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Instituto Federal do Espírito Santo
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática
Anderson Antonio Alves Cesário Antonio Henrique Pinto
A Modelagem Matemática na construção do conceito
de Função
Série Guia Didático de Matemática – No 31
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo Vitória, Espírito Santo
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FICHA CATALOGRÁFICA
Copyright @ 2015 by Instituto Federal do Espírito Santo
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respectivos autores. Observação:
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5 Instituto Federal do Espírito Santo
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IFES - CAMPUS VITÓRIA RICARDO PAIVA
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MÁRCIA REGINA PEREIRA LIMA Diretora de Pesquisa e Pós-graduação
HUDSON LUIZ COGO Diretor de Ensino SERGIO CARLOS ZAVARIS
Diretor de Extensão ROSENI DA COSTA SILVA PRATTI
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MINICURRÍCULO DOS AUTORES
Anderson Antonio Alves Cesário. Mestrando em Educação Matemática
pelo Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, desenvolvendo pesquisa em Modelagem na Educação Matemática. Membro do Grupo de Estudo e Pesquisa em Ensino Médio e Educação Profissional. Especialista em Ensino de Matemática pela Faculdade da Região dos Lagos. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Professor do Instituto Federal do Espírito Santo.
Antonio Henrique Pinto. Professor Titular no Instituto Federal de
Educação do Espírito Santo. Doutorado em Educação pela Universidade Federal de Campinas. Mestrado em Educação pela Universidade Federal do Espírito Santo. Especialista em Informática na Educação pela Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal do Espírito Santo. Pesquisador e Coordenador, do Grupo de Estudo e Pesquisa em Ensino Médio e Educação Profissional. Coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo - Vitória (2007 à 2012). Atuação profissional enfatiza as áreas de Formação de Professores de Matemática, Currículo e Práticas Pedagógicas no Ensino de Matemática, História da Educação e Educação Profissional. Trabalhos publicados sobre formação de professores, currículo e história da educação.
7 À minha família e colegas de trabalho pelo companheirismo, incentivo, paciência e apoio.
Aos meus alunos, pelo apoio e dedicação nas atividades.
Ao meu orientador Antonio Henrique, pela paciência e motivação.
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Sumário
APRESENTAÇÃO ... 9
INTRODUÇÃO ... 10
MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ... 12
A ATIVIDADE DE MODELAGEM REALIZADA ... 13
Na Horticultura ... 19
No Laboratório de Informática... 25
Atividades propostas a partir dos gráficos produzidos ... 31
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APRESENTAÇÃO
Este guia didático é destinado a professores que queiram inovar na forma de abordagem do conceito de função através da Modelagem Matemática. Apresentar aos estudantes este rico instrumento matemático para interpretação de fenômenos em consonância com os motivos que determinaram o surgimento do conceito de acordo com a perspectiva de Caraça (1984): a necessidade de analisar fenômenos, identificar regularidades, interpretar interdependências e generalizar.
O trabalho foi proposto e estruturado com base em uma atividade de Modelagem Matemática fundamentada na perspectiva de Almeida (2012) e observando os pressupostos de Vygotsky (2005, 2007) no que tange ao processo social e histórico-cultural de construção do conhecimento.
As atividades apresentadas neste guia foram construídas com base nos trabalhos de Modelagem Matemática desenvolvidos por alunos do primeiro ano do Ensino Médio Integrado ao Técnico em Agropecuária a partir da realidade vivenciada por eles.
Nosso objetivo com esse guia é que ele seja um material de apoio ao professor, fornecendo exemplos comentados de atividades de modelagem não com o intuito de fornecer receitas, mas dar subsídios para a reflexão e criação de novas atividades.
Sendo assim, na introdução comentamos sobre os motivos que nos levaram à elaboração deste guia. A seguir, expomos as bases teóricas que sustentaram o estudo para, em seguida, relatarmos as atividades desenvolvidas de forma comentada e apresentarmos algumas sugestões de leitura.
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INTRODUÇÃO
Neste texto, apresentamos um recorte da nossa pesquisa de mestrado realizada no ano de 2015 junto a uma turma de 1ª série do ensino médio integrado ao técnico em Agropecuária do Ifes Campus Itapina (Colatina – ES).
Em nossa prática de sala de aula, observamos que os alunos das primeiras séries do ensino médio do Campus Itapina apresentavam grande dificuldade de se apropriar dos conceitos matemáticos abordados na série. Consideramos que a forma como eram trabalhados os conceitos matemáticos – com frágil relação com a realidade vivenciada pelos alunos, limitada em suas relações com os conhecimentos desenvolvidos em outras disciplinas – também pudessem ter relevante implicação sobre o insucesso dos alunos no aprendizado da matemática.
Além disso, o Projeto Pedagógico Institucional (PPI) do IFES Campus Itapina (2014) determina que a educação profissional e tecnológica não aconteça de forma separada da formação humana e da ciência. Ao contrário, deve evoluir num contexto envolto de conhecimentos, princípios e valores que potencializem a ação humana na busca de caminhos mais dignos de vida. Uma educação que motive o ser humano, enquanto integralidade, no desenvolvimento de sua capacidade de gerar conhecimento através da sua interação com a realidade, na expectativa de sua emancipação.
Entretanto, não era essa a realidade observada em nosso campus e, através de revisão de literatura, percebemos que nossa realidade não era uma exceção. Dessa forma, sentimos a necessidade de buscar caminhos para a superação do quadro exposto. Formas de mostrar ao aluno que a matemática está presente nas diversas situações e fenômenos do seu cotidiano. Que ela é uma poderosa ferramenta para ele entender de forma crítica
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o mundo ao seu redor e transforma-lo. Pensamos que uma forma de fazê-lo seria na mudança na maneira de abordar os conceitos matemáticos. Deixando a forma “estanque” de trabalhar os conteúdos, em que se estuda a matemática pela matemática, adotar uma abordagem em que os fenômenos que ocorrem ao redor sejam o ponto de partida e o pano de fundo para a construção dos conceitos matemáticos.
Consideramos a abordagem por meio da Modelagem Matemática um caminho para mostrar aos alunos a relação entre o saber matemático e outros saberes. Mostrar que os conhecimentos produzidos nas aulas de matemática podem ajuda-lo a entender não só os fenômenos que acontecem no contexto da área técnica de sua formação (nosso contexto), mas os presentes em sua vida. Fazer com que, na medida em que ele enxerga essas relações, os conteúdos matemáticos trabalhados passem a ter mais significado para ele.
