Sobre um Problema de Perturbação Singular com Vários Retardamentos

Texto

(1)Sobre Um Problema de Perturbação Singular Com Vários Retardamentos JOSÉ HILÁRIO DA CRUZ. Orientador: PROF. DR. PLÁCIDO ZOEGA TÁBOAS. Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Área: Matemática.. USP - São Carlos Maio de 1998.

(2) Aos meus pais, minha esposa, meus filhos e ao Prof. Raimundo R. Ferreira (in memorian)..

(3) Resumo Consideremos a classe de equações diferenciais-diferenças singularmente perturbadas e(t) =. Ea,.x(t — r), e > O. (1.4. rr--0. e seu limite formal quando E. -) 0:. o = E ar x(t — r).. (1o). Utilizando um método introduzido por Carvalho [5], exibimos soluções periódicas de (14 e (10) e definimos hipersuperfícies de bifurcação dessas soluções no espaço dos parâmetros (ao, al, Visando estabelecer relações entre as dinâmicas definidas por (1,) e (1o), no caso / = 2, ao = —1 provamos que a região de estabilidade de (1) no espaço (a1, a2) aproxima a região de estabilidade de (10), quando e 0, num sentido definido precisamente no Teorema 4.1.1..

(4) Abstract We consider the class of singularly perturbed.differential-difference equations e±(t) = E ar x(t — r), e> O. (li). r=0. and its formal limit as E O: O. = E ar x(t —r).. (10). r=0. Using a method due to Carvalho [5], we exhibit periodic solutions of (1e) and (10) and define bifurcatiort hypersurfaces for these solutions in the parameter space (ao, ai, ... Airning to establish relations between the dynamics of (1E) and (10) in case / = 2, ao = —1, we prove that the stability region of (1e) in the space (ai a2) approaches the stability region of (10), as e in a precise sense given in Theorem 4.1.1..

(5) índice Introdução. 1. 1 Preliminares. 5. 1.1 Fatos Básicos . 5. 1.1.1 Existência e Unicidade de Soluções 1.2. Um Método para Obter Soluções Periódicas. 1.2.1 Equações a Diferenças Lineares Autônomas . 1.3. 6 7 7. 1.2.2 O Método de Carvalho . 15. Estabilidade . 21. 1.3.1 Equações Diferenciais a Diferenças 1.3.2 Equações a Diferenças. 23 26. 2 Periodicidade em um Problema de Perturbação Singular com. 3. Vários Retardamentos. 31. 2.1. O Problema . 31. 2.2. Soluções Periódicas . 33. 2.3. Hipersuperfícies de Bifurcação . 39. A Equação Limite. 48. 3.1. Soluções Periódicas . 48. 3.2. Um Caso em que Soluções são Periódicas . 53.

(6) 4 Um Estudo da Região de Estabilidade 4.1 Estabilidade . 62 63. Referências Bibliográficas. ii. 70.

(7) Introdução Modelos usando equações diferenciais com retardamentos aparecem com muita frequência numa grande variedade de aplicações. Retardamentos no tempo são introduzidos em modelos matemáticos para descrever sistemas em que a relação causa e efeito não é simultânea, isto é, existe um lapso no tempo entre a ação e a reação. Beuter et ai [2] estudaram certas doenças neurológicas usando modelos de equações diferenciais com dois retardamentos. Veja também [18] e, para inúmeros outros exemplos de aplicações, a referência [17]. Consideramos a equação y(t) = F(y(t),y(t — y(t — r2), • • • Y(t — ri)),. (1). onde F é uma função de 1R1+1 em R e 1 inteiro positvo. Se F(0, , O) =OeFé diferenciável, então (1) pode ser escrita na forma ü(t) = aoy(t)± aiy(t — ri) 4- • • • ± aiy(t — ri) ± h(y(t),y(t — ri), • • • ,Y(t onde a:= Di F(0,. ri)),. , O) é a derivada de F na origem com relação à j-ésima. variável, j = 0,1, ... , / e. j=0. Como a equação não linear (1) herda importantes propriedades da equação. 1.

(8) . 2 linear È(t) = aoy(t) I-. Eai y(t — rj), 1, 7'1 >0, (2) j=1. o estudo de (2) tem grande interesse, ver Hale [17]. No Capítulo 1 apresentamos alguns fatos básicos para a apresentação desse trabalho. Na seção 1.2.2, descrevemos sucintamente um método introduzido por Carvalho em [5], que tem sido bastante utilizado, ver [7], [8] e referências ali contidas, onde é considerada uma equação de evolução do tipo ±(t) = f(ce,t,xt), t a,. (3). onde 1: le+1 x C R é urna aplicação contínua, a e le é um parâmetro, C é o espaço rins funções contínuas 92 :[-1, 0] IR., munido da norma do supremo II • II,. o- é um número real dado e se, x: [a — 1, b] IR., b> o- , é urna função contínua, xt e c, a < t < b, é a aplicação definida por xt(e) x(t + e), < e. < o.. Dada ço E C, o problema de valor inicial para a equação (3) é o sistema formado por (3) e a condição. x(0) = (0), O e [-1,0].. (4). Quando necessário, denotamos por xe, a,92) uma solução do problema de valor inicial (3)-(4). Uma tal solução é periódica de período p se x(t+p, a,c,c)= x(t,a,c,o) para todo t e IR.. Assim, soluções periódicas são definidas para todo t. Para abreviar, a frase "periódica de período p" será substituida por "p-periódica". O método também se aplica naturalmente a equações do tipo. F(t,x(t — ro), , x(t — ri)) = 0,. (5).

(9) 3 onde F é uma função contínua de I + 2 variáveis, conhecidas como Equações a Diferenças. Atualmente, tem crescido de forma significativa o interesse nas equações a diferenças, tanto na versão contínua (t E lit) quanto na discreta (t E Z), ver [22], [26], [30]. Mesmo as equações a diferenças mais simples, como as lineares x(t). = E ai x(t — ri),. (6). i=o. apresentam fenômenos de alta sensibilidade com relação às condições iniciais e parâmetros. Por exemplo, nas aplicações os números ri's são os retardamentos do sistema, tais como tempo de comunicação entre dois circuitos elétricos, tempo de resposta em sistemas de controle com "feedback". O problema é que nas aplicações as condições iniciais, os retardamentos e os parâmetros nem sempre podem ser medidos com precisão. Assim, é importante conhecer os efeitos de pequenas perturbações dessas medidas nas propriedades qualitativas do sistema. Num sistema "bem comportado" esperamos que estas propriedades se preservem sob pequenas perturbações das condições iniciais, retardamentos ou parâmetros. Melvin [26] ilustra o fato que, em geral, equações do tipo (6) não são "bem comportadas" com relação aos retardamentos. No Capitulo 2, aplicamos o método para estudar a localização das (1+1)-uplas (a0,. ai ), para as quais exibimos alguns tipos de soluções periódicas da equação ei(t) = ar x(t. — r), E> 0.. r:=0 Definimos também as hipersuperfícies de bifurcação, explicitando suas parametrizações. No Capítulo 3, obtivemos soluções periódicas para o caso singular (E = 0) e mais algumas informações tais como condições para que todas as soluções sejam periódicas com um mesmo período..

(10) 4 Finalmente, no Capitulo 4, fizemos um estudo e obtivemos algumas informações sobre a região de estabilidade no espaço dos parâmetros (ai , az ), para o caso ao = —1, a2 = • • • = a1_1 = O, isto e, para a equação EX(t) ± x(t) = ai x(t —1) -I- aix(t —1), onde 1> 2 e um inteiro. Para o caso 1= 2, mostramos que esta região aproxima da região de estabilidade a equação x(t) = aix(t —1) -I- a2 x(t — 2) quando E -> O, num sentido definido precisamente no Teorema 4.1.1..

(11) Capítulo 1 Preliminares Uma teoria fundamental para as Equações Diferenciais Funcionais Retardadas pode ser encontrada em [17], com versões mais gerais do Teorema 1.1.1 e do Teorema 1.1.2 a seguir, incluindo prolongamento de soluções e continuidade com relação às condições iniciais e parâmetros. Admitimos tacitamente o contexto de [17] no que concerne às notações e fatos desta teoria. Visando tornar a leitura tanto quanto possível independente, damos abaixo alguns fatos fundamentais dessa teoria, para a apresentação desse trabalho.. 1.1 Fatos Básicos Representaremos por C ([a, b] , R") o espaço de Banach, das funções contínuas aplicando o intervalo real [a, 6] em R", com a topologia da convergência uniforme, isto é, para g; E C ([a, b] , WI), a norma é definida como Ilso II. = suP Iso(9)1, a519<b. onde I • é uma norma do R" .. Quando [a , b] = [ —r , 0] , onde r é urna constante positiva, definimos C := C([—r, 01, R"). Para cr, A E R, A > O, x E C( [cr — r, -I- A] , Ir) e t E [cr, cr 5. Al.

(12) 6. 1.1 Fatos Básicos indicamos xt E C, como é usual, dada por xt (0) = x(t O), E [-r,. Dado um subconjunto aberto, S2, de R x C e urna função f : S2 chamamos a equação (1.1). ±(t) = f (t, xt ),. de urna Equação Diferencial Funcional Retardada em S2. Uma função x é chamada solução de (1.1) em [o- — r, o- A) se x E C([0" - + A), R"), (t, xt) E S2 e xt. satisfaz (1.1) para t E [o-, a -I- A). Para (o-, y) E S2, dizemos que x(t; o-, ço) é urna solução de (1.1) com valor inicial y), se existir um A > O tal que x(t; o-, ço) satisfaz (1.1) em [o- — r, o - -I- A) e xa(S0 ) = So• Observe que encontrar uma solução de (1.1) passando por. , ço) E S2 6 equi-. valente a resolver a equação integral x(t) = y(0) -I- f f (s,x,)ds, t > o-,. (1.2). Xcr= (p.. 1.1.1 Existência e Unicidade de Soluções Para provar a existência de solução passando por (o-, ti)), pode-se proceder de maneira análoga ao da teoria fundamental das Equações Diferenciais Ordinárias considerando um operador T em C: :=- C([o- — r, a], R"), a> a, definido por Ty(t) = c,t)(0) f f a. ds, o- <t < a; (Tye ). =. Para um conveniente subconjunto limitado, fechado e convexo, A de mostra-se que TA C A. Assim, segue de uma aplicação do Teorema de Schauder a versão abaixo do Teorema de Peano..

