Lista 1 - Economia e Temas Atuais - EMAP/FGV - 2S2012 Teoria dos Jogos
Professor: Angelo Polydoro
1. Defina os seguintes conceitos e explique com suas palavras:
Solu¸c˜ao: Ver as defini¸c˜oes nas notas de aula e nas referˆencias bibliogr´aficas. 2. Responda Verdadeiro ou Falso e justifique:
(a) Em um equil´ıbrio em estrat´egias mistas o jogador ´e indiferente entre todas as es-trat´egias puras.
Solu¸c˜ao: Falso. Em um equil´ıbrio em estrat´egias mistas o jogador est´a indiferente entre todas as estrat´egias com probabilidade positiva (no suporte da estrat´egia mista). Como contra-exemplo, considere um jogo do tipo ”matching pennies” (jogo (d) do exerc´ıcio 3) e adicione uma estrat´egia estritamente dominada. Claramente a estrat´egia estritamente dominada tem payoff menor do que as duas estrat´egias que podem ser escolhidas na estrat´egia mista.
(b) O conjunto de equil´ıbrios de Nash ´e o mesmo depois de eliminarmos estrat´egias fra-camente dominadas.
Solu¸c˜ao Falso. A defini¸c˜ao de equil´ıbrio de Nash diz que ui(s∗i, s ∗
−i) ≥ ui(ˆsi, s∗−i) para todo
ˆ
si ∈ Si. Assim, pode existir uma a¸c˜ao fracamente dominada que tenha o mesmo
payoff em s∗−i e que fa¸ca parte de um outro equil´ıbrio de Nash. Veja o jogo (b) do exerc´ıcio 3.
(c) N˜ao existe equil´ıbrio de Nash em estrat´egias estritamente dominadas.
Solu¸c˜ao: Verdadeiro. Suponha por contradi¸c˜ao que existe um equil´ıbrio de Nash s∗, onde s∗i ´e estritamente dominada para o jogador i. Se uma estrat´egia s∗i ´e estritamente dominada ent˜ao existe uma outra estrat´egia ˆsi tal que ui(ˆsi, s∗−i) > ui(s∗i, s∗−i) o que
contradiz a defini¸c˜ao de equil´ıbrio de Nash.
(d) Todo jogo finito em forma normal possui equil´ıbrio de Nash em estrat´egias puras. Solu¸c˜ao: Falso. Considere o jogo (d) do exerc´ıcio 3.
(e) O procedimento de elimina¸c˜ao iterada de estrat´egias fracamente dominadas sempre elimina alguma estrat´egia.
Solu¸c˜ao Falso. Como contra-exemplo considere, novamente, o jogo (d) do exerc´ıcio 3.
3. Os jogos abaixo caracterizam a classe de jogos 2x2, i.e. todos os outros jogos s˜ao obtidos como uma transforma¸c˜ao linear no payoff de cada agente. Calcule o conjunto de equil´ıbrios de Nash de cada um deles.
(a) s1 2 s22 s1 1 1,1 1,0 s21 0,0 0,1
Solu¸c˜ao: NE: (s1 1, s12). (b) s1 2 s22 s11 1,1 0,1 s2 1 0,1 0,0
Solu¸c˜ao: NE: (s1
1, s12) e (s21, s22). (c) s1 2 s22 s1 1 1,1 1,0 s21 1,0 0,0
Solu¸c˜ao: NE: (s11, s12) e (s21, s12). (d) s1 2 s22 s1 1 1,0 0,1 s2 1 0,1 1,0
Solu¸c˜ao: NE: (12s1 1+ 1 2s 2 1, 1 2s 1 2+ 1 2s 2 2). (e) s12 s22 s1 1 1,1 0,0 s2 1 0,0 1,1
Solu¸c˜ao: NE: (s11, s12) e (s21, s22).
