01-SlidesUnid1PORev2

Introdução à Pesquisa

Operacional, Programação Linear

e Solução Gráfica

Unidade 1

Revisão 2, de 02/09/2011

Faculdade Pitágoras de Uberlândia Curso: Engenharia de Produção

Disciplina: PO – Pesquisa Operacional

Prof. João Paulo Seno [email protected]

Histórico

• Surgimento: Durante a 2a_{Guerra Mundial, na Inglaterra, a}

partir da convocação de um grupo de cientistas para ajudar na decisão de alocação de recursos militares;

• Os resultados positivos obtidos incentivaram os Estados Unidos a iniciarem atividades semelhantes;

• Apesar da Inglaterra ter o crédito pela criação, os Estados Unidos foram os responsáveis pelo desenvolvimento e divulgação.

Histórico

• Com o fim da guerra, a Pesquisa Operacional atraiu a atenção de diversas áreas, devido à natureza abrangente e complexa dos problemas com os quais ela trata;

• As técnicas da Pesquisa Operacional permitem que as

decisões sejam melhor analisadas e testadas antes de serem implementadas;

• Com o aumento da capacidade de processamento e de memória dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional.

Modelagem

• Os modelos são geralmente versões simplificadas do objeto ou problema de decisão que eles representam;

• É mais econômico analisar os problemas utilizando modelos;

• Os modelos geralmente fornecem respostas mais rapidamente do que a realidade;

• Algumas vezes, permitem análises onde a realidade não permite.

Tipos de Modelos

•

Basicamente podemos ter três tipos de

modelos:

– Modelos Físicos (Ex.: modelos de aeronaves e maquetes);

– Modelos Análogos (representa as relações através de diferentes meios. Ex.: Mapas rodoviários);

– Modelos Matemáticos (As grandezas são

representadas por variáveis e as relações entre as mesmas por expressões matemáticas).

Categorias de Modelos Matemáticos

quanto ao nível de incerteza existente

• Modelos Determinísticos: todas as informações relevantes são assumidas como conhecidas (sem incertezas);

• Modelos Probabilísticos: uma ou mais variáveis não são conhecidas e esta incerteza está

Categorias de Modelos Matemáticos

quanto ao propósito ou objetivo

• Modelos Prescritivos: baseiam-se na

representação dos objetivos e restrições de um processo para o qual se deseja descobrir soluções otimizadas;

• Modelos Descritivos: são utilizados na

representação de sistemas reais (ou propostos) e a experimentação de diferentes cenários.

Boas Decisões x Bons Resultados

• O objetivo da abordagem da solução de problemas

através da modelagem é ajudar os indivíduos tomar boas decisões;

• Porém, boas decisões nem sempre conduzem a bons resultados!

• O que pode-se garantir é:

O uso de um processo estruturado de modelagem para a tomada de decisões, conduz a bons resultados mais frequentemente do que quando não se utiliza nenhuma

O processo de tomada de decisão

Identificar a situação de decisão e entender o problema Identificar as alternativas Decompor e modelar o problema Escolher a melhor alternativa Análise de Sensibilidade Implementar a alternativa escolhida São necessárias novas análises ? Não Sim Início Fim

Elementos dos Problemas de Decisão

• Valor:

– termo usado algumas vezes de forma ambígua;

– em teoria da decisão, usaremos o senso comum: algo que tem valor para alguém é algo importante para ele;

• Objetivo:

– É algo específico que se deseja alcançar;

– Os objetivos de alguém trazem consigo os valores deste alguém.

Aplicações da Pesquisa Operacional

• A Pesquisa Operacional pode ser utilizada para ajudar nos processos de tomada de decisão que surgem na solução de problemas de:

– Otimização de Recursos; – Localização; – Roteirização; – Carteiras de Investimento; – Alocação de Pessoas; – Previsão e Planejamento.

