Simulação tridimensional da dispersão de poluentes na atmosfera em condições de vento fraco

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CPPMet

Programa de P ós-Graduaç ão em Meteorologia

Dissertac¸ ˜ao

Simulaç ão tridimensional da dispers ão de poluentes na

atmosfera em condic¸ ˜

oes de vento fraco

VILIAM CARDOSO DA SILVEIRA

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VILIAM CARDOSO DA SILVEIRA

Simulaç ão tridimensional da dispers ão de poluentes na

atmosfera em condic¸ ˜

oes de vento fraco

Dissertaç ão de Mestrado apresentada ao Programa de P ós-Graduaç ão em Meteorolo-gia da Universidade Federal de Pelotas, como requisito parcial para a obtenç ão do grau de Mestre em Meteorologia

Orientador: Profa_{. Dr}a_{. Daniela Buske}

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S587s Silveira, Viliam Cardoso da

Simulaç ão tridimensional da dispers ão de poluentes na atmosfera em condiç ões de vento fraco / Viliam Cardoso da Silveira. – Pelotas, 2013. – 66 f. ; il. – Dissertaç ão (Mestrado) – Programa de P ós-Graduaç ão em Meteorolo-gia. Universidade Federal de Pelotas. Centro de Pesquisas e Previs ões Meteorol ógicas - CPPMet. Pelotas, 2013. – Orientador Daniela Buske.

1. Poluiç ão do ar. 2. Dispers ão de poluentes. 3. Trans-formadas integrais. 4. Soluç ão anal´ıtica. 5. Equaç ão de advecç ão-difus ão. I. Buske, Daniela. II. T´ıtulo.

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Banca examinadora:

Prof. Dr. Claudio Zen Petersen

Prof. Dr. R ´egis Sperotto de Quadros

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Agradec¸o primeiramente a Deus, o qual me possibilitou estar vivo, para assim eu concluir este trabalho;

A todos que de uma forma ou outra contribuiram para a realizaç ão dessa dissertaç ão, em especial aos meus pais, Viturino e Dalmarcia, minha v ó, Leda e minha tia (madrinha) e tio, Mara e Jo ão, que me acolheram desde o in´ıcio da faculdade;

A minha orientadora Daniela Buske pela ótima orientaç ão e conhecimento transmitido ao longo da faculdade e mestrado. Ao professor Jonas Carvalho pela orientaç ão ao longo da graduaç ão e ao professor R égis de Quadros pelo apoio ao longo da realizaç ão desta dissertaç ão;

Por fim, agradec¸o a CAPES pelo suporte financeiro, sem ele se tornaria mais dif´ıcil o desenvolvimento desse trabalho.

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RESUMO

SILVEIRA, Viliam Cardoso da. Simulaç ão tridimensional da dispers ão de

po-luentes na atmosfera em condiç ões de vento fraco. 2013. 66 f. Dissertaç ão

(Mestrado) – Programa de P ós-Graduaç ão em Meteorologia. Universidade Federal de Pelotas, Pelotas.

A import ância da modelagem da dispers ão de poluentes em condiç ões de vento fraco se deve ao fato de que tais condiç ões ocorrem frequentemente e s ão cruciais para epis ódios de poluiç ão do ar. Em tais condiç ões, os poluentes n ão s ão capazes de viajarem para longe da fonte e assim as áreas mais pr óximas da fonte s ão as mais afetadas. A abordagem cl ássica baseada em modelos convencionais, tais como puff/pluma gaussianos ou teoria-K com suposiç ões razo áveis, s ão conhecidos por trabalharem razoavelmente bem durante a maio-ria dos regimes meteorol ógicos, exceto para condiç ões de vento fraco e vari ável. As raz ões para isso s ão: a difus ão na direç ão do vento é negligenciada com relaç ão a advecç ão; a concentraç ão é inversamente proporcional a velocidade do vento; as condiç ões m édias s ão estacion árias e h á uma falta de estimativas apropriadas dos par âmetros de disper ão em condiç ões de vento fraco. O pre-sente estudo prop õe um modelo matem ático para a dispers ão de contaminantes sob condiç ões de vento fraco que leva em conta a difus ão ao longo do vento. A soluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão para essas condiç ões é obtida aplicando o m étodo 3D-GILTT (Three-Dimensional Generalized Integral Laplace

Transform Technique). O estudo sugere que a inclus ˜ao da difus ˜ao longitudinal,

importante para a difus ão de curta dist ância de uma fonte pontual continua em condiç ões de vento fraco, pode fornecer uma melhor descriç ão do transporte turbulento dos contaminantes atmosf éricos.

Palavras-chave: Poluiç ão do ar, Dispers ão de poluentes, Transformadas

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SILVEIRA, Viliam Cardoso da. Tridimensional simulation of pollutant

dis-persion in atmosphere under low wind conditions. 2013. 66 f. Dissertac¸ ˜ao

(Mestrado) – Programa de P ós-Graduaç ão em Meteorologia. Universidade Federal de Pelotas, Pelotas.

The importance of dispersion modeling in low wind conditions lies in the fact that such conditions occur frequently and are crucial for air pollution episodes. In such conditions, the pollutants are not able to travel far and thus the near-source areas are affected the most.The classical approach based on conventional models, such as Gaussian puff/plume or the K-theory with suitable assumptions, are known to work reasonably well during most meteorological regimes, except for weak and variable wind conditions. The reasons for that are: the down-wind diffusion is neglected with respect to advection; the concentration is inversely proportional to wind speed; the average conditions are stationary and there is a lack of appropriate estimates of dispersion parameters in low wind conditions. The present study proposes a mathematical model for dispersion of contaminants in low winds that takes into account the along-wind diffusion. The solution of the advection-diffusion equation for these conditions is obtained applying the 3D-GILTT method (Three-Dimensional Generalized Integral Laplace Transform Technique). The study suggests that the inclusion of the longitudinal diffusion, important at short distance diffusion from a continuous point source in low wind conditions, can improve the description of the turbulent transport of atmospheric contaminants.

Keywords: Air pollution, pollutants dispersion, integral transforms, analytical

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Divis ão da troposfera (STULL, 1988) . . . 23 Figura 2 Evoluç ão temporal da CLP (STULL, 1988) . . . 23 Figura 3 Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas

(Co) e preditas pelo m ´etodo 3D-GILTT (Cp) para o experimento

IIT Delhi utilizando perfil de vento pot ência . . . 46 Figura 4 Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas

IIT Delhi utilizando perfil de vento similaridade . . . 47 Figura 5 Diagrama de espalhamento das concentrac¸ ˜oes observadas

INEL utilizando perfil de vento pot ência . . . 50 Figura 6 Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas

INEL comu < 1m/sutilizando perfil de vento pot ência . . . 51 Figura 7 Diagrama de espalhamento das concentraç ões observadas

INEL utilizando perfil de vento similaridade . . . 51 Figura 8 Diagrama de espalhamento das concentrac¸ ˜oes observadas

INEL comu < 1m/sutilizando perfil de vento similaridade . . . 52 Figura 9 Isolinhas de concentrac¸ ˜oes bidimensionais adimensionais

(C∗ _{= cuh/Q}_, _X∗ _{= xw}

∗/uh, Z∗ = z/h e Hs = 0, 25h) para

diferentes velocidades verticais do vento e condiç ões esta-cion árias: a)w=-0,5; b) w=0; c)w=0,5 . . . 54 Figura 10 Isolinhas de concentraç ões tridimensionais adimensionais

pre-ditas pelo presente modelo (C∗ _{= cuh/Q}_, _X∗ _{= xw} ∗/uh,

Z∗ _{= z/h} _e _H

s = 0, 25h) para diferentes velocidades verticais

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Tabela 1 Par âmetros meteorol ógicos observados no experimento IIT Delhi. . . 43 Tabela 2 Par âmetros meteorol ógicos observado e previstos no

experi-mento INEL. . . 44 Tabela 3 Concentraç ões observadas e preditas pelo m étodo 3D-GILTT,

utilizando pefil de vento pot ência e similaridade para o experi-mento inst ável IIT Delhi. . . 47 Tabela 4 Concentraç ões observadas e preditas pelo m étodo 3D-GILTT,

utilizando pefil de vento pot ência e similaridade para o experi-mento est ável INEL. . . 48 Tabela 5 Comparaç ão estat´ıstica entre os resultados do modelo

3D-GILTT utilizando dados do experimento IIT Delhi sob condiç ões atmosf éricas inst áveis, utilizando perfil de vento pot ência, com todos os coeficientes de difus ão vertical (Kz)

descritos na presente dissertaç ão e perfil de vento similari-dade, com outros modelos encontrados na literatura. . . 50 Tabela 6 Comparaç ão estat´ıstica entre os resultados do modelo

3D-GILTT utilizando dados do experimento INEL sob condiç ões atmosf éricas est áveis, utilizando perfil de vento pot ência, com todos os coeficientes de difus ão vertical (Kz) descritos na

pre-sente dissertaç ão e perfil de vento similaridade, com outros modelos encontrados na literatura. . . 53 Tabela 7 Comparaç ão estat´ıstica entre os resultados do modelo

3D-GILTT utilizando dados do experimento INEL com u < 1m/s sob condiç ões atmosf éricas est áveis, utilizando perfil de vento pot ência, com todos os coeficientes de difus ão vertical (Kz)

descritos na presente dissertac¸ ˜ao e perfil de vento similari-dade, com outros modelos encontrados na literatura. . . 56

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CLA Camada Limite Atmosf érica CLP Camada Limite Planet ária CLE Camada Limite Est ável CLC Camada Limite Convectiva

GITT Generalized Integral Transform Technique

GILTT Generalized Integral Laplace Transform Technique

ADMM Advection Diffusion Multilayer Method

GIADMTGeneralized Integral Advection Diffusion Multilayer Technique NMSE erro quadr ´atico m ´edio normalizado

