GA aulas16e17

Geometria Analítica

Quádricas em posição canônica

Cleide Martins

DMat - UFPE

Equação polinomial de grau 2 com 3 variáveis

Agora que já sabemos como identicar o lugar geométrico de uma equação polinomial de grau 2 com duas variáveis, vamos estudar equações do mesmo tipo em 3 variáveis.

A equação completa é da forma

Ax2+By2+Cz2+Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0 Mas não estudaremos equações com dois ou mais termos quadráticos mistos.

De forma análoga ao caso de duas variáveis, a presença de termos quadráticos mistos equivale à necessidade de fazer rotação de eixos para identicar um sistema de coordenadas em que a superfície esteja em posição canônica. Quando um termo quadrático e um termo linear em uma mesma variável estiverem na equação, a operação de completar quadrados indica a translação de eixos necessária para obter a equação reduzida.

Quádricas

Uma QUÁDRICA é o lugar geométrico dos pontos no espaço que satisfazem uma equação polinomial de grau 2 em 3 variáveis.

Ax2+By2+Cz2+Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Iz + J = 0 Faremos os esboços das quádricas cujas equações não contêm termos quadráticos mistos

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0

analisando cada tipo de equação. Ressaltamos entretanto, que cada uma delas é o lugar geométrico de um conjunto de pontos que satisfaz alguma propriedade geométrica.

A Esfera

Como exemplo, vamos lembrar a denição do lugar geométrico que é uma superfície esférica.

Denição

A ESFERA de centro C e raio a (positivo) é o lugar geométrico dos pontos P tais que d(P, C) = a

Em coordenadas: se C = (x0, y0, z0) e P = (x, y, z) então P ∈ S, a esfera de centro C e raio

a, se

(x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =a2

Se C é a origem então a esfera está em posição canônica e sua equação reduzida é x2+y2+z2 =a2

Em qualquer caso, uma esfera é uma quádrica cuja equação é do tipo x2_+y2_+z2_{+ax + by + cz + d = 0}

Identicando uma Esfera por sua Equação

Em que casos a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 é de uma esfera?

Para começar, os coecientes A, B e C devem ser todos iguais, mas isso só não basta. Assumindo que A = B = C = m 6= 0 completamos os quadrados em x, y e z:

 x2+D mx + D2 4m2  +  y2+ E my + E2 4m2  +  z2+ F mz + F2 4m2  +G m = D2 4m2+ E2 4m2+ F2 4m2

Identicando uma Esfera por sua Equação

Em que casos a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 é de uma esfera?

Para começar, os coecientes A, B e C devem ser todos iguais, mas isso só não basta.

Assumindo que A = B = C = m 6= 0 completamos os quadrados em x, y e z:  x2+D mx + D2 4m2  +  y2+ E my + E2 4m2  +  z2+ F mz + F2 4m2  +G m = D2 4m2+ E2 4m2+ F2 4m2

Identicando uma Esfera por sua Equação

Em que casos a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 é de uma esfera?

Para começar, os coecientes A, B e C devem ser todos iguais, mas isso só não basta. Assumindo que A = B = C = m 6= 0 completamos os quadrados em x, y e z:

 x2+D mx + D2 4m2  +  y2+ E my + E2 4m2  +  z2+ F mz + F2 4m2  +G m = D2 4m2+ E2 4m2+ F2 4m2

Identicando uma Esfera por sua Equação

Em que casos a equação

Ax2_+By2_+Cz2_{+Dx + Ey + F z + G = 0}

é de uma esfera?

Para começar, os coecientes A, B e C devem ser todos iguais, mas isso só não basta. Assumindo que A = B = C = m 6= 0 completamos os quadrados em x, y e z:

 x2+D mx + D2 4m2  +  y2+ E my + E2 4m2  +  z2+ F mz + F2 4m2  +G m = D2 4m2+ E2 4m2+ F2 4m2  x + D 2m 2 +  y + E 2m 2 +  z + F 2m 2 = D 2_+E2_+F2_{− 4Gm} 4m2

Identicando uma Esfera por sua Equação: Conclusão

Para que a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 seja de uma esfera é preciso que

A = B = C = m 6= 0 e

Identicando uma Esfera por sua Equação: Conclusão

Para que a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 seja de uma esfera é preciso que

A = B = C = m 6= 0 e

Identicando uma Esfera por sua Equação: Conclusão

Para que a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 seja de uma esfera é preciso que

A = B = C = m 6= 0 e

Identicando uma Esfera por sua Equação: Conclusão

Para que a equação

Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 seja de uma esfera é preciso que

