4. pA= 3 e (Nulidade de A) = 3−3 = 0

Teorema

Seja (S) um sistema de m equa¸c˜oes com n inc´ognitas

pM = posto da matriz ampliada do sistema

pA= posto da matriz dos coeficientes do sistema

Ent˜ao

1. (S) tem solu¸c˜ao ⇔ pM =pA.

2. Se pM =pA=n ⇒ (S) tem solu¸c˜ao ´unica.

3. Se pM =pA< n ⇒ (S) tem infinitas solu¸c˜oes.

Neste caso, temos (n−pA) vari´aveis livres e dizemos que (n−pA) ´e o

grau de liberdade do sistema.

Sistemas Homogˆ

enos

Lembremos que, o sistema homogˆeneo sempre tem uma solu¸c˜ao:

(0,0,· · ·,0)

(23)

Pergunta

Se (S) é um sistema homogêneo de m equa¸cões e n incógnitas, o que podemos dizer das solu¸cões de (S) ?

Resposta

No caso de um sistema homogˆeneo temos quepA=pM. Logo:

• Se pA =n ⇒ (S) s´o tem solu¸c˜ao trivial.

• SepA < n ⇒ (S) tem infinitas solu¸c˜oes. Neste caso temos (n−pA)

variáveis livres e dizemos que a dimensão do conjunto solu¸cão W é (n−pA). Escrevemos

dim W =n−pA.

Observa¸c˜

ao

Se não há variáveis livres, a dimensão conjunto solu¸cãoW é zero, ou seja,

dim W = 0

Exemplo 1

Determine o conjunto solu¸c˜ao W do sistema:

(S)

  

x + 2y − 3z + 2s − 4t = 0 2x + 4y − 5z + s − 6t = 0 5x + 10y − 13z + 4s − 16t = 0

Solu¸c˜

ao

A=

  1 2

−3 2 −4 2 4 −5 1 −6 5 10 −13 4 −16

 ∼



 1 2 0

−7 2 0 0 1 −3 2 0 0 0 0 0

(24)

Ent˜ao, o sistema (S) ´e equivalente ao sistema escalonado

{

x + 2y − 7s + 2t = 0

z − 3s + 2t = 0 O conjunto solu¸c˜ao ´e

W ={α(−2,1,0,0,0) +β(7,0,3,1,0) +λ(−2,0,−2,0,1)|α, β, γ ∈_R}

Observa¸c˜

oes

• Como pA = 2 < 5 = (n´umero de vari´aveis), o sistema tem infinitas

solu¸c˜oes.

• Como temos 5−2 = 3 vari´aveis livres, ent˜ao dim W = 3

• Dizemos que os vetores solu¸c˜ao

(−2,1,0,0,0), (7,0,3,1,0), (−2,0,−2,0,1) formam uma base do conjunto W.

Exemplo 2

Determine o conjunto solu¸c˜ao W do sistema:

(S)

  

x + y − z = 0

2x − 3y + z = 0

x − 4y + 2z = 0

Solu¸c˜

ao

A =

 

1 1 −1 2 −3 1 1 −4 2

 ∼

 

1 0 −2 5

0 1 −3 5

0 0 0

 =B

O sistema (S) ´e equivalente ao sistema

{

x − 2₅z = 0

y − 3

5z = 0

(25)

W ={α(2 5,

3

5,1)|α∈R}.

Dizemos que o vetor solu¸c˜ao (2₅,₅3,1) forma uma base do conjunto W.

Observa¸c˜

oes

• Como pA = 2 < 3 = (n´umero de vari´aveis), o sistema tem infinitas

solu¸c˜oes.

• Como temos 3−2 = 1 vari´avel livre, ent˜ao dim W = 1

Exerc´ıcios

1. Resolva os sistemas abaixo, usando a matriz ampliada

(a)

  

x + 2y − 3z − 2v + 4w = 1 2x + 5y − 8z − v + 6w = 4

x + 4y − 7z + 5v + 2w = 8

(b)

  

x + 5y + 4z − 13w = 3 3x − y + 2z + 5w = 2 2x + 2y + 3z − 4w = 1 2. Determine os valores de a de modo que o sistema

  

x + 2y − 3z = 4

3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2₋₁₄₎_z ₌ _a_{+ 2}

nas incógnitasx, yez tenha (i) solu¸cão única (ii) nenhuma solu¸cão (iii) uma infinidade de solu¸cões.