COR Coeficiente de correlac¸ ˜ao F A2 fator de dois

F B fraç ão de inclinaç ão F S desvio fracional padr ão

B, R, S matrizes de coeficientes do problema transformado de segunda ordem C concentrac¸ ˜ao de um contaminante passivo

c concentraç ão m édia de um contaminante passivo

cn vari ável dependente da expans ão em s érie do problema tridimensional

cn,i vari ável dependente da expans ão em s érie do problema bidimensional

co concentrac¸ ˜oes observadas experimentalmente

cp concentrac¸ ˜oes preditas pelo modelo

D matriz diagonal dos autovalores do problema transformado de primeira ordem

X matriz diagonal dos autovetores do problema transformado de primeira ordem

X−1 _{matriz diagonal inversa dos autovetores do problema transformado de}

primeira ordem

F matriz de coeficientes do problema transformado de segunda ordem na qualF = B−1_D

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(f∗

m)i frequ ˆencia normalizada do pico espectral

h altura da camada limite planet ´aria

H matriz bloco do problema transformado de primeira ordem Hs altura da fonte

I matriz identidade

k constante de Von-K árm án Kα coeficiente de difus ão

α indica as direc¸ ˜oes x,yez

Kx coeficiente de difus ão na direç ãox

Ky coeficiente de difus ão na direç ãoy

Kz coeficiente de difus ão na direç ãoz

L comprimento de Monin-Obukov

Lx dist ˆancia para longe da fonte no eixo x

Ly dist ˆancia para longe da fonte no eixo y

N n úmero de autovalores no somat ório da f órmula da inversa da GILTT Q intensidade da fonte

SF6 hexafluoreto de enxofre

U velocidade instant ânea do vento na direç ãox (m/s) u componente do vento m édio orientado na direç ão x (m/s) u′ _{componente turbulenta do vento na direç ão}_{x (m/s)}

u∗ velocidade de fricc¸ ˜ao (m/s)

V velocidade instant ânea do vento na direç ãoy (m/s) v componente do vento m édio orientado na direç ão y (m/s) v′ _{componente turbulenta do vento na direç ão}_{y (m/s)}

W velocidade instant ânea do vento na direç ãoz (m/s) w componente do vento m édio orientado na direç ão z (m/s) w′ _{componente turbulenta do vento na direç ão}_{z (m/s)}

w∗ velocidade convectiva(m/s)

u′_c′ _{fluxo turbulento do contaminante nas direc¸ ˜oes longitudinal}_(g/sm2₎

v′_c′ _{fluxo turbulento do contaminante nas direc¸ ˜oes lateral}_(g/sm2₎

w′_c′ _{fluxo turbulento do contaminante nas direc¸ ˜oes vertical}_(g/sm2₎

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y dist ˆancia lateral da fonte(m) X∗ _{dist ˆancia adimensional da fonte}

Y (x) vetor de inc ´ognitas do problema transformado de segunda ordem Z(x) vetor de inc ´ognitas do problema transformado de primeira ordem

G(x) matriz diagonal dos autovalores do problema transformado de primeira ordem ap ´os invers ˜ao de Laplace anal´ıtica

z altura acima da superf´ıcie(m) δ func¸ ˜ao delta de Dirac

λn autovalor do problema de Sturm-Liouville

γi autovalor do problema de Sturm-Liouville

ψ taxa de dissipaç ão molecular da velocidade turbulenta σy par âmetro de dispers ão lateral

σo desvio padr ˜ao observado

σp desvio padr ˜ao predito

ξ vetor representado porX−1_Z(0)

ζn autofunc¸ ˜ao do problema de Sturm-Liouville

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . . 14

2 REVIS ˜AO BIBLIOGR ´AFICA . . . . 18

3 METEOROLOGIA DA CAMADA LIMITE . . . . 22

3.1 Introduc¸ ˜ao . . . . 22

3.2 Energia Cin ´etica turbulenta . . . . 24

3.3 Velocidade de fricc¸ ˜ao . . . . 25

3.4 Velocidade Convectiva . . . . 25

3.5 Comprimento de Monin-Obukhov . . . . 26

3.6 Meandro do vento . . . . 26

4 FORMULAÇ ÃO MATEM ÁTICA . . . . 28

4.1 Soluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional pelo m étodo 3D-GILTT . . . . 28

5 DADOS PARA VALIDAC¸ ˜AO DO MODELO . . . . 40

5.1 Parametrizaç ões da turbul ência . . . . 40

5.2 Perfis do vento . . . . 42

5.3 Dados experimentais . . . . 43

5.3.1 Experimento IIT Delhi (´India) . . . 43

5.3.2 Experimento INEL (USA) . . . 43

5.4 ´Indices estat´ısticos . . . . 44

6 RESULTADOS . . . . 46

7 CONCLUS ˜OES E PERSPECTIVAS FUTURAS . . . . 57

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1 INTRODUC

¸ ˜

AO

Sempre que estamos interessados em trabalhar e estudar modelos de poluiç ão do ar e dispers ão de poluentes, temos que antes de tudo levar em conta a atmosfera em que o transporte e difus ão de poluentes, bem como seus pro-cessos de remoç ão e transformaç ão qu´ımica ocorrem. Precisamos inicialmente entender um pouco de meteorologia, ou seja, a meteorologia pode ser entendida como o estudo da estrutura, termodin âmica e din âmica da atmosfera, particular-mente das partes mais baixas da atmosfera em que a maioria dos fen ômenos e processos do tempo ocorrem. Como a dispers ão de poluentes na atmosfera est á intimamente ligada a meteorologia, devemos sempre ter em mente alguns con-ceitos fundamentais de meteorologia, tais como: estrutura e composiç ão qu´ımica da atmosfera, termodin âmica b ásica e vari áveis de estado, conceito de estabi-lidade est ática, equaç ões fundamentais de conservaç ão de energia, massa e

momentum, sendo que sem esses conceitos o entendimento da modelagem da

dispers ˜ao de poluentes se torna mais dif´ıcil.

Tradicionalmente, os movimentos atmosf éricos e fen ômenos relacionados fo-ram classificados de acordo com suas dimens ões horizontais em tr ês amplas categorias: macroescala (escala horizontal da ordem de 1000 km), mesoescala (escala horizontal da ordem de 100 km) e microescala (escala horizontal da or-dem de 10 km ou menos) (ARYA, 1999). O transporte e difus ão atmosf érica s ão governados pelos movimentos atmosf éricos cobrindo todo o intervalo de esca-las. Os poluentes liberados da exaust ão de carros ou de chamin é de uma f ábrica s ão primeiro dispersados pelos movimentos de microescala na camada limite at-mosf érica, subsequentemente, seus transporte e difus ão s ão influenciados pela circulaç ão de mesoescala associado com ilhas de calor urbano, brisa do conti-nente o do mar, brisa de vale e montanha, tempestades e outros sistemas de mesoescala. A micrometeorologia que é o estudo de fen ômenos de pequena escala como j á mencionado, é o foco principal desse trabalho.

A dispers ão de poluentes de curto intervalo de fontes perto da superf´ıcie é essencialmente determinada pelos movimentos e processos de pequena es-cala ocorrendo nas camadas mais baixas da atmosfera, chamada camada li-mite planet ária (CLP) ou camada lili-mite atmosf érica (CLA). As propriedades f´ısicas e t érmicas da superf´ıcie subjacente, juntamente com a din âmica e ter-modin âmica da baixa atmosfera, determina a estrutura da CLP, ou seja, profun-didade, distribuiç ões de vento e temperatura, transporte, mistura, propriedades de difus ão e dissipaç ão de energia. Variaç ões na profundidade e estrutura da camada limite frequentemente ocorrem como resultado da evoluç ão e passa-gem de sistemas de mesoescala e sistemas de escala sin ótica. Geralmente, a

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camada limite torna-se mais fina sobre a influ ência da subsid ência em grande escala e diverg ência horizontal em baixos n´ıveis associados com a passagem de um sistema de alta press ão (anticiclone). Por outro lado, a CLP pode cres-cer para grandes profundidades e fundir-se com nuvens profundas em condiç ões perturbadas do tempo que est ão associadas com sistemas de baixa press ão.

Exitem duas abordagens para representar o fluxo e difus ão em um fluido (ambiente atmosf érico, por exemplo), ou seja, a abordagem Euleriana e a La-grangeana. Medidas de instrumentos ou amostradores localizados em locais fixos no solo, mastros ou torres s ão alguns dos exemplos de medidas Eulerianas (referencial fixo), enquanto aquelas de ve´ıculos, barcos e aeronaves s ão exem-plos de medidas Lagrangeanas (refer êncial movel). A abordagem Euleriana é melhor para descrever o fluxo, usando modelos te óricos e num éricos, porque as equaç ões do movimento Euleriano s ão muito mais simples do que aquelas do movimento Lagrangeano. Na presente dissertaç ão usaremos a abordagem Euleriana.

Historicamente a poluiç ão do ar veio a ser tratada como um s ério problema para grandes cidades e centros comerciais. Com o advento da revoluç ão in-dustrial e depois com a chegada dos autom óveis, a qualidade do ar da maioria das grandes áreas urbanas e industriais ca´ıram expressivamente. Os esforços iniciais no controle da poluiç ão do ar foram principalmente direcionados para a melhoria da qualidade do ar nas grandes áreas urbanas e industriais.

