A Modelagem matemática como instrumento de ação política na sala de aula

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

A MODELAGEM MATEMÁTICA COMO INSTRUMENTO DE

AÇÃO POLÍTICA NA SALA DE AULA

Otávio Roberto Jacobini

Orientadora: Profa. Dra. Maria Lúcia Lorenzetti Wodewotzki

Tese de doutorado elaborada junto ao curso de Pós-graduação em Educação Matemática – área de concentração em Ensino e Aprendizagem da Matemática e seus Fundamentos Filosófico-Científicos, para a obtenção do título de Doutor em Educação Matemática.

Rio Claro, SP 2004

510.07 Jacobini, Otavio Roberto

J16m A modelagem matemática como instrumento de ação política na sala de aula / Otavio Roberto Jacobini. – Rio Claro: [s.n.], 2004

225 f. : il, gráfs., tabs., fot.

Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Orientadora: Maria Lúcia Lorenzetti Wodewotzki

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Educação Matemática Crítica. Participação política. 4. Literacia matemática. I. Título

Ficha Catalográfica elaborada pela STATI – Biblioteca da UNESP Campus de Rio Claro/SP

Comissão Examinadora

________________________________________________ Profa. Dra. Maria Lúcia Lorenzetti Wodewotzki (0rientadora)

________________________________________________

________________________________________________ Prof. Dr. Marcus Vinicius Maltempi

________________________________________________ Prof. Dr. Ole Skovsmose

________________________________________________ Profa. Dra. Alexandrina Monteiro

________________________________________________ Aluno: Otávio Roberto Jacobini

Rio Claro, 20 de dezembro de 2004

Dedicatória

A Letícia e Ucha por estarem comigo em todos os momentos.

APRESENTAÇÃO E AGRADECIMENTOS

Comecei minhas atividades no magistério, ainda como estudante universitário, ensinando em diversas escolas públicas da região de Campinas. Em 1973 ingressei como docente na PUC-Campinas, Universidade em que leciono Cálculo, Estatística e Instrumentação para o ensino de Matemática.

Em paralelo às minhas atividades docentes tenho participado das entidades de classe relacionadas com o magistério (Associação de Docentes e Sindicato) e, no período compreendido entre 1983 e 1994 exerci, na Universidade, algumas funções administrativas e pedagógicas relacionadas com as coordenações de departamento, de curso e de faculdade.

A convivência de muitos anos com a sala de aula aliada a essas experiências administrativas e sindicais me motivaram a participar mais intensamente da vida acadêmica e me levaram a ingressar, em 1997, no Programa de Pós-graduação em Educação Matemática da UNESP de Rio Claro. Com a dissertação propiciada pela pesquisa sobre a aplicação da modelagem matemática no ensino de estatística concluí, em junho de 1999, a primeira parte dessa minha trajetória.

Na continuidade desse ciclo retornei em 2001 a esse mesmo Programa, agora como doutorando. No projeto apresentado procurei manter a modelagem matemática como foco e, por estar envolvido com a aplicação da tecnologia no ensino de matemática, busquei inicialmente associar a aplicação pedagógica da modelagem aos recursos possibilitados pela Internet. Pelas razões que apresento no capítulo inicial desta tese decidi redirecionar meu estudo, optando por um novo objeto para minha pesquisa. Nesse redirecionamento mantive a modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem, porém com meu interesse voltado para analisar a sua potencialidade como instrumento de ação política e social na sala de aula de matemática.

Neste estudo não me refiro à política em seu sentido moderno, relacionada com questões sindicais, ideológicas, doutrinárias ou eleitorais, mas sim, em seu sentido mais aristotélico, relacionada com ações, atuações e participações dos seres humanos na sociedade.

São muitas as gratidões no caminho desta tese. É um prazer percorrê-las. Estas palavras não são minhas, mas sim de Elio Gaspari, em seu livro “A Ditadura Encurralada”. Por considerá-las marcantes, significativas e principalmente representativas dos meus sentimentos em relação àqueles e àquelas que estiveram comigo ao longo desses quase quatro anos, decidi emprestá-la do seu criador. Inicio e concluo meus agradecimentos com as pessoas que nesta trajetória foram muito importantes para mim.

À professora Maria Lúcia, que mais uma vez me orientou na continuidade desta jornada acadêmica e mais uma vez esteve sempre receptiva para o diálogo, pronta para sugerir caminhos e para me apoiar e, sobretudo, sempre presente.

Aos professores do programa de Pós-graduação por me darem a oportunidade de aprender a ver, de forma diferente, a educação matemática. Ao professor Marcelo Borba, não apenas pelas importantes colaborações, mas também pelas oportunidades que contribuíram para o meu crescimento profissional.

Aos professores Alexandrina Monteiro, Marcelo Borba, Marcus Maltempi e Ole Skovsmose pelas importantes sugestões durante o Exame de Qualificação.

Às direções da Faculdade de Engenharia de Computação e da Faculdade de Matemática da PUC-Campinas pelo apoio dado para a realização do trabalho de campo.

Aos meus alunos Alexander, Danilo, Davi, Deborah, Diogo, Douglas, Evandro, Fábio Felicidade, Fábio Matavelli, Hugo, Janaína, Jefferson, Leonardo, Luis Antonio, Pedro Paulo, Rafael, Ricardo, Rodrigo, Thomas e Vanessa, atores nos cenários, por terem contribuído com interesse e boa vontade para a realização deste trabalho.

Ao Jose Reinaldo Braga, Liliana Aparecida de Lima, Luis Felipe Alonso, Maria das Graças Dallochio, Pedro Lemos, Rita Manjaterra Khater e Silmara Quintana agradeço a assessoria dedicada aos projetos nos cenários construídos. A Kátia Regina Mendes, pela ajuda com os adolescentes do COMEC.

À Maria Lúcia, minha filha, por ter estado comigo nos difíceis momentos de lidar com a língua inglesa.

Ao Paulo um agradecimento especial por sua dedicação na revisão gramatical e pelas excelentes contribuições dadas por ocasião da elaboração do texto final.

Por fim, um agradecimento muito especial à Letícia que mais uma vez compartilhou comigo todos esses momentos e, nas horas difíceis, mais uma vez com carinho e dedicação soube não só me mostrar caminhos, mas, principalmente, me ajudar a percorrê-los.

SUMÁRIO

Índice ...

Índice de tabelas ...

Índice de gráficos ...

Índice de figuras ...

Índice de fotos ...

Resumo ...

Abstract ...

Capítulo 1 – Introdução ...

Capítulo 2 - Ambientes de aprendizagem de matemática baseados na

investigação e na reflexão ...

Capítulo 3 - A metodologia da pesquisa ...

Capitulo 4 - O cenário para investigação “Eleições Presidenciais”...

Capítulo 5 – O cenário para investigação “Estresse e Democracia” ...

Capítulo 6 – O cenário para investigação “Matemática e Cidadania” ..

Capítulo 7 – Análise e interpretações ...

Capítulo 8 – Considerações finais ...

Bibliografia ...

Apêndices ...

Anexos ...

i

iv

v

vi

vi

vii

viii

1

18

74

88

113

139

168

201

215

226

252

i

ÍNDICE

Capítulo 1 – Introdução ...

1.1. A experiência pedagógica precursora desta investigação: a modelagem matemática com o apoio da educação à distância ... 1.2. Em busca de um novo objeto para a pesquisa... 1.3. A diretriz da pesquisa e a construção da pergunta... 1.4. A organização da tese...

1

Capítulo 2 – Ambientes de aprendizagem de matemática baseados na

investigação e na reflexão ...

2.1. A educação crítica e a matemática crítica ... 2.1.1. A prática educativa crítica ... 2.1.2. A educação matemática e a educação crítica... 2.2. Os ambientes de aprendizagem e os cenários para investigação... 2.2.1. A investigação e a reflexão na aula de matemática... 2.2.2. Ambientes de aprendizagem e cenários para investigação... 2.2.3. A caracterização dos cenários para investigação... 2.3. Os ambientes de aprendizagem baseados no trabalho com projetos e

na modelagem matemática ... 2.3.1. O trabalho com projetos ou a pedagogia de projetos... 2.3.1.1. O projeto pedagógico... 2.3.1.2. A caracterização dos projetos de trabalho... 2.3.2. A modelagem matemática ... 2.3.3. A modelagem matemática associada ao trabalho com projetos ... 2.3.4. O papel da tecnologia nos cenários investigativos ...

