SUPERFÍCIE CÔNICA
Noções intuitivas de geração de superfícies cônicas
1. Superfícies regradas desenvolvíveis cônicas:
são superfícies geradas por uma reta g (geratriz) que passa por um ponto dado V (vértice) e percorre os pontos de uma linha dada d diretriz, com V fora de d. Como exemplos temos:
se a diretriz é uma reta, a superfície cônica gerada é um plano menos a reta paralela à diretriz.
se a diretriz é um segmento de reta, a superfície cônica gerada é a reunião de dois ângulos (setores angulares) opostos pelo vértice.
se a diretriz é uma linha poligonal fechada (polígono) cujo plano não contém o vértice (V), a superfície cônica gerada é a reunião de duas superfícies de ângulos poliédricos (superfícies poliédricas ilimitadas -superfícies de pirâmides ilimitadas) opostas pelo vértice. se a diretriz é uma
circunferência cujo plano não contém o vértice, a superfície cônica gerada é uma superfície cônica circular (de duas folhas). se a diretriz é uma circunferência de centro O e a reta VO é perpendicular seu plano, a
superfície cônica é uma superfície cônica circular reta (de duas folhas).
2. Cone circular ilimitado:
consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r e um ponto V fora de seu plano. Chama-se cone circular ilimitado ou cone circular indefinido à reunião das semi-retas de origem em V e que passam pelos pontos do círculo.3. Cone
: consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano α e um ponto V fora de α. Chama-se cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo. Podemos também definir o cone como segue:Cone é a parte do cone ilimitado que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma secção circular, reunida com esta secção.
4. Elementos
0 cone possui:
uma base: o círculo de centro O e raio r ou a secção;
geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência
da base;
vértice: é o ponto V citado anteriormente; r é o raio da base;
a altura de um cone é a distância entre o vértice e o plano da base.
5. Classificação
Os cones podem ser classificados pela posição da reta VO em relação ao plano da base:
Se a reta VO é oblíqua ao plano da base temos um cone circular oblíquo. Se a reta VO é perpendicular ao plano da base temos um cone circular reto. O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois pode ser considerado um sólido gerado pela rotação de um triângulo em torno de um eixo que contém um de seus catetos.
O eixo de um cone é a reta determinada pelo vértice e pelo centro da base. A geratriz de um cone circular reto é também dita apótema do cone.
6. Secção Meridiana:
é a intersecção do cone com um plano que contém a reta VO.A secção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles.
O cone cuja secção meridiana é um triângulo eqüilátero é dito cone eqüilátero. Para este valem as relações:
g = 2r h = r
3
7. Superfícies
Superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área desta superfície é chamada área lateral e indicada
V
8. ÁREAS LATERAL E TOTAL
8.1. ÁREA LATERAL
A superfície lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio da base
r
e geratrizg
é equivalente a um setor circular de raiog
e comprimento do arco2
r.
Isto significa que a superfície lateral de um cone de revolução desenvolvida em num plano (planificada) é um setor circular cujo raio é g (geratriz) e comprimento do arco
2
r.
A área lateral pode então ser calculada como segue:
a) Comp. do arco área do setor
2
g
g
2A
l=
g
g
r.
2
2
2
2
r
A
lb) A área de um setor circular é dada pela fórmula da área de um triângulo:
A
setor=2
1
(comprimento do arco).(raio) assim
A
l=
.
2
r.
g
2
1
Sendo
o ângulo do setor este ângulo é dado por:rad
g
r
2
ougraus
g
r
360
8.2. ÁREA TOTALA área total de um cone é a soma da área lateral (Al)
com a área da base (
B
r
2), logo:A
t= A
l+ B
A
t=
2r
g
r
A
t=
r
g
r
g
r
A
l
g
r
A
l
9. VOLUME DO CONE
Consideremos um cone de altura H1 = h e área base B1= B e um tetraedro de altura H2= h e
área da base B2= B (o cone e a pirâmide têm alturas congruentes e bases equivalentes).
Suponhamos que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano e que os vértices estão num mesmo semi-espaço dos determinados por.