A poluiç ão atmosf érica é ocasionada por efeitos naturais (por exemplo, emiss ão de SO2 por um vulc ão) ou antropog ênicos (por exemplo, emiss ões in-dustriais e automotivas). Enquanto os n´ıveis de poluiç ão natural podem ser con-siderados constantes no tempo, os n´ıveis de poluiç ão ocasionada pelo homem est ão em cont´ınuo aumento. Enquanto que sobre poluiç ão natural n ão existe em geral, nenhum controle, a poluiç ão antropog ênica pode ser controlada. S ão mui-tos os problemas que a poluiç ão do ar, produzida por atividades antropog ênicas, ocasiona para o equil´ıbrio ecol ógico. Os gases e poeiras abandonados na at-mosfera provocam efeitos negativos nas proximidades das fontes (deteriorando a qualidade do ar em regi ões urbanas, agr´ıcolas e industriais), a m édia ou longa dist ância (chuva ácida, transporte transfronteiriço) e em escala global (buraco na camada de oz ônio). Se as fontes poluidoras s ão numerosas ou de longo tempo de emiss ão ou, ainda se os poluentes s ão suficientemente t óxicos, os preju´ızos ocasionados ao equil´ıbrio ecol ógico ser ão certamente consider áveis. Devido aos problemas ocasionados pela poluiç ão do ar, é necess ário estudar e entender o processo de dispers ão de poluentes para prever as poss´ıveis consequ ências do impacto ambiental sobre os diversos ecossistemas.

Na d écada de cinquenta foram realizadas as primeiras medidas simult âneas de concentraç ão, par âmetros de dispers ão da pluma e par âmetros meteo-rol ógicos na tentativa de encontrar relaç ões emp´ıricas entre difus ão e fatores meteorol ógicos, onde destacamos os descritos em (BARAD, 1958a)(BARAD, 1958b)(GRYNING, 1981). Ambos os experimentos determinaram o campo de concentraç ão na superf´ıcie terrestre a uma dist ância de cinquenta a seis mil me-tros a partir da fonte. Atualmente os estudos se expandiram e muitos est ão rela-cionados a dispers ão de poluentes baseados em experimentos de campo (Cope-nhagen (GRYNING et al., 1987), Kinkaid (HANNA; PAINE, 1989), Prairie-Grass (BARAD, 1958a)(BARAD, 1958b), Hanford (DORAN; HORST, 1985), IIT Delhi

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(SHARAN; SINGH; YADAV, 1996)(SHARAN et al., 1996)(SHARAN; YADAV; MO-DANI, 2002), INEL (SAGENDORF; DICKSON, 1974), Lillestr öm (SIVERSTEN; B ÖHLER, 1985), entre outros), mesmo assim esta é uma área que ainda precisa ser bastante estudada, para assim podermos simular cen ários mais real´ısticos de poluiç ão do ar. As observaç ões de campo s ão muitas vezes dificultadas por problemas operacionais e pelos altos custos.

Os modelos matem áticos s ão um instrumento particularmente útil no entendi-mento dos fen ômenos que controlam o transporte, a dispers ão e a transformaç ão f´ısico-qu´ımica dos poluentes imersos na atmosfera. Estes modelos que per-mitem uma validaç ão do n´ıvel observado de poluentes e a causa efeito das emiss ões podem ser utilizados para evitar eventos cr´ıticos de poluiç ão, discri-minar os efeitos de v árias fontes e de v ários poluentes, estimar o impacto de novas fontes, e da mesma forma validar o estado da qualidade do ar em um determinado lugar.

Os modelos de difus ão mais conhecidos s ão os modelos Gaussianos, sendo extensivamente usados na avaliaç ão de fontes de poluiç ão do ar locais e qua-lidade do ar urbano, particularmente para aplicaç ões regulat órias. A principal justificativa para o uso de modelos Gaussianos de difus ão em aplicaç ões regu-lat órias vem de sua avaliaç ão e validaç ão com dados de difus ão experimentais. Outras raz ões para utilizaç ão dos modelos Gaussianos de difus ão em aplicaç ões regulat órias s ão que esses modelos s ão consistentes com a natureza aleat ória da turbul ência e s ão computacionalmente mais baratos. Esses modelos s ão anal´ıticos mas com coeficientes constantes.

Atualmente muitos estudos sobre a dispers ão de poluentes s ão realizados tendo como base a condiç ão de vento forte ou moderado, mas uma das situaç ões mais cr´ıticas e que ocorrem frequentemente é a condiç ão de vento fraco (< 2 m/s). Sob este aspecto alguns trabalhos j á foram produzidos dando consider ável ênfase a processos atmosf éricos tais como turbul ência, dispers ão e estrutura da camada limite atmosf érica em situaç ões de vento fraco. Existem dois aspectos fundamentais para o interesse em tal estudo (SHARAN; YADAV, 1998). O pri-meiro é a grande ocorr ência das condiç ões de vento fraco no mundo inteiro e o segundo faz refer ência a irregularidade com que ocorre a dispers ão de poluentes no ar em tal condiç ão.

A estrutura da Camada Limite Planet ária n ão é adequadamente determinada nas condiç ões de ventos fracos devido aos limitados dados observados existen-tes. A complexidade da camada limite cresce com a diminuiç ão dos ventos e aumenta o grau de instabilidade atmosf érica. Al ém disso, instrumentos de me-didas convencionais n ão funcionam adequadamente abaixo de algumas veloci-dades cr´ıticas e as tradicionais t écnicas de modelagem s ão inadequadas para trabalhar em condiç ões de ventos fracos (ZANNETTI, 1990). Nesta situaç ão, a pluma de poluentes n ão é transportada a longas dist âncias e, assim, as áreas pr óximas às fontes s ão as mais afetadas. Por esta raz ão, na modelagem da dis-pers ão em condiç ões de vento fraco, o dom´ınio de interesse permanece pr óximo a fonte. Desta forma, durante a ocorr ência de ventos fracos o mecanismo de difus ão longitudinal precisa ser considerado.

Motivados pela modelagem da dispers ão de poluentes em condiç ões de vento fraco(< 2m/s) (BUSKE et al., 2007b), iremos aplicar o m étodo 3D-GILTT para avaliar a concentraç ão de poluentes na atmosfera, levando em conta a difus ão

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longitudinal que n ão pode ser negligenciada em tais condiç ões. Este ser á um modelo mais real´ıstico, pois é, tridimensional, totalmente anal´ıtico e considera a difus ão longitudinal, geralmente desconsiderada nas soluç ões desse tipo de problema. Do nosso conhecimento, um modelo com estas caracter´ısticas e que considera perfil de vento e coeficientes de difus ão vari áveis n ão existe na litera-tura.

Essa dissertaç ão encontra-se estruturada em sete cap´ıtulos. No cap´ıtulo 2 apresentaremos a revis ão bibliogr áfica, onde falaremos dos principais m étodos, de nosso conhecimento, utilizados em problemas de poluiç ão atmosf érica. No cap´ıtulo 3, fazemos uma descriç ão da camada limite planet ária, apresentare-mos a divis ão da troposfera e da CLP e fareapresentare-mos uma descriç ão de cada ca-mada da CLP. No cap´ıtulo 4 apresentaremos a formulaç ão matem ática para re-solver o problema tridimensional da equaç ão de advecç ão-difus ão. No cap´ıtulo 5 é apresentada a validaç ão do modelo, apresentaremos as formulaç ões para a parametrizaç ão da turbul ência, perfis de vento e ´ındices estat´ısticos, faremos uma descriç ão dos experimentos utilizados na presente dissertaç ão (IIT Delhi e INEL). No cap´ıtulo 6, apresentaremos os resultados num éricos e estat´ısticos obtidos com o presente modelo, al ém disso, faremos comparaç ões dos resulta-dos obtiresulta-dos com o modelo e aqueles observaresulta-dos nos experimentos. Por fim, no

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2 REVIS ˜

AO BIBLIOGR ´

AFICA

A busca de soluç ões anal´ıticas para solucionar problemas de dispers ão é uma linha de pesquisa muito importante, pois todos os par âmetros aparecem explicitamente na soluç ão de tais problemas, facilitando a investigaç ão de suas influ ências. A seguir apresentam-se algumas soluç ões anal´ıticas encontradas na literatura da equaç ão de advecç ão-difus ão.

A primeira soluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão foi à soluç ão Gaussiana, devido a Fick, na segunda metade do s éculo XIX. Na soluç ão Gaussiana, o co-eficiente de difus ão na direç ão z e a velocidade do vento s ão constantes com a altura e s ão consideradas as seguintes condiç ões de contorno:

Kz

∂c

∂z = 0 em z = 0 e z = ∞ (1) Estas s ão geralmente as condiç ões de contorno utilizadas nas soluç ões anal´ıticas da equaç ão de advecç ão-difus ão e correspondem a fluxo nulo de po-luentes na parte inferior e superior da CLP.

(ROBERTS, 1923) apresentou uma soluc¸ ˜ao bidimensional para fontes super-ficiais, onde a velocidade do ventoU e o coeficiente difusivoKz seguem uma lei

de pot ência em funç ão da alturaz, ou seja: U = U1 z z1 m ; Kz = K1 z z1 m (2) sendo quem envariam entre 0e1.

(SMITH, 1957) apresentou uma soluc¸ ˜ao para o caso de U constante, mas com o seguinteKz:

Kz = Kozα(zi− z)β (3)

(SCRIVEN; FISHER, 1975) tamb ém apresentaram uma soluç ão comU cons-tante eKz dado por:

Kz = z para 0 ≤ z ≤ zt e Kz = Kz(zt) para zt≤ z ≤ zi (4)

ondezt ´e uma altura predeterminada, geralmente a altura da camada limite

su-perficial.

(YEH; HUANG, 1975) e (BERLYAND, 1975) publicaram uma soluç ão bidimen-sional para fontes elevadas com U e Kz seguindo os perfis de pot ência, para

uma atmosfera sem contorno superior, sendo as soluç ões obtidas em termos das funç ões de Green. (DEMUTH, 1978) avançou com a soluç ão, dada em termos da

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funç ão de Bessel, para uma camada verticalmente limitada. (LIN; HILDEMANN, 1997) estenderam as soluç ões de (YEH; HUANG, 1975) e (BERLYAND, 1975) para o caso de deposiç ão seca no solo, cujas soluç ões foram apresentadas em termos de funç ões de Bessel modificadas.

