semejanza

(1)

1 de 14

a a' b b' c c' x x x x x x' x' x' x' x' y y y y y

3 SEMEJANZA

Definimos la semejanza como la transformación geométrica que conserva la forma de los elementos transformados

Dos figuras semejantes tienen, por tanto, igual forma, aunque el tamaño sea diferente. El elemento básico para el estudio de la semejanza es el Teorema de Tales

3.1 TEOREMA DE TALES

Enunciado: Los segmentos determinados por una serie de rectas paralelas en

dos rectas cualesquiera son proporcionales

Demostración:

Parte 1ª

En el extremo de cada segmento x trazamos una paralela a la otra recta.

Quedan determinados n triángulos, que serán iguales puesto que tienen dos ángulos iguales, e igual el segmento comprendido entre ellos. Por tanto, el lado x’ será asimismo igual.

Por quedar formados paralelogramos, los segmentos y serán iguales a x’.

Es decir, si tomamos n segmentos iguales x sobre una recta, quedan determinados por la serie de rectas paralelas n segmentos iguales sobre la otra recta.

Parte 2ª

Dadas dos rectas que se corten y tres rectas paralelas que interceptan sobre una de ellas los segmentos a y b, y sobre la otra los segmentos

a’ y b’.

Siempre podremos encontrar un segmento x

que sea submúltiplo de a y b, con lo que

mx

a

=

y

b

=

nx

.

Por la primera parte de la demostración sabemos que segmentos iguales x sobre una recta determinan segmentos iguales y sobre la otra.

Por tanto,

a

'

=

my

y

b

'

=

ny

. Entonces vemos que:

y

x

my

mx

a

₌

'

y

x

ny

nx

b

₌

'

Luego

'

b

a

=

con lo que queda demostrado el Teorema

a a' b b'

'

c

b

a

=

(2)

2 de 14

n p_a r_t e_s i_g u_a l_e s m n p

3.2 CONSTRUCCIONES DERIVADAS DE TALES

3.2.1 Dividir un segmento en n partes iguales

Tomamos una recta con un ángulo cualquiera que parta de un extremo del segmento. Sobre ella medimos n partes iguales. Unimos su extremo con el extremo del segmento, y trazamos paralelas, que determinarán las subdivisiones del segmento

3.2.2 Dividir un segmento en partes proporcionales a m,n,p...

Tomamos una recta con un ángulo cualquiera que parta de un extremo del segmento. Sobre ella medimos m, n, p con una unidad cualquiera. Unimos su extremo con el extremo del segmento, y trazamos paralelas, que determinarán las sub-divisiones del segmento

3.2.3 Hallar los eme enésimos de un segmento x (x.m/n)

Tomamos una recta con un ángulo cualquiera que parta de un extremo del segmento. Sobre ella medimos a partir del e xtremo m y n. Unimos n con el extremo del segmento, y la paralela por m determinará el segmento buscado.

m/n < 1 m/n > 1

3.2.4 Hallar el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados

Se llama cuarto proporcional a tres segmentos

a, b, c a un segmento x que cumple la proporción:

x

c

b

a

=

Para determinarlo, tomamos alternativamente sobre dos rectas que se cortan, los segmentos

a, b y c. Uniendo los extremos de a y de b, y trazando por el extremo de c una paralela, queda determinado sobre la segunda recta el segmento x buscado m x x .m/n n m x x .m/n n a b c x

(3)

3 de 14

a b x b V A B A' B' x

3.2.5 Hallar el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados

Se llama tercero proporcional a dos segmentos

a, b a un segmento x que cumple la proporción:

x

b

a

₌

La construcción es idéntica al anterior caso, sustituyendo c por b.

El segmento b se llama medio proporcional a los segmentos a y x.

Su construcción se verá posteriormente.

3.3 SEMEJANZA DE TRIANGULOS

Se sabe por repetido que dos triángulos semejantes tienen los lados proporcionales, pero no la demostración. Es como sigue:

Consideremos dos rectas oblicuas cortadas por dos paralelas. Ver la figura. Quedan determinados dos triángulos VAB y VA’B’ que son semejantes por tener sus tres lados paralelos, y por tanto, ser sus ángulos iguales. Aplicando Tales tenemos

'

VB

VA

VB

VA

₌

y transponiendo términos,

'

VB

VA

=

Tracemos ahora por el punto B una paralela a VAA’, que corta a A’B’ en X.