4. Em um conflito, dois generais possuem 4 divis˜oes que devem ser distribu´ıdas entre 3 ter-rit´orios. Vence a batalha por um territ´orio o ex´ercito que possuir mais divis˜oes. Caso o n´umero de divis˜oes em um territ´orio dos dois ex´ercitos for igual ningu´em ganha a batalha. Vence a guerra o ex´ercito que possuir mais territ´orios.
(a) Escreva as estrat´egias de cada general.
Solu¸c˜ao: Todos os n´umeros naturais com 3 algarismos cuja soma ´e 4:
Si = {004, 013, 022, 031, 040, 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400},
onde o primeiro algarismo representa o n´umero de divis˜oes no primeiro territ´orio, o segundo d´ıgito o n´umero de divis˜oes no segundo territ´orio e o terceiro d´ıgito sobre o terceiro territ´orio.
(b) Esse jogo possui alguma estrat´egia estritamente dominante? Fracamente dominante? Solu¸c˜ao: N˜ao. Suponha que o outro general escolheu a estrat´egia: abc. Para vencer a guerra o general pode deixar o territ´orio com mais divis˜oes desquarnecido: k = 0 para arg max{a, b, c} e garantir que o n´umero de divis˜oes nos outros territ´orios ´e sempre maior. Isso ´e poss´ıvel, pois por hip´otese max{a, b, c} ≥ 2. Assim, se um general soubesse a estrat´egia do seu oponente ele sempre seria capaz de vencer a guerra. 5. Duas empresas de cerveja est˜ao considerando investir em propaganda, mas o lucro esperado
depende se o seu competidor estiver investindo em propaganda tamb´em. O payoff do jogo em milh˜oes de reais ´e dado por:
Investe N˜ao Investe
Investe 2,2 10,0
(a) Qual o conjunto de equil´ıbrio(s) de Nash desse jogo?
Solu¸c˜ao: A estrat´egia investir ´e estritamente dominante, logo (”investir”,”investir”) ´e o ´unico equil´ıbrio de Nash desse jogo.
(b) Se as empresas pudessem votar contra ou a favor da proibi¸c˜ao de propagandas sobre cerveja qual seria a escolha delas? Comente.
Solu¸c˜ao: Caso o investimento em propaganda de cerveja fosse proibido as firmas n˜ao teriam op¸c˜ao sen˜ao n˜ao investir e terminariam com payoff (5,5) respectivamente. Esse payoff ´e maior do que o payoff (2,2) no ´unico equil´ıbrio. Ent˜ao cada firma votaria a favor da proibi¸c˜ao.
6. Duas empresas est˜ao considerando investir em um projeto. Elas podem decidir inve-stir ou n˜ao. O payoff das empresas nesse jogo ´e dado de acordo com a matriz abaixo:
Investir N˜ao Investir Investir θ,θ θ − 1,0 N˜ao Investir 0,θ-1 0,0
Para cada valor de θ ∈ R, ache o conjunto de equil´ıbrios de Nash.
Solu¸c˜ao Primeiro checamos a possibilidade de existirem equil´ıbrios em estrat´egias puras. Suponha que a firma 2 (que escolhe uma coluna) escolhe a estrat´egia investir. A firma 1 decidir´a investir se θ ≥ 0 e decidir´a n˜ao investir caso θ ≤ 0. Por simplicidade considere o caso onde (θ < 0). Nesse caso a estrat´egia ”n˜ao investir” ´e estritamente dominante. Assim, (n˜ao investir, n˜ao investir) ´e um equil´ıbrio de Nash em estrat´egias puras.
Agora considere o primeiro caso: Se θ ≥ 0 a estrat´egia (investir, investir) ´e sempre um equil´ıbrio de Nash em estrat´egias puras, pois investir para a firma 2 tamb´em ´e ´otimo dado que a primeira firma est´a investindo. Para esse conjunto de valores de θ existe a possibilidade da estrat´egia (”n˜ao investir”,”n˜ao investir”) ser um equil´ıbrio de Nash em estrat´egias puras. Basta θ ≤ 1. Para θ > 1 investir ´e estritamente dominante, ent˜ao a estrat´egia (”n˜ao investir”,”n˜ao investir”) n˜ao ser´a um equil´ıbrio de Nash.
