Funções logarítmicas e exponenciais: uma abordagem para o Ensino Médio

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS

ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

Iris Lúcia Dantas

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM

PARA O ENSINO MÉDIO

Currais Novos/RN 2016

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS

ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO

Iris Lúcia Dantas

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM

PARA O ENSINO MÉDIO

Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN como parte dos requisitos para obtenção do Título de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio. Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

Currais Novos/RN 2016

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Dantas, Iris Lúcia.

Funções logarítmicas e exponenciais: uma abordagem para o Ensino Médio / Iris Lúcia Dantas. – Currais Novos, RN, 2016.

34f. : il.

Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire.

Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

1. Logaritmos. 2. Função logarítmica. 3. Função exponencial. 4. Gráficos. 5. Exemplos e aplicações. I. Freire, Benedito Tadeu Vasconcelos. II. Título.

Iris Lúcia Dantas

FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM

PARA O ENSINO MÉDIO

Monografia apresentada ao Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio da Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN como parte dos requisitos para obtenção do Título de Especialista em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.

Banca Examinadora

_______________________________________________________ Presidente: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire

_______________________________________________________ 2º Membro: Prof. Iesus Carvalho Diniz

________________________________________________________ 3º Membro: Prof. Odilon Júlio dos Santos

DEDICATÓRIA

Primeiramente à Deus, aos meus pais Inácio e Tereza, meus irmãos e demais familiares.

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar a Deus, que em sua bondade, deu-me forças para a conclusão deste trabalho. A todos os professores do Curso de Especialização em Ensino de Matemática para o Ensino Médio pelo apoio e profissionalismo durante todo o curso, em especial ao meu orientar Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire pela orientação, confiança e entusiasmo dedicados a esta monografia.

Aos meus queridos pais, Tereza Maria Dantas e Inácio Aleixo Dantas, por estarem em todos os momentos ao meu lado, me apoiando e incentivando. E também aos meus amigos e colegas do Curso, em especial, João José e Maria do Socorro que tanto me apoiaram nos momentos difíceis, por me ouvirem e incentivarem.

RESUMO

Esse trabalho mostra, primeiramente, o surgimento de uma poderosa ferramenta matemática que contribuiu durante aproximadamente, três séculos e meio para simplificar os cálculos aritméticos: os logaritmos. Assim, os logaritmos foram criados, na primeira metade do século XVII, para facilitar os cálculos matemáticos tornando-se um instrumento de cálculo eficiente, pois tem como propriedade fundamental transformar produtos em soma.

Com o advento das calculadoras eletrônicas, os logaritmos perderam sua função inicial, mas não perderam posição de destaque no ensino da Matemática e nas aplicações nas ciências modernas. Esse destaque é porque a função logarítmica e sua inversa, a função exponencial, constituem uma única maneira de se descrever, matematicamente, a evolução de uma grandeza, cuja taxa de crescimento (ou decréscimo) é proporcional à quantidade daquela grandeza existente num dado momento.

A seguir são apresentados inúmeros apelos gráficos e exemplos para facilitar e incentivar a leitura dos estudantes.

Palavras-chave: Logaritmos, função logarítmica, função exponencial, gráficos, exemplos e aplicações.

ABSTRACT

This work shows, first, the emergence of a powerful mathematical tool which contributed for about three and a half centuries to simplify the arithmetic: logarithms. Thus, the logarithms were created in the first half of the seventeenth century to facilitate the mathematical calculations become an efficient calculation tool, it has a fundamental property transform products sum.

With the advent of electronic calculators, logarithms lost their original function, but lost leading position in the teaching of mathematics and applications in modern science. This emphasis is because the logarithmic function and its inverse, the exponential function, are a unique way of describing mathematically the evolution of a quantity whose growth rate (or decrease) is proportional to the amount that existing magnitude at a given time.

Following are numerous charts appeals and numerous examples to facilitate and encourage the reading of students.

Keywords: Logarithms, logarithmic function, exponential function, graphics, examples and applications.

SUMÁRIO

1.INTRODUÇÃO ... 9

2. LOGARITMO ... 10

2.1 - Definição ... 10

2.2 - Consequências da definição de Logaritmo ...11

3. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS ... 11

3.1 - Definição ... 12

3.2 - Propriedades básicas ... 12

3.3 - Gráfico da função logarítmica ... 16

3.4 - Logaritmos decimais ... 17 3.5 - Logaritmos naturais ... 18 4. FUNÇÃO EXPONENCIAL ... 21 4.1 - Propriedades ... 21 5. EXEMPLOS BÁSICOS ... 25 6. APLICAÇÕES ... 28 6.1 - Juros contínuos ... 28 6.2 - Desintegração radioativa ... 29 6.3 - O método do carbono 14 ... 31 6.4 - Resfriamento de um corpo ... 32 7. CONCLUSÃO ... 33 8. REFERÊNCIAS ... 34

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1. INTRODUÇÃO

O objetivo do nosso trabalho consiste do estudo das funções Logarítmica e Exponencial a nível do Ensino Médio. Apresentamos apelos gráficos e inúmeros exemplos para facilitar e incentivar a leitura dos estudantes.

Com relação a metodologia, fizemos pesquisas bibliográficas em livros, dissertações e outros arquivos da internet, com o objetivo de analisar gráficos e exemplos que fossem acessíveis aos alunos do Ensino Médio.

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2. LOGARITMO

2.1 - Definição

Dado um número real a > 0 e a ≠ 1, o logaritmo de um número x > 0 na base a é o expoente y a que se deve elevar a de tal modo que 𝑎𝑦 _{= 𝑥.}

log_ax = y ⟺ ay = x

Onde, a é a base do logaritmo, x é o logaritmando e y é o logaritmo. O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal, sua representação é dada da seguinte forma: log10𝑥 = log x.

No caso geral, para um número real qualquer r, é interessante saber o que significa uma potência irracional. Por exemplo, o que significa: 2√2_{, 10}√2_{, 10}√3_{, 2}𝜋_{, etc.?}

Definimos 𝑎𝑦, para y um número irracional, usando a noção de limite, que é um conceito estudado num curso de Cálculo Diferencial e Integral ou de Análise Matemática.

Por exemplo, para definir 2√2_{, como √2 = 1,414213562..., pensamos na sequência seguinte,}

formada a partir da expansão decimal de √2: 𝑎₁₌ 1, 𝑎₂ = 1,4 = 14 10, 𝑎3 = 1,41 = 141 100, 𝑎4 = 1,414 = 1414 1000, ... ,

Então, cada termo da sequência é uma fração e, partir dela, consideramos a sequência 𝑏_𝑛 = 2𝑎𝑛_: 𝑏₁ = 21_{, 𝑏} 2 = √214 10 , 𝑏₃ = 100√2141_{, 𝑏} 4 = √21414 1000 , ... ,

que é crescente e limitada (𝑏_𝑛 < 22_{, para todo n ∈ N), o que implica (por resultados estudados}

em cursos de Cálculo ou Análise) que ela possui um limite. Isto é, lim

𝑛→∞𝑏𝑛 = 𝑛→∞lim 2 𝑎𝑛 _existe. Definimos, 2√2 _{= lim} 𝑛→∞2 𝑎𝑛_. Propriedade fundamental

A propriedade que segue é uma consequência imediata da definição 2.1. Dados os números reais positivos a, u, x, com a ≠1, tem-se:

log_𝑎(𝑢𝑥) = log_𝑎(𝑢) + log_𝑎(𝑥).

De fato, chamando p = log_𝑎𝑢 e q = log_𝑎𝑥, segue que 𝑎𝑝 = u e 𝑎𝑞 = x. Logo, u ∙ x = 𝑎𝑝. 𝑎𝑞 = 𝑎𝑝+𝑞, e pela definição, log𝑎(𝑢𝑥) = p + q = log𝑎𝑢 + log𝑎𝑥.