(VAN ULDEN, 1978) derivou a soluç ão para a difus ão vertical de fontes cont´ınuas pr óximas ao solo, supondo queU eKz seguem os perfis de pot ência.

(NIEUWSTADT, 1980) apresentou uma soluç ão para um problema unidimen-sional dependente do tempo, utilizando os polin ômios de Legendre e coeficiente de difus ão dado por:

Kz = G u∗z 1 − _zz i (5) ondeG ´e uma constante.

(KOCH, 1989) apresentou uma soluç ão anal´ıtica bidimensional para uma fonte ao n´ıvel do solo, na qual o vento e as difusividades ainda seguem os perfis de pot ência, incluindo os efeitos de absorç ão de contaminante pelo solo.

(CHRYSIKOPOULOS; HILDEMANN; ROBERTS, 1992) desenvolveram uma soluç ão tridimensional para uma fonte a érea cont´ınua ao n´ıvel do solo comU e Kz dados pela equaç ão (19), incluindo o termo de deposiç ão seca.

A equaç ão de advecç ão-difus ão pode ser resolvida por m étodos anal´ıticos e por m étodos semi-anal´ıticos. Em m étodos anal´ıticos n ão h á nenhuma aproximaç ão ao longo da derivaç ão de uma determinada soluç ão, j á os m étodos semi-anal´ıticos resolvem uma parte do problema analiticamente e parte numeri-camente.

No nosso conhecimento, os principais m étodos utilizados em problemas de poluiç ão atmosf érica s ão: ADMM (Advection Diffusion Multilayer Model, Modelo de Multicamada Advectivo Difusivo), GITT (Generalized Integral Transform Tech-nique, T écnica da Transformada Integral Generalizada), GIADMT (Generalized Integral Advection Diffusion Multilayer Technique), GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique).

O m étodo ADMM vem sendo amplamente utilizado na resoluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão para simular a dispers ão de poluentes na atmosfera ((MOURA; VILHENA; DEGRAZIA, 1995); (VILHENA et al., 1998); (DEGRAZIA; MOREIRA; VILHENA, 2001); (FERREIRA NETO, 2003); (COSTA; MOREIRA; VI-LHENA, 2004); (MOREIRA et al., 2004); (MOREIRA; CARVALHO; TIRABASSI, 2005); (MOREIRA; FERREIRA NETO; CARVALHO, 2005); (MOREIRA et al., 2005); (MOREIRA et al., 2006); (BULIGON; MOREIRA; VILHENA, 2006)) com destaque para (MOREIRA et al., 2006) que faz uma revis ão completa desse m étodo. Este m étodo é baseado, na discretizaç ão da camada limite planet ária em N subcamadas. Em cada subcamada a equaç ão de advecç ão-difus ão é re-solvida pela t écnica da transformada de Laplace com invers ão num érica (soluç ão semi-anal´ıtica), sendo dada na forma integral e considerando-se valores m édios para os coeficientes de difus ão e perfil do vento. Com isso, o problema com co-eficiente vari ável foi substitu´ıdo por um conjunto de problemas com coco-eficientes constantes (coeficientes m édios) acoplados por condiç ões de continuidade de concentraç ão e fluxo de contaminante nas interfaces.

O m étodo GITT é anal´ıtico-num érico (COTTA, 1993), (COTTA; MIKHAYLOV, 1997) derivado da transformaç ão integral cl ássica (MIKHAYLOV; ÖZISIK, 1984) que combina uma expans ão em s érie com uma integraç ão. Na expans ão é

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utili-20

zada uma base de autofunç ões determinadas a partir da soluç ão de um problema de Sturm-Liouville associado, com as condiç ões de contorno do problema origi-nal. A integraç ão é feita em todo o intervalo da vari ável transformada, fazendo proveito da propriedade de ortogonalidade da base usada na expans ão. Este procedimento resulta em um sistema de equaç ões diferenciais ordin árias (EDO) que depois de solucionado, é invertido para a obtenç ão do resultado da equaç ão original. A soluç ão do sistema EDO (tamb ém chamado de problema transfor-mado) resultante da aplicaç ão da GITT é feita numericamente com o aux´ılio de subrotinas num éricas.

A t écnica GITT vem sendo utilizada com grande êxito na soluç ão de diferen-tes classes de problemas lineares e n ão-lineares de difus ão e difus ão-advecç ão ((CATALDI et al., 2000); (RIBEIRO et al., 2000); (STORCH; PIMENTEL, 2003); (VELLOSO et al., 2004); (COTTA; BARROS, 2007); (GUERRERO et al., 2012)). Com ela tem se obtido excelentes resultados n ão s ó do ponto de vista de pre-cis ão como tamb ém sob a ótica de custos computacionais. A principal diferença em resolver a equaç ão de advecç ão-difus ão utilizando a GITT em relaç ão à soluç ão obtida pelo m étodo ADMM (MOREIRA et al., 2006) é que a t écnica GITT n ão necessita de discretizaç ão do dom´ınio.

O m étodo GIADMT ((COSTA et al., 2006); (VILHENA et al., 2008); (COSTA; TIRABASSI; VILHENA, 2010); (COSTA et al., 2012)) consiste na transformaç ão do problema tridimensional em um problema bidimensional pela aplicaç ão da GITT na vari ável y. O problema bidimensional resultante é ent ão resolvido pelo m étodo ADMM (soluç ão semi-anal´ıtica).

O m étodo GILTT é obtido pela aplicaç ão da t écnica GITT em problemas de poluiç ão atmosf érica de forma totalmente anal´ıtica. Muitos estudos s ão apresentados na literatura a respeito da dispers ão de poluentes utilizando o m étodo GILTT na equaç ão de advecç ão-difus ão bidimensional ((WORTMANN et al., 2005); (MOREIRA et al., 2006); (BUSKE et al., 2008); (BUSKE et al., 2007a); (BUSKE et al., 2007b); (TIRABASSI et al., 2008); (TIRABASSI et al., 2009); (MOREIRA; VILHENA; BUSKE, 2009); (MOREIRA et al., 2009); (BUSKE et al., 2010)). Seguindo o mesmo procedimento adotado no m étodo GITT, esta t écnica resulta em um sistema de equaç ões diferenciais ordin árias (EDO), que é resolvido analiticamente aplicando-se a transformada de Laplace (no caso da GITT esta EDO é resolvida numericamente). A matriz dos coeficientes do sis-tema transformado é decomposta em seus autovalores e autovetores. Ap ós a diagonalizaç ão, essa matriz é invertida para se obter a soluç ão do sistema alg ébrico. Esta invers ão é anal´ıtica e sem custo computacional por ser uma matriz diagonalizada. Assim, a soluç ão anal´ıtica do problema transformado é finalmente encontrada. O m étodo GILTT é anal´ıtico no sentido de que nenhuma aproximaç ão é feita ao longo da derivaç ão da soluç ão, a n ão ser o truncamento de um somat ório infinito. (MOREIRA et al., 2009) apresentaram uma revis ão do m étodo GILTT para problemas de dispers ão atmosf érica unidimensionais e bidimensionais da equaç ão de advecç ão-difus ão.

O m étodo GILTT pode ser usado para a soluç ão de problemas em tr ês di-mens ões utilizando os m étodos conhecidos como GILTTG ou 3D-GILTT. No caso do m étodo GILTTG ((WORTMANN et al., 2005); (MOREIRA et al., 2006); (BUSKE et al., 2007a); (TIRABASSI et al., 2008); (BUSKE et al., 2008); (TIRA-BASSI et al., 2009); (MOREIRA; VILHENA; BUSKE, 2009); (MOREIRA et al.,

(21)

2009); (BUSKE et al., 2010)), o problema é resolvido com o uso do m étodo GILTT e, de forma a se obter a soluç ão tridimensional aproximada, assume-se que a pluma de poluentes tem distribuiç ão gaussiana na direç ão y. O m étodo 3D-GILTT surgiu em 2009 ((BUSKE et al., 2009); (BUSKE; VILHENA; MOREIRA, 2009); (BUSKE et al., 2011); (BUSKE et al., 2011); (BUSKE et al., 2012); (BUSKE et al., 2012); (VILHENA et al., 2012)), e resolve a equaç ão tridimensional de advecç ão-difus ão de forma totalmente anal´ıtica, ou seja, a t écnica GITT é apli-cada na vari ável y de forma a se obter um problema bidimensional cuja soluç ão

´e conhecida e obtida pelo m ´etodo GILTT bidimensional.

A import ância do estudo da dispers ão de poluentes sob condiç ões de vento fraco vem do fato que tais condiç ões ocorrem muito frequentemente e s ão de extrema import ância para epis ódios de poluiç ão. Nessas situaç ões os poluentes n ão conseguem viajar para longe da fonte e as áreas mais pr óximas da fonte s ão as mais afetadas.

V ários modelos foram desenvolvidos para descrever os processos de dis-pers ão em condiç ões de vento fraco ((CIRILLO; POLI, 1992); (SHARAN; YADAV, 1998); (OETTL; ALMBAUER; STURM, 2001); (BUSKE et al., 2007b); (MOREIRA et al., 2009)).

