CAPÍTULO 1
Objetivos
■ Marcar os pontos em um plano coordenado e representar dados graficamente.
■ Determinar a distância entre dois pontos em um plano coordenado.
■ Localizar pontos médios de segmentos de reta que unem dois pontos.
Gráficos de equações
Frequentemente, a relação entre duas quantidades é expressa na forma de uma equação. Por exemplo, os graus na escala Fahrenheit relacionam-se aos graus na escala Celsius pela equação
Exemplo 1 - Esboço do gráfico de uma equação
Esboce o gráfico de Solução
A maneira mais simples de esboçar o gráfico de uma equação é por meio do método de marcação de
pontos. Com ele, é possível construir uma tabela de valores formada por diversos pontos que satisfazem a equação, como mostra a tabela abaixo.
Por exemplo, se x = 0, y = 7 – 3 (0) = 7, o que significa que (0, 7) é um ponto-solução do gráfico.
A tabela mostra que (0, 7), (1, 4), (2, 1), (3, –2) e (4, –5) são pontos que satisfazem a equação.
Depois de marcar esses pontos, vê-se que eles parecem estar em uma reta, como mostra a Figura 1.14. O gráfico da equação é a reta que passa pelos cinco pontos
marcados.
Exemplo 2 - Esboço do gráfico de uma equação
Esboce o gráfico de Solução
Comece pela construção de uma tabela de valores, como mostrado abaixo.
Exemplo 2 – Solução
Em seguida, marque os pontos fornecidos na tabela, como mostra a Figura 1.15(a).
Exemplo 2 – Solução
Finalmente, una os pontos com uma curva lisa, como mostra a Figura 1.15(b)
Gráficos de equação
O gráfico mostrado no Exemplo 2 é uma parábola. O gráfico de qualquer equação de segundo grau na forma
tem uma forma semelhante. Se a > 0, então a parábola se abre para cima, como mostra a Figura 1.15(b),
e se a < 0 então, a parábola se abre para baixo.
Intersecção de um gráfico com os eixos
Alguns pontos-solução têm zero como a coordenada x ou a coordenada y. Estes pontos são chamados intersecções com os eixos porque são os pontos em que o gráfico
intercepta o eixo x ou y.
Alguns textos denotam a intersecção com o eixo x como a coordenada x do ponto (a, 0) em vez do próprio ponto. A menos que seja necessário fazer essa distinção, utiliza--se o termo intersecção com o eixo atribuído tanto ao ponto como à coordenada.
Intersecção de um gráfico com os eixos
O gráfico pode ter poucas ou nenhuma intersecção com os eixos, como mostra a Figura 1.18.
Localização de intersecções com os eixos x e y
Localize as intersecções com os eixos x e y do gráfico de Solução
Para encontrar as intersecções com o eixo x, tome y como zero e resolva para x.
Tome y como zero.
Exemplo – Solução 3
Como essa equação tem três soluções, você pode concluir que o gráfico tem três intersecções com o eixo x:
Intersecção com o eixo x.
Para encontrar as intersecções com o eixo y, tome x como zero e resolva para y. Fazer isso produz
Esta equação tem apenas uma solução, de modo que o gráfico tem uma intersecção com o eixo y:
Exemplo – Solução 3
Circunferências
Considere a circunferência mostrada na Figura 1.20. Um ponto (x, y) está na circunferência se e somente se sua distância do centro (h, k) for r. Pela fórmula da distância,
Circunferências
Ao elevar os dois lados dessa equação ao quadrado,
Exemplo 4 - Determinação da equação de uma circunferência
O ponto (3, 4) está em uma circunferência cujo centro está em (–1, 2) como mostra a Figura 1.21. Determine a forma-padrão da equação desta circunferência.
Solução
Exemplo 4 - Solução
Utilizando a forma-padrão da equção da circunferência é
Exemplo 4 - Solução
O gráfico da equação da circunferência é mostrado na Figura 1.21.
Pontos de intersecção
Um par ordenado que é uma solução de duas equações diferentes é chamado de ponto de intersecção dos gráficos das duas equações.