De acordo com o plano de curso para a primeira série do Ensino Médio Integrado ao Técnico no campus Itapina, o conteúdo predominante para a disciplina de Matemática é Função. Dessa forma é razoável que este seja o tema escolhido para a atividade de modelagem. Ademais, o conceito de função tem grande importância na formação do cidadão na medida em que viabiliza o entendimento dos fenômenos do dia a dia. Como salienta Sierpinska (1992), para o aluno de ensino fundamental e médio, a definição formal de função como conjunto de pares ordenados não tem muito sentido. Daí a necessidade de uma abordagem das ideias fundamentais para a construção desse conceito em conexão direta com a realidade vivenciada por ele.
Nessa perspectiva, foi efetivada uma prática pedagógica fundamentada na perspectiva da Modelagem Matemática visando à construção do conceito de função, pela compreensão das ideias de variável, dependência, regularidade, generalização, domínio e imagem.
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MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
O nascimento da Modelagem Matemática não aconteceu dentro da área que conhecemos hoje como Educação Matemática. Na verdade ela foi “importada” de outra área denominada como Matemática Aplicada, dentro da qual surgiram os primeiros conceitos e procedimentos que qualificavam uma atividade de Modelagem. (Almeida, 2012). A seguir apresentamos algumas concepções sobre Modelagem na perspectiva da Educação Matemática.
De acordo com Bassanezi (2006) a modelagem matemática constitui-se na arte de tomar problemas do mundo real, convertê-los para a linguagem matemática, resolvê-convertê-los e interpretar suas soluções na linguagem do mundo real. É um processo que concatena teoria e prática, “motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la”. (Bassanezi, 2006, p. 17).
Biembengut (2009) caracteriza a modelagem matemática como um processo artístico, dado que aquele que modela não sabe perfeitamente o curso que o processo de modelagem irá tomar. Utiliza meramente sua intuição para relacionar o modelo a conteúdos matemáticos.
Para D’Ambrósio (1986), também um dos precursores da modelagem na Educação Matemática no Brasil, a modelagem é um processo abundante de enfrentar situações que resultam em soluções efetivas para problemas reais. Contrastando com práticas em que se buscam soluções formais para problemas artificiais sem nenhum significado para o aluno.
Barbosa (2009) advoga que um ambiente de modelagem é aquele que atende a duas características principais: tem referência no dia
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a dia, nas ciências ou no mundo do trabalho e apresenta um problema para os alunos. Este ambiente deve proporcionar um convite à investigação, questionamento e análise de alguma situação ligada à realidade e permitir que os alunos encontrem seus próprios caminhos para solucionar o problema.
Na perspectiva de Almeida (2012) uma atividade de modelagem pode ser representada por meio de três elementos: uma situação inicial, que ela chama de problemática; uma situação final desejada, que seria uma solução para a situação inicial e um conjunto de procedimentos e conceitos essenciais para se passar da situação inicial para a final. Assim, relações entre realidade, de onde provém a situação inicial e Matemática, campo em que os conceitos e procedimentos estão alicerçados, “servem de subsídio para que conhecimentos matemáticos e não matemáticos sejam acionados e/ou produzidos e integrados” Almeida, (2012, p. 12).
A ATIVIDADE DE MODELAGEM REALIZADA
A atividade foi desenvolvida com estudantes de uma turma de 1ª série do ensino médio integrado ao técnico em agropecuária do Ifes Campus Itapina. Esses estudantes nunca haviam participado de uma atividade de modelagem. Assim, com respeito à forma de integração das atividades de modelagem às aulas de Matemática, optamos, de maneira mais cautelosa, pela alternativa da combinação, de que fala Almeida (2012). Dessa forma, algumas ações foram desenvolvidas no âmbito das próprias aulas e outras em horários e espaços extraclasse.
Estas ações extraclasse foram realizadas no setor de Horticultura que também fica nas dependências do campus e foram efetivadas graças a um planejamento conjunto com a professora da disciplina de Produção Vegetal I no sentido de buscar maior integração entre
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o conhecimento matemático com o conhecimento técnico. Escolhemos o tema funções como o conteúdo matemático a ser explorado pelo fato de ser um tema predominante no currículo previsto para a primeira série do ensino médio e por ser uma temática facilmente encontrada nos fenômenos observados no contexto da agropecuária.
Os trabalhos desenvolvidos objetivaram a construção do conceito de função, pela compreensão das ideias de variável, dependência, regularidade, generalização, domínio e imagem. Dessa forma, as atividades foram realizadas com um caráter introdutório ao conteúdo Função, de modo a ser um ponto de partida para a discussão de tal conceito. Como já informado anteriormente, a dinâmica escolhida para explorar a modelagem foi a da combinação, onde utilizamos algumas aulas para explorar o conteúdo Função. Assim, não abandonamos o programa estabelecido para a série e exploramos também algumas atividades do livro texto, considerando-o como material de apoio. A seguir passaremos ao detalhamento de como ocorreu a atividade de modelagem, bem como algumas considerações relevantes. Tendo em vista o contexto da turma onde realizamos a pesquisa - ensino médio integrado ao técnico em agropecuária - foi feito um convite à turma para atividade de modelagem que consistia em realizar um experimento de cultivo de mudas de alface em duas modalidades: no solo e em regime de hidroponia, de modo a fazer uma análise comparativa entre os dois tipos de cultivo para responder aos seguintes questionamentos: Quais as diferenças, em termos de desenvolvimento das plantas, entre a alface cultivada no campo (na terra) e a cultivada em regime de hidroponia? Baseado nas diferenças observadas e em outros fatores considerados relevantes, quais as vantagens e desvantagens em se cultivar alface em regime de hidroponia?
Na aula reservada para efetuarmos o convite relatado acima, aproveitamos a realidade local de escassez de chuvas e
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propusemos uma discussão sobre a necessidade de se produzir alimentos numa região com tradição de pouca chuva. A intenção era criar um ambiente de modelagem e para isso trouxemos gráficos com dados sobre média de precipitação pluviométrica para a região e fomentamos o debate em torno do tema produção de alimentos com recursos hídricos limitados. Em dado momento da discussão, questionamos sobre a produção de alimentos em regime de hidroponia e a relação com o uso sustentável da água, temática que seria estudada pelos alunos no âmbito da disciplina de Produção Vegetal I. Nesse contexto, fizemos o convite para a atividade de modelagem.