11

2.2 - Consequências da definição de Logaritmo

Pela definição acima, tem-se:

i) log𝑎1 = 0, pois 𝑎0 = 1, ∀ a ∈ R+, a ≠ 1.

ii) log_𝑎𝑎 = 1, pois 𝑎1 _{= a, ∀ a ∈ R}+_{, a ≠ 1.}

iii) log_𝑎𝑎𝑛 = n , 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛, ∀ a, n ∈ 𝑅, a > 0 a ≠ 1. iv) 𝑎log𝑎𝑏 _{= b, pois se log}

𝑎𝑏 = x ⟹ 𝑎𝑥 = b ⟹ 𝑎log𝑎𝑏 = b , ∀ a, n ∈ R+, a ≠ 1.

v) log_𝑎𝑥 = log_𝑎𝑦 ⟺ x = y, ∀ a, x, y ∈ R+_{, a ≠ 1.}

De fato, se log_𝑎𝑥 = m e log_𝑎𝑦 = n ⟹ 𝑎𝑚 _{= x e 𝑎}𝑛 _{= y.}

Logo:

Para x = y ⟹ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 ⟹ m = n ⟹ log_𝑎𝑥 = log_𝑎𝑦. Para log𝑎𝑥 = log𝑎𝑦 ⟹ m = n ⟹ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 ⟹ x = y .

vi) log𝑏𝑐 = log𝑎𝑐

log𝑎𝑏, ∀ a, b, c ∈ R

+_{, a ≠ 1, b ≠ 1, c ≠1.}

De fato, se log_𝑏𝑐 = p, log_𝑎𝑐 = q e log_𝑎𝑏 = r ⟹ 𝑏𝑝 = c, 𝑎𝑞 = c e 𝑎𝑟 = b. Assim, c = 𝑎𝑞 = 𝑏𝑞 = (𝑎𝑟)𝑝 = 𝑎𝑟𝑝 ⟹ 𝑎𝑞 = 𝑎𝑟𝑝. Como 𝑎𝑞 = 𝑎𝑟𝑝 ⟹ q = rp, ou seja, p = 𝑞 𝑟 ⟹ log𝑏𝑐 = 𝑞 𝑟 = log𝑎𝑐 log𝑎𝑏

Portanto, log_𝑏𝑐 = log𝑎𝑐

log𝑎𝑏

A seguir, o logaritmo é tratado como função e suas propriedades demonstradas de acordo com essa abordagem.

3. FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

Devido aos excessivos procedimentos repetitivos apresentados de forma mecanizada, os logaritmos talvez correspondam a um dos tópicos mais artificialmente mistificados no Ensino Médio. Por isso recomendamos, na abordagem de logaritmos no Ensino Médio, que seja dado ênfase à ideia fundamental de que o logaritmo é o expoente em uma exponenciação, facilitando assim consideravelmente a compreensão das propriedades e características básicas das funções logarítmicas. Chamamos ainda a atenção para o fato de que a propriedade algébrica fundamental dos logaritmos – transformar produtos em soma – está no centro de sua origem histórica. Observe que, sem o auxílio de calculadoras e computadores, com os quais estamos cada vez mais acostumados, efetuar uma multiplicação é muito mais trabalhoso que efetuar uma adição, principalmente no caso de números com muitos algarismos decimais. Por isso, uma

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ferramenta matemática que permitisse reduzir o trabalho de fazer uma multiplicação ao de uma adição era muito importante no passado.

Denotamos tal função por f(x) = log_𝑎𝑥 em que o número a é chamado base. De maneira geral, as funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Entre a infinidade de valores que a base de um logaritmo pode assumir, o que justifica a infinidade de sistemas de logaritmos possíveis, existem dois sistemas particularmente importantes:

i) sistema de logaritmos decimais: é o sistema da base 10, também chamado sistema de logaritmos vulgares ou de Briggs (Henry Briggs, matemático inglês, 1556-1630), quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos da base 10, tendo publicado a primeira tábua (tabela) dos logaritmos de 1 a 1000 em 1617. Indicamos o logaritmo decimal pela notação log₁₀𝑥 ou simplesmente log x.

ii) sistema de logaritmos neperianos: é o sistema de base e (e = 2, 718281::: número irracional), também chamado de sistema de logaritmos naturais. O nome neperiano vem de John Napier, matemático escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural se deve ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Com o propósito de como saber se, para resolver um determinado problema, devemos usar o modelo de função logarítmica, neste momento, apresentamos uma definição formal para tal função, seguida de informações e propriedades que a caracterizam.

3.1 - Definição

Uma função real f: R+ → R chama-se função logarítmica quando é caracterizada pelas seguintes propriedades:

A) f é uma função crescente, isto é, x < y ⇒ f(x) < f(y); B) f(x ∙ y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y ∈ R+ _.

Para cada x ∈ R+_{, o número real f(x) chama-se logaritmo de x. Vamos mostrar a seguir}

as propriedades básicas das funções logarítmicas, decorrentes das propriedades A e B acima.

3.2 - Propriedades básicas

(i) Uma função logarítmica f: R+ → R é sempre monótona injetiva, isto é, númerospositivos diferentes têm logaritmos diferentes.

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Demonstração:

Se x, y ∈ R+ _{são diferentes, então ou x < y ou x > y. No primeiro caso resulta de A que f(x) <} f(y). No segundo caso tem-se f(x) > f(y). Em qualquer hipótese, de x≠ 𝑦 conclui-se que f(x) ≠ f(y).

(ii) O logaritmo de 1 é zero, ou seja, logb1 = 0.

Demonstração:

Por B tem-se f(1) = f(1∙1) = f(1) + f(1). Logo, f(1) = 0.

(iii) Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos.

Demonstração:

Como f(x) é uma função crescente, toma-se 0 < x < 1 < y. De A resulta f(x) < f(1) < f(y).

Logo, f(x) < 0 < f(y).

(iv) Para todo x > 0, tem-se f (1

x)= −f (x).

Demonstração: Como x ∙ 1

𝑥 = 1 da propriedade B tem-se que f (𝑥 ∙ 1 𝑥) = f(1), f(x) + f( 1 𝑥) = f(1) = 0. Então, f(1 𝑥)= −f(x).

(v) Para todos números reais positivos x; y, tem-se: f (x

y) = f (x) – f (y). Demonstração: f (𝑥 𝑦) = f (𝑥. 1 𝑦) = f (x) + f ( 1 𝑦) = Por propriedade 4, 𝑓 ( 1 𝑥) = −f (x), então, f ( 𝑥 𝑦) = f (x) – f (y).

(vi) Para todo x ∈ R+ _{e todo número racional r = p/q tem-se f (x}r_{) = r ∙ f (x).}

Demonstração:

Em primeiro lugar, observa-se que a propriedade f (x.y) = f (x) + f (y) se estende para o produto de um número qualquer de fatores. Por exemplo,

f (x ∙ y ∙ z) = f ((xy) z) = f (x ∙ y) + f (z) = f(x) + f (y) + f (z). E assim por diante:

f (𝑥_{1 ∙} 𝑥₂… 𝑥_𝑛 ) = f (𝑥₁) + f (𝑥₂) + ... + f (𝑥_𝑛). Em particular, se n ∈ N então,

f (𝑥𝑛_{) = f (x ∙ x ∙∙∙ x) = f (x) + f (x) + ... + f (x) = n ∙ f (x).}

Portanto, a propriedade 6 vale quando r = n é um número natural. Ela também vale quando r = 0 pois, para todo número x ∈ R+_{, tem-se que 𝑥}0 _{= 1, logo f (𝑥}0_{) = f (1) = 0 = 0 ∙ f (x).}

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Considerando agora o caso em que r = −n, n ∈ N, isto é, onde r é um inteiro negativo. Então, para todo x > 0 temos 𝑥𝑛 ∙ 𝑥−𝑛 = 1. Logo f (𝑥𝑛) + f (𝑥−𝑛) = f (1) = 0,

e daí f (𝑥−𝑛_{) = − f (𝑥}𝑛_{) = −n f(x). Finalmente, o caso geral, em que r = p/q, onde p ∈ 𝑍 e q ∈}

N. Para todo x ∈ R+ _{temos, (𝑥}𝑟₎𝑞 _{= (𝑥}𝑝/𝑞₎𝑞 _{= 𝑥}𝑝_.

Logo, q ∙ f = f [(𝑥𝑟)𝑞] = f (𝑥𝑝) = p ∙ f (x), em virtude do que já foi provado.