(CIRILLO; POLI, 1992) fizeram uma intercomparaç ão entre quatro modelos de difus ão semi-emp´ıricos em condiç ões de vento fraco e est áveis. O modelo que considera a difus ão ao longo do eixo da pluma a pequenas dist âncias da fonte de emiss ão e o modelo de pluma de Gaussiana foram os que apresenta-ram os melhores resultados. (SHARAN; YADAV, 1998) usaapresenta-ram um modelo de difus ão incluindo a difus ão longitudinal e coeficientes de difus ão vari áveis para descrever o processo de dispers ão em condiç ões de ventos fracos. Estes coefi-cientes de difus ão foram considerados como uma funç ão linear da dist ância da fonte. (OETTL; ALMBAUER; STURM, 2001) simularam concentraç ões ao n´ıvel do solo em condiç ões de vento fraco, utilizando modelo de dispers ão Lagrange-ana com passos de tempo aleat órios e par âmetros de intercorrelaç ão negativa para as componentes do vento horizontal. (BUSKE et al., 2007b) apresentaram um modelo Euleriano onde o problema foi resolvido analiticamente pelo m étodo GILTT em condiç ões de vento fraco. Nessas condiç ões deve ser considerada a difus ão longitudinal e coeficientes de difus ão dependentes da dist ância da fonte.

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3 METEOROLOGIA DA CAMADA LIMITE

3.1 Introduc¸ ˜ao

Geralmente a turbul ência consiste de turbilh ões de tamanho muito diferentes sobrepostos uns aos outros. As forças relativas a cada um desses turbilh ões de diferentes escalas definem o espectro da tubul ência. A maioria da turbul ência na camada limite é gerada por forçantes na superf´ıcie. O aquecimento solar da superf´ıcie durante dias ensolarados causa as termas de ar quente que ascen-dem na camada limite, essa termas s ão nada mais que grandes turbilh ões. O arraste friccional do ar soprando sobre a superf´ıcie provoca o desenvolvimento do cisalhamento do vento, que frequentemente torna-se turbulento. A turbul ência é que permite que a camada limite responda as mudanças nas forçantes de su-perf´ıcie. Essas forçantes podem incluir a emiss ão de poluentes, transfer ência de calor, arraste friccional, entre outros. No caso de aus ência da turbul ência acima da camada limite, o resto da atmosfera livre n ão responde as mudanças na superf´ıcie.

Entende-se por atmosfera a camada que vai desde a superf´ıcie at é aproxi-madamente120km de altitude. A parte mais baixa dessa camada é chamada de troposfera e se estende da superf´ıcie at é aproximadamente11km, onde pratica-mente todos os fen ômenos e processos do tempo se desenvolvem e onde todos os poluentes s ão liberados e dispersados.

S ó a parte mais baixa da troposfera, que vai da superf´ıcie at é aproximada-mente1500km é modificada pela superf´ıcie da Terra, sendo assim a parte mais importante da troposfera, sendo muito sens´ıvel as mudanças dos par âmetros mi-crometeorol ógicos, por exemplo, condiç ão de estabilidade. Essa camada é cha-mada de cacha-mada limite atmosf érica (CLA) ou cacha-mada limite planet ária (CLP). A camada limite pode ser definida como a parte da troposfera que é diretamente influ ênciada pela presença da superf´ıcie da terra e reponde as forçantes de su-perf´ıcie na escala de tempo de uma hora ou menos (STULL, 1988). A camada acima desta é conhecida como atmosfera livre, isso é ilustrado na figura a seguir (Figura 1). Indiretamente, toda troposfera pode mudar em resposta as carac-ter´ısticas da superf´ıcie, sendo que essa resposta pode ser lenta fora da camada limite.

A CLP se subdivide de acordo com os processos f´ısicos envolvidos (tur-bul ência t érmica durante o dia e tur(tur-bul ência mec ânica durante a noite), em mada limite superficial, camada de mistura, camada limite est ável noturna e ca-mada residual (Figura 2).

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Figura 1: Divis ˜ao da troposfera (STULL, 1988)

Figura 2: Evoluc¸ ˜ao temporal da CLP (STULL, 1988)

fluxos trubulentos e tensores variam menos do que 10% de suas magnitudes, independente se essa camada ´e parte de uma camada de mistura ou de uma camada limite est ´avel. Dentro dessa camada ainda pode ser identificada outra camada, chamada de camada interfacial, nos cent´ımetros mais baixos da su-perf´ıcie, onde o transporte molecular domina sobre o transporte turbulento.

A camada de mistura ´e provocada pelo aquecimento diurno da superf´ıcie da

terra devido a radiaç ão de onda curta recebida do sol. Nesta camada predomina a turbul ência t érmica, provocada pelo aquecimento da superf´ıcie. Essa camada é caracterizada por uma intensa mistura (inst ável), onde as termas de ar quente ascendem da superf´ıcie. Ela cresce por entranhamento ou mistura do ar e atinge uma profundidade m áxima no final da tarde. A turbul ência resultante nessa ca-mada tende a misturar uniformemente o calor, umidade e momento na vertical. Essa estrutura convectiva dura o dia todo e cessa com o p ôr-do-sol. Por volta de meia hora antes do p ôr-do-sol, as termas cessam (na aus ência de advecç ão de ar frio), permitindo que a energia cin ética turbulenta decaia.

A camada residual forma-se ap ´os o p ˆor do sol, mas suas caracter´ısticas

permanecem as mesmas da camada de mistura. Na aus ência de advecç ão, os poluentes dispersados na camada de mistura di ária v ão permanecer na camada limite residual durante a noite. A camada residual dura at é o in´ıcio do nascer do sol, onde começa o surgimento de uma nova camada de mistura. A cada dia, mais umidade pode ser evaporada para a camada de mistura e essa umidade vai ficar sendo retida na camada residual. Durante dias sucessivos o entranha-mento de ar úmido para a camada de mistura pode fazer surgir a formaç ão de nuvens. Esta camada n ão tem contato com o solo, pois ela se encontra acima

(24)

24

da camada limite est ável noturna. Assim, a camada limite residual n ão é afetada pelo transporte turbulento das propriedades relacionadas a superf´ıcie e portanto n ão tem uma definiç ão de camada limite.

A camada limite est ´avel noturna ocorre a noite, devido ao resfriamento

cau-sado pela perda radiativa da superf´ıcie da terra. Nesta camada predomina a tur-bul ência mec ância causada pelo cisalhamento do vento. A noite s ó sobrevivem os pequenos turbilh ões, portanto, a turbul ência na camada limite est ável noturna é menos intensa que na camada de mistura, consequentemente, os poluentes emitidos nessa camada n ão se dispersam para longe da fonte e relativamente pouco na vertical, e assim as áreas mais pr óximas s ão as mais afetadas. Um exemplo de poluiç ão na camada limite est ável noturna é sobre as grandes cida-des, provocada pelo escapamento de ve´ıculos automotores.

A seguir ser ão apresentadas as principais vari áveis micrometeorol ógicas que influenciam a remoç ão, o transporte e a transformaç ão f´ısico-qu´ımico dos polu-entes imersos na CLA.

3.2 Energia Cin ´etica turbulenta

A energia cin ética turbulenta (ECT) representa uma medida da intensidade da turbul ência, relacionada com o transporte de momento, calor e umidade. A energia cin ética do fluxo pode ser dividida em uma parte associada com o vento m édio e em uma parte associada com a turbul ência (energia cin ética turbulenta). Como estamos trabalhando em um fluido como o ar, é mais conveninete expres-sar a ECT por unidade de massa, ou seja:

e = 1 2(u

′2_{+ v}′2_{+ w}′2₎ ₍₆₎

Devido as r ápidas mudanças do vento na CLP a ECT m édia é mais represen-tativa do fluxo total, ou seja:

e = 1

2(u′2+ v′2+ w′2) (7) A ECT é uma das quantidades mais importante usada para estudar a tur-bul ência na camada limite. Escrevendo a equaç ão do balanço de energia cin ética, podemos balançar os termos de produç ão pelos termos de perda para determinar se a camada limite vai tornar-se mais turbulenta ou se a turbul ência vai decair na camada limite. Dias com vento forte e com forte aquecimento v ão ser fontes de geraç ão de turbul ência (turbul ência t érmica). Durante a noite a estabilidade est ática reprime a energia cin ética turbulenta, causando a r ápida diminuiç ão da mesma com a altura. Nesse caso, a turbul ência é produzida prin-cipalmente perto do solo pelo cisalhamento do vento (turbul ência mec ânica).

A partir da equaç ão progn óstica para vari ância de velocidade turbulenta, di-vidida por 2 e assumindo que x é a direç ão do vento m édio, homogeneidade ho-rizontal e negligenciando a subsid ência, podemos escrever a seguinte equaç ão para o balanço de ECT (STULL, 1988):

∂e ∂t = g θv (w′ θ′ v) − u ′ w′∂U ∂z − ∂(w′ e) ∂z − 1 ρ ∂(w′ p′ ) ∂z − ǫ (8)

(25)

onde g é a aceleraç ão da gravidade, θv é a temperatura potencial virtual, ρ é a

densidade do ar ep ´e a press ˜ao.

O primeiro termo do lado esquerdo da equaç ão acima representa o armaze-namento local ou tend ência de ECT. O primeiro termo do lado direito da equaç ão (8) é um termo de produç ão ou consumo de empuxo e isso depende do sinal do fluxo, o segundo termo representa a produç ão ou perda mec ânica, o terceiro termo representa o transporte turbulento de ECT, o quarto termo representa o termo de correlaç ão de press ão que descreve como a ECT é redistribu´ıda pelas perturbaç ões de press ão e o último termo representa a dissipaç ão viscosa de ECT, isto é, convers ão de ECT em calor.

Fisicamente o último termo da equaç ão (8) diz que a turbul ência vai tender a diminuir e desaparecer com o tempo. Sendo assim, a ECT n ão é uma quantidade conservativa. A camada limite pode ser turbulenta somente se h á processos f´ısicos espec´ıficos gerando a turbul ência.