(13) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 7. Teorema 1.1.1. Em (1.1), suponha que ft seja um subconjunto aberto de R x C e f contínua em St Se (o-, ço) E ft, então existe uma solução de (1.1) passando. por (o-, w), definida num intervalo [a- — r, o- A), para algum A> O. Para garantir a unicidade, precisamos exigir mais da função f. Dizemos que f (t, w) é Lipschitx em cio em cada conjunto compacto K de R x C se existir urna constante lc > O tal que, para qualquer (t, ço2 ) E K,. If(t,wi) - f(t, w2)I - W21.. (1.3). Teorema 1.1.2. Sejam ft um subconjunto aberto de RxC ef E C(2,11r), e. f (t,w) for Lipschitx em cio em cada conjunto compacto de St Se (a-,w) E ft, então existe uma 'única solução de (1.1) passando por (o-, w), definida num intervalo [a- — r, A), para algum A> O.. 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas Nesta seção descreveremos, sucintamente, um método para a investigação de soluções periódicas originalmente apresentado em [5] para equações diferenciais com retardamento, embora ele se aplique naturalmente também no contexto das equações a diferenças. As provas são apresentadas por razões de independência. A subseção que se segue é fundamental para a prova do principal resultado deste método.. 1.2.1 Equações a Diferenças Lineares Autônomas Uma equação a diferença linear autônoma é urna equação da forma:. X(t) = AX(t —1),. (1.4). onde X é urna função real a valores em Ri', lc inteiro positivo, A uma matriz lc x lc, real ou complexa..

(14) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 8. Note que se ai(t), a2 (t) são funções escalares 1-peri6dicas quaisquer e X1 (t) e. X2(t) são soluções de (1.4), então X (t) = (t)dri (t) a2 (t)X2 (t), também é solução de (1.4). Observe que nas equações a diferenças lineares as funções escalares 1-peri6dicas ocupam o papel desempenhado pelas constantes em equações diferenciais lineares. Baseado neste fato, introduziremos a seguinte definição. Definição 1.2.1. As funções Xi(t), X 2 (t), , Xn(t), n > 1 são linearmen-. te dependentes sobre as funções 1-periódicas num intervalo I, ou simplesmente 1.d., se existirem um conjunto J C I de medida não nula e funções escalares 1-periódicas, ai (t), , a„(t), tais que 14. TI. (t)12 > 0. ai (t)X3 (t)0 = q.s. em I, (1.5). en J e. j:=1. j=1. onde a abreviação q.s. (quase sempre) significa que a igualdade vale para t pertencente ao intervalo I exceto em um subconjunto de medida nu/a. Se quaisquer funções escalares ai 's, 1-periódicas, que satisfazem a segunda. condição de (1.5) forem nula; q.s. em I, dizemos que Xi(t), , Xn (t) são linearmente independentes em I sobre as funções 1-periódicas, ou simplemente 1.i. Lema 1.2.1. Quaisquer soluções X i (t), X2 (t), , Xic4.1 (t) de (1.4) definidas. para t > to são 1.d. em [to, oo). Prova. Observe que para cada t, os vetores Xi(t), X2(t), , Xic+i(t) E Rk são 1.d., então existem escalares ai (t),. k+1. a2 ••• a+1(t). tais que. k+1. 1a1(t)j2 >0 e a • (t)Xi (t) = 0, t e [to, to +1). j. =.

(15) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 9. Estendemos ai(t) sobre R, j = 1,.. . , k +1, impondo 1-periodicidade. Assim, tiai (t)Xj(t)= to +1) c [to, oo), resta apenas provar que Ei tomando J [to, = q.s. em [to, oo). Temos que k+1. k+1. 3=1. i=1 k+1. E ai@ + 1).x-,(t + 1) = E a.,(t).,mt + 1) = E am)Axi(t ) 5=1. k+i = A Eai(t)Xj(t) = O,. para todo t E [to, to + 1). Isto mostra que Xi(t), .. • ,.Xk-Fi(t) são 1.d. em [to, 00)•. o Lema 1.2.2. Sejam X1 (t),X2(t),... ,Xk(t) soluções 1.i. de (1.4), definidas para. t> to. Então, qualquer outra solução pode ser escrita, de modo único, na forma X(t) E = ai (t)X j(t), t > to,. (1.6). onde a1 's são funções 1-periódicas. Prova. Seja X(t) urna solução de (1.4). Dai., existem escalares Únicos, q.s., ai(t),a,2(t),... ,ak (t) tais que. X(t) =. Eai(t)Xi (t),. q.s. em [to, to + 1).. .1=1. Definamos as(t +1) = ai(t), Para t E [to, to + 1). Dessa forma, ai(t) está definida para t E [to, to + 2) e, pela linearidade, Y(t) -= Eai (t)X j(t), .1=1. também é solução de (1.4).. para. t e [to, to + 2),.

(16) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 10. Como Y(t) e X(t) coincidem em [to, to +1), pela unicidade de solução de uma equação a diferença, tomando como funçãn inicial X(t) em [to, to +1), temos que Y(t) X(t) = em [to, to + 2). Assim, X(t) = ag(t)Xi(t) para t E [to, to + 2). Repetindo o processo, o lema fica provado. Lema 1.2.3. Se ebi é um autovalor de A, b E R, com autovetor v, então (t) = R(v) cos[b(t -I- 1)] — 5..-s(v) sen[b(t 1)] e. X2 (t) R(v) = sen[b(t 1)] -I- Cs"(v) cos[b(t 1)], são soluções de (1.4). Além disso, se b = kir, k E Z, então X1 (i) e X2(t) são 14. (Li.) se R(v) e (v) forem 1.d. (Li.). Se b kir,k E Z, então X1(t) e X2(t) são Li.. Prova. Como Av = ebiv, temos AR(v) = J(v) cos b —çà(v)senb,. A(v) = .9(v) cos b. al(v) sen b.. Assim,. AXi(t —1) = A[al(v) cos(bt) — (v) sen(bt)] = AR(v) cos(bt) — A(v) sen(bt) = [R(v) cos b — .9(v) sen b] cos(bt) — [çCf(v) cos b. J(v) sen h] sen(bt). = al(v)cos[b(t -I- 1)] — £f(v) sen[b(t ± 1)] = (t). Portanto, X1 (t) é solução de (1.4). De forma análoga podemos provar que X2(t) também é. Agora, se b kir, = então podemos escrever sen(bt) = a(t) cos(bt),.

(17) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas onde a(t) = tan(bt), que é 1-periódica. Assim, X1(t) = a(v) cos[b(t + 1)] — 9(v) sen[b(t + 1)] = at(v) cos(bt) cos b 9(v) sen(bt) cos b = R(v)cos(bt) cos b — a(t)9(v) cos(bt) cos b = [R(v) — a(t)9(v)] cos(bt) cos b, e X2(t) = R(v)sen[b(t + 1)] + 9(v) cos[b(t + 1)] R(v) sen(bt) cos b + 9(v) cos(bt) cos b = a(t)R(v) cos(bt) cos b + 9 (v).cos(bt) cos b = [a(t)R(v) + 9(v)] cos(bt) cos b. Temos dois casos a considerar: i) Se R(v) e 9(v) são 1.d., então temos dois subcasos: i1) R(v) = c9(v), cER e 9(v) O, ou i2) S(v) = a(v), dERe a(v) $0. Para o subcaso (i1), temos (t) = — a(t)]9(v) cos(lort) cos(kr), X2(t) = [ca(t) + 1]S(v) cos(krt) cos(k7r). Daí, X2 (t) —. ca(t) 1 )G. c — a(t). Portanto, X1(t) e X2(t) são 1.d.. O subcaso (i2) é análogo.. (t), a(t) = tan(bt).. 11.

(18) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 12. ii) Se R(v) e E(v) são lá.. Observe que ai(t)X i(t) + a2(t)X2(t) = a1 (t)[(R(v) — a(t)21(v)) cos(bt) cos b] +. +a2 (t)[(R(v)a(t) + Cs."(v)) cos(bt) cos b] = cos(bt) cos b [(ai(t) + a2(t)a(t))R(v) +. + (a2 (t) — (t)a(t)) `(v )1 = [ai (t) + a2(t)a(t)]R(v) + [a2 (t) — (t)a(t)]E(v). Como R(v) e E(v) são 1.i. temos que ai(t)X1 (t) + a2(t)X2 (t) = O, implica (t) + a2(t)a(t) = O e a2 (t) — ai(t)a(t) O,=. Isto e, (t), a2(t) -= O. Isto completa a prova no caso b kir, =k E Z. Agora, se b. kir para todo k E Z, então cos(bt) e sen(bt) são 1.i.. De fato, se ai (t) cos(bt) + a2(t)sen(bt) = O,. (1.7). então ai(t+1)cos[b(t+1)]-j-a2(t+1)sen[b(t+1)] =0, isto e, [ai(t) cos b — a2(t) sen b] sen(bt) + [ai(t) sen b + a2(t) cos b] cos(bt) O. = (1.8).