Da igualdade q ∙ f (𝑥𝑟_{) = p ∙ f (x) resulta que f (𝑥}𝑟_{) = (p/q) ∙ f (x), ou seja, que f (𝑥}𝑟_{) = r ∙ f (x).}

(vii) Uma função logarítmica f: R+ → R é ilimitada, superior e inferiormente. Demonstração:

Dados arbitrariamente dois números reais 𝛼 𝑒 𝛽 é sempre possível achar dois números positivos x e y tais que f(x) < 𝛼 𝑒 f(y) > 𝛽.

Torna-se um número natural n tão grande que n > 𝛽

𝑓(2). Como f(2) > 0 (propriedade 3), têm-se

n ∙ f(2) > 𝛽.

Assim, n ∙ f(2) = f(2𝑛). Portanto, f(2𝑛) > 𝛽. Agora escolhendo y =2𝑛; f(y) > 𝛽, o que mostra que a função é ilimitada superiormente.

Para provar que f é ilimitada inferiormente, basta lembrar que f (1

𝑥) = −𝑓(𝑥). Dado qualquer

número real x, como foi provado acima, f(y) > −𝛼. Fazendo x =1 𝑦, isto é, y = 1 𝑥, tem-se: f (1 𝑥) > −𝛼 ⇔ −𝑓(𝑥) > −𝛼 ⇔ 𝑓(𝑥) < 𝛼.

Uma função logarítmica não pode ser definida para x = 0, pois f (0) = f (x ∙ 0) = f (x) + f(0), ou seja, f(x) = 0. Assim a função seria identicamente nula, o que contraria a propriedade A. Teorema 1. Toda função logarítmica é sobrejetiva, isto é, dado qualquer número real c, existe sempre um (único) número real positivo x tal que f(x) = k.

Demonstração: Seja uma função logarítmica f: R+ → R sobrejetiva e sejam, também, α, b ∈ R, tal que α = a0, a1a2 ... an...

Como f é crescente e limitada, então existe um k ∈ 𝑍 tal que f(k) > b. Seja a₀+1 o menor inteiro tal que f (a₀+1) > b, logo f (a₀) ≤ b < f(a₀+1).

Considere os números a₀, a₀+ 1 10, a0+ 2 10, ... , a0+ 9 10, a0+ 1.

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Como f (a₀) ≤ b < f(a₀+1), então pode-se supor que nessa sequência há dois elementos consecutivos 𝛼1 e 𝛼1 +

1

10 tais que f (𝛼1) ≤ b < f (𝛼1+ 1

10). Logo, existe 𝛼1 ∈ 𝑍 tal que 0 ≤

𝑎1 ≤ 9 e pondo 𝛼1 = 𝑎0, 𝑎1= 𝑎0+ 𝑎1

10 segue que, f (𝛼1) ≤ b < f (𝛼1+ 1 10).

Agora, considere os números 𝛼₁, 𝛼₁+ 1

102 , 𝛼1+ 2 102 , ... , 𝛼1 + 9 102 , 𝛼1+ 1 10.

Existe 𝑎₂ ∈ 𝑍, 0 ≤ 𝑎₂ ≤ 9, tal que se 𝛼₁ = 𝑎₀, 𝑎₁𝑎₂ = 𝑎₀ + 𝑎1

10 + 𝑎2 102 , segue que f (α2) ≤ b ≤ f (α2+ 1 102 ).

Analogamente encontra-se que:

𝛼 = 𝑎0, 𝑎1𝑎2 ... 𝑎𝑛... = 𝑎0 + 𝑎1 10+ 𝑎2 102 +... + 𝑎𝑛 10𝑛 + ... Assim, pondo 𝛼_𝑛= 𝑎₀, 𝑎₁𝑎₂...𝑎_𝑛, tem-se f (𝛼_𝑛)≤ 𝑏 < 𝑓 (𝛼_𝑛+ 1

10𝑛), tem-se que f (𝛼) = b, pois caso f (𝛼) < b, logo ∃ x > 0 tal que f (𝛼) < f (x) < b. Mas f é uma função crescente, logo 𝛼 < x. Tomando n grande suficiente para que x −𝛼 > 1

10𝑛 , então x > 𝛼 + 1 10𝑛 . Assim, 𝛼_𝑛 + 1 10𝑛 ≤ 𝛼 + 1

10𝑛 < 𝑥 e como f é crescente, resulta que b < f(𝛼𝑛+

1

10𝑛) ≤ f (𝛼_𝑛 + 1

10𝑛) < f(x), o que é um absurdo, pois f (x) < b.

Se f(x) > b, logo ∃ x > 0 tal que b < f (x) < f (𝛼). Como f é crescente, logo x < 𝛼, então x < 𝛼_𝑛 para algum n ∈ N. Assim, f (x) < f (𝛼_𝑛) ≤ b, ou seja, f (x) < b o que contaria b < f(x). Portanto, f (𝛼) = b.

Corolário. Toda função logarítmica f: R+ → R é uma correspondência biunívoca (bijeção) entre 𝑅+_{e R.}

Prova

Uma bijeção é uma função que é injetiva e sobrejetiva. A função logarítmica é injetiva pela Propriedade A (o fato de ser crescente implica na injetividade) e o Teorema 1 nos diz que é sobrejetiva. Portanto, a função logarítmica é uma bijeção, o que significa dizer que possui uma inversa.

Qualquer função f dá origem à uma tábua de valores, onde numa coluna à esquerda põem-se os valores da variável x, pertencentes ao domínio, e noutra coluna, à direita, os valores corresponde de f(x), pertencentes ao contra domínio, veja a seguir.

x f(x) 𝑥₁ f (𝑥₁) 𝑥2 f (𝑥2)

... ...

Para uma função qualquer pode ocorrer que diferentes valores de x corresponda o mesmo valor f(x). O corolário acima mostra que toda tábua de logaritmos, isto é, tábua de

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valores de uma função logarítmica, pode ser lida da esquerda para direita, o que é normal, como da direita para esquerda.

Dado um número real qualquer y, podemos buscar na tábua o número real positivo x do qual y é o logaritmo. Como vimos acima, esta possibilidade é fundamental para o uso dos logaritmos no cálculo aritmético. A tabela dos logaritmos, lida da direita para esquerda, é na realidade a tábua dos valores da função inversa da função logarítmica, que chamaremos função exponencial.

A função exponencial g, inversa da função logarítmica f, é definida por: g: R → 𝑅+,

satisfazendo as propriedades seguintes: a) g(x + y) = g (x) ∙ g (y), para todo x, y ∈ R. b) As funções f e g satisfazem:

(g ∘ f) (x) = x, para todo x ∈ 𝑅+

(f ∘ g) (y) = y, para todo x ∈ 𝑅+_,

onde (g ∘ f) significa a composição de funções.