Volviendo a aplicar Tales, considerando las rectas que se cortan B’V y B’A’ y las paralelas BX y VA’, tenemos:

X

A

VB

B

A

VB

'

=

pero por ser ABXA’ un paralelogramo,

AB

X

A

'

=

Sustituyendo, tenemos

AB

VB

B

A

VB

=

'

y trasponiendo términos,

'

VB

B

A

AB

=

Por tanto:

'

A

B

AB

VB

VA

₌

, quedando demostrada la proporcionalidad entre los lados. El teorema recíproco se resolvería de forma parecida.

• Criterios de semejanza de triángulos

Derivados de la anterior demostración, tendríamos los tres criterios de semejanza de triángulos: 1.- Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.

2.- Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

3.- Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y proporcionales los lados adyacentes. V A B A' B'

(4)

4 de 14

3.4 TEOREMAS DE LA ALTURA , EL CATETO Y PITÁGORAS

Derivados de la semejanza de triángulos, tenemos los tres siguientes teoremas:

3.4.1 Teorema de la altura

Enunciado: En un triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre las dos partes en que divide a la hipotenusa.

HC

AH

BH

=

Demostración:

Los triángulos ABH y CAH son semejantes puesto que ambos tienen un ángulo de 90º, y el ángulo B de ABH y el A de CAH son iguales, dado que ambos son complementarios del ángulo C.

Por tanto estableciendo proporción entre sus lados,

HC

AH

BH

=

, como queríamos demostrar.

3.4.2 Teorema del cateto

Enunciado: En un triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

BH

AB

BC

₌

Demostración:

Los triángulos ABC y BHA son semejantes puesto que el ángulo B es común a ambos, y los dos tienen un ángulo de 90º.

Por tanto, estableciendo proporción entre sus lados,

BH

AB

BC

₌

, como queríamos demostrar.

3.4.3 Teorema de Pitágoras

Enunciado: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Demostración: Aplicamos el teorema del cateto a los dos catetos de un triángulo rectángulo, y suprimamos los denominadores:

BH

AB

BC

=

;

2

.

BH

AB

BC

=

HC

AC

BC

₌

;

2

.

HC

AC

BC

=

sumando las dos últimas igualdades,

2 2

)

(

.

BH

BC

HC

BC

BH

HC

AB

AC

BC

+

=

+

=

+

pero

BH

+

HC

=

BC

; por tanto:

BC

2

=

AB

2

+

AC

2 c.q.d.

A

B

C

H

A

B

C

H

(5)

5 de 14

3.5 CONSTRUCCIONES DERIVADAS

Derivadas de la semejanza de triángulos, y de los anteriores teoremas debemos considerar las siguientes construcciones:

3.5.1 Hallar el segmento medio proporcional a dos segmentos dados

Lo podemos resolver por 3 métodos. Por el Teorema de la altura, por el teorema del cateto y por potencia de un punto.

• Segmento medio proporcional

por el teorema de la altura:

Dados dos segmentos a y b, los colocamos sobre una recta uno a continuación del otro. Tomamos arco capaz de 90º para el segmento a+b, y donde termina el primer segmento, levantamos una perpendicular hasta que corte con dicho arco capaz. Este segmento x será el medio proporcional.

• Segmento medio proporcional

por el teorema del cateto:

Dados dos segmentos a y b, los colocamos sobre una recta superpuestos a partir de un extremo.. Tomamos arco capaz de 90º para el segmento mayor, y donde termina el segmento menor, levantamos una perpendicular hasta que corte con dicho arco capaz. Este será el tercer vértice del triángulo rectángulo. Uniendo con el extremo común de ambos segmentos, obtendremos el cateto que es media proporcional entre ellos.

• Segmento medio proporcional

por potencia de un punto:

Dados dos segmentos a y b, los colocamos sobre una recta superpuestos a partir de un extremo P. Trazamos una circunferencia cualquiera que pase por los extremos de ambos segmentos A y B. La tangente x trazada desde el extremo común P de los dos segmentos, será media proporcional, ya que:

2

'

.

