Análise de cascas espessas com elementos finitos mistos

Carlos Renato Fabris

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL .DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTEN-ÇÃO DO .GRAU DE MESTRE EM CII:NCIAS (M.Sc.).

Aprovada por:

. · ~ Andres udoviço kitl5ritter

·~ . (p~esident~~

e

:~~~

_-~j-<~

Agústin J. Ferrante

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

FICHA CATALOGRÁFICA

FABRIS, CARLOS RENATO Análise de Cascas tos Finitos Mistos. 1978.

Espessas com Elemen ( Rio de Janeiro

T

VII, 114p. 29,7 cm. (COPPE - UFRJ, M.Sc., Engenharia Civil, 1978)

Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro. Co-ordenação dos Programas de Pós-Graduação de Engenharia.

1. Estruturas I.COPPE/UFRJ II.Títu-lo (série).

AGRADECIMENTOS

Ao professor Andrés Ludovico Halbritter sugestão e orientação deste trabalho.

pela

Aos professores da COPPE/UFRJ pelos conhecimen tos transmitidos.

Ao CNPq e à CNEN pelo auxilio financeiro. Ao Núcleo de Computação Eletrônica da UFRJ pe-lo apoio prestado durante o desenvolvimento do programa auto-mátiço.

 Secretaria do Programa de Engenharia da COPPE pelos tratamentos e atenções dispensados.

Civil

A todas outras pessoas que incentivaram e con-tribuiram para a realização deste trabalho.

SINOPSE

t

apresentado o desenvolvimento de um elemen to finito de modelo misto, cujas incógnitas fundamentais sao tensões e deslocamentos, para resolver, no caso mais geral, casca espessa de forma arbitrária. A análise é linear e base ada na Teoria da Elasticidade.

O elemento finito em questão e um elemento iso paramétrico tridimensional quadrático degenerado que leva em conta as deformações ocasionadas pelos esforços cortantes transversais.

Foi elaborado um programa computacional em lin guagem ALGOL, cuja listagem é apresentada no apêndice, capaz de resolver problemas de cascas, flexão de placas e de estado plano de tensões, considerando diferentes tipos de carregameg tos e efeitos provocados por variação de temperatura.

O comportamento deste elemento na convergência de resultados é analisado com relação às influências, dentre outras, do número de pontos de integração e das prescrições das condições de contorno.

SUMMARY

This paper presents the development of a mixed finite element for analysis of thick shells of arbitrary shape, in the most general case. The fundamental unknowns are stresses and displacements. The analysis is linear and is based on the Theory of Elasticity.

The finite element at issue is a degenerated quadratic tridimensional isoparametric, and takes into consid-eration the transverse shearing deformations.

Listing of the ALGOL program is included in the appendix. The computer program treats shells, plate bending and plane stress problems, considering different kinds of loads and effects of temperature changes.

The convergence behaviour of this element is analysed, among others, with regard to the influence of the number of integration points and of the prescribed

conditions.

1'

N D I C E

Capítulos:

I - INTRODUÇÃO

II - FORMULAÇÃO DO MODELO MISTO ATRAvf:S DO PRINCÍPIO VARIACIONAL GENERALIZADO

1 - Princípio Básico

2 - Estudo da Continuidade 3 - Princípio Generalizado 4 - Modelo Misto

III - O MODELO MISTO NO ~TODO DOS ELEMENTOS FINITOS

Pág. 1 4 4 5 8 10 12 1 - Introdução . . . 12 2 - Particularização do Funcional de Reissner

para o Método dos Elementos Finitos 3 - Critérios de Convergência

IV - DESENVOLVIMENTO DE UM ELEMENTO TRIDIMENSIONAL QUADRÃTICO DEGENERADO

V

1 - Geometria do Elemento 2 - Campo de Deslocamentos 3 - Campo de Tensões

4 - Matriz de "Rigidez Generalizada" do Elemento de Casca

- O PROGRAMA COMPUTACIONAL 1 - Introdução

2 - Pontos de Integração 3 - Condições de Contorno

4 - Forma Esquemática do Programa 5 - Utilização do Programa 13 15 17 17 20 21 33 41 41 42 45 46 50

Capítulos:

VI - APLICAÇÕES DO PROGRAMA COMPUTACIONAL

1

-

Exemplo N9 1

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2

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Exemplo N9 2

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3

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Exemplo N9 3

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4

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Exemplo N9 4

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5

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Exemplo N9 5

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6

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Exemplo N9 6

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VII - CONCLUSÕES

APt!NDICE A Forças Nodais Equivalentes devido a

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Pág.

57 57 60 63 63 70 75 78 Variação de Temperatura . . . 81 AP~NDICE B Listagem do Programa Computacional 86 NOTAÇÕES

...

110

I I N T R O D U

Ç

à O

O problema básico da teoria de cascas consiste da redução de um problema tridimensional para outro bidimen-sional, isto é,expressar os campos de tensões e deslocamentos na casca em função da deformação da sua superfície média. Pa ra

casca

possibilitar esta transformação, é comum delgada ignorar o efeito de deformações

na teoria de devido ao es-forço normal transversal e aos cortantes transversais, e tam-bém assumir a tensão normal transversal como sendo nula. 1

Em comparação com a teoria de casca delgada, a teoria de casca espessa se apresenta de uma

mais complicada. Devido a isto, as formulações

forma muito e solução de casca fina já são largamente conhecidas, enquanto que para casca espessa, na maioria das vezes, estão restritas a uma g~ ometria específica de casca e condições de carregamento. ~, pois, importante termos o valor limite para a relação espess~ ra - raio de curvatura (h/r), que nos defina a validade dou-so da teoria de casca delgada. Temos conhecimento que no cá! culo de determinadas estruturas, tais como vasos de pressoes de reatores nucleares e barragens em abóbodas, o uso da teo-ria de casca espessa é necessário.

Na literatura, não encontramos qualquer inves-tigação convincente que definisse o limite da validade da teo ria descrita para casca delgada. Vlassov, Novozhilov2 e Kraus3 _{sugeriram o valor limite h/r igual a- 1/30, 1/20 e 1/10,} respectivamente.Estes valores não estão baseados em

nálise quantitativa mais profunda. Sabemos que tal

qualquer a limite é influenciável pela geometria da casca e condições de contorno e de carregamento.

Com o intuito de resolver problemas de casca espessa de forma genérica recorremos ao método dos elementos

finitos.Sernelhanternente a Zienkiewicz e co-autores4

' 5usarnosurn

elemento tridirnensionalquadrático degenerado aplicando os con ceitas da teoria da elasticidade linear. Desenvolvemos uma formulação mista a partir do princípio variacional de Reissner, assumindo no interior do elemento campos de desloc~ mentas e tensões, simultaneamente. No sistema de equaçoes final, as incógnitas são os deslocamentos e as tensões. Tam-bém, nos nós situados no contorno, estes dois tipos de incóg-nitas estão presentes. A rigor, podemos dizer que o elemento desenvolvido não é completamente isoparamétrico, pois o cam-po de tensões segundo a espessura do elemento é definido por um polinômio do segundo grau, enquanto o de deslocamentos é linear.

No desenvolvimento do elemento finito, consid~ ramos as deformações devido aos esforços cortantes transver -sais, enquanto o esforço normal transversal foi feito igual a zero.

As inconveniências do modelo misto provêm da natureza do sistema de equações algébricas resultante. Pois, a matriz de "rigidez generalizada" 6 _{global, embora simétrica,} não é positiva definida, e, neste modelo, o número de equa-ções algébricas é maior do que no modelo de deslocamentos ou de forças. Apesar disto, procuramos investigar o seu pote!! cial com relação aos outros modelos.

Foi elaborado um programa automático que consi dera, além de diversos tipos de carregamentos, o efeito prOVQ cada pela variação de temperatura. A listagem deste progra -ma, em linguagem ALGOL, encontra-se exposta no apêndice B.