O pr´oximo passo ´e checar a possibilidade da existˆencia de equil´ıbrios de Nash em es-trat´egias mistas. Suponha que a firma 2 escolhe as estrat´egias investir e n˜ao investir com probabilidade (p, 1 − p) respectivamente. Em um equil´ıbrio de Nash em estrat´egias mistas a firma deve estar indiferente entre as as suas duas estrat´egias puras, ent˜ao:
pθ + (1 − p)(θ − 1) = p × 0 + (1 − p) × 0 pθ + θ − 1 − pθ + p = 0 p = 1 − θ.
Assim, para cada θ ∈ (0, 1) temos adicionalmente um equil´ıbrio de Nash em estrat´egias mistas onde as firmas escolhem (investir, n˜ao investir) com probabilidade (θ, 1 − θ). Em resumo: para θ < 0 temos (n˜ao investir, n˜ao investir) como equil´ıbrio de Nash, para θ > 1 temos (investir, investir), θ ∈ {0, 1} temos (investir, investir) e (n˜ao investir, n˜ao investir) como equil´ıbrio em estrat´egias puras e finalmente caso θ ∈ (0, 1) temos (investir, investir) e (n˜ao investir, n˜ao investir) como equil´ıbrios em estrat´egias puras e um equil´ıbrio em estrat´egias mistas onde cada firma escolhe a estrat´egia investir e n˜ao investir com probabilidade (θ, 1 − θ) respectivamente.
7. Mostre que o conjunto de equil´ıbrios de Nash n˜ao se altera se o payoff sofrer uma trans-forma¸c˜ao afim vi(s) = αui(s) + c, onde α, c > 0.
Solu¸c˜ao: Suponha que uma estrat´egia s∗ seja um equil´ıbrio em estrat´egias puras. O caso onde o equil´ıbrio ´e em estrat´egias mistas ´e an´alogo. Segundo a defini¸c˜ao de equil´ıbrio de Nash ui(s∗i, s
∗
−i) ≥ ui(ˆs∗i, s ∗
−i) para cada ˆsi ∈ Si e jogador i. Se multiplicarmos ui por uma
constante positiva α ou somarmos uma constante c a desigualdade n˜ao se altera, pois essa transforma¸c˜ao afeta os dois lados da desigualdade e pode ser cancelada. Ou seja, qualquer transforma¸c˜ao afim da fun¸c˜ao utilidade vi(s) = αui(s) + c, onde α, c > 0 n˜ao altera a
desigualdade que define um equil´ıbrio. O que importa para os jogadores n˜ao ´e o payoff em si, mas a preferˆencia sobre cada uma de suas estrat´egias dado a estrat´egia dos outros jogadores.
8. Uma autoridade p´ublica quer financiar um bem p´ublico a partir da contribui¸c˜ao volunt´aria dos agentes. Existem N agentes na sociedade e o projeto vale θi ∈ R+para o agente i. Se o
projeto for constru´ıdo a utilidade de cada agente ser´a θi− ti, onde ti ´e a contribui¸c˜ao desse
agente. Se o projeto n˜ao for constru´ıdo, a utilidade de cada agente ´e zero. A autoridade p´ublica utiliza a seguinte regra: Ele pede para cada agente dizer quanto vale o projeto para si e se a soma do valor do projeto para cada agente for maior do que o custo de construir o projeto c, ent˜ao o bem ´e provido. Seja si ∈ R+ o an´uncio do agente i. Para um vetor de
an´uncios s = (s1, · · · , sN) a contribui¸c˜ao do agente i ´e: ti(s) = c −Pj6=isj. Mostre que a
estrat´egia si = θi ´e fracamente dominante. 1
Solu¸c˜ao Para mostrar que si = θi ´e fracamente dominante temos que mostrar que ui(θi, s−i) ≥
ui(ˆsi, s−i) para cada ˆsi ∈ Si e s−i ∈ S−i.