Após o aceite por parte dos alunos, os trabalhos da atividade de modelagem foram desenvolvidos em três etapas, que aconteceram em três ambientes distintos.
1ª Etapa 2ª Etapa 3ª Etapa
Horticultura Laboratório de
Informática Sala de aula
Na horticultura, os estudantes plantaram e acompanharam algumas características das mudas de alface acordadas com o professor (altura da planta, número de folhas, comprimento da raiz e diâmetro do caule) em duas modalidades de cultivo: no solo e em regime de hidroponia. Para a realização dessas ações a turma foi dividida em 6 grupos de 5 alunos cada, da seguinte forma: nós (professores de Matemática e Produção Vegetal) escolhemos um líder para cada grupo e esses líderes escolheram, sucessivamente, os outros membros de seu grupo. Procedemos dessa forma na divisão dos grupos na expectativa de garantir que em todos os grupos houvesse estudantes com habilidades de liderança. Também pensamos nas discussões que surgiriam no desenvolvimento das atividades.
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Na ilustração abaixo, mostramos o canteiro feito pelos alunos sob a supervisão da professora da disciplina de Produção Vegetal I. A construção e acompanhamento do canteiro fazia parte da atividade de modelagem.
Canteiro de alface cultivado no solo
Fonte: Arquivo pessoal do pesquisador, 2015
A seguir mostramos uma das estufas do campus onde os alunos acompanharam as mudas cultivadas em regime de hidroponia. As mudas acompanhadas no experimento estão na bancada situada à direita na ilustração.
Estufa com mudas de alface em hidroponia. À direita, bancada com mudas acompanhadas pelos alunos.
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Terminado o acompanhamento da cultura de alface nos dois regimes citados, os alunos foram encaminhados ao laboratório de Informática, onde de posse dos dados coletados construíram as planilhas e o gráficos representativos do desenvolvimento de cada característica observada ao longo do tempo. Para essa etapa e a seguinte, preservamos os grupos que realizaram as atividades na Horticultura.
A terceira etapa consistiu na abordagem de ideias relacionadas ao conceito de função tendo como referência os próprios gráficos e tabelas produzidos pelos alunos no Laboratório de Informática. Os alunos responderam a alguns roteiros de atividades elaborados com base nos dados coletados. Estes roteiros foram propostos com o fim de ajuda-los na interpretação dos gráficos construídos e de suscitar discussões sobre algumas ideias fundamentais para a construção do conceito de função: variável, dependência, regularidade, generalização, domínio e imagem. Após concluir os trabalhos com os roteiros, os alunos foram incentivados a retomarem a discussão com seus colegas de grupo para, com base na interpretação dos gráficos produzidos a partir do experimento e na análise das situações vivenciadas, organizarem suas respostas aos questionamentos propostos como problema de modelagem. Por fim, completando o ciclo da modelagem, os grupos socializaram suas respostas num rico momento de discussões sobre os resultados encontrados e suas implicações para vários aspectos, tais como: econômicos, sociais, ambientais, de sustentabilidade e outros. Após o fechamento da atividade de modelagem com a socialização dos resultados, foi realizada uma entrevista semiestruturada com um conjunto de alunos que continha um representante de cada grupo que participou da atividade de modelagem. O objetivo da entrevista foi captar a impressão dos alunos com relação à atividade desenvolvida e tentar identificar o que, na perspectiva deles, contribuiu para o
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aprendizado de função. Abaixo apresentamos um quadro demonstrativo onde, de forma sucinta, relatamos os momentos vivenciados com os estudantes durante o desenvolvimento da atividade de modelagem e a quantidade de aulas utilizadas em cada momento.
MOMENTO AULAS DESENVOLVIMENTO
I 1 Convite à atividade de modelagem; Criação do ambiente
de modelagem.
II 13 Organizados em grupos e acompanhados pela
professora de Produção Vegetal I, pelo professor de Matemática (e pesquisador) e pelo técnico da Unidade de Horticultura, os alunos efetuaram o plantio das mudas de alface e, em seguida, acompanharam a cultura, mensurando algumas características das plantas.
III 6 De posse dos dados coletados no setor de Horticultura,
os alunos elaboraram tabelas e gráficos representativos das variáveis mensuradas para entender melhor as diferenças no desenvolvimento das culturas da alface no campo e na hidroponia.
IV 10 Após concluírem as planilhas e gráficos, os alunos
trabalharam com alguns roteiros de atividades propostos pelo professor com o intuito de ajuda-los na interpretação dos gráficos e também criar um ambiente para a discussão a respeito de alguns elementos importantes para a construção do conceito de função.
V 2 Analisando e interpretando os gráficos construídos com
base nos dados coletados na Horticultura, os alunos discutiram com os colegas de grupo a solução do problema proposto pela atividade de modelagem.
VI 2 Finalizando a atividade de modelagem, os alunos
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Na Horticultura
As atividades desenvolvidas nessa etapa (plantio e
acompanhamento das culturas) aconteceram nos horários das aulas da disciplina Produção Vegetal I de acordo com o planejamento conjunto entre os professores dessa componente curricular e o professor de matemática/pesquisador. As mudas foram colocadas nos canteiros numa quarta-feira (29/04/2015) e as medições ocorreram semanalmente a partir da quarta-feira da semana seguinte à do plantio, em horário que tínhamos disponibilidade para acompanhar o processo. Os dados coletados pelos alunos referentes às medições foram anotados em formulário fornecido pelo pesquisador.
De acordo com orientações da professora de Produção Vegetal I o experimento de acompanhar as características das mudas de alface ao longo do tempo seria um ensaio destrutivo. Isto é, todas as mudas seriam plantadas no mesmo dia, porém divididas em seis grupos. Após uma semana, mediríamos as características das plantas do primeiro grupo e as descartaríamos. Na segunda semana, mediríamos as características das plantas do segundo grupo e as descartaríamos. Assim, sucessivamente com todos os seis grupos de plantas. Ao final do experimento, teríamos as medidas das plantas ao longo das seis semanas.
O fato de utilizar para medição um grupo de plantas ao invés de uma se justificava em virtude do risco de aquela muda morrer e não termos os dados relativos àquela semana. Posteriormente, para a construção dos gráficos, a medida de uma característica (por exemplo, altura da planta) para determinada semana seria dada pela média aritmética das medidas das plantas colhidas naquela semana.
O esquema abaixo ilustra, quanto ao aspecto cronológico, como foi o realizado o processo de medição das mudas dos canteiros do campo e hidroponia.