Problemas de estado plano de tensões e de fle-xao de placa sao resolvidos como casos particulares de probl~ mas de casca,com economia no uso do computador. Nestes ca -sos particulares, as variáveis nodais fundamentais, que para casca são dezesseis por nó, diminuem para cinco (estado plano de tensões) e oito (flexão de placa).

O comportamento do elemento misto com relação a números de pontos de integração numérica, prescrições de

condições de contorno e refinamento da malha de elementos e estudado ao se resolver, com o programa automático, diversos exemplos numéricos. Além disto, foram feitas comparaçoes en-tre resultados obtidos com o nosso elemento e os obtidos com o modelo de deslocamentos baseado em funções de interpola-çoes para geometria e deslocamentos idênticas àquelas por nós assumidas no modelo misto.

II F O R M U L A

Ç

à O D O M O D E L O D O P R I N C

1

P I O A T R A V

t

S A C I O N A L G E N E R A L I Z A D O M I S T O V A R I

-Neste capítulo apresenta-se de maneira sucin-ta, baseando-se no que foi exposto na referência (7), o desen volvimento da formulação do modelo misto.

2.1 P R I N C

1

P I O B Ã S I C O

Na teoria dos pequenos deslocamentos, em um só lido tridimensional linearmente elástico em equilíbrio (fig. 2.1), usaremos o Princípio dos Deslocamentos Virtuais parai-gualar o trabalho produzido pelas forças externas com o prod~ zido pelas forças internas.

( 2 .1) ou

=

f

a.k.ôE:.k.dV V J J ( 2. 2) com

V

=

volume do corpo da figura (2.1)

8_{a superfície de fronteira em que é especificado um campo} de tensões

S

=

superfície de fronteira em que e especificado um campo u

de deslocamentos (fig. 2.1)

e

=

deslocamentos arbitrários pequenos e admissíveis

=

cargas aplicadas no contorno Scr

=

tensões no domínio V = deformações em V

-\ p:~

₁

V

\5' '

pk Fig. 2.1 Fazendo ( 2. 3) ( 2. 4)

e sendo o material linearmente elástico pode-se escrever, ba-seando-se em ( 2. 2) que:

ou

+

an

=

o

( 2. 5)

e

a

TI

₌

o

( 2. 6)

sendo TI a energia potencial total.

2.2 E S T U D O D A C O N T I N U I D A D E

Com o objetivo de generalizar o Principio da~ nergia Potencial Total, dividiremos o corpo da figura ( 2. 1)

em duas partes pela superfície direção normal a S _n que vai da

s

(fig. 2.2). O sentido da

n

par-te (2), será adotado como positivo.

s~

Fig. 2.2

Após considerarmos funções deslocamentos u 1 e

k

u~ na parte (1) e na (2) do corpo da figura (2.2) aplicaremos a restrição de igualdade deu~ com u~, em Sn.

Á energia potencial da parte (1) e da (2) do corpo são, respectivamente:

e

Podemos ainda escrever:

=

!·f

o.k.s.k.dV -V J J De maneira a impor funcional: u1 k u 2

₌

O k em S , construímos o n

com Àk sendo os multiplicadores lagrangeanos.

parte

novo

( 2. 7)

Variando IT* para se obter as condições estacio nárias, temos:

oTI*

=

Jvªjk"ºEjk.av - Jvbk.ouk.av - Js pk.ouk.ds +

a

J

s [º"k· (ut - u~) + "k· (out - ou"l) .as

n

( 2. 8)

Antes de aplicarmos o Teorema de Green ao pri-meiro termo do segundo membro da equação (2.8) é interessante fazermos as seguintes observações:

1~

2~

-A Superfície total do corpo (1) e do (2) sao respectiva-mente:

s1

=

51 _a + 51 _u + s _n e

S2

=

52 _a + 52 _u + s _n

pk

=

nj.crjk. Significando com isto que pk equivale a

a.k na superfície S , com n. sendo os co-senos diretores

J a J

em relação à normal ã superfície S

0 •

3~ - Na equaçao (2.8) podemos dizer que

J

a.k.oE.k.dV V J J

quivalente a

J

a.k.ou. k.dV porque:

e

e-V J J '

com oEjk simétrica, determinando deformações (sem rota-ções) e owjk sendo anti-simétrica, determinando rotações de corpo rígido (sem deformações).ª

Utilizando o Teorema de Green, podemos escre-ver que:

Jvªjk"ºEjk.dv

=

Js pk.ouk.ds +

a

Js (pt.out + p~.ou~l .as

-n

que levando na equaçao (2.8) e agrupando os termos convenien-temente temos:

r

J

8

_n

[

(p{ +

Àk).ou{

+ (p~ -

Àk) .ou~Jas

+ u~)

.as .

(2.10)

As condições do estado estacionário da expressao (2.10) forne ce-nos:

fazendo com que a mesma possa ser transformada em:

611*

=

-Jv

(crjk,j

J

8

op{. (

u{ - u~)

.as

n

e a equaçao (2.7) com pk

=

P{ em

f

s

pk.

(u{ -

u~).dS

n

com o último termo representando a condição de

u 1 = u 2 k k (2.11) restrição 2.3 P R I N C

1

P I O G E N E R A L I Z A D O Ao considerarmos a superfície S , n

te ao contorno Su ,impomos as condições: u{

=

uk (fig. 2.3). Desta forma, reescrevemos a equação

·pe:i::tencen-e u2 = Ü k k ( 2 . 11) como:

=

!·I

a.k.E.k.dv V J J

Is

pk. (uk u Fig. 2.3: Superfície S n ao contorno S u

r

J

s

a pertencente (2.12)

A energia de deformação (U), de um corpo line-armente elástico é expressa pela equação abaixo.

onde W(ajk)

é

a energia interna complementar por unidade de volume (fig. 2.4).

e.

Fig. 2.4: Diagrama axE por uni-dade de volume.

Observando que pk

=

nj .ajk

equaçao (2.13) na equaçao (2.12) obtemos Reissner (][ *) .

e introduzindo o funcional

a de

TI*(uk'ªjk)

=

Jv[ªjkºEjk - W(ajk)J.dv - Jvbk.uk.dv

-JS pk.uk.dS - JS pk.(uk - uk) .ds

a u

que após feita a variação fica:

- Ük).opk.ds - Js pk.ouk.ds

=o.

u

( 2. 14)

(2.15)

A equação (2.9), para o corpo analisado, com a superfície S pertencente ao contorno S , torna-se:

n u

I

a.k.oE.k.dv V J J

que levada em (2.15) e agrupando os termos convenientemente, obtemos:

J

V

l

r(a.k.

J , J

Is

(pk - pk) . ouk. dS -a - E.k) .6a.k1 .dV -J

J

J J Js (Ük - uk).opk.ds

=

o .

u (2.16)

Como vemos, o funcional de Reissner estabele-ce que o equilíbrio de um corpo é tal que oTI*

=

O para varia ções independentes de deslocamentos e tensões.

1. 4 M O D E L O M I S T O

Os modelos mistos sao derivados de um princi-pio variacional tal como o de Reissner; sendo assim, o funcio nal TI* será tomado como base para deduções posteriores. A~

desenvolvimento de modelo misto para elementos finitos será o assunto do próximo capítulo.

III

o

M O D E L O M I S T O N O M

t

T O D O D O S E L E M E N T O S F I N I T O S

3.1 I N T R O D U Ç ÃO

O principio da Energia Potencial Mínima e da Energia Complementar Mínima proporcionam limites da energia de deformação do sistema idealizado por elementos finitos. O valor do deslocamento, associado a uma carga concentrada, no principio da Energia Potencial Mínima, contrariamente ao que ocorre no principio da Energia Complementar Mínima

é

um

va-lor menor do que o exato.