18

Capítulo 3 – A metodologia da pesquisa ...

3.1. A escolha da metodologia da pesquisa... 3.2. Os participantes da pesquisa... 3.3. Os procedimentos... 3.3.1. Em relação aos instrumentos... 3.3.2. As sessões iniciais e finais do trabalho... 3.4. A análise dos dados...

74

ii

Capítulo 4 – O cenário para investigação “Eleições Presidenciais”...

4.1. O Projeto “Pesquisa de intenção de votos entre os estudantes da PUC-Campinas”... 4.2. O grupo de trabalho... 4.3. O trabalho investigativo relacionado com o projeto...

4.3.1. As discussões relacionadas com os conceitos estatísticos utilizados na pesquisa eleitoral... 4.3.2. A pesquisa amostral sobre intenção de votos ... 4.4. As reflexões sobre o trabalho investigativo... 4.4.1. O debate político “Brasil: agora é decisão, a Puc-Campinas na eleição”... 4.4.2. Discussões e reflexões sobre prévias eleitorais... 4.4.3. A discussão na sala de aula...

88

Capítulo 5 – O cenário para investigação “Estresse e Democracia”...

5.1. O projeto “Orçamento Participativo”... 5.2. O grupo de trabalho... 5.3. O trabalho investigativo relacionado com o projeto...

5.3.1. O primeiro passo: a entrevista com o coordenador do Orçamento Participativo de Campinas... 5.3.2. As descobertas sobre o orçamento municipal de Campinas ... 5.3.3. Orçamento Participativo em Campinas: a participação popular em decisões de interesse da comunidade ... 5.3.4. Pesquisa de opinião sobre o Orçamento Participativo: uma relação entre o tema e o conteúdo estatístico ... 5.4. As reflexões sobre o trabalho investigativo – a experiência na escola Dr. João Alves dos Santos ... 5.4.1. A experiência na escola Dr João Alves dos Santos ... 5.4.1.1. O Primeiro encontro na escola... 5.4.1.2. O exercício de cidadania com a “Conta Escola” ... 5.4.1.3. O terceiro momento – as aulas de informática ... 5.5. As discussões na sala de aula ...

113

iii

Capítulo 6 – O cenário para investigação “Matemática e Cidadania” .

6.1. O projeto “Tributação e imposto de renda” ... 6.1.1. O grupo de trabalho ... 6.1.2. O trabalho investigativo relacionado com o projeto ...

6.1.2.1. O imposto de renda e a matemática ... 6.1.2.2. As parcelas a deduzir em cada faixa para garantir a continuidade da função ...

6.1.2.3. Ampliando o número de faixas e introduzindo novas alíquotas ...

6.1.2.4. Introduzindo modelos de imposto de renda de outros países ... 6.1.3. Discussões e reflexões decorrentes do projeto “Tributação e imposto de renda” ... 6.2. A experiência pedagógica e comunitária com adolescentes do COMEC ... 6.2.1. Os adolescentes do COMEC ... 6.2.2. Os participantes do projeto ... 6.2.3. O desenvolvimento das atividades ...

6.2.3.1. As atividades com a Internet – a página do grupo COMEC 6.2.3.2. As atividades com a matemática ... 6.2.4. A festa de encerramento ...

139

Capítulo 7 – Análise e interpretações ...

7.1. As possibilidades sociais e políticas através do trabalho com a modelagem no âmbito dos cenários investigativos ... 7.1.1. Os cenários construídos com os alunos de Engenharia de Computação... 7.1.2. O cenário construído no curso de Licenciatura em Matemática ... 7.2. As possibilidades sociais e políticas como um componente de literacia

matemática ...

168

Capítulo 8 – Considerações finais ...

8.1. A vertente política no trabalho com a modelagem ... 8.2. As dificuldades no passado ... 8.3. E um olhar para o futuro ...

201

203 210 213

iv

APÊNDICES

Apêndice A: Formato do diário de campo. ... Apêndice B1: Roteiro para a entrevista com os integrantes dos cenários “Eleições Presidenciais” e “Estresse e Democracia”. ... Apêndice B2: Roteiro para a entrevista com os integrantes do cenário “Matemática e Cidadania”. ... Apêndice C: Formulário para inscrição dos grupos nos cenários. ... Apêndice D: Exercício sobre linhas de tendência (capítulo 4). ... Apêndice E: Trabalho de estatística no laboratório de informática - teste de Bernout (capítulo 5). ... Apêndice F: Questionário para a coleta de dados dos alunos da Escola Municipal Dr. João Alves dos Santos (capítulo 5). ... Apêndice G: Atividades desenvolvidas com os adolescentes do COMEC (capítulo 6). ... Apêndice H: Controle do tempo destinado para a realização do trabalho.

226 227 232 235 236 237 239 241 250

ANEXOS

Anexo A: Página do projeto “Ambientes de Aprendizagem” ... Anexo B: Projeto “Intenção de Votos entre os estudantes da PUCCampinas trabalho completo (capítulo 4). ... Anexo C: Reportagem sobre a prévia eleitoral na revista Antena (capítulo 4). .. Anexo D: Texto “Da importância da matemática na percepção política” (capítulo 4). ... Anexo E: Projeto “Orçamento Participativo” - trabalho final (capítulo 5). ... Anexo F: Projeto “Estresse entre universitários” - trabalho final (capítulo 5). .... Anexo G: Projeto “Tributação e Imposto de Renda” - trabalho final (capítulo 6). Anexo H1: Transcrição das entrevistas (cenário “Eleições Presidenciais”). Anexo H2: Transcrição das entrevistas (cenário “Estresse e Democracia”). Anexo H3: Transcrição das entrevistas (cenário “Matemática e Cidadania”).

252 253 269 270 271 311 331 375 409 475

LISTA DE TABELAS

Tabela 4-1: Distribuições dos alunos por área (população), no projeto amostral e na amostra obtida ... Tabela 4-2: Preferência dos eleitores por área do curso ... Tabela 4-3: Posição dos eleitores de Lula sobre acordo FMI ... Tabela 4-4: Posição dos eleitores de Lula sobre acordo ALCA ... Tabela 5-1: Construção dos intervalos de confiança 95% e 99% para a média .

97 100 100 100 138

v Tabela 6-1: Diferenças no salário provocadas pela descontinuidade da função .

Tabela 6-2: Simulações relativas ao cálculo do imposto de renda nas três situações consideradas ... Tabela 6-3: Forma de cobrança do IR na Holanda. Valores em euros ... Tabela 6-4: Comparação entre os dois modelos (o atual e o modelo 5)... Tabela 8-1: Comentários sobre resultados em cada um dos cenários ...

147 149 150 151 206

ÍNDICE DE GRÁFICOS

Gráfico 4-1: Tamanho da amostra n em função de p*, quando NC = 95% e m.e. = 5% ... Gráfico 4-2: Intenção de votos e do índice de rejeição para Presidente da

República ...

Gráfico 4-3: Intenções de votos para o Governo de São Paulo e para Senador por São Paulo ... Gráfico 4-4: As linhas de tendência de G. Alkimin e de J. Genuíno... Gráfico 5-1: Fontes de Receita (2002) - não há informação sobre empréstimo bancário... Gráfico 5-2: Previsão de Receita para 2003, em relação às suas fontes - não há previsão de empréstimos ... Gráfico 5-3: Distribuição das Principais Fontes de Receita em 2002 ... Gráfico 5-4: Previsão das Principais Fontes de Receita para 2003 ... Gráfico 5-5: Distribuição da despesa em 2001... Gráfico 5-6: Previsão de despesas para 2003 ... Gráfico 5-7: Desconhecimento dos entrevistados em relação à distribuição da receita e da despesa no orçamento municipal ... Gráfico 5-8: Opinião sobre a forma democrática do OP ... Gráfico 5-9: Teste sobre normalidade dos escores ... Gráfico 5-10: Curva normal correspondente aos escores ... Gráfico 6-1: Função IR sem a existência de parcelas a deduzir ... Gráfico 6-2: Função IR com as parcelas a deduzir em cada faixa ... Gráfico 6-3: Derivada da função IR ... Gráfico 6-4: Função contribuição ao INSS ... Gráfico 6-5: Comparativo dos quatro modelos relativos ao IR ... Gráfico 6-6: Comparativo entre os modelos 1 e 5 ...