Caso P
j6=isj ≥ c o projeto ´e constru´ıdo independente de si, ent˜ao a utilidade do agente i
´
e θi− ti(s). O agente n˜ao tem como aumentar a sua utilidade reportando outro valor para
si.
Quando P
j6=isj < c temos dois casos, pois dependendo do seu an´uncio o projeto ser´a
constru´ıdo ou n˜ao. Assim, se o agente anunciar si < c − Pj6=isj o projeto n˜ao ser´a
constru´ıdo e a sua utilidade ser´a 0. Se si ≥ c −Pj6=isj o projeto ser´a constru´ıdo e o agente
ter´a utilidade θi− ti∗ s). O que resta definir ´e quando o projeto deve ou n˜ao ser constru´ıdo
sob a perspectiva do agente i. Caso 1: θi > c −Pj6=isj. Ao escolher si < c −Pj6=isj o
agente i tem utilidade 0, caso si = θi ele tem utilidade θi− c +Pj6=isj o que ´e pelo menos
0.
Caso 2: θi < c −Pj6=isj. Se o agente anunciar si = θi o projeto n˜ao ´e constru´ıdo e ele
tem utilidade 0. Para todo an´uncio si ≥ θi tal que o projeto ´e constru´ıdo o agente tem
utilidade θi − c +
P
j6=isj o que ´e menor do que 0.
9. Considere um jogo com dois jogadores e espa¸co de estrat´egias Gi = [0, 1] e fun¸c˜ao payoff
sim´etrica definida como:
ui(x, y) = x if x < 1,
ui(1, y) = 0 if y < 1,
ui(1, 1) = 1.
(a) Calcule o(s) equil´ıbrio(s) de Nash desse jogo.
Solu¸c˜ao: Primeiro note que toda estrat´egia desse jogo ´e estritamente dominada exceto 1. Ent˜ao a estrat´egia (1, 1) ´e o ´unico equil´ıbrio em estrat´egias puras.
Elimine do conjunto de estrat´egias dos jogadores Gi\{1, x}, onde x < 1.
(b) Escreva o jogo resultante na forma normal. Solu¸c˜ao:
1 x
1 1,1 0,x x x,0 x,x
(c) Calcule o(s) equil´ıbrio(s) de Nash para esse jogo. Esse jogo possui dois equil´ıbrios de Nash em estrat´egias puras: (1, 1) e (x, x), e um equil´ıbrio em estrat´egias mistas (x, 1 − x).
(d) O conjunto de equil´ıbrios de Nash ´e o mesmo do item (a)? Comente.
Solu¸c˜ao: N˜ao. No jogo original (x, x) n˜ao era um equil´ıbrio de Nash, por exemplo. Dado que x foi escolhido arbitrariamente, esse exerc´ıcio mostra que o processo de elimina¸c˜ao iterada de estrat´egias estritamente dominadas ´e ”ordem-dependente”, ou seja a ordem em que as estrat´egias s˜ao eliminadas altera a previs˜ao sobre os poss´ıveis equil´ıbrios do jogo.
10. Calcule o equil´ıbrio de Nash perfeito em sub-jogos para o jogo na forma extensiva abaixo, para cada x ∈ R.
1
D
E
E
D E
D
(-‐1,x)
(1,0) (0,-‐1) (-‐1,0)
2
2
Solu¸c˜ao: Vamos come¸car pelo subjogo que se inicia quando o jogador 1 escolhe ”E”. Nesse subjogo o jogador 2 escolher´a ”E” se x ≥ 0 e ”D” se x ≤ 0.
No subjogo que se inicia quando o jogado 1 escolhe ”D” o jogador 1 escolhe ”D”.