No modelo compatível, baseado no principio da Energia Potencial Mínima, as grandezas principais são os des locamentos, enquanto que as tensões são calculadas a partir destes, apresentando com isto uma precisão menornastensões. No modelo de tensões, baseado no principio da Energia

plementar Mínima, ocorre o contrário.

Com-A maior dificuldade de se obter campo de ten-soes equilibrado do que campo de deslocamentos compatível fez com que o modelo de deslocamentos tivesse muito maior u-so na prática.

A partir do funcional de Reissner, que e um principio estacionário não fornecendo limites para a ener gia do sistema, consegue-se desenvolver modelos mistos e hí-bridos de elementos finitos. Devido estes modelos assumirem campo de deslocamentos e de tensões, simultaneamente, evi-ta-se que as imprecisões nos deslocamentos tenham iMplic~ çoes diretas nos valores das tensões calculadas ou vice-ver sa.

3.2 P A R T I C U L A R I Z A Ç Ã O D O F U N C I O N A L MtTODO N I T O S D E R E I S S N E R PAR A D O S E L E M E N T O S

A expressao (2.14) pode ser escrita em

o

F I forma matricial como:

- I

!?T·~dV -V

J

-T s

p

.~.dS a

I

pT

(u-Ü)

.as.

s u ( 3. 1)

A seguir, sem considerar tensões e deforma-çoes iniciais, desenvolveremos os termos do funcional (3.1).

Definiremos, no domínio do elemento, o campo de deslocamentos como:

u = N .q

-u - ( 3. 2)

e o campo de tensões como:

a= N .Q

-a - ( 3. 3)

( 3. 4)

com N e N sendo matrizes de funções de interpolação.

Ob--u -O

tém-se a matriz ~t particularizando ~a para o contorno. As matrizes

g

e

9

são os vetores incógnitas nodais de deslo-camentos e tensões, respectivamente.

Derivando apropriadamente os elementos que compoem u, temos:

~

=

~-g'

( 3. 5)

com~ sendo a matriz que transforma o vetor de incógnitas no-dais de deslocamentos em deformações.

Utilizando (3.3) e (3.5) podemos escrever:

Jv~T·~·av

=

9T. [Jv~;-~.avJ.g.

( 3. 6)

(3. 7)

com

E= C.O ( 3. 8)

sendo

e,

a matriz de transformação, igual a inversa da ma-triz de Elasticidade.

Levando (3.8) em (3.7) temos:

Jvw.dv

=

!·Jv~T·~-~-dv

que, com o uso de (3.3), torna-se:

pressoes:

J

V

W.dV

= -

1.QT.

2

-

rJ

l V-O -

Nr.C.N .dv] ,Q

-O

-Por último, podemos escrever as seguintes

ex-Is

i?.

~-dS

=

I

T

-8

~

.p.ds

=

g

T. [JS

~~,

p.

dS

l

o o T p .u.dS T

-p

.1,;.ds

Se fizermos: G

=

J

NT.B.dV

vo

-o N T • N •

ds.) ,

q - t -u -N T -.u.dS

l

t

-- J

NT.N

.dS

s

- t -u u

H

=

J

Nr.C.N .dV,

-o - -O V

JS

-u u e J s -u ;;... a T -N .u.dS t

-podemos escrever a equaçao (3.1) sob a forma:

T 1 T T T

TI*=

9

.~.g -

2·9 -~·9 -

q

.P

+ Q

.D

efetuando a variação obtemos:

Como 6IT* = O para 6Q e 6q arbitrários, chegamos a: H.Q - G.q D

=

O

GT.Q - P

=

O

( 3. 9)

(3.10) Desta maneira, a equaçao (3.9) e a (3.10) assumem a forma:

=

(3.11)

J

A matriz da expressao (3.11) que tem como suas componentes H e G e simétrica, mas não é positiva defini-da; e sera cognominada de matriz "S". Esta matriz nsn é

chamada por alguns autores6

, de matriz de "rigidez generaliz~

da".

3.3 C R I T

t

R I O S D E

e o

N V E R G ~ N

e

I A

Para que as soluções obtidas se aproximem dos valores exatos, com o refinamento da malha de elementos fini-tos, no modelo misto que estamos desenvolvendo, os critérios de convergência a seguir enunciados deverão ser respeitados.

CRITtRIO 2

no limite, quando as dimensões do elemento se tornam muito pequenas, possam representar os es-tados constantes de todas as funções incógnitas e suas derivadas até as de maior ordem que apar~ cem no funcional.

As funções de interpolação devem ser escolhidas de tal modo que, na interface entre dois elemen-tos, as variáveis e suas derivadas até uma ordem menor das que se encontram presentes no funcio-nal, sejam contínuas.

IV 4.1 D E S E N V O L V I M E N T O D E U M M E N T O T R I D I M E N S I O N A L D R Ã T I C O D E G E N E R A D O G E O M E T R I A D O E L E M E N T O ELE-Q U

A-Pode-se usar o elemento tridimensional isopar~ métrico esboçado na figura (4.1) para aplicações nos cálculos de placas e cascas com redução de sua dimensão na direção da espessura 4

e de·uma maneira mais particularizada, para pro-blemas de estado plano de tensões.

Fig. 4.1: Elemento tridimensional.

Ao se usar o elemento, tal como se apresenta na figura (4.1), estaremos considerando três pontos nodais ao longo da espessura, que é excessivo, porque,

espessa, as retas normais à superfície média camente retas após a deformação da casca.

mesmo em casca continuam

prati-Será apresentada uma formulação oriunda do e-lemento finito tridimensional com a restrição das retap nor-mais à superfície média continuarem retas após deformação e

a eliminação da energia interna complementar correspondente à

tensão normal à superfície média do elemento. Para respeitar a citada restrição,o elemento da figura (4.1) toma o aspecto da figura (4.2).

E, ainda é modificado para:

,

Fig. 4.2

Fig. 4.3

o - no na superfície

media do elemento

J;; interessante observar que isto nao i.mpedirá que a casca sofra deformação por cisalhamento transversal (o que ocorre em casca espessa), porque foi deliberadamente omi-tida a imposição de que as retas normais à superfície média, apos deformação permanecessem normais. Desta forma, estamos levando em conta a deformação por cortante, que no tratamento convencional de estruturas de placa e casca delgada

nas hipóteses de Kirchhoff não é considerada.

çoes feitas aqui, já haviam sido propostas por Melosh, Utku, Zienkiewicz e outros autores.

Estabeleceremos a relação entre as coordenadas cartesianas x,y,z e as coordenadas curvilíneas ~,n,Ç (com ~, n na superfície média da casca e ç ao longo da espessura), da seguinte maneira: X y

₌

z com _,_ v3i

r

x.

~

N ..

ly

~

i=l 1 1 z. 1 X. 1

=

y. 1 z. 1 sup ( 4. 1) X. 1 y. ( 4. 2) 1 Z, 1 inf

As funções N. são as funções "Serendipity" do elemento bidimen 1

sional quadrático e é o vetor nodal que representa a es pessura. '•9

4.2 C A M P O D E D E S L O C A M E N T O S

O campo de deslocamentos~ e função das três componentes cartesianas das translações dos nós no sistema

+ global (q₁ i, q₂ i e q

3 i) e das rotações de cada vetor nodal V _{+ +} 3 i sobre os vetores ortogo~ais v

1i e v2i, respectivamente q4i e

- +

q₅i Desta forma, a rotaçao q₄i dá-se em torno de v₂i e +

q

5i em torno de vli' tal corno representado na figura (4.5.c).

z

y'

x' _X

Fig. 4.5.a: Sistema Local.

Coordenadas nas direções tangentes (X'e Y') e nor mal (Z') ã superfície me dia. Fig. 4.5.b: Sistema Global.