3.3 Velocidade de fricc¸ ˜ao

A escala de velocidade chamada de velocidade de fricç ão u_∗ é uma medida da turbul ência mec ânica provocada pelo atrito do vento na superf´ıcie. Durante situaç ões onde a turbul ência é gerada ou modulada pelo cisalhamento do vento pr óximo a superf´ıcie do solo, a magnitude do tensor de Reynolds demonstra ser uma importante vari ável de escala. O tensor de Reynolds existe somente quando o fluido est á em movimento turbulento.

O fluxo vertical total de momento horizontal medido perto da superf´ıcie atua como um tensor e ´e chamado de tensor de Reynolds sendo dado por:

τxz = −ρu′ws′ (9)

e

τyz = −ρv′w′s (10)

Assim, a norma do tensor de Reynolds ´e dada por:

|τReynolds| = [τxz2 + τyz2 ]1/2 (11)

A velocidade de fricç ão é definida matem áticamente pela raiz quadrada da norma do tensor de Reynolds dividido pela densidade m édia do ar, ou seja:

u∗ = s |τReynolds| ρ (12) ou ainda: u∗ = q [u′ w′ s 2 + v′ w′ s 2 ]1/2 ₍₁₃₎

3.4 Velocidade Convectiva

O forte ciclo diurno de aquecimento solar cria um forte fluxo de calor da su-perf´ıcie da terra para o ar. A flutuabilidade associada com esse fluxo alimenta as termas.

(26)

26

Mesmo que o fluxo flutuante na superf´ıcie poderia ser usado diretamente como uma vari ável de escala, é mais conveniente gerar uma escala de veloci-dade usando o fluxo flutuante na superf´ıcie e a altura da CLA (h). Com isso tem-se a escala de velocidade conhecida como escala de velocidade de convecç ão livrew∗, tamb ém chamada de escala de velocidade convectivaw∗:

w_∗ = [gzi θv

(w′

θ′

v)s]1/3 (14)

Essa escala trabalha muito bem na CLC, onde a magnitude das flutuaç ões da velocidade vertical nas termas é da mesma ordem dew∗.

3.5 Comprimento de Monin-Obukhov

O comprimento de Monin-Obukhov L é um par âmetro de escala da camada de superf´ıcie. A camada de superf´ıcie é aquela regi ão onde os fluxos turbulentos variam menos do que10%de suas magnitudes com a altura.

Para encontrarmos uma relaç ão para o comprimento de Obukhov multiplica-se toda equaç ão (8) por (_−kz/u3_∗) e assume-se todos fluxos turbulentos iguais aos seus respectivos valores na superf´ıcie e foca-se somente no primeiro termo do lado direito da equaç ão (8).

A esse termo geralmente é atribu´ıdo o s´ımboloζque é definido como_{ζ ≡ z/L}, ondeL é o comprimento de Obukhov. Com isso temos:

ζ = z L = −kzg(w′ θ′ v)s θvu3_∗ (15) Assim o comprimento de Obukhov em funç ão da velocidade de fricç ão é dado por: L = −θvu 3 ∗ kg(w′ θ′ v)s (16) Uma forma alternativa do comprimento de Obukhov é escrever o mesmo em funç ão da velocidade convectiva, ou seja:

L = −ziu 3 ∗ kw3 ∗ (17) Uma interpretaç ão f´ısica do comprimento de Obukhov é que ele é proporcio-nal a altura acima da superf´ıcie onde a produç ão de turbul ência t érmica predo-mina sobre a produç ão de turbul ência mec ânica.

Com base no comprimento de Obukhov é poss´ıvel determinar a condiç ão de estabilidade da atmosfera, ou seja, é poss´ıvel saber se a atmosfera est á inst ável (L < 0), neutra (L = 0) ou est ável (L > 0).

3.6 Meandro do vento

Para condiç ões de vento (u > 2m/s) a dispers ão é principalmente governada pelo meandro do vento. Mesmo quando a estabilidade (durante a noite) reduz a dispers ão vertical, o meandro do vento ainda dispersa a pluma. (SAGENDORF;

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DICKSON, 1974) encontraram que sobre um terreno plano, a difus ão horizontal é realçada pelo meandro do vento.

O meandro do vento est á relacionado as oscilaç ões de baixa frequencia nas componentes horizontais do vento e é um fator importante em condiç ões de vento fraco. Essas oscilaç ões nas componetes u e v do vento s ão mais ou menos independentes das condiç ões de estabilidade na atmosfera, carac-ter´ısticas topogr áficas espec´ıficas e estaç ão do ano. Tamb ém exibem um com-portamento oscilat ório para as funç ões de autocorrelaç ão das componentes ho-rizontais do vento, sendo que é dif´ıcil definir a direç ão do vento m édio. Mesmo que o fen ômeno de meandro do vento possa existir na maioria das condiç ões de estabilidade atmosf érica, seu efeito é mais evidente durante condiç ões est áveis sob condiç ões de vento fraco.

N ão existe nenhuma teoria conclusiva dispon´ıvel que ajuda a explicar o me-andro do vento na atmosfera, em diferentes locais e diversas situaç ões meteo-rol ógicas. No presente modelo o efeito de meandro do vento n ão ser á conside-rado. Ser á somente considerado no modelo os par âmetros velocidade de fricç ão, velocidade convectiva e comprimento de Monin-Obukhov descritos acima.

N ão ser á f ácil inserir o meandro do vento no presente modelo, sendo que uma das dificuldades para isso é que passaremos a trabalhar com matrizes cheias e n ão mais com matrizes diagonais e o custo computacional aumentar á bastante. Al ém disso, a complexidade f´ısica e matem ática do problema aumentar á bas-tante.

(28)

4 FORMULAC

¸ ˜

AO MATEM ´

ATICA

Quando estamos interessados em simular algo, temos que ter em mente que estamos a procura de uma formulaç ão matem ática para representar o fen ômeno de interesse. Um modelo de dispers ão de poluentes é uma express ão ma-tem ática capaz de simular o comportamento de um determinado poluente na atmosfera. A seguir apresenta-se a formulaç ão matem ática capaz de simular a dispers ão de poluentes tridimensional totalmente anal´ıtica na atmosfera.

4.1 Soluç ão da equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional

pelo m ´etodo 3D-GILTT

A advecç ão e difus ão atmosf érica podem serem modeladas aplicando-se a equaç ão de conservaç ão de massa (equaç ão da continuidade). Considera-se uma esp écie gen érica C que se conserva na atmosfera e com isso tem-se:

U∂C ∂x + V ∂C ∂y + W ∂C ∂z = 0 (18)

onde, U, V e W representam as componentes das velocidades instant âneas do vento(m/s)nas direç ões x,yez respectivamente.

Na modelagem matem ática de difus ão e turbul ência, todas as vari áveis s ão geralmente expressadas como somas de suas m édias e flutuaç ões.

U = u + u′_{; V = v + v}′_{; W = w + w}′_{; C = c + c}′ ₍₁₉₎

Substituindo a equaç ão (19) na equaç ão (18) e utilizando as regras da decomposiç ão de Reynolds (ARYA, 2003), a equaç ão de advecç ão-difus ão tri-dimensional pode ser escrita como (STULL, 1988):

(u + u′₎∂c+ c′ ∂x + (v + v ′₎∂c+ c′ ∂y + (w + w ′₎∂c+ c′ ∂z = 0 (20)

Efetuando as derivdas e multiplicaç ões da equaç ão acima (20) tem-se: u∂c ∂x + u ∂c′ ∂x + u ′∂c ∂x + u ′∂c′ ∂x+ +v∂c ∂y + v ∂c′ ∂y + v ′∂c ∂y + v ′∂c′ ∂y+ +w∂c ∂z + w ∂c′ ∂z + w ′∂c ∂z + w ′∂c′ ∂z = 0 (21)

(29)

Agora aplicando a m ´edia de Reynolds, obt ´em-se: u∂c ∂x + u ∂c′ ∂x + u′ ∂c ∂x + u′ ∂c′ ∂x+ +v∂c ∂y + v ∂c′ ∂y + v′ ∂c ∂y + v′ ∂c′ ∂y+ +w∂c ∂z + w ∂c′ ∂z + w′ ∂c ∂z + w′ ∂c′ ∂z = 0 (22)

Sabe-se das regras de decomposic¸ ˜ao de Reynolds que: u∂c′ ∂x = 0; u′ ∂c ∂x = 0; v ∂c′ ∂y = 0 v′∂c ∂y = 0; w ∂c′ ∂z = 0; w′ ∂c ∂z = 0 (23)

Substituindo a equaç ão (23) na equaç ão (22) tem-se: u∂c ∂x + v ∂c ∂y + w ∂c ∂z = − ∂u′_c′ ∂x − ∂v′_c′ ∂y − ∂w′_c′ ∂z (24)

ondecdenota a concentraç ão m édia de um contaminante passivo eu,v ews ão as componentes cartesianas do vento m édio (m/s). Os termos u′_c′_, _v′_c′ _e _w′_c′

representam respectivamente o fluxo turbulento do contaminante (g/sm2₎ _nas

direc¸ ˜oes longitudinal, lateral e vertical.

A equaç ão (24) apresenta quatro vari áveis desconhecidas (os fluxos turbu-lentos e a concentraç ãoc) e por isso essa equaç ão n ão pode ser resolvida dire-tamente levando ao chamado problema de fechamento da turbul ência (STULL, 1988).