Como consequência do fato de que uma função logarítmica é injetiva e sobre, segue que, dada uma função logarítmica qualquer

f: R+ → R,

existe um único número real positivo a para o qual f(a) = 1. Este número é chamado a base do logaritmo f.

Para explicitar a base, muitas vezes se escreve 𝑓_𝑎(𝑥) em vez de f (x). Observação:

Se 𝑓_𝑎 e 𝑓_𝑏 são funções logarítmicas, com 𝑓_𝑎=𝑓_𝑏=1 (ou seja, de bases a e b respectivamente), então assegura a existência de uma constante positiva c tal que

𝑓_𝑏(x) = c ∙ 𝑓_𝑎(x) para todo x ∈ 𝑅+_{. Agora, fazendo x = a, resulta 𝑓}

𝑏(a) = c. Portanto, temos:

𝑓_𝑏(x) = 𝑓_𝑏(a) ∙ 𝑓_𝑎(x), para todo x ∈ 𝑅+.

Esta é a fórmula de mudança de base de logaritmos. Na notação usada nos livros do Ensino Médio, a fórmula de mudança de base de logaritmo é:

log𝑏𝑥 = log𝑏𝑎 ∙ log𝑎𝑥 ou log𝑎𝑥 = log𝑏𝑥

log𝑏𝑎

3.3 - Gráfico da Função Logarítmica

Reconhecer o gráfico da função logarítmica é de fundamental importância no trato com as grandezas físicas cuja medida é feita com o uso de logaritmos, como por exemplo a intensidade de som, a força de um terremoto, entre outras. Com relação ao gráfico cartesiano da função logarítmica f(x) = log_𝑎𝑥, podemos dizer que:

1º) a função logarítmica é estritamente crescente se a > 1 e se 0 < a < 1, é estritamente decrescente;

2º) o gráfico da função f (x) = log_𝑎𝑥 não toca o eixo y e não ocupa pontos nos quadrantes II e III;

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3º) o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), isto é, f(1) = log_𝑎1 = 0; 4º) a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente;

5º)a função logarítmica é injetiva e sobrejetiva, logo ela é bijetiva;

6º) na função logarítmica f(x) = log𝑎𝑥(a > 0 e a ≠ 1), o eixo das ordenadas é uma assíntota

vertical do gráfico.

Figura 1: Gráfico das funções f(x) = log𝑎𝑥 (a >1) e f(x) = log𝑎𝑥 (0 < a < 1), obtido a partir do

programa GeoGebra.

3.4 - Logaritmos decimais

A fim de efetuar operações aritméticas, (antes do advento das calculadoras) o sistema de logaritmos mais frequentemente utilizado era o de base 10, isto é, logaritmos decimais. A vantagem de empregá-los resultava de adotarmos o sistema decimal de numeração.

A característica de log₁₀𝑥 é um número inteiro (positivo, negativo ou zero), o qual pode ser encontrado pela posição da vírgula no desenvolvimento de x como fração decimal. Por exemplo:

log₁₀145,3 = log₁₀1,453 + 2. log₁₀0,001453 = log₁₀1,453 − 5.

Exemplo 1. Sabendo que log₁₀7 = 0,84510, calcule: log₁₀70, log₁₀700, log₁₀0,7. Solução

Usando as propriedades da função logarítmica, temos:

log₁₀70 = log₁₀(7 ∙ 10) = log₁₀7 + log₁₀10 = 0,84510 + 1 = 1,84510. log10700 = log10(7 ∙ 100) = log107 + log10102 = 0,84510 + 2 = 2, 84510.

log₁₀0,7 = log₁₀ 7

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Exemplo 2. Sem usar calculadora, calcule log₁₀3. Solução

Procuramos potências de 3 mais próximas de uma potência de 10. Assim, temos que: 10.000.000.000 = 1010 < 321 = 10.460.353.203 < 1011 = 10.000.000.000 ⇒

⇒ log₁₀109 _{< log}

10321 < log101011 ⟺

9 ∙ log1010 < 21log103 < 11 ∙ log1010 ⟺ 9 < 21 ∙ log103 < 11 ⟺ 9 21 < log103 < 11 21 Portanto, log103 ≈ 9 21+ 11 21 2 ≈ 0,47619047

3.5 - Logaritmos naturais

A concepção geométrica de uma função logarítmica é uma ideia que vem do século XVII. O primeiro a percebê-la foi o padre jesuíta Gregory Saint Vicent, em 1647, e depois Isaac Newton, em 1660. Os dois reconheceram a relação que existe entre a área de uma faixa do gráfico de hipérbole com a definição geométrica dos logaritmos.

Seja H o ramo positivo do gráfico de uma hipérbole representada pela função y = 1

𝑥 (veja

a figura 2). H é um subconjunto do plano constituído pelos pontos da forma (𝑥,1

𝑥) e pode ser

escrito por:

H = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 > 0, 𝑦 = 1

𝑥}

Geometricamente, tem-se na Figura 2, que H é o conjunto de pontos reais (x, y), com x > 0 𝑒 𝑥 ∙ 𝑦 = 1.

Figura 2: H representa o conjunto de pontos y = 1

𝑥.

Assim, obtém-se uma faixa de hipérbole fixando dois números reais e positivos, a e b, com a < b como mostra a Figura 3. Tomando a região limitado pelas retas x = a, x = b, e pela hipérbole H, tem a região, que será chamada 𝐻𝑎𝑏, onde

𝐻_𝑎𝑏 _{= {(𝑥, 𝑦); 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑒 0 ≤ 𝑦 ≤}1

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Figura 3: A região hachurada é a faixa de hipérbole 𝐻𝑎𝑏.

Do cálculo integral, tem-se que a área de uma figura delimitada por uma função f, pelo eixo 0_𝑥 e pelas retas x = a e x = b é a integral definida de f no intervalo [a, b].

A partir da definição de integral, define-se o logaritmo natural de um número real positivo x como sendo a área da faixa 𝐻₁𝑥, ou seja, ln 𝑥 = área de 𝐻₁𝑥.

Então, para x > 1 Área 𝐻₁𝑥 = ∫ 1 𝑥 𝑥 1 dx , Ou seja,

ln 𝑥 = log_𝑒𝑥 = ∫₁𝑥1_𝑥 . (Ver figura)

Figura 4: Área da faixa do ramo H positivo da hipérbole.

Na notação para indicar o logaritmo natural de x, e é um número irracional,

denominado número de Euler, em homenagem ao grande matemático suíço Leonhard Euler (1707 - 1783). O número e pode ser calculado por:

e = lim 𝑛 →∞(1 + ( 1 𝑛)) 𝑛 = 1 + 1 1! + 1 2! + 1 3! + ... e ≈ 2,718281828459

20

Para 0 < x < 1, a área da faixa 𝐻₁𝑥 será o logaritmo natural de x com o sinal menos a frente

Área 𝐻₁𝑥 = ∫₁𝑥1_𝑥 dx = − log_𝑒(𝑥) = − ln 𝑥. (Ver figura)

Figura 5: Área da faixa do ramo H positivo da hipérbole

Em particular; quando x = 1, 𝐻₁1 se reduz a um segmento de reta, portanto tem área igual a zero. Pode-se escrever:

ln(1) = 0; ln(𝑥) > 0 se x > 1; ln(𝑥) < 0 se 0 < x < 1.

O número e, base dos logaritmos naturais, pode ser caracterizado pelo fato de seu logaritmo natural ser igual a 1, ou seja, a área 𝐻₁𝑒 _{= 1. Escreve-se:}

Área H₁e = ∫ 1

x e

1 dx = ln(x)1

e _{= ln(e) − ln (1) = 1}

Observação: Pela definição do logaritmo, ln(e) = 1. (Ver figura).