(19) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 13. Logo, Y(t) = col(sen(bt),cos(bt)) é uma solução não trivial do sistema AY(t) = O, onde ai(t) a2 ) A = (t) cos b — a2(t) sen b (t) sen b + a2(t) cos Portanto, o determinante da matriz do sistema é igual a zero, isto é, (t) 4(t)] sen b = O, o que implica, ai(t),a2(t) O. Observe que ai (t)Xi (t) a2(t)X2(t) = ai(t) [R(v) cos [b(t + 1)] — 9(v) sen[b(t 1))] a2(t) [R(v) sen[b(t 1)] + 9(v) cos[b(t 1)]] . Assim, ai(t)Xi(t)+a2(t)X2(t) = O, implica, [ai (t)R(v) a2 (t)9(v)] cos[b(t + 1)] + [az (t)R(v) — (t)9(v)] sen[b(t 1))] = O. Como cos(bt) e sen(bt) são 1.i. (t)R(v) a2 (t)9(v) = O e a2 (t)R(v) — ai(t)9(v) .= O. Daí, temos dois casos a considerar: • Se R(v) e 9(v) forem 1.i. obtemos o resultado, ou seja, X1(t) e X2 (t) são.

(20) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 14. • Se R(v) e Ei-(v) forem 1.d., consideramos ou R(v) = oCf(v), c E Re Cf(v) O, ou Eit(v) = dR(v), dER e R(v) O, e o resultado segue.. o Lema 1.2.4. Se w • 22: =p71. j 0,1,...,p = —1, então as funções etwit são. Prova. Sejam ai(t), j = 0,1, ,p —1, funções 1-periódicas tais que p-1. ai (t)etwit = O, q.s. em t E R. E i=o Então p-1. ai(t)eiwi(t+s) = O, q.s. em t E R, j=0. para s = 1, ... ,p — 1. Isto e, 1 eito, t. eite2t. eiwp -it. 1 Ciwl (t+1). eiw2(t4-1). eiwp-i(t+1). a2 (t). O. 1 eito' (t+2). eiw2(t+2). eiwp_i (H-2). a3(t). O. \ap _i(t)/. \O). 1 eiw1(tEp-1” eiw2(t-1-(p-1)). eiwp- (t+(p-. ( ai(t). (0\. q.s. em t E R. Denotaremos por B a matriz p x p da igualdade acima. Observe que det B = etpuzew2tt . = ei(P-Ifrt det M,. onde 1 1 1 1 eiWi e2W2. M. =. 1 (eiWi )2 (eiW2 )2. • • •. 1 ( eiwi )p-1 ( eiw2 )p-1 (eiwp-i)p-1. ,.

(21) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 15. Assim, det B 0 e cti(t), a2(t), , ap _i(t) O, q.s. em t E R. Portanto,. j = O, 1, ,p — 1 são 1.i.. Lema 1.2.5. Sejam wi = 22.pL. O. j 0,1, = ,p —1. Se eiwi for um autovalor de. A com autovetor v5 , então as funções xi (t)=eiwitvi ,. são soluções Li. de (1.4) Prova. Para cada j = 0,1,... ,p — 1, a função x5 (t) = &w3 V1 é solução de (1.4). De fato,. Axi(t —1) =-- Avieiwi(t-i) = eitvieiwi(t-i) x=j(t). Assim, se ri=0 -1ai(t)eiwit vi= 0, então pelo Lema 1.2.4, ao(t), ai(t), ,. ap _i (t) 0, q.s., em t E R. 1.2.2. O. O Método de Carvalho. O método introduzindo em [5] consiste basicamente de um resultado que caracteriza funções periódicas, com período inteiro. Enunciaremos este resultado da seguinte forma. Dado e E IR, [e] denota o maior inteiro menor ou igual a e. Lema 1.2.6 (Carvalho, 1993). Se p é um inteiro positivo e x é urna função. p-periódica, então x(t) = E (ai (t) cos (1 2: t) j=0. bi(t)sen2(±rt. )). onde cid 's e bi 's são funções reais 1-periódicas, com b0) O se p for par.. (1.9).

(22) 16. 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas Prova. A equação que define p-periodicidade é x(t — = x(t).. (1.10). Fazendo (t) = x2 (t) = xl(t — 1), x3(t) = x2 (t — 1),. x(t) = zp _i (t —1), e observando que xp(t — 1) xi(t), = podemos escrever a (1.10) na seguinte forma equivalente X (t) = AX(t —1),. (1.11). onde xi(t)\. 0 0 0 ... 01. x2 (t). 1 0 0 ... 00. X(t) = x3 (t). e. A = 0 1 0 ... . . . . •. 00 . .. 0 0 0 ... 10. Xp (t)/. Para esta particular matriz A, um simples exame da equação det(A.— Ai) = O nos leva à conclusão de que os autovalores de A são as raizes p-ésimas da unidade. Assim,. = cos to; + sen wi,. 2j7r. isto é: • Se p for par, AO = 17 AE2 = Ai = COS Wi sen wi, e. j = 1, ,. p— 2 2.

(23) . 17. 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas • Se p for impar, Ao = 1, = cos wi+ i sen e Ãi, j = 1, ,. p—1 2. Primeiro vamos supor p par e considerar vo, v1, , vp/2,Vi, , V(p_ 2)/2, como sendo os autovetores associados aos autovalores Ao, 1, • • • 2 29/2) 1) • • • respectivamente. Precisamos apenas dos autovetores vo, v1, , v(p _2)/2, V /2. Pelo Lema 1.2.3. (t)R(vi =) cos[wi(t + 1)] — (vi) sen[wi(t + 1)] , X23 (t) = R(vi) sen[wi(t + 1)] + 5à(vi) cos[wi(t + 1)],. j=. são soluções de (1.11). Como wo = 0, w = ir e Avo = vo, obtemos que R(vo) e Bc(vo) são 1.d., daí XI) e são 1.d.. Analogamente, Xi2 e 4 são 1.d.. Mas, para j = 1, , 2j2 , X! e são 1.i.. E 4. Para provar que XI X i2 , XI' e 4, j = 1,..., são 1.i., basta mostrar que as funções 1, cos(irt), cos(wit), sen(wit),. j 1, = ..,. p -; 2. ,. são 1.i.. De fato, E 2. Eaj (t)Xii + bi. E 2. E. (04 = [ai(t) cos (wit) + fli(t) sen(w ,. i=o. onde. ai (t) := (t)[R(v j ) cos w — ei(vi) sen w1] + bi (t)[R(vi) sen wi+ Envi) cos wi], i33 (t) := —ai(t)[R(vi ) sen wi+ cos + bi (t)[R(vi ) cos w1+ 'Z't(vi) sen wi]. (1.12).

(24) . 18. 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas Observe que o p/2-ésimo termo dessa soma é a(t) cos(rt) + (t) sen(irt),. como sen(yrt) = tan(rt) cos(rt), definimos )3(t) tan(rt),. para obter E 1. E [ai(t) cos(wit) + fli(t) sen(w5t)1 j=0 2. = ao (t) + é4(t) cos(rt) + (ai(t) cos(tvit) + fli(t)sen(wit)). E (ai(t) ej +2. e-iwit. 2. = ao (t) + i39cos(rt) (t) +. + )33 (t) . azi 2 ((t) = ao (t) + (t) cos(rt). E 2 e ± twit. 2i ). ai (t) -E 4(t)e-iwit). 2. azi. = ao(t)+. (t) cos(rt) + 2_, (ai(t) — ifii(t) At + ai(t) + (t) j=d. Definindo a:= ai_w2 e fli :=. P*742. j). para j = + 2)/2,... , p — 1, obtemos. E [ai(t) cos(wit) + A(t)sen(wit)] E 2. =. .i=0. = ao (t) + (t) cos(). —. P-1. 2 3 2 5=1 i=P+.2. isto é,. ,,(. E 2. t) cos(wit). jrO. ±A. E p- 1. (t) sen(wit)] = c1(tP1 , 3=0. (1.13).

(25) . 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 19. onde ao(t),. se j = O,. a2 (t) — ifi3 (t). 2. c3(t) =. se 1 < j < —1, se . = P. cei(t)+ if3;(t). se — 1 < j < p — 1,. com ais, /35's, funções 1-periódica8 definidas em (1.12). Pelo Lema 1.2.5, c3(t) = O, q.s. em t, para todo j. E concluímos que ao(t), e4(t), cxi(t), /3i(t) são nulas q.s. em t. Pelo Lema 1.2.2, qualquer outra solução de (1.11) é escrita de forma única como combinação dessas soluções lá., isto é, existem . p—2 ao(t),(i(t),Eid(t),gi(t) = 1, • • • , 2 1-periódicas tais que X(t) = a0(t)a(v0) -I- 2.4 (t) (R(vs) cosk(t — 9(vs) senfrr(t 1)1) ai + E 2i5(t)(» (v1) cos[wi(t + — sen[wi(t 1)0. + E 6- 3 (t ) (R(v1) sen[wi(t 1)] 9(v5) cos[wi(t -I- 1)0 . i=1. Fazendo ão(t) (12 (t) [—R(v2) + -9(vn) tan(r01, 2 2 2. 2. 4(0 := Eti(t)[R(Vi) cos w5 —. 9(vi) senwi]. —iii(t)[R(vi)sen wi cos w5]. 6.5 (0 [R(vi) senwi 9(vj) cos ws], 1;- 1(t)[R(v1) cos wi— 9(v1) sen wi],. obtemos P -2 2. X(t) = ã0(t). 7 (t) cos(rt) -I- E ecii á (t) cos(wit) + 5 (t) sen(wit)) ..