O Processo de Modelagem

• O processo de modelagem permite a realização de exaustivas simulações, envolvendo os mais diversos cenários. Assim, o profissional pode obter uma

compreensão mais profunda do problema, o que auxilia a tomada de decisão;

• Como alternativa o executivo pode usar a sua intuição para a tomada de decisões;

• Numa situação ideal, os profissionais deveriam fazer uso das duas opções, conjuntamente. Deixar de utilizar a intuição é desperdiçar uma extensa e útil base de conhecimentos.

Modelo + Intuição: uma dupla de sucesso

Situação Gerencial

Situação

Gerencial ModeloModelo ResultadoResultado DecisõesDecisões

Intuição Intuição Mundo Real Mundo Real Fonte: Lachtermacher, 2002 Mundo Simbólico

Modelos de Programação Matemática

• A escassez de certos recursos no mundo real gera problemas de como utilizá-los de forma mais

eficiente e eficaz;

• Busca-se, portanto, maximizar ou minimizar uma quantidade (lucro, custo, receita, número de

produtos, etc...), chamada de objetivo, que depende de um ou mais recursos escassos;

• A área que estuda a otimização de recursos é denominada Programação Matemática.

Modelos de Programação Matemática

• A quantidade (objetivo) a ser maximizada ou

minimizada é descrita como uma função matemática dos recursos (variáveis de decisão) escassos.

• As relações entre as variáveis são formalizadas

através de restrições ao problema como equações ou inequações matemáticas.

Modelos de Programação Matemática

• Matematicamente, temos: Otimizar: z = f(x₁,x₂,...,x_n) Sujeito a: g₁(x₁,x₂,...,x_n) g₂(x₁,x₂,...,x_n) . . . g_m(x₁,x₂,...,x_n) <= = >= b₁ b₂ . . . b_m Função Objetivo Quanti-dade dis-ponível de cada recurso Restrições

Programação Matemática

• Um problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as

restrições são expressas como funções matemáticas e relações funcionais        ≥ = ≤        = n n n n n n b b b x x x g x x x g x x x g x x x f z : ) ,..., , ( : ) ,..., , ( ) ,..., , ( : a Sujeito ) ,..., , ( : Otimizar 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

Programação Linear

• Um problema de programação matemática é linear se a função objetivo e cada uma das restrições forem funções lineares das respectivas variáveis de entrada

n n n

c

x

c

x

c

x

x

x

x

f

(

₁

,

₂

,...,

)

=

_{1 1}

+

_{2 2}

+

...

+

g x x

_i

( , ,..., )

_{1 2}

x

_n

=

a x

_{i1 1}

+

a x

_{i2 2}

+ +

...

a x

_{in n}

Quebrando a linearidade

• A presença de qualquer das expressões abaixo torna o problema não linear

( )

1 1

1

;

1

;

x

n

x

n

≠

( )

;

com

qualquer

base

log

x

₁

a

a

x1

;

para

qualquer v

alor

de

etc.

);

cos(

);

(

sen

x

₁

x

₁

Exemplo de um modelo de

Programação Linear

0

,

600

20

180

20

4

2

s.r.

2

max

2 1 2 1 2 1 2 1

≥

≤

+

≤

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

Forma Padrão da Programação Linear

• Existem 4 características para um problema na forma

padrão:

– A função objetivo é de Maximizar;

– As restrições são todas com sinal de menor ou igual;

– As constantes de todas as restrições são não negativas;

– As variáveis são todas não negativas

0

,...

,

,

...

:

...

...

:

a

Sujeito

...

Maximizar

3 2 1 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 2 2 1 1

≥

≤

+

+

+

≤

+

+

+

≤

+

+

+

+

+

+

=

n m n mn m m n n n n n n

x

x

x

x

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

x

c

x

c

x

c

Z

não

negativos

Forma Padrão: Notação de Somatório

Função-Objetivo

0

,...

,

,

)

,...

2

,

1

(

:

a

Sujeito

:

Maximizar

3 2 1 1 1

≥

=

≤

=

∑

∑

= = n n j i j ij n i i i

x

x

x

x

m

i

b

x

a

x

c

Z

Restrições • Aditividade:

– Considera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como entidades totalmente independentes, não

permitindo que haja interdependência entre as mesmas, isto é, não permitindo a existência de termos cruzados, tanto na função-objetivo como nas restrições.