20 Esquema ilustrativo de como foram realizadas as medidas da planta
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador, 2015
Durante o preparo do canteiro de terra e por ocasião do dia do plantio das mudas de alface, tivemos a oportunidade de revisitar alguns conteúdos do ensino fundamental, como medida da área de superfícies, proporcionalidade e unidades de medida de comprimento e superfície. Esses conteúdos já haviam sido abordados nas primeiras aulas do ano letivo a pedido dos professores das disciplinas técnicas.
No decurso das medições das plantas, verificamos que vários estudantes não sabiam utilizar corretamente a régua para medir a altura da planta e o comprimento da raiz. Na verdade, através dessa atividade e de outras realizadas, notamos que boa parte dos alunos não sabia utilizar alguns instrumentos de medição, como régua, trena, transferidor e outros. Dessa forma, foram necessárias algumas intervenções no sentido de questionar sobre a maneira
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correta de se medir sempre que percebíamos tal dificuldade. Na maioria das vezes a mediação por meio dos questionamentos era suficiente para que os alunos encontrassem a maneira correta de efetuar o procedimento. Em alguns momentos essa mediação ocorria entre os próprios estudantes.
A seguir, mostramos um esquema ilustrando como foram feitas as medições da altura da planta, o comprimento da raiz e o diâmetro do caule.
Esquema ilustrando como foram feitas as medições
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador, 2015
Abaixo, mostramos um momento em que os alunos efetuavam a medição do comprimento da raiz de um pé de alface hidropônico.
22 Alunos medindo o comprimento da raiz de uma planta
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador, 2015
Ainda ponderando a respeito da mediação, quando foi necessário o uso do paquímetro para medir o diâmetro do caule das plantas, um aluno que ajudava o pai em uma marcenaria e dominava o uso da ferramenta fez a mediação junto aos seus colegas a respeito da forma correta de se utilizar o paquímetro. Percebemos a satisfação desse aluno em poder compartilhar um conhecimento adquirido com seus colegas de sala. Esse aluno que por vezes se apresentava tímido nas aulas de matemática, quando nos aproximávamos para tentar motivá-lo se queixava de sua dificuldade e de que “não sabia nada de matemática”. Por isso, achava que “não tinha nada a contribuir”. Nesta oportunidade em que ele pôde contribuir para que seus colegas se apropriassem da maneira de correta de utilizar esse instrumento (paquímetro), fizemos questão de frisar que todos podem contribuir através de seus conhecimentos prévios produzidos nos mais variados contextos, para a construção de novos conhecimentos.
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Abaixo, apresentamos um momento de medição do diâmetro do caule.
Alunos medindo o diâmetro do caule de um pé de alface
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador, 2015
Observações:
Fazemos um balanço positivo das atividades desenvolvidas na Horticultura. Os alunos participaram de forma efetiva, dividindo as tarefas e demonstrando estar motivados para os trabalhos. Houve pouca dispersão. Embora a mediação tenha aparecido mais fortemente nas próximas etapas do trabalho de modelagem, percebemos que também se fez presente na construção de conhecimento em diversos momentos durante as atividades desenvolvidas no setor de Horticultura, tanto a mediação dos professores (Matemática e Produção Vegetal I), como também dos alunos. Um dos principais exemplos, pelos seus efeitos, foi a mediação realizada pelo aluno com relação ao uso do paquímetro relatada acima. Notamos que, após essa interação, o aluno demonstrou mais interesse e motivação pela atividade.
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Percebemos também que os alunos desempenharam bem o papel de protagonistas durante a coleta de dados sobre as duas culturas de alface, enquanto que o pesquisador/professor precisou ter atenção redobrada para exercer o papel de mediador.
Um ponto que achamos que poderia ter sido feito de forma diferente seria mostrar aos alunos semanalmente como estavam evoluindo as variáveis mensuradas. Dessa forma, relacionar os resultados obtidos por eles com os resultados obtidos pelos colegas. Acreditamos que se tivéssemos feito isso assim daríamos mais significado aos resultados encontrados e uma sensação maior de “continuidade” na atividade. Como não fizemos, achamos que essa parte da atividade ficou um pouco fragmentada. Os alunos achavam interessante fazer as medições, mas não tinham ainda muita noção do que aquelas medidas representavam dentro do panorama mais amplo do experimento. Só no final, quando elaboraram as planilhas e gráficos é que puderam ter essa noção.
Um episódio inesperado durante essa etapa teve seu lado negativo e positivo. Algumas plantas começaram a morrer a partir da segunda semana e o percentual de mortalidade se intensificou por volta da terceira semana na hidroponia e na quarta semana no canteiro de terra. Ocorre que as plantas foram acometidas de uma virose comumente conhecida no meio agrícola como “vira cabeça”. Essa virose é provocada pelo vírus Lettuce Mosaic Vírus. Isso causou certa frustração aos alunos e a nós professores por ficarmos com receio de não poder concluir o experimento. Entretanto, do ponto de vista técnico, o ocorrido foi importante para que os alunos conhecessem um tipo de virose que acomete as mudas de alface. Além disso, como as plantas da hidroponia (teoricamente mais protegidas por estarem num ambiente controlado que é a estufa) sofreram com a virose da mesma forma que as plantas do campo, houve uma discussão muito proveitosa no contexto da disciplina Produção Vegetal I. Dessa forma, percebemos que a atividade realizada com objetivo de
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desenvolver conhecimentos matemáticos desencadeou a produção de conhecimento também dentro do campo da disciplina técnica. Este exemplo reforça a importância de trabalhar o conhecimento de forma integrada.
Abaixo, mostramos algumas plantas que foram acometidas com virose conhecida no meio agrícola como “vira cabeça”, provocada pelo vírus Lettuce Mosaic Vírus
Mudas de alface da hidroponia com a virose “vira cabeça”
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador, 2015
No Laboratório de Informática
Depois de concluídas as medições, conduzimos os alunos ao Laboratório de Informática do Campus, para que pudessem organizar as planilhas e construir os gráficos representativos das características mensuradas no setor de Horticultura. Gostaríamos de destacar que a decisão de leva-los ao laboratório e utilizar os recursos da informática foi motivada pelo aprendizado proporcionado ao realizar uma “atividade piloto” com outra turma
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no semestre anterior. Naquela ocasião não utilizamos tal recurso e como o volume de dados era elevado, a tarefa de construção de planilhas e gráficos foi bastante árdua.