A = B = C = m 6= 0 e

D2_+E2_+F2_{− 4Gm > 0}

Sendo assim, o centro dessa esfera é o ponto Q =  − D 2m, − E 2m, − F 2m  e o raio é a = √ D2_+E2_+F2_{− 4Gm} 2|m|

Exemplo

Vamos considerar a equação

x2+y2+z2− 3x + 2y − 2z − 2 = 0 Completando quadrados, obtemos

x2− 3x + 9 4+y 2_{+ 2y + 1 + z}2_{− 2z + 1 = 2 +} 9 4 + 1 + 1  x −3 2 2 + (y + 1)2+ (z − 1)2= 25 4 Portanto temos uma esfera com centro C = 3

2, −1, 1

e raio a = 5 2.

Interseção de uma Esfera com um Plano

Dados uma esfera S : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e um plano

π : ax + by + cz = d. As possíveis posições relativas entre S e π são

S ∩ π = ∅ se a distância do centro da esfera ao plano é maior que o raio da esfera d(C, π) > R

T = S ∩ π é um ponto se a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio da esfera d(C, π) = R

C = S ∩ π é uma circunferência se

I a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera

d(C, π) < R

Interseção de uma Esfera com um Plano

Dados uma esfera S : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e um plano

π : ax + by + cz = d. As possíveis posições relativas entre S e π são

S ∩ π = ∅ se a distância do centro da esfera ao plano é maior que o raio da esfera d(C, π) > R

T = S ∩ π é um ponto se a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio da esfera d(C, π) = R

C = S ∩ π é uma circunferência se

I a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera

d(C, π) < R

Interseção de uma Esfera com um Plano

Dados uma esfera S : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e um plano

π : ax + by + cz = d. As possíveis posições relativas entre S e π são

S ∩ π = ∅ se a distância do centro da esfera ao plano é maior que o raio da esfera d(C, π) > R

T = S ∩ π é um ponto se a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio da esfera d(C, π) = R

C = S ∩ π é uma circunferência se

I a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera

d(C, π) < R

Interseção de uma Esfera com um Plano

Dados uma esfera S : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e um plano

π : ax + by + cz = d. As possíveis posições relativas entre S e π são

S ∩ π = ∅ se a distância do centro da esfera ao plano é maior que o raio da esfera d(C, π) > R

T = S ∩ π é um ponto se a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio da esfera d(C, π) = R

C = S ∩ π é uma circunferência se

I a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera

d(C, π) < R

Interseção de uma Esfera com um Plano

Dados uma esfera S : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e um plano

π : ax + by + cz = d. As possíveis posições relativas entre S e π são

S ∩ π = ∅ se a distância do centro da esfera ao plano é maior que o raio da esfera d(C, π) > R

T = S ∩ π é um ponto se a distância do centro da esfera ao plano é igual ao raio da esfera d(C, π) = R

C = S ∩ π é uma circunferência se

I a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera

d(C, π) < R

Circunferência como Interseção de uma Esfera com um Plano

Se a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera, podemos observar que

O centro C0 _{da circunferência C, é a projeção ortogonal de Q, o centro da esfera, sobre o}

plano π

Se P ∈ C, então QC0_{P é um triângulo retângulo em C}0 _{e o raio r de C é a distância de P}

a C0_{. Portanto}

Circunferência como Interseção de uma Esfera com um Plano

Se a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera, podemos observar que O centro C0 _{da circunferência C, é a projeção ortogonal de Q, o centro da esfera, sobre o}

plano π

Se P ∈ C, então QC0_{P é um triângulo retângulo em C}0 _{e o raio r de C é a distância de P}

a C0_{. Portanto}

Circunferência como Interseção de uma Esfera com um Plano

Se a distância do centro da esfera ao plano é menor que o raio da esfera, podemos observar que O centro C0 _{da circunferência C, é a projeção ortogonal de Q, o centro da esfera, sobre o}

plano π

Se P ∈ C, então QC0_{P é um triângulo retângulo em C}0 _{e o raio r de C é a distância de P}

a C0_{. Portanto}

Interseção Entre Duas Esferas

Dadas as esferas de centros Q0= (x0, y0, z0)e Q1 = (x1, y1, z1) e raios R e r

S1 : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2 : (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

As possíveis posições relativas entre S1 e S2 são

S1∩ S2 = ∅ se

I a distância entre os centros é maior que a soma dos raios

d(Q0, Q1)> R + r ou

I uma das esferas está no interior da outra e a distância entre os centros é menor que a

diferença entre os raios

Interseção Entre Duas Esferas

Dadas as esferas de centros Q0= (x0, y0, z0)e Q1 = (x1, y1, z1) e raios R e r

S1 : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2 : (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