(26) 1.2 Um Método para Obter Soluções Periódicas. 20. Observe que ãj's e bi's são 1-peri6dicas. De (1.11), temos que ail. x(t) ao(t) = + 64(t)cos(irt) + E(61(t)cos(wt) + bi(t)sen(wit)), 5=1. onde ai's e bi's são as primeiras coordenadas dos vetores ãj's e i's, respectivamente. Para p ímpar, o raciocínio é análogo.. 1:1. Condições necessárias e suficientes para que uma equação do tipo (3) possua solução p-periódica, p> O inteiro, são obtidas da seguinte forma: Seja p um inteiro positivo e considere uma função x de classe Cl, p-periódica. Pelo Lema 1.2.6 existem funções aj , b2 1-peri6dicas, tais que. [si x(t) =E [a(t) cos(wit). b5 (t) sen(wjel. (1.14). i=3 e LEI. ±(t ) E [1/43 (t) wgbi (t )] cos(w,t) + [h3 (t ) — wjaj (O] sen(wit)] , 5=3 com 4(t). (1.15). O se p for par.. Se, além disso, x é uma soluçá:o de (3), então f(a,t,xt ) é uma função pperiódica, assim existem funções 1-periódicas, uj(t), vl(t), que dependem de a2 (t), b(t) e de a, tais que f (a, t, xt ) =. E ki,;(t) cos(wit) + vi (t) sen(wit)] 2=o. com vs(t) - O se p for par. a 2 Daí, usando a independência linear de {1, cos(wit), sen(wit), j = 1, . . . , [p/2]} ,. (1.16).

(27) 1.3 Estabilidade. 21. temos um sistema de equações diferenciais ordinárias, que depende do campo vetorial f, isto é, dos coeficientes uie vi. Logo, este sistema pode ser escrito como: Ito(t) = [as (t) cos(n)]. = us (t) cos(irt),. ai(t) = ui(t) — wibi(t),. (1.17). = vi(t)± wiai(t), j = 1, ... ,Nj], se p for par ou 4(0 = uo(t),. à1(t) = ui(t) —. (1.18). b1(t) = vi(t) + wi ai (t), j = 1,... , [Y-], se p for impar. Ficando estabelecido o seguinte resultado: Teorema 1.2.1. Seja p um inteiro positivo. A Equação (3) tem solução p-. periódica se, e somente se, existir uma solução 1-periódica para o Sistema (1.17), se p for par, ou para o Sistema (1.18), se p for ímpar.. 1.3 Estabilidade A solução trivial, x(t) a-- O, de (2) é estável se para cada e > O existir 6 = 6(e) > O tal que, para qualquer ço E C([—r, O], R) com flwfl < 6, a solução x = x(t; (p) de (2) satisfaz lx(t)! < e, para todo t > ---r. Caso contrário, a solução trivial de (2) é chamada instável. A solução trivial de (2) é assintoticarnente estável se for estável e existir (50 > O tal que, para qualquer.

(28) 1.3 Estabilidade. (p. 22. E C([-7-, 01,11Z) com IIwII <50, a solução x(t) := x(t; (p) de (2) satisfaz Um x(t) = O. A estabilidade da solução trivial de (2) depende dos coeficientes ai's e dos. retardamentos ri's e pode ser determinada localizando, no plano complexo, as raízes da equação característica associada á(A) = À —. Eaje- Ars O,= ro = O.. (1.19). Quando for importante salientar a dependência dos parâmetros ao, ,aí usaremos a notação á (À) = (ao,. O teorema seguinte é uma versão particular, conveniente aos nossos propósitos, de um resultado apresentado em Dieudonné [13] (Teorema 9.17.3) como aplicação do Teorema de Rouche. Estabelece a continuidade das raízes de uma equação transcendente em C em relação aos parâmetros. Este resultado será muito útil no estudo de estabilidade que faremos mais adiante. Teorema 1.3.1. Sejam S2 um conjunto aberto em C e F uma função contínua a valores complexos definida emal+1 x Q tal que, para cada (ao, , az) E al+1,. z F(ao, • • • 'az; z), é analítica em Q. Seja W um subconjunto aberto de S2 cujo fecho W em C é. compacto e contido em Si Seja (a8,. , tal que F(4, ,a?; x) não tem zeros na fronteira de W. Então, existe uma vizinhança U de (ag, , a?) C772 a1+1 tal. que ( i) para qualquer (ao, , aí ) E U, a equação F(ao , , ai ;O não = tem raízes na fronteira de W;. (ii) a quantidade de raízes da equação F(ao, , aí; O= em W, levando em conta suas multiplicidades, é constante para (ao, , az) E U..

(29) 23. 1.3 Estabilidade A função (ao, , ai ; À) 1-4. A (ao, , ai; À),. de al+1 x C dada em (1.19) satisfaz as condições impostas à função F no Teorema 1.3.1.. 1.3.1 Equações Diferenciais a Diferenças Os resultados que apresentaremos a seguir são ferramentas muito úteis para tratar da estabilidade assintótica da solução trivial de (2). O teorema abaixo é bem conhecido. Teorema 1.3.2. Se R(À) < O para toda raiz da equação característica (1.19),. então existem constantes positivas M e 7 tais que t > to. O resultado seguinte pode ser encontrado em [12]. Teorema 1.3.3. Seja x uma solução de (1.4) correspondente a alguma função. inicial (p. Para qualquer 7 E 111 tal que AN O na reta R(À) = 7, temos a expansão assintótica x(t) =. Epi( t)eY. o(e7t ). para t —P co,. onde Á1,...,Á, é a quantidade finita de zeros de A(À) tais que R(Ai) > 7, j = 1,... ,1 e pi(t) é um polinômio de grau menor ou igual a mi — 1, onde mi é a multiplicidade de Ai como um zero de AN. Corolário 1.3.1. Se AN não tem zeros no semi-plano {À : R(À) > O}, todas. as soluções de (1.4) convergem paru zero exponencialmente quando t —P co..

(30) 1.3 Estabilidade. 24. Assim, (2) é assintoticamente estável se qualquer raiz da equação (1.19) tem parte real negativa. Por outro lado, se uma raiz de (1.19) tem parte real positiva, (2) é instável. A seguinte proposição está enunciada apenas para o caso de dois retardamentos por Hale e Huang [18]. Proposição 1.3.1. Se Ea > O, então (2) é instável para todos os valores dos retardamentos n,. i = o, ...,1.. Prova. De fato, basta observar que A(A) é uma função analítica em A,. A(0) = —>aj <O, A(A) E IR, se A E IR. e limA_,,,,3 A(A) = co. Logo, existe urna raiz real positiva. O Definição 1.3.1. A região de estabilidade de (2) é um subconjunto, 11), do espaço dos parâmetros aj, j = 0,...,1, tal que (2) é assintoticamente estável se, e somente se, (ao, , az) E .D. O conhecimento da fronteira da região de estabilidade assintótica é importante para a caracterização das regiões onde existem soluções periódicas. Várias técnicas têm sido elaboradas para determinar as regiões de estabilidade de equações do tipo (1.19). A equação e±(t) = aox(t) + aix(t — é um caso particular de (1.19). Se E > O e r1 > O, por uma conveniente re-escala no tempo (t e). tlr i ) e uma mudança de parâmetros, a equação acima se reduz à forma ±(t) = ax(t) + bx(t —1).. (1.20).

(31) 1.3 Estabilidade. 25. Há bastante tempo, o problema de estabilidade para (1.20) foi completamente resolvido por Hayes [19] que estabeleceu o seguinte resultado. Teorema 1.3.4 (Hayes, 1950). As raízes da equação (À— a)eA — b = 0, onde. a e b são reais, têm partes reais negativas se, e somente se, a <1, a -I- b <0, b> (seri( acoK, onde (. é a raiz de ("=- atanÇ, 0< (<ir, se a O e (. =7r/2 se a= 0. Hale e Huang [18] em 1993, consideraram o estudo de estabilidade de. ±(t) = —ax(t)— bx(t — r)— cx(t — o-), (1.21) no plano rcr para vários valores fixados de a, b, c. Num contexto de aplicações, Mizumo e Ikeda [27], 1989, observaram propriedades de estabilidade de. 7-1s.b(t) = —0(t) +nAkb(t — t1) + 0(t —. (1.22). para explicar alguns resultados de experimentos com laser. A equação (1.22) é uma versão de (1.21) com os parâmetros vinculados pelas relações a = > O e. b = c = —neyA. Normalizando os retardamentos pela mesma re-escala no tempo utilizada para obter (1.20) e assumindo r > o- (o que não representa perda de generalidade), (1.21) se reduz à forma. ±(t) = —Ax(t)— Bx(t —1)— Cx(t — R), O < R <1, onde A,B,C são novos parâmetros e R= o-lr. Recentemente, Mahaffy et aL [25] examinaram a estabilidade no espaço dos parâmetros (A, B, C) para diferentes valores da razão dos retardamentos, isto é, O < R < 1/2..

(32) 1.3 Estabilidade. 26. Philos [29], considerou a equação diferencial retardada ±(t) = ax(t) + Eb,x(t. —7),. (1.23). 5=1. onde k é um inteiro positivo, a e b j , j=1,...,k, são constantes reais não nulas, e ri ,j =1,...,k, são números reais positivos dois a dois distintos. Inspirado em resultados parciais de [14], ele estuda propriedades de (1.23) sem, entretanto, caracterizar as regiões de estabilidade no espaço dos parâmetros a, bj , 5 =1,...,k.. 1.3.2 Equações a Diferenças Os resultados apresentados aqui também serão úteis no estudo que faremos no Capítulo 4. Teorema 1.3.5 (Levin e May, 1976). SeqERekE{0,1,2,...}, enteio a equação a diferença Xn+1 Xn qXn-k =. é assintoticamente estável se, e somente se 0< q < 2 cos. ( kr \ 2k -I- 1). Teorema 1.3.6 (Clark, 1976). Sejam p,q ER e k E {0,1, 2,...}. Então, Ipj +jqj <1, é uma condição suficiente para a estabilidade assintótica da equação a diferença x.+1+pxn+ qx n _k = 0. Utilizando os mesmos argumentos de Clark [9], obtemos o seguinte resultado..