95 99 100 109 119 119 119 120 120 120 124 125 138 138 145 146 146 147 148 151

vi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 2-1: Relação entre os ambientes de aprendizagem (Skovsmose, 2000).. Figura 2-2: Tarefas desempenhadas por alunos e professores nos cursos de Modelagem (Barbosa, 2000) ... Figura 2-3: Formato da página Ambiente de Aprendizagem de Aprendizagem .. Figura 4-1: Recorte da planilha para a tabulação dos dados coletados nas entrevistas ... Figura 4-2: Gráfico elaborado pelo Jornal ... Figura 4-3: Gráfico refeito pelo professor Marcelo Tragtember ... Figura 5-1: Formato da página na Internet sobre o Orçamento Participativo ... Figura 5-2: Melhor proposta para a distribuição da “conta-escola” na opinião dos alunos da 8ª série ... Figura 6-1: Formato da página na Internet relativa ao cenário “Matemática e Cidadania” ... Figura 6-2: Página construída pelo grupo COMEC ...

40 61 73 99 107 107 117 134 142 159

ÍNDICE DE FOTOS

Foto 4-1: Momento de entrevista ... Foto 4-2: Momento de entrevista ... Foto 4-3: Instante em que uma estudante é entrevistada ... Foto 4-4: Momento da apresentação das opiniões do grupo em relação ao trabalho realizado ... Foto 5-1: Exposição sobre tópicos do OP ... Foto 5-2: Exposição sobre tópicos do OP ... Foto 5-3: Momento em que as propostas eram anotadas no quadro ... Foto 5-4: Mural com os trabalhos dos alunos da escola Dr João Alves ... Foto 6-1: Explicações sobre as parcelas que compõem a função IR ... Foto 6-2: O grupo de participantes reunido no laboratório ... Foto 6-3: O envolvimento com os problemas matemáticos ... Foto 6-4: O envolvimento com os problemas matemáticos ... Foto 6-5: O envolvimento com os problemas matemáticos ... Foto 6-5: Integrantes do cenário recebendo seus certificados de participação .. Foto 6-6: Adolescentes do COMEC em atividade de apoio aos deficientes do

CIAD ... 102 102 102 103 129 129 133 136 143 159 161 163 165 167 167

vii

RESUMO

Com esta pesquisa busquei analisar as possibilidades de crescimento político dos estudantes, quando a modelagem matemática é adotada como estratégia de ensino-aprendizagem. Considero essas possibilidades como reflexões que se identificam com questionamentos, críticas, ações e transformações. Ao inserir este estudo no contexto da Educação Matemática Crítica baseei minha pesquisa bibliográfica em autores que se identificam com esse movimento. Adotei na pesquisa uma abordagem qualitativa e para a coleta de dados organizei três ambientes de aprendizagem, denominados cenários para investigação, com estudantes voluntários das séries iniciais dos Cursos de Matemática e de Engenharia de Computação, ambos da PUC-Campinas. A análise dos dados indica que o crescimento político dos atores nos cenários associa-se, de um lado, com a conscientização política resultante da sua atuação em investigações diretamente relacionadas com os temas dos projetos de modelagem, nas discussões que acompanham os resultados obtidos e no debate sobre o alcance desses resultados e sobre as conseqüências sociais do trabalho realizado. Do outro lado, esse crescimento associa-se com uma ação política que se concretiza por meio do envolvimento do estudante com a comunidade. Concluo este estudo indicando que o processo de crescimento político dos estudantes deve ser pensado como uma forma de alfabetização matemática, estreitamente relacionada com o núcleo de uma literacia matemática voltada para mudanças sociais.

Palavras-chave: Educação Matemática Crítica; Modelagem Matemática; Participação Política; Literacia Matemática.

viii

ABSTRACT

With this research I intended to analyze the possibilities of the students' political growth when the mathematical modelling is adopted as teaching-learning strategy. I consider those possibilities as reflections that identify with questioning, critics, actions and transformations. When inserting this study in the context of the Critical Mathematics Education I based my bibliographical research on authors that identify with this movement. The research was performed within a qualitative approach, starting from the construction of three learning environment, denominated scenarios to investigation, organized with voluntary students from the initial series of the courses of Mathematics and Engineering of Computation, both of PUC-Campinas University. The analysis of the data indicates that the actors' political growth in the sceneries associates, on a side, with the political awareness as a result of their involvement in investigations directly related with the themes of the modelling projects, in the discussions that accompany the obtained results and in the debate about the reach of those results, and about the social consequences of the accomplished work. On the other hand, that growth associates with a political action that is rendered through the student's involvement with the community. I conclude this study indicating that the process of the students' political growth should be thought as a form of mathematical literacy, strictly related with the nucleus of a mathematical literacy focused on social changes.

Keywords: Critical Mathematics Education; Mathematical Modelling; Political

1

CAPÍTULO 1

1. INTRODUÇÃO

“A democracia é, como o saber, uma conquista de todos. Toda a separação entre os que sabem e os que não sabem, do mesmo modo que a separação entre as elites e o povo, é apenas fruto de circunstâncias históricas que podem e devem ser transformadas”.

Francisco Weffort (1974, p. 12)

No traçado preliminar do meu estudo planejei analisar a potencialidade da educação a distância como estratégia complementar à aplicação da modelagem matemática em sala de aula. Posteriormente, após a realização de uma experiência de ensino envolvendo modelagem matemática e educação a distância, de alguns debates e de novas leituras não só sobre esses temas, mas também sobre outros correlatos e do meu interesse em reflexões políticas relacionadas com o ensino e com a aprendizagem de matemática, decidi reorganizar esse traçado.

Nessa reorganização, concentrei minha atenção em ambientes pedagógicos centrados na aplicação da modelagem matemática associada ao trabalho com projeto que não apenas propiciassem a aprendizagem dos conteúdos curriculares e a exploração de aplicações de matemática, mas também privilegiassem problematizações de questões inerentes a esses conteúdos, investigações relacionadas com essas questões, discussões políticas sobre os resultados oriundos dessas problematizações e dessas investigações e a inserção dos atores participantes desses ambientes em atividades externas à sala de aula, de modo que o conhecimento matemático resultante do processo de aprendizagem pudesse ser compartilhado com outros setores da comunidade.

Vejo tais ambientes como cenários pedagógicos fortemente relacionados com o ensino de uma matemática crítica, nos quais as reflexões sobre o que se aprende, como se aprende e para que se aprende, tanto em relação ao próprio conteúdo matemático como no relacionamento, nas implicações e nas conseqüências desse conteúdo com os interesses dos alunos e da comunidade têm a mesma importância que a aprendizagem de algoritmos, de técnicas matemáticas e da escolha de

2 modelos apropriados. A construção desses ambientes baseia-se, principalmente, nas considerações feitas por Skovsmose (2000, 2001a e 2001b) quer sobre esse tema quer sobre a Educação Matemática Crítica.

Considero importante destacar que neste capítulo inicial pretendo familiarizar o leitor com minhas idéias sobre os principais temas abordados ao longo do trabalho. Como Goldemberg (1998), penso que a motivação para a continuidade da leitura depende da compreensão do objeto do estudo, do que será encontrado no corpo do texto, dos autores em que o estudo se baseia e das questões para quais respostas são procuradas. Por essa razão, pontos que são abordados nos capítulos a eles destinados são previamente apresentados na Introdução e, alguns deles, retomados ao longo do texto, em diferentes momentos.

Inicio o capítulo abordando minha experiência pedagógica relacionada com a educação a distância, destacando as razões que me levaram ao redirecionamento do meu trabalho. Em seguida, com a intenção de posicionar meu estudo no contexto da modelagem matemática e de construir a pergunta diretriz da pesquisa, analiso os pensamentos de alguns autores em relação à aplicação da modelagem como instrumento pedagógico. Ao encerrar essa Introdução descrevo, resumidamente, os conteúdos dos demais capítulos desta tese.

1.1 A experiência pedagógica precursora desta investigação: a modelagem

matemática com o apoio dos recursos da educação a distância

Em pesquisa anterior, como mestrando em Educação Matemática, analisei a aplicação da modelagem matemática no ensino de Estatística em cursos pertencentes às ciências humanas e sociais (JACOBINI, 1999; JACOBINI e

WODEWOTZKI, 2001). Justamente por acreditar na potencialidade pedagógica da

aplicação da modelagem no ensino de matemática, ao elaborar novo projeto de pesquisa decidi continuar nesse campo de estudo.

