Técnicas de estimação de parâmetros utilizadas para a modelagem matemática de propulsores eletromecânicos

Técnicas de Estimação de Parâmetros Utilizadas para a

Modelagem Matemática de Propulsores

Eletromecânicos

Dionatan Breskovit de Matos

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ - como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática.

Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador

Prof. Dr.Luiz Antônio Rasia Coorientador

Ijuí, RS, Brasil Setembro, 2018

Técnicas de Estimação de Parâmetros Utilizadas para a

Modelagem Matemática de Propulsores

Eletromecânicos

Dionatan Breskovit de Matos

Dissertação de Mestrado apresentada em setembro, 2018

Prof. Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold Orientador

Prof. Dr.Luiz Antônio Rasia Coorientador

“Não se deve ir atrás de objetivos fáceis, é preciso buscar o que só pode ser alcançado por meio dos maiores esforços.”

(Albert Einstein)

“Deixem que o futuro diga a verdade e avalie cada um de acordo com o seu trabalho e realizações. O presente pertence a eles, mas o futuro pelo qual eu sempre trabalhei pertence a mim.”

Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus, pela vida e por estar presente em todos os momentos dando-me força, persistência e sabedoria.

A minha mãe Clair e meu irmão Diego, por estarem ao meu lado, tanto nos momentos bons quanto nas dificuldades, e, pela compreensão dos momentos de minha ausência.

A minha namorada Eula, por estar comigo em todos os momentos, me incentivando em meio aos desafios enfrentados ao longo dessa jornada.

Agradeço ao meu professor orientador Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold e ao meu coorientador professor Dr. Luiz Antônio Rasia, pela orientação, pelos ensinamentos, paciência e compreensão ao longo desta trajetória, e a todos os professores que contribuíram para minha formação.

Aos colegas do Mestrado, pela amizade e trocas de experiências, em especial Eduardo e Nelize, pelo incentivo, apoio e conselhos. Estas pessoas que fizeram parte de minha formação e sem dúvida, vão continuar presentes em minha vida.

Ao Professor Dr. Carmo Henrique Kamphorst e ao Professor Dr. Mateus Felske Schonardie, pelas contribuições, disponibilidade, interesse, atenção e dedicação.

Agradeço a Geni e Sibele pela atenção, disponibilidade e amizade.

Agradeço À UNIJUI pela oportunidade, infraestrutura para realização dessa pesquisa e pela bolsa de estudos concedida.

A todas as pessoas que de uma ou outra forma participaram e colaboraram para a concretização desta pesquisa.

RESUMO

As aeronaves do tipo multirrotor têm sido crescentemente investigadas, particularmente o quadrirrotor. Estudos acerca dos VANTs (Veículos Aéreos Não Tripulados) apresentam o quadrirrotor como plataforma padrão, devido aos seus benefícios, tais como: baixo custo de construção, estabilidade de voo, percepção tridimensional e mobilidade, quando comparadas a outros tipos de aeronaves. Logo, caracteriza-se como um desafio na área de controle. Este fato faz com que haja a necessidade da aquisição do modelo matemático do conjunto de propulsão eletromecânico que compõe estas aeronaves. A fim de encontrar um modelo que melhor possa descrever os aspectos referentes ao sistema, utilizam-se de características específicas dos parâmetros do sistema, obtidas por meio de métodos de estimação de parâmetros, baseados nos mínimos quadrados e associados às técnicas de modelagem caixa preta. Nesse contexto, se propõem a obtenção do modelo matemático ARIMAX (AutoRegressive Integrated Moving Average

Exogenous inputs) e ARMAX (AutoRegressive Moving Average with Exogenous inputs), a fim de comparar a performance entre os mesmos para cada estimador,

utilizando como um dos critérios o menor número de iterações numéricas, pois caracteriza convergência rápida. A determinação dos parâmetros característicos dar-se-á por meio da utilização dos estimadores de Gauss-Newton e de Levenberg-Marquardt. A diretriz metodológica consiste na realização das etapas da Identificação de Sistemas. As simulações computacionais são realizadas no

software MatLab, de acordo com a estrutura dos algoritmos de cada estimador

proposto, e, as validações dos modelos e de seus parâmetros, se dão por comparação entre os dados do sistema real, obtidos a partir da planta didática (plataforma de testes), análises residuais e entre a performance dos modelos matemáticos. Constata-se que o modelo ARIMAX, através do método de Gauss-Newton, revela-se como o que melhor descreve o comportamento não linear do propulsor eletromecânico. O resultado desta investigação é uma contribuição à comunidade científica que busca modelar matematicamente os VANTs do tipo multirrotor.

Palavras-chave: Multirrotores, Modelagem Caixa Preta, ARIMAX, ARMAX,

ABSTRACT

Multi-rotor aircraft have been increasingly investigated, particularly the four-wheel drive. Studies on UAVs present the quadrirrotor as a standard platform, due to its benefits, such as low construction cost, flight stability, three-dimensional perception and mobility, compared to other types of aircraft. Therefore, it is characterized as a challenge in the area of control. This fact makes it necessary to acquire the mathematical model of the electromechanical propulsion assembly that makes up these aircraft. In order to find a model that can best describe the aspects related to the system, we use specific characteristics of the parameters of the system, obtained through methods of estimation of parameters, based on the least squares and associated to the techniques of black box modeling. In this context, we propose to obtain the ARIMAX (AutoRegressive Integrated Moving Average Exogenous Inputs) and ARMAX (AutoRegressive Moving Average with Exogenous Inputs), in order to compare the performance between them for each estimator, using as one of the criteria the lowest number of numerical iterations, since it characterizes fast convergence. The determination of the characteristic parameters will be done using the Gauss-Newton and Levenberg-Marquardt estimators. The methodological guideline is to carry out the stages of the Systems Identification. The computational simulations are performed in MatLab software, according to the algorithm structure of each proposed estimator, and the validations of the models and their parameters are obtained by comparing the real system data obtained from the didactic plan ( testing platform), residual analyzes and between the performance of mathematical models. It is observed that the ARIMAX model, through the Gauss-Newton method, reveals itself as the one that best describes the nonlinear behavior of the electromechanical propellant. The result of this research is a contribution to the scientific community that seeks to mathematically model multi - rotor - type UAVs.

Keywords: Multirrotors, Black Box Modeling, ARIMAX, ARMAX, Estimators /

Lista de Abreviaturas

Siglas Inglês Português

Autocorrelation function Função de Autocorrelação

Augmented Dickey & Fuller Dickey-Fuller Aumentado

Autoregresive AutoRegressivo

AutoRegressive Moving

Average AutoRegressivo Média Móvel

AutoRegressive Exogenous

inputs

AutoRegressivo com Entradas Exógenas

AutoRegressive Moving

Average Exogenous inputs

AutoRegressivo Média Móvel com Entradas Exógenas

AutoRegressive Integrated

Moving Average AutoRegressivo Integrado Média Móvel

AutoRegressive Integrated Moving Average Exogenous inputs

AutoRegressivo Integrado Média Móvel com Entradas Exógenas

AutoRegressive Integrated

Exogenous inputs

AutoRegressivo Integrado com Entradas Exógenas

Box Jenkins Box Jenkins

Brushless Direct Current Corrente Contínua sem escovas

Direct Current Corrente Contínua

Duty cicle Ciclo de trabalho

Percent error Erro Percentual

Eletronic Speed Controler Controlador Eletrônico de Velocidade

Transfer Function Função de Transferência

Group Industrial Automation and

Control

Grupo de Automação Industrial e Controle

Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e

Shin Kwiatkowski, Phillips, Schmidt e Shin

Leybourne-McCabe Leybourne-McCabe

Least Squares Mínimos Quadrados

Philips & Perron -Philips & Perron

Personal Computer Computador pessoal

Pulse Width Modulation Modulação por Largura de Pulso

Rotation Per Minute Rotações Por Minuto

Lista de Símbolos

Velocidade de voo da aeronave (translação) Velocidade tangencial da pá (rotação) Ângulo de ataque do aerofólio