Uma das maneiras mais utilizada para solucionar o problema de fechamento da equaç ão de advecç ão-difus ão tridimensional (24) é baseada na hip ótese de transporte por gradiente (ou teoria K) (SEINFELD; PANDIS, 1997), assim:

u′_c′ _{= −K} x ∂c ∂x (25) v′_c′ _{= −K} y ∂c ∂y (26) w′_c′ _{= −K} z ∂c ∂z (27)

A hip ótese acima é v álida para fluxos turbulentos laminares, onde n ão ocor-rem fluxos de transporte contragradiente. Essa hip ótese torna-se question ável sobre certas condiç ões, principalmente quando os movimentos convectivos do-minam os processos de transporte e difus ão, por exemplo, na camada de mistura

(30)

30

convectiva. Substituindo as equaç ões (25), (26) e (27) na equaç ão (24), obt ém-se a equaç ão de advecç ão-difus ão (BLACKADAR, 1997), ou ém-seja:

u∂c ∂x + v ∂c ∂y + w ∂c ∂z = ∂ ∂x Kx ∂c ∂x + ∂ ∂y Ky ∂c ∂y + ∂ ∂z Kz ∂c ∂z (28) ondeKx,Ky eKzs ˜ao os coeficientes de difus ˜ao turbulenta longitudinal, lateral e

vertical, respectivamente.

Os tr ês termos do lado esquerdo da equaç ão (28) representam o transporte devido à advecç ão. J á os termos do lado direito da equaç ão (28) representam a difus ão turbulenta. Como estamos trabalhando com vento fraco, os termos que representam a difus ão turbulenta s ão mais importantes que os termos que representam a advecç ão.

A equaç ão (28) est á sujeita as seguintes condiç ões de contorno, ou seja, condiç ões de reflex ão:

Kx ∂c(x, y, z) ∂x = 0 em x = Lx (28a) Ky ∂c(x, y, z) ∂y = 0 em y = 0 e y = Ly (28b) Kz ∂c(x, y, z) ∂z = 0 em z = 0 e z = h (28c) E a condic¸ ˜ao de fonte:

u c(0, y, z) = Qδ(y − yo)δ(z − Hs) em x = 0 (28d)

em queQ é a intensidade da fonteg/s,h é a altura da CLP(m),Hs é a altura da

fonte (m), Lx e Ly s ˜ao os limites para longe da fonte no eixox e y,

respectiva-mente em(m)eδ é a funç ão delta de Dirac.

Neste trabalho assumimos que as velocidades v e w s ão nulas e ainda que o coeficiente de difus ão Ky tem depend ência somente na direç ão z (Ky′ = 0),

assim a equaç ão (28) é escrita da seguinte forma: −u∂c(x, y, z)_∂x + ∂ ∂x Kx ∂c(x, y, z) ∂x + Ky ∂2_{c(x, y, z)} ∂y2 + + ∂ ∂z Kz ∂c(x, y, z) ∂z = 0 (29)

Para resolver o problema da equaç ão (29) aplica-se a t écnica da transformada integral na vari ávely, ent ão, expande-se a concentraç ão do poluente como:

c(x, y, z) = N X n=0 cn(x, z)ζn(y) N 1 2 n (30) sendo queNn ´e dado por:

Nn =

Z Ly

0

(31)

Utiliza-se o problema auxiliar de Sturm-Liouville, dado pelo seguinte problema: ζ′′

n(y) + λ2nζn(y) = 0 em 0 < y < Ly (32)

ondeζn(y) é um conjunto de autofunç ões ortogonais dadas por:

ζn(y) = cos(λny) (33) em que: λn = nπ Ly (n = 0, 1, 2, ...) (34)

ondeλn ´e um conjunto de autovalores.

Substituindo a equac¸ ˜ao (30) na (29) tem-se:

− N X n=0 u N 1 2 n ∂cn(x, z) ∂x ζn(y) + N X n=0 1 N 1 2 n ∂ ∂x Kx ∂cn(x, z) ∂x ζn(y)+ + N X n=0 1 N 1 2 n Kycn(x, z)ζn′′(y) + N X n=0 1 N 1 2 n ∂ ∂z Kz ∂cn(x, z) ∂z ζn(y) = 0 (35)

Da equac¸ ˜ao (32), conclui-se que: ζ′′

n(y) = −λ2nζn(y) = 0 (36)

Agora substituindo a equaç ão (36) na equaç ão (35), tem-se:

− N X n=0 u N 1 2 n ∂cn(x, z) ∂x ζn(y) + N X n=0 1 N 1 2 n ∂ ∂x Kx ∂cn(x, z) ∂x ζn(y)− − N X n=0 1 N 1 2 n Kycn(x, z)λ2nζn(y) + N X n=0 1 N 1 2 n ∂ ∂z Kz ∂cn(x, z) ∂z ζn(y) = 0 (37)

O pr ´oximo passo ´e tomar momentos, ou seja, aplicar o operador integral (norma): 1 N 1 2 m Z Ly 0 ( )ζm(y)dy (38)

(32)

32

Substituindo o operador da equaç ão (38) na equaç ão (37) tem-se:

− N X n=0 u N 1 2 nN 1 2 m ∂cn(x, z) ∂x Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy− − N X n=0 1 N 1 2 nN 1 2 m λ2_ncn(x, z) Z Ly 0 Kyζn(y)ζm(y)dy+ + N X n=0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ ∂x Kx ∂cn(x, z) ∂x Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy+ + N X n=0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ ∂z Kz ∂cn(x, z) ∂z Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = 0 (39)

Define-se as integrais que aparecem na equac¸ ˜ao (39) por:

αn,m= Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy (40) γn,m= Z Ly 0 Kyζn(y)ζm(y)dy (41)

Substituindo as equaç ões (40) e (41) na equaç ão (39), tem-se:

− N X n=0 u N 1 2 nN 1 2 m ∂cn(x, z) ∂x αn,m− N X n=0 1 N 1 2 nN 1 2 m λ2_nγn,mcn(x, z)+ + N X n=0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ ∂x Kx ∂cn(x, z) ∂x αn,m+ + N X n=0 1 N 1 2 nN 1 2 m ∂ ∂z Kz ∂cn(x, z) ∂z αn,m= 0 (42)

As autofunç ões e autovalores possuem a propriedade de ortogonalidade que é definida da seguinte forma:

1 N 1 2 nN 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = 0, m 6= n 1, m = n (43)

(33)

A equaç ão (42) é escrita na forma matricial da seguinte forma: u      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1           ∂c0 ∂x ∂c1 ∂x .. . ∂cN ∂x      − Kx      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1           ∂2 c0 ∂x2 ∂2 c1 ∂x2 .. . ∂2 cN ∂x2      − K_x′      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1           ∂c0 ∂x ∂c1 ∂x .. . ∂cN ∂x      − Kz      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1           ∂2 c0 ∂z2 ∂2 c1 ∂z2 .. . ∂2 cN ∂z2      − K_z′      1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . 1           ∂c0 ∂z ∂c1 ∂z .. . ∂cN ∂z      + λ2_nKy      c0 c1 .. . cN      = 0 (44)

Ap ós as suposiç ões acima, o seguinte conjunto de N + 1 equaç ões de advecç ão-difus ão é obtido:

u∂cn(x, z) ∂x = ∂ ∂x Kx ∂cn(x, z) ∂x + ∂ ∂z Kz ∂cn(x, z) ∂z − λ2nKycn(x, z) (45)

O problema da equç ão (45) é resolvido pelo m étodo GILTT. Sabendo da bem conhecida soluç ão para o problema estacion ário com advecç ão na direç ão x, prop õe-se que a soluç ão do problema da equaç ão (45) na seguinte forma:

cn(x, z) = I

X

i=0

cn,i(x)ςi(z) (46)

ondeςi(z) é um conjunto de autofunç ões ortogonais, dadas por:

ςi(z) = cos(γiz) (46a)

em que:

γi =

iπ

h (i = 0, 1, 2, ...) (46b) ondeγi é um conjunto de autovalores. Da equaç ão (45) tem-se:

u∂cn(x, z) ∂x = K ′ x ∂cn(x, z) ∂x + Kx ∂2_c n(x, z) ∂x2 + +K′ z ∂cn(x, z) ∂z + Kz ∂2_c n(x, z) ∂z2 − λ 2 nKycn(x, z) (47)

(34)

34

Substituindo a equaç ão (46) na equaç ão (47), tem-se:

u I X i=0 c′ n,i(x) ςi(z) = Kx′ I X i=0 c′ n,i(x) ςi(z) + Kx I X i=0 c′′ n,i(x) ςi(z)+ +K′ z I X i=0 cn,i(x) ςi′(z) + Kz I X i=0 cn,i(x) ςi′′(z) − λ2iKy I X i=0 cn,i(x) ςi(z) (48)

Utilizando o problema auxiliar de Sturm-Liouville, dado pelo seguinte pro-blema:

ς′′

i(z) + λ2iςi(z) = 0 em 0 < z < h (49)

Da equac¸ ˜ao (49), tem-se: ς′′

i(z) = −λ2iςi(z) = 0 (50)

u I X i=0 c′ n,i(x) ςi(z) = Kx′ I X i=0 c′ n,i(x) ςi(z) + Kx I X i=0 c′′ n,i(x) ςi(z)+ +K′ z I X i=0 cn,i(x) ςi′(z) − Kzλ2i I X i=0 cn,i(x) ςi(z) − λ2iKy I X i=0 cn,i(x) ςi(z) (51)

O pr ´oximo passo ´e tomar momentos, ou seja, aplicar o operador integral (norma):

Z h

0

( )ςj(z)dz (52)

I X i=0 c′ n,i(x) Z h 0 u ςi(z) ςj(z) dz = I X i=0 c′ n,i(x) Z h 0 K′ xςi(z) ςj(z) dz+ + I X i=0 c′′ n,i(x) Z h 0 Kxςi(z) ςj(z) dz + I X i=0 cn,i(x) Z h 0 K′ zςi′(z) ςj(z) dz− −λ2i I X i=0 cn,i(x) Z h 0 Kzςi(z) ςj(z) dz − λ2i I X i=0 cn,i(x) Z h 0 Kyςi(z) ςj(z) dz (53)