3. Mesma quest˜ao anterior para os sistemas

(a)

  

x + y + z = 2

2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + (a2−1)z = a+ 1

(b)

  

x + y − z = 1

2x + 3y + az = 3

(26)

4. Determine o conjunto solu¸c˜ao do sistema

  

2x − y = λx

2x − y + z = λy −2x + 2y + z = λz

(27)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Quinta Aula

Exemplo 3

Determine o conjunto solu¸c˜ao do sistema:

(S)

  

x + y − z = 0

2x + 4y − z = 0 3x + 2y + 2z = 0

Solu¸c˜

ao

A=

 

1 1 −1 2 4 −1 3 2 2

 ∼

 

1 1 −1 0 2 1 0 0 11

 ∼

 

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 =B

Então, o conjunto solu¸cão é W ={(0,0,0)}.

Observa¸c˜

oes

• Estudando o posto da matrizApodemos concluir imediatamente que o sistema só tem a solu¸cão trivial. De fato,pA= 3 = (número de variáveis)

• Al´em disso, dim W = 0

Matrizes Linha e Coluna

Uma matriz A uma matrizm×n´e chamada:

• matriz coluna se n= 1

(28)

Exemplo

As matrizes

C =

 

−4 2 1



 e L= (1 2 0 −1) s˜ao coluna e linha respectivamente.

Observa¸c˜

ao

Observe que C ∈M3×1(R) e L∈M1×4(R).

Diagonal e tra¸co de uma matriz quadrada

SejaA= (aij)∈Mn, ou seja,

A=

        

a11 a12 · · ·a1j · · ·a1n

a21 a22 · · ·a2j · · ·a2n

... ... ...

ai1 ai2 · · ·aii · · ·ain

... ... ...

an1 an2 · · ·anj · · ·ann

        

1. Adiagonal oudiagonal principalde A´e formada pelos elementos

a11, a22,· · · , ann

2. O tra¸co de A, tr(A), ´e a soma dos elementos diagonais, ou seja,

tr(A) =a11+a22+· · ·+ann

Tipos especiais de matrizes quadradas

• Um matriz D= (dij) ´e chamada matriz diagonalse dij = 0 parai̸=j.

As matrizes

A=

 

3 0 0 0 −7 0 0 0 2



 e B =

   

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −9 0 0 0 0 1

   

(29)

Nota¸c˜

ao

As vezes denotaremos as matrizes diagonais por

D=diag(d11, d22,· · · , dnn).

Assim,

A=diag(3,−7,2) e B =diag(6,0,−9,1).

Caso particular

• A matriz de ordem n tal que aii = 1 e aij = 0 para i ̸= j ´e chamada

matriz identidade e a denotamos por I ouIn.

• Observemos que I =diag(1,1,· · · ,1).

Matrizes Triangulares

• A = (aij) ´e Triangular Superior se todos os elementos abaixo da

dia-gonal s˜ao nulos, isto ´e

aij = 0 para i > j.

• A= (aij) ´eTriangular Inferiorse todos os elementos acima da diagonal

s˜ao nulos, isto ´e

aij = 0 para i < j.

Exemplo

Considere as matrizes

A=

 

2 −1 1 0 −1 4 0 0 3



, B =

   

2 0 0 0 1 −1 0 0 1 2 2 0 1 3 5 1

  

, C =  

5 0 0 7 0 0 0 1 3

 

• A ´e triangular superior

(30)

Matrizes Sim´

etricas

Uma matriz A= (aij) ´e sim´etricase aij =aji.

Exemplo

Sejam as matrizes

A=

  2

−3 5

−3 6 7 5 7 −8



, B =



 0 3

−4

−3 0 5 4 −5 0

 

• A ´e sim´etrica

• B não é simétrica. Ela é chamada anti-simétrica.

(31)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Sexta Aula

Opera¸c˜

oes com Matrizes

Soma

Sejam A= (aij), B = (bij)∈ Mm×_n(R). A soma deA e B, denotada por

A+B, ´e a matrizm×n obtida somando-se os termos correspondentes:

A+B = (aij +bij).