As possíveis posições relativas entre S1 e S2 são

S1∩ S2 = ∅ se

I a distância entre os centros é maior que a soma dos raios

d(Q0, Q1)> R + r ou

I uma das esferas está no interior da outra e a distância entre os centros é menor que a

diferença entre os raios

Interseção Entre Duas Esferas

Dadas as esferas de centros Q0= (x0, y0, z0)e Q1 = (x1, y1, z1) e raios R e r

S1 : (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2 : (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

As possíveis posições relativas entre S1 e S2 são

S1∩ S2 = ∅ se

I a distância entre os centros é maior que a soma dos raios

d(Q0, Q1)> R + r ou

I uma das esferas está no interior da outra e a distância entre os centros é menor que a

diferença entre os raios

Esferas Tangentes

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

as esferas são tangentes: T = S1∩ S1 é um ponto se

I a distância entre os centros é igual à soma dos raios

d(Q0, Q1) =R + r ou

I uma das esferas está no interior da outra e a distância entre os centros é igual à diferença

entre os raios

Esferas Tangentes

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

as esferas são tangentes: T = S1∩ S1 é um ponto se

I a distância entre os centros é igual à soma dos raios

d(Q0, Q1) =R + r ou

I uma das esferas está no interior da outra e a distância entre os centros é igual à diferença

entre os raios

Esferas Tangentes

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

as esferas são tangentes: T = S1∩ S1 é um ponto se

I a distância entre os centros é igual à soma dos raios

d(Q0, Q1) =R + r ou

I uma das esferas está no interior da outra e a distância entre os centros é igual à diferença

entre os raios

Circunferência Como Interseção de Duas Esferas

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

C = S1∩ S2 é uma circunferência se nenhuma das duas situações anteriores ocorre.

I a distância entre os centros das esferas é menor que a soma dos raios

d(Q0, Q1)< R + r e

I a distância entre os centros das esferas é maior que a diferença entre os raios

d(Q0, Q1)> |R − r|

Circunferência Como Interseção de Duas Esferas

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

C = S1∩ S2 é uma circunferência se nenhuma das duas situações anteriores ocorre.

I a distância entre os centros das esferas é menor que a soma dos raios

d(Q0, Q1)< R + r e

I a distância entre os centros das esferas é maior que a diferença entre os raios

d(Q0, Q1)> |R − r|

Circunferência Como Interseção de Duas Esferas

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

C = S1∩ S2 é uma circunferência se nenhuma das duas situações anteriores ocorre.

I a distância entre os centros das esferas é menor que a soma dos raios

d(Q0, Q1)< R + r e

I a distância entre os centros das esferas é maior que a diferença entre os raios

d(Q0, Q1)> |R − r|

Circunferência Como Interseção de Duas Esferas

S1: (x − x0)2+ (y − y0)2+ (z − z0)2 =R2 e S2: (x − x1)2+ (y − y1)2+ (z − z1)2 =r2

Q0= (x0, y0, z0) Q1= (x1, y1, z1)

C = S1∩ S2 é uma circunferência se nenhuma das duas situações anteriores ocorre.

I a distância entre os centros das esferas é menor que a soma dos raios

d(Q0, Q1)< R + r e

I a distância entre os centros das esferas é maior que a diferença entre os raios

d(Q0, Q1)> |R − r|

Plano que Contem a Interseção de Duas Esferas

A circunferência C = S1∩ S2 é a solução do sistema

C : 

x2_+y2_+z2_{+ax + by + cz + d = 0}

x2_+y2_+z2_{+mx + ny + pz + h = 0}

Observe que, a subtração das duas equações é a equação de um plano (a − m)x + (b − n)y + (c − p)z = h − d

Substituindo uma das esferas por esse plano, temos C como interseção de uma esfera com um plano.

Como exercício, determine a posição relativa entre as esferas S1 e S2 e, caso a interseção seja

uma circunferência, determine o centro e o raio.

S₁ :x2_+y2_+z2_{− 2x − 2y − 7 = 0}

Quádricas em Posição Canônica

Uma quádrica em posição canônica é o lugar geométrico da equação Ax2+By2+Cz2+Dx + Ey + F z + G = 0 restrita aos seguintes critérios

Os coecientes A, B e C não são todos nulos

No máximo um em cada par (A, D), (B, E), (C, F ) é não nulo: equações onde alguma variável não aparece serão estudadas à parte.