~,,

Fig. 4.5.c: Rotações do no i. + Para definição das direções v

1i mos as seguintes considerações:

1'!- + _v3i ê _{o vetor v3i normalizado.} +

2·

-

+ _v2i e o vetor normal ao plano formado por eixo X.

+

é + +

3·

-

_vli o vetor normal a _v2i e a _v3i

+ + e + + V • 2i v3i e y fare-pelo

malizados. ( 4. 3) com 1 -t

]_ =

o

o

( 4. 4)

O campo de deslocamentos será expresso como: 5

u

=

₊

ª

_{E -2 .N .•} 1 _ç.h.

····t

rq4if ·-1 1 l. - 1 1 - qs.

lJ

com

[

+ ;2i]

•

- 1 •

=

vli

e h. sendo a espessura do elemento no nó i 1

+ Observamos que: caso o vetor

+ madamente coincidente com o eixo X

+ v2i v3i deverá seguindo daí normal ao vetor v 3i e ao eixo Y (4.5.a) (4.5.b) seja aproxi-então ser o mesmo ra-ciocínio feito anteriormente até se chegar à expressão (4.5.a).

4.3 C A M P O D E T E N S Õ E S

Serão considerados os estados de tensões (J'

e o de deformações E'

'

com relação ao sistema de referéncia

local, como: (J ' T' T' X xy XZ (J ' T' a' T' (4.6.a)

=

xy y yz T' T' (J ' xz yz z _j

e E' E' E' X xy XZ E'

=

E' E' E' xy y yz ·E' E' E' xz yz z

A energia interna correspondente a eliminada utilizando-se da mesma consideração que

(4.6.b)

o' será

z

se faz qua~ do se trabalha com o princípio da energia potencial mínima p~ ra resolver cascas; qual seja: considerar a' igual a zero.

z

Segundo a espessura, todas as demais tensões variarão quadra-ticamente, sendo que T' e

XZ T' yz terão seus valores anulan-do-se na face superior e na inferior do elemento de casca

(equação 4. 8) .

a'

a'

+

a'

. ç +

a'

.ç2 X _{XQ xl x2}

a'

a'

+

a'

. ç +

a'

.ç2 y _{Yo Y1 Yz} ( 4. 7) T' T' +T' +T' 2

xy _{xyo xyl} • ç _xy2 • ç

T' = T' . (1-Ç2) xz _xzo

T' = T' (1-Ç2)

yz _yzo

l

(4 8)

Para melhor entendimento das variáveis que ap~ recem nas equaçoes (4.7) e (4.8) são feitos

fig. 4.6 e 4.7). +I

--- ----·r----,- - - -- -- -- -,---,

'

o

•

•

+ - 1 - - - _.__ ... - - - . . - - - ... _ .. _ - - - - ... Fig. 4.6 diagramas

a'

r; z •2 +

+I

t;

f

o

-1 --- --·

Fig. 4. 7

Com relação ao comprimento de seçao transver -sal medido na superfície média da casca temos como resultante de tensões por unidade de comprimento (fig. 4.8),

os esforços normais: e N X =

Ih/

2

_a.

' r +z _{y .dz} x --h/2 r y

=

Jh/2 ' r +z N a • x • dz Y -h/2 Y r -x os esforços cortantes: e N xy

J

h/ 2

_,

_r

+

_z

=

T • y • dz , -h/2 xy r -y

-- f

h/2 ' r +z N T • x .dz

=

yx -h/2 yx r -x

J

h/2 _{, r} + _z T • X • dz -h/2 xy r -x =

rh / 2 '

r +z T • y • dz J-h/2 xz r -Y

J

h/2 r +z

=

T 1 • X • dz -h/2 yz r -x

os momentos fletores: e M X

=

Jh/2 ' r +z ªx·_y____.z.dz -h/2 r y = Jh/2 ' r +z M

a.

x .z.dz Y -h/2 Y r -x e os momentos torsores:

=

Jh/2 ' r +z M T . y

.z.dz

xy -h/2 xy r -y e

=

Jh/2 ' r +z

M

T • X

.z.dz

J

h/2 r +z

=

T 1 • X • Z. dz yx -h/2 yx r -SUPERFÍCIE 1,1ÉDIA l z = O) dz x -h/2 xy - r -x ' -- J

Quando

g

e z sao pequenos comparados com os raios r e r podemos considerar:

X y r + z X r X r + z r y ~ 1 ,

que nos permite,para casca delgada, com o uso de (4.7) e (4.8) simplificar as espressões das resultantes de tensões p~ ra: N xy e N X N y

=

M xy

=

Ih/ 2 a' . dz

₌

h.a' +

_3°

h 0 ' x 2 -h/2 X XQ

=

Ih/2 a' • dz

₌

h.a' + h

_3·ª

' -h/2 y Yo Ih/2 N _yx

₌

T' .dz

₌

h.T' -h/2 xy xyo Ih/2 _{2 h '} Qx

=

T' . dz

=

3• •

T -h/2 xz xzo Ih/2 _{2 h '} Qy

=

T 1 • dz

=

3• •

_T -h/2 yz yzo Jh/2 h2 M

=

a' . z. dz

₌

6ºª~1 X _{-h/2 X} Ih/2 h2 M

=

a' .z.dz

₌

_6ºª'

y _{-h/2 y Y1}

=

M _yx

=

Ih/Z T' .z.dz

=

-h/2 xy Yz + -h T ' 3" XYz

A necessidade de se conhecer valores de ten-soes em um ponto genérico no interior do elemento de casca o-briga-nos a interpolar tensões através de incógnitas nodais que, no nosso elemento, estão referidas em diferentes siste-mas. Devido a isto, antes de considerar as contribuições das incógnitas nodais para o ponto genérico do elemento ( equação

4.24), temos que efetuar rotações, para que ambas as ten-sões (nos nós e no ponto genérico), se encontrem referidas a um único sistema.

A sequência de etapas a ser seguida, para ter-mos condições de interpolar tensões é a seguinte:

1~ - rotações das incógnitas nodais de tensões para o sistema de referência global;

2~ - rotações das incógnitas nodais de tensões, já no sistema global, para o sistema local de um ponto genérico do ele mento;

3~ - contribuições das incógnitas nodais de tensões para o ponto genérico do elemento de casca.

A primeira e segunda etapas nao sao substitui-das por uma Única,que seria as rotações substitui-das incógnitas nodais de tensões para o sistema local do ponto genérico porque, se assim fizéssemos, necessitaríamos de cálculos adicionais para determinar as matrizes que efetuam as rotações das incógnitas para o sistema local do ponto genérico do elemento de casca. Além disto, ao se fazer a primeira e segunda etapas estamos determinando matrizes de rotações que não serão utilizadas so mente para interpolar tensões.

4.3.1 - ROTAÇÃO DAS INCÓGNITAS NODAIS DE TENSÕES PARA O SIS-TEMA GLOBAL

O tensor de tensões nodais no sistema de refe-rência global pode ser escrito como:

com R sendo a matriz de

.,.

nhas unitários v 1i , ferência global. - T ' R a.- R .a .. - 1 -1. - ( 4. 9)

rotação constitulda pelos vetores

li-;2i e ;

vl i -+ (4.10) R

₌

_{V 2i} -+ v3i da a matriz

p

Por conveniência computacional, será aproveit~ (equação 4.5.b), para.compor a matriz F

(4.11)

Desta maneira, a expressao (4.9) passará a ser escrita como:

- ' FT

a. - F.a.. • (4.12)

- 1 - 1.

-Ao se expandir a equaçao (4.12) com índices numéricos, obtém--se a equação abaixo:

Fll F 12 Fl3 0₁₁

'

0₁₂

'

ºÍ3 _IFll F21 F31

a.