Ângulo de deslizamento da pá

Ângulo geométrico da pá

Tempo que a carga é mantida ativa Tempo que a carga está desativada

Corrente consumida pelos motores

Velocidade de rotação

Comprimento do registro dos dados disponíveis

Amperes

Número de observações

Ordem de integração

Operador de atraso

Graus dos polinômios A, B, C, D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Polinômios arbitrários

Operador das diferenças

Operador da primeira diferença

( ) Operador autorregresssivo não estacionário Ordem do modelo

( ) Função de transferência do processo. ( ) Função de transferência do ruído. ( ) Regressores

Estatística tau do teste ADF Estatística do teste KPSS

Série de saída Série de Entrada

Lista de Tabelas

Tabela 2.1: Características físicas dos componentes da plataforma...33 Tabela 4.1: Resultados dos testes ADF e KPSS para série de saída...74 Tabela 4.2: Resultados dos testes ADF e KPSS para série de saída...76 Tabela 4.3: Parâmetros do modelo ARIMAX (4,1,4,1) - Método: Gauss-Newton (gn)...82 Tabela 4.4: Parâmetros do modelo ARIMAX (4,1,4,1) - Método: Levenberg-Marquardt (lm)...82 Tabela 4.5: Parâmetros do modelo ARMAX (7, 5, 4) - Método: Gauss-Newton (gn)...83 Tabela 4.6: Parâmetros do modelo ARMAX (7,5,4) - Método: Levenberg-Marquardt (lm)...83 Tabela 4.7: Ajuste aos dados da plataforma para cada um dos métodos...85 Tabela 4.8: Raiz do Erro Quadrático Médio (RMSE) para cada um dos métodos...89 Tabela B.1: Progresso das Estimativas dos Parâmetros do modelo ARMAX (7,5,4) para o método de Gauss-Newton...100 Tabela B.2: Progresso das Estimativas dos Parâmetros do modelo ARMAX (7,5,4) para o método de Levenberg-Marquardt...100

Lista de Figuras

Figura 2.1: Áreas de aplicações de aeronaves não tripuladas...22

Figura 2.2: Diversas configurações de multirrotores...23

Figura 2.3: Quadrirrotor estilo Cruz (motores distribuídos como: direita para a frente (M1); esquerda para a frente (M2); esquerda para trás (M3); para a direita para trás (M4))...24

Figura 2.4: Movimentos e Organização dos motores: (a) Guinada, arfagem e rolagem realizados pelo quadrirrotor; (b) Distribuição dos motores...25

Figura 2.5: Sistema de propulsão eletromecânico...26

Figura 2.6: Partes constituintes de uma hélice...27

Figura 2.7: Um par de hélices com sentidos de giro opostos...27

Figura 2.8: Estrutura motor brushless BLDC...28

Figura 2.9: Representação das três fases da corrente ( ) fornecida pelo ESC...30

Figura 2.10: Forma da onda PWM...31

Figura 2.11: Plataforma Experimental...32

Figura 2.12: Motor brushless e sensor óptico...33

Figura 2.13: Conjunto de Dados: Corrente Elétrica ( )...34

Figura 2.14: Conjunto de Dados: Velocidade Angular ( )...34

Figura 3.1: Método da Identificação de Sistemas...38

Figura 3.2: Procedimento para identificação de processos...39

Figura 3.3: Etapas do procedimento básico de identificação...42

Figura 3.4: Diagrama de blocos do modelo paramétrico – expressão geral...46

Figura 3.5: Representação Esquemática do modelo ARX...47

Figura 3.6: Representação Esquemática do modelo ARMAX...48

Figura 3.7: Representação do modelo ARIMAX...48

Figura 4.1: Ajuste de ( ) pelo método dos mínimos quadrados...63

Figura 4.2: Dados para a estimação do modelo: (a) saída e (b) entrada...72

Figura 4.3: Dados para a validação do modelo: (a) saída e (b) entrada...73

Figura 4.4: Gráfico dos dados de saída após uma diferenciação...75

Figura 4.5: Gráfico da ACF da saída diferenciada...77

Figura 4.6: Gráfico da PACF da saída diferenciada...78

Figura 4.8: Gráfico da ACF gerado no software MatLab...79

Figura 4.9: Gráfico da PACF gerado no software MatLab...80

Figura 4.10: Gráfico do modelo estimado ARIMAX (4,1,4;1) e dos dados medidos pelo método de Gauss-Newton...85

Figura 4.11: Gráfico do modelo estimado ARIMAX (4,1,4;1) e dos dados medidos pelo método de Levenberg-Marquardt...86

Figura 4.12: Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método Gauss-Newton...86

Figura 4.13: Gráfico do modelo estimado ARMAX (7,5,4) e dos dados medidos pelo método de Levenberg-Marquardt...87

Figura 4.14: ARIMAX - Gráfico do erro pelo método de Gauss-Newton...88

Figura 4.15: ARIMAX - Gráfico do erro pelo método de Levenberg-Marquardt...88

Figura 4.16: ARMAX - Gráfico do erro pelo método de Gauss-Newton...89

Figura 4.17: ARMAX - Gráfico do erro pelo método de Levenberg-Marquardt...89

Figura A.1: Modelo ARIMAX (4,1,4,1) - Comandos utilizados para estimar o modelo pelo método de Gauss-Newton...99

Figura A.2: Modelo ARMAX (7, 5, 4) - Comandos utilizados para estimar o modelo pelo método de Gauss-Newton...99

Figura C.1: Comandos utilizados para validar os modelos pelo método de Gauss-Newton...107

Figura C.2: Comandos utilizados para validar o modelo pelo método de Levenberg-Marquardt...107

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 18 1.1 Considerações Iniciais ... 18 1.2 Motivação ... 19 1.3 Objetivos ... 20 1.3.1 Objetivo Geral ... 21 1.3.2 Objetivos Específicos ... 21 1.4 Contribuições ... 21 1.5 Estrutura do Trabalho ... 21 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 23