A seguir apresentaremos um breve relato da atividade piloto que nos motivou a utilizar os recursos da informática na atividade de modelagem.
No setor de Horticultura já existia uma rotina em que, no cultivo de alface por hidroponia, as mudas passavam por três bancadas chamadas de berçário (primeiros 7 dias), bancada de crescimento (14 dias) e bancada de produção (24 dias) até estarem prontas para serem colhidas. Ou seja, as mudas eram levadas para a bancada de produção com 21 dias. Buscando um possível problema de modelagem, conversamos com o professor de Produção Vegetal I, que era responsável pelo setor. Ele nos deu o problema que queríamos: seria esse o momento ideal para a passagem das mudas para a bancada de produção? Então, tentando responder a esse questionamento, convidamos os alunos para realizarmos um experimento e modelar a evolução das mudas de alface. No experimento foram utilizados cinco grupos de mudas de acordo com o quadro abaixo e acompanhamos três características das plantas: altura, número de folhas e comprimento da raiz.
Número de dias com que cada grupo foi transferido para a bancada de produção Grupo Transferido para a bancada
de produção com 1 19 dias 2 21 dias 3 23 dias 4 25 dias 5 27 dias
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Após coletar os dados do experimento, os alunos produziram as planilhas sem uso de software e construíram, em papel milimetrado, o gráfico abaixo da variação da altura média dos cinco grupos de mudas de alface ao longo do tempo. Na legenda do gráfico, os grupos de mudas foram chamados de Tratamentos.
Gráfico produzido pelos alunos na atividade piloto (Altura (cm) x tempo (dias))
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador
Baseado nessa experiência em que consumimos muito tempo e energia para elaborar as planilhas e ficamos limitados quanto à manipulação do gráfico para visualizar melhor os dados, optamos por utilizar os recursos da tecnologia para realizar os trabalhos. Retomando as considerações sobre as atividades desenvolvidas no Laboratório de Informática, assinalamos que essa etapa dos trabalhos foi realizada nos horários de aula de Matemática. Utilizamos 6 (seis) aulas de 50 minutos cada, em três dias diferentes. Mantivemos os mesmos grupos que realizaram as medições na Horticultura. A essa altura, tínhamos quatro grupos com 5 alunos e dois grupos com quatro, pois a turma estava agora
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com 28 alunos. Dessa forma, cada grupo utilizou dois computadores para a realização dessa parte dos trabalhos.
Para a confecção das planilhas e gráficos, optamos pelo software Microsoft Excel. A escolha desse software se deu pelos seguintes motivos: o programa estava disponível nas máquinas dos laboratórios da escola, é um software cuja utilização não é complexa (pelo menos da parte que necessitávamos) e também pelo fato de o software ser, naquele ano, objeto de estudo para a turma pesquisada na disciplina de Suporte Tecnológico. Tínhamos inicialmente a intenção de trabalhar essa etapa da modelagem em conjunto com o professor dessa disciplina. Entretanto, não foi possível conciliar o planejamento com o professor de Suporte para que o tópico Microsoft Excel fosse abordado antes ou paralelamente à atividade de modelagem.
Inicialmente os alunos tiveram dificuldade para construir as planilhas, pois não conheciam a ferramenta. Tornou-se necessária a mediação do professor para a superação desse obstáculo. Na planilha de cada uma das características observadas, os alunos precisariam obter o valor médio relativo a cada semana para a construção dos gráficos. Percebemos que os alunos sentiam-se inseguros com relação ao conceito matemático média. Alguns se arriscavam a dizer o que achavam que era, mas afirmavam não estar certos de como se calculava a média. Novamente através de questionamentos, buscando exemplos próximos à sua realidade, exploramos o conceito, inclusive abordando alguns tipos diferentes de média. Foi necessária uma mediação mais intensa quando os alunos estavam construindo a primeira planilha (Número de folhas em função do tempo). Nas demais tabelas, notamos que os alunos trabalharam com mais autonomia, mostrando que a tarefa estava se consolidando no seu nível de desenvolvimento real.
Na ilustração abaixo, apresentamos os alunos no laboratório de Informática, construindo as planilhas e gráficos.
29 Alunos no Laboratório de Informática construindo tabelas e gráficos.
Fonte: arquivo pessoal do pesquisador, 2015
Após terminarem todas as planilhas notamos a motivação dos estudantes para fazer os gráficos, pois queriam visualizar melhor o comportamento das grandezas mensuradas ao longo do tempo. Novamente fez-se necessária uma mediação mais cuidadosa para a elaboração do primeiro gráfico, que foi o do número de folhas em função do tempo. A construção dos outros gráficos ocorreu de forma mais tranquila.
Observações:
Essa parte dos trabalhos oportunizou uma boa discussão sobre variáveis e sua classificação em contínuas e discretas. Os alunos não se deram conta de imediato que a grandeza representada no eixo vertical era discreta. Por isso, na construção do gráfico do Número de folhas x tempo, uniram os pontos com linha contínua. Foi necessária uma mediação através de questionamentos para
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que eles pudessem melhorar a representação gráfica.
Permitiu também uma análise da dependência entre as variáveis, quando questionamos os estudantes sobre as variações das grandezas envolvidas e as implicações da variação da grandeza representada num eixo (ou coluna da tabela) para a variação da grandeza do outro eixo (ou coluna).
Durante a confecção das planilhas tivemos também a oportunidade de resgatar e ampliar o conceito de média, sobretudo o de média aritmética.
Apesar de no início ser um obstáculo para os alunos, a utilização de um software para a elaboração das tabelas e gráficos foi considerada muito positiva de nossa parte e também por parte dos alunos. Além de otimizar os trabalhos, a ferramenta computacional potencializou reflexões e discussões sobre os conceitos abordados. Dessa forma, inferimos ser muito proveitoso o uso da tecnologia nas atividades de modelagem.
Algumas dificuldades foram encontradas nesta etapa da atividade e a primeira delas foi a quantidade de alunos em torno do computador. Como os grupos tinha em média 4 ou 5 alunos, no momento de construir as planilhas e gráficos, houve certa dispersão daqueles alunos que não estavam “operando” a máquina. Para contornar esse problema, combinamos com os estudantes que eles se revezariam na tarefa de construir a planilha ou gráfico. Isto fez com que aqueles alunos que estavam acompanhando ficassem atentos ao que o colega estava fazendo no computador.