Qualquer plano secante paralelo a, distando h’ dos vértices que seccionam o cone, também secciona o tetraedro, e sendo as áreas das secções B’1e B’2, respectivamente, temos:
' 2 1 ' 1 h h B B , 2 ' 2 ' 2 h h B B
1 ' 1 B B = 2 ' 2 B BComo B1= B2= B, vem que B’1= B’2.
Então, pelo princípio de Cavalieri, o cone e o tetraedro têm volumes iguais.
V
cone= V
tetraedro ComoV
tetraedro= 3 1 B2h, ou seja,V
tetraedro= 3 1B.h, vem que
V
cone= 3 1 Bh; ou resumidamente: V = 3 1 B.h. Se B =r2, temos EXERCÍCIOS1. Num cone circular reto, de altura 12cm, a área total vale 90π cm2e o volume é 100π cm3. Calcule o raio da base e a geratriz. R: r=5cm e g=13cm
2. Calcule o volume e a área total do sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo, de catetos 15cm e 20cm, em torno da hipotenusa. R: V=1200π cm3e At= 420π cm2.
3. Num cone circular, a base está inscrita num triângulo eqüilátero de área 9 3cm2, e a altura é congruente à altura desse triângulo. Calcule o volume. R: 3 3π cm3.
4. A secção meridiana de um cone é um triângulo eqüilátero de 20 cm de lado. Calcule a sua área lateral, total e seu
volume. R: 2 2 3 cm 3 3 1000 V , cm 300 , cm 200 At Al
5. Um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm, gira em torno do maior cateto. Calcule a área lateral e o volume do sólido
H1
:
V =
3
1
r
210. TRONCO DE CONE DE BASES PARALELAS
10.1.VolumeDedução da fórmula que dá o volume do tronco de cone de bases paralelas.
Dados:
R = raio da base maior r = raio da base menor
h = altura Pede-se: V = volume do tronco Solução
V= V
2– V
1=
2 1 23
1
3
1
H
r
H
R
2
V =
1
2 1 23
R
H
h
r
H
H
2= H
1+ h
R
h
R
r
H
1
V
1 2 2 23
Cálculo de
H
1 em função dos dadosr
R
hr
H
r
R
H
h
H
r
R
H
H
1
1 1 1 2 Substituindo em
1
:
r
R
Hh
r
R
h
R
V
2 2 23
r
R
r
r
R
r
R
R
h
V
23
10.2. Áreas lateral e total
Dedução das fórmulas que dão as área lateral e total de um tronco de cone reto de bases paralelas.
Dados:
R = raio da base maior
r = raio da base menor
g = geratriz do tronco Pede-se:
A
l eA
tSolução: Área lateral
R
Rr
r
h
V
2 23
Sejam
2 1
,
l ll
A
e
A
A
as áreas laterais, respectivamente, do tronco, do cone destacado e do cone primitivo. Então: 1 1 2A
RG
r
G
A
A
l
l
l
2
G
g
r
G
Rg
R
r
G
1
R
A
l
1
1
Cálculo de
G
1 em função dos dados:FC
DE
EC
AE
EFC
ADE
2
r
R
rg
G
r
R
r
g
G
1
1
:
temos
1
em
2
de
G
do
Substituin
1,
r
R
rg
r
R
g
R
A
l
.
.
Observação: A dedução feita justifica a propriedade: A superfície lateral de um tronco de cone reto de raios
R
er
e geratrizg
é equivalente a um trapézio de bases2
R
e
2
r
e alturag.
Área total
2 2 l tA
B
b
R
r
g
R
r
A
EXERCÍCIOS1. A geratriz de um tronco de cone reto mede 4 dm e os raios das bases, respectivamente, 3 dm e 2 dm. Calcular a área total e o volume. R: 33 dm2 e 3
3 15 19
dm
.
2. Determinar os raios, a altura e o apótema de um tronco de cone sabendo que o raio maior é o dobro do menor, a altura o dobro do raio maior e o volume igual a 3
dm 3
224 . R: r=2 dm, R=4 dm, h=8 dm e a=2√17 dm.
3. Determinar a altura de um tronco de cone sabendo que os raios das bases medem respectivamente 3m e 2m, sendo 20mª o seu volume. R: 60