PB

PT

PA

=

3.5.2 Hallar dos segmentos conocida su suma a+b y su proporción m/n

Trazaremos dos paralelas en los extremos del segmento dado a+b. Sobre ellas medimos m y n

en sentidos opuestos. Uniendo los extremos, obtendremos los segmentos a y b.

Los triángulos obtenidos son semejantes por tener los lados paralelos, y por tanto, los ángulos iguales. La razón de los lados es m/n,

a b a b x T P A B x a b b a

a

b

x

m

n

a

b

(6)

6 de 14

3.5.3 Hallar dos segmentos dados conocida su diferencia a-b y su

proporción m/n

Igual construcción que el caso anterior, pero los segmentos m y n los llevaremos en el mismo sentido sobre las dos paralelas.

3.5.4 Dado un segmento a, hallar el segmento

a.

x

Por Pitágoras se demuestra que si un triángulo rectángulo tiene por catetos a x y a, la hipotenusa medirá a x+1

Por tanto, para hallar a 2, deberemos hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y a , y en general, para hallar a x, tomaremos la hipotenusa de un triángulo

rectángulo de catetos a x-1 y a.

Ej: Dado el segmento a, hallar el segmento a 2 y el segmento a 6

a

a a 2

Para hallar

6

a , necesitamos conocer a 5 , y para ello, a 4, que es 2ª. Por tanto partimos del triángulo rectángulo de catetos 2a y a, para hallar a 5 , y posteriormente el triángulo rectángulo de catetos a 5 y a para hallar a 6 . a 2 a a 5 a a 6

m

n

a

b

a-b

(7)

7 de 14

3.6 HOMOTECIA

Homotecia es la transformación geométrica que produce figuras semejantes.

Mediante una homotecia, un punto

A

se transforma en otro punto

A’

tal que

A

y

A’

están alineados con un punto fijo

Oh

llamado Centro de homotecia, y cumplen la proporción

k

OA

=

'

, siendo k un valor fijo llamado Razón de homotecia.

Por tanto,

OA

'

=

k

OA

Si esta constante fuera negativa, los segmentos

OA

y

OA

’ tendrían sentidos opuestos.

Si consideramos un segundo punto

B

y su homólogo

B’

, se daría la proporción:

OB

OA

k

=

'

=

'

lo que implica, por aplicación de Tales, que los segmentos

AB

y

A

' B

'

son paralelos y que sus longitudes serán también proporcionales.

AB

k

B

A

'

=

Este paralelismo facilita la aplicación gráfica de la homotecia, puesto que a base de rectas paralelas y rectas convergentes en el Centro de homotecia, fácilmente obtenemos la figura homóloga de una figura dada.

Ejemplo: Obtener la homóloga de la figura dada en una homotecia de razón 5/3 y centro O Solución: Hallamos el homólogo de un primer punto A de forma gráfica o analítica, y posteriormente, mediante paralelas y rectas convergentes en O hallamos los demás.

A

A'

O

La relación entre las áreas de una figura y su homóloga será el cuadrado de la razón de homotecia, ya que un área es un producto de longitudes. Por tanto, si queremos dibujar una figura semejante a una figura dada, con una relación de áreas, la razón de homotecia ha de ser la raíz cuadrada de esa relación.

A

A'

B

B'

Oh

Homotecia de razón negativa

A

A'

B

B'

Oh

(8)

8 de 14

O O' Oh- Oh+ P P' P'

• Homotecia entre circunferencias

Dos circunferencias son siempre semejantes, y podrán ser transformadas una en otra por dos homotecias, una de razón positiva y otra de razón negativa. Para encontrar los centros de dichas homotecias, deberemos tomar la recta de unión de los centros, en donde se han de encontrar forzosamente, y trazar dos rectas paralelas por ellos en cualquier ángulo. Los puntos de corte de dichas paralelas con las circunferencias serán también puntos homólogos, y en la recta que los une estará el centro de homotecia.

Por estos centros de homotecia han de pasar las tangentes comunes a ambas circunferencias. Por tanto, el trazado de estas rectas tangentes se puede realizar trazando la tangente a una de las circunferencias desde el centro de homotecia mediante arco capaz de 90º, determinando el punto de tangencia con la segunda circunferencia al trazar por su centro una paralela a la recta que une el centro de la primera con su correspondiente punto de tangencia.