2.1 Veículos Aéreos Não Tripulados (VANTs) ... 23

2.2 Multirrotores: O Quadrirrotor ... 24

2.3 O Sistema de Propulsão Eletromecânico ... 26

2.3.1 A Hélice ... 27

2.3.2 Motor Brushless Direct Current (BLDC) ... 29

2.3.4 O ESC (Eletronic Speed Controler - Controlador eletrônico de velocidade) ... 30

2.3.5 Plataforma Experimental ... 31

3 MODELAGEM MATEMÁTICA E IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS ... 36

3.1 Considerações Iniciais ... 36

3.2 Modelagem Matemática e Identificação de Sistemas Dinâmicos ... 36

3.3 Estágios para Modelagem e Identificação de Sistemas ... 40

3.3.1 Coleta de dados experimentais ... 43

3.3.2 Determinação da estrutura ... 43

3.4 Modelos Paramétricos de Entrada-Saída ... 45

3.5 Representação dos modelos autorregressivos ... 47

3.5.2 Modelo ARIMA (p,d,q) e ARIMAX (p,d,q,r) ... 48

3.6 Determinação da ordem do modelo ... 50

3.6.1 Função de Autocorrelação (ACF) ... 50

3.6.2 Função de Autocorrelação Parcial (PACF) ... 51

3.7 Validação do modelo ... 54

3.7.1 Métodos Subjetivos – Simulação e Análise Residual ... 55

3.7.2 Métodos Quantitativos – Indicadores Estatísticos ... 56

3.8 Aspectos computacionais da metodologia ... 57

3.9 Estimação de Parâmetros ... 58

3.9.1 Método de Mínimos Quadrados (LS) ... 59

3.9.2 Método de Mínimos Quadrados Estendido (LSE) ... 60

4 ESTIMADORES ... 62

4.1 Considerações Iniciais: Mínimos Quadrados - Aplicação ao Ajuste de Curvas... 62

4.2 Ajuste de Polinômios ... 65

4.3 Método de Gauss-Newton ... 66

4.4 Método de Levenberg-Marquardt ... 68

4.5 Resultados e Discussões ... 72

4.4.1 Análise dos Dados de Entrada e Saída ... 72

4.6 Análise das Funções de Autocorrelação (ACF) e Autocorrelação Parcial (PACF)... 76

4.7 Estimação dos Parâmetros: Modelos ARIMAX (p, d, q, r) e ARMAX (p,q,r) ... 81

4.8 Validação do modelo ... 85

5 CONCLUSÕES ... 91

5.1 Considerações Finais ... 91

5.2 Proposições para Trabalhos Futuros ... 91

APÊNDICE A...98 APÊNDICE B...99 APÊNDICE C...107

1 INTRODUÇÃO

1.1 Considerações Iniciais

A utilização de novas técnicas para aperfeiçoar o desempenho e operações na área de controle está em constante ascensão. A modelagem matemática de sistemas dinâmicos é uma ferramenta auxiliar para a resolução de problemas de engenharia e demais processos industriais. Diante desse contexto, a manipulação, armazenamento, bem como aplicação de tal conhecimento sobre processos é realizada quando o conjunto de informações é organizado e transforma-se em um modelo matemático. De acordo com Aguirre (2007) e Dantas (2013), o modelo matemático pode ser determinado por meio de duas técnicas: modelagem (análise física e matemática) e identificação de sistemas (análise experimental).

Para a determinação de modelos matemáticos a técnica de identificação de sistemas é bastante utilizada, partindo dos dados de entrada-saída do processo. Através dos modelos matemáticos identificados é possível obter satisfatoriamente o comportamento dinâmico e/ou estático do sistema para uma aplicação específica, e, também, para uma faixa de operação limitada. Ressalta-se que não há um modelo que reproduza com exatidão o comportamento de um determinado sistema, bem como não há apenas um modelo para um sistema, entretanto vários modelos possíveis.

Os VANTs (veículos aéreos não tripulados) vêm sendo cada vez mais utilizados em diversas áreas, desde a agricultura até a segurança. Dentre suas variantes, destacam-se os multirrotores do tipo quadrirrotor. Estes vêm sendo comumente empregados como plataforma padrão para o estudo da motricidade e percepção espacial. Estes veículos possuem a capacidade de decolar e aterrissar de maneira vertical e ao mesmo tempo conseguem realizar o voo pairado. Devido a estas características, emanam inúmeras investigações na área de controle. Deste modo, faz-se necessária a obtenção do modelo matemático do conjunto de propulsão destas aeronaves. De encontro a este fato, emana também a necessidade de compreender e modelar matematicamente a dinâmica deste sistema de modo que se possa controlá-lo.

Observando a contribuição da identificação de sistemas para o controle e melhora de processos, foi realizada nesta dissertação a pesquisa acerca do funcionamento do propulsor eletromecânico, presente em multirrotores, bem como a investigação acerca de estimadores/identificadores baseados nos mínimos quadrados. Estes foram utilizados na modelagem matemática do propulsor, a fim de obter os parâmetros característicos do modelo com o menor número de iterações numéricas.

A estimação de parâmetros é uma importante etapa da identificação de sistemas. De um modo geral, para a solução de problema de estimação, deve existir uma relação (ou modelo) entre o sinal medido e o desejado, e também deve haver determinado critério para que o sinal desejado seja o estimado. Assim, faz-se necessário escolher um critério que se adapte com o modelo ou vice-versa.

1.2 Motivação

A aplicação de modelos matemáticos para identificação de parâmetros em sistemas é uma ferramenta antiga, entretanto apenas com a evolução e a popularização de métodos numéricos computacionais, a partir da década de 70, o seu uso se tornou mais abrangente e deixou de ser restrito ao meio acadêmico e às grandes corporações. Com a utilização de um modelo matemático, pode-se simular o comportamento de sistemas de natureza física, biológica, química, econômica, etc. Isto possibilita identificar como alterações em variáveis específicas de um sistema afetam o seu funcionamento.

No presente trabalho, busca-se efetuar a estimação de parâmetros dos modelos ARMAX1 e ARIMAX2, para comparação de performance. A determinação de parâmetros de um modelo faz com que sejam obtidas informações acerca dos estados do sistema para a aquisição do seu controle, com o intuito de prevenir falhas. Comumente, em problemas de estimação atribui-se que o modelo da planta é exato. Entretanto, tais modelos não fornecem o sistema real como um todo e sim aproximações (AGUIRRE, 2007). A diferença entre a planta real e o seu modelo aparece por diversos fatores, tais como:

 Alterações bruscas dos parâmetros do sistema;

1

AutoRegressivo Média Móvel com Entradas Exógenas.

2

 Não-linearidades (situações não modeladas) e comportamentos dinâmicos, não analisados ou simplesmente desconhecidos, bem como uma incerteza característica, devido aos procedimentos adotados para a identificação do sistema;

 Retardos, ou atrasos, não incluídos no modelo;

 Variações no ponto de equilíbrio (ponto de operação);

 Ruídos de componentes (sensores) e perturbações imprevistas.

 Diante deste contexto, os estimadores necessitam ser projetados a fim de que não haja degradação do seu desempenho na presença de alterações do modelo.

A utilização dos Mínimos Quadrados é cada vez mais comum para essa finalidade. Tal técnica de otimização matemática procura determinar o mais adequado ajuste para um conjunto de dados visando minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre o valor estimado e os dados observados (DANTAS, 2013). Entretanto, para cada tipo de problema, a eficácia do ajuste do modelo pretendido aos dados depende da escolha do método a aplicar. Deste modo, surgem questionamentos quanto ao número de técnicas e quais são tais técnicas, bem como qual a melhor e mais rápida dentre os métodos; se tem o mesmo desempenho, efeito, duração independentemente do número de parâmetros, dentre muitas outras.

Assim, almeja-se a obtenção dos parâmetros característico dos modelos matemáticos com o menor número de iterações numéricas, a fim de descrever o comportamento não linear do conjunto Hélice – Motor Brushless – ESC3, e que também possa auxiliar aos projetistas de VANTs na otimização das técnicas de controle e estabilidade.

1.3 Objetivos

Os objetivos que este trabalho propõe são divididos em: Objetivo Geral e Objetivos Específicos, os quais são detalhados na sequência.

3

1.3.1 Objetivo Geral

O objetivo geral deste estudo é investigar técnicas de estimação de parâmetros a serem utilizados na Modelagem Matemática de Propulsores Eletromecânicos, de forma a obter os parâmetros característicos do modelo com o menor número de iterações numéricas.

1.3.2 Objetivos Específicos

 Analisar e implementar os algoritmos dos estimadores propostos para o estudo.

 Verificar o desempenho de cada estimador.

 Comparar o desempenho dos diferentes estimadores.

 Comparar os parâmetros obtidos por meio dos modelos ARMAX e ARIMAX.

1.4 Contribuições

São expectativas deste trabalho:

 Contribuir para o desenvolvimento de técnicas Identificação de Sistemas, especialmente na análise de dados para a escolha da representação do modelo e estimação de parâmetros;

 Comparar métodos de estimação de parâmetros por meio dos modelos ARMAX e ARIMAX de um propulsor eletromecânico.