Multiplica¸c˜

ao por Escalar

Amultiplica¸c˜aodo escalarαpela matrizA= (aij)∈Mm×n(R), denotada

por α·A, ´e a matriz m×n obtida multiplicando-se porα cada elemento da matriz A

α·A= (α·aij).

Exemplos

Sejam A=

(

1 −2 3 4 5 −6

)

e B =

(

3 0 2

−7 1 8

)

• A+B =

(

4 −2 5

−3 6 2

)

• 3A=

(

3 −6 9 12 15 −18

)

• 2A−3B =

(

−7 −4 0 29 7 −36

)

Matriz Nula

• A matrizm×n cujos elementos s˜ao todos zero ´e chamada matriz zero

(32)

• Observe que para qualquer matriz A∈Mm×_n(R) se verifica

A+ 0 = 0 +A=A.

Propriedades da soma

Sejam A, B, C ∈Mm×_n(R)

1. A+ (B+C) = (A+B) +C

2. A+B =B+A

3. Existe uma matriz 0∈Mm×n(R) tal que

A+ 0 = 0 +A =A, para todaA∈Mm×_n(R)

4. Seja A∈Mm×_n(R), existe uma matriz (−A)∈M_m×_n(R) tal que

A+ (−A) = 0 Observe que

−A= (−aij).

Propriedades da multiplica¸c˜

ao por escalar

Sejam as matrizes A, B ∈Mm×n(R) e os escalares α, β ∈R:

1. α·(A+B) = α·A+α·B

2. (α+β)·A=α·A+β·A

(33)

Multiplica¸c˜

ao de Matrizes (caso particular)

O produto de uma matriz linha A = (ai) ∈ M1×n(R) por uma matriz

coluna B = (bi)∈Mn×1(R) ´e definido por

A·B = (a1 a2 · · · an)

    

b1

b2

...

bn

    

= a1b1+a2b2+· · ·+anbn = n

∑

k=1

akbk

Exemplo

Sejam A= (8 −4 5) e B =

 

3 2

−1

 ent˜ao

A·B = 8·3 + (−4)·2 + 5·(−1) = 24−8−5

= 11

Observa¸c˜

ao

Note que A·B ´e um escalar ou uma matriz 1×1.

Multiplica¸c˜

ao de Matrizes: Caso Geral

Sejam A = (aij) ∈ Mm×_p(R) e B = (b_jk) ∈ M_p×_n(R). O produto AB ´e

a matriz m×n cujo elemento de ordem ij se obtém multplicando a i-ésima linha de A pelaj-ésima coluna de B,

A·B =

     

a11 a12 · · · a1p

· · · ai1 ai2 · · · aip

· · · am1 am2 · · · amp

     ·

  

b11 · · · b1j · · · b1n

... ... ...

bp1 · · · bpj · · · bpn

(34)

=

     

c11 · · · c1j · · · c1n

· · · · ci1 · · · cij · · · cin

· · · · cm1 · · · cmj · · · cmn

     ,

Observe que :

1. (m×p)·(p×n)→(m×n)

2. cij=ai1b1j+ai2b2j· · ·+aipbpj = p

∑

k=1

aikbkj

3. Para calcularA·B precisamos que o n´umero de colunas deAseja igual ao n´umero de linhas de B.

Exemplos

1. Sejam

A =

(

r s t u

)

e B =

(

a1 a2 a3

b1 b2 b3

)

ent˜ao

A·B =

(

ra1+sb1 ra2+sb2 ra3+sb3

ta1+ub1 ta2+ub2 ta3+ub3

)

2. Sejam

A=

(

1 2 3 4

)

e B =

(

1 1 0 2

)

ent˜ao

A·B =

(

1 5 3 11

)

̸

=

(

4 6 6 18

)

=B·A

Observa¸c˜

ao Importante

(35)

Propriedades da multiplica¸c˜

ao de Matrizes

1. A·(B·C) = (A·B)·C (associativa)

2. A·(B+C) =A·B +A·C (distributiva `a esquerda) 3. (A+B)·C =A·C+B·C (distributiva `a direita) 4. α(AB) = (α·A)B =A(α·B), α escalar