O O'

Oh-P

P'

Tangentes interiores a dos circunferencias

O O'

Oh+ P

P'

(9)

9 de 14

3.7 SEMEJANZA

Una semejanza es el producto de una homotecia y un movimiento .

La homotecia modificaría el tamaño de la figura, y el movimiento, generalmente un giro, la desplazaría hasta su posición final

A

B

C

D

A'

B'

C'

D'

A"

B"

C"

D"

Og

Oh

• Centro de semejanza

No existe una transformación geométrica que directamente convierta una figura en otra semejante, si la alineación de rectas homólogas no es la misma. Sin embargo podemos hallar la posición de un Centro de semejanza, cuando el centro de homotecia y el centro de giro coinciden en un mismo punto.

Para encontrar dicho Centro de semejanza entre dos figuras, debemos escoger un segmento AB y su homólogo A’B’.

Se prolongan las rectas hasta que se corten en un punto P. Se trazan las circunferencias PAA’ y PBB’, y el segundo punto de corte entre ambas será el Centro de semejanza.

Dicho punto será centro de giro y de homotecia si los triángulos OAB y OA’B’ son semejantes, puesto que en dicho caso, al girar el segmento AB el ángulo preciso, quedarán OAA’ y OBB’ alineados, y el segmento girado A”B” será paralelo a A’B’.

Como puede verse en la figura, los ángulos A y A’ son iguales por inscritos en la circunferencia abarcando igual arco PO.

Los ángulos B y B’ son asimismo iguales por ser ambos suplementarios del ángulo PBO; el B por adyacente, y el B’ por opuesto en la circunferencia.

A

A'

B'

B

P

Os

A

A'

B'

B

P

Os

A"

B"

(10)

10 de 14

A

B

A'

B'

A

B

A'

B'

C

D

E

F

A

B

C

F

E

D

A

'

B

'

B

'

C

'

F

'

E

'

E

'

D

'

C'

D'

E'

F'

Ejercicio: Hallar una figura semejante a la dada en la que A se convierta en A’ y B en B’

Solución 1ª. Por centro de semejanza. Con las circunferencias PBB’ y BAA’ determinamos el centro de semejanza; Los puntos A y B girarán el ángulo preciso para quedar alineados con sus homólogos A’ y B’. Giramos el mismo ángulo el resto de la figura, y le aplicamos la homotecia, hasta obtener la solución

Solución 2ª Por giro y homotecia

Elegimos un centro de giro Og, (en la figura, en la prolongación de AB) y giramos el segmento AB hasta que quede paralelo a A’B’. Giramos el resto de la figura el mismo ángulo. Hallamos el centro de homotecia uniendo A’ y B’ con los homólogos de A y B en el giro. Aplicamos la homotecia a la figura girada, obteniéndose la solución.

Solución 3ª: Por proporcionalidad

Mediante Tales, determinamos las longitudes de los segmentos homólogos, partiendo de AB y A’B’

Reproducimos la figura semejante llevando las nuevas magnitudes con los mismos ángulos

A

B

A'

B'

Os

A

B

A'

B'

Oh

Og

(11)

11 de 14

3.8 ESCALAS

La escala de un dibujo es la relación entre el tamaño de dibujo y el de la figura real que representa. Viene representada por una fracción

R

G

_{en la que G es el número de unidades gráficas y R las unidades} reales que representan. Así, una escala 1/100, significaría que 1 cm. sobre el papel equivale a 100 cm. reales, es decir, 1 m.

Si la fracción es mayor que la unidad, la escala será de aumento y si menor que la unidad, de reducción. Dependiendo del tipo de dibujo, se emplearán distintos tipos de escalas.