(33) 27. 1.3 Estabilidade Teorema 1.3.7. Suponha que (a1 ,... ,ai ). E. E. Ri. Então,. <1,. r=1. é uma condição suficiente para a estabilidade assintótica da equação a diferença x(t ). = E ai.x(t - r).. (1.24). T-1. Prova. A equação característica é CAI = E ar eA(I-r) r=1. ou definindo g := e', temos I -r P.. = arg •. (1.25). r=1. Sejam f(i) = e g(g) = =ri adi' • Observe que, se = 1 temos. Ig(i)1 1%1 <1 f(i)I. = r=1. Assim, pelo Teorema de Rouché, f(i) e f(i) - g(i) têm exatamente 1 zeros no disco unitário. Portanto, a solução x(t). O é assintoticamente estável.. Os dois resultados seguintes, devidos a Carvalho [5], caracterizam as regiões de estabilidade assintótica absoluta (isto e, estabilidade assintótica para todos os retardamentos) e instabilidade absoluta, no plano dos parâmetros a, b, para a equação. x(t) = ax(t - bx(t - s),. (1.26). onde a,b,r e s são constantes reais. Estes resultados são obtidos analisando a equação característica associada. 1 = ae- A- be'. (1.27).

(34) 1.3 Estabilidade. 28. Teorema 1.3.8. Qualquer raiz da equação (1.27) tem parte real negativa para. qualquer par de retardamentos 0 < r,s <00 se, e somente se, lal + ibi < 1.. Se lai + bl =1 ea<0 ou b < O, então existe somente uma categoria de retardamentos entre as 3 seguintes: 2 r ímpar' = {(r s) E (In) • s ímpar. C2 = {(r , s) E (St± * )2 .. r ímpar - s par f. C3 = (r, s). r par } s ímpar. (In)2 :. C4 = (r, s) E (In )2. '. irracional} :=. que produz uma raiz para (1.27) com parte real nula; esta classe é determinada de modo único pelo sinal de a e b e, além disso, as outras três categorias restantes produzem somente raízes com parte real negativa. Aqui, In_ denota o conjunto dos números reais positivos. Teorema 1.3.9. Qualquer raiz da equação (1.27) tem parte real positiva para. (a, b, r, s) E Ai X Bi, i = 1,2, onde A1 = {(a,b) E Re : I bl > I ai + 1}, A2 = {(a,b) E IR2 : lal > Ibl +1},. {(r,$) E lEt2 :0<r<8<oo}, .132 = {(r, s) E IFt2 : 0< 5 <r < oo}..

(35) 1.3 Estabilidade. 29. Sabemos que a região de estabilidade pode ser ampliada dependendo dos retardamentos. O Teorema 1.3.8 nos garante que a região mínima de estabilidade é o quadrado lal + ibl <1 e, dependendo dos retardamentos, ela pode ser ampliada fora das regiões A1 e A2 do Teorema 1.3.9. Veja a figura a seguir.. instabilidadade absoluta estabilidade absoluta. Figura 1.1: Regiões de estabilidade e instabilidade absoluta para (1.26). Teorema 1.3.10 (Kuruklis, 1994). Sejam a<Oeb números reais, k um inteiro positivo. A equação zn+i — = O,. n 0,1,2,... (1.28). assintoticarnente estável se, e somente se, lal < k +1 e k ' !ai— 1 < b < (a2 + 1 — 2 + ¡ai cos 0)4 para k ímpar,.

(36) 1.3 Estabilidade. 30. ib — al < 1 e lb! < (a2 + 1 — 2Ial cos 0)1 para k par, onde é a solução em (0,711(k + 1)) de laisen(k8) = sen((k + 1)0). Estas regiões podem ser visualizadas nas figuras abaixo.. 1-par. 1-ímpar Figura 1.2:. Comparando com a Figura 1.1 notamos que as partes das regiões descritas na Figura 1.2 que não estão contidas no quadrado (1,0) (0,1) (-1,0) (0, —1), estão contidas necessariamente na regiões A1,. A2. da Figura 1.1.

(37) Capítulo 2 Periodicidade em um Problema de Perturbação Singular com Vários Retardamentos 2.1 O Problema Vamos supor que os retardamentos ri's de (1) são racionais, então existem inteiros 's em tais que ri= "-±j, j = 1, . . . , n. Fazendo x(t) = y(k.) e G =+F, obtemos X(t) G(x(t),x(t = — mi), • . • x(t mx))•. (2.1). Este fato mostra ser natural estudar equações com retardamentos inteiros. Estamos particularmente interessados no seguinte problema de perturbação singular e±(t) = (x(t), x(t — . . . , x(t — m4), e > 0. (2.2) Mais precisamente, queremos estabelecer relações entre (2.2) e seu limite formal para. E. 0: = (x(t), x(t — mi), , x(t — m„)) 0. 31. (2.3).

(38) 32. 2.1 O Problema. Como G(0, , 0) ---- OeGe diferenciável então, (2.2) pode ser escrita na forma e±(t) = aox(t) + Eai x(t — mi ) + h(x(t), x(t — . , x(t mn )) (2.4) onde ai D5G(0,... = , O) é a derivada na origem de G com relação à j-esima variável, j , n, e se e = (xo, • • • ,wk-Fi),. h(e)= oaei), com lei 0.. Vamos estudar a parte linear de (2.4) e±(t) = aox(t) +. E cei x(t — mi ). j=i. (2.5). Não há perda de generalidade em supor que mi <m2 < • • • <m, e redefinindo os coeficientes ai, O Si < 1 :=m, , se necessário, podemos escrever (2.5) na forma ei(t) =. Ear x(t — r).. (2.6). r=0. Nos últimos anos, o problema de existência de soluções periódicas tem sido objeto de grande interesse de pesquisa para alguns casos particulares de (2.6). É conhecido - veja por exemplo, Hale [17] e referências ali contidas - que (2.6) com =&1, 1 = 1, ao O = e ai = —R12, isto é, X(t) —x(t = — 13, tem soluções 4-periódicas da forma x(t) = Ci sen (i t) + c2 cos (i t) , Ci, C2 E R. Carvalho generalizou este fato em [5], mostrando que (2.6) com E = 1, 1 =. 1, ao De = ai= (4n — 1)7r/2,n E Z, isto é, ±(t) = (4n — 1)7r2 x(t — 1), tem soluções 4-periódicas da forma x(t) = ci sen ((4n — 1) + e2 cos ((4n — 1) -72r-t) , ci, e2 E R..

(39) 2.2 Soluções Periódicas. 33. Utilizando um método desenvolvido por Carvalho [5], descrito anteriormente no Cap. 1, estudamos a localização das (1 + 1)-upla.s (ao, ..., az ) para as quais (2.6) possui alguns tipos de soluções periódicas e exibimos essas soluções.. 2.2 Soluções Periódicas Recentemente, Carvalho e Ladeira [6] fizeram um estudo sobre soluções periódicas para equações da forma ±(t) = f (a, x(t), x(t — 1)), a E R,. (2.7). onde eles mostraram que a equação (2.7) não tem soluções 1-periódicas para qualquer f contínua. E se f é localmente Lipschitz, eles fizeram uma nova prova da não existência de soluções 2-periódicas para a equação (2.7). Em particular, a equação bx(t —1), X(t) ax(t) =. (2.8). não tem soluções 1 ou 2 periódicas não constantes. O teorema a seguir estende o resultado relativo a (2.8) para a equação (2.6). Teorema 2.2.1. A equação (2.6), para E > O, não possui soluções 1-periódicas ou 2-periódicas não constantes. Prova. Pelo Lema 1.2.6, se (2.6) tivesse uma solução 2-periódica, ela seria da forma x(t) = ao(t) + (t) cos(7rt),. (2.9). com ao(t) e ai (t) 1-periódicas. Observe que uma solução 1-periódica seria da forma (2.9) com ai(t) O..

(40) 2.2 Soluções Periódicas. 34. Como x(t — r) = ao(t) (1)'a1 (t) cos(wt). (2.10). X(t) = à0(t) (t) coseirt) — (t)rsen(irt),. (2.11). e. substituindo (2.9), (2.10) e (2.11) em (2.6), e usando o fato que as funções 1, coseirt), seneirt) são 1.i. com relação às funções 1-periódicas, temos que: a) A equação (2.6) não tem solução 1-peri6dica não constante. De fato, fazendo ai(t) =- 0, x(t) e solução 1-periódica da (2.6) se, e somente se, existir ao(t) 1-periódica tal que. &à0(t) = (E ar ) ao(t).. (2.12). r=0. Como a solução geral de (2.12) e ao(t) ce-}(E:-=°a" = )t , c E R, as únicas soluções limitadas possíveis são constantes. A afirmação (a) fica provada. b) A equação (2.6) não possui solução 2-periódica não constante. De fato, x(t) será solução 2-periódica da (2.6) se, e somente se, existirem ao(t) e ai (t) 1-periódicas tais que o sistema &à0 (t) = (E ar). ao(t),. r=0. €(à1 (t) cos(wt) — (t)7r sen(rt)) = (E( -1)r ar) aí (t) cos(n), r=o. (2.13).