1.5 Estrutura do Trabalho

Essa dissertação está organizada conforme a estrutura apresentada a seguir. No Capítulo 2 é realizada uma revisão bibliográfica acerca dos Veículos Aéreos Não Tripulados (VANTs), com ênfase no multirrotor do tipo quadrirrotor. Ainda, são apresentadas características relacionadas ao sistema de propulsão eletromecânico e à plataforma experimental de testes.

No Capítulo 3 são abordados aspectos referentes à Modelagem Matemática e Identificação de Sistemas Dinâmicos, bem como são detalhados separadamente os

modelos matemáticos autorregressivos utilizados neste trabalho. Soma-se a isso, a abordagem das técnicas empregadas para a determinação da ordem dos modelos, validação e estimação de parâmetros (Método Mínimos Quadrados).

Inicialmente, no Capítulo 4, é descrita a estrutura dos métodos de estimação de parâmetros baseados nos Mínimos Quadrados, os estimadores Gauss-Newton e Levenberg-Marquardt. Também, são realizadas as validações dos modelos, a partir da comparação dos resultados simulados pelos modelos com os resultados experimentais obtidos na plataforma de testes. Na sequência, é realizada uma análise comparativa entre os resultados obtidos através de cada modelo.

Por fim, no Capítulo 5, são apresentadas as conclusões da pesquisa e as sugestões para trabalhos futuros.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Veículos Aéreos Não Tripulados (VANTs)

Um veículo aéreo não tripulado (VANT) ou UAV (Unmanned Aerial Vehicle) se caracteriza pelo seu funcionamento independente da presença humana em seu interior, ou seja, não há a necessidade de um piloto embarcado para pilotá-lo (PAULA, 2012). A crescente evolução dessa categoria de veículos aéreos é justificada pelo fato de possuírem diversas aplicações, bem como, diferentes configurações. Estas possibilitam o seu uso em situações que limitam a presença física de humanos.

Os multirrotores destacam-se pelo seu baixo custo e facilidade para sua construção. São utilizados no setor agrícola, em pesquisas climáticas, exploração de minérios, guarda costeira e policiamento urbano, telecomunicações, televisão e cinema. Estas naves vêm sendo utilizadas ultimamente também no meio civil, em diversas áreas, para fiscalizar, inspecionar e/ou monitorar através de imagens aéreas e filmagens. A Figura 2.1 apresenta algumas das atuais aplicações.

Figura 2.1: Áreas de aplicações de aeronaves não tripuladas

Dentre os diversos tipos de multirrotores destaca-se o VANT com quatro rotores (quadrirrotor), em que sua estrutura possui algumas vantagens se comparada à de outros. Ainda, o mesmo vem sendo usado como plataforma padrão para a pesquisa de mobilidade e percepção tridimensional em estudos na área de controle (OST, 2015).

2.2 Multirrotores: O Quadrirrotor

Entre os diversos tipos de multirrotores projetados, com três (tricóptero), quatro (quadrirrotor), cinco (pentacóptero), seis (hexacóptero), oito rotores (hectacóptero), entre outros, a colocação dos rotores pode variar, logo, o funcionamento da aeronave dependerá dessa distribuição. Os motores podem ser posicionados na estrutura em forma de "I", "X", "IY", "Y" e "V", como evidenciado na Figura 2.2.

Figura 2.2: Diversas configurações de multirrotores

Fonte: (COPTERCRAFT, 2018)

Geralmente, as configurações possibilitam que as aeronaves decolem e aterrissem de modo vertical. Tal característica, juntamente com a capacidade de navegação na horizontal, são desafios de investigação na área de controle de navegabilidade. Este fato justifica o seu uso como plataforma padrão de estudo nesta área.

Neste sentido, devido as suas particularidades, se dará ênfase neste trabalho ao estudo do quadrirrotor. De acordo com Leishman (2018), o mesmo tem sua origem no ano de 1907, com a construção do Bréguet-Richet Gyroplane N° 1 pelos irmãos Bréguet. O mesmo deriva do helicóptero em que são utilizados para sua

propulsão, quatro rotores de empuxo vertical (Figura 2.3). De maneira geral, esses rotores são posicionados nas pontas em forma de cruz e no centro estão situados os dispositivos para efetuar o seu controle (OST, 2015).

Figura 2.3: Quadrirrotor estilo Cruz.4

Fonte: XAIRCRAFT, 2018

O quadrirrotor possui quatro movimentos de atitude: arfagem, rolagem, guinada e altitude (Figura 2.4). Este movimento de atitude é a orientação da aeronave determinada pela mudança na inclinação do eixo em relação ao um ponto de referência.

Figura 2.4: Movimentos e Organização dos motores5.

Fonte: PAULA, 2012

4

Motores distribuídos como: direita para a frente (M1); esquerda para a frente (M2); esquerda para trás (M3); para a direita para trás (M4).

5

 Arfagem: Esse movimento faz o quadrirrotor mover-se para frente ou para trás (realizado em torno do eixo ).

 Rolagem: Esse movimento faz o quadrirrotor se deslocar para a esquerda ou para direita (ocorre em torno do eixo ).

 Guinada: Faz o quadrirrotor realizar o movimento em torno do eixo , ou seja, terá uma inclinação de zero grau em relação ao plano .

 Altitude: Faz a aeronave ganhar altura. É necessário o aumento da velocidade de rotação em todos os motores para obtenção deste movimento. Cabe ressaltar também o voo pairado, em que a aeronave permanece ‗parada‘ no ar, ou seja, não realiza movimento algum. Isto se dá quando a velocidade de rotação em todos os motores é a mesma, de forma que o empuxo gerado seja o suficiente para manter a aeronave voando.

2.3 O Sistema de Propulsão Eletromecânico

A propulsão é o processo em que se modifica o estado de movimento ou de repouso de um corpo em relação a um dado sistema de referência. Este procedimento utiliza várias fontes de energia, pode-se citar como exemplo, a energia das ligações químicas moleculares, a energia elétrica armazenada em baterias ou proveniente de painéis solares, a energia nuclear de reações de fissão nuclear e a energia do decaimento de radioisótopos (DOS SANTOS, 2007).

Um corpo pode ser acelerado através de fontes que foram transportadas junto com ele, ou seja, fontes de energia internas, por exemplo, em combustíveis armazenados em tanques, ou por fontes externas, como é o caso da pressão de radiação solar. Os meios de propulsão são utilizados para mover multirrotores, trens, veículos espaciais, automóveis, submarinos, navios, etc.

O sistema de propulsão eletromecânico é composto de três partes: o gerador PWM (Modulação por largura de pulso - Pulse Width Modulation), o controlador de velocidade (ESC) e o conjunto motor - hélice como ilustra a Figura 2.5.

O gerador de PWM tem como função enviar um sinal de tensão para o ESC, em que ao receber este sinal, o fraciona em três outros sinais, geralmente trapezoidais e defasados entre si em 120°. Estes sinais amplificados energizam os enrolamentos do motor brushless de forma comutativa gerando um campo

eletromagnético entre o enrolamento energizado e os imãs permanentes e assim, acontece a rotação do motor. No eixo do motor está conectada uma hélice que, ao girar, movimenta a aeronave. A energia para este funcionamento é proporcionada por uma bateria (VALER, 2016).

Figura 2.5: Sistema de propulsão eletromecânico.

Fonte: VALER, 2016

Na sequência apresentam-se a características principais de cada componente do sistema de propulsão eletromecânico.

2.3.1 A Hélice

As hélices são responsáveis pela propulsão da aeronave. Ela pode ser tratada como um aerofólio rotativo que no tempo de sua rotação gera um movimento do ar em forma helicoidal, reagindo aerodinamicamente como um aerofólio convencional, e assim gerando uma forma aerodinâmica resultante. Deste modo, a escolha da hélice é de extrema importância e está ligada diretamente a eficiência do conjunto Motor – Hélice (VALER, 2016), conforme a Figura 2.6.

