Unidade 6 - Distribuição Contínua de Probabilidades

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Distribuições Contínuas de

Probabilidades

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Ementa:

6.1 – Introdução

6.2 – Distribuição Normal Padronizada

6.3 – Distribuições Normais não Padronizadas 6.4 – Teorema Central do Limite

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6.1 – Introdução

Na unidade 5, vimos como são calculadas as probabilidades para distribuições discretas de probabilidade, onde a variável aleatória “x” tem um número finito de valores possíveis.

Nesta unidade, estudaremos algumas distri-buições de probabilidade contínuas, em que a variável aleatória “x” pode agora assumir in-finitos valores em uma escala contínua. Se “x” possui infinitos valores, a relação P(x)=s/n será igual a 0. Como resolver este problema?

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6.2 – Distribuição normal padronizada

Pela definição: “Uma variável aleatória contínua

tem distribuição normal se essa distribuição é simétrica e apresenta a forma de um sino”,

conforme a figura. Essa distribuição se enquadra na equação:

6 – Distribuições Contínuas

    . 2 . 2 . 2 1          x e y µ - 

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Conforme pode ser visto na equação, ela depende de dois fatores: a média µ e o desvio padrão σ. O desvio padrão determina a abertura da curva, enquanto que a média determina a posição da curva, conforme a figura abaixo:

6 – Distribuições Contínuas

63,6 69,0

Altura dos homens: µ=69,0

σ=2,8 Altura das mulheres

µ=63,6 σ=2,5

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O cálculo da probabilidade para uma determinada faixa de valores de x depende de fazermos a integral definida:

Como esta integral não tem resposta analítica, apela-se para uma tabela de valores de área.

Esta tabela mostra os valores das áreas para uma distribuição normal em particular: A que tem média

zero e desvio padrão igual a 1.

6 – Distribuições Contínuas

dx e x x x P x x x



           2 1 2 . 2 . ) ( . 2 1 2 1    

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A tabela de valores relaciona as áreas os valores da variável aleatória z.

6 – Distribuições Contínuas

                        4279 , 0 4265 , 0 4251 , 0 4236 , 0 4 , 1 4131 , 0 4115 , 0 4099 , 0 4082 , 0 3 , 1 3962 , 0 3944 , 0 3925 , 0 3907 , 0 2 , 1 3770 , 0 3749 , 0 3729 , 0 3708 , 0 1 , 1 07 , 0 05 , 0 04 , 0 03 , 0 z 0 z

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Deve-se verificar qual a área necessária para o cálculo da probabilidade e, conforme o caso, subtrair ou somar valores de áreas obtidas da tabela para obter o valor correto.

Exemplo: Se uma empresa fabrica termôme-tros que

marcam 0°C com média de 0°C e desvio padrão de 1°C. Selecionado um termômetro aleatoriamente, determine:

a) A prob. dele marcar entre 0°C e 1,43°C; b) A prob. de marcar mais de 1,43°C;

c) A prob. de marcar entre -1,35°C e 1,47°C;

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Solução:

a) Queremos o valor da área entre 0 e 1,43°C, e a tabela nos dá valores entre 0 e z. Como o desvio padrão é 1°C, temos condições de buscar na tabela diretamente o valor da probabilidade. Assim:

P(0<x<1,43)=0,4236=42,36%

6 – Distribuições Contínuas

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b) Para valores maiores que 1,43°C, temos que adequar o valor da probabilidade. Como a tabela nos dá somente o valor entre 0 e z, para encontrarmos um valor maior que z, temos que fazer:

P(z>1,43) = 0,5 - P(0<z<1,43)

P(z>1,43) = 0,5 – 0,4236 = 0,0764 = 7,64%

6 – Distribuições Contínuas

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c) Como a curva é simétrica, valores de z negativos têm a mesma área dos valores positivos. Assim, temos que calcular 2 áreas e somá-las para encontrar o valor procurado:

P(-1,35<z<1,47)=P(-1,35<z<0)+P(0<z<1,47) P(-1,35<z<1,47)=0,4115+0,4292 = 0,8407

6 – Distribuições Contínuas

0 1,47 -1,35

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Lembretes importantes:

 Todas as áreas calculadas são positivas, mesmo

que o valor de z seja negativo!!!!

 Podemos subtrair e somar áreas, de forma a obter

a área procurada, mas o valor encontrado deve sempre ser positivo.

Se for dada a probabilidade, podemos procurar a

área na tabela de forma a encontrar o valor de z correspondente (pesquisa reversa).

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6.3 – Distribuições Normais não Padronizadas

Nem sempre os dados têm média zero e desvio padrão igual a 1. Frequentemente os dados apresentam valores de média e desvio padrão diferentes. Nesses casos, ainda é possível calcular a probabilidade, fazendo com que:

Com o valor de z calculado, basta procurar seu valor na tabela z.

6 – Distribuições Contínuas

    x z

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Exemplo: As alturas das mulheres têm média de

63,6 polegadas e desvio padrão de 2,5 polegadas. Selecionada uma mulher aleatoriamente, determine a probabilidade de sua altura estar entre 63,6 e 68,6 polegadas.