Quando a modelagem matemática é aplicada em cursos regulares de graduação, o conteúdo programático da disciplina é desenvolvido a partir de temas escolhidos pelos estudantes ou trazidos pelo professor. A opção por temas de interesse do aluno amplia a sua motivação para o estudo e o seu comprometimento

3 com as tarefas inerentes ao trabalho com a modelagem (investigações, construções de modelos, simulações, discussões de resultados, relatórios), além de gerar uma expectativa de como esse assunto vai relacionar-se com a matemática. Esse relacionamento torna-se o principal responsável pelo desenvolvimento do conteúdo curricular.

Fazer esse relacionamento com o programa da disciplina é, na maioria das vezes, a atividade mais difícil para o professor, principalmente porque ele precisa realizar esse trabalho em sala de aula, muitas vezes sem ter tido a possibilidade de preparar suas atividades (os assuntos surgem em função dos problemas), com vários grupos reclamando a sua presença e com pouco tempo para refletir sobre as questões levantadas pelos alunos.

A necessidade de coleta de dados e de pesquisa sobre o assunto em estudo é uma característica importante do trabalho com a modelagem no ensino e essas tarefas são, geralmente, realizadas em grupos de alunos. Os resultados dessas tarefas e a necessidade de se buscarem respostas para as questões levantadas por eles constituem-se no próprio embasamento das atividades didáticas relativas aos tópicos do programa do curso. E aí reside outra dificuldade de monta para o professor, uma vez que tais atividades extra-classe se desenvolvem em ritmos e prazos diferentes, de acordo com dinâmicas próprias de cada grupo, o que representa séria ameaça para um desenvolvimento harmônico e tempestivo do programa.

Ao constatar que esses dois pontos (o relacionamento entre os diversos temas escolhidos pelos alunos com o programa do curso - sem perder a riqueza das discussões em sala de aula - e a dinâmica de trabalho dos grupos) representavam as maiores dificuldades para o professor aplicar a modelagem no ensino de matemática, principalmente em classes numerosas (comuns em cursos de graduação), preocupei-me em considerar outras estratégias como alternativas complementares à aplicação desse enfoque pedagógico.

A expansão da Internet como decorrência do desenvolvimento tecnológico e em especial a Web e o correio eletrônico, tem ampliado a discussão sobre o que é convencionalmente chamado de Educação a distância (EAD). São muitas as

4 definições propostas para a EAD e todas elas apresentam em comum a utilização da tecnologia no ensino (particularmente os recursos da Internet) e a não obrigatoriedade da presença dos estudantes na sala de aula. A aplicação dos recursos da EAD ao trabalho com a modelagem pareceu-me uma estratégia adequada para a superação dessas dificuldades.

Coloquei, na ocasião, o problema central do estudo da seguinte maneira: qual é o impacto da aplicação dos recursos da EAD quando aplicado como estratégia pedagógica complementar ao trabalho com a modelagem no ensino de matemática em cursos de graduação? Ou de uma forma mais específica: de que forma a utilização dessa estratégia pode contribuir para o relacionamento entre os diversos temas escolhidos pelos alunos com o programa de curso (sem perder a riqueza das discussões em sala de aula) e na dinâmica de trabalho dos grupos, apontados no estudo como sendo as maiores dificuldades para a aplicação da modelagem no ensino de matemática?

O piloto da pesquisa foi realizado com um grupo de oito alunos do curso de Engenharia de Computação da PUC-Campinas, matriculados na disciplina de Estatística no segundo semestre de 2001. A descrição do trabalho e os principais resultados encontram-se publicados em Jacobini e Wodewotzki (2003a e 2003b).

1.2 Em busca de um novo objeto para a pesquisa

Os resultados dessa investigação preliminar mostraram-se favoráveis para a associação entre o tema e o programa, para a otimização da relação entre a dinâmica dos grupos e o desenvolvimento do conteúdo e para a busca de informações, principalmente através da Internet. Além disso, as facilidades de comunicação possibilitadas pelo correio eletrônico, tanto entre professor e alunos como entre eles próprios, permitiram que os trabalhos pedagógicos pudessem ser desenvolvidos independentemente do espaço e do tempo.

Entretanto, quando se opta por trabalhos a serem realizados fora da sala de aula, devem ser maiores as preocupações com o cumprimento de cronogramas, com controles da execução das tarefas programadas e com avaliações específicas de aprendizagem, dado que foi possível perceber que há uma tendência no aluno,

5 ao se sentir “livre” da sala de aula, em postergar atividades relativas ao trabalho e dar prioridades a outras tarefas, como por exemplo, as sujeitas à avaliação em disciplinas que exigem a presença em classe. A construção de um contrato pedagógico entre o professor e o estudante pode ser uma alternativa para se enfrentar esta situação. Falo sobre o contrato pedagógico no capítulo dois, juntamente com a abordagem que faço sobre os projetos de trabalho.

Ao planejar o transporte do cenário criado com o grupo de oito alunos para uma classe completa, percebi que os problemas originários do estudo tendiam a permanecer, agravados pelas preocupações com cronogramas, com comportamentos e com o que Monteiro e Pompeu Jr. (2001) chamam de “obstáculos estudantis” (o uso da modelagem em si foge da rotina do ensino tradicional e os estudantes podem se perder. Esta situação pode agravar-se estando o professor longe, fisicamente, de seus alunos). Mesmo assim, apesar de relevante, as preocupações decorrentes do transporte de cenário não foram a principal razão para o redirecionamento do trabalho, constituindo-se ao contrário em estímulo para uma futura retomada da investigação, certo de que as dificuldades são contornáveis.

A razão para a busca de um novo objeto para minha pesquisa tem a ver com a percepção da importante relação entre investigação e reflexão quando se pensa no trabalho com modelagem ou com projeto em sala de aula. Essa percepção, resultante das minhas leituras (e releituras) de diversos autores, dos quais destaco Ole Skovsmose, Paulo Freire e Ubiratan D’Ambrosio, das discussões com meus pares, com minha orientadora e com meus professores, da minha experiência política enquanto professor e da minha observação sobre o piloto da experiência, proporcionou-me a oportunidade de estabelecer o novo objeto para a pesquisa

“A modelagem matemática como instrumento de ação política na sala de aula”. Neste estudo, não relaciono política com questões eleitorais, ideológicas ou doutrinárias, mas sim, da mesma forma que Mellin-Olsen (1987), com ações, atuações e participações dos seres humanos na sociedade. Ou, como especifica Demo (1995), a política se aplica igualmente aos horizontes em que transparecem “dimensões típicas da qualidade humana, tais como: na identidade cultural das

6 comunidades, nos processos educativos, na expressão lúdica do ser humano, enquanto manifestação da capacidade criativa, e assim por diante” (p.243).

1.3. A diretriz da pesquisa e a construção da pergunta

Quando o professor aplica a modelagem como estratégia pedagógica na sala de aula, ele tem a intenção de ensinar matemática. Ao explorar as aplicações matemáticas no dia-a-dia, a construção de modelos e o relacionamento entre a matemática utilizada na modelagem e o conteúdo programático, o professor oferece ao aluno a oportunidade de conviver com um conteúdo vivo, prático, útil e com bastante significado. Essa convivência coincide com o que D’Ambrosio (1991) chama de matemática viva.

Entretanto, vejo essa ação de ensinar e de aprender como sendo apenas uma das possibilidades oferecidas pela modelagem. Ao restringir a ela suas pretensões pedagógicas, o professor mantém seu olhar exclusivamente na matemática e deixa de considerar outras oportunidades que podem contribuir tanto para o crescimento intelectual do estudante como para a sua formação crítica enquanto cidadão presente em uma sociedade altamente tecnológica, globalizada e com forte presença da matemática. Dentre as oportunidades enfatizo as de ações sociais e políticas, diretamente relacionadas com o meu objeto de estudo, possibilitadas pelo trabalho investigativo inerente à aplicação da modelagem, pelas reflexões que decorrem dos resultados obtidos e por atuações na comunidade com a intenção de compartilhar o conhecimento matemático resultante do processo de aprendizagem.