21

4. FUNÇÃO EXPONENCIAL

A partir da definição de função logarítmica é possível se definir uma função que é inversa da função logarítmica, ou seja,

f(x) = y = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥⟺ 𝑎𝑦 = 𝑥.

Seja a número real positivo diferente de 1. A função f: R ⟶ 𝑅+ _{com f(x) = 𝑎}𝑥_{, é dita}

função exponencial de base a. Para quaisquer x, y ∈ 𝑅, a função exponencial possui as seguintes propriedades:

4.1 - Propriedades

(1) f(x + y) = f(x) ∙ f(y) Demonstração:

f(x + y) = 𝑎𝑥+𝑦= 𝑎𝑥∙ 𝑎𝑦 = f(x) ∙ f(y)

Pela propriedade 1 percebe-se que f não pode assumir o valor zero (0), a menos que seja identicamente nula.

Por absurdo, se existisse algum 𝑥₀ ∈ R tal que f(𝑥₀) = 0, então, para todo x ∈ R, f(x) = f(𝑥₀+(x−𝑥₀)) = f(𝑥₀) ∙ f(x−𝑥₀) = 0 ∙ f(x−𝑥₀) = 0, logo f seria identicamente nula. Então, se f não é uma função nula, não existe algum 𝑥₀ ∈ R tal que f(𝑥₀) = 0.

Mas ainda, a função f é sempre positiva, f(x) > 0, para todo x ∈ R, pois, f(x) = f (𝑥 2+ 𝑥 2) = f ( 𝑥 2) ∙ f ( 𝑥 2) = f ( 𝑥 2) 2 > 0 (2) f(1) = a Demonstração: Como 𝑎1 = a; f(1) = a. (3) x < y ⟺ 𝑎𝑥 < 𝑎𝑦, quando a > 1 e x < y ⟺ 𝑎𝑥 _{> 𝑎}𝑦_{, quando 0 < a < 1.}

Demonstração: A propriedade diz que a função exponencial é crescente para a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1.

Daí resultará que existe uma única maneira de definir o valor de f(x) = 𝑎𝑥 quando x é irracional. Supondo que a > 1, então 𝑎𝑥 tem a seguinte propriedade,

r < x < s com r, s ∈ 𝑄 ⇒ 𝑎𝑟 < 𝑎𝑥 < 𝑎𝑠.

Não podem existir dois números reais diferentes, digamos A < B, para assumir o valor de 𝑎𝑥 com a propriedade acima. Se existissem A e B, teríamos r < x < s,r,s ∈ Q, então, 𝑎𝑟< A < B < 𝑎𝑠 e então o intervalo [A,B] não conteria nenhuma potência de a com expoente racional, o que é um absurdo.

Portanto, quando x é irracional, 𝑎𝑥 é o único número real cujas aproximações por falta são as potências 𝑎𝑟 , r < x e cujas aproximações por excesso são as potências 𝑎𝑠, x < s.

(4) A função f: R

→

Demonstração:Se a > 1, então 𝑎𝑥 cresce, indefinidamente quando x > 0, ou seja, lim

𝑥⟶∞𝑎 𝑥 ₌

+∞. E se 0 < a < 1, 𝑎𝑥 torna-se arbitrariamente grande quando x < 0, ou seja, lim

𝑥⟶∞𝑎

22

(5) A função exponencial é contínua.

Demonstração: Isto significa que, dado 𝑥₀ ∈ R, é possível tornar a diferença |𝑎𝑥− 𝑎𝑥0| tão pequena quanto se deseja, desde que x seja tomado suficientemente próximo de 𝑥₀, ou seja,

lim

𝑥⟶𝑥0

𝑎𝑥 _{= 𝑎}𝑥0_.

Mostremos primeiro que é possível tornar 𝑎ℎ tão próximo de 1 quanto desejamos, desde que

|ℎ|seja escolhido suficientemente pequeno.

Suponhamos a > 1 e h > 0. Dado arbitrariamente ε > 0, queremos mostrar que, tomando h pequeno, teremos 𝑎ℎ _{< 1 + 𝜀. Se tomamos n ∈ 𝑁 tal que n >} 𝑎−1

𝜀 , teremos n𝜀 > a−1, logo, a <

1+ n𝜀.

Pela desigualdade de Bernoulli, (1+𝜀)𝑛 > 1+ n𝜀, então a < (1+ 𝜀)𝑛 e 𝑎1𝑛 n < 1+𝜀.

Em resumo: dado 𝜀 > 0, existe n ∈ N tal que 1< 𝑎1𝑛 < 1 + 𝜀. Se tomarmos h tal que 0 < h <

1

𝑛, teremos 1 < 𝑎

ℎ_{< 𝑎𝑛}1 _{< 1+ 𝜀. Assim faremos 𝑎}ℎ_{tão próximo de 1 quanto desejamos.}

Agora fixado 𝑥₀ ∈ R e h = x−𝑥₀, teremos 𝑎𝑥_{− 𝑥}

0= 𝑎𝑥0+ℎ− 𝑎𝑥0= 𝑎𝑥0(𝑎ℎ− 1).

Se x se aproximar de 𝑥₀, h tende a zero, 𝑎ℎ _{tende a 1 e 𝑎}ℎ _{−1 tende a zero. Então}

lim

𝑥⟶𝑥0

(𝑎𝑥− 𝑎𝑥0_{) = 0, ou seja, lim}

𝑥⟶𝑥0

𝑎𝑥 = 𝑎𝑥0_{, o que caracteriza a continuidade da função} exponencial.

(6) A função exponencial f: R

→

Demonstração: Isto significa dizer que para todo número real b > 0 existe algum x ∈ R tal que 𝑎𝑥= b. Supondo a > 1, n ∈ N, escolheremos uma potência 𝑎𝑟𝑛_{, com 𝑟}

𝑛 ∈ Q, no intervalo (𝑏 − 1 𝑛, 𝑏 + 1 𝑛) de modo que |𝑏 − 𝑎 𝑟𝑛_{| <} 1 𝑛, portanto 𝑥⟶𝑥lim0 𝑎𝑟𝑛 _{= b.} Escolhemos as potências 𝑎𝑟𝑛 _{sucessivamente, tais que}

𝑎𝑟1 _{< 𝑎}𝑟2_{< ...< 𝑎}𝑟𝑛_{< ...b}

Certamente, podemos fixar s ∈ Q, tal que b < 𝑎𝑠. Então a monotonicidade da função 𝑎𝑥 nos assegura que

𝑟₁< 𝑟₂< ... 𝑟_𝑛< ... < s.

Assim (𝑟_𝑛) é uma sequência crescente, limitada superiormente por s. Logo, os 𝑟_𝑛 são valores aproximados por falta de um número real x, tal que lim

𝑥⟶𝑥0

𝑟_𝑛= x. A função exponencial sendo contínua, 𝑎𝑥= lim

𝑥⟶𝑥0

𝑎𝑟𝑛 _{= b, como queríamos demonstrar.}

Conclui-se que para todo número real positivo a, diferente de 1, a função exponencial f: R ⟶ 𝑅+ dada por f(x) = 𝑎𝑥 é uma correspondência biunívoca entre R e 𝑅+, crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, com a propriedade de transformar somas em produtos, f(x + y) = f(x) ∙ f(y).

23

Figura 7: Gráfico das funções f(x) = 𝑎𝑥 _{(a > 0) e f(x) = 𝑎}𝑥 _{(0 < a < 1), obtido a partir do}

programa GeoGebra.

A sua injetividade decorre da sua monotonicidade. Se a > 1, por exemplo, então x > y ⟹ 𝑎𝑥 _{> 𝑎}𝑦 _{e x < y ⟹ 𝑎}𝑥 _{< 𝑎}𝑦_{, portanto x ≠ 𝑦 ⟹ 𝑎}𝑥 _{≠ 𝑎}𝑦_.