Se x for tal que ”E” seja escolhido pelo jogador 2, ent˜ao o jogador 1 escolhe entre −1, se escolher ”E” e −1 se escolher ”D”. Ent˜ao (E, ED) e (D, ED) s˜ao EPNS.
Se x for tal que ”D” seja escolhido pelo jogador 2, o jogador 1 decide entre 1 se escolher ”E” e −1 se escolher ”D”. Ent˜ao o ´unico ENPS ´e (E, DD).
11. Suponha um jogo dinˆamico de informa¸c˜ao completa composto por dois jogadores que escolhem sua a¸c˜ao em sequˆencia. O primeiro jogador tem duas op¸c˜oes: terminar o jogo ou permitir que o segundo jogador jogue. Se o jogador 1 terminar o jogo o payoff ´e de 1 para ambos. O jogador 2, por outro lado, pode escolher entre terminar o jogo e receber o payoff igual a 1 para ambos os jogadores ou deixar que o jogo termine naturalmente e resulte em um payoff de 2 para ambos.
(a) Escreva o jogo na forma normal e calcule o(s) equil´ıbrio(s) de Nash. Solu¸c˜ao:
T P
T 1 1
P 1 2
Esse jogo possui dois equil´ıbrios de Nash: (T, T ) e (P, P ). (b) Desenhe esse jogo na forma extensiva.
1
T
T
P
(1,1)
2 P
(1,1)
(2,2)
Solu¸c˜ao:(c) Calcule o equil´ıbrio de Nash perfeito em sub-jogos. Solu¸c˜ao: ENPS (P, P ).
(d) Suponha que existam outros jogadores (K) al´em do jogador 1 que s˜ao r´eplicas do jogador 2. Eles podem escolher entre terminar o jogo ou deixar que o pr´oximo jogador escolha. A estrutura de payoff ´e a mesma: 1 para todos se o jogador decidir terminar o jogo e o ´ultimo jogador tem a possibilidade de deixar o jogo terminar naturalmente e obter o payoff de 2 para todos. Qual o equil´ıbrio de Nash perfeito em sub-jogos? Solu¸c˜ao: A extens˜ao do jogo descrita acima n˜ao muda a decis˜ao ´otima de cada jogador no seu
conjunto de informa¸c˜ao, assim o EPNS=(P1, P2, · · · , PK).
(e) Caso exista uma probabilidade > 0 de que todos os outros jogadores v˜ao desviar da estrat´egia ´otima no equil´ıbrio do item anterior, qual a estrat´egia ´otima do jogador 1 na medida em que K aumenta?
Solu¸c˜ao: Se cada jogador com exce¸c˜ao do jogador 1 tem uma probabilidade de errar, o jogador 1 decide terminar o jogo se:
D: 1 ≥ 2(1 − )K: T.
Na medida em que K ´e maior do que algum k se torna ´otimo terminar o jogo ao inv´es de permitir que os outros jogadores participem sob o ponto de vista do jogador 1.
12. Considere um monopolista operando em um mercado de bens dur´aveis onde os consumi-dores vivem por dois per´ıodos t = 1, 2. A demanda inversa nesse mercado ´e:
p = 100 − q.
N˜ao existe custo de produ¸c˜ao do bem e este n˜ao deprecia de um per´ıodo para o outro. (a) Suponha que o monopolista possa alugar o bem dur´avel por um per´ıodo somente,
ou seja, o consumidor paga pR e entrega o bem no final do per´ıodo e este pode ser alugado novamente no per´ıodo t = 2. Calcule o pre¸co ´otimo, a quantidade alugada em cada per´ıodo e o lucro do monopolista em cada per´ıodo e no total.
Solu¸c˜ao: Se o monopolista pode alugar o bem, e recebˆe-lo do consumidor, ele se defronta com a fun¸c˜ao demanda inversa apresentada em ambos os per´ıodo. Ent˜ao a quantidade ´
otima ´e tal que maximiza a receita total: max qt≥0 P (qt)qt = max qt≥0 (100 − qt)qt foc: 100 − 2qt = 0 qt∗ = 50. O pre¸co ´otimo de aluguel ´e pR = 100 − q∗
t = 50 e o lucro em cada per´ıodo πtR =
50 × 50 = 2500.