Uma aplicação comum que envolve pontos de intersecção nos negócios é a análise do ponto de equilíbrio. A
comercialização de um produto novo normalmente requer um investimento inicial.
Quando foram vendidas unidades suficientes, de forma que a receita total compensou o custo total, a venda do
Pontos de intersecção
O custo total da produção de x unidades de um
produto é denotado por C e a receita total da venda de x unidades do produto é representada por R. Portanto,
pode-se localizar o ponto de equilíbrio igualando o custo C à receita R, para determinar x.
Em outras palavras, o ponto de equilíbrio corresponde ao ponto de intersecção dos gráficos de custos e receitas.
Exemplo 5 - Determinação de um ponto de
equilíbrio
Uma empresa fabrica um produto a um custo de $ 0,65 por unidade e o vende a $ 1,20 por unidade. O investimento inicial da empresa para produzir o produto foi $ 10.000. A empresa alcançará o ponto de equilíbrio se vender 18.000 unidades? Quantas unidades a empresa deve vender para alcançar o ponto de equilíbrio?
Solução
O custo total da produção de x unidades do produto é dado por
Exemplo 5 - Solução
Para determinar o ponto de equilíbrio, iguale o custo e a receita e encontre x.
Exemplo 5 - Solução
Não, a empresa não alcançará o ponto de equilíbrio se vender
18.000 unidades. A empresa deve vender 18.182 unidades para
equilibrar as finanças. Esse resultado é mostrado graficamente
Exemplo 5 - Solução
Observe na Figura 1.23 que vendas de menos de 18.182 unidades corresponderiam a uma perda para a empresa (R < C), enquanto vendas superiores a 18.182 unidades corresponderiam a um lucro para a empresa (R > C).
Pontos de intersecção
Dois tipos de equações que os economistas utilizam para analisar um mercado são as equações de oferta e
demanda.
Uma equação de oferta mostra a relação entre o preço p da unidade de um produto e a quantidade fornecida x.
Pontos de intersecção
Uma curva típica de oferta é crescente porque os
produtores de um produto querem vender mais unidades se o preço unitário for mais alto.
A equação de demanda mostra a relação entre o preço p da unidade de um produto e a quantidade demandada x. O gráfico de uma equação de demanda é chamado
Pontos de intersecção
Uma curva típica de demanda tende a mostrar uma queda na quantidade demandada a cada aumento no preço. Em uma situação ideal, sem outros fatores influenciando o
mercado, o nível de produção deveria se estabilizar no ponto de intersecção dos gráficos das equações de
oferta e demanda. Esse ponto é denominado ponto de equilíbrio.
Pontos de intersecção
A coordenada x do ponto de equilíbrio é chamada de
quantidade de equilíbrio, e a coordenada p é chamada de preço de equilíbrio (veja a Figura 1.26).
Pontos de intersecção
Pode-se determinar o ponto de equilíbrio igualando a equação de demanda e a de oferta e determinando x.
Exemplo 7 - Utilização de modelos matemáticos
A tabela mostra as vendas anuais (em milhões de
dólares) da Dollar Tree e 99 Cents Only Stores
de 2005 a 2009.
Em 2009, a publicação Value Line listou que as vendas estimadas para 2010 dessas empresas seriam de $
Exemplo 7 - Soluções
As projeções foram obtidas por meio da utilização de vendas passadas para ter uma previsão das vendas futuras. As vendas passadas serviram de base para determinar as equações por meio de um procedimento estatístico chamado análise de regressão por mínimos quadrados. Os modelos para as duas companhias são:
Exemplo 7 - Solução
Ao utilizar t = 10 para representar 2010, pode-se prever que as vendas de 2010 serão
Exemplo 7 - Solução
Essas duas projeções estão próximas daquelas projetadas pela Value Line. Os gráficos dos dois modelos são
Modelos Matemáticos
Uma parte considerável dos estudos de cálculo estará centrada no comportamento dos gráficos dos modelos matemáticos.
A Figura 1.29 mostra os gráficos de seis equações algébricas básicas.