A presença da investigação no trabalho com a modelagem relaciona-se, de um lado, com os aspectos matemáticos que envolvem o projeto (o que Ponte; Brocardo e Oliveira (2003) chamam de investigações matemáticas na sala de aula) e compreende, principalmente, explorações preliminares sobre o assunto, formulações de questões, levantamento de hipóteses, obtenção e organização de dados, estudo do ferramental matemático disponível para a construção do modelo e possibilidades de relacionamento desse material com o conteúdo programático. Por outro lado, relaciona-se com a imersão do estudante no objeto do estudo com a intenção de ampliar o seu conhecimento sobre o mesmo e sua percepção tanto da relação entre o material investigado e a matemática quanto dos componentes externos a ela

7 (políticos, sociais, econômicos, ambientais, etc.), presentes nesse material. Destaco como os principais procedimentos para se conseguir essa imersão, as consultas em livros, jornais, revistas e na Internet, as entrevistas com especialistas sobre o tema e as discussões dos estudantes com o professor e entre eles próprios.

A importância dessas duas vertentes investigativas associadas ao trabalho com construção de modelos é compartilhada pela maioria dos pesquisadores interessados na modelagem como instrumento pedagógico, muito embora seja perceptível na maioria deles, uma predominância das investigações relacionadas com os aspectos matemáticos.

Ao analisar o pensamento de alguns pesquisadores em relação à aplicação da modelagem como instrumento pedagógico, faço-o com a intenção de, inicialmente, posicionar meu estudo no contexto da modelagem matemática e, em seguida, construir a pergunta diretriz da minha pesquisa.

Biembengut e Hein (2000), no livro “Modelagem matemática no ensino” têm preocupações quase que exclusivas com modelos e investigações matemáticas. Nele, os autores apresentam sete propostas (chamadas “modelos matemáticos para ensinar matemática”) e, em todas elas, os professores enfatizam a construção do modelo a partir de um conjunto de procedimentos agrupados em três etapas: interação (reconhecimento da situação-problema e familiarização com o assunto a ser modelado), matematização (formulação do problema através de uma linguagem matemática e resolução do problema) e o modelo matemático em si (validação através de dados disponíveis e interpretação da solução seguida de discussões sobre os resultados obtidos)1. Os autores preocupam-se bastante com a relação entre a modelagem e o conteúdo programático e, para eles, a responsabilidade da escolha do tema pode ser tanto dos alunos (vantajoso, para que eles se sintam participantes no processo) quanto do professor (que possui uma visão geral do programa que precisa ser desenvolvido).

As preocupações de Galbraith (1995) com a modelagem são igualmente direcionadas para investigações matemáticas, muito embora o autor considere

1

Ressalto, entretanto, que Biembengut (2000), no artigo Modelagem & Etnomatematica: pontos (in)comuns, pondera sobre a importância da relação entre o objeto investigado e a matemática e sobre a valorização das culturas sociais em trabalhos com modelagem.

8 também a importância da discussão dos resultados, das interpretações e de habilidades auxiliares como aprendizagem em grupo, comunicação oral e relatórios escritos. O trabalho com modelagem em sala de aula, segundo Galbraith, desenvolve-se através de três estágios, a saber, aplicações padronizadas, encontradas em textos convencionais: após as discussões matemáticas necessárias para a obtenção de soluções, os aspectos próprios da modelagem são introduzidos (significados, limites, discussões sobre os resultados matemáticos, decisões, generalizações, etc.); modelagem estruturada, quando questões reais ou relacionadas com a realidade são consideradas juntamente com as formulações das aplicações (neste estágio há uma forte assessoria do professor, tanto no apoio para construções de modelos e para sua resolução, como nas orientações para a busca de informações); modelagem aberta, quando os estudantes são incentivados a trabalhar com situações reais que, de certa forma, os envolvem, buscando informações, desenvolvendo habilidades para a formulação de modelos de realidades complexas, encontrando respostas para esses modelos, interpretando e adaptando essas respostas e promovendo discussões sobre os resultados. Para o autor, apesar desses estágios não serem excludentes, sendo inclusive sua integração incentivada, é nesse último formato que o processo de modelagem, estritamente considerado, ocorre.

No livro “Ensino-aprendizagem com modelagem matemática”, Bassanezi (2002) apresenta um grande número de situações-problema (algumas das quais originárias de temas amplos e outras relacionadas com nosso dia-a-dia) e, apesar da preocupação central do autor concentrar-se na formulação do modelo matemático e na busca da melhor técnica matemática e do método numérico mais adequado para a obtenção dos resultados, percebem-se incentivos a investigações que extrapolam questões matemáticas. Bassanezi (1999), em seus cursos sobre modelagem orienta seus alunos a, preliminarmente ao processo de construção de modelos, inteirarem-se do tema do projeto e, após a conclusão dos trabalhos, gerarem um relatório contendo os resultados obtidos.

Para o autor, o início de uma modelagem se faz com a escolha de temas, sendo importante que essa escolha seja da responsabilidade dos alunos, pois, desta

9 forma, eles se sentirão co-responsáveis pelo processo de aprendizagem, o que torna sua participação mais interessada e mais efetiva.

A investigação é uma das ações presentes nos projetos interdisciplinares e nos trabalhos baseados em temas transversais. O trabalho interdisciplinar, centrado na modelagem matemática e com o apoio de calculadoras gráficas, é explorado por Borba em suas disciplinas no curso de Biologia da UNESP de Rio Claro (Borba, 1999; Borba, Meneghetti e Hermini, 1997; Borba e Bovo, 2001/2002). Em seus trabalhos acadêmicos centrados em assuntos extraídos do campo da Biologia, os alunos, orientados pelo professor Borba, além de relacionarem a matemática curricular com as questões investigadas (específicas do seu futuro campo profissional) e de buscarem significados na Biologia para interpretarem os resultados matemáticos por eles encontrados, ampliam seu conhecimento sobre os temas de trabalho. Como Bassanezi, Borba também considera que no trabalho com a modelagem, a escolha do tema deve ser da competência do grupo de alunos.

Em trabalho mais recente, Borba e Bovo (2001/2002) discutem possibilidades de estudantes que participaram de grupos de modelagem engajarem-se em projetos acadêmicos, dando continuidade aos estudos iniciados nas aulas de matemática a partir de problemas de interesse deles. Ao se preocuparem com essa discussão, os autores investem no estudo sobre a importância da modelagem para a formação científica do estudante (que extrapola o papel do professor na sala de aula) e, conseqüentemente, para propiciar novos interesses investigativos através de projetos de iniciação científica, especialização, mestrado ou doutorado.

Para Monteiro e Pompeu Jr. (2001), no livro “A matemática e os temas transversais” (2001), a modelagem é uma das possibilidades metodológicas na perspectiva pedagógica da etnomatemática. Para os autores, nessa perspectiva incluem-se questões fundamentais do cotidiano que devem fazer parte do conteúdo escolar, pois são elas que dão significado tanto ao aprendizado do aluno quanto ao papel da escola na comunidade a que pertence (p. 65). Entretanto, os pesquisadores esclarecem que, nessa perspectiva, apenas a escolha de questões do cotidiano para o ensino de matemática não é suficiente, pois é preciso também que o professor e os estudantes reflitam sobre os significados da aprendizagem e

10 sobre a influência dos resultados matemáticos em suas vidas e na vida da própria comunidade. Como dizem os autores, “[...] não devemos nos fixar a um tema apenas com o único objetivo de ensinar matemática. É necessário saber o porquê daquele assunto, e que questões mais amplas ele pretende responder” (p. 64).

De acordo com Monteiro e Pompeu Jr, a aplicação da modelagem nessa perspectiva da etnomatemática é uma das maneiras de buscar a transversalidade em sala de aula. Nesse trabalho com temas transversais, a formulação do modelo matemático é um procedimento que precisa ser adotado conjuntamente com outros como investigações diversas sobre o objeto de estudo, visita a locais relacionados com esse objeto, entrevistas, relações do assunto com outras disciplinas ou com outras áreas do conhecimento, construções e discussões tanto sobre o processo de trabalho como sobre os resultados. É o que mostra o projeto “A confecção de recipientes para o cultivo de mudas de legumes e hortaliças” (p. 113). Para os autores, é importante que a responsabilidade pela escolha da temática de trabalho seja dos alunos para que os conhecimentos sociais e culturais do educando possam ser mais facilmente trazidos para a escola, muito embora eles considerem que este não seja o único procedimento possível.