Observa-se da definição das funções logarítmicas f(x) = log_𝑎𝑥 e exponencial g(x) = 𝑎𝑥

e devido a bijetividade de ambas, que são funções inversas, pois, o domínio R+ da função logarítmica é o conjunto imagem da exponencial e o domínio R da exponencial é o conjunto imagem da logarítmica.

Graficamente, pode-se observar que os gráficos são simétricos em relação a reta bissetriz dos quadrantes ímpares. A seguir, o gráfico da função exponencial, da função logaritmo e da diagonal do plano, a reta y = x.

Os gráficos estão representados abaixo, nos dois casos: ver figuras 8 e 9.

Figura 8: Gráfico das funções f(x) = 𝑎𝑥 (a >1), y = x e f(x) = log_𝑎𝑥 (a >1), obtido a partir do

24

Figura 9: Gráfico das funções g(x) = 𝑎𝑥(0 < a < 1), y = x e f(x) = log_𝑎𝑥 (0 < a < 1), obtido a

partir do programa GeoGebra.

Isto significa dizer que:

Em outras palavras, o ponto (x, y) está no gráfico de 𝑎𝑥 se, e somente se, o ponto (y, x) pertence ao gráfico da função logaritmo. Que significa isto, geometricamente?

A diagonal do plano é a reta formada pelos pontos (x, x) que têm abscissa igual à ordenada. Dado um ponto qualquer (x, y) no plano, o ponto (y, x) é o simétrico em relação à diagonal, ou seja, é o lugar onde o ponto (x, y) vai cair quando se dobra o plano em torno da diagonal. Para convencer-se disto, basta notar que os pontos (x, x), (x, y), (y, y) e (y, x) são os vértices de um quadrado. A reta y = x é a mediatriz do segmento cujos extremos são (x, x) e (y, x) porque as diagonais de um quadrado são perpendiculares e se cortam mutuamente ao meio.

Portanto, os pontos do gráfico da função exponencial são simétrico dos pontos do gráfico da função logaritmo, em relação à diagonal.

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5. EXEMPLOS BÁSICOS

A seguir será mostrado muitos problemas que favorecem a aplicação das propriedades básicas dos logaritmos.

Exemplo 1. Calcule log_√232. Solução: Temos que, log_√232 = log 2 1 22 5 _{= log} 2 1 2(2 1 2) 10 = 10 ∙ log 2 1 2(2 1 2) = 10 ∙ 1 = 10

Exemplo 2. Calcule log28 − log1 2 8 Solução: Temos que, log28 − log1 2 8 = log223− log1 2 23 = 3 ∙ log22 − log1 2 (2−1₎−3 _{= 3 − (−3) = 6}

Exemplo 3. Calcule o valor da expressão S = log₂5√2+ log₂8 + log₂1

4.

Solução: Temos que,

S = log₂5√2+ log₂8 + log₂1

4 = log22

1

5+ log₂23+ log₂2−2 ₌ = 1

5 ∙ log22 + 3 ∙ log22 − 2 ∙ log22 = 1

5+ 3 − 2 = 6 5.

Exemplo 4. Calcule log₁₅(11.390.625). Solução:

Basta observar que o número 11.390.625 = 156. Agora, usando as propriedades básicas dos logaritmos, temos:

log₁₅(11.390.625) = log₁₅(156) = 6 ∙ log₁₅15 = 6.

Exemplo 5. Calcule o valor da expressão E = log𝑎𝑎 ∙ √𝑎

5 + log1 𝑎 √𝑎 3 √𝑎. Solução: E = log_𝑎𝑎 ∙ √𝑎5 + log1 𝑎 √𝑎 3 √𝑎 = log𝑎𝑎 ∙ 𝑎 1 5 + log1 𝑎 𝑎 1 3 𝑎 1 2 = log_𝑎𝑎65 + log1 𝑎 (1 𝑎) 1 6 = 6 5 + 1 6 = 41 30.

Exemplo 6. Resolva o sistema de equações:

{ 𝑥 + 𝑦 = 70 log10𝑥 + log10𝑦 = 3

Solução:

A segunda equação pode ser escrita como:

log₁₀𝑥. 𝑦 = 3 = log₁₀103 _{⟹ x ∙ 𝑦 = 10}3 _{⟹ y =} 𝑥 103 . Substituindo o valor de y na primeira equação, obtemos:

26

x + (103

𝑥 ) = 70 ⟺ 𝑥

2_{+ 1000 = 70x ⟺ 𝑥}2 _{−70x + 1000 = 0 ⟹ x = 20 ou x = 50.}

Se x = 20 ⟹ y = 70−20 = 50. Se x = 50 ⟹ y = 70−50 = 20.

Exemplo 7. Prove que: 1

log2𝑀+ 1 log3𝑀+ 1 log4𝑀+ 1 log5𝑀 + ... + 1 log100𝑀 = 1 log100!𝑀 , onde 100! = 1 ∙ 2 ∙∙∙ 3 ∙ 4 ∙∙∙100. Solução:

Observe que, pela fórmula de mudança de base, temos: log_𝑎𝑏 = log𝑏𝑏

log𝑏𝑎 =

1 log𝑏𝑎.

Agora, aplicando o resultado acima para cada parcela da expressão dada, fazendo a = M, b ∈ {2, 3, 4, ... , 100}, obtemos:

log_𝑀2 + log_𝑀3 + log_𝑀4 + log_𝑀5 +... + log_𝑀100 = log_𝑀(2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙∙∙ 100) =

= log𝑀(100!) =

log100!100!

log100!𝑀 =

1 log100!𝑀

Exemplo 8. Mostre que log₁₀30 < 3

2.

Solução:

Observe que log₁₀10 = 1 e que

log101000 = log10(10 ∙ 10 ∙ 10) = log1010 + log1010 + log1010 = 1 + 1 + 1 = 3.

Por outro lado, como 900 < 1000 e a função log10𝑥 é uma função crescente, temos que:

log₁₀900 < log₁₀1000 ⟺ log₁₀(30 ∙ 30) < log₁₀103 ⟺ log₁₀30 + log₁₀30 < 3log₁₀10 ⟺ 2 ∙ log₁₀30 < 3 ⟺ log₁₀30 < 3

2.

Exemplo 9. Mostre que log₁₀2 é um número irracional. Solução:

Suponha o contrário, isto é, que log102 seja um número racional. Neste caso, existem dois

números inteiros m, n com n ≠ 0, tais que log₁₀2 = 𝑚

𝑛 . Sem perda de generalidade, podemos

supor que m e n não possuam fator em comum, além de ±1. Assim, 10𝑚𝑛 = 2 ⟹ (10 𝑚 𝑛) 𝑛 = 2𝑛 ⟺ 10𝑚 = 10𝑛 ⟺ 2𝑚_{∙ 5}𝑚 _{= 2}𝑛 _{⟺ 5}𝑚 _{= 2}𝑛−𝑚_,

que é uma contradição, pois:

i) Se n > m, segue que o número do lado direito é par e o do lado esquerdo é ímpar.

ii) se n < m, segue que o lado esquerdo da igualdade é um número inteiro, enquanto o número do lado direito não é.

27

Exemplo 10. Se log₅(log₃(log₂𝑥)) = 0, encontre o valor de x. Solução:

Usando o fato de que a função logarítmica é injetiva, podemos concluir que: log5(log3(log2𝑥)) = 0 ⟺ log5(log3(log2𝑥)) = log51 ⟹ log3(log2𝑥) = 1 ⟺

⟺ log3(log2𝑥) = log33 ⟹ log2𝑥 = 3 ⟺ log2𝑥 = log223 ⟹ x = 8.