5. Se A e I são matrizes quadradas da mesma ordem, onde I é a matriz identidade, então

A·I =I·A=A

Observa¸c˜

ao

Sejam

A =

  1

−1 1

−3 2 −1

−2 1 0



 e B =



 1 2 32 4 6 1 2 3

 

ent˜ao

A·B = 03×₃ ← matriz nula de ordem 3

(36)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

S´etima Aula

Transposi¸c˜

ao de Matrizes

A transposta da matriz A, denotada por At _ou _AT_{, ´e a matriz obtida}

escrevendo-se as linhas de A, em ordem, como colunas:

   

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

· · · · am1 am2 · · · amn

   

t

=

    

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2

... ... ... ...

a1n a2n · · · amn

    

Ou seja, se A= (aij)∈Mm×_n(R) ent˜ao At= (a_ji)∈M_n×_m(R).

Observa¸c˜

ao

A transposta de uma matriz linha ´e uma matriz coluna e vice-versa.

Exemplo

Seja

A=



 12 21 3 −1

 

3×2

Ent˜ao

At =

(

1 2 3 2 1 −1

)

2×3

Propriedades da transposta de uma matriz

1. (A+B)t₌_At₊_Bt

2. (α·A)t ₌_α_·_At_, _α _escalar

3. (At₎t ₌_A

4. Se Am×_n(R) e B ∈M_n×_p(R) ⇒ (A·B)

(37)

5. Seja A uma matriz quadrada. Ent˜ao

A´e sim´etrica ⇔ At ₌_A_.

Determinantes

Odeterminantede uma matriz quadradaA= (aij) de ordemn´e o n´umero

denotado por

det(A) ou |A|

ou ainda

a11 a12 · · ·a1j · · ·a1n

a21 a22 · · ·a2j · · ·a2n

... ... ...

ai1 ai2 · · ·aii · · ·ain

... ... ...

an1 an2 · · ·anj · · ·ann

Casos particulares

• Determinante de ordem 1 Se A= (a11) ent˜ao det(A) =a11

• Determinante de ordem 2 Seja A uma matriz de ordem 2. Ent˜ao

det(A) =

aa1121 aa1222

=a11a22−a12a21

• Determinante de ordem 3 Seja A uma matriz de ordem 3. Ent˜ao

detA=

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=a11a22a33+a12+a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32

• O determinante de uma matriz A de ordem 3 pode ser escrito como:

det(A) =a11det(A11)−a12det(A12) +a13det(A13),

onde

A11 =

(

a22 a23

a32 a33

)

, A12=

(

a21 a23

a31 a33

)

e A13

(

a21 a22

a31 a32

)

(38)

Cofator

Seja A uma matriz quadrada de ordem n: O cofator do elemento aij da

matriz A´e definido por

∆ij = (−1)i+jdet(Aij),

ondeAij ´e a submatriz quadrada de ordem (n−1) deAobtida por elimina¸c˜ao

da i-´esima linha e daj-´esima coluna.

Observa¸c˜

oes

• O determinante Mij = det(Aij) tamb´em ´e conhecido como o menor

relativo ao elemento aij deA.

Assim, o cofator do elemento aij pode ser escrito como

∆ij = (−1)i+jMij

• Usando o cofator podemos obter uma outra express˜ao para o determi-nante da matriz A de ordem 3:

det(A) = a11∆11+a12∆12+a13∆13

• A express˜ao acima ´e conhecida como o desenvolvimento de Laplace

segundo a primeira linha.

• E poss´ıvel desenvolver o´ det(A) pela i-´esima linha, ou seja

det(A) =ai1∆i1+ai2∆i2+ai3∆i3

Exemplos

1. Se A=

(

2 −3 3 5

)

, ent˜ao det(A) = 19

2.

2 1 1 0 5 −2 1 −3 4

= 21

3.