Figura 2.6: Partes constituintes de uma hélice.

Fonte: HOMA, 2015.

De acordo com Fernandes (2016), o número de hélices deve ser correspondente ao número de motores. Contudo, é necessário que existam pares de hélices projetadas para girar no sentido horário (R) e pares que girem no sentido anti-horário (L). Tal característica é o que permite aos multirrotores se manterem estáveis em voo (Figura 2.7).

Figura 2.7: Um par de hélices com sentidos de giro opostos.

2.3.2 Motor Brushless Direct Current (BLDC)

Em meio às distintas configurações existentes dos motores, que variam de acordo com a sua aplicabilidade, o motor síncrono BLDC caracteriza-se pela funcionalidade e pela interação entre os campos eletromagnéticos. Logo, a velocidade e o torque do motor dependem da força do campo magnético gerado pelos enrolamentos quando energizados pela corrente.

A Figura 2.8, apresenta os componentes da estrutura do motor brushless utilizado na plataforma de testes para aquisição de dados experimentais por apresentar maior eficiência, menor ruído e menor relação entre suas dimensões e potência (VALER, 2016).

Figura 2.8: Estrutura motor brushless BLDC

Fonte: VALER, 2016

Pelo fato de que o motor funciona sem escovas, há eliminação das comutações mecânicas entre um enrolamento e a fonte de tensão (comparado a um motor de corrente continua comum), fazendo com que diminua a interferência eletromagnética gerada pelo motor, além da não existência do centelhamento (ALVES, 2012).

Tais características são fundamentais para aeronaves do tipo multirrotor, conforme Alves (2012). É significativo que os motores não produzam amplos ruídos pelo fato do circuito eletrônico de controle estar próximo a estes. Do mesmo modo, a inexistência de centelhamento faz com que o rendimento do motor aumente, proporcionando uma maior autonomia de voo e poupando assim as baterias.

A sustentação da aeronave é de responsabilidade o conjunto motor-hélice. Para que seja possível alcançar voo, a força total exercida pelos quatro motores utilizados deve ser maior que o peso da aeronave. Velocidade do motor e tamanho da hélice utilizada são fatores determinantes para a escolha do motor. Tal combinação resulta no peso máximo que o motor conseguirá sustentar (ALVES, 2012).

Em todo o procedimento de desenvolvimento de um multirrotor é necessário um sistema de controle da aeronave (ALVES, 2012). As técnicas de controle lineares e não lineares são dependentes de um modelo preciso da dinâmica do multirrotor. Deste modo, no projeto de sistemas de controle de voo, os algoritmos de controle adaptativos são de grande interesse, pois tem enorme capacidade de aprimorar a confiabilidade e o seu desempenho, e também de lidar com perturbações externas, imprecisões de modelagem e incertezas de parâmetros aerodinâmicos (BOUADI et al, 2011).

2.3.4 O ESC (Eletronic Speed Controler - Controlador eletrônico de velocidade)

O ESC é um dispositivo que determina a velocidade de rotação do motor. É responsável por absorver grande parte da potência fornecida pela bateria, com o propósito de alimentar os motores. Deste modo, ao serem construídos, para evitar a perda da energia da bateria, devem possuir uma boa eficiência energética, (DOS SANTOS, 2007). O funcionamento do ESC está fundamentado na criação de três sinais defasados da corrente, representada por , em 120º que irão alimentar as três fases do motor, expressas por e , conforme a Figura 2.9.

Figura 2.9: Representação das três fases da corrente ( ) fornecida pelo ESC.

Fonte: Adaptado de DOS SANTOS, 2007

A partir desta alteração, no interior do motor se forma um campo magnético que gira segundo o sinal aplicado a cada uma das fases. Com isso, o aumento da

velocidade de rotação fica subordinado ao nível de rapidez com que é feita a troca do campo magnético, do mesmo modo como o sentido de rotação está ligado com o sentido de giro do campo magnético. O encarregado do controle de velocidade é um microcontrolador, que ao receber o sinal PWM6 (Pulse Width Modulation - modulação por largura de pulso) de entrada, o defasa em três sinais. O controle através do PWM é realizado pela variação da potência aplicada em função do tempo. A Figura 2.10 apresenta a forma de um pulso PWM, (VALER, 2016).

Figura 2.10: Forma da onda PWM.

Fonte: VALER, 2016

Observa-se que o período do sinal é dividido em ON e OFF. O sinal pulso é originado a partir de um interruptor ou de um dispositivo capaz de abrir e fechar o circuito. O período consiste no pulso, que é o tempo em que a carga é mantida ativa (TON) (interruptor fechado), e no tempo que a carga se encontra desativada (TOFF) (interruptor aberto).

2.3.5 Plataforma Experimental

A metodologia proposta para o desenvolvimento deste trabalho organiza-se da seguinte maneira: após compreender o sistema de propulsão eletromecânico, foi realizada a aquisição de dados de entrada e saída do conjunto Hélice – Motor Brushless – ESC. Em seguida, verificou-se a condição da estrutura e foram

6

Esta técnica é utilizada para gerar sinais analógicos de um dispositivo digital como um Microcontrolador. Devido a sua eficiência, atualmente é empregada em quase todos os Microcontroladores modernos que possuem hardware dedicado para a geração de sinais PWM (SILVEIRA, 2018).

realizados os testes para definir os sinais de excitação da planta, e também a escolha do tempo de amostragem.

Para isto, utilizou-se a plataforma experimental (Figura 2.11) projetada em colaboração com alunos bolsistas do curso de engenharia elétrica no laboratório GAIC (Grupo de Automação Industrial e Controle), localizado no DCEEng (Departamento de Ciências Exatas e Engenharias) da UNIJUI (Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul).

Figura 2.11: Plataforma Experimental

Fonte: REIMBOLD et al, 2015.

A coleta de dados dos valores alusivos ao empuxo é realizada por meio de um sensor de deformação (célula de carga). Tal técnica baseia-se no princípio da balança de precisão, que utiliza a célula de carga na configuração de viga em balanço e possui uma capacidade de 1 kg, que corresponde a um empuxo de aproximadamente 10 N. Nessa configuração o elemento elástico é insensível aos esforços laterais e possui como característica o esforço em flexão, medindo deformações de tração e compressão, os quais são provocados pelo conjunto hélice-motor do propulsor. O sinal elétrico da medição do empuxo é amplificado por

meio de um módulo conversor analógico/digital que faz a ligação entre a célula de carga e o microcontrolador.

As características físicas dos componentes da plataforma são apresentadas na tabela a seguir.

Tabela 2.1: Características físicas dos componentes da plataforma

Componentes Características

Motor Marca Turnigy, modelo 2830/1000kw

Hélice Dimensões 9x3,8‘

Sensor Óptico TC RT5000

ESC Marca:RedBrick 24ª

Sensor da Corrente Marca: Lem, LA25N P

Bateria LitioIon polímetro

Nesta são obtidos dados da corrente aplicada no sistema e da velocidade de rotação do motor. O modelo proposto necessita descrever a relação matemática entre a corrente, e a velocidade de rotação do motor do sistema de propulsão eletromecânico. O sinal de velocidade de rotação e a geração de uma onda quadrada é capturada por um sensor óptico apresentado na Figura 2.12. A onda quadrada é enviada para um conversor, este o converte em um sinal analógico, que varia linearmente de acordo com a frequência da onda. A conversão para RPM (Rotações Por Minuto) é feita a partir da leitura do sinal analógico, que é convertida em Hertz e posteriormente em RPM.