• Proporcionalidade:

– O valor da função-objetivo é proporcional ao nível de atividade de cada variável de decisão.

Hipóteses da Programação Linear

• Divisibilidade:

– Assume que todas as unidades de atividade possam ser divididas em qualquer nível fracionário, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor positivo fracionário;

– Esta hipótese pode ser quebrada, dando origem a um problema especial de programação linear, chamado de

problema inteiro ou programação inteira.

• Certeza:

– Assume que todos os parâmetros do modelo são constantes conhecidas.

– Em problemas reais quase nunca satisfeita – as constantes são estimadas;

– Requer uma análise de sensibilidade.

Hipóteses da Programação Linear

Programação Linear: Terminologia

• Solução:

– No campo de Programação Linear, é qualquer

especificação de valores para as variáveis de decisão, não importando se esta especificação se trata de uma escolha desejável ou permissível.

Classificação das Soluções

• Solução Viável: é uma solução em que todas as

restrições são satisfeitas;

• Solução Inviável: é uma solução em que alguma das

restrições ou as condições de não-negatividade não são atendidas;

Exemplos de Solução Viável e Inviável

0

,

800

100

180

20

4

2

s.r.

max

2 1 2 1 2 1 2 1

≥

≤

+

≤

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

x₁= 3 x₂= 2

)

2

,

3

(

=

S

solução viável: todas as restrições são atendidas x₁= 3 x₂= 4

)

4

,

3

(

=

S

solução inviável: as restrições não são respeitadas

A Solução Ótima

• É especialmente importante verificar como fica o valor de Z nas soluções viáveis que podemos determinar:

)

1

,

1

(

=

S

Z

=

2

0

,

800

100

180

20

4

2

s.r.

max

2 1 2 1 2 1 2 1

≥

≤

+

≤

+

+

x

x

x

x

x

x

x

x

)

1

,

2

(

=

S

Z

=

3

)

2

,

3

(

=

S

Z

=

5

A Solução Ótima

• A Solução Ótima é uma solução viável especial.

• De todas as soluções viáveis, aquela que obtiver o valor da função objetivo mais adequado é chamada de ótima;

• A grande questão é como determinar a solução ótima!

Em Busca da Solução Ótima

Método Gráfico

Programação Linear: Solução Gráfica

• Como vimos, não é simples obter a solução ótima de um problema de Programação Linear.

• Existem diversas maneiras de obter esta solução ótima;

• Quando o problema envolver apenas duas variáveis

de decisão, a solução ótima pode ser encontrada graficamente;

O Problema do Desenhista

• Um desenhista faz quadros artesanais para vender numa feira que acontece todo dia, à noite;

• Ele faz desenhos grandes e desenhos pequenos, e vende-os por R$5,00 e R$2,00, respectivamente;

• Só é possível vender 4 desenhos grandes, e 3 desenhos pequenos por noite;

• O desenho grande é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeno é feito em duas horas (detalhado). Além disso, o desenhista desenha 8 horas por dia antes de ir para a feira.

A Decisão do Desenhista

• O que o desenhista precisa decidir?

• O que ele pode fazer para aumentar ou diminuir a sua receita?

• A decisão dele é como usar as 8 horas diárias:

quantos desenhos pequenos e grandes ele deve fazer!

• Chamemos de x₁ e x₂ as quantidades de

desenhos grandes e pequenos que ele faz, por dia, respectivamente.