=

_{F21 F22 F 23} 0

21

ª22 ª23

. Fl2 F22 F32

-1

F31 F32 F 33 º:n

ª32

033 LF13 F23 F33 Após efetuar os produtos matriciais da equação (4.13) cluí-se, usando a notação de somação, que:

a ..

=

F . . a' .F. , 1 J 1m mn J n ou ainda, a ..

=

F . • F . • a' , l.J 1m J n mn (4.13) con-( 4. 14) (4.15) com os Índices variando de 1 a 3 . Desta maneira,

ser igual a:

a passa a

Flm.Fln . a' _mn Flm.F2n . a' _mn Flm.F3n . a' _mn

a

=

F2m.Fln • a' _mn F2m.F2n . a' _mn F2m.F3n • a' _mn

F3m.Fln . a' _mn F3m.F2n . a' _mn F3m.F3n . a' _{mn (4.16)} que de uma maneira mais expandida, para um nó i , com aux1-~

lio das equaçoes (4.7) e (4.8) chega-se a equaçao (4.17), que está expandida no quadro (4.1).

{a.}=

r ..

Q.

- 1 -1. - 1 (4.17)

com Q. sendo o nosso vetor de incógnitas nodais de tensões.

- i

4.3.2 - ROTAÇÃO DE TENSÕES DO SISTEMA GLOBAL PARA O SISTEMA LOCAL DE UM PONTO GEN~RICO DO ELEMENTO

O tensor de tensões no sistema local de um po~ to qualquer do elemento de casca e:

com T sendo a matriz

-

+ +

de +

T

a'

=

T.a.T

rotação constituída pelos nitários _Tl

,

_T2 e _T3

.

Tl Tll Tl2 Tl3 + T = _T2 = _{T21 T22 T23} + T3 T31 T32 T33 ....J + + +

Para se obter os vetores T3

,

T2 e T₁ basta (4.20), (4.21) e (4.22), respectivamente. rax _{a ç;} ax _{a 11}

r

A

.z.Y

a%

a 11 dZ az

a%J

ãri

+ 7 T3 A ]_ + + T2 Íl _T3 {4~18) vetores u-(4.19) normalizar (4.20) (4.21) (4.22)

De (4.18), após serem feitos os produtos matri ciais, com notação de somação, temos:

F F ç 1 1 1 1 F F ç2 1 1 1 1 F F 1 2 1 2 F F ç 1 2 1 2 F F ç2 l 2 1 2 2F F 1 1 12 2F F ç 1 1 1 2 2F F ç2 1 1 1 2 2F F (l-ç2) 1 1 2F 1 2 1 3 F 1 3 a y ( 1-Ç 2) a z T xy F F ç 2 1 2 1 F F ç2 2 1 2 1 F F 22 22 F F 22ç 22 F F ç2 22 22 2F F 2 1 22 2F F ç 2 1 22 2F F ç2 2 1 22 2F F (l-ç2) 2 1 23 2F F (l-ç2) 22 23 T xz {a.} transposto 1 F F 3 1 F F 3 1 F F 32 F F 32 F F 32 2F 3 1 2F 3 1 2F 3 1 2F 3 1 2F 32 ç 3 1 ç2 3 1 32 ç 32 ç2 3 2 F 3 2 F ç 3 1 F ç2 3 1 F (l-ç2) 3 3 F (l-ç2) 3 3 F F 1 1 F F 1 1 F F 1 2 F F 1 2 F F 1 2 F F 1 1 (F 1 1 (F 1 1 (F 1 1 (F 1 2 ç 2 1 ç2 2 1 22 ç 22 ç2 22 +F F 22 2 1 1 2 F +F F )Ç 22 2 1 1 2 F +F F ) Ç 2 22 2 1 l 2 F +F F 23 2 1 1 3 F +F F 2 3 22 1 3 Matriz

r!

-1 ) • (l-ç2) ) • (1-ç2) Quadro (4.1) F F 1 1 F F 1 1 F F 1 2 F F 1 2 F F 1 2 F F 1 1 (F 1 1 (F 1 1 (F 1 1 (F 1 2 31ç ç2 3 1 32 ç 32 ç2 32 +F F 32 31 1 2 F +F F )Ç 32 31 1 2 F +F F ) ç2 3 2 F +F 3 3 F +F 3 3 3 1 1 2 F 3 1 1 3 F 32 1 3 a' Y2 ) . ( l - ç 2 ) ) . ( l - ç 2 ) Q. transposto -1 F F ç 2 1 3 1 F F Ç2 2 l 3 1 F F 22 32 F F _{3 2 Ç} 22 F F ç2 22 32 F F +F F 2 1 3 2 3 1 22 (F F +F F )Ç 2 1 32 3 1 22 (F F +F F )ç2 2 1 3 2 3 1 22 (F F +F F ) • (1-ç2) 21 3 3 31 2 3 (F Ji' +Ji' F ) . ( l - ç 2 ) 22 3' 3 2 23 T'

J

yz i

a!.

=

T . • T . • a

1.J 1.m Jn mn (4.23)

4.3.3 - CONTRIBUIÇÃO DAS INCÓGNITAS NODAIS DE TENSÕES PA RA UM PONTO GENtRICO DO ELEMENTO

Para expressar a de (4.23) em função global é feito

dos mn

valores nodais de tensões no sistema 8

a

mn

=

_i=l í N .• ₁ a _mni (4.24) com N.

1 como definido anteriormente, sendo a função

"serendipity" do elemento bidimensional quadrático".

Ao ser substituído (4.24) em (4.23) e feita a expansao, obtém-se todos os termos que compoem

a'.

Escrevere mos somente, os valores de a

11 e a12. Os demais valores sao obtidos analogamente.

8 8 8

ª11

=

TllTlli:l (Nialli)+Tl2Tlli:l (Nia2li)+Tl3Tlli:l (Nia3li)+

8 8 8

TllT12i:l (Nial2i)+Tl2Tl2i:l (Nia22i)+Tl3Tl2i:l (Nia32i)+

8 8 8

Tl1Tl3i:l (Nial3i)+Tl2Tl3i:l (Nia23i)+Tl3Tl3i:l (Nia33i)

8 8 8

ª12

=

TllT2li:l (Nialli)+Tl2T2li:l (Nia2li)+Tl3T2li:l (Nia3li)+

8 8 8

TllT22i:l (Nial2i)+Tl2T22i:l (Nia22i)+Tl3T22i:l (Nia32i)+

8 8 8

TllT23i:l (Nial3i)+Tl2T23i:l (Ni023i)+Tl3T23i:l (Ni0 33i)

...

'

... .

equaçoes (4.25)

Usando os termos de {a.}

cógnitas nodais de tensões. As contribuições da incógnita nodal a~

0

. para se obter

ªÍi

(a~), e

ªÍz (T;Y),

sao, respec-tivamente:1 + 2TllT13FllF31 + 2Tl2Tl3F21F31) .a~Oi e (4.26) Ni.[TllT21FllFll + Tl2T22F21F21 + Tl3T23F31F31 + (Tl2T21 + (4.27)

Após analisarmos (4.26) e (4.27) descobrimos a lei de formação que, ao definirmos G pela equação

exposta no quadro (4.2), nos permite escrever: 8 {a'}

=

z: (N . .

e.r ..