(35)

ou − I X i=0 c′ n,i(x) Z h 0 u ςi(z) ςj(z) dz + I X i=0 c′ n,i(x) Z h 0 K′ xςi(z) ςj(z) dz+ + I X i=0 c′′ n,i(x) Z h 0 Kxςi(z) ςj(z) dz + I X i=0 cn,i(x) Z h 0 K′ zςi′(z) ςj(z) dz− −λ2 i I X i=0 cn,i(x) Z h 0 Kzςi(z) ςj(z) dz − λ2i I X i=0 cn,i(x) Z h 0 Kyςi(z) ςj(z) dz = 0 (54)

Reescrevendo a equaç ão (54) em notaç ão matricial, tem-se:

Y′′_{(x) + F.Y}′_{(x) + G.Y (x) = 0} ₍₅₅₎

onde,Y (x) é o vetor coluna cujas componentes s ão_{cn,i(x)}. A matriz F é dada

por:

F = B−1_.R _(55a)

e a matriz G ´e dada por:

G = B−1_.S _(55b)

As matrizesB,ReS s ˜ao dadas respectivamente por: bi,j = Z h 0 Kxςi(z) ςj(z) dz (55c) ri,j = − Z h 0 u ςi(z) ςj(z) dz + Z h 0 K′ xςi(z) ςj(z) dz (55d) si,j = Z h 0 K′ zςi′(z) ςj(z) dz − λ2i Z h 0 Kzςi(z) ςj(z) dz − λ2i Z h 0 Kyςi(z) ςj(z) dz (55e)

Pela condiç ão de fonte, substituindo a equaç ão (30) na (28d) e aplicando o operador da (38), tem-se: u N X n=0 cn(0, z) 1 N 1 2 n 1 N 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = Qδ(z − Hs) 1 N 1 2 m Z Ly 0 δ(y − y o)ζm(y)dy (56)

Sabe-se da literatura que: Z b

a δ(x − x

(36)

36

sendoa < xo < b,f (x)cont´ınua em xo. Portanto:

Z Ly

0 δ(y − y

o)ζm(y)dy = ζm(yo) (58)

Substituindo a equaç ão (46) e a equaç ão (58) na equaç ão (56), tem-se: u I X i=0 cn,i(0)ςi(z) 1 N 1 2 n 1 N 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = Qζi(yo) N 1 2 m δ(z − Hs) (59)

Substituindo a equaç ão (52) na equaç ão (59), tem-se: u I X i=0 cn,i(0) Z h 0 ςi(z)ςj(z)dz 1 N 1 2 n 1 N 1 2 m Z Ly 0 ζn(y)ζm(y)dy = Qζi(yo) N 1 2 m Z h 0 δ(z − H s)ςj(z)dz (60)

Da equac¸ ˜ao (57) conclui-se que: Z h

0 δ(z − H

s)ςj(z)dz = ςj(Hs) (60a)

Assim, executando-se as devidas substituiç ões e integraç ões na equaç ão (60), chega-se a seguinte condiç ão de fonte:

Y (0) = Qζi(yo)ςj(Hs) upLyh para ((i = j) e (m = n)) = 0 (61) Y (0) = Qζi(yo)ςj(Hs) u q Ly 2 h 2 para ((i = j) e (m = n)) 6= 0 (62) onde,Y (0) ´e o vetor coluna cujas componentes s ˜ao_{cn,i(0)}.

O pr óximo passo é aplicar a reduç ão de ordem na equaç ão (55), portanto, deve-se, definir novas vari áveis como se segue:

Z1(x) = Y (x) (63)

Z2(x) = Y′(x) (64)

Tomando a derivada da equaç ão (63) e da equaç ão (64), tem-se: Z′

1(x) = Y′(x) (65)

Z′

2(x) = Y′′(x) (66)

Igualando a equaç ão (64) a equaç ão (65), tem-se: Z′

(37)

Reorganizando os termos da equac¸ ˜ao acima, tem-se: Z′

1(x) − Z2(x) = 0 (68)

Substituindo as equaç ões (63), (64) e (66) na equaç ão (55), tem-se: Z′

2(x) + F.Z2(x) + G.Z1(x) = 0 (69)

As equaç ões (68) e (69) constituem um sistema de equaç ões matriciais de primeira ordem e podem serem escritas como:

Z′

1(x) + 0Z2′(x) + 0Z1(x) − Z2(x) = 0

0Z′

1(x) + Z2′(x) + G.Z1(x) + F.Z2(x) = 0 (70)

O sistema da equaç ão (70) pode ser escrito em notaç ão matricial da seguinte maneira: Z′ 1(x) Z′ 2(x) + 0 −I G F . Z1(x) Z2(x) = 0 0 (71) Da equaç ão (71) pode-se definir a seguinte EDO na forma matricial:

Z′_{(x) + H.Z(x) = 0} ₍₇₂₎

onde o vetorZ(x) ´e dado por:

Z(x) = col[Z1(x), Z2(x)] (72a)

A matriz H tem a forma de bloco dada por: H = 0 −I G F (72b) O problema da equaç ão (72) pode ser resolvido por transformada de Laplace e diagonalizaç ão. Aplicando a transformada de Laplace na equaç ão (72) obt ém-se:

sZ_{(s) − Z(0) + H.Z(s) = 0} (73) onde Z(s) denota a transformada de Laplace do vetor Z(x). Assumindo que a matrizH ´e n ˜ao-degenerada, pode-se escrever:

H = X D X−1 ₍₇₄₎

onde: D é a matriz diagonal de autovalores da matriz H; X é a matriz dos res-pectivos autovetores eX−1 _{é a matriz inversa de X.}

Portanto, substituindo a equaç ão (74) na equaç ão (73) obt ém-se:

sZ(s) − Z(0) + X D X−1_{. Z(s) = 0} ₍₇₅₎

Rearranjando os termos da equaç ão (75) obt ém-se:

(s I + X D X−1_{) . Z(s) = Z(0)} ₍₇₆₎

ondeI ´e a matriz identidade e lembrando que:

(38)

38

Substituindo a equaç ão (76a) na equaç ão (76) tem-se:

(s X X−1 _{+ X D X}−1_{) . Z(s) = Z(0)} ₍₇₇₎

Rearranjando os termos na equac¸ ˜ao (77) tem-se:

X(sI + D)X−1_{. Z(s) = Z(0)} ₍₇₈₎

A equaç ão (78) tem a seguinte soluç ão:

Z(s) = X(s I + D)−1_X−1_Z(0) ₍₇₉₎

Fazendo a transformada Inversa de Laplace (L)na equac¸ ˜ao (79) tem-se: Z(x) = X. L−1_{{(sI + D)}−1_}.X−1_.Z(0) ₍₈₀₎

A matriz(sI + D) ´e escrita como:

(sI + D) =      s + d1 0 . . . 0 0 s + d2 . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . s + dn      (81)

ondedn s ão os autovalores da matrizH (equaç ão (72b)). Da álgebra matricial, a

inversa de uma matriz diagonal é a inversa dos seus elementos, ent ão a matriz inversa da matriz diagonal(sI + D) é escrita como:

(sI + D)−1 ₌      1 s+d1 0 . . . 0 0 _s+d1₂ . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . _s+d1 n      (82)

Fazendo a invers ão da Transformada Laplace de(sI + D)−1 _{(equaç ão (82)) e}

usando os resultados padr ˜oes da teoria da transformada de Laplace, que podem ser encontrados tabelados em livros, obt ´em-se:

L−1_{{(sI + D)}−1_{} = G(x) =}      e−d1x 0 . . . 0 0 e−d2x . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . e−dnx      (83)

Finalmente, substituindo a equaç ão (83) na equaç ão (80), tem-se a seguinte soluç ão para o problema da equaç ão (72), ou seja:

Z(x) = X.      e−d1x 0 . . . 0 0 e−d2x . . . 0 .. . ... . .. ... 0 0 . . . e−dnx      .X−1_.Z(0) ₍₈₄₎ ou ainda: Z(x) = X . G(x) . X−1_{. Z(0)} ₍₈₅₎

(39)

Definindo:

M(x) = X . G(x) (85b)

e

ξ = X−1_{. Z(0)} _(85a)

Ent ão, a equaç ão (85) é escrita como:

Z(x) = M(x) ξ (86)

Podemos reescrever a soluç ão dada pela equaç ão (86) como: Z1(x) Z2(x) = M11(x) M12(x) M21(x) M22(x) ξ1 ξ2 (86a) Finalmente para determinar o vetor desconhecido ξ precisamos resolver o seguinte sistema linear resultante da aplicaç ão das condiç ões de contorno da soluç ão (72): M11(0) M12(0) M21(Lx) M22(Lx) ξ1 ξ2 = Z1(0) Z2(Lx) (86b) Substituindo os resultados da equaç ão (86) na equaç ão (46), obt ém-se a soluç ão do problema bidimensional (2D). Desde que cn(x, z) é conhecido da

resoluç ão da equaç ão (46), se est á a um passo de escrever a soluç ão tridimen-sional (3D) do problema da equaç ão (18), que é dado pela equaç ão (30).

Finalmente substituindo os resultados da soluç ão do problema 2D da equaç ão (46) na equaç ão (30), obt ém-se a soluç ão 3D-GILTT da equaç ão de advecç ão-difus ão.

Uma vez que a soluç ão do problema proposto é obtida precisamos ainda, afim de obter resultados num éricos, conhecer o perfil do vento e os coeficien-tes de difus ão. Para tanto na sequ ência ser ão introduzidas as parametrizaç ões da turbul ência. Tamb ém é preciso conhecer os dados experimentais que ser ão usados para validar o modelo e as formulaç ões dos ´ındices estat´ısticos que s ão usados para avaliar a performance do modelo.