Así, en arquitectura, se suelen emplear escalas 1:100, 1:50, para plantas, y 1:10 o 1:20 para detalles. En urbanismo, donde las distancias a tratar son mucho mayores, se emplean 1:500 o 1:1000, donde 1 cm equivale a 5 o 10 m. respectivamente

En topografía, escalas habituales son 1:25.000 o 1:50.000, que son las escalas en las que están los planos cartográficos del Instituto Geográfico y Catastral español. 1 cm = 250 m., a 1:25.000. 4 cm = 1 Km. Las escalas más habituales en atlas son de 1:5.000.000, en la que cabría España en una hoja DIN A4. (1 cm. = 50 Km., o bien 20 cm = 1.000 Km.), o 1:50.000.000 en la que 10 cm = 5.000 Km., por tanto en una hoja DIN A4 cabría América del Norte

En los planos ha de ir forzosamente indicada la Escala a la que están dibujados, en incluso una Escala volante, que es una línea en la que vienen graduadas las unidades del dibujo. Estas unidades van en función de la escala. En escalas 1:50, 1:100, 1:1000, la unidad es el metro. En escalas topográficas, el Km. En escalas cercanas a la unidad, el cm o incluso el mm. En escalas de aumento, el mm.

• Construcción de una escala mediante el triángulo universal de

escalas

El “triángulo universal de escalas” es una figura formada por la radiación, a partir de un punto cualquiera, de un escala elemental (1:1, 1:100, 1:100.000, en las que 1 centímetro es 1 cm, 1 m, o 1 Km, respectivamente).

Como una escala es cuestión únicamente de proporcionalidad, podremos partir de esta escala “elemental” para hallar otra escala cualquiera; calcularemos cuál es la fracción por la que tenemos que multiplicar a dicha escala elemental para obtener la escala deseada.

Tomando varios ejemplos:

1.- Queremos hallar la escala 1:75. Dividimos 1:75 entre 1:100 y obtenemos:

3

4

75

100

1

75

1 =

=

Hallaremos los 4/3 de la escala 1:100

2.- Queremos hallar la escala 7:2320. Dividimos 7:2320 entre 1:100, obteniendo:

2 ,

23

7 2320

700

100

1 2320

7 =

=

Hallamos los 7/23,2 de la escala 1:100

3.- Queremos hallar la escala 1:35. Partimos ahora de las escala 1:10, más cercana a 1:35, y en

la que la unidad es el dm:

5

2

25

10

1

25

1 =

(12)

12 de 14

Escala 1:10000 (Hm.) Escala 1:1000 (Dm.) Escala 1:100 (m.) Escala 1:10 (dm.) Escala 1:1 (cm.) Escala 1:200 (m) Escala 7:2320 (m) Escala 1:75 (m) Escala 1:50 (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 ₁ ₂ 3 4 5 6 7 7 2320 1 100 700 2320 7 23.2

(13)

13 de 14

Escala 1:10000 (Hm.) Escala 1:1000 (Dm.) Escala 1:100 (m.) Escala 1:10 (dm.) Escala 1:1 (cm.) Escala 1:25 (dm) Escala 1:75 (m) Escala 1:50 (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 ₁ ₂ 3 4 5 6 7 1 25 1 10 10 25 2 5

(14)

14 de 14

3.9 PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Hallar A sobre r y B sobre s tales que ABP alineados y PA/PB= 5/3

Datos: Solución: r s P

r s P s' A B

Problema de pertenencia, que se resuelve de forma similar a lo vistos en el tema Movimientos. En el problema resuelto, vemos que B se transforma en A con una homotecia de centro P y razón -5/3. Como B pertenece a s, A pertenecerá a la recta s’ (s a la que se le ha aplicado una homotecia de centro P y razón -5/3), y a la recta r. Hallado A, basta prolongar la recta AP hasta que corte a s para hallar B.

2.- Dibujar un triángulo rectángulo de 70 mm. de hipotenusa y lados en proporción 2:1

Como conocemos la forma del triángulo, podemos dibujar uno semejante; (el punteado en el dibujo, de catetos 25 y 50). A este triángulo semejante le aplicamos una homotecia hasta que su hipotenusa mida 70

3.- Hallar un polígono semejante de área doble

Como las áreas se modifican según el cuadrado de la razón de homotecia, bastará con aplicar a la figura una homotecia de razón

2

4.- Hallar un cuadrado de área igual a la de un rectángulo dado de lados a y b

Como el área del cuadrado será l2_{= a b, siendo l el lado del cuadrado, y l es segmento medio}

proporcional entre a y b, emplearemos una de las construcciones conocidas para hallar dicho segmento.