Para Skovsmose (2000, 2001a), a modelagem matemática (ou o trabalho com projetos) no contexto educacional deve ser vista sob a ótica da Educação Crítica e, conseqüentemente, investigações e reflexões relacionadas com o trabalho realizado devem ser incentivadas em paralelo ao trabalho com construções de modelos e com aplicações matemáticas. Para o autor, reflexões na Educação Matemática estão associadas ao conhecer reflexivo (competência de refletir sobre o uso da matemática e avaliá-la) e, como ele afirma, “têm a ver com avaliações das conseqüências do empreendimento tecnológico (habilidades em aplicar a matemática e as competências na construção de modelos)” (2001a, p. 116).

Para dar suporte ao trabalho investigativo, Skovsmose propõe a construção de ambientes pedagógicos na sala de aula que favoreçam a investigação, o debate e a crítica. Nesses ambientes, chamados pelo autor de “cenários para investigação”, os estudantes são convidados a formular questões e buscar explicações para elas, e neles, os alunos são co-responsáveis pelo processo de aprendizagem (2000, p. 73).

11 O pesquisador, ao considerar os cenários para investigação como estratégia pedagógica, o faz a partir de três referências, segundo as quais o trabalho investigativo em sala de aula pode ser conduzido. A primeira tem a matemática pura como centro e caracteriza-se pela preocupação com a matemática em si ou com os conteúdos curriculares. A segunda, caracterizada pela semi-realidade, identifica-se com situações de aprendizagem relacionadas com ambientes externos, mas construídas de forma artificial, como por exemplo, a partir de idéias extraídas do livro texto. Na terceira referência, alunos e professores exploram situações do mundo real, originárias de outras áreas do conhecimento e relacionadas com questões do interesse da comunidade local.

Skovsmose vê nesse trabalho exploratório - realizado em parceria entre os estudantes e o professor a partir de uma situação não artificial e de interesse comum, e quando dados e informações, por não estarem prontos, precisam ser encontrados através de investigações extra-classe -, “que questionamentos e reflexões críticas sobre a matemática e sobre a modelagem matemática ganham um novo significado” (2000, p.81). E aí também acrescento que questionamentos e reflexões não matemáticos, relacionados tanto sobre os resultados alcançados como sobre o tema em debate, ganham, igualmente, seu espaço.

Não percebo nos textos do autor preocupações com responsabilidade sobre a escolha do tema de trabalho, mas sim com a aceitação, por parte do estudante, de seu envolvimento com investigações, explorações, desafios, discussões, questionamentos e reflexões inerentes a ele.

Dentre as teses de doutoramento que enfatizam a modelagem como estratégia pedagógica, elaboradas nos últimos anos no programa de Pós-graduação em Educação Matemática da UNESP, em Rio Claro, destaco os estudos de Franchi (2002), Ferreira (2003) e Barbosa (2001). O trabalho de Franchi é dirigido para a proposição de um currículo de matemática para cursos de Engenharia, através da construção de ambientes de aprendizagem baseados na modelagem e na informática. A autora, em sua proposta para a Universidade Metodista de Piracicaba prevê o conteúdo matemático distribuído em cinco disciplinas e, na última delas, a modelagem constitui-se em atividade central baseada no trabalho com projetos

12 escolhidos pelos alunos, preferencialmente relacionados com aplicações na Engenharia.

Muito embora Ferreira não faça referência à transversalidade na sala de aula, relaciono seu trabalho sobre o tratamento de questões ambientais, através da modelagem matemática, com os temas transversais. Em sua pesquisa a autora, trabalhando com estudantes do ensino fundamental e do ensino médio e a partir das questões ambientais, preocupa-se com investigações e com construções de modelos em relação aos temas Água, Lixo, Energia Elétrica e Desmatamento. Nesse trabalho de campo esses temas foram escolhidos pelos alunos integrantes dos grupos de trabalho após discussões relacionadas com o meio ambiente e conduzidas pela pesquisadora.

A pesquisa de Barbosa concentra-se nas concepções que futuros professores de matemática têm em relação à modelagem. O autor toma como base os estágios propostos por Galbraith e as referências consideradas por Skovsmose para organizar as atividades de modelagem no contexto escolar e classifica estas em três espécies. Na primeira, todas as informações necessárias são trazidas pelo professor (descrição da situação, dados e problemas) e cabe aos alunos o processo de resolução. Na segunda espécie, o professor apresenta um problema originário do cotidiano dos alunos e eles devem coletar as informações necessárias para a sua resolução. Aqui, mesmo sendo maiores as responsabilidades dos alunos quando comparadas com o caso anterior há uma forte presença do professor. A terceira espécie identifica-se com o trabalho com projetos desenvolvido a partir de temas e com a forte participação dos alunos no levantamento de informações (matemáticas ou não), na formulação e na resolução de problemas. Para Barbosa a responsabilidade pela proposição dos temas pode ser tanto do professor quanto dos estudantes.

Em seu trabalho, Barbosa, após analisar as correntes que segundo Kaiser-Messmer (1991) predominam na abordagem educacional da modelagem – a pragmática que tem como meta o uso da matemática para resolver problemas através da modelagem ou da construção de modelos com base na seqüência “mundo real via matemática de volta para o mundo real ...” (p. 85) e a

científica-13 humanística, mais interessada na matemática como ciência e que enfatiza a habilidade dos estudantes para estabelecer relações entre a matemática e o mundo real –, e com base nos trabalhos de Skovsmose, D’Ambrósio e Freire acrescenta a essa atuação pedagógica uma terceira corrente denominada sócio-crítica e nela as atividades têm como objetivo associar reflexões aos conhecimentos de matemática e de modelagem. Essas atividades, segundo Barbosa, “são consideradas como um meio de indagar e questionar situações reais por meio de métodos matemáticos, evidenciando o caráter cultural e social da matemática” (p. 29). Para o pesquisador, essa corrente sócio-crítica “enfatiza a matemática como um instrumento de questionamento das questões sociais” (p. 30).

Concordo com as ponderações de Barbosa, tanto sobre a predominância dessas correntes pragmática e científica-humanística nas aplicações pedagógicas da modelagem, quanto sobre a sua percepção da necessidade de uma terceira abordagem sob a qual possam ser incluídas as reflexões resultantes do trabalho com a modelagem matemática.

Acredito que o grau de predominância das duas primeiras correntes em relação à terceira varie em função do formato da aplicação da modelagem e vejo sua associação com o trabalho com projetos como sendo um dos fatores de moderação (no sentido de redução) dessa importância. As justificativas para tal afirmação baseiam-se, de um lado, no pensamento de Skovsmose (2000; 2001a), para quem o trabalho com projeto localiza-se em um ambiente de aprendizagem que oferece recursos para investigação, crítica e reflexão. De outro, no fato de que, como diz Hernandez (1998), os trabalhos com projetos podem contribuir favoravelmente com o estudante, na aquisição de capacidades relacionadas com: a) tarefas de pesquisas (individuais e em grupos); b) criatividade na utilização de recursos, métodos e busca por explicações alternativas; c) formulação e resolução de problemas, diagnósticos de situações e desenvolvimento de estratégias de ação; d) capacidade de síntese de idéias, experiências e informações, obtidas de diferentes fontes e disciplinas; e) questionamentos e tomada de decisão (principalmente sobre o que é relevante para o projeto); f) formas de comunicação, no grupo, escrita (através dos relatórios) e oral (a partir dos debates na sala de aula).

14 Neste estudo interesso-me por essa associação entre modelagem e projeto e, quando penso em reflexão, faço-o levando em consideração duas vertentes. Na primeira delas, as reflexões dizem respeito à própria matemática e se relacionam com suas aplicações em situações do cotidiano, desde a escolha de modelos e de algoritmos apropriados e da relação entre essa matemática inclusa no processo da modelagem e o conteúdo curricular, até as conseqüências dos resultados alcançados.

Na segunda, as reflexões inserem-se no contexto da Educação Matemática Crítica, têm a ver com o pensamento de Skovsmose e se identificam com questionamentos, críticas, ações e transformações. Nessa vertente as reflexões se relacionam com a formação e o amadurecimento acadêmico dos estudantes, com as investigações e com as discussões (sendo estas matemáticas ou não) e com as transformações ocorridas em seu pensamento e em sua maneira de pensar e agir como decorrência desse amadurecimento, dessas investigações e dessas discussões. Nessa vertente, interesso-me igualmente por reflexões decorrentes do compartilhamento do conhecimento resultante do processo de aprendizagem baseado na modelagem, em algum contexto (social, político, econômico, educacional, a escola, a própria sala de aula, etc.) que tenha alguma relação com os atores envolvidos e que possa, de alguma forma, contribuir para a formação da sua cidadania. Espero, também, que, através desse compartilhamento, despontem em todos os atores participantes novos olhares, quer sobre os fatos investigados, quer sobre a realidade política e social que se encontra ao seu redor. Acredito, como Freire (2003), que, na prática educativo-crítica, a educação para a responsabilidade social e política seja uma das principais tarefas.