1 2 3 4 −2 3 0 5 −1

(39)

Determinante da matriz do exemplo 2:

• Vamos desenvolver o det(A) pela primeira linha, ou seja,

det(A) = a11∆11+a12∆12+a13∆13

cofator de a11= 2:

∆11 = (−1)1+1det(A11) = (−1)2

−53 −24

= 14

cofator de a12= 1 :

∆12= (−1)1+2det(A12) = (−1)3

01 −24

=−2

cofator de a13= 1 : ∆13=−5

Ent˜ao

det(A) = 2(14) + 1(−2) + 1(−5) = 21

• Podemos desenvolver odet(A) pelasegunda linhaou ainda pelaterceira linha e obteremos o mesmo resultado:

det(A) = 0∆21+ 5∆22+ (−2)∆23

det(A) = 1∆31+ (−3)∆32+ 4∆33

Determinante de ordem arbitr´

aria

n

Considere um produto den elementos da matrizAtais que um e somente um elemento provenha de cada linha e um e somente um elemento provenha de cada coluna. Esse produto pode ser escrito como

a1j1a2j2 · · · anjn.

Observemos que:

(40)

2. como os fatores são obtidos de colunas diferentes, a sequência dos se-gundos ´ındices forma uma permuta¸cão

j1j2 · · · jn

Assim, a matriz A contém n! desses produtos. Seja j1j2 · · · jn uma permuta¸cão arbitrária:

3. ela tem uma invers˜ao se um inteiro maiorjr precede um inteiro menor

4. O número de inversões da permuta¸cão j1j2 · · · jn é denotado por

J =J(j1j2 · · · jn)

Defini¸c˜

ao

O determinante deA= (aij) de ordemn, denotado pordet(A). ´e a soma

de todos os n! produtos acima, onde cada produto ´e multiplicado por (−1)J_,

ou seja,

det(A) = ∑

ρ

(−1)J_a

1j1a2j2· · ·anjn

onde ρ indica que a soma ´e considerada sobre todas as permuta¸c˜oes de n

elementos.

A

∈

M

3

(

R

)

A=

 

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

 

• a11a12a33 j1 = 1 j2 = 2 j3 = 3 1 2 3

• a11a23a32 j1 = 1 j2 = 3 j3 = 2 1 3 2

• a12a21a33 j1 = 2 j2 = 1 j3 = 3 2 1 3

• a12a23a31 j1 = 2 j2 = 3 j3 = 1 2 3 1

(41)

• a13a22a31 j1 = 3 j2 = 2 j3 = 1 3 2 1

↑

permuta¸c˜oes de S3 ={1,2,3}

• Quantas permuta¸c˜oes h´a em S3 ? 3! = 3·2·1 = 6

permuta¸c˜ao no _{de invers˜oes}

1 2 3 J(123) = 0

1 3 2 J(132) = 1 pois 3>2 2 1 3 J(213) = 1 pois 2>1 2 3 1 J(231) = 2 pois 3 >1 e 2>1 3 1 2 J(312) = 2 pois 3 >1 e 3>2 3 2 1 J(321) = 3 pois 3 >1, 3>2 e 2 >1 Assim

det(A) = (−1)0_a

11a22a33+ (−1)1a11a23a32+ (−1)1a12a21a33

+(−1)2_a

12a23a31+ (−1)2a13a21a32+ (−1)3a13a22a31

ou seja

a11a22a33−a11a23a32−a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31

Teorema

O determinante de uma matriz quadrada de ordem n´e igual `a:

det(A) =ai1∆i1+ai2∆i2+· · ·+ain∆in

chamado de desenvolvimento de Laplace do determinante de A segundo a

(42)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Oitava Aula

Algumas propriedades dos determinantes

As seguintes propriedades reduzir˜ao o esfor¸co computacional:

P1 Se A tem uma linha (ou coluna) nula ⇒det(A) = 0

P2 det(A) =det(At)

Se A=



 −32 2 85 0 1 −1 0



 ent˜ao At₌



 32 −25 −11 8 0 0

 

P3 A(Li →αLi)B ⇒ det(B) =αdet(A)

A=

 

2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5

 ∼

 

2 3 −4 0 −2 1 1 −1 5

 =B

usando (L2 → 1₂L2). Ent˜aodet(B) = 1₂det(A).

P4 A(Li ↔Lj)B ⇒ det(B) = −det(A)

A=

 

2 1 1 0 5 −2 1 −3 4

 ∼

 

0 5 −2 2 1 1 1 −3 4

 =B

usando (L1 ↔L2). Ent˜ao det(B) = −det(A).