Outra dificuldade encontrada foi o desconhecimento por parte dos alunos do software escolhido para a elaboração dos gráficos. Na impossibilidade de trabalhar em conjunto com o professor de Suporte Tecnológico, tornou-se necessário fazer a mediação junto aos alunos para a utilização da ferramenta. Inicialmente
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percebemos que alguns alunos começaram a esboçar desmotivação para a empreitada. Pelo fato de termos seis grupos para orientar, tornou-se difícil dar a atenção esperada a todos os grupos. Percebemos certa dificuldade nos alunos em tentar caminhar sozinhos. A esse respeito, Bassanesi (2006) e Scheller (2009) alertam sobre dificuldades que os alunos apresentam quando submetidos a uma abordagem diferente da tradicional, especialmente quando é a primeira vez que participam de atividades de modelagem.
Atividades propostas a partir dos gráficos produzidos
Concluída a etapa de produção dos gráficos por todos os grupos, sugerimos algumas atividades para auxiliá-los na interpretação dos mesmos de forma a contribuir na análise do
comportamento das características representadas e
principalmente, criar um ambiente para a discussão a respeito de alguns elementos importantes para a construção do conceito de função. As atividades foram baseadas nos gráficos que os alunos construíram. Com isso, possuiam mais significado para os alunos, na medida em que abordavam fenômenos vivenciados na realidade à sua volta. Para esse momento mantivemos ainda os mesmos grupos que fizeram as medições na Horticultura e confeccionaram planilhas e gráficos no Laboratório de Informática. Estas atividades foram realizadas no laboratório de Informática e em sala de aula, em horários de aula de Matemática.
No quadro abaixo apontamos os objetivos almejados para cada uma das atividades. Logo a seguir, trazemos algumas das atividades trabalhadas pelos alunos.
Atividade Objetivo (s)
I Proporcionar aos alunos uma oportunidade de identificar as grandezas apresentadas em uma das formas de representação
32 de função (gráfico), perceber a interdependência entre elas, reconhecer a taxa de variação da função para um dado intervalo e associa-la à inclinação do gráfico.
II Verificar se os alunos conseguiam, através da leitura do gráfico, estabelecer a relação entre os valores das duas variáveis e, no último item (letra “d”), provocar uma reflexão a respeito de se fazer previsões tendo como base possíveis regularidades nos modelos de crescimento da altura dos pés de alface da hidroponia e do campo.
III Apresentar ao aluno algumas das várias formas de representação de uma função e incentivá-lo a relacioná-las, percebendo as diferenças entre elas. Além de chamar à atenção para a identificação de regularidades, nesta atividade também tentamos evidenciar para o aluno que nem sempre existirá um padrão na relação entre duas grandezas, ou nem sempre será possível identifica-lo. A última pergunta da tarefa tinha o objetivo de reforçar a conexão com a realidade, fazendo-os refletir sobre os procedimentos realizados durante a fase da experimentação.
IV Fomentar discussões a respeito das ideias de domínio e imagem de uma função.
Atividade I: O gráfico abaixo mostra o número médio de folhas dos pés alface (campo e hidroponia) em função do tempo. Após análise do gráfico responda as questões propostas.
33 a) Quais são as grandezas envolvidas?
b) O que aconteceu com o número de folhas dos pés de alface
plantados no campo com o passar do tempo? E os da hidroponia?
c) Pode-se dizer que existe alguma relação de
interdependência entre o número de folhas e o tempo? Explique.
d) Houve algum período (intervalo) em que a taxa de variação
do número de folhas dos pés de alface plantados no campo foi igual à taxa de variação do número de folhas dos pés de alface da hidroponia?
e) Qual o período de maior taxa de crescimento do número de
folhas na cultura efetuada no campo? E na hidroponia?
f) Qual o período de menor taxa de crescimento do número de
folhas na cultura efetuada no campo? E na hidroponia?
g) Existe alguma relação entre a taxa de variação (no nosso caso, taxa de crescimento) e a inclinação do gráfico? Explique.
34 h) Como seria o aspecto do gráfico se a taxa de crescimento
fosse sempre igual em todos os intervalos?
Observações:
Nessa atividade foi explorada a interdependência entre as grandezas e os tipos de variáveis (contínuas ou discretas). Outro aspecto importante a ser destacado foi a discussão à respeito da taxa de variação. Em geral os alunos não tiveram dificuldade de identificar a taxa de variação e sua implicação para a inclinação do gráfico.
Alguns alunos fizeram uma interessante associação entre uma possível taxa de variação constante e o gráfico de um corpo em movimento uniforme estudado por eles em Física. Veja o comentário feito por uma aluna e a resposta dada por seu grupo aos itens “g” e “h”:
“Essa letra h, professor, é igual ao gráfico da posição do carro no movimento uniforme. Os pontos estão todos alinhados e a taxa de variação é a distância que o carro percorre a cada hora.”
Resposta dada pelo grupo:
Este episódio é um exemplo de como a aquisição do conceito da taxa de variação é importante para a interpretação de diversos fenômenos na ciência e na vida. Além disso, essa correlação feita pelos alunos nos deu uma excelente oportunidade de amenizar as fronteiras entre as disciplinas de Matemática e Física e fazer algumas provocações
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junto aos alunos no sentido de perceberem o conhecimento de maneira mais integrada.
Após a realização dessa atividade, exploramos duas questões relacionadas à taxa de variação: uma extraída do livro texto de Matemática adotado para a turma e outra adaptada de outra fonte. O objetivo era averiguar se os alunos iriam utilizar corretamente a taxa de variação para resolver os problemas.
1ª Questão proposta:
(Enem 2007) O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de crescimento mostrada no gráfico, o número de espécies ameaçadas de extinção em 2011 será igual a:
36 b) 493 c) 498 d) 538 e) 699 2ª Questão proposta:
2) A figura apresenta o crescimento de uma planta em função do tempo. a) Seria possível estimar a altura da planta ao final da quarta semana? Explique.
b) Qual seria a altura da planta no 10º dia?
(Fonte: Figueiredo, 2013)
Observações:
Boa parte dos alunos conseguiu perceber uma taxa de variação constante no primeiro gráfico e, com isso, fazer a correta previsão para o número de espécies em extinção no ano de 2011. Isso indica que conseguiram notar a “regularidade” na representação gráfica e a partir dela fazer a previsão.