(41) 2.2 Soluções Periódicas. 35. esteja satisfeito. Note que o sistema (2.13) é desacoplado. Já vimos que, (2.12) implica ao (t) constante. Definindo y(t) = ai (t) cos(wt) e substituindo na segunda equação de (2.13), obtemos. e(t) (E( = —1)rar) y(t).. (2.14). r). Observe que as Únicas soluções limitadas possíveis de (2.14) são constantes e, portanto, ai (t). O. Assim, fica provada a afirmação (b).. O teorema a seguir fornece as condições necessárias e suficientes para que (2.6) tenha soluções p-periOdicas, p> 2 inteiro. Dado p > 2 inteiro, sejam a E %fp :-= {1, 2, ..., [(p — 1)/2]}, e > O real e consideramos o seguinte conjunto { (ao, , ce1) eRi+1 : E cei. cos(rw,) = O e E a,. sen(rwa)epuk = ; r=0 COM tua := 20-711p, pek. r3. := 2/or — we e k E Z}.. Teorema 2.2.2. Sejam p> 2 inteiro, (ao,...,a1 ) tal que E ar O ee >O.. A função. n(t) = â(t) c0s(wet) + b5 (t) sen(wet) # O, a E tip, onde Ele (t) = ci a cos(2k7rt) — eu, sen(2/ort), 55(t) = ch, sen(2brt). c2,cos(2/ort),. cia, c20. E IR e k E Z, é soluçã,o p-periódica da equação (2.6) se, e somente se,. (ao, ••• , az) E. Pper e. Prova. Seja x(t) uma função p-periódica, p> 2, de classe Gd. O Lema 1.2.6 garante que esta função pode ser escrita na forma (1.9), isto e, [SI. x(t) = ao(t) E (ai(t)cos(wit) j=1. bi (t)sen(wit)) , (2.15).

(42) . 2.2 Soluções Periódicas. 36. onde ais e bi 's são funções 1-periódicas, com b(t) O se p for par. Daí, x(t — r)ao(t) =+ E Uai (t) cos(rwi) — bi (t)sen(rivi )] cos(wit) +. (2.16). + [ai(t) sen(rwi) + bi (t) cos (rwi)] sen(wit)] ,. e 151. ±(t) =. + E [[ ei,;(t) + wi bi( t )] cos(wit) + [ bi ( t) — w i a (t)] sen(wi )] i=1. (2.17) Usando a independência linear de {1, cos(wit), sen(wit); j = 1, . . [p/ 2] , com relação às funções 1-periódicas, temos que x(t) é solução p-periódica da (2.6) se, e somente se: (a) quando p for par, existirem funções 1-periódicas. ao(t), a , a3 (0 , j = 1, . . . , [(p — 1)/2] satisfazendo E(t) (= ar) ao(t), r-o. (2.18). e(etE (t) cos(7rt) — ctE(t)zsen(Trt)) =((-1)rar) (t) cos(7rt) 2 2 r=0. e os [(p — 1) / 2] sistemas 2 x 2: ei(t)) a (t) E = A • (t) b ( (t) ). :. = 1, . . . , [(p — 1)/2],. =. (2.19).

(43) 37. 2.2 Soluções Periódicas onde. = E a,. cos (rwi),. e vei etvi +. Ea,. sen(rwi = ). r=0. r=0. (b) quando p for ímpar, existirem funções 1-periódicas. ao(t), ai (t), bi(t), j =1, ... ,[(p —1)12] satisfazendo. eao(t) = (Ece.,.) ao(t). (2.20). r=0. e os [(p — 2)/2] sistemas 2 x 2: ei (t)) = Ai ei (t)). E. Ai := -vl. , 3 1, =• • • ,[. b j(t) bi (t) Lei. p —1 2 (2.21). onde. = E ar cos(rwi)é,. e ve = etvi +. E. ar. sen(rwi).. r=0. Agora, observe que o sistema (2.18) é desacoplado e independente dos N sistemas (2.19) e estes, por sua vez, também são independentes. Como, ao(t) as(t) O são as únicas soluções periódicas de (2.1E) ou (2.20) a prova depende apenas da análise dos sistemas (2.19), se p for par, ou (2.21), se p for ímpar. Para cada j E jv , a solução geral do j-ésimo sistema 2 x 2 em (2.19) ou (2.21) é da forma: (clã). àAit bi (t). C2j. E lie,. C2j. isto é, = ene t cos bi(t). sen(it). — sen. t). cos (t). cli c2j. (2.22).

(44) 38. 2.2 Soluções Periódicas. O j-esimo sistema em (2.19) ou em (2.21) tem solução 1-periódica se, e somente se,. 2ker, k E Z,= = O e vei (2.23) isto é, (.20,...,ai) E Nestas condições,. ai (t) = clj cos(2krt) — c2i sen(2krt), b(t) = cid sen(2kxt) cos(2krt). Agora, dada a independência linear de (1, cos(wit), sen(wit), j = 1, . . . , [p/2]},. (2.24). com relação às funções 1-periódicas, e notando que (t) = à, (t) cos(wat). ba(t) sen(wat),. a E Jp,. é a única forma de expressar ±;(t) como combinação linear de (2.24). Isto é, na expressão de €;(t), ai (t), b3 (t) a - . O para todo j a e a, (t) := â, (t), 6, (t) (t). Portanto, ±1,(t) é solução p-periódica de (2.6), se e somente se, (ao, , az) E Ppea. Corolário 2.2.1. Sejam p > 2, k E Z, a E Jp, (ao , ,a1 ) E Ppu seq. Ikp — ai. Se p e q são relativamente primos, então a solução p-periódica de (2.6) no Teorema 2.2.2 também é fj,-periódica. Prova. Basta observar que podemos escrever ±;(t) na forma c/, cos (27r ou seja,. g (t). kp — a. t) c2,, sen (27t P. kp — a. P. p 7rt) e sen (27rt). é uma combinação linear (usual) de cos (21.

(45) 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação. 39. 2.3 Hipersuperficies de Bifurcação Observe que, fixados m, n, 0 < m < ri< 1, o conjunto P dado no Teorema 2.2.2 pode ser visto como. 3=1 keZ. resk) n. onde 7-4 é o hiperplano dado por 1 { r=0 e r:k são as hipersuperfícies definidas da seguinte forma: resk := resk (t, co) E R141, t := (to, , ,..,t) E RI-1, (onde ". significa que a respectiva coordenada ou índice acentuado deve ser excluído), co E ((n—m)k+s-17t, (n—m)k+s7t), s = 1, ...,n — m e Fesk = (ao, , ai ) é definida por ar = tr , tr E R, r = 0,1,., ?h, , ft, ,1, g(2k7:- — w) cos(rua) -I- E' t,. sen((n — r)w). reak. an, —. an. rflIJI. sen(( — m)w). (2.25). 6.(2f7r — co) cos(~) t,. sen((m — r)w) r#rrNn sen(( — m)co). Definição 2.3.1. A k-ésima hipersuperfície, dada por U„nrrrak , k E Z, e > 0, parametrizada pelas equações (2.25), é chamada de k-hipersuperfície de bifurcação de (2.6). A definição é sugerida pelo fato da k-ésima hipersuperfície, no espaço dos coeficientes de (2.6), ser o lugar geométrico dos (ao, ,az) tais que existe uma raiz característica imaginária pura. Isto significa que quando cruzamos uma tal hipersuperfície, há perda ou ganho de estabilidade..

(46) 40. 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação De fato, a equação característica de (2.6) é / EA. are-Ar,. =. E. r=0. fazendo À O= -E wi, 9,w E IR, obtemos 661. ar e-er cos(rw) e EW = - ar e-er sen(rw). r=o r=o. = E. Agora, tomando O = O temos z. E a,. cos(rw) = 0, e. EW = - Ear r=0. r=0. sen(rw).. Se m, ri são inteiros tais que O < m < n < /, temos da segunda equação que EW E'. „o. — rrn,n. a,. sen(rw) an sen(nw) sen(rnw). Substituindo cem, na primeira equação, obtemos -EW. 1 r#rn,n. cos(rnw) + E ,o a,. sen((m — r)w). an —. sen((n — m)w). Voltando à expressão de a„,, temos -EW COS(rup). + r=. 4. ar ar sen((n — r)w). 171,1. am =. sen((n — m)w). Assim, -EW COS(772.0). EL ',o a,. sen((n — r)w) rpn,n. sen((n — m)w) -EW COS(ITU.0). EL ,o a,. sen( (m — r)w) sen((n — m)w). kr w , k E Z. n—m. Fazendo a mudança de variável w 2kr — w, obtemos (2.25)..

(47) 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação. 41. Exemplos Exemplo 2.3.1. Fixando 1 = 1 e E —= 1 em (2.6), obtemos ±(t) = aox(t) aix(t — 1).. (2.26). Neste caso, as k-esimas hipersuperfícies (curvas) de bifurcação são dadas por cú. = — (2k7r w) cias , sen w = (2k7r w) sen 1 w , w E (0,71-). O conjunto P, que neste caso 4 discreto, pode ser visto na Figura 2.1 como interseção dos hiperplanos (retas) 7-4 com as hipersuperfícies (curvas) rk. al. Figura 2.1: 'Ppli=. r,, n k = —1,0, 1, 2 para cada p E {3,4, 5}..

(48) 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação. 42. O exemplo seguinte é importante porque a equação limite (E .= O) tem sido bastante estudada na área das equações a diferenças, veja [4], [23], por exemplo. Exemplo 2.3.2. Fixaremos 1 2= e ao = —1 em (2.6), isto é, e±(t)+ x(t) = cti x(t —1) + a2 x(t — 2).. (2.27). Neste caso, as k-esimas hipersuperfícies (curvas) de bifurcação são dadas por { ai = —E(21cir w). cos(2w)Asen cd. 6.(2k7r — w) cos w a2 . sen cd. 1,. 2cosw, o.) E (0,70.. Representamos o conjunto nina figura que se segue.. az. Figura 2.2: O conjunto fl é a interseção das hipersuperficies (curvas) de bifurcação. ri ,3 com a reta 7tl.. Mais adiante, motivados pelo Exemplo 2.3.2, veremos que ao considerarmos as equações a diferenças como caso limite de um problema de perturbação singular,.