(b) Agora considere o problema de um monopolista que vende o produto. Ap´os vender q1 unidades no primeiro per´ıodo a demanda residual ´e dada por:
p2 = 100 − q2− q1.
Calcule o pre¸co ´otimo, a quantidade vendida e o lucro em cada per´ıodo. Compare o lucro total da firma com a resposta do item anterior.
Solu¸c˜ao: Resolvendo por indu¸c˜ao retroativa. Fixe uma quantidade q1 vendida no per´ıodo 1. A decis˜ao ´otima do monopolista ´e tal que:
max q2≥0 (100 − q2− q1)q2 foc: 100 − 2q2− q1 = 0 q2∗ = R(q1) = 50 −q1 2.
Note sue a demanda inversa no primeiro per´ıodo se altera. O consumidor ir´a comprar o produto no primeiro per´ıodo pelo pre¸co 1 (e usar o produto por dois per´ıodos) se:
2(100 − q1) − p1 > (100 − q1) − 50 −
q1 2.
Como em qualquer problema de barganha o monopolista ir´a escolher a quantidade de forma a tornar o consumidor indiferente entre comprar em cada per´ıodo.
2(100 − q1) − p1 = (100 − q1) − 50 −
q1 2.
Resolvendo para p1:
p1 = 150 −
3q1 2 .
Agora resta maximizar o lucro do monopolista em fun¸c˜ao de q1: max q1≥0 π1+ π2 = max q1≥0 150 − 3q1 2 q1+ 50 − q1 2 2 .
Resolvendo a condi¸c˜ao de primeira ordem para q1obtemos: q1S = 40, qS2 = 50−40/2 = 30, pS2 = 50 − 40/2 = 30 e pS1 = 100 − 40 + 30 = 90. O lucro total do monopolista que vende o seu produto ser´a πS = 4500 < 5000 = πR. Quando o monopolista n˜ao pode
alugar o seu produto ele n˜ao consegue se comprometer a cobrar o pre¸co de aluguel em ambos os per´ıodos, pois ocorre uma redu¸c˜ao na demanda. Esse problema ´e conhecido como Coase Conjecture.
13. Para um mercado composto por duas firmas, sem custo de produ¸c˜ao e demanda inversa dada por:
p = 10 − q pede-se:
(a) O pre¸co, a quantidade e o lucro no equil´ıbrio de Cournot. Solu¸c˜ao: A quantidade ´e qc= 103 , o pre¸co pc= 103 e o lucro πic= 1009 .
(b) O pre¸co, a quantidade e o lucro no equil´ıbrio de Bertrand. Solu¸c˜ao: O pre¸co ´e pb = 0, a quantidade qb = 10 e lucro πb = 0.
(c) O pre¸co, a quantidade e o lucro no equil´ıbrio de Stackelberg. Solu¸c˜ao: As quantidades s˜ao qs
1 = 10 2 , q s 2 = 10 4 o pre¸co p s = 10 4 e
(d) Compare a resposta dos itens (a)-(c) e interprete.
Solu¸c˜ao: O pre¸co ´e maior no equil´ıbrio de Cournot do que o de Bertrand em fun¸c˜ao de uma maior quantidade no equil´ıbrio de Stackelberg vis a vis o do equil´ıbrio de Cournot. Essas mudan¸cas na quantidade ocorrem com uma deteriora¸c˜ao da quantidade pro-duzida pela firma 2 e em consequˆencia a sua lucratividade. A firma 1 est´a melhor no equil´ıbrio de Stackelberg do que no equil´ıbrio de Bertrand e o oposto ocorre para a outra firma.