Q.) . 1 - - 1 . - 1 . 1=1 com

ªÍ1

a'

X

a;2

a'

_y {a'}

₌

ªÍz

=

T' xy

ªÍ3

T' xz

a;3

T' yz (4.28) (4.29) (4. 30)

Frisamos que, por estarmos estudando elemento de casca nao le-vamos em conta o termo a'

z

De ( 4 • 2 9) :

Q

-8 _J

T21T21 T22T22 T23T23 ZT21T22 ZT21T23 ZT22T23 8

₌

_{TllT21 Tl2T22 Tl3T23 T 11 T 2 2 +T 1 2 T 2 1 T 11 T 2 3 +T 1 3 T 2 1 Tl2T23+Tl3T22} w

"'

TllT31 Tl2T32 Tl3T33 TllT32+Tl2T31 TllT33+Tl3T31 Tl2T33+Tl3T32 T21T31 T22T32 T23T33 T21T32+T22T31 T21T33+T23T31 T22T33+T23T32 Quadro (4.2) equaçao (4.28)

Atentando para o fato que { a ' } = N . O

-a "'

obtemos as funções de interpolação de tensões:

N

=

[N 1

.e.r

1 -a -4.4 M A T R I Z D E " R I G I D E Z L I Z A D A " D O E L E M E N T O

e

A

s e

A 4.4.1 - SIMPLIFICAÇÕES ADOTADAS (4.32) G E N E R A D E

Para o desenvolvimento do proqrama computacio-nal foram feitas as seguintes simplificações:

1~ - Os deslocamentos no contorno S são identicamente sa-u

tisfeitos, ou seja, foi considerado que as variações con tínuas arbitrárias do campo de deslocamentos respeitam as condições cinemáticas de contorno (uk

=

uk) .

2~ - As forças volumétricas não foram consideradas no funcio-nal (2.14). As considerações destas forças serão feitas através de forças nodais equivalentes.·

Ao se fazer tais simplificações, o (2.14) deve ser reescrito como:

IT*

=

Ív<ªjk"Ejk - W) .dv - Ís pk.uk.ds

a

Desta forma, a equaçao (3.11) fica simplificada para:

funcional

(4.33)

com H

=

J

Nr.C.N .dV

'

(4.35)

-

v-a - -a

G

=

_JV~;-~.dV (4.36) e

I

T - (4.37) p

₌

_~u·f·ds

sa

4.4.2 - DETERMINAÇÃO DA MATRIZ C

Como já foi dito no capítulo III , a matriz C e a inversa da matriz de Elasticidade D

No sistema de referência local, para o caso de casca, em que

crita como:

E

a' não ê considerado, a matriz

z 1 V

o

o

1

o

o

D

₌

_{- - 2 ·} (l-v)/2

o

1-v Simétrica (l-v)/2 L

sendo E , o módulo de elasticidade, e

v,

o Poisson. com Sabemos que { a ' } = D.{E'} {E:' } , E' . l y z J D

o

o

o

o

pode seres-(l-v)/2 coeficiente de

1

-v

o

o

o

1

o

o

o

e

₌

1 2. (l+v)

o

o

E"

Simétrica 2. (l+v)

o

2. (l+v)__, (4.38) ' -4.4.3 - DETERMINAÇÃO DA MATRIZ B 9

Definiremos as deformações específicas {E'} no sistema de referência local como:

au• ax•

av' ay'

{E' }

₌

au' + av' (4.39)

ay' ax'

aw' ₊ au• ax'

ãz'

aw' ₊ av• ôy'

p

As derivadas dos deslocamentos em coordenadas locais estão relacionadas com as derivadas dos desl0camentos no sistema de referência global mediante:

u! k = T.u. k.T T

- J ' - J '

-(4.40)

onde

au' av' aw' ax• ax' ax•

u' = au' av' aw'

- j 'k ôy' ay' ôy' (4.41)

au' av• aw'

e au av aw ax ax ax u.

₌

au av aw (4.42) ay ay ay -J,k au av aw az

az

az

As derivadas dos deslocamentos no sistema glo-bal com relação às coordenadas x,y,z e com relação às coorde-nadas curvilíneas ç,n,s podem ser inter-relacionadas com ou-so da matriz jacobiana J -1 u. k

=

J .u , -J , -E (4.43) onde: ax

_lY

az ~ 3ç ~ J = ax

lY

az an an

_ari'

(4.44) ax

_lY

az

ãç

aç

ãç

e rau av aw 3ç ~ ~ u = au av aw

ari

an

ari

-E (4.45) au av aw aç aç aç

Definiremos, agora, a matriz A como sendo:

A= T.J-l (4.46)

Ao aplicarmos a condição de ortogonalidade entre os vetores que formam as matrizes T e J-1, temos: 10

A

₌

_{A21 A22}

o

o

o

_A33 De ( 4 . 4 O) , ( 4 . 4 3) e ( 4 . 4 6) chega- se a

u'

-j 'k T = A.u .T - E -(4.47) (4.48)

Efetuando (4.48) e operando os elementos de {E'} de (4.39), obtemos:

ou'

ax'

=

av'

₌

ay'

au'

aw'

ãzT

+ ox'

=

e (4 .49) (4.50) (4.52)

e

!~1

t~j

=

aw

ãri"

(4.53)

Derivando a equaçao (4.5.a) obtemos:

(4.54) 8 ílN. l: _ _ 1 . i=lº 11 (4.55)

=

l

q4.)

~

1 N .• h .. cf,.. 1

,, 2·

1 1 - 1 i=l q5i (4.56)

Com estes valores substituídos nas equaçoes (4.49 a 4.53), e fa-zendo í)N. ílN. 8 1i

=

1 A 1 1 · ~ + 1 A 1 2 · ~

_'

(4.57) ílN. ílN. 8 2i 1

=

_{A 2 1 · ~} + A 2 2 •

aii""""""

1 ( 4. 58 l e

refe-como em (4.60) . sendo e 8 {E'}= E B .• T. i=l ... 1

-Observando que {E' }

₌

§8 T

-.

X T

s.

-1

=

ijJ.

₌

-1 B.q 48x48

'

1 8 1 + E

2

·h .. (ç.s. i=l 1 - 1 Bli

o

B2i

o

o

o

o

o

cli

o

da

o

B2i Bli

o

o

o

o

o

o

cli equaçao

o

. 1:

(4.60)

o

o

o

(4.61) Bli B2i---'

o

o

o

(4.62)

o

o

(4.60) obtém-se:

!hs. <s§a+~s~

x 5x48

...

(4.63)

:~1

o

Podemos agora, compor a matriz de "rigidez gen~ ralizada" do elemento ("S"), com as simplificações feitas no item

(4.4.1), sem maiores dificuldades, bastando para isto fazer uso

V

o

PROGRAMA C

o

M p

u

T A C I

o

N A L

5.1 I N T R O D U Ç ÃO

Em linguagem ALGOL, no sistema B/6700, irnplerne~ tarnos o elemento quadrático tridimensional degenerado, tal corno detalhado no capítulo IV, em um programa computacional capaz de resolver, no caso mais geral, casca espessa de forma arbitrária.

O programa automático foi desenvolvido de modo a se economizar tempo de processamento quando desejamos calcular problemas de estado plano de tensões ou de flexão de placas (que sao casos particulares do problema de resolução de cascas). Para tanto, suprimimos os cálculos das matrizes de rotações e de diver sas incógnitas nodais que se fazem necessários quando estamos tr~ balhando no caso mais geral (elemento de cascas com variação qua-drática de tensões segundo a espessura). Desta forma, a opçao en tre os três casos descritos a seguir, deve ser feita.

CASO 1 - Problemas de estado plano de tensões Trabalhamos so-mente com três incógnitas nodais de tensões

e T' ), e dois deslocamentos (u e v), por

xyo

(a'

_xQ no. CASO 2 - Flexão de Placas

dais de tensões deslocamento w

Trabalhamos com as incógnitas

CASO 3 - Cascas a' X , a' y , 1 1-e as rotaço1-es T 1 , T' xy 1 xz0 nos planos e

xz

T' yz , e 0

yz

~ocaso mais geral; através do elemento

a'

Yo

no-o

de cascas foram feitas as particularizações para se che-gar aos casos 1 e 2 . Este elemento, corno vimos ante riorrnente, foi formulado com dezesseis incógnitas por no, admitindo variação quadrática de tensões mesmo atra vés da sua espessura.