Exemplo 11. Encontre o maior subconjunto dos números reais positivos para o qual a função log1 2 (log2(log1 2 𝑥)) está definida. Solução:

Como a função logarítmica está definida somente nos números reais positivos, temos que: (i) x > 0; (ii) log1

2

𝑥 > 0 ; (iii) log₂(log1 2

𝑥) > 0. A condição (ii) pode ser reescrita como:

log1 2 𝑥 > 0 ⟺ log2𝑥 log21₂ > 0 ⟺ log2𝑥 log22−1 > 0 ⟺ ⟺ log2𝑥

−1 > log22 ⟺ log2𝑥 < − log22 ⟺ log2𝑥 < log22

−1_{⟹ 0 < x <} 1 2.

A condição (iii) pode ser rescrita como: log₂(log1 2 𝑥) > 0 ⟺ log₂(log1 2 𝑥) > log₂1 ⟹ log1 2 𝑥 > 1 ⟺ 0 < x < 1 2.

Portanto, as três condições são satisfeitas se, e somente se, 0 < x < 1

28

6. APLICAÇÕES

Daremos uma breve amostra de como a função 𝑒𝑥 _{e os logaritmos naturais surgem}

espontaneamente em certas questões onde o aumento ou a diminuição de uma grandeza de faz proporcionalmente ao valor da grandeza num dado instante.

6.1 - Juros contínuos

Rio de Janeiro, 1996, pág. 93)

Um capital e, empregado a uma taxa de k por cento ao ano, rende, no fim do ano, juros no valor de kc/100. Ponhamos 𝛼 = 𝑘/100. Então, c renderá, no final de um ano, juros no valor de 𝛼𝑐. Decorrido um ano, o capital torna-se a c + 𝛼𝑐, ou seja, c (1 + 𝛼). Passados dois anos, o novo capital 𝑐₁ = c (1 + 𝛼), empregado à mesma taxa, tornar-se-á igual a 𝑐₁ = c (1 + 𝛼) = c (1 + 𝛼)2_{. Em m anos, teremos c (1 + 𝛼)}𝑚_.

Se tomarmos uma fração 1/n de ano, o capital e, empregado à mesma taxa de juros, deverá render 𝛼𝑐/𝑛 de juros, de modo que, decorrida a fração 1/n de ano, o capital c transforma-se em

𝑐₁ = 𝑐 +𝛼𝑐

𝑛 = 𝑐 (1 + 𝛼 𝑛).

Empregando este novo capital 𝑐₁ e esperando mais 1/n de ano, obtemos 𝑐₁(1 + 𝛼/𝑛) ou seja, c(1+ 𝛼/𝑛)2. Prosseguindo assim, vemos que, se dividimos o ano em n partes iguais e, depois de decorrido cada um desses períodos de 1/n de ano, capitalizamos os juros rendidos, reinvestindo sucessivamente à mesma taxa, quando chegar o fim do ano, em vez de c (1 + 𝛼), obteremos um capital maior, ou seja, possuiremos

c (1+ 𝛼

𝑛) 𝑛_.

Um investidor exigente desejará que seus juros sejam capitalizados (isto é, juntados ao capital) a cada instante. Se isto ocorrer, no fim do ano ele receberá em troca do investimento c, o total de lim 𝑛→∞𝑐(1 + 𝛼 𝑛) 𝑛 _{= c ∙ 𝑒}𝛼_.

Este tipo de transação, em que os juros são capitalizados continuamente, é o que se chama de juros contínuos.

Assim, por exemplo, o capital de Cr$ 1,00 empregado a juros contínuos de 100% ao ano, no final de um ano será transformado em e cruzeiros. Este fato pode ser usado para explicar a um agiota o significado do número e. Se a taxa de juros é referida a anos (k% ao ano, 𝛼 = 𝑘/100), então um capital c empregado a essa taxa será transformado, depois de t anos, em:

lim

𝑛→∞𝑐(1 + 𝛼𝑡

𝑛)

𝑛 _{= c ∙ 𝑒}𝛼𝑡

Exemplo de aplicação

Rio de Janeiro, 1996, pág. 94)

Empregando-se um capital c a juros contínuos de 20% ao ano, em quanto tempo este capital será dobrado?

29

Solução

Aqui, 𝛼 = 20

100 = 0,2. Devemos achar o número t de anos de modo que,

c ∙ 𝑒0,2 𝑡 _{= 2c, ou seja, 𝑒}0,2 𝑡 _{= 2.}

Segue-se que 0,2 t = ln 2, donde

t = ln 2

0,2 = 0,693

0,2 = 3,46.

Assim o tempo necessário para dobrar o capital é de 3,46 anos, ou seja, aproximadamente 3 anos e meio. Note-se que este tempo não depende do capital inicial. Fixada a taxa de juros, leva-se o mesmo tempo para dobrar um capital grande ou um capital pequeno.

6.2 - Desintegração radioativa

SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 95 e 96)

Os átomos de uma substância radioativa (como o rádio ou o urânio) possuem uma tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra substância não-radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância original diminui (aumentando, consequentemente, a massa da nova sustância transformada). Isto é feito de tal maneira que, num determinado instante, a quantidade de matéria que se desintegra de um corpo radioativo é proporcional à massa da substância original presente no corpo naquele instante. A constante de proporcionalidade 𝛼 é determinada experimentalmente. Cada substância radioativa tem sua constante de desintegração 𝛼.

Consideremos um corpo de massa 𝑀0, formado por uma substância radioativa cuja taxa

de desintegração é 𝛼. Se a desintegração se processasse instantaneamente, no fim de cada segundo, sendo 𝑀₀ a massa no tempo t = 0, decorrido o tempo t = 1 segundo, haveria uma perda de 𝛼𝑀₀ unidades de massa, restando apenas a massa

𝑀₁ = 𝑀₀− 𝛼𝑀₀ = 𝑀₀(1 − 𝛼). Decorridos 2 segundos, a massa restante seria

𝑀₂ = 𝑀₁(1− 𝛼) = 𝑀₀(1 − 𝛼)2_.

Em geral, passados s segundos, restaria a massa 𝑀_𝑠 = 𝑀₀(1 − 𝛼)𝑠_.

Mas as coisas não se passam assim: a desintegração se processa continuamente. Procurando uma aproximação melhor para o fenômeno, fixemos um inteiro n > 0 e imaginemos que a desintegração se dá em cada intervalo de 1/n de segundo. Depois da primeira fração 1/n de segundo a massa do corpo a reduziria a

𝑀0− ( 𝛼

𝑛) 𝑀0 = 𝑀0(1 − 𝛼 𝑛).

Decorrido 1 segundo, teriam ocorrido n desintegrações instantâneas e, efetuadas as n reduções, restaria do corpo a massa 𝑀0(1 − 𝛼/𝑛)𝑛. Dividindo o intervalo [0,1] em um número

n cada vez maior de partes iguais, chegaremos à conclusão de que, ao final de 1 segundo, a massa do

corpo ficará reduzida a

lim 𝑛 →∞𝑀0(1 − 𝛼 𝑛) 𝑛 = 𝑀0∙ 𝑒−𝛼.

30

Se quisermos calcular a massa ao fim de t segundos, deveremos dividir o intervalo [0,t] em n partes iguais. Em cada intervalo parcial a perda de massa será 𝑀₀∙ 𝛼𝑡/𝑛. Repetindo o argumento acima chegaremos à expressão

M(t) = 𝑀0∙ 𝑒−𝛼𝑡

que fornece a massa do corpo depois de decorridos t segundos.

É claro que, em vez de segundos, poderíamos ter adotado outra unidades de tempo. Mudando a unidade de tempo, a constante 𝛼 deve ser alterada proporcionalmente.