P5 Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais ⇒ det(A) = 0

A =

 

2 1 3 2 1 3 1 −3 4

 ∼

 

2 1 3 2 1 3 1 −3 4

 =A

usando (L1 ↔L2). Ent˜ao det(A) = −det(A). Logo

(43)

P6 A(Lj →Lj+αLi)B ⇒ det(B) =det(A)

A=



 10 4 11 2

−2 −3 1

 ∼



 1 4 10 1 2 0 5 3

 =B

usando (L3 →L3 + 2L1). Ent˜ao det(A) =det(B).

P7 det(A·B) =det(A)·det(B)

Observa¸c˜

ao

O determinante da soma N ˜AO ´e a soma dos determinantes. De fato, sejam

A=

(

1 0 0 1

)

e B =

(

−1 0 0 −1

)

ent˜ao

A+B =

(

0 0 0 0

)

Observemos que:

2 = det(A) +det(B)̸=det(A+B) = 0.

Em geral

det(A+B)̸=detA+detB.

Exemplo

SejaA=

   

−1 2 3 −4 4 2 0 0

−1 2 −3 0 2 5 3 1

  

. Calcule det(A).

Solu¸c˜

ao

• Usando o desenvolvimento de Laplace pela segunda linha:

(44)

• Observe que

At=

   

−1 4 −1 2 2 2 2 5 3 0 −3 3

−4 0 0 1

   ∼    

−5 0 −5 −8 2 2 2 5 3 0 −3 3

−4 0 0 1

   =B

usando L1 →L1+ (−2)L2

• P2 e P6implicam que det(A) =det(At_{) =}_det₍_B₎

• Usando o desenvolvimento de Laplace pela segunda coluna temos

det(B) = a22∆22= 2det(A22)

onde

B22=

 

−5 −5 −8 3 −3 3

−4 0 1

 ∼

 

−10 0 −13 3 −3 3

−4 0 1

 =C

usando (L1 →L1 + (−5₃L2)). Ent˜ao

det(B22) = det(C) = 186

Logo det(A) = 2(186) = 372

Exerc´ıcios

1. Mostre que : det

   

5 4 2 1 2 3 1 −2

−5 −7 −3 9 1 −2 −1 4

   = 38

2. Encontre todos os valores de λ para os quais odet(A) = 0

(a) A=

(

λ−2 1

−5 λ+ 4

)

e A=

(

λ−1 0 0 λ+ 4

)

(b) A=

 

λ−4 0 0

0 λ 2

0 3 λ−1



 e A=

 

λ−4 4 0

−1 λ 0 0 0 λ−5

(45)

3. Sem calcular diretamente o determinante, explique por que x = 0 e

x= 2 satisfazem a equa¸c˜ao:

det

  x

2 _x ₂

2 1 1 0 0 −5

 = 0

4. Mostre que det(A) = 0 sem calcular o determinante diretamente:

(a) A=

   

−2 8 1 4 3 2 5 1 1 10 6 5 4 −6 4 −3

   

(b) A=

     

−4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4 1 1 1 1 1 −4

     

5. Se Aé uma matriz de ordem 4, tal quedet(A) = −2. Determine: (i) det(−A) (ii) det(A3) (iii) det(At). 6. Indique se a afirma¸cão dada é verdadeira ou falsa. Justifique.

(i) det(I+A) = 1 +det(A) (ii)det(A4) = [det(A)]4

(iii) det(3A) = 3det(A).

Matriz Adjunta

• matriz dos cofatoresSeja A= (aij) uma matriz quadrada de ordem

n. Amatriz dos cofatores deA, denotada por ¯A, ´e a matriz

¯

A = (∆ij) =

   

∆11 ∆12 · · · ∆1n

∆21 ∆22 · · · ∆2n

· · · ·

∆n1 ∆n2 · · · ∆nn

(46)

• matriz adjunta A matriz

adjA= ( ¯A)t ´e chamadamatriz adjunta de A.

Exemplo

• Seja A=

 

2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5

 

Os cofatores dos nove elementos de A s˜ao:

∆11 = −18 ∆12 = 2 ∆13= 4

∆21 = −11 ∆22 = 14 ∆23= 5

∆31 = −10 ∆32 = −4 ∆33= −8

Logo

¯

A=

 

−18 2 4

−11 14 5

−10 −4 −8



⇒adjA=

 

−18 −11 −10 2 14 −4 4 5 −8

 

Teorema

SeA ´e uma matriz quadrada de ordemn ent˜ao

A·(adjA) =det(A)·I

Defini¸c˜

ao

SeA uma matriz quadrada de ordem n,a matriz B ∈Mn tal que

A·B =B·A=I

´e chamada matriz inversa deA. Escrevemos B =A−1

.