O objetivo do modelo consiste em obter a relação matemática entre a grandeza física corrente ( ( )) e a velocidade de rotação do motor ( ( )), do sistema de propulsão eletromecânico. Os dados coletados para o presente estudo e obtenção do modelo matemático são apresentados graficamente nas Figuras 2.13 e 2.14.

Figura 2.13: Conjunto de Dados: Corrente Elétrica ( )

Fonte: autoria própria

Figura 2.14: Conjunto de Dados: Velocidade Angular ( ).

Analisando-se graficamente os dados de entrada e saída das figuras 2.13 e 2.14, percebe-se claramente a presença de ruído nos dados de saída, bem como, a semelhança do comportamento de ambos os sinais. Para que a amostra de dados seja representativa do sistema, os sinais amostrados ( ) e ( ) devem conter as características fundamentais do sinal original. Para tanto, é necessário que estes obedeçam ao Teorema de Shannon/Nyquist (RICOTTA, 2018), definido pela Equação 2.1:

( )

sendo, é a frequência de amostragem e é a frequência do sinal a ser amostrado. O sinal de excitação são degraus com diferentes amplitudes. Os critérios do projeto estabelecem que a faixa de frequência de amostragem seja de 5 a 10 vezes a frequência do sinal a ser amostrado. O valor escolhido para o intervalo de amostragem ( ) é de .

Posteriormente a coleta dos dados, e utilizando as técnicas de Modelagem e de Identificação de Sistemas, é possível obter o modelo matemático do sistema propulsor eletromecânico utilizado em aeronaves multirrotores.

3 MODELAGEM MATEMÁTICA E IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS

3.1 Considerações Iniciais

Neste capítulo serão apresentados conceitos e definições importantes para compreensão do trabalho. A identificação de sistemas será abordada por meio de representações matemáticas lineares e não lineares. Também será apresentado o regressor linear, denominado como Método dos Mínimos Quadrados, utilizado neste estudo para a estimação dos parâmetros.

Um sistema é formado por componentes interconectados, os quais são caracterizados por sua relação terminal (entrada/saída) (LATHI, 2007). As características dinâmicas de um sistema podem ser representadas por um modelo matemático. Conforme o modelo, os sistemas podem ser classificados, de maneira geral, em sistemas lineares e não lineares.

Apontando de maneira rigorosa, os sistemas lineares não existem na prática, uma vez que todos os sistemas físicos são não lineares de alguma forma (GOLNARAGHI; KUO, 2012). Um sistema é dito linear se o princípio da superposição for aplicável, também se pode dizer que um sistema é linear se as dimensões dos sinais do sistema são limitadas a intervalos de valores nos quais os componentes do sistema demonstrem características lineares. A principal motivação de utilizar sistemas lineares é simplificar a obtenção do modelo.

Em determinadas aplicações, aproximações lineares são suficientes. Entretanto, em alguns casos particulares, modelos lineares demonstram desempenho insatisfatório, sendo as representações não lineares mais adequadas. Optar por modelos não lineares traz como consequência o aumento da complexidade dos métodos a serem utilizados, porém, modelos não lineares produzem regimes dinâmicos que os modelos lineares não conseguem representar (AGUIRRE, 2007).

3.2 Modelagem Matemática e Identificação de Sistemas Dinâmicos

No cotidiano há ampla variedade de sistemas dinâmicos, como exemplos podem ser destacados os sistemas: biológicos, físicos, civis, sociais, econômicos,

mecânicos, elétricos, químicos, aeroespaciais, de transporte, de equipamentos, entre outros (RAOL et al, 2004). Um sistema é chamado dinâmico quando o valor atual da saída depende do valor atual da entrada, e também dos valores passados da entrada e da saída (LJUNG, 1987). Ao contrário dos sistemas estáticos, os dinâmicos, se utilizam de valores passados e são descritos geralmente por equações diferenciais, e, por equações diferenças, quando o sistema é discreto (AGUIRRE, 2007). No entanto, um sistema é dito estático quando os valores passados não afetam o valor atual do sistema.

Segundo Aguirre (2007) ―um modelo matemático de um sistema real é um análogo matemático que representa algumas das características observadas em um sistema‖. Neste sentido, os modelos ajudam na percepção de como é o sistema, ou como se espera que ele seja, permitindo, em determinadas condições de operação, mudar a estrutura ou o comportamento do sistema (MONTEIRO, 2002). Quanto mais precisas estas condições, mais próximo da realidade vai ser o modelo. É fundamental salientar que:

 Um modelo (sendo matemático ou não) sempre será uma aproximação de apenas algumas características do sistema real em uma determinada faixa de operação;

 Não há um único modelo de um sistema. Ressalta-se que é correto comentar sobre a existência de diversos modelos com propriedades e desempenhos variados, e a reprodução de certas características depende necessariamente dos objetivos para os quais o modelo está sendo desenvolvido.

Deste modo, a Identificação de Sistemas tem como objetivo propor o modelo matemático que melhor represente a relação entre dados amostrados do sinal de entrada ( ) e do sinal de saída ( ). Conforme ilustra a Figura 3.1.

Figura 3.1: Método da Identificação de Sistemas

Fonte: (REIMBOLD, M. M. P., 2008)

De acordo com Aguirre (2007) as principais vantagens de identificação, na literatura técnica são: (i) diminuição do número de parâmetros nos modelos, (ii) maior capacidade de reproduzir características fora dos dados de identificação, (iii) maior robustez e (iv) maior adequação para o desenvolvimento de sistemas de controle.

Diante disso, a Identificação de Sistemas consiste, fundamentalmente, na determinação de um modelo matemático que represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída (ISERMANN; e LACHMANN, 1985; LJUNG, 1999). Segundo os apontamentos de Coelho e Coelho (2004), os modelos de processos industriais, por exemplo, podem ser obtidos por meio do tratamento de medidas (procedimento estatístico, filtragem de dados) coletadas a partir de uma realização experimental para uma utilização particular, como diagnóstico, supervisão, otimização e/ou controle.

Para fins de controle de processos, não se pretende definir um modelo matemático exato, mas um modelo adequado para uma determinada aplicação. Estes modelos podem ser caracterizados, no processo físico, pela função de transferência, para sistemas lineares; e modelos polinomiais, por exemplo, para sistemas não lineares, com os polinômios não lineares sendo funções lineares nos parâmetros, o que permite a utilização dos algoritmos de estimação de parâmetros lineares para modelos não lineares (DANTAS, 2013).

Figura 3.2: Procedimento para identificação de processos

Fonte: Modificado de Coelho e Coelho (2004).

Partindo-se da hipótese de que não se pode controlar algo que não é conhecido, a modelagem e a identificação de sistemas são importantes recursos no controle automático de processos.

O modelo de um sistema (ou planta industrial) é definido, como uma simplificação da realidade, de forma, a melhorar a compreensão que se tem a seu respeito. No sistema a ser identificado são realizadas medições chamados de dados, onde, estes são gerados por meio de testes em amostras feitas no próprio sistema. Esses testes compreendem os ensaios realizados e tem como objetivo excitá-lo de maneira a garantir a permanência de algumas características presentes nos dados (AGUIRRE, 2007). Obtido um modelo, este deve ser capaz de repetir e reproduzir respostas semelhantes àquelas fornecidas pelo sistema, quando encadeado às mesmas excitações (SANTOS SOBRINHO, 2006). Ressalta-se que um modelo pode não ser o único, podendo-se por meio de diferentes expressões matemáticas expressarem a relação entre a entrada (excitação) e a saída (resposta).

Em muitos casos, por razões de objetivos ou dificuldades técnicas, é necessário utilizar-se de métodos de identificação para se obter modelos que descrevem o comportamento de sistemas (NORTON, 1986) e (SODERSTROM e STOICA, 1989).