Na prática, a constante 𝛼 fica determinada a partir de um número básico, chamado a meia-vida da substância. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância.

Exemplo de aplicação

Rio de Janeiro, 1996, pág. 97)

O polônio 218 tem meia-vida igual a 2 minutos e 45 segundos, enquanto o polônio 214 tem meia-vida de 1,64× 10−4 _{segundos. Os isótopos do rádio têm meia-vida conforme}

indicamos abaixo:

rádio 226: meia-vida 1.620 anos rádio 228: meia-vida 6,7 anos rádio 223: meia-vida 11,68 dias

rádio 224: meia-vida 3,64 dias.

Os diversos isótopos do urânio têm uma meia-vida da ordem de 109_{anos. Se sabemos}

que um certo elemento radioativo tem meia-vida igual a 𝑡₀ unidades de tempo, isto significa que uma unidade de massa desse elemento se reduz à metade no tempo 𝑡₀. Assim,

1 2 = 𝑒

−𝛼𝑡0_. Tomando logaritmos, temos:

ln (1 2) = −𝛼𝑡0, ou seja, −ln 2 = −𝛼𝑡₀, donde 𝛼 = 𝑙𝑛2 𝑡0 .

Isto nos mostra como calcular a taxa de desintegração 𝛼 quando se conhece a meia-vida 𝑡₀. Reciprocamente, tem-se 𝑡₀ = ln 2/𝛼, o que permite determinar a meia-vida 𝑡₀ em função da taxa 𝛼.

31

6.3 - O método do carbono 14

SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 97 e 98)

O carbono 14, indicado por 𝐶14, é um isótopo radioativo do carbono, formado na atmosfera devido ao bombardeio da terra por raios cósmicos. Através dos tempos, a quantidade de 𝐶14 na atmosfera tem-se mantido constante porque sua produção é compensada por sua desintegração. Os seres vivos absorvem e perdem 𝐶14 _{de modo que, em cada espécie, a taxa de}

𝐶14 _{também se mantém constante. (O carbono 14 é criado nos vegetais durante o processo da}

fotossíntese e absorvido pelos animais através da ingestão, direta ou indireta, de vegetais.) Quando o ser morre, a absorção cessa mas o 𝐶14 _{nele existente continua a desintegrar-se. Este}

fato pode ser usado para determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo feito de madeira.

Para isto, precisamos saber que a meia-vida do 𝐶14 é de 5570 anos. Como vimos acima, segue-se daí que a constante de desintegração do 𝐶14 _é

𝛼 = ln 2

5570 = 0,6931

5570 = 0, 0001244.

Exemplo de aplicação

Vejamos como esse conhecimento foi usado para dirimir uma controvérsia. Num castelo inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmavam ser a famosa Távola Redonda do Rei Artur, soberano que viveu no século V. Por meio de um contador Geiger (instrumento que mede radioatividade) constatou-se que a massa M = M(t) de 𝐶14 hoje existente na mesa é 0,894 vezes a massa 𝑀₀ de 𝐶14 _{que existe num pedaço de madeira viva com o mesmo}

peso da mesa. 𝑀₀ é também a massa de 𝐶14 _{que existia na mesa quando ela foi feita, há t anos.}

Sabemos que,

M = 𝑀₀ ∙ 𝑒−𝛼𝑡,

Donde M/𝑀₀ = 𝑒−𝛼𝑡. Isto significa que 0,894 = 𝑒−0,0001244𝑡. Daí tiramos:

t = ln(0,894)

0,0001244 =

0,1121

0,0001244 = 901 anos.

32

6.4 - Resfriamento de um corpo

SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 98)

Uma situação análoga à da desintegração radioativa é a de um objeto aquecido, colocado num meio mais frio (ar ou água, por exemplo) cuja grande massa faz com que a temperatura desse meio permaneça constante, sem ser afetada pela presença do objeto mais quente. A lei do resfriamento de Newton afirma que, nessas condições, a diferença de temperatura D, entre o objeto e o meio que o contém, decresce com uma taxa de variação proporcional a essa própria diferença.

Como no caso da desintegração radioativa, esta lei se traduz matematicamente assim: chamando 𝐷₀ a diferença de temperatura no instante t = 0 e D(t) a diferença num instante t qualquer, tem-se D(t) = 𝐷₀ ∙ 𝑒−𝛼𝑡 _{onde a constante 𝛼 depende do material de que é constituída}

a superfície do objeto.

Exemplo de aplicação

Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30º. A água que fervia numa panela, cinco minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65º. Quanto tempo depois de apagado o fogo, a água atingirá a temperatura de 38º?

Solução

No momento em que se apagou o fogo (t = 0), a temperatura da água era de 100º e a do ambiente 30º. Logo 𝐷₀ = 100 − 30 = 70. Passados t minutos, a diferença da temperatura da água para a do meio ambiente é dada por D(t) = 70 ∙ 𝑒−𝛼𝑡. Para determinar a constante 𝛼, usamos a informação de que,

D(t) = 70 ∙ 𝑒−5𝛼 _{= 65− 30 = 35.}

Portanto, 𝑒−5𝛼 = 35/70 = 1/2. Tomando logaritmos naturais, vem que:

−5𝛼 = ln(1 2 ) = −ln 2 , logo 𝛼 = ln 2 5 = 0,693 5 = 0,1386.

Queremos saber o valor de t para o qual,

D(t) = 70 ∙ 𝑒−0,1386𝑡 _{= 38 − 30 = 8.}

Novamente tomamos logaritmos para resolver a equação 70 ∙ 𝑒−0,1386𝑡 _{= 8, obtendo}

−0,1386t = ln (8 70) = −ln ( 70 8) Donde, t = 𝑙𝑛( 70 8) 0,1386 = 2,1691 0,1386 = 15,65 minutos

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7. CONCLUSÃO

O logaritmo é um conteúdo matemático que, embora tenha sido criado para efetuar cálculos, há muito tempo ultrapassou esses limites, pois é ferramenta fundamental em várias apelos gráficos e aplicações. Diversificar as áreas de aplicação pode ser um instrumento para que os alunos percebam que o logaritmo não é apenas mais um objeto matemático, mas que está mais presente em sua vida do que se pode imaginar. Foi assim com a criação das tábuas de logaritmos, e consequentemente suas funções logarítmicas e exponenciais que propiciaram um avanço extraordinário nos estudos sobre astronomia no século XVII e simplificou os cálculos aritméticos nos três séculos seguintes.

Trabalhar com situações-problemas diversificadas é uma forma de chamar a atenção dos alunos e assim compreenderam o conteúdo estudado. Tendo a atenção dos alunos, é preciso que eles percebam que, é possível resolver os problemas propostos, lendo e analisando o enunciado, identificando o objetivo da questão e as pistas implícitas e/ou explícitas inseridas na questão.

Com as técnicas de abordagens para as funções logarítmicas e exponenciais, foi possível mostrar sua dimensão nas propriedades, nos gráficos e em vários exemplos que despertassem e incentivassem a leitura dos estudantes no Ensino Médio.

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8. REFERÊNCIAS

BOYER, C. B.; MERZBACH, U. C. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 2012.

FRAENKEL, Renato. Logaritmos: um curso alternativo. Revista do Professor de Matemática. RPM 04. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/4/5.htm>. Acesso em: 02/05/2016.

LIMA, Elon Lages. Sobre a evolução de algumas ideias matemáticas. Revista do Professor de Matemática. RPM 06. Disponível em: <http://www.rpm.org.br/cdrpm/6/1.htm>. Acesso em: 02/05/2016.

LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996.

LIMA, Elon Lages. et al. Temas e problemas. Rio de Janeiro: SBM, 2010.

LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 2012.