Solução:

Vamos inicialmente encontrar a área:

6 – Distribuições Contínuas

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Calculando os valores de z para cada x:

A área solicitada então será:

6 – Distribuições Contínuas

00 , 0 5 , 2 6 , 63 6 , 63 1        x z 00 , 2 5 , 2 6 , 63 6 , 68 2        x z 0 2

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Para estes valores de z, a tabela nos retorna o valor P(0<z<2)=0,4772.

Portanto, há uma probabilidade de 47,72% de que, selecionada uma mulher aleatoriamente, ela tenha entre 63,6 e 68,6 polegadas de altura.

6 – Distribuições Contínuas

63,6 68,6 0,4772

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Exemplo:

Determine a altura que separa os 10% de mulheres mais altas das demais. Considere que as alturas das mulheres têm média de 63,6 polegadas e desvio padrão de 2,5 polegadas.

Solução: Agora, a situação é inversa, temos a área

(10% maiores), mas não o valor de x:

6 – Distribuições Contínuas

63,6 x

0,10 0,40

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Procurando na tabela z o valor 0,4, vemos que não há um valor exato. Buscando o valor mais próximo de 0,4000, temos 0,3997, relativo ao z igual a 1,28. Agora, levando estes dados para a equação de z:

Portanto, as mulheres que medem mais de 66,8 polegadas de altura estão entre as 10% mais altas da população.

6 – Distribuições Contínuas

pol x x x x z 8 , 66 6 , 63 5 , 2 . 28 , 1 5 , 2 6 , 63 28 , 1           

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6.4 – Teorema Central do Limite

Se a variável de interesse não segue uma distribuição normal na população (ou não sabemos qual é a distribuição), a distribuição amostral das médias de amostras aleatórias retiradas desta população será normal, se a tamanho destas amostras for suficientemente grande.

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O que isso quer dizer?

• Este enunciado diz que, à medida que o tamanho da

amostra aumenta, a distribuição das médias amostrais tende a assumir a forma da distribuição normal.

• De fato, se n > 30, podemos afirmar que a

distribuição das médias amostrais é igual à distribuição normal, não importando a distribuição da população.

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Exemplo:

De uma população uniforme formada pelos números inteiros entre 0 e 10.000, são retiradas 101 amostras, conforme se segue:

Dica: Faça suas próprias experiências com o arquivo “Unidade 6.xls” disponibilizado no material.

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1) n=1

Média = x = 4647,733

Desvio Padrão Amostral = s_x = 2875,726

Valor Quantidade 1000 10 2000 8 3000 16 4000 15 5000 11 6000 10 7000 5 8000 7 9000 8 10000 11

6 – Distribuições Contínuas

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Média = x = 4938,47

2) n=2 Valor Quantidade 1000 4 2000 6 3000 8 4000 14 5000 17 6000 18 7000 19 8000 9 9000 5 10000 1

6 – Distribuições Contínuas

(24)

Média = x = 4933,846

6 – Distribuições Contínuas

(25)

Média = x = 4959,409

6 – Distribuições Contínuas

(26)

Média = x = 4991,281

6 – Distribuições Contínuas

(27)

Média = x = 4975,636

6 – Distribuições Contínuas

(28)

Média = x = 4998,701

6 – Distribuições Contínuas

(29)

8) Dados da população: Média = μ = 5.000 Desvio Padrão = σ = 2887,184 Comparação entre s_x e σ_x: n s_x σ_x 1 2875,726 2887,1844 2 2015,861 2041,5476 5 1168,297 1291,1881 10 913,005 913,00786 20 686,1585 645,59405 30 540,7672 527,12533 50 399,2635 408,30953

6 – Distribuições Contínuas

n x    n s s_x 

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TEOREMA CENTRAL DO LIMITE (válido para médias amostrais)

População original

normal uniforme _assimétrica

médias amostrais n = 5 médias amostrais n = 30 médias amostrais n =10

6 – Distribuições Contínuas

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Exemplo: O Teorema Central do Limite aplicado ao projeto de elevadores

Em projetos de elevadores é fundamental considerar o peso das pessoas para que não haja sobrecarga e futuras falhas. Dado que a população brasileira tem peso distribuído normalmente com média μ = 72 kg e σ = 12 kg, determine a probabilidade de que uma pessoa escolhida aleatoriamente pese mais de 78 kg.

3085 , 0 1915 , 0 5 , 0 1915 , 0 50 , 0 12 72 78 ) 5 , 0 (           P p X z z  

Logo, a probabilidade de uma pessoa pesar mais de 78 kg é de 30,85%

72 78

P = ?

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Levando em consideração que uma empresa desenvolveu um elevador de grande porte (25 pessoas) e com capacidade máxima de carga de 1.950Kg, qual a probabilidade de que 25 pessoas que entrem aleatoriamente no elevador, ao mesmo tempo, propiciem um peso médio maior que 78kg?

Agora estamos lidando com a média para um grupo de 25 valores, e não mais com um valor individual.

kg X    72  4 , 2 25 12 _   n X   50 , 2 4 , 2 72 78 _    x X x Z   0062 , 0 4938 , 0 5 0 4938 0 5 2      , P , P_(z _, ₎

Logo, a probabilidade de que entrem 25 pessoas no elevador com peso médio

maior que 78kg será de 0,62%

72 78

P = ?