(49) 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação. 43. podemos enquadrar resultados conhecidos de equações a diferenças num contexto mais geral. Além disso, o Teorema 3.1.1 a seguir, nos permite generalizar alguns resultados para um número arbitrário de retardamentos. Daqui para frente representamos somente as hipersupefícies de bifurcação. Exemplo 2.3.3. Fixaremos 1 3= em (2.6), isto é, c±(t) = aox(t) + ai x(t —1) + a2 x(t — 2) ± as x(t —3). (2.28) Em cada um dos itens 1) - 4) que se seguem fixaremos ay. = 0, r = 3, 2, 1, respectivamente. Representaremos nas figuras 2.3 - 2.6, em (a) e 1,= em (b) E -= 0.1,. em (c). E =-. 0.01 e em (d). E 0.001, =. com o objetivo de transmitir uma. idéia de como as superfícies de bifurcação se deformam quando e Assim, consideramos os seguintes casos: 1) Se a3 = O (observe que t3 = O em (2.25)), temos dois casos:. 0..

(50) 44. 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação • escolhendo m=0en= 1, as superfícies são dadas por cos w ao = —E(21er — w) t2, sen w 1 ai= s(21ur w) 2t2 cos w, sen w t27. w E (0,7r) e t2 E R.. 10 5 O .5 • 10. (a). O 0.1. O 01. /0 1. 0.2 .05. oi o i. ao. (d). (c) Figura 2.3.. Observe que a Fig.2.1 é o corte da Fig.2.3(a) em a2 O. Assim podemos imaginar como ficam os planos 7-41, na Fig.2.3..

(51) 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação. 45. • escolhendo m = 1 e 72 = 2, obtemos (veja a figura 2.4). = —6(2kir — w) a2 6-(21c7r. w). cos(2w) + 2t0 cos w, senw. cosw + to, sen w. w E (0,7r) e to E R,. 0.1 -0.2 -0.2 40 1. (a). (b). (c). (d). o. o 0,0 0.1. Figura 2.4. Observe que a Fig.2.2 é o corte da Fig.2.4(a) em ao = O.. 02 01.

(52) . 46. 2.3 Hipersuperficies de Bifurcação. 2) Se o2 = O (t2 = O em (2.25)), m = 1 e n = 3, temos (veja a figura 2.5.) ao to, = a3 =. E(2k7r. — w) cos(3w) + to sen(3w) sen(2w). E(21er — w) cos w + to sen w. (.4) E (0, )U (,ir) e to E R, sen(2w). 2. o -2. 0.1 -O • 2 -10 .8 6 .4. cY. ( c). 3. (d) Figura 2.5.. ao.

(53) 47. 2.3 Hipersuperfícies de Bifurcação 3) Para al= O, m = 2 e n = 3, temos (veja a figura 2.6.). ao = to, = a3 =. E(2kr — w) cos(3w) + to sen(3w). sen w e (2107r — cos(2) + to sen(2w) sen w. (o E (0,70 i E R,. 03. 01 01_. -0 1 -0.2 -0 3. o. ct 2. (b). 020.2 0.1 0.1. o. CY-3. 0.1 0.1. -02 -0.1. Ci O 1 O 2 CC 2. 01. .0.1. -0.2. (c). Figura 2.6..

(54) Capítulo 3 A Equação Limite Neste capítulo vamos estudar a equação limite de (2.6). Isto é, o limite formal da equação (2.6), para E O: ar x(t — r) = O.. E. (3.1). r=0 No capítulo subsequente estaremos particularmente interessados em estabelecer relações entre propriedades de (3.1) e de (2.6), para e> O pequeno.. 3.1 Soluções Periódicas O teorema abaixo nos fornece condições necessárias e suficientes para que (3.1) tenha soluções p-periOdicas, p > 1. No caso p > 2 ele pode ser visto como uma versão no presente contexto do Teorema 2.2.2. Teorema 3.1.1. (a) ±1(t) tio(t) = é uma solução de (3.1) não constante, qualquer que seja a função 1-periódica não constante 21.0(t) se, e somente se,. E. ri --o ar. O.=. (b) £2(t) E/1W = cos rt é uma solução 2-periódica de (3.1), qualquer que seja a função 1-periódica não trivial1'& (0 se, e somente se, E .(-1)'a,. = O. 48.

(55) 3.1 Soluções Periódicas. 49. (c) £1(t) = *4(0 + ai (t) cos rt quaisquer que sejam tio(t), iii (t) funções 1-periódicas, he(t) não constante ou hi(t) não trivial, é uma solução 2-periódica para (3.1) se, e somente se, Eri _o a.,. O=e E' r0(-1)rar = O. (d) Suponha que ELo a,.. O e E. (-1)'a1. $ O. Então, a função. = ag (t)cos(wat) + bg(t) sen(wo.t), a E 373 , onde ii,(t),L(t) são funções 1-peri6dica8 não triviais quaisquer, é solução p-periódica de (3.1) se, e somente se, (ao, ..., ai) E Ppo ° Prova. De forma análoga ao que foi feito na prova dos Teoremas 2.2.1 e 2.2.2,. vamos considerar x(t) uma função p-periódica, p > 1. O Lema 1.2.6 garante que x(t) pode ser escrita na forma (1.9), isto é,. [1 x(t) = ao (t) + E (ai(t) cos (wit) + b1(t) sen(wit)) , onde ai's e bi's são funções 1-periódicas, com 4(t). (3.2). O se p for par.. Daí, 151 x(t — r) = ao(t) + E Uai (t) cos(rwi) — sen(rwi)] cos(wit) + j="1. (3.3). + [ai (t) sen(rwi) + cos(rwi)] sen(wit)] , Usando a independência linear de {1, cos (wit), sen(wjt), j = 1, . com relação às funções 1-periódicas, temos que x(t) é solução p-periódica da (3.1) se, e somente se: (a) quando p for par, existirem funções 1-periódicas ao (t), (t), (t), (t), 5 =1,... ,[(p —1)12[,.

(56) 50. 3.1 Soluções Periódicas satisfazendo crp) ao(t) = 0, r=o. (3.4). (. É(-1)rap) as (t) cos(7rt) = zto. e os [(p — 2)/2] sistemas 2 x 2:. [Ai —voi] (ai(t)) gi. bi(t). =0,. (3.5). onde. = E ar cos(rwi),. e vai = sen(rwi).. r=0. r=0. (b) quando p for ímpar, existirem funções 1-peri6dicas ao(t), ai(t), bi (t), j = 1, , [(p — 1)12], satisfazendo. eizo(t) = cer ) ao(t). (3.6). r=0. e os [(p — 1)12] sistemas 2 x 2:. t (::((t). p—1 1, • • • ,[—] 2. (3.7). onde pá =. E ar cos(rwi), r=0. E. e voi =ce,. sen(rwi ). r=0. Para cada j, o sistema (3.5) ou (3.7) admite solução não trivial se, e somente se, li_Li —V05 2 2 n det = + = voi.

(57) . 3.1 Soluções Periódicas. 51. isto é,. p, =. E CW.,. COS(71Dg) =O e voá = Ear sen(rwi) = O,. r=0. r=0. o que significa que (ao, ...,az) E P. Nestas condições, qualquer par de funções 1-peri6dicas e solução do sistema (3.5) ou (3.7). Assim, dada a independência linear de (2.24) com relação às funções 1-peri6dicas, e notando que. n(t) = tie(t) cos(wet) ±-6,(t) sen(wet), uE é a única forma de expressar g(t) como combinação linear de (2.24), temos que g(t) é solução p-pericidica de (3.1) se, e somente se, (ao, ,az) E nu. Provando assim, o item (d) do teorema. Provemos agora o item (a), a primeira equação em (3.4) admite solução ao(t) não trivial se, e somente se, ar = 13. E r=0 Neste caso, toda função ao(t) é solução da primeira equação em (3.4). Assim, a única forma de expressar ±'1(t) £1 (t) =. com â0(t) := ao(t) # O, 1-periódica. Isto corresponde a tomar ai(t), b5(t) O, j = 1,. . . , [p/21, em (3.2). Ficando assim, provado o item (a) do teorema. Vamos agora provar o item (b). Observe que a segunda equação em (3.4) pode ser escrita na forma. ((-1)r ar ) y(t) O,=. (3.8).

(58) 52. 3.1 Soluções Periódicas. onde y(t) = 9(t) cos(irt). Assim, como no caso anterior, quaquer função y(t) é solução de (3.8) se, e somente se,. E(-1)ray. = O. r=0. E a única forma de expressar £2(t) é £1(t) = a, (t) cos(irt), com di(t) := ai(t) O, 1-periódica. Isto corresponde a tomar ao (t) O, ai (t),bi (t) -== O, j = 1,... ,[p/2}, em (3.2). Provamos assim, o item (b) do teorema. O item (c) segue dos itens (a) e (b).. o Exemplo 3.1.1. Fixaremos 1 2= e ao = —1 em (3.1), isto é, x(t) = ai x(t —1) + a2 x(t — 2).. (3.9). Neste caso, a curva de bifurcação é o segmento dado por = 2cos w, =-1, c4.) E (0,7r), e as retas correspondentes aos hiperplanos são 74 : cos mi + ce2 cos(2wi) = 1,. j E „ir,. Representaremos, na figura que se segue, o conjunto nie as retas ri : ai a2 = 1 e r2 : —ai a2 = 1 que são os lugares onde a equação tem soluções 1-peri6dicas e 2-periódicas, respectivamente. Compare com o Exemplo 2.3.2..

(59) 3.2 Um Caso em que1011195es são Periódicas. 53. a2 (XI). Figura 3.1: O conjunto nié a interseção da curva 11 com 7-/A : a2 = 2. O conjunto 2z1 é a interseção de 1' com 74 :a1 = 0. As retas r1 e r2 são os lugares onde (2.27) tem soluções 1 e 2-periódicas, respectivamente.. 3.2 Um Caso em qu Soluções são Periódicas Se ao O, podemos re-escrever (3.1) na forma x(t) = Efirx(t — r), onde j3,. = —a,./ceo (3.10) r=1 e (3.1) passa a ser caracterizada pelos / coeficientes j3i, , 3 j i. Assim, dado p> 2 inteiro, o conjunto nj é agora entendido como um subconjunto do Ifti dado por: {(31 , PI ) E :. E j3, cos(rwi) = 1 e E j3,. sen(rwi) = O, r=1. comjej,, e wi := 2j7r/p},. r=1.