Quanto à segunda questão proposta, a maioria dos alunos notou que não há regularidade no crescimento da planta no período
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mostrado no gráfico. Os resultados obtidos pelos alunos para a 1ª questão e o primeiro item da 2ª questão sugerem que a discussão sobre a taxa de variação proporcionada pela atividade foi relevante para ajuda-los a resolver problemas.
Com relação ao item “b” da 2ª questão, percebemos que alguns estudantes não observaram atentamente a unidade de medida da variável representada no eixo horizontal, sinalizando a importância de chamar à atenção dos alunos para a observação das grandezas representadas nos gráficos e tabelas e suas respectivas unidades de medida.
Atividade II: O gráfico abaixo mostra o comportamento da altura da parte aérea dos pés alface (campo e hidroponia) em função do tempo. Analise as informações do gráfico e responda os itens abaixo.
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a) Analisando o gráfico acima e lembrando como foi medida a altura da parte aérea, como vocês comparam as duas culturas da alface (campo e hidroponia)?
b) Qual foi a altura média da parte aérea dos pés de alface da hidroponia no 36º dia? E dos pés de alface plantados no campo?
c) Qual foi o dia, de acordo com o gráfico que a altura média da parte aérea dos pés de alface da hidroponia atingiu 27 cm? E os do campo?
d) A julgar pelo gráfico dado acima, em algum momento a altura média da parte aérea dos pés de alface plantados no campo vai ser maior que a altura média dos pés de alface da hidroponia? Explique.
Observações:
Notamos que os alunos não apresentaram maiores dificuldades para, através da leitura e interpretação do gráfico, associar a altura da planta com o tempo. Observamos também que alguns alunos tentam identificar uma regularidade nas curvas e fazer uma previsão do que poderia ocorrer nas semanas seguintes se esta regularidade se mantiver. Observe o comentário abaixo feito por um estudante:
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Julgamos ter alcançado nossas expectativas com essa atividade na medida em que percebemos, nas discussões dos alunos indícios de uma busca por identificação de regularidades que possam subsidiar uma previsão do comportamento das grandezas.
Atividade III: Apresentamos abaixo duas formas de representação da relação entre o comprimento médio da raiz dos pés alface e o tempo.
1ª Representação: Tabela
Tempo (dias) 22 29 36 43 50
Comprimento da raiz alface
campo (cm) 11,5 11 10,2 8,7 10,9 Comprimento da raiz alface
hidroponia (cm)
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2ª Representação: Gráfico
a) Na opinião do grupo alguma dessas formas de representação oferece alguma vantagem em relação à outra? Explique.
b) O que aconteceu com o comprimento médio da raiz dos pés de alface na hidroponia? E no campo?
c) Analisando o gráfico da hidroponia, seria possível fazer uma estimativa do comprimento médio da raiz no 57º dia? Explique.
d) E quanto à alface cultivado no campo, seria possível fazer essa previsão? Explique.
e) Observando o gráfico acima, percebemos um crescimento no comprimento médio da raiz da alface da hidroponia. O mesmo não ocorre com a alface do campo. Quais seriam as possíveis explicações para esse fato?
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Observações
Chamar à atenção dos alunos sobre as várias formas de representação de uma função foi uma das intenções com essa atividade. É importante explorar as várias formas: verbal, gráfica, tabela, analítica e enfatizar que esses modelos não são a função em si, mas representações da mesma. Importante também explorar a passagem de uma forma de representação para outra. De acordo com Tinoco (2009), a flexibilidade na conversão de uma representação para outra e o contínuo uso da representação em linguagem corrente, de forma oral e por escrito são essenciais para a construção do conceito de função.
Outro aspecto relevante discutido nessa atividade é que nem sempre é possível identificar padrões ou regularidades. Isso ficou bem representado no “desenvolvimento” do comprimento do sistema radicular dos pés de alface plantados no campo. Consideramos importante frisar com os alunos que nem sempre será possível identificar regularidade e em cima dessa regularidade fazer previsões sobre determinada grandeza ou generalizar.
42 Esquema mostrando os diferentes tipos de representação de função
Fonte: adaptado de Tinoco, 2009
Atividade IV: O gráfico abaixo mostra a variação do diâmetro do caule dos pés alface (campo e hidroponia) em função do tempo.
43 a) Quais as grandezas envolvidas?
b) Pode-se dizer que existe alguma relação de interdependência
entre a medida do diâmetro do caule e o tempo? Explique. (analise separadamente campo e hidroponia)
c) Para a alface do campo, seria possível prever (estimar) o diâmetro do caule no 57º dia? E no 46º dia?
d) Em qual intervalo de tempo podemos estimar a medida do diâmetro do caule?
e) Neste intervalo de tempo, qual foi a variação da medida do diâmetro do caule?
f) O grupo consegue perceber alguma regularidade no
crescimento do diâmetro do caule? (analise separadamente campo e hidroponia).
Observações
Constatamos que os alunos tiveram dificuldade para interpretar o que estava sendo perguntado nos itens “d” e “e” e associa-los às noções de domínio e imagem de uma função. Quase todos os grupos solicitaram a ajuda do professor e aqueles que não o fizeram, responderam de forma errada. Apesar do aparente insucesso dos alunos ao responderem principalmente as questões relacionadas às ideias de domínio e imagem da função, consideramos a atividade positiva no sentido de que estes conceitos foram discutidos num contexto ligado à realidade vivenciada por eles. O gráfico representava grandezas observadas por eles enquanto realizavam o experimento e não duas variáveis x e y desconexas de sua realidade. Dessa forma, ao fazer a mediação, percebemos que esses conceitos adquiriam mais significado para o aluno, ajudando na construção do conceito.
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Com o intuito de avançar na discussão sobre as ideias de domínio e imagem de uma função, sugerimos outras atividades. Abaixo mostramos uma delas.
Atividade: Área de retângulos (adaptada de Guimarães, 2010).
Em nossa atividade realizada no setor de Horticultura, cultivamos alface em duas modalidades para fazermos uma análise comparativa: um grupo de plantas cultivadas na hidroponia e outro no campo. Suponha que uma pessoa queira fazer um canteiro em seu quintal e disponha de uma área de terra de 1,5 m de largura e 3 m de comprimento. Considere ainda que ela vá fazer um canteiro de 0,8 m de largura.
Complete a tabela abaixo com a área do canteiro de acordo com o comprimento utilizado.
Comprimento
do canteiro (m) 1 1,5 2 2,25 2,5 2,8 c
Área do canteiro (m²)
0,8
(b) Marque esses pontos num mesmo sistema de coordenadas cartesianas.