5.2 P O N T O S D E I N T E G R A Ç Ã O

Diferentes formas de integrações numéricas para uso em elementos finitos isoparamétricos tridimensionais em mode-lo de deslocamentos foram estudadas e publicadad0- 13 • Uma maior economia de tempo computacional com os resultados obtidos dentro de uma faixa de exatidão é o que se deseja. A regra de integra-ção que comumente se usa para o elemento isoparamétrico sólido e a de Gauss com 3x3x3 pontos. Em problemas de casca delgada, u-sando o elemento quadrático de casca espessa no modelo de desloca mentos com 2x2x2 pontos de integração, Zienkiewicz eco-auto-res obtiveram Ótimos eco-auto-resultados com rápida convergência. Na refe réncia (11) é apresentado, com sucesso, um esquema de integração para avaliação da matriz de rigidez do elemento, em que cada com-ponente da energia de deformação é avaliada separadamente usando diferentes pontos de integração para cada contribuição. Outras regras bastante econômicas são as de quatorze pontos13 e a de tre ze pontod2 de integração por elemento.

Para o elemento desenvolvido neste trabalho nao foi efetuada a integração numérica da matriz "S" segundo, as di-reçoes

ç

e n , e da integração analítica na direção ç (con-siderando que as matrizes de rotação não variam nesta direção) porqu~ para problemas de casca espess~ não mais devemos desprezar as variações das matrizes de rotação na direção ç. 1 0

Testes com problemas, usando 2x2x2 , ]x3x3 , 3x3x2 e 4x4x4 pontos de integração de Gauss e regras dos treze e quatorze pontos, foram feitos. A seguir, expomos o constatado por nos ao utilizar o programa automático.

1 - Ao resolvermos um problema de casca com 4x4x4 pontos de in-tegração, utilizando uma malha pouco refinada, encontramos resultados praticamente iguais aos obtidos com o mesmo pro-blema com 3x3x3 pontos.

2 - No caso 3 (cascas), não se consegue integrar segundo a esoes

.

-sura com menos de três pontos, sem que a matriz de "rigidez generalizada" global ( "S ") com as condições de contorno de

-G

explica-tem 4.7

variação quadrática .necessitamos

segundo a espessura (veja fórmulas de urna quantidade de pontos de integração através da espessura que defina pelo menos urna parábola do segundo grau, para que tenhamos definido os qu:!:_ nhÕes de tensões que cabem a cada variável nodal figura

4

·S>

Foi comprovado , pelo uso do programa

·ccomputacio-nal no teste de vários exemplos com dois pontos de integra-çao segundo a espessura, a singularidade da matriz

condições de contorno de deslocamentos prescritas.

"S II

com

-G

Usando o artifício de se prescrever

res nulos, a incoveniéncia balhamos com dois pontos de

a' ;· a' e T' com

valo-x2 y₂ XYz

desta singularidade·, quando tr~ integração através da c,espessu-ra, desaparece.

na figura (6.11)

Isto então,. foi ,feito- càm ó exemolo esboçado

.

-

- . --

~--

-Os resultados obtidos não deram muito próximos dos valores conseguidos com trés pontos de integr~ çao na direção ç • Os obtidos ao se usar dois pontos fo-ram piores. Por exemplo, para os deslocamentos

w,

utili zando a malha (6,a) da ·figura ( 6; 11) encontramos valores em torno de 20% pior.

3 - O exemplo esquematizado na figura (5.1) foi resolvido no caso 2 (flexão de placas), e integrado com 3x3x3 e 3x3x2

pontos de Gauss. Como podemos ver no quadro (5.1), ao seu sar

bem

3x3x2 pontos de Gauss, próximos dos obtidos com

os resultados obtidos deram

3x3x3 pontos de integração Isto era esperado pois, por Gauss, consegue-se integrar e xatamente os termos com expoentes menores que trés em

ç,

que no caso 2 se apresentam em grande maioria na .. matriz "S" , porque, quando se operam as multiplicações que de-terminam os elementos de "S" sem se fazer uso de matri-zes de rotações , . somente os termos relacionados com T't'

xzo

e T' (equações 4.8) fazem com que elementos da matriz

yzo

"S" tenham termos com expoentes maiores que dois em ç

4 - Quando usamos 2x2x2 pontos de integração em problemas de flexão de placas (caso 2), a matriz "S "com condições de

-G

contorno prescritas ficou tão mal condicionada que o subpr~ grama de resolução do sistema de equações Çuneares ..Jnão con

seguiu resolver o problema de modo a nos fornecer resul-tados confiáveis.

5 - Com treze e quatorze pontos de integração por elemento

6

-no caso 3 , nao obti vémos resultados sati.sfatórios. Após todos estes testes acima citados, a opçao foi feita pelo uso do seguinte esquema de integração:

Caso 1 : 3x3 pontos de Gauss Casos 2 e 3 3x3x3 pontos de Gauss

..,,.. --y

/

p 2 ₃ 7

7·h/a

0,1 12 X

o

_o-/

Fig .. 5.1

IncÕgni- Valor com 3x3x3 Valor com 3>'3X2 ( 1)

-

(2) .. 100%

ta nodal NÕ pontos pontos ( 1)

(1) (2) a' 6 8, 050_ 7,994 0,696% xl T' xzo 6 -1, 921 -1,840 4, 217% T' 4 0,3071 0,3072 O, 097% yz-0 w 8 -l·,413 -1,409 0,283%

Quadro, 5 .1: Alguns valor.es encontrados ao· sé resolver o -problema da figura (5.1).

Devido, no funcional, os deslocamentos em S tl serem identicamente satisfeitos (condição de contorno essenci-al), devemos obrigatoriamente, no programa computacional, pre~ crever os deslocamentos conhecidos, de modo a impedir o movi-mento de corpo rigido da estrutura. Quanto às tensões, nao há necessidade de prescrevê-las, porque, se apresentam em S

0 co

mo condição de contorno natural. futilizado o programa au-tomático para estudar o comportamento do nosso elemento fini-to quando as tensões são ou não prescritas. Dai, observarmos que:

1 - Quando plotamos os valores das incógnitas noda:Ls :segundo uma seção feita na estrutura, verificamos que, normalmen-te, q"uando não prescrevemos tensões, a curva se apresenta de forma suave; o contrário do que ocorre ao · .. ·prescreve--las, pois neste. outro caso·,. ela quase sempre forma zigu~ zagues sobre a primeira curva.

2 - Ao se refinar a malha de elementos finitos, nos dois ca-sos citado no parágrafo (1) as soluções tendem para a exata. Os resultados nos pontos de S

0 , tendem para os

valores conhecidos "a priori" quando '1ão prescrevemos te!! soes e, quando prescrevemo-las, a curva tende a se tornar suave.

t

desta forma que as duas curvas tendem a coinci-direm com a exata.

3 - Baseando~nos nos parágrafos anteriores, podemos ter idéia por simples visualização dos valores plotados, se já est~ mos perto da solução exata com a malha escolhida para a ~ nálise do problema. Pois, isto será verdade se, com ten-soes prescritas, obtemos uma curva suave,ou se, com ten-soes sem prescrições, já chegamos perto dos valores conhe cidos previamente. /

'----

_-

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-,---... __

..,...,.,;

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·. 4

-

.

" -w-• ... - - •

Em eixos de simetria, a tendência dos valores de ···tensões

'-J.J,

se aproximarem dos previamente conhecidos, quando traba-lhamos com parte da estrutura somente, também foi consta-tado. Entretanto, para se obter idê_nticos resultados en-tre as estruturas resolvidas globalmente e as ·analisadas parcialmente com a utilização das propriedades-de simetr! a, é necessário prescrever, além de deslocamentos, as ten soes previamente conhecidas nos eixos de simetria. Mesmo trabalhando com uma malha pouco refinada, ao se ::·resolver a estrutura globalmente, nos eixos de simetria as tensões sabidas serem nulas, realmente dão valores nulos.