Conclus˜

ao

Do Teorema ´e imediato que A−1

= 1

(47)

Exemplos

1. Se A=

(

6 2 11 4

)

ent˜ao A−₁

=

(

2 −1

−11

2 3

)

2. Se A=

 

2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5



 ent˜ao det(A) =−46.

3. LogoA−1

= ₍−146)

 

−18 −11 −10 2 14 −4 4 5 −8

 =    9 23 11 46 5 23 −1 23 − 7 23 2 23 −2 23 5 46 4 23   

Pergunta: Toda matriz tem inversa ?

Suponha que a inversa deA=

(

1 0 1 0

)

´eB =

( a b c d ) . Ent˜ao ( 1 0 1 0 ) ( a b c d ) = ( 1 0 0 1 )

Logo a = 0 = 1. Absurdo !!

(48)

Sistemas de Equa¸c˜

oes Lineares e Matrizes

Nona Aula

Matriz Inversa

Defini¸c˜

ao

SejaA∈Mn(R). Uma matriz B ∈Mn(R) tal que

A·B =I =B·A

´e chamada matriz inversa deA. Escrevemos B =A−1

.

• Se a matriz inversa existe, ela ´e ´unica.

• Se uma matriz tem inversa, dizemos que ela ´e invert´ıvel ou n˜ ao-singular

Exemplo

Como

A·B =

(

6 2 11 4

) (

2 −1

−11₂ 3

)

=

(

1 0 0 1

)

=I

e

B·A=

(

2 −1

−11₂ 3

) (

6 2 11 4

)

=

(

1 0 0 1

)

=I

ent˜ao

B =

(

2 −1

−11

2 3

)

´e a matriz inversa de A.

• Observemos que a matriz A´e a inversa de B.

(49)

Pergunta: Toda matriz n˜

ao-nula ´

e invert´ıvel?

Suponha que a inversa da matriz A=

(

1 0 1 0

)

´eB =

(

a b c d

)

ent˜ao

A·B =I,

ou seja,

(

1 0 1 0

) (

a b c d

)

=

(

1 0 0 1

)

implica que

(

a b a b

)

=

(

1 0 0 1

)

Logo a= 0 = 1 e b = 0 = 1. Absurdo !!

Resposta: N˜

ao !

Matriz Adjunta

Seja uma matriz quadradada A = (aij). A adjunta de A, denotada por

adj A, ´e a transposta da matriz dos cofatores de A:

adj A=

    

∆11 ∆21 · · · ∆n1

∆12 ∆22 · · · ∆n2

... ... ... ∆1n ∆2n · · · ∆nn

    

Exemplo

SejaA=

 

2 3 −4 0 −4 2 1 −1 5



. Os cofatores de A s˜ao :

∆11 = −18 ∆12 = 2 ∆13 = 4

∆21 = −11 ∆22 = 14 ∆23 = 5

(50)

A transposta da matriz de cofatores de A ´e:

adj A=

 

−18 −11 −10 2 14 −4 4 5 −8

 .

Teorema

Para qualquer matriz quadrada A,

A·(adj A) = (adj A)·A=det(A)·I

onde I ´e a matriz identidade.

Consequencia do Teorema

Sedet(A)̸= 0, ent˜ao

A−1

= 1

det(A)(adj A)

Exemplo

Para a matriz do exemplo anterior temos que

det(A) =−46 logo

A−1

= 1

−46

 

−18 −11 −10 2 14 −4 4 5 −8

 =

   

9 23

11 46

5 23

−1 23 −

7 23

2 23

−2 23 −

5 46

4 23

   

Observa¸c˜

oes

• Se det(A)̸= 0, sabemos que A tem inversa (ver consequencia do Teo-rema anterior)

• Por outro lado, se A tem inversa ent˜ao, A·B =I. Logo

(51)

Da´ı

det(A)̸= 0.