(c) Escreva uma fórmula para representar a área A do canteiro, em função do comprimento c utilizado.
(d) Na tabela temos alguns exemplos de valores para o comprimento c. Você acha que 2,65 m poderia ser um valor de c? Explique.
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0,888... m poderia ser um valor de c? √2 m poderia ser um valor de c? 4,1 m poderia ser um valor de c? π m poderia ser um valor de c? √3 m poderia ser um valor de c?
Qual o intervalo de números reais que podem ser o comprimento do canteiro?
(e) Na tabela temos também os respectivos valores para a área do canteiro. Você acha que 2 m² poderia ser um valor de A? Explique.
1,8 m² poderia ser um valor de A? 0,75 m² poderia ser um valor de A? 7/5 m² poderia ser um valor de A? √5 m² poderia ser um valor de A? 3 m² poderia ser um valor de A? -2 m² poderia ser um valor de A?
Qual o intervalo de números reais que podem ser a área do canteiro?
(f) Baseado em suas respostas às letras (d) e (e) qual seria o domínio da função A(c)? E a imagem da função A(c)?
Observamos que as ideias de domínio e imagem da função não foram triviais para os alunos. Diante disso, consideramos ser importante utilizar várias atividades para ajuda-los na construção
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desses conceitos. Reiteramos ainda a importância de que essas atividades iniciais utilizadas para dar embasamento para a construção do conceito de função tenham relação com a realidade vivenciada pelos alunos de forma a dar sentido ao conhecimento. Somente então após essa aproximação do conceito através dessas situações, trabalhar o conceito de maneira mais formal. Nesse pensamento, Sierpinska (1992) sustenta que a apresentação da definição mais formal, como conjunto de pares ordenados, não tem muito sentido para alunos do ensino fundamental e médio. Necessário então seria tomar coisas do cotidiano do aluno para que o conhecimento produzido tenha sentido para ele. Partir do que ele sabe para chegar ao que ele ainda não conhece.
Após essa experiência de ensino e aprendizagem utilizando a modelagem matemática e percebendo algumas diferenças com relação ao ensino tradicional, principalmente quanto à forma de lidar com o conhecimento, sentimo-nos estimulados a esboçar um quadro comparativo apontando as principais características de cada tipo de abordagem.
Ensino Tradicional Ensino com Modelagem Matemática
Visão de função -Relação entre dois conjuntos que observa certas condições. -Conjuntos de pares ordenados. -Instrumento matemático essencial à análise de fenômenos de variação. Como o aluno
aprende -Transmissão conteúdos, exercícios. de -Resolução de problemas extraídos da realidade que circunda o aluno.
Relação professor x aluno -Aluno absorve o conhecimento de forma passiva. -O professor é o detentor do
-Aluno interage com os pares na busca de solução para problema; professor tem papel de mediador entre
47 conhecimento e o transmite ao aluno estudante e o conhecimento. Espaço-Tempo
na escola -Rígido; limitado à sala de aula e o tempo da aula.
-Aberto/negociado. Muitas vezes ultrapassa as fronteiras da sala e o tempo da aula. Relação da matemática com outras disciplinas -Estanque; não há muitas relações e conexões com outras disciplinas ou áreas do conhecimento.
-Campo de conhecimento de outras disciplinas pode proporcionar o problema que é o ponto de partida;
-Outras vezes, para resolver o problema, o aluno também mobiliza conhecimentos de outras áreas do conhecimento. Relação da matemática com a realidade
-Exercícios sem conexão com a realidade ou relacionados à uma semi-realidade.
-A realidade é a fonte dos problemas a serem trabalhados; -A interpretação dos resultados é validada na realidade.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tomando como referência os resultados alcançados em nossa pesquisa e a interpretação dos mesmos, inferimos que a abordagem de ideias importantes para a construção do conceito de função a partir de atividades de modelagem onde se explora situações reais vindas do contexto dos alunos, de sua vivência, pode facilitar a construção do conceito.
Destacamos também o potencial que as atividades de modelagem, no contexto do curso técnico integrado em Agropecuária, tem para a construção e (re)significação de conceitos de forma integrada.
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Considerando que podem ser a mola mestra para derrubar as paredes de separação entre as disciplinas e impulsionar maior integração entre elas.
Notamos que em todas as etapas da atividade de modelagem, a mediação na construção e/ou (re)construção de conhecimento esteve presente de forma bastante intensa. A mediação do professor/pesquisador para com os alunos e a mediação entre os próprios alunos. Nesse aspecto apontamos mais um ganho com as atividades de modelagem: o favorecimento das interações entre os alunos dispostos em grupos de trabalho e a interação dos alunos com o professor.
Salientamos a importância da teoria adotada como aporte teórico para a execução e análise das atividades desenvolvidas com o objetivo de identificar e compreender as contribuições da Modelagem Matemática como abordagem metodológica para o ensino-aprendizagem de função numa turma de ensino médio técnico. Nesta perspectiva, indicamos aos professores que pretendem utilizar a modelagem para abordar conceitos matemáticos que investiguem na literatura os pressupostos que darão sustentação ao seu trabalho.
Reconhecemos que no contexto da turma pesquisada - curso técnico integrado em agropecuária - as atividades desenvolvidas por alunos e professores, compõem um cenário bastante favorável à utilização de atividades de modelagem na perspectiva da Educação Matemática. Todavia, isso não significa que alunos e professores em outras circunstâncias não possam usufruir dessa abordagem metodológica. A realidade à nossa volta está repleta de situações onde se apresentam problemas reais que podem instigar o interesse dos alunos por investiga-los e resolvê-los.
Nossa intenção ao escrever esse texto não é fornecer receitas para quem quer trabalhar com atividades de modelagem, mas compartilhar uma experiência vivenciada e contribuir para a
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reflexão e debate em torno da temática da utilização da modelagem como abordagem metodológica. Deste modo, proporcionar subsídios e incentivar que outros professores busquem seus caminhos neste fértil e amplo campo que é a Modelagem Matemática na Educação Matemática.
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matemática. 3. Ed.São Paulo: Contexto, 2006.
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Educação Brasileira: das propostas primeiras às propostas atuais. Blumenau: Alexandria, 2009.
BLUM, W., NISS, M. Appied mathematical problem solving,
modelling, applications, and links to other subjects – state, trends and issues in mathematic instruction. Educational Studies in Mathematics, Dordrecht, v. 22, n. 1, pp 37-68, 1991.
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