5 :1- Prescrever tensões somente em eixos de simetria ,: ..

parece-'., .. ( ... :

-nos a melhor opção; pois, estaremos, usando a __ ··estrutura parcialmente, conseguindo os mesmos resultados ao :c·Eesól-vê-la globalmente. Com relação a prescrever ou nao ten-sões no contorno livre da estrutura notamos, ao resolver vários exemplos com o uso do programa automático, que as curvas obtidas sem prescrições, normalmente, além de te-rem formas semelhantes a exata, convergem mais rapidamen te.

Valores _obtidos através do programa computacio-nal, ao se prescrever de várias maneiras as tensões, sao plot~ tados, comparados e analisados no capitulo seguinte.

5.4 F O R M A GRAMA E S Q U E M Ã T I C A Mostramos no quadro (5.2) DO P R O -de forma sucinta, a estruturação do programa computacional. Também, as princi -pais etapas do programa estão descritas resumidamente.

Para facilidade de compreensão, , ·.·.utilizal'.'emos das seguintes convençoes:

(

C )

<>

1 - leitura de cartões •- execuçao repetitiva

- decisão a ser tornada

·- procedimento

impressão

PROCEDIMENTOS

MASELTP

DERIVA

Calcula a matriz "S" do elemento quando estamos trabalhando com '"e·stado fpl:ànõ:i.de ·tensões. _{. . ,} Faz uso do procedimento DERIVA.

Calcula as funções de interpolação "Serendipity" e suas derivadas com relação às coordenadas curviline-as,áo~jacobiano e às derivadas das coordenadas glo-bais com relação às coordenadas curvilineas.

MASELPLACA: Calcula a matriz "S" do elemento no caso de fle xão de placas. Necessita do auxilio da DERIVA. MASEL

MAFI

TETA

Calcula a matriz "S" quando estamos trabalhando no caso 3· (cascas). Faz uso dos procedimentos MAFI e TETA

Determina a matriz de rotação F .

Obtém a matriz de rotação que ·transforma as grandezas do sistema de referência global para o sistema local de um ponto genérico do elemento de cascas. Necessita

de fazer uso da DERIVA.

MONTAGEM: Armazena a matriz "S" na matriz global da estrutu ra ("S ")

G

FNEPP , FNECDLl , · FNECDS e TEMPERATURA . Procedimentos que

·----

_{calculam forças nodais equivalentes devido:}

ao peso próprio,

as forças e aos momentos distribuidos sobre os : .. lados do elemento com variação quadrática,

ao carregamento de forças distribuídas sobre a super-fície média, com variação quadrática e·

a variação quadrática de temperatura segundo a super-fície média e variação linear através da(--~spessura . ...

______

- .

do elemento;

respectivamente. Todos estes procedimentos utilizam a DERIVA, sendo que, com relação ao FNCDLl, a chama da da DERIVA é feita através do procedimento auxili ar ~JtN.~C_DL2 , que por sua vez é chamado pelo procedi mento em questão \FNE_CDLl) . No apêndice A , apre-sentamos a dedução das forças nodais equivalentes de-vido à variação de temperatura.

BOUND : Introduz, utilizando o método dos "O" e "l" , as condições de contorno no sistema de equações linea -res .

SOSEL Resolve o sistema de equaçoes lineares pelo mé_tôdo da eliminação de Gauss para sistema simétrico e em ban-da. Devido, durante a resolução do sistema de equa-çoes, ocorrer a possibilidade de se encontrar,:._ -~e~CJ-) na diagonal da matriz ··~G" (que nao é positiva defi-nida), foram introduzidos algoritmos neste subprogra-ma que, quando necessário e possível, fazem trocas au tomáticas de linhas e colunas sem ocasionar com isto que a matriz

a sua largura

"s

11

-G deixe de ser simétrica ou aumente

,---

-'

1 -' 1 1

,.

__

- -

-

-

-

---F N E PP

.o

•O FNECDS F M = 1 >--.:...--1 MAS E L T P

.o

CARGA APLICADA

• o

FNEC,i>L 1

>-•-º'-"'i

TEM PER A -1

O programa imprime os dados da estrutura a medi da que estes forem sendo lidos. Os resultados, no sistema de referência global, impressos são as ·transla·ções , enquanto no sistema local são as rotações e as tensões e,ainda, nos casos 1 e 2 , resultantes de tensões. As variáveis NNC, IPP, ICDL, ICDS e IEVT que aparecem no fluxograma (quadro 5.2) são definidas no item (5.5.2)

5.5 U T I L I Z A Ç Ã O D O P R O G R A M A

5.5.1 - DADOS DE ENTRADA

Os dados de entrada deverão obedecer ao quadro ( 5. 3) • Neste quadro, o asterisco ( *) , . assintrla os· cartões que nao sao de uso obrigatório. Os cartões assinalados só deverão ser colocados quando existir a solicitação correspondente.

5.5.2 - COMENTÃRIOS

1. .. )

Leitura das dimensões da matriz "Tl"l'[j)IMI,DIMJ]" Esta é a matriz global "êG" que contém armazenada as matrizes

"S" dos elementos. A leitura das dimensões de "TM" e feita com o intuito de economizar integral de memória, reservando números diferentes de posições para "TM" em cada caso espec! fico do problema que se deseja resolver. Se o usuário reser var uma área de memória menor do que a necessária, o programa, após calcular as dimensões mínimas necessárias, imprime um av! so fornecendo o valor do número mínimo ,_.,!'.'eq_ue:fjd<S) de · .pQsições que deverá ser reservado; e, neste ponto, a execução do pro-grama é interrompida.

DIMI : quantidade de termos que contém uma coluna da · ·matriz "TM". A quant_idade mínima que necessita ser reservada é igual ao número de incógnitas nodais de cada nó multi

Or-N<? de cartões Variáveis Formatos derr

1 1 DIMI, DIMJ 2I4

2 1 CASO I3 3 1 NN, NE, E, Ul 2I5,El0.3,Fl0.8 I, x[r], v[r], z[r], vx[r], 4 NN I5. 6Fl0.4 VY[I], vz[r] . 5 NE I, INCÍI,J], c/ J= 1+8 9I5 6 1 NNC I3 7 NNC J, \\[K], e/ K= NDFT+l NDF IlO, 5Fl0.2

_*

8 1 IPP I3 9 1 Rc[l], R<{:2], RO[)] 3Fl0.4

_*

10 1 ICDL I3 11 Ul 1 JK IS

_*

QJ

12 N .1 ICLl, · ICL2, ICL3, ICL4 _4I5

_*

QJ

>

₊

N

....

,-:i

tJ tJ

Ul

FXI(K],

FYI(K], FZI(K],

e H H QJ 13 u + + N 3 5Fl0.6

*

H ri M ~ XMl[K],

XM2[K]

tJ tJ

H H 14 1 ICDS I3

15 (fJ Ul QJ 1 NECD, orR[1],orR[2],orR[3] I5.Xl4, 3Al

_*

Cl N u QJ FXS[JJ], FYSÍJJ], FZs[JJ] 16 H

>

_{8 3Fl0.4}

*

17 1 IEVT I3 18 1 ALFA Fl0.4

_*

19 E-< Ul _{1 NEVT I5}

*

:> QJ lil N .. 20 H

_>

QJ 8 TS[NEVT,J], TIN[NEVT,J] 2Fl0.4

_*

21 1 NBN I3 22 1 Ul

J, Ic[K], c/ K=l+NDF I5, xs, 16I4

QJ 1 (caso 1) I5, xs, N QJ

>

23

_z

2 (caso· 2) J, W[K], c/ K= l+NDF 10F7.2,

/,

i:o

z

_{3 (caso 3) 6F7.2}