Construindo o modelo, temos:

Max Z

=

5

x

₁

+

2

x

₂ Faturamento

1

s r

. .

x

≤

4

(a)

Máximo de desenhos grandes

x

₂

≤

3

(b)

Máximo de desenhos pequenos

x

₁

+

2

x

₂

≤

8

(c)

Restrição de Tempo Não negatividade

x

₁

≥

0

, x

₂

≥

0

(d)

Programação Linear: Solução Gráfica

x

₂

x

₁ Todos os valores para x₁ e x₂ são considerados inicialmente

x₁ ocupa o eixo das abscissas e x₂ o eixo das ordenadas 1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

x₂ é não negativa

x

₂

≥

0

Logo:

Programação Linear: Solução Gráfica

x

₂

x

₁

x

₂

≥≥≥≥

0

A região viável é reduzida! O mesmo raciocínio para x₁ resulta:

x

2

≥≥≥≥

0

A região viável é reduzida mais ainda!

x

1

≥≥≥≥

0

x

₂

x

₁

Programação Linear: Solução Gráfica

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁ Agora pensemos na restrição (a):

4

1

≤

x

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

x

₁

≤≤≤≤

4

Programação Linear: Solução Gráfica

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁ E a restrição (b):

3

2

≤

x

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

x

₂

≤≤≤≤

3

Programação Linear: Solução Gráfica

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

x

₂

≤≤≤≤

3

x

₁

≤≤≤≤

4

x

1

≥≥≥≥

0

x

2

≥≥≥≥

0

Agora precisamos colocar a restrição (c):

x

₁

+

2

x

₂

≤

8

A região viável parcial é compreendida

entre as retas

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

x

₂

====

3

x

₁

====

4

x

1

====

0

x

2

====

0

É importante ver aonde a nova reta vai passar.

Vamos ver sua interseção com os eixos principais

Interseção com os eixos principais

•

Toda interseção é determinada

resolvendo um sistema de equações

8

2

₂ 1

+

x

=

x

0

1

=

x

8

2

₂ 1

+

x

=

x

0

2

=

x

4

2

=

x

)

4

,

0

(

8

1

=

x

)

0

,

8

(

Um esboço da nova reta

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

)

4

,

0

(

)

0

,

8

(

Para uma maior

precisão é importante definir os outros dois pontos vermelhos

Definindo os pontos de Interseção

8

2

₂ 1

+

x

=

x

4

1

=

x

8

2

₂ 1

+

x

=

x

3

2

=

x

2

2

=

x

)

2

,

4

(

2

1

=

x

)

3

,

2

(

A nova reta

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

(2,3)

(4,2)

Como toda restrição, uma parte da antiga região viável será desprezada. Qual?

Para onde a restrição aponta? Para baixo ou para cima?

Decidindo sobre a restrição

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

(2,3)

(4,2)

Devemos investigar algum ponto que esteja na região acima ou abaixo da reta ?

Decidindo sobre a restrição

Vamos escolher, por

facilidade o ponto (0,0):

8

2

₂ 1

+

x

≤

x

0

0

2

0

+

×

=

Aplicando:

Logo, (0,0) está dentro da restrição.

Portanto, a reta aponta para baixo.

8

0

≤

Decidindo sobre a restrição

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

(2,3)

E, portanto,

(4,2)

Região Viável

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

(2,3)

(4,2)

Região Viável A região viável é o conjunto de todas as soluções viáveis do problema

Programação Linear e Convexidade

•

Conjunto Convexo em R

2 Conjunto Convexo Conjunto não Convexo

Teorema Fundamental da

Convexidade

•

Teorema:

O conjunto de todas as soluções viáveis de um Problema de Programação Linear é um conjunto convexo;

• Graficamente, podemos verificar o teorema observando que a região viável é obtida como a interseção de vários semi-espaços, e é portanto convexa.