Ao concentrar meu interesse nas reflexões inclusas nessa segunda vertente e ao vê-las como possibilidades políticas no trabalho com a modelagem como estratégia pedagógica, formulei, da seguinte forma, a pergunta diretriz para minha pesquisa:

“Quais as possibilidades de crescimento político no trabalho pedagógico com a modelagem matemática?”

15 Para os pesquisadores considerados neste estudo o trabalho pedagógico com a modelagem deve envolver todos os alunos da sala de aula. Para a maioria deles, cada grupo de estudantes trabalha com um tema específico, que pode ser escolhido de acordo com seus interesses (como preferem Bassanezi, Borba, Franchi e de certa forma Monteiro e Pompeu Jr.), ou de ambas as formas como pensam Barbosa, Biembengut e Hein e Ferreira.

Em alguns casos um tema único é proposto pelo professor para toda a classe, como alternativa para facilitar a integração entre o assunto e o conteúdo curricular (proposta contida no trabalho de Biembengut e Hein) ou para envolver todos os estudantes em um único projeto, como pode ser percebido em alguns trabalhos de Skovsmose (como nos projetos “Auxílio para famílias” (2001a, p. 103) e Energia (2000, p. 79)), no trabalho interdisciplinar voltado para o ensino de Estatística no curso de Ciências Sociais, proposto por Jacobini (1999) e no tema sobre a exploração de um plano econômico adotado pelo Governo Federal, sugerido por Monteiro (1991).

Ao concentrar meu interesse nas possibilidades políticas no trabalho com a modelagem, planejei construir ambientes de aprendizagem paralelamente às atividades curriculares na sala de aula, compostos por estudantes voluntários e que aceitarem meu convite para deles participar por acreditarem na sua proposta pedagógica e concordarem com sua dinâmica de ação. Como disse no início deste capítulo, considero esses ambientes como espaços pedagógicos adequados para que reflexões sobre o quê se aprende, como se aprende e para quê se aprende, tenham a mesma importância que a aprendizagem de algoritmos, de técnicas matemáticas e da escolha de modelos apropriados. As similaridades entre esses espaços pedagógicos e os cenários para investigação propostos por Skovsmose (2000), levaram-me a considerar como tais os ambientes de aprendizagem construídos neste estudo.

Considero, portanto, a construção desses cenários nas aulas de matemática, em cursos de graduação e apoiados pela tecnologia informática, e a análise das possibilidades de crescimento político no trabalho pedagógico com a modelagem matemática no contexto desses ambientes como os objetivos principais deste

16 estudo. Desta forma, os estudantes que atuam como atores nesses cenários são os sujeitos na minha pesquisa.

1.4. A Organização da tese

Além dessa Introdução, este trabalho é composto de mais sete capítulos, da lista de referências bibliográficas, de anexos, apêndices e do conjunto de índices.

O capítulo dois é reservado para discussões teóricas sobre os temas diretamente relacionado com o objeto e com a indagação da pesquisa. Nele, a partir do pensamento de Skovsmose e com base nos pressupostos da Educação Crítica, faço as minhas considerações sobre ambientes de aprendizagem e sobre cenários para investigação. Ao concluir o capítulo, discuto o trabalho com projetos e a modelagem matemática como ambientes de aprendizagem e abordo o papel e a importância da tecnologia nesses cenários.

Apresento a metodologia da pesquisa no capítulo três. Inicio o capítulo com uma abordagem teórica sobre o paradigma qualitativo e busco justificar a inserção desta pesquisa no âmbito da pesquisa-ação. A descrição dos sujeitos é realizada em cada cenário, nos capítulo seguintes. Na seqüência apresento os participantes do estudo e os procedimentos metodológicos para coleta e para a análise dos dados obtidos.

Os capítulos quatro, cinco e seis são destinados às descrições dos cenários investigativos construídos ao longo de dois semestres letivos, com estudantes da PUC-Campinas. O primeiro cenário, denominado “Eleições Presidenciais”, foi construído com futuros professores de matemática e baseado no projeto “Pesquisa de Intenção de Votos entre Universitários”. Os resultados obtidos com essa pesquisa propiciaram um amplo debate na Universidade, que contou com a participação de professores e de estudantes de diversos cursos da PUC-Campinas.

O segundo cenário, denominado “Estresse e Democracia”, centrado nos projetos “Orçamento Participativo” e “Estresse entre Universitários”, foi construído em uma disciplina de Estatística no curso de Engenharia de Computação. Questões relacionadas com composições orçamentárias e princípios democráticos, aliadas

17 com tópicos estatísticos nelas incluídas foram discutidas com alunos da 8ª série de uma escola pública na periferia de Campinas.

O terceiro cenário, denominado “Matemática e Cidadania”, centrado no tema “Tributação e Imposto de Renda”, foi construído com alunos de uma disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Os participantes desse cenário realizaram um trabalho pedagógico com adolescentes integrantes do Centro de Orientação ao Menor de Campinas (COMEC), e nele (no cenário) exploraram alguns conteúdos matemáticos relacionados com a investigação sobre tributação e imposto de renda.

Nesses três capítulos, em paralelo às descrições e aos enfoques citados, analiso, ao menos parcialmente e à luz dos meus instrumentos metodológicos, os dados obtidos. O capítulo seguinte é reservado para discussões e interpretações de resultados. Por fim, no capítulo oito apresento minhas considerações finais sobre o trabalho realizado, as dificuldades encontradas e aponto possibilidades futuras decorrentes deste estudo.

18

CAPÍTULO 2

2. AMBIENTES DE APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA BASEADOS

NA INVESTIGAÇÃO E NA REFLEXÃO

“Enquanto ensino continuo buscando, reprocurando. Ensino porque busco, porque indaguei, porque indago e me indago.”

Paulo Freire (2003, p. 29)

No prefácio do livro Educação Matemática Crítica de Ole Skovsmose (2001a), Marcelo Borba apresenta o tema referenciado no título como sendo um movimento questionador sobre a educação matemática, iniciado na década de 80 e desenvolvido a partir dos posicionamentos de diversos autores em vários países. Dentre esses autores, Borba destaca Marilyn Frankesntein e Arthur Powell nos Estados Unidos, Paulus Gerdes e John Volmink, na África do Sul, Munir Faseh, na Palestina, Ubiratan D’Ambrosio, no Brasil, Stieg Mellin-Olsen, na Suécia e, naturalmente o próprio Ole Skovsmose, na Dinamarca.

Em geral, esse questionamento sobre o papel da educação matemática tem a ver com posturas democráticas, com posicionamentos críticos, com reflexões sobre a razão e a finalidade do ensino de matemática, com constantes diálogos, democracia, cidadania e ausência de estruturas de poder e de preconceitos de qualquer natureza, tanto na relação entre o professor e seus alunos como na relação entre os próprios alunos. No Brasil, esses questionamentos – na esfera mais ampla da educação em geral, e com a marca do pioneirismo – foram trazidos para discussão por Paulo Freire, principalmente em seus livros Pedagogia do Oprimido (1978), Ação Cultural para a Liberdade (1982) e Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa (2003).

O pensamento de Paulo Freire é referenciado por Skovsmose (2001a), para quem a educação (matemática) crítica tem um papel similar ao que na visão freiriana é definido como sendo a “pedagogia emancipadora”, onde os atores no processo pedagógico, alunos e professores, atuam em igualdade de condições e de trabalho.

19 Segundo Skovsmose o envolvimento pedagógico direcionado a uma educação crítica faz parte de um processo educacional democrático:

As idéias relativas ao diálogo e à relação estudante-professor são desenvolvidas do ponto de vista geral de que a educação deve fazer parte de um processo de democratização. Se queremos desenvolver uma atitude democrática por meio da educação, a educação como relação social não deve conter aspectos fundamentalmente não-democráticos. É inaceitável que o professor (apenas) tenha um papel decisivo e prescritivo. Em vez disso, o processo educacional deve ser entendido como um diálogo (2001a, p.18).