(60) 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. 54. e fixando m, n, O < m < n < 1, o conjunto nipode ser visto como. =1. onde F.? são as hipersuperfícies parametrizadas por. := 11(t, co) t := .. e. s ,,), o — ( s-1 rn e ,ti) E IR1-2, = E ‘n_ran,. r? = 051, • • • ,Pi) é definida por fir =tr , tr E IR, r= 1,... "..., , 1, E1 t sen((n — r)w) seneruii) r;min r Pm sen((n — rn)co) sen((n — rn)co). (3.11). r=1 sen((rn — r)w) sen No) + El r#m,n sen((n — rn)co) sen((n — rn)co). fin. e o hiperplano 7-4 dado por. 051, -, A) E R1 :. Epr cos(rwi) = 1} .. (3.12). r=1. Lema 3.2.1. Sejam A uma matriz constante ri x ri, p um inteiro, p> n> 2. Se. todos os autovalores de A sã.° raizes p-ésirnas da unidade duas a duas distintas, enteio AP = 1. Prova. Como todos autovalores da matriz A são distintos, existe uma matriz não singular N tal que. NAN-1 =D, onde D é uma matriz diagonal cuja diagonal é constituida pelos autovalores de. A. Daí, temos que NAPN-1 = DP..

(61) . 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. 55. Agora, como todos autovalores são raízes p-ésimas da unidade, temos que DP = 1. Portanto, AP = o A equação característica de (3.1) é e Al. = EfireAo_r), r=1. ou, definindo p, (3.13). = Efirtd-r • r=1. Teorema 3.2.1. Se todos os zeros de (3.13) são raízes p-ésimas da unidade duas a duas distintas, então todas as soluOes de (3.10) são p-periódicas. Prova. Observamos que, fazendo (t) = x2(t) —1), =. xi(t) = xi_i (t — 1), podemos re-escrever (3.10) na forma X(t) = MX(t — 1),. (3.14). onde (xl (t)\. 02. x2(t) x(t)=x3 (t). \x /. (t). e. M. 1. 0 .... 0. 0. 0. .... 0. 0. 0. .... 1. 0.

(62) 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. 56. M é conhecida como matriz companheira do polinômio. A (g) = fil - Prit r , r=1 veja [20] por exemplo. Note que det(M—ftI) = â(p), como A(g) = o é a equação característica (3.13), segue-se que os autovalores de M são os zeros de (3.13). Seguindo os passos de Hale em [17] para o caso bi-dimensional, dada uma função .1) = col(cpj,... , yoz ), onde yoi são funções definidas de [-1,0] em IR, a solução X(t) de (3.14) passando por .1). x(t) = mt-84)(o),. t o, o + 1, ...,. onde O E [-1, (3.15). De (3.15) temos que X(t +p) = MPX(t). Como todos os autovalores de M são raízes da unidade duas a duas distintas, pelo Lema 3.2.1 temos que W = / e, portanto, X(t +p) = X(t)..

(63) . 57. 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. Exemplos Exemplo 3.2.1. Tomemos 1 2= em (3.10), isto é, x(t) = fli x(t — 1) + /32x(t — 2).. (3.16). Como a curva de bifurcação de (3.16), correspondente à hipersuperfície (3.11) é dada por. w E (0,7r) e, dado p > 2 inteiro, a reta 7-4, j E ,7p, correspondente ao hiperplano (3.11) é dada por {C81,02) E R2 : /31 cos w3 t(32 cos(2wi) = 1}, temos que. r n =. {(A,,82) E 1R2 (81, 02) = (2 cos —1)},. j€3,.. Assim, observamos que: a) Pelo Teorema 3.1.1, a Equação (3.16), com. A 2= cos wi e ,82 = —1, tem. soluções p-periódicas, p> 2 inteiro e a matriz citada na prova do Teorema 3.2.1 é dada por. M=. 2 cos —.1 1 O. As raízes características são À1 = coswiisenwie À2 = cos Wi — i sen w , e para cada j E ,fp elas são duas raízes p-esimas da unidade. O Lema 3.2.1 implica MP = I. Logo, pelo Teorema 3.2.1 todas soluções são p-periódicas..

(64) 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. 58. b) O Teorema 3.1.1 garante que se )31 fi2 = 1, então qualquer função 1periódica é solução de (3.16). Mas, neste caso, nem todas as soluções de (3.16) são 1-periódicas. De fato, basta verificarmos que x(t) = fi2)` é solução não periódica, se )32 O ou )32 —1. c) O Teorema 3.1.1 nos diz que se )32 = A +1, (3.16) tem solução 2-periódica da forma x(t) = a(t) cormt, qualquer que seja a(t) 1-periódica. Mas, nem toda solução dessa equação é dessa forma, basta verificarmos que x(t) = é solução não periódica, se )32 O ou )32 1. Exemplo 3.2.2. Para I 3, temos = x(t) = Ax(t —1) + 3 j 2x(t — 2) + )33 x (t —3).. (3.17). A superfície de bifurcação de (3.17), correspondente à hipersuperfície (3.11) pode ser parametrizada por 31 = 2 cos w. ). :. t3,. 02 = —1— (2 cos w)t3 )33 = t3,. e, dado p> 2 inteiro, o plano 7-4,. w E (0,7r) e t3 E R. j E ti„, correspondente ao hiperplano (3.11) é. dado por { (31 , 02 03) E R3 : /31 cos wi. 2 COS(2W4 + COS(3W4 = 1}.. Se t3 ER e jE Jp, temos que. r n7-4 = { ((31, /32, /33) E R3 : (fi1 , 02 , ,e3 ) = (2 cosw, + t3, - 2t3 COS Wi, t3)}..

(65) 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. 59. Assim, se (fli,02, (33) E II n ?g, a matriz citada na prova do Teorema 3.2.1 é 2 cos wj -f- t3 —1— 2t3 cos wj t3 M. 1. o. o. 1 o1. o. e seu polinômio característico é A(µ) —(µ = — t3 )(µ2 — 2pcosw + 1), cujas raízes são P1 = t3, P2 72-- ri2 = COS Wi isen wi.. Observe que se t3 = ±1, os pj's são raízes p-esimas da unidade. Assim, pelo Lema 3.2.1 temos que MP = /. Portanto, se. (fil, 02, ± 1). e F n 'Hi7), o Teorema. 3.2.1 garante que todas as soluções de (3.17) são p-periódicas. A figura a seguir mostra a superfície de bifurcação para a equação (3.17).. o. o fig 3.2..

(66) 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas Exemplo 3.2.3.. 60. Brand IN, fez uma análise do comportamento das soluções da. equação as,, + b. n 0,= 1, .. onde a, b, c são constantes reais tais que ad — bc 00 ecO 0. Os resultados de Brand também podem ser encontrados em I.22]. Seja a equação ax(t —1) + b x(t) = c00 ead—bc00. cx(t —1) + d' Introduzindo como em [3] a mudança de variáveis. (3.18). x(t) = y(t) — d/c, podemos. escrever (3.18) na forma P2. Y(t) O. (3.19). onde A a-Fed e fl2 = Ainda por inspiração em [3], com uma nova mudança de variáveis, y(t) =. z(t)/z(t — 1), re-escrevemos (3.19) na forma z(t) = fliz(t — 1) +fl2 z(t — 2). Observe que. (3.20). x(t) é p-periOdica, se z(t) p-periódiea.. Os Teoremas 3.1.1 e 3.2.1 proporcionam um enfoque distinto para o contexto de Brand. A análise em [3] depende das raízes características da Equação (3.20), enquanto a nossa está baseada nos coeficientes. Além disso, conseguimos exibir aqui as expressões das soluções periódicas obtidas. Obtemos as seguintes consequências: a) Toda função 1-periódica é solução de (3.18) se, (a + d)c — (ad — bc) =1..

(67) 3.2 Um Caso em que Soluções são Periódicas. 61. b) A Eq.(3.18) tem solução 2-peri6dica da forma x(t) = (t) cos(rt), (t) 1-periódica, se, (a d)c ad — bc = —1. c) A Equação (3.18) tem soluções 2-periódicas da forma x (t) = ao (t) (t) cos(rt), ao (t) , ai (t) 1-periódicas, se a-Hd= O. .3) Suponha que a. b. O. Todas as soluções de (3.18) são da forma. ri p(t) = (t) cose tost) + b5 (t) sen(w2t),. j E „Ip ,. onde ai(t), MO são funções 1-peri6dicas, se ac — bc = c2 e a + d 2c =cos wi,. c. O,. j E ‘.7,.. Portanto, neste caso, todas as soluções de (3.18) são p-periódicas..

(68) Capitulo 4 Um Estudo da Região de Estabilidade Os resultados dos Capítulos 2 e 3, os trabalhos de Carvalho [4], Clark [9], Levin e May [24] e Kuruldis [23], citados na Seção 1.3.2 sugerem uma interessante área de investigação, a saber, o estudo da perturbação singular da equação. Ear x (t — r) T=1. com relação à região de estabilidade no espaço dos parâmetros, isto é, estudar o problema. e±( t ). + Ear x(t — r), r=1. quando e O, no espaço dos parametros a,.'s. Observando o Exemplo 3.2.2 notamos que, no caso geral, este problema não é trivial. Motivados pelo Exemplo 2.3.2 nos propomos a estudar o seguinte caso particular de (2.6),. e±(t) + x(t) = x(t — 1) + cti x(t — 1), isto é, fazemos ao = —1, = O , r = 2, ... , / — 1, / > 2 em (2.6). 62. (4.1).