Verificação Geométrica do

Teorema 1

∩

=

0

1

≥

x

x

₂

≥

0

Verificação Geométrica do

Teorema 1

∩

=

4

1

≤

x

Verificação Geométrica do

Teorema 1

∩

=

3

2

≤

x

Verificação Geométrica do Teorema 1

∩

₌

8

2

₂ 1

+

x

≤

x

cqd

Pontos Extremos

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

D=(2,3)

C=(4,2)

A=(0,0)

B=(4,0)

E=(0,3)

São pontos especiais, nos vértices da região viável

Solução Ótima

• A solução ótima é um dos pontos da região viável;

• Basta procurar dentro da região viável o ponto que dará o maior valor para Z;

• Investiguemos o valor de Z em alguns pontos da região viável:

Investigando valores para Z

•

Vamos investigar, por acaso, o valor de Z

em (2,0)

10

0

2

2

5

×

+

×

=

=

Z

•

Entretanto, outros pontos também fornecem

Z = 10:

(

1

,

6

;

1

)

⇒ Z

=

5

×

1

,

6

+

2

×

1

=

10

(

1

;

2

,

5

)

⇒ Z

=

5

×

1

+

2

×

2

,

5

=

10

O conjunto de soluções para Z = 10

1 2 3 4 1 2 3 4

x

₂

x

₁

D

C

A

B

E

Em todos estes pontos, temos Z = 10 (0,8 ; 3) (2 ; 0)

Como obter estes pontos?

O valor fixo de Z

• Quando Z assume um valor fixo, temos uma reta!

• Entretanto, é possível que vários pontos da região viável possuam um mesmo valor para Z, como foi o caso anterior;

• Também é possível que nenhum ponto assuma um determinado valor de Z.

O conjunto de soluções para Z = 30

O Conjunto de Soluções para Z = 30 é vazio (0;15) (4;5) (5,5;1,25) (6;0)

Variando o Valor de Z

• O que aconteceu, do ponto de vista da reta, quando mudamos o valor de Z?

•

Sempre que aumentarmos o valor de Z a reta

irá para a direita!

Z = 10 Z = 30

A reta se deslocou para a direita

A Solução Ótima

• Como é um problema de maximizar, a solução ótima será o ponto da região viável que esteja mais à

direita;

C=(4,2)

Também é importante saber o valor da função objetivo no ponto ótimo

O Valor da função objetivo na

solução ótima

• Calcula-se então:

24

2

2

4

5

×

+

×

=

=

Z

• Podemos então concluir que, desenhando 4

quadros grandes e 2 quadros pequenos por dia, o Desenhista terá seu faturamento máximo, de

Solução Gráfica: Resumo

• Para obter a solução de forma gráfica, siga os

passos:

– Desenhe a região viável, que depende exclusivamente das restrições;

– Descubra a inclinação da função objetivo (desenhe em algum ponto interno à região viável, aleatoriamente)

– Descubra para que lado a função objetivo melhora;

– Projete a função nesta direção; em caso de dúvidas, você sempre pode aplicar a função objetivo em mais de um ponto, escolhendo o ponto mais adequado.

Exercício 1 (Maximização)

• A Reddy Mikks produz tintas para interiores e exteriores com base em

duas matérias-primas, M1 e M2. A tabela abaixo apresenta os dados básicos do problema:

• Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária de tintas para

interiores não pode ultrapassar a de tintas para exteriores por mais de 1 ton. Além disso, a demanda máxima diária de tinta para interiores é 2 ton.

• A Reddy Mikks quer determinar o mix ótimo de produtos de tintas para

interiores e exteriores que maximize o lucro total diário.

• Resolver graficamente.

Ton de matéria prima por ton de

tintas para exteriores

Ton de matéria prima por ton de

tintas para interiores Disponibilidade máx. diária (ton) M1 6 4 24 M2 1 2 6 Lucro p/ ton. $5.000 $4.000

Exercício 2 (Minimização)

• A Ozark Farms usa no mínimo 800 kg de ração especial por dia. Essa ração

especial é uma mistura de milho e soja. As propriedades do milho e da soja e o custo por kg de cada um estão anotadas na tabela abaixo.

• Os requisitos nutricionais da ração especial são: no mínimo 30% de

proteína e no máximo 5% de fibra.

• A Ozark Farms quer determinar a mistura que gera a ração de mínimo

custo diário e atenda aos requisitos nutricionais.

• Resolver graficamente.

kg por kg de ração

kg por kg de ração

Ração Proteína Fibra Custo ($/kg)

Milho 0,09 0,02 0,30