Para Paulo Freire (1978), a educação é um objeto de libertação dos homens e, portanto, qualquer procedimento que não privilegie o diálogo entre os atores é um ato de alienação embutido na própria educação e opõe-se ao que o autor denomina libertação autêntica (“a libertação autêntica, que é a humanização em processo, não é uma coisa que se deposita nos homens. Não é uma palavra a mais, oca, mitificante. É práxis1, que implica na ação e na reflexão dos homens sobre o mundo para transformá-lo” (p. 77)).

Procuro, ao longo do meu relato, apresentar os ambientes de aprendizagem investigativos como espaços pedagógicos sustentados por um tripé composto pela investigação (matemática e/ou dos fatos que cercam o objeto de estudo), pela crítica e pela reflexão.

Por essa razão, inicio minhas considerações a partir da educação crítica, com meu olhar dirigido para a educação matemática. Nesse contexto, volto minha atenção para os ambientes de aprendizagem de matemática, investigativos e reflexivos (os cenários para investigação). Na seqüência, destaco os ambientes de aprendizagem investigativos e reflexivos baseados no trabalho com projetos e na modelagem matemática. Por fim, considero o papel da tecnologia nesses ambientes.

1

Entendo na fala do autor práxis como uma ação política, como um ato de reflexão direcionado para transformações.

20

2.1 A educação crítica e a educação matemática crítica

2.1.1.

A prática educativa crítica

A educação, sob o ponto de vista filosófico, corresponde às modalidades e às formas pelas quais a cultura2 é transmitida de geração para geração com o objetivo de sobrevivência de uma sociedade humana (ABBAGNANO, 1982). A palavra educação tem sua origem no latim – educatio(nem), do verbo educare (instruir, fazer crescer, criar), próximo de educere (conduzir, levar até determinado fim) – e, para Machado (2000, p. 20) “sempre teve seu significado associado à ação de conduzir a finalidades socialmente prefiguradas, o que pressupõe a existência e a partilha de projetos coletivos”.

D’Ambrósio (1999, p. 99), define a educação como “o conjunto de estratégias desenvolvidas pela sociedade para (i) possibilitar a cada indivíduo atingir seu potencial criativo e (ii) estimular e facilitar a ação comum, com a finalidade de viver em sociedade e de exercer a cidadania3”.

A crítica, para Skovsmose, tem a ver com “uma investigação de condições para a obtenção do conhecimento, uma identificação dos problemas sociais e sua avaliação, e uma reação às situações sociais problemáticas” (2001a, p. 101). Já para Alves-Mazzotti e Gewandsnajder, o sentido mais importante da palavra crítica diz respeito “à ênfase na análise das condições de regulação social, desigualdade e poder” (1998, p. 139). A esses pontos apontados por Skovsmose e Alves-Mazzotti e Gewandsnajder acrescento o aperfeiçoamento democrático, os questionamentos direcionados a transformações e à busca de igualdades e de oportunidades, tanto em relação ao ambiente escolar como na própria sociedade. Assim, vejo com esses significados, o adjetivo “crítica” que especifica o termo educação.

2

Chama-se cultura, ainda de acordo com Abbagnano, o conjunto das técnicas de uso, de produção, de comportamento, mediante as quais um grupo de homens é capaz de satisfazer as suas necessidades, de proteger-se contra a hostilidade do ambiente físico e biológico e de trabalhar em conjunto em uma forma mais ou menos ordenada e pacífica (ABBAGNANO, 1982, p. 288).

3

21 A educação crítica tem como principais fontes de inspiração a teoria crítica da sociedade e a Geisteswissenchaftliche Pädagogik4, ambas na Alemanha. A Geisteswissenchaftliche Pädagogik, menos importante nessa inspiração que a primeira, baseia-se na hermenêutica e tem como pensadores Wilhelm Dilthey, Eduard Spranger, Theodor Litt e Herman Nohl (SKOVSMOSE5, 2001a, p.16).

A Escola de Frankfurt teve sua origem no Instituto de Pesquisa Social, vinculado à Universidade de Frankfurt, com um grupo de intelectuais interessado em uma teoria social específica, denominada teoria crítica da sociedade, de inspiração marxista (ALVES-MAZZOTTI E GEWANDSNAJDER; 1998). Apesar de criada em 1923, apenas em 1930, com a nomeação de Max Horkheimer para diretor do Instituto, a escola tornou-se, de fato, importante. Além de Horkheimer são também expoentes iniciais da escola de Frankfurt, os economistas Friedrich Pollock e Henryk Grossmann, o sociólogo Karl-Augustus Wittfogel e o historiador Franz Borkenau. A esses pensadores uniram-se depois o filósofo, musicólogo e sociólogo Theodor W. Adorno, o filósofo Herbert Marcuse, o sociólogo e psicanalista Erich Fromm, o filósofo e crítico literário Walter Benjamim, o sociólogo da literatura Leo Löwenthal e o cientista político Franz Neumann. Após a chegada de Hitler ao poder a escola esteve prestes a desaparecer, já que vários desses cientistas deixaram a Alemanha com destino aos Estados Unidos. Com o término da segunda guerra mundial, apenas Adorno, Horkheimer e Pollock retornaram para Frankfurt (REALE e ANTISERI,

1991; ARANTES, 1989).

A principal razão para o crescimento e para o reconhecimento da Escola de Frankfurt se deve a elaboração dessa teoria crítica da sociedade, construída em oposição à chamada teoria tradicional - de caráter conservador e baseada no sistema dedutivo, no qual todas as proposições referentes a um determinado campo estariam relacionadas de tal modo que poderiam ser deduzidas de uns poucos princípios gerais (REALE e ANTISERI (1991); ALVES-MAZZOTTI e GEWANDSNAJDER

4

Mantenho a expressão Geisteswissenchaftliche Pädagogik no original por não encontrar tradução apropriada – algo como pedagogia relacionada com as manifestações do espírito humano.

5

Skovsmose, no artigo Towards a critical mathematics education, admite a existência de fontes diferentes e cita como exemplo as idéias de Paulo Freire em relação à educação crítica, construídas independentemente da teoria crítica. Acredito, entretanto, que mesmo Paulo Freire deve ter se influenciado pela teoria crítica da sociedade.

22

(1998)). “A forma canônica do pensamento tradicional é a filosofia de Descartes”

(MATOS, 2003, p. 18).

De acordo com Gabriel Cohn (1986) a proposta básica desse grupo era formular uma teoria que suportasse as questões suscitadas pelo advento do fascismo, no campo capitalista, e do stalinismo, no campo socialista:

Basicamente, contudo, a teoria crítica da sociedade é uma teoria da sociedade burguesa. Para desenvolvê-la seus autores, com Horkheimer e Adorno à frente, tiveram desde logo que abrir caminho, por um lado, entre as tendências irracionalistas do pensamento burguês dominante e o viés economicista das análises dos partidários de um materialismo histórico empobrecido, por outro (p.9).

Para Horkheimer o valor de uma teoria depende de sua relação com a práxis (MATOS, 2003, p. 7). Isto significa que, para ser relevante, uma teoria social tem de estar relacionada às questões nas quais, num dado momento histórico, as forças sociais mais progressistas estejam engajadas (ALVES-MAZZOTTI E

GEWANDSNAJDER, 1998, p. 116). O pensamento crítico, ao contrário do pensamento

cartesiano, “procura a superação das dicotomias entre saber e agir, sujeito e objeto e ciência e sociedade, enfatizando os determinantes sócio-históricos da produção do conhecimento científico e o papel da ciência na divisão social do trabalho” (p. 117).

Da mesma forma que a teoria crítica da sociedade surge como contraposição ao conservadorismo representado pela teoria tradicional, a educação crítica apresenta-se como contestação ao tradicionalismo no sistema educacional. A educação crítica insere-se e se desenvolve num contexto caracterizado, de um lado, por discussões relacionadas com problemas sociais, com críticas e com relações democráticas que objetivam transformações nas estruturas sociais, políticas, econômicas e éticas da sociedade (estes fatores encontram-se presentes na humanidade e são geradores de conflito6); de outro lado, por construções de ambientes democráticos nas salas de aula que garantam o diálogo entre os participantes do processo de ensino e de aprendizagem, igualdade entre eles, constantes questionamentos e indagações, reflexões e reações às contradições.

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Essa ligação entre a teoria crítica e a educação crítica é bem ilustrada por Carspeckem a Apple (1992. Apud Alves-Mazzotti e Gewandsnajder, 1998)