Assim,

A ´e invert´ıvel (i.e. tem inversa) ⇔ det(A)̸= 0.

Determinando Inversas

SejaA uma matriz quadrada. Para encontrar sua inversa: 1. forme a matriz M = (A | I)

2. reduza M, por linhas, `a forma escalonada

Obs Se geramos uma linha nula na “parte esquerda”, A não tem inversa. 3. reduza M à forma canônica reduzida por linhas na forma

(I | B)

4. fa¸ca B =A−1

.

Exemplos

(1) A=

 

1 0 1 1 2 1 0 2 0

  



1 0 1 | 1 0 0 1 2 1 | 0 1 0 0 2 0 | 0 0 1

 ∼

 

1 0 1 | 1 0 0 0 2 0 | −1 1 0 0 0 0 | 1 −1 1

 

Ent˜ao A n˜ao tem inversa.

(2) A=

 

1 0 2 2 −1 3 4 1 8

(52)



 1 0 2

| 1 0 0 2 −1 3 | 0 1 0 4 1 8 | 0 0 1

 ∼



 1 0 0

| −11 2 2 0 1 0 | −4 0 1 0 0 1 | 6 −1 −1

 

A−1

=

 

−11 2 2

−4 0 1 6 −1 −1

 

[(3)] A=

   

2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1

−1 0 0 3

   

(A | I)∼

   

1 0 0 0 | 3 −3 −3 2 0 1 0 0 | −5 6 6 −4 0 0 1 0 | 4 −5 −4 3 0 0 0 1 | 1 −1 −1 1

   

Ent˜ao

A−1

=

   

3 −3 −3 2

−5 6 6 −4 4 −5 −4 3 1 −1 −1 1

   

Aplica¸c˜

ao `

a sistemas

Um sistema (S) de n equa¸cões e n incógnitas é equivalente a seguinte equa¸cão matricial

A·X =B

Se det(A)̸= 0, o sistema tem uma ´unica solu¸c˜ao dada por

X =A−1

·B

Pergunta: O que acontece se

det

(

A

) = 0

?

(53)

1. A solu¸c˜ao geral do sistema

  

x + 2y − 3z = 1 2x + 5y − 8z = 4 3x + 8y − 13z = 7 ´e (x, y, z) = (−3,2,0) +α(−1,2,1), onde α∈R. Observe que det(A) = 0

2. O sistema _

 

x + 2y − 3z = −1 3x − y + 2z = 7 5x + 3y − 4z = 2 n˜ao tem solu¸c˜ao.

Observe que det(A) = 0.

Resposta

Sedet(A) = 0, o sistema pode ter infinitas solu¸cões ou não ter solu¸cão.

Exerc´ıcios

(1) Se A e B s˜ao matrizes invert´ıveis da mesma ordem, mostre que (A· B)−1

=B−1

·A−1

(2) Determine os valores de k de modo que o sistema

  

x + y − z = 1 2x + 3y + kz= 3

x + ky + 3z = 2

nas incógnitas x, y e z tenha (i) solu¸cão única (ii) nenhuma solu¸cão (iii) uma infinidade de solu¸cões

(3) Se A ∈ M3(R) tal que det(A) = 7, determine (i) det(A−1) (ii)

det(2·A−1

) (iii) det((2·A)−1

) (4) Se B =A·At_·_A−1

(54)

(5) SejamA, B, C ∈Mn(R) tais que A̸= 0 e A·B =A·C. Suponha que

existe Y ∈ Mn(R) tal que Y ·A = I, onde I ´e a matriz identidade.

Mostre que B =C.

(6) (a) Mostre que seA, B e A+B s˜ao matrizes quadradas invert´ıveis da mesma ordem, ent˜ao

A·(A−1

+B−1

)·B·(A+B)−1

=I

(b) O que o resultado da parte (a) diz sobre a matriz A−1

+B−1

? (6) Se A∈Mn(R4) tal que A4 =0, mostre que

(I −A)−1

=I+A+A2+A3, onde I ´e a matriz identidade

(7) Sejam A, P ∈Mn(R) tal que P ´e invert´ıvel. Mostre que det(P−1·A·

P) =det(A).

(8) Se (I + 2A)−1

=

(

−1 2 4 5

)

, determine A.