As duas firmas est˜ao em uma situa¸c˜ao pior no equil´ıbrio de Bertrand do que no de Cournot ou de Stackelberg.
14. Em um mercado de produtos diferenciados composto por dois produtos e duas firmas a demanda ´e dada por:
q1 = 168 − 2p1+ p2
Se as empresas competirem segundo um modelo de Stackelberg fixando pre¸cos (firma 1 e depois a firma 2), qual o pre¸co em equil´ıbrio? Calcule tamb´em a quantidade produzida em equil´ıbrio e o lucro de cada firma.
Solu¸c˜ao: Resolvendo por indu¸c˜ao retroativa. Fixe o pre¸co escolhido pela firma 1 no primeiro per´ıodo em p1. A segunda firma escolhe p2 tal que:
max
p2≥0
(168 + p1− 2p2)p2.
Achando a condi¸c˜ao de primeira ordem e resolvendo para p2 encontramos: p2 = R(q1) = 168+p1
4 . Levando isso em considera¸c˜ao a primeira firma resolve os seguinte problema:
max q1≥0 168 − 2p1+ 168 + p1 4 p1.
Encontrando a condi¸c˜ao de primeira ordem e resolvendo para p1 obtemos: ps1 = 60 e
substituindo na resposta ´otima da segunda firma ps2 = 57. Substituindo na equa¸c˜ao de demanda, qs
1 = 105 e qs2 = 114. O lucro das firmas ser´a πs1 = 60 × 105 = 6300 e π2s =
57 × 114 = 6498.
15. Considere uma ind´ustria composta por 3 firmas onde a demanda inversa no mercado ´e dada por:
p = 120 − Q,
onde Q = q1+ q2+ q3. Calcule a quantidade em equil´ıbrio nesse mercado se as empresas
se sucederem na escolha da quantidade a ser produzida, e.g. primeiro a firma 1 escolhe a quantidade, depois a firma 2 e por fim a firma 3. Qual a quantidade total produzida e o lucro de cada firma?
Solu¸c˜ao: Para resolver esse problema utilizamos a mesma t´ecnica do modelo de Stackelberg padr˜ao. Primeiro resolvemos o problema da 3 firma em fun¸c˜ao da quantidade escolhida pelas outras 2, depois o da 2 firma em fun¸c˜ao da quantidade da 1 e por fim a decis˜ao ´otima da 3 firma. Assim, a terceira firma resolve:
max
q3≥0
(120 − q1 − q2− q3)q3
Encontrando a condi¸c˜ao de primeira ordem e resolvendo para q3encontramos q3 = R(q1, q2) = 120−q1−q2
2 . A decis˜ao ´otima da segunda firma, levando em considera¸c˜ao a decis˜ao da terceira
firma ´e a solu¸c˜ao do problema: max q2≥0 120 − q1− q2− 120 − q1− q2 2 q2 foc: 120 − q1−120 − q1 2 − q2 = 0 q2 = 120 − q1− 120 − q1 2 q2 = 60 − q1 2.
Como a decis˜ao ´otima da firma 1 leva em considera¸c˜ao a decis˜ao ´otima das duas outras firmas substituiremos a decis˜ao ´otima da firma 2 na escolha da firma 1:
q3 = 60 − q1 2 − 1 2 60 − q1 2 = 60 − 30 −q1 2 + q1 4 = 30 − q1 4 O problema da firma 1 se torna:
max q1≥0 120 − q1− 60 − q1 2 −30 − q1 4 q1 max q1≥0 30 − q1 4 q1 foc: 30 − 2q1 4 = 0 q1 = 60
Substituindo na decis˜ao ´otima da firma 2 obtemos q2 = 60−60/2 = 30, q3 = 30−60/4 = 15.
O pre¸co em equil´ıbrio ser´a p = 120 − 60 − 30 − 15 = 15. O lucro das firmas que tomam a sua decis˜ao de produ¸c˜ao primeiro conseguem obter um lucro maior.