Um coeciente positivo é representado pelo quadrado de uma constante positiva e um coeciente negativo é representado pelo negativo do quadrado de uma constante positiva, por exemplo, se A > 0 então A = 1

a2 com a > 0, se B < 0 então B = −_b12 com b > 0 A constante G pode ter um dos valores: 0 ou 1 ou −1

Equações Reduzidas das Quádricas

Com as restrições feitas as possibilidades são as seguintes:

1 x 2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 2 x 2 a2 + y2 b2 − z2

c2 = 1 (o sinal negativo pode mudar de posição).

3 x 2 a2 − y2 b2 − z2

c2 = 1 (o sinal positivo pode mudar de posição).

4 x 2 a2 + y2 b2 − z2

c2 = 0 (o sinal negativo pode mudar de posição).

5 x

2

a2 +

y2

b2 =cz (a variável que não aparece ao quadrado pode ser x ou y).

6 x

2

a2 −

y2

b2 =cz (a variável que não aparece ao quadrado pode ser x ou y).

Construção por Traços

Construiremos o gráco de cada uma das quádricas analisando suas interseções com planos paralelos a algum plano coordenado. Tais interseções são chamadas TRAÇOS.

Lembre que planos paralelos a um plano coordenado têm equações x = k plano paralelo ao plano yOz

y = k plano paralelo ao plano xOz z = k plano paralelo ao plano xOy

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 = 1 − k2 c2 é

* uma elipse ou circunferência se |k| < c

um ponto (0, 0, k) se |k| = c ∅ se |k| > c y = k ⇒ x 2 a2 + z2 c2 = 1 − k2 b2 é

* uma elipse ou circunferência se |k| < b

um ponto (0, k, 0) se |k| = b ∅ se |k| > b x = k ⇒ y 2 b2 + z2 c2 = 1 − k2 a2 é

* uma elipse ou circunferência se |k| < a

um ponto (k, 0, 0) se |k| = a

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 = 1 − k2 c2 é

* uma elipse ou circunferência se |k| < c

um ponto (0, 0, k) se |k| = c ∅ se |k| > c y = k ⇒ x 2 a2 + z2 c2 = 1 − k2 b2 é

* uma elipse ou circunferência se |k| < b

um ponto (0, k, 0) se |k| = b ∅ se |k| > b x = k ⇒ y 2 b2 + z2 c2 = 1 − k2 a2 é

* uma elipse ou circunferência se |k| < a

um ponto (k, 0, 0) se |k| = a

∅ se |k| > a

Os traços não degenerados dessa superfície são sempre elipses, por isso, essa quádrica é denominada ELIPSÓIDE. Caso algum dos traços não degenerados sejam circunferências o elipsóide é DE REVOLUÇÃO.

ELIPSÓIDES

x _y

z

x _y

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 1

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 = 1 + k2

c2 é uma elipse ou circunferência

y = k ⇒ x 2 a2 − z2 c2 = 1 − k2 b2 é  uma hipérbole se |k| 6= b um par de retas se |k| = b x = k ⇒ y 2 b2 − z2 c2 = 1 − k2 a2 é  uma hipérbole se |k| 6= a um par de retas se |k| = a

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 1

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 = 1 + k2

c2 é uma elipse ou circunferência

y = k ⇒ x 2 a2 − z2 c2 = 1 − k2 b2 é  uma hipérbole se |k| 6= b um par de retas se |k| = b x = k ⇒ y 2 b2 − z2 c2 = 1 − k2 a2 é  uma hipérbole se |k| 6= a um par de retas se |k| = a

Os traços não degenerados dessa superfície são elipses ou hipérboles, por isso, essa quádrica é denominada HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA. Caso os traços z = k sejam circunferências o hiperbolóide é DE REVOLUÇÃO.

HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA

x

y z

Traços de

x

2

a

2

−

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 1

z = k ⇒ x 2 a2 − y2 b2 = 1 + k2 c2 é uma hipérbole y = k ⇒ x 2 a2 − z2 c2 = 1 + k2 b2 é uma hipérbole x = k ⇒ y 2 b2 + z2 c2 = k2 a2 − 1 é

* uma elipse ou circunferência se |k| > a

um ponto (k, 0, 0) se |k| = a

Traços de

x

2

a

2

−

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 1

z = k ⇒ x 2 a2 − y2 b2 = 1 + k2 c2 é uma hipérbole y = k ⇒ x 2 a2 − z2 c2 = 1 + k2 b2 é uma hipérbole x = k ⇒ y 2 b2 + z2 c2 = k2 a2 − 1 é

* uma elipse ou circunferência se |k| > a

um ponto (k, 0, 0) se |k| = a

o conjunto vazio se |k| < a

Os traços não degenerados dessa superfície são elipses ou hipérboles e há um intervalo −a < x < a onde não há pontos da superfície, por isso, essa quádrica é denominada HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS. Caso os traços x = k sejam circunferências o hiperbolóide é DE REVOLUÇÃO.

HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS

x y

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 0

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 = k2 c2 é 

uma elipse ou circunferência se k 6= 0

um ponto (0, 0, 0) se k = 0 y = k ⇒ −x 2 a2 + z2 c2 = k2 b2 é  uma hipérbole se k 6= 0 um par de retas se k = 0 x = k ⇒ −y 2 b2 + z2 c2 = k2 a2 é  uma hipérbole se k 6= 0 um par de retas se k = 0

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−

z

2

c

2

= 0

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 = k2 c2 é 

uma elipse ou circunferência se k 6= 0

um ponto (0, 0, 0) se k = 0 y = k ⇒ −x 2 a2 + z2 c2 = k2 b2 é  uma hipérbole se k 6= 0 um par de retas se k = 0 x = k ⇒ −y 2 b2 + z2 c2 = k2 a2 é  uma hipérbole se k 6= 0 um par de retas se k = 0

Os traços não degenerados dessa superfície são elipses ou hipérboles, os traços degenerados são retas concorrentes ou um ponto, uma interseção com um plano paralelo às retas concorrentes são parábolas (mas não são facilmente reconhecíveis). Essa quádrica é um CONE.

CONE

x y

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= cz

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 =ck é

* uma elipse ou circunferência se ck > 0

um ponto (0, 0, 0) se k = 0 o conjunto vazio se ck < 0 y = k ⇒ x 2 a2 =cz − k2 b2 é uma parábola x = k ⇒ y 2 b2 =cz − k2 a2 é uma parábola

Traços de

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= cz

z = k ⇒ x 2 a2 + y2 b2 =ck é

* uma elipse ou circunferência se ck > 0

um ponto (0, 0, 0) se k = 0 o conjunto vazio se ck < 0 y = k ⇒ x 2 a2 =cz − k2 b2 é uma parábola x = k ⇒ y 2 b2 =cz − k2 a2 é uma parábola

Os traços não degenerados dessa superfície são elipses ou parábolas, por isso essa quádrica é denominada PARABOLÓIDE. Caso os traços z = k sejam circunferências o parabolóide é DE REVOLUÇÃO.

PARABOLÓIDES

x y

z

x y

Traços de

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= cz

z = k ⇒ x 2 a2 − y2 b2 =ck é  uma hipérbole se k 6= 0 um par de retas se k = 0 y = k ⇒ x 2 a2 =cz + k2 b2 é uma parábola x = k ⇒ −y 2 b2 =cz − k2 a2 é uma parábola

Traços de

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= cz

z = k ⇒ x 2 a2 − y2 b2 =ck é  uma hipérbole se k 6= 0 um par de retas se k = 0 y = k ⇒ x 2 a2 =cz + k2 b2 é uma parábola x = k ⇒ −y 2 b2 =cz − k2 a2 é uma parábola

Os traços não degenerados dessa superfície são hipérboles ou parábolas, por isso essa quádrica é denominada PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO. Um parabolóide hiperbólico nunca é de revolução.

PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO

x y

Superfícies com equação F (x, y, z) = 0 sem uma das variáveis

Qualquer equação do tipo F (x, y, z) = 0 em que uma dasvariáveis x, y ou z não aparece é uma SUPERFÍCIE CINLÍNDRICA.

Por exemplo, analisando a equação z = y2 _{observamos que todos os traços x = k são}

congruentes e podemos considerar que essa superfície consiste em uma parábola que "se move"ao longo do eixo Ox

x

y z

Quádrica do tipo z

2

_{= ax + by}

Os traços desse tipo de quádrica são todos retas ou parábolas, por exemplo, a superfície de equação y2 _{= −x + 3z pode ser vista como a parábola z = y}2 _{que "se move"ao longo da reta}

X = λ(3, 0, 1)

x

y z

Exercícios

Identique e esboce as seguintes quádricas

1 x 2 9 − y2 16 − z2 9 = −1 2 x 2 9 − y2 16 − z2 9 = 0 3 x 2 9 − y2 16 + 9z = 0 4 x 2 9 + 9y + z2 16 = 18 5 _4x2_{− 3y}2_{+ 2z}2_{− 12x + 12y − 12z + 3 = 0}