Segundo Coelho e Coelho (2004), os modelos matemáticos podem ser usados desde o projeto até a operação de plantas, incluindo estudos de viabilidade econômica de processos industriais, com importantes aplicações, tais como:

 projeto de equipamentos, processos e plantas e seus respectivos sistemas de controle;

 pré-operação e operação de plantas, proporcionando seleção de ajustes e projeto de leis de controle;

 otimização das condições operacionais de plantas, para melhor utilização de recursos disponíveis.

3.3 Estágios para Modelagem e Identificação de Sistemas

A estruturação de um modelo utilizando as técnicas de identificação não é tão trivial, haja vista que o processo de identificação de sistemas não se caracteriza apenas na execução de um algoritmo de estimação de parâmetros sobre determinadas amostras ou dados e a validação do modelo. Faz-se necessário o cumprimento de certas etapas (ou estágios) que estão associadas à formulação do problema, ao propósito e escopo do modelo e ao que se conhece sobre o próprio sistema e sobre o modelo. Juntas, estas determinam a elaboração de um plano (ou projeto) de ações para definir os principais procedimentos de modelagem para o sistema a ser estudado. Este plano de ações denomina-se Projeto de Experimento (LJUNG, 1987).

Esse projeto de experimento, conforme Aguirre (2007) se divide nas seguintes etapas: I. testes dinâmicos e coletas de dados, II. escolha da representação matemática a ser usada, III. determinação da estrutura do modelo, IV. estimação de parâmetros, V. validação do modelo. As ações do projeto de experimentos são consideradas essenciais, e são relacionadas brevemente a seguir.

 Testes dinâmicos e coleta de dados: Nesta etapa, são obtidos os dados experimentais do sistema a ser identificado, o que é de grande importância a escolha dos sinais de excitação, a execução do teste e a escolha do tempo de amostragem para não ocorrer problemas.

 Escolha da representação matemática a ser usada: Nesta etapa, é feita a escolha de qual modelo matemático vai ser utilizado para a descrição do sistema. Essa escolha deve ser embasada no conhecimento do processo de

identificação e no conhecimento do próprio sistema a ser identificado. É uma das etapas mais importantes no processo de identificação de sistemas, isso se deve ao fato que os modelos matemáticos são utilizados para descrever as propriedades de um sistema, e assim há uma relação do modelo a ser identificado com os dados experimentais.

 Determinação da estrutura do modelo: Nesta etapa, no caso de modelos lineares, são determinados a quantidade de polos e de zeros, e o atraso puro de tempo do sistema. Em modelos não lineares, é preciso verificar e determinar a quantidade de termos dos modelos polinomiais, pois há um crescimento no número de termos de acordo com a não linearidade.

 Estimação de parâmetros: Esta etapa tem início com a escolha do algoritmo a ser utilizado. Também são estimados os parâmetros da estrutura matemática escolhida, onde é responsável pelo comportamento do sistema dinâmico a ser identificado.

 Validação do modelo: Na última etapa, deve-se verificar se este modelo apresenta as características de interesse do sistema original. Para isso é importante comparar os modelos entre si e verificar qual possui o melhor desempenho. Esta comparação é certamente muito subjetiva e o resultado dependerá da aplicação pretendida para o modelo e da quantidade de informação disponível sobre o sistema original.

A verificação e a validação do modelo são realizadas ao comparar as saídas do modelo com as respostas do sistema real para um conjunto de sinais de entrada (RODRIGUES, 1996).

Figura 3.3: Etapas do procedimento básico de identificação

3.3.1 Coleta de dados experimentais

Trata-se da coleta de um conjunto de dados que relaciona a entrada e saída do sistema, sendo os dados obtidos a partir de medições da resposta ( ) do sistema quando aplicado um sinal ( ) previamente determinado. É necessário que o sinal de entrada ( ) consiga excitar o sistema em todas as faixas de frequências de interesse para que seja possível a identificação, de forma a revelar as características dinâmicas e estáticas do sistema (AGUIRRE, 2007; DANTAS, 2013).

Conforme Dantas (2013), nos métodos de identificação determinísticos e estocásticos, os sinais de excitação comumente aplicados são os degraus, senóides, sinais pseudo aleatórios7 e ruídos brancos8 ou Gaussianos. Outro fator importante é a determinação do tempo de amostragem.

Sua influência se estende desde a seleção da estrutura e estimação dos parâmetros, até a eficácia do modelo em representar características importantes do sistema. Aguirre e Billings (1995) estudaram a importância da determinação correta do tempo de amostragem e perceberam que os dados precisam ser amostrados em intervalos de tempo adequados, ou seja, pequenos o suficiente, de modo que todas as frequências de interesse sejam visitadas pelo conjunto de dados, com o cuidado para que não sejam pequenos demais, prejudicando assim, o desempenho do algoritmo de estimação de parâmetros. Além disso, algumas interações não lineares só aparecerão e serão reproduzidas se a taxa de amostragem for suficientemente alta.

3.3.2 Determinação da estrutura

Há várias formas de classificar técnicas de modelagem. Uma delas agrupa os métodos em três categorias denominadas modelagem caixa branca, modelagem caixa preta e modelagem caixa cinza (AGUIRRE, 2007):

 Modelagem caixa branca - também conhecida como modelagem pela física do processo ou natureza do processo, ou modelagem conceitual, requer um conhecimento a priori do sistema e igualmente das leis físicas que o caracterizam;

7

Pseudo Random Signal (PRS).

8

 Modelagem caixa preta - há pouco ou nenhum conhecimento a priori do sistema, de forma que, apenas um projeto de sinal de entrada é feito, com o objetivo de observar o comportamento da saída do sistema. Por fim, a identificação do modelo acontece pelos dados coletados da entrada e saída do processo;

 Modelagem caixa cinza - de acordo com Contreras et al (2011) está localizada entre a modelagem caixa branca e modelagem caixa preta. Este tipo de modelagem utiliza informações auxiliares que os dados coletados durante a identificação não são capazes de demonstrar. A quantidade de informação auxiliar irá caracterizar a modelagem como mais ―clara‖ ou mais "escura".

Na literatura há uma ampla variedade de representações não lineares que, em tese, podem ser usadas na modelagem e identificação de sistemas, a exemplo o que é demonstrado por Aguirre (2007):

 Série de Volterra: A saída ( ) de um sistema não linear com entrada ( ) pode ser representada pela chamada série de Volterra definida como:

( ) ∑

∫

∫

(

)

∏

(

)

sendo que as funções são os núcleos9 e claramente são generalizações não lineares da resposta ao impulso ( ).

 Modelos de Hammerstein e de Wiener: Ambos os modelos são uma composição de um modelo dinâmico linear ( ) em cascata com uma função estática não linear ( ). No caso do modelo de Hammerstein, a não linearidade estática precede o modelo dinâmico linear, ou seja:

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) (3.2)

No caso do modelo de Wiener, o modelo dinâmico linear precede a não linearidade estática, isso é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) (3.3)

9

3.4 Modelos Paramétricos de Entrada-Saída

Um modelo matemático de um sistema é uma representação deste sistema. Diante disso, com o objetivo de representar melhor o comportamento dinâmico de um processo, existem diversos modos de se construir estruturas para os modelos matemáticos. Por exemplo, em sistemas dinâmicos lineares, a função de transferência por meio da razão de dois polinômios, relaciona a entrada com a saída do processo. Nas distintas técnicas de identificação de sistemas dinâmicos, uma estrutura bastante utilizada para a modelagem é o modelo paramétrico de entrada-saída.

Os modelos paramétricos são comumente representados no domínio do tempo discreto. Sua estrutura e forma como é disposta pode se levar em conta a presença de ruído nos dados. Deste modo, os modelos paramétricos apresentam na mesma estrutura duas parcelas: uma parcela que relaciona a informação unicamente dos dados de entrada e de saída; e outra parcela, devido a característica dinâmica associada ao ruído. Assim, na mesma estrutura tem-se a representação de dois ‗submodelos‘ dentro de um só. Um modelo devido à parte denominada determinística (que não leva em conta o ruído), e a outra parte que representa o próprio modelo do ruído.

Tais modelos podem ser escritos por meio da expressão geral a seguir (FONTES, 2002): ( ) ( ) ( ₎ ( ) ( ) ( _{) ( )} ( ), (3.4)

parte determinística modelo do ruído (parte estocástica)

em que,

 ( ) é a saída do processo no instante atual ;

 ( ) é o sinal de entrada no instante atual ;

 _{representa o operador atraso unitário tal que ( ) ( );}

 é o retardo ou tempo morto, em múltiplos do período de amostragem (d ≥ 0);

 ( ) é um ruído, por hipótese, branco, gaussiano, com média zero e variância .

Os polinômios A( ), B( ), C( ) e D( ), são definidos como:

( ) ( ₎ ( ) ( ) (3.5) (3.6) (3.7) (3.8)

em que , , e são os graus dos polinômios A( ), B( ), C( ) e D( ), respectivamente (TORRES, 2012).

É notável que há um atraso natural de uma unidade do período de amostragem entre a saída e a entrada do sistema. Isto se deve ao fato do modelo discreto utilizar durante o processo de amostragem da entrada, o zero-order holder. O zero-order

holder até que se tenha uma resposta no instante atual mantém o valor da entrada anterior em ( ) (TORRES, 2012).

Para ilustrar o que foi descrito, considere o diagrama de blocos da Figura 3.4.

Figura 3.4: Diagrama de blocos do modelo paramétrico –

expressão geral.

3.5 Representação dos modelos autorregressivos

Os modelos apresentados na sequência podem ser considerados casos particulares do modelo ARIMAX (p,d,q,r) (AutoRegressive Integrated Moving

Avarage with eXogenous inputs) em que os polinômios D(q) e F(q) são de ordem

1,ou seja, ( ) ( ) , sendo o operador de atraso.

3.5.1 Modelo ARX (p,r) e ARMAX (p,q,r)

O modelo autorregressivo com entradas externas, ARX (p,r) para um Sistema Linear, Invariante no Tempo, caso monovariável ou SISO (em inglês Single Input Single Output), ou ARIMAX (p,0,0,r), é um modelo que representa um sistema com entrada e saída (Figura 3.5). O modelo ARX (p,r) é definido por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.10)

Figura 3.5: Representação Esquemática do

modelo ARX

Fonte: Adaptado de Aguirre, 2007

Se existir a necessidade da utilização de filtro neste modelo, acrescenta-se ao modelo ARX o termo de médias móveis. O modelo ARMAX (p,q,r) pode ser representado pelo esquema da Figura 3.6 e a Equação 3.11:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Figura 3.6: Representação Esquemática

do modelo ARMAX

Fonte: Adaptado de Aguirre, 2007.

3.5.2 Modelo ARIMA (p,d,q) e ARIMAX (p,d,q,r)

O modelo ( ) é adequado para a previsão de séries temporais cujo processo estocástico não é estacionário. Logo, a série original passará por algumas diferenciações a fim de torná-la estacionária (BOX, JENKINS, 1976).

Para verificar se é necessária a diferenciação da série original, é comum utilizar o gráfico da mesma. Na maioria dos casos, a série pode ser não-estacionária quanto ao nível ou quanto a inclinação. De acordo com Souza e Camargo (2004), quando a série for não-estacionária quanto à inclinação, basta tomar a segunda diferença.

O número necessário de diferenças para tornar uma série estacionária é denominado ordem de integração d. O modelo ARIMA (Figura 3.7) é definido pela equação (3.12).

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.12)

( ) ( ) ( ) ( ) (3.13)

Figura 3.7: Representação do modelo

ARIMA

Ao ser aplicado a um sistema dinâmico, onde se considera a entrada, como é o caso desta pesquisa, faz se a escolha do modelo ARIMAX (p,d,q,r) representado pela Figura 3.8 e pelas equações (3.14) e (3.15).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) (3.14) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.15)

Figura 3.8: Representação do modelo ARIMAX

Fonte: Adaptado de Moreira, 2013

O modelo ARIMAX pode ser definido, de maneira geral, a partir da seguinte estrutura polinomial: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.16) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3.18)

Onde ( ) é a função de transferência ( ) do processo, ( ) a do ruído, ( ) é um ruído branco. A se constituí de uma das representações mais importantes na modelagem de sistemas dinâmicos lineares. Elas modelam o comportamento dinâmico de um par, entrada-saída, de um sistema. Em outras palavras, descrevem a forma como uma entrada é dinamicamente ―transferida‖ para a saída do sistema (AGUIRRE, 2007).

Os polinômios A(q), B(q), C(q), D(q) e F(q) são definidos por: ( )

( ) (3.20)

( )

(3.21)

( ) (3.22)

( ) (3.23)

onde é o operador de atraso definido por ( ) ( ), e ny, nu, nv, nd e

nf que são os respectivos graus dos polinôminos. O grau do polinômio A(q)

corresponde aos número de pólos que são comuns entre a modelagem dinâmica do sistema e a modelagem do ruído (útil quando o ruído entra no sistema junto com a entrada). As funções F(q) e B(q) representam os pólos e zeros que afetam somente a entrada, e D(q) e C(q) os pólos e zeros que afetam somente o ruído.

3.6 Determinação da ordem do modelo

De acordo com os dados é realizada a escolha da ordem do modelo. Assim, é necessário um método que permita a seleção apropriada tanto da ordem do modelo bem como de sua representação. Tais informações podem ser obtidas através da análise conjunta da função de autocorrelação (ACF) e da função de autocorrelação parcial (PACF) (BOX, JENKINS e REINSEL, 1994).

3.6.1 Função de Autocorrelação (ACF)

As propriedades básicas de uma série temporal podem ser comparadas usando a função de autocorrelação, pois ela não é influenciada pelas unidades de medida (FULLER, 1996). Para isso a função de autocorrelação de uma série estacionária é definida como:

( ) ( ) ( ) (3.24) ( ) ∑ ( ̅ ) ( ̅ ) _(3.25) ( ) ∑ ( ̅ ) _(3.26)

que é a variância dos primeiros elementos da série. Caso seja estacionária, a série temporal gerada de um processo estocástico, a média ̅, a média amostral, e a variância podem ser calculadas da seguinte maneira:

̅ ∑ (3.27) ∑( ̅) (3.28)

onde é o tamanho da amostra.

A sequência de correlações entre ( ) ( ), ( ) e assim sucessivamente, é denominada função de autocorrelação (ACF), cujos efeitos intermediários de defasagem são mantidos constantes. O diagrama que reproduz a ACF dispõe de limites de significância estatística, mas se as defasagens ultrapassarem esse limite, as autocorrelações são consideradas significativamente diferentes de zero. É importante ressaltar que a ordem da parte MA (Médias Móveis) que faz parte da ACF é a mais alta defasagem com autocorrelação significativa. De forma análoga, a escolha da ordem da parte AR (Autorregressivo) do modelo, usa-se a função de Autocorrelação Parcial (PACF).

3.6.2 Função de Autocorrelação Parcial (PACF)

A função de autocorrelação parcial é uma medida da correlação entre as observações de uma série temporal. Esta medida corresponde a correlação de e

removendo o efeito das observações e é escrita por , ou

seja:

(

) (3.29)

Tem-se um método geral para encontrar a PACF. Para um processo estacionário com ACF é utilizando as equações de Yule-Walker, ou seja, para certo tem-se: