Estatísticas de avalanches e intervalos interavalanches em séries temporais de sistemas complexos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS E DA TERRA - CCET

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TE ÓRICA E EXPERIMENTAL - DFTE PROGRAMA DE P ÓS GRADUAÇ ÃO EM FÍSICA - PPGF

Estat´ısticas de avalanches e intervalos interavalanches

em s´

eries temporais de sistemas complexos

IVANDSON PRAEIRO DE SOUSA

NATAL-RN Outubro de 2020

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IVANDSON PRAEIRO DE SOUSA

Estat´ısticas de avalanches e intervalos interavalanches

em s´

eries temporais de sistemas complexos

Tese apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸cão em F´ısica do Departa-mento de F´ısica Teórica e Experimen-tal da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito par-cial para a obten¸cão do grau de Doutor em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Gilberto Corso

Co-orientador: Prof. Dr. Gustavo Zampier

NATAL-RN Outubro de 2020

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Sousa, Ivandson Praeiro de.

Estatísticas de avalanches e intervalos interavalanches em séries temporais de sistemas complexos / Ivandson Praeiro de Sousa. - 2020.

91f.: il.

Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Departamento de Física Teórica e Experimental - Centro de ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Física, Natal, 2020.

Orientador: Dr. Gilberto Corso.

Coorientador: Dr. Gustavo Zampier dos Santos Lima.

1. Leis de potência - Tese. 2. Séries temporais - Tese. 3. Soundscapes - Tese. 4. Intermitência - Tese. 5. Ruído Barkhausen - Tese. I. Corso, Gilberto. II. Lima, Gustavo Zampier dos

Santos. III. Título.

RN/UF/BCZM CDU 53

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

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DEDICAT ´ORIA

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AGRADECIMENTOS

Agrade¸co:

Ao meu orientador, prof. Gilberto, e ao meu co-orientador, prof. Gustavo, os quais me possibi-litaram trabalhar com v´arios problemas diferentes dentro do espectro de possibilidades da f´ısica estat´ıstica;

Aos professores Felipe Bohn e M´arcio Assolin Correa, ambos do Departamento de F´ısica da UFRN;

A todos os membros do Laboratório de Bioacústica do Centro de Biociências da UFRN, que forneceram os dados acústicos utilizados neste trabalho;

Ao professor Bruno Lobão, do Centro de Biociências, o qual forneceu as séries temporais relativas aos estados comportamentais em camundongos.

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Resumo

Neste trabalho apresentamos resultados emp´ıricos obtidos por meio da análise de séries temporais de dois diferentes sistemas complexos: sinais de ru´ıdo barkhausen em sistemas magnéticos e sinais acústicos que registraram o ru´ıdo de fundo em alguns ecossistemas (soundscapes). Em particular, verificamos que as séries temporais desses dois sistemas possuem uma caracter´ıstica em comum: a intermitência, com algum intervalo temporal distribu´ıdo segundo uma lei de potências. Mais precisamente, no caso do ru´ıdo Barkhausen em filmes ferromagnéticos, obtivemos uma distribui¸cão exponencial para os waiting times, contrastando com a já bem conhecida lei de potências para as dura¸cões das avalanches. Nossos resultados mostram que o comportamento exponencial se mantêm, a despeito das diferentes estruturas dos materiais analisados - amorfo e policristalino, e a despeito das diferentes espessuras dos filmes ferromagnéticos considerados. Para as séries temporais acústicas, por outro lado, mostramos que ocorre uma alternância entre uma distribui¸cão lognormal para os intervalos de atividade acústica (os sound times) e uma lei de potências para os intervalos de quietude para todos os ecossistemas analisados. Foram analisadas grava¸cões em ambiente urbano, nos biomas da Caatinga e Cerrado, além de registros efetuados em meio subaquático (marinho).

Palavras-Chave: Leis de potência, séries temporais, soundscapes, intermitência, ru´ıdo Barkhausen.

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Abstract

In this work, we present empirical results obtained through the analysis of time se-ries of three different complex systems: barkhausen noise signals in magnetic systems, accelerometer signals that recorded motor activity in rodents and acoustic signals that recorded background noise in some ecosystems (soundscapes). In particular, we found that the time series of these three systems have a common feature: intermittency, all with some time interval distributed according to a power law. More precisely, in the case of Barkhausen noise, we obtained an exponential distribution for waiting times, in contrast to the already well-known power law for avalanche durations. For the accelerometer sig-nals obtained in mice, we show that there is an alternation between a distribution of the power law form for the durations of the avalanches of motor activity and an exponential distribution for the quiet intervals. In the case of acoustic time series, we show that there is an alternation between a lognormal distribution for the intervals of acoustic activity (the sound times) and a power law for the intervals of quiet for all analyzed ecosystems. Keywords: Power laws, time series, soundscapes, intermittence, Barkhausen noise.

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LISTA DE FIGURAS

2.1 Diagrama ilustrativo de uma curva normal. No diarama estão mos-tradas as parcelas das ocorrências da variável aleatória que estão dentro do intervalo µ + σ, µ + 2σ e µ + 3σ. Note-se que a probabilidade de ocorrência de eventos “normais” cuja variável aleatória associada é maior que µ + 3σ ´

e perfeitamente negligenciável. . . 15 2.2 Ilustra¸cão do teorema do limite central. Nos painéis a-c temos as

distribui¸cões das médias de 500 amostras de variáveis aleatórias uniformes, com o tamanho da amostra variando de 0 a 1000. Nos painéis d-f, por outro lado, temos as distribui¸cões das médias amostrais para diferentes quantidades de amostras, todas de igual tamanho, n = 1000. . . 16 2.3 Comparativo entre leis de potências e exponenciais. EM (A)

fa-zemos uma compara¸cão entre a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da lei de potência com a lei exponencial para algumas escolhas dos respectivos parâmetros. Em ambos os casos, x ≥ xmin = 1. (B) A razão entre

as distribui¸cões lei de potências e exponencial, ilustrando o fato de que eventos que são efetivamente “imposs´ıveis”(ou seja, que têm probabilidade negligenciável sob uma distribui¸cão exponencial) tornam-se praticamente comuns sob uma distribui¸cão lei de potências. . . 18 2.4 Efeito do tamanho da amostra nos momentos de uma lei de

potências. Em (A) mostramos como se comportam a média a variância para uma lei de potências com α = 1.7, enquanto em (B) fazemos o mesmo para α = 2.05 e em (C), α = 3.01. Em todos os casos, consideramos um vasto alcance dos tamanhos de amostra. . . 19 2.5 Ilustra¸cão da propriedade de invariância por escala das leis de

potências. Aqui mostramos que o comportamento de algumas distri-bui¸cões de probabilidades em eixos com escala aritmética e logar´ıtmica. Apenas a lei de potências é linear nessa segunda escala. . . 20 2.6 Compara¸cão da equa¸cão 2.22 para alguns valores de α. Note que,

para essa suposi¸cão de distribui¸cão, aproximadamente 80% da riqueza está nas mãos dos 20% mais ricos. . . 22 2.7 CCDF para a lei de potências transladada para algumas escolhas

do parˆametro de desvio k. Note que a cauda apresenta uma forma de lei de potˆencias, mas o “corpo”ou “cabe¸ca”exibe uma significante curvatura. 23

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2.8 Representa¸c˜ao de uma uma grade 20x20 na qual os s´ıtios foram ocupados com ma probabilidade de 50%. Os pixeis na cor banca re-presentam os s´ıtios desocupados, ao passo que aqueles em azul rere-presentam s´ıtios ocupados. . . 27 2.9 Representa¸c˜ao de uma uma rede 1000x1000 cuja probabilidade

de ocupa¸c˜ao ´e exatamente igual ao ponto cr´ıtico, pc ≈ 0.5927462.

Os pixeis em vermelho representam o aglomerado percolante, ao passo que aqueles em azul representam s´ıtios ocupados, mas que n˜ao percolam, e os pixeis em branco representam os s´ıtios vazios da rede. . . 28 2.10 Distribui¸c˜ao dos tamanhos dos clusters na criticalidade. Aqui

mos-tramos a distribui¸cão de probabilidades acumulada para os tamanhos dos clusters de uma rede 1000x1000 cuja probabilidade de ocupa¸cão é exa-tamente igual ao ponto cr´ıtico, pc ≈ 0.5927462. O resultado em eixos

logar´ıtmicos mostra que a distribui¸cão é uma linha reta que se estende por cerca de quatro ordens de magnitude. . . 29 2.11 Ilustra¸cão de uma pilha de areia real [58]. . . 30 3.1 Esbo¸co da metodologia empregada para a determina¸cão dos

tem-pos de quietude (quiet times) e dos temtem-pos de atividade (burst ti-mes). Em (a) temos um registro de 20 minutos da sa´ıda A da grandeza a ser medida, que pode ser a resposta de um acelerômetro, a amplitude da onda sonora em um registro acústico, etc. Em (b) temos o módulo da grandeza mostrada em (a) para uma pequena faixa de 200 segundos. Aqui mostra-se o exemplo de uma linha de corte da forma ¯x + ns, em que n é um inteiro e ¯x e s são a média e o desvio padrão da grandeza A registrada na série temporal. Neste exemplo, usamos n = 2. Em (c) mostramos as larguras dos intervalos de tempo em que |A| fica acima da linha de corte, ou seja, as dura¸cões dos bursts. Entre dois retângulos consecutivos temos as dura¸cões dos quiets. . . 37 3.2 Ilustra¸cão de um algoritmo de busca de clusters. . . 38 3.3 Gráficos da distribui¸cão acumulada complementar (FDAc) para

um milhão de pontos de uma lei de potência gerados artificial-mente. As distribui¸cões foram plotadas pelo método de ranqueamento das frequências, já discutido. Note que, embora não possamos associar dire-tamente a inclina¸cão destas curvas com o expoente α, aos maiores valores desse parâmetro são de fato associadas maiores inclina¸cões, naturalmente. . 39 3.4 Histogramas para variáveis aleatórias que seguem algumas das distribui¸cões

de probabilidades comumente vistas na literatura. . . 40 3.5 Forma linear da exponencial e da lei de potˆencias em eixos

semi-logar´ıtmicos e duplamente semi-logar´ıtmicos, respectivamente. Aqui ilustramos a linearidade do histograma da lei exponencial em eixos semi-logar´ıtmicos (painel a) e da lei de potências em ambos os eixos logar´ıtmicos (painel b). Em cada caso, a inclina¸cão da reta resultante é comumente uti-lizada como uma medida do parâmetro que descreve a respectiva distribui¸cão. 41

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4.1 Obten¸cão do sinal Barkhausen. A figura mostra uma representa¸cão simplificada de um procedimento experimental t´ıpico utilizado para a ob-ten¸cão do sinal Barkhausen (parte de cima), que consiste em envolver uma amostra do material magnético em estudo com uma bobina que, acoplada a um circuito devidamente configurado, fornece a tensão induzida V me-dida em fun¸cão do tempo. Um exemplo desse sinal obtido está mostrado na parte de baixo da figura, que consiste em uma série temporal do ru´ıdo Barkhausen [88]. . . 45 4.2 Representa¸cão dos “saltos”na curva de magnetiza¸cão. A figura

mostra uma curva de magnetiza¸cão t´ıpica de um material ferromagnético (esquerda). À direita está mostrado um zoom de um trecho da curva, o qual revela que a forma suave exibida no ciclo de histerese é apenas aparente. De fato, como pode ser visto, a magnetiza¸cão varia em saltos. Também está mostrado aqui o sinal Barkhausen associado ao processo de magnetiza¸cão [88]. . . 46 4.3 Defini¸cão dos intervalos waiting times no ru´ıdo magnético. Em

(a) temos um exemplo representativo de uma série temporal de um ex-perimento de ru´ıdo Barkhausen medido em filmes ferromagnéticos. (b) Um zoom em uma escala de tempo menor evidencia os pulsos de tensão combinados com o ru´ıdo de fundo instrumental, bem como as propriedades de autossimilaridade. Ao impor um n´ıvel de limiar finito (linha tracejada vermelha, neste caso em 5 nV), definimos as avalanches, com seus tama-nhos e dura¸cões, assim como os waiting times. (c) Quando a amplitude do sinal está abaixo do limiar, os intervalos de tempo correspondentes entre as avalanches (retângulos cinza) são chamados de waiting times (espa¸cos em branco). . . 49 4.4 Exemplos de ru´ıdo Barkhauen para o FeSiB. Cada painel mostra

uma série temporal coletada do sinal Barkhausen. Em cada caso, temos a série temporal da tensão entre os terminais da bobina para o trecho da curva de histerese magnética em que ocorre o ru´ıdo Barkhausen, conforme explicado no texto. Os diferentes painéis contêm as séries referentes às diferentes amostras tratadas ao longo do experimento: (a) 50 nm, (b) 100 nm, (c) 150 nm, (d) 200 nm, (e) 500 nm, (f ) 1000 nm. As linhas tracejadas mostram o ponto em que é feito o corte para desconsiderar o ru´ıdo eletrônico do equipamento. . . 50 4.5 Exemplos de ru´ıdo Barkhauen para o NiFe. Cada painel mostra

uma série temporal coletada do sinal Barkhausen. Em cada caso, temos a série temporal da tensão entre os terminais da bobina para o trecho da curva de histerese magnética em que ocorre o ru´ıdo Barkhausen, conforme explicado no texto. Os diferentes painéis contêm as séries referentes às diferentes amostras tratadas ao longo do experimento: (a) 50 nm, (b) 100 nm, (c) 150 nm, (d) 200 nm, (e) 500 nm, (f ) 1000 nm. As linhas tracejadas mostram o ponto em que é feito o corte para desconsiderar o ru´ıdo eletrônico do equipamento. . . 50

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4.6 Distribui¸cão exponencial dos waiting times. Fun¸cão distribui¸cão acu-mulada P (τ ≥ t) determinada a partir das séries temporais dos experimen-tos com ru´ıdo Barkhausen no FeSiB amorfo e no NiFe policristalino. Foram utilizados filmes ferromagnéticos com espessuras de 50, 100 e 1000 nm para ambos os materiais. Em particular, apresentamos em cada quadro os resul-tados para 10 distribui¸cões de waiting times selecionadas dentre 200 séries temporais obtidas para cada amostra. Todos foram obtidos considerando uma linha de corte na altura dos 5 nV. Notavelmente, a fun¸cão de distri-bui¸cão acumulada dos waiting times, P (T ≥ t), segue um robusto com-portamento exponencial, o qual pode ser ajustado por P (T ≥ t) ∝ e−t/λ, fornecendo assim o parâmetro λ, que é o tempo caracter´ıstico do processo exponencial. . . 52 4.7 Efeito do n´ıvel da linha de corte na estat´ıstica. Aqui está mostrada

a dependência do tempo caracter´ıstico λ, ou seja, do intervalo t´ıpico intera-valanches, com o n´ıvel da linha de corte. O parâmetro λ foi determinado a partir do ajuste exponencial para a distribui¸cão dos waiting times obtidas a partir das séries temporais de ru´ıdo Barkhausen nos filmes ferromagnéticos de FeSiB amorfo e NiFe policristalino. São mostradas curvas para várias espessuras de filmes ferromagnéticos no intervalo entre 50 e 1000 nm. As barras de erro foram estimadas por meio do desvio padrão. . . 53 4.8 Dependência da estat´ıstica dos waiting times com a espessura do

filme ferromagnético e com a estrutura dos materiais. Mostramos aqui o comportamento do intervalo t´ıpico interavalanches, λ, com a varia¸cão da espessura da amostra de material ferromagnético, com a estrutura do material (FeSiB amorfo e NiFe policristalino) e com os vários n´ıveis de limiar considerados. As barras de erro foram estimadas por meio do desvio padrão. . . 54 4.9 Distribui¸cão das dura¸cões das avalanches do ru´ıdo Barkhausen.

`

A esquerda (figs (a), (c) e (e)) tem-se os resultados emp´ıricos obtidos para os filmes amorfos, ao passo que à direita (figs (b), (d) e (f)) estão os re-sultados para os filmes policristalinos. Em cada caso, estão mostradas as distribui¸cões de probabilidade acumulada para 10 diferentes séries tempo-rais analisadas, bem como o expoente da lei de potências associada. . . 55 4.10 Distribui¸cão das áreas das avalanches do ru´ıdo Barkhausen. A`

esquerda (figs (a), (c) e (e)) tem-se os resultados emp´ıricos obtidos para os filmes amorfos, ao passo que à direita (figs (b), (d) e (f)) estão os re-sultados para os filmes policristalinos. Em cada caso, estão mostradas as distribui¸cões de probabilidade acumulada para 10 diferentes séries tempo-rais analisadas, bem como o expoente da lei de potências associada. . . 55 5.1 Esbo¸co da metodologia empregada para a determina¸cão dos

qui-ets e sound times. Em (a) temos um registro de 20 minutos da sa´ıda A t´ıpica de um gravador de áudio utilizado no experimento. Em (b) temos o módulo da grandeza mostrada em (a) para uma pequena faixa de 200 segundos. Mostramos também a linha de corte utilizada, da forma ¯x + 2s, em que ¯x e s são a média e o desvio padrão da grandeza A registrada na série temporal. Em (c) mostramos as larguras dos intervalos de tempo em que |A| fica acima da linha de corte, ou seja, as dura¸cões dos bursts. Entre dois retângulos consecutivos temos as dura¸cões dos quiets. . . 62

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5.2 Mapa que enfatiza as regiões nas quais as grava¸cões foram rea-lizadas. Na parte superior, temos o mapa do Brasil, com ênfase para as localiza¸cões das três regiões nas quais as grava¸cões aconteceram. Na parte inferior, mostramos as imagens aéreas dos ambientes de grava¸cão acústica. 63 5.3 Gravador utilizado para efetuar os registros acústicos no meio urbano. . . . 64 5.4 Sound times de um ambiente urbano. Distribui¸cão de probabilidades

para as dura¸cões das emissões acústicas (sound times) para o fundo sonoro de um meio urbano. Em a) o gráfico se refere às grava¸cões feitas às 03:00 a.m e em b), às grava¸cões realizadas às 12:00 p.m. Os registros foram feitos no munic´ıpio de Natal/RN. . . 65 5.5 Quiet times de um meio urbano. Demosntra¸cão qualitativa de que os

quiet times para os sons de um meio urbano seguem uma lei de potêncas. Em a) temos a estat´ıstica para os quiet times para os registros feito às 03:00 a.m e em b), para os registros realizados às 12:00 p.m. Em ambos os casos, plotamos um gráfico em eixos logaritmos para a distribui¸cão acumulada. As retas em diferentes cores se referem a grava¸cões efetuadas nos diferentes dias. Os registros foram feitos no munic´ıpio de Natal/RN. . . 66 5.6 Gravador utilizado para efetuar os registros acústicos em todos os

ecossis-temas, exceto no urbano. . . 67 5.7 Sound times da caatinga. Distribui¸c˜ao de probabilidades para as dura¸c˜oes

das emissões acústicas (sound times) para o fundo sonoro da caatinga. Os registros foram feitos no munic´ıpio de Lajes/RN. As grava¸cões acústicas foram efetuadas pelo grupo de bioacústica do Centro de Biociências/UFRN. 68 5.8 Quiet times da caatinga. Demosntra¸cão qualitativa de que os quiet

times para os sons da caatinga seguem uma lei de potêncas. Em a) temos a estat´ıstica para os quiet times para os registros feito às 05:30 e em b), para os registros realizados às 17:30. Em ambos os casos, plotamos um gráfico em eixos logaritmos para a distribui¸cão acumulada. Os registros acústicos foram feitos pelo grupo de bioacústica do Centro de Biociências/UFRN. . . 69 5.9 Sound times do Cerrado. Distribui¸cão de probabilidades para as dura¸cões

das emissões acústicas (sound times) para o fundo sonoro do Cerrado. Os registros foram feitos na Serra da Canastra/MG. As grava¸cões acústicas foram conduzidas pelo grupo de bioacústica do Centro de Biociências/UFRN. 70 5.10 Quiet times do Cerrado. Demosntra¸cão qualitativa de que os quiet

times para os sons do Cerrado seguem uma lei de potêncas. Em a) temos a estat´ıstica dos quiet times para os registros feito às 03:00 e em b), para os registros realizados às 17:00. Em ambos os casos, plotamos um gráfico em eixos logaritmos para a distribui¸cão acumulada. Os registros acústicos foram feitos pelo grupo de bioacústica do Centro de Biociências/UFRN. . . 71 5.11 Sound times de um ambiente subaquático (Abrolhos). Distribui¸cão

de probabilidades para as dura¸cões das emissões acústicas (sound times) para o fundo sonoro detectado a uma profundidade entre 15 e 30 metros. Os registros foram feitos no Parque Nacional Marinho de Abrolhos, loca-lizado no nordeste brasileiro. As grava¸cões foram efetuadas pelo grupo de bioacústica do Centro de Biociências/UFRN. . . 73

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5.12 Quiet times de um meio subaquático (Abrolhos). Demosntra¸cão qualitativa de que os quiet times para os sons gravados a 000 metros de profundidade seguem uma lei de potêncas. Em a) temos a estat´ıstica para os quiet times para os registros feito às 03:00 e em b), para os registros realizados às 12:00. Em ambos os casos, plotamos um gráfico em eixos logaritmos para a distribui¸cão acumulada. Os registros acústicos foram feitos pelo grupo de bioacústica do Centro de Biociências/UFRN. . . 74

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LISTA DE TABELAS

2.1 Algumas fun¸cões de probabilidade (FP) para variáveis discretas. . . 13 2.2 Fun¸cões densidade de probabilidade (FDP) para as distribui¸cões cont´ınuas

exemplificadas. . . 15 4.1 Quadro comparativo dos valores do parˆametro λ encontrados para as

dis-tribui¸cões de waiting times para as várias epessuras consideradas no expe-rimento e para os dois materiais utilizados. A linha que define o limiar de corte foi fixada aqui em 5 nV. . . 58 5.1 Parâmetros da distribui¸cão lognormal associada aos tempos de emissão

(burst times) dos sons urbanos. . . 65 5.2 Parˆametros da distribui¸c˜ao lognormal associada aos sound times para as

séries temporais obtidas no munic´ıpio de Lajes/RN. . . 68 5.3 Parâmetros da distribui¸cão lognormal associada aos sound times para as

séries temporais obtidas na Serra da Canastra - Cerrado. . . 71 5.4 Parâmetros da distribui¸cão lognormal associada aos sound times para as

s´eries temporais obtidas em um meio subaqu´atico - Abrolhos. . . 73 5.5 Quadro comparativo dos valores de estat´ıstica descritiva para as

distri-bui¸cões de tempo de emissão nos vários meios analisados. Aqui, o termo NOTURNO se refere às grava¸cões realizadas às 03:00 a.m, enquanto o termo DIURNO é referente às grava¸cões realizadas em horários variados, de acordo com cada bioma. . . 75 5.6 Quadro comparativo dos valores dos expoentes encontrados para as

dis-tribui¸cões de quiet times nos vários meios analisados. Aqui, o termo NO-TURNO se refere às grava¸cões realizadas às 03:00 a.m, enquanto o termo DIURNO é referente às grava¸cões realizadas em horários variados, de acordo com cada bioma. . . 76

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SUM ´

ARIO

1 Introdu¸c˜ao 10

2 Teoria 12

2.1 Breve discuss˜ao sobre distribui¸c˜oes de probabilidade . . . 12

2.1.1 Distribui¸cões de probabilidade para variáveis aleatórias discretas . . 13

2.1.2 Distribui¸cões de probabilidade para variáveis aleatórias cont´ınuas . 14 2.2 Breve discussão sobre leis de escala . . . 17

2.3 Propriedades matem´aticas das leis de escala . . . 17

2.3.1 Momentos . . . 18

2.3.2 Invariˆancia por escala . . . 19

2.3.3 Distribui¸c˜oes com caudas muito longas e a “regra 80–20” . . . 21

2.3.4 Distribui¸c˜oes com cauda de lei de potˆencias . . . 22

2.4 Números randômicos com distribui¸cão livre de escala . . . 23

2.5 Alguns mecanismos geradores de leis de escala na natureza . . . 25

2.5.1 Amostragem de alguns processos especiais . . . 25

2.5.2 Transi¸c˜oes de fase e fenˆomenos cr´ıticos . . . 26

2.5.3 Criticalidade auto-organizada . . . 29

2.5.4 Efeitos multiplicativos . . . 31

2.5.5 Processos otimizados . . . 32

2.5.6 Redes complexas - liga¸c˜oes preferenciais . . . 33

2.6 Lei de potˆencia versus lognormal . . . 35

3 M´etodo 36 3.1 Processamento dos sinais e identifica¸c˜ao dos intervalos de tempo . . . 36

3.1.1 Descri¸c˜ao do algoritmo utilizado . . . 37

3.2 Ajuste dos dados emp´ıricos . . . 38

3.2.1 Uma maneira simples de representar graficamente uma distribui¸c˜ao lei de potˆencias . . . 38

3.2.2 Histogramas de classes e leis de potˆencia . . . 40

3.2.3 Regress˜ao linear e leis de potˆencia . . . 41

3.2.4 Determina¸cão do expoente α em p(x) = Ax−α através do método de máxima verossimilhan¸ca - MML . . . 42

4 Estat´ıstica dos intervalos interavalanches no ru´ıdo Barkhausen 44 4.1 Breve introdu¸c˜ao sobre o ru´ıdo Barkhausen . . . 44

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4.2 Materiais e Metodologia . . . 48

4.2.1 Filmes ferromagn´eticos utilizados . . . 48

4.2.2 Obten¸c˜ao das s´eries temporais do ru´ıdo Barkhausen . . . 48

4.2.3 Identifica¸c˜ao dos eventos de waiting times . . . 48

4.2.4 Resultados . . . 51

4.3 Discuss˜ao . . . 56

5 Leis de escala para o fundo ac´ustico de alguns ecossistemas 60 5.1 Metodologia de identifica¸c˜ao dos intervalos de tempo . . . 61

5.2 Resultados . . . 62

5.2.1 Distribui¸c˜oes dos sons urbanos . . . 62

5.2.2 Estat´ıstica dos sons da Caatinga . . . 66

5.2.3 Estat´ıstica dos sons do Cerrado . . . 69

5.2.4 Estat´ıstica dos sons subaqu´aticos (Abrolhos) . . . 72

5.3 Discuss˜ao . . . 74

6 Conclus˜oes 78

(17)

CAP´ITULO

1

INTRODUC

¸ ˜

AO

As distribui¸cões do tipo lei de potência têm atra´ıdo o interesse de cientistas nas mais di-versas áreas do conhecimento. Essas leis probabil´ısticas aparecem na descri¸cão estat´ıstica de diversos fenômenos como, por exemplo, terremotos [1, 2, 3], tempos de resposta em tes-tes cognitivos [4, 5], redes complexas, erup¸cões solares [6], flutua¸cões no pre¸co dos ativos no mercado financeiro [7, 8, 9], extin¸cão de espécies [10, 11, 12] e sistemas biológicos em geral [13]. Tais sistemas são caracterizados por intermitência, isto é, a alternância entre saltos ou avalanches e tempos de quietude. Semelhantemente a um sistema f´ısico que atravessa uma transi¸cão de fases, tais séries temporais apresentam caráter autossimilar, com flutua¸cões em todas as escalas alcan¸cadas pelo fenômeno. Essas flutua¸cões, por sua vez, são caracterizadas por distribui¸cões da forma de leis de potências.

Nesse sentido, tem-se analisado as distribui¸cões dos tempos de quietude (quiet times ou waiting times) e dos tempos de atividade (burst times ou activity times) em séries temporais associadas a diversos fenômenos naturais. Como exemplo, podemos citar aque-las relacionadas à atividade neural e motora em mam´ıferos [4, 14, 15, 16] e ao ru´ıdo Barkhausen em sistemas magnéticos [17, 18, 19].

Na análise neural e motora, contudo, tem-se estudado as distribui¸cões dos wake times e dos waiting times, ambos associados ao sono de mam´ıferos [20, 21, 22]. Por outro lado, ainda não há registros de trabalhos que determinem essas distribui¸cões no contexto global, estando o indiv´ıduo dormindo ou acordado. Do mesmo modo, em termos de ru´ıdo Barkhausen tem sido analisado as distribui¸cões das dura¸cões das avalanches, mas ainda não há um consenso sobre a distribui¸cão dos quiet times [18, 23, 24, 25].

Muitos aspectos dos grandes e médios centros urbanos têm sido analisados com o aux´ılio das ferramentas da f´ısica estat´ıstica e da ciência da complexidade [26, 27, 28, 29]. Por outro lado, um sistema ainda pouco explorado em termos de distribui¸cões de quiet e burst times são os chamados soundscapes, que consistem do conteúdo acústico de um ecossistema. De fato, o estudo da dinâmica acústica dos diversos ecossistemas, sejam eles urbanos, rurais ou selvagens, pode contribuir para o entendimento da trajetória evolutiva das espécies que nele vivem, ou mesmo de propriedades intr´ınsecas daquele habitat, como seu grau de conserva¸cão.

Diante disso, o objetivo deste trabalho é apresentar os resultados emp´ıricos que ob-tivemos para as séries temporais de 3 diferentes sistemas complexos - sinais de ru´ıdo Barkhausen em filmes ferromagnéticos, sinais de acelerômetro associado à atividade mo-tora de roedores e sinais acústicos associados a alguns ecossistemas.

Particularmente, usamos um m´etodo simples para identificar os intervalos de tempo de atividade e de quietude em s´eries temporais. Essa metodologia basicamente considera

(18)

um corte nos valores das magnitudes das amplitudes, de maneira a eliminar as flutua¸cões aleatórias introduzidas por ru´ıdo eletrônico e afins, e então focamos no sinal resultante. De posse desse novo sinal, procuramos pelos registros de amplitude que se situam acima e abaixo do limiar de corte, constituindo assim os intervalos de tempo de atividade e de quietude, respectivamente. Por fim, procuramos pela distribui¸cão de probabilidades que descreve o comportamento desses intervalos de tempo, utilizando para isso o método de máxima verossimilhan¸ca.

Uma lei de potência é um tipo especial de distribui¸cão de probabilidades que possuem caracter´ısticas singulares quando comparadas com as demais distribui¸cões de probabili-dade [30]. Por exemplo, grandezas que se distribuem segundo uma lei de potências são ditas apresentarem a propriedade de invariância por escala, que indica que os peque-nos eventos, que são muito comuns, são qualitativamente semelhantes àqueles que são de grande magnitude e raros, em termos de probabilidade. Assim, eventos raros e comuns parecem ser gerados pela mesma dinâmica.

A identifica¸cão dessas distribui¸cões em dados emp´ıricos pode ser um indicativo da presen¸ca de processos geradores que usualmente são conhecidos por gerarem compor-tamento complexo na natureza. Alguns exemplos incluem efeitos de redes complexas, auto-organiza¸cão, processos otimizados e efeitos multiplicativos.

Diante do exposto, este trabalho foi organizado do seguinte modo: no cap´ıtulo 2, faze-mos uma revisão teórica a respeito das distribui¸cões de probabilidade, em particular, das que exibem a propriedade de invariância por escala, ou seja, as leis de potências. Ainda neste cap´ıtulo, fazemos uma discussão sobre alguns modelos geradores dessas leis ampla-mente difundidos na literatura de f´ısica estat´ıstica e sistemas complexos. No cap´ıtulo 3, descrevemos a metodologia desenvolvida para a determina¸cão dos intervalos de tempo de interesse, bem como do procedimento utilizado para a identifica¸cão das distribui¸cões de probabilidade e cálculo dos respectivos parâmetros.

No cap´ıtulo 4, iniciamos a exposi¸cão dos resultados, primeiramente para o ru´ıdo Barkhausen, mostrando que os intervalos de quietude para esse sinal (ou waiting times) em filmes ferromagnéticos se distribuem segundo uma lei exponencial. Analisamos a forma dessa distribui¸cão para sinais obtidos em materiais magnéticos amorfos e policristalinos, e conclu´ımos que ambos apresentam a mesma distribui¸cão para os waiting times. Investiga-mos também a varia¸cão do parâmetro λ que descreve essas distribui¸cões com a espessura dos filmes magnéticos utilizados no experimento com ru´ıdo Barkhausen.

No cap´ıtulo 5, apresentamos os resultados da análise estat´ıstica dos intervalos de tempo de atividade e de quietude para séries temporais de acelerômetro acoplado à cabe¸ca de cinco camundongos saudáveis. Em todos os casos, verificamos que há uma alternância entre distribui¸cão exponencial para os intervalos de tempo de quietude e uma lei de potências para as dura¸cões das avalanches de atividade motora.

Finalmente, no cap´ıtulo 6 apresentamos os resultados obtidos para os intervalos de tempo de quietude e de atividade acústica em séries temporais gravadas em alguns ecos-sistemas. Como resultados, identificamos a alternância entre uma distribui¸cão lognormal para os tempos de atividade (sound times) e uma lei de potência para os tempos de quie-tude (quiet times). Conclu´ımos que as mesmas leis se mantêm para todos os ecossistemas analisados, com parâmetros semelhantes.

(19)

CAP´ITULO

2

TEORIA

Neste cap´ıtulo, fazemos uma revisão das distribui¸cões de probabilidade cont´ınuas e mostramos os exemplos mais comuns encontrados na literatura. Em seguida, introduzimos as leis de potência, mostrando suas principais caracter´ısticas e explorando algumas de suas propriedades. Tratamos também dos principais modelos dispon´ıveis na literatura que são capazes de gerar essas distribui¸cões de probabilidade.

2.1 Breve discuss˜

ao sobre distribui¸

c˜

oes de

probabili-dade

Em geral, costumamos estudar os processos com os quais nos deparamos na natureza por meio de dois modelos: determin´ıstico e aleatório. No primeiro tipo estão inclu´ıdos todos os processos que evoluem segundo um conjunto espec´ıfico de regras e cujos resultados são previs´ıveis, dadas as regras que o regem. Nesse caso, dados o estado inicial e a lei que governa a evolu¸cão daquele processo, seja no espa¸co ou no tempo, o resultado esperado é sempre o mesmo.

Os processos aleatórios, por outro lado, possuem comportamento imprevis´ıvel. Desse modo, mesmo sob as mesmas condi¸cões iniciais, várias realiza¸cões do processo podem resultar em resultados completamente diferentes. Um exemplo simples de um processo aleatório é o resultado numérico da face de um dado após seu lan¸camento.

Dentro da categoria dos processos aleatórios, tem-se os processos estocásticos, que são muito comuns na natureza. Estes são caracterizados por evoluir com o tempo, de maneira aleatória. Alguns exemplos desse tipo de processo são o número de ve´ıculos que passam através de uma rodovia ao longo do dia, a varia¸cão no pre¸co de uma commoditie ou de um ativo financeiro ao longo dos dias, as flutua¸cões na taxa de câmbio, entre outros.

Quando estamos estudando o comportamento de um sistema que evolui de maneira estocástica, é comum olharmos para a maneira como as probabilidades se distribuem ao longo do tempo, uma vez que estamos interessados não em uma ocorrência espec´ıfica do evento aleatório associado ao processo, mas sim num conjunto grande de ocorrências. Desse modo, é bastante comum olharmos para a distribui¸cão de probabilidade associada ao fenômeno ou processo que estamos analisando [31, 32].

Nesse sentido, o tipo de distribui¸cão de probabilidade considerado no estudo depende da natureza da variável aleatória que associamos ao processo ou fenômeno de interesse. Se estamos lidando com um processo que evolui a passos discretos, temos então uma variável aleatória discreta, e utilizamos assim uma distribui¸cão de probabilidades discreta. Se, por

(20)

outro lado, estamos lidando com um processo que evolui continuamente com o tempo, por exemplo, precisamos associá-lo a uma distribui¸cão de probabilidades cont´ınua [32]. Nas próximas se¸cões, discutimos brevemente algumas das mais conhecidas distribui¸cões de probabilidade discretas e cont´ınuas encontradas na literatura.

2.1.1 Distribui¸

c˜

oes de probabilidade para vari´

aveis aleat´

orias

discretas

Conforme adiantado acima, quando associamos uma variável aleatória discreta aos eventos do espa¸co amostral de um processo aleatório, a distribui¸cão de probabilidades a ela associada é dita ser uma distribui¸cão de variável aleatória discreta, ou simplesmente, distribui¸cão discreta. Distribui¸cões discretas estão associadas a fenômenos aleatórios cuja variabilidade se dá por meio de passos discretos. Alguns exemplos t´ıpicos são os resultados poss´ıveis do lan¸camento de uma moeda, o número de pe¸cas defeituosas em uma linha de produ¸cão ao longo do tempo, o número de carros que passam em um cruzamento ao longo de um dado intervalo de tempo, dentre outros.

Assim, uma variável aleatória discreta X associa um número inteiro a cada poss´ıvel evento no espa¸co amostral de um processo aleatório. Uma fun¸cão de probabilidade, por sua vez, é uma rela¸cão que associa um número real entre zero e um (uma probabilidade) aos valores poss´ıveis de X. Desse modo, uma fun¸cão de probabilidade é definida como

p(x) = P (X = x), (2.1)

que obedece ao v´ınculo

N

X

i=1

p(xi) = 1, (2.2)

que é a condi¸cão de normaliza¸cão. Assim, um processo aleatório ao qual se relaciona uma variável aleatória discreta estará descrito se conhecermos seu espa¸co amostral e sua fun¸cão de probabilidade[31, 32]. A tabela 2.1 mostra algumas das distribui¸cões mais comumente encontradas na literatura para a descri¸cão do comportamento de variáveis aleatórias discretas.

Distribui¸cão Parâmetros FP normalizada Binomial n, k P (X = k) = n_kpk _{(1 − p)}n−k Hipergeométrica N, r, n P (X = k) = r k N −r n−k N n Poisson k, n, p P (X = k) = e −np_(np)k k!

Tabela 2.1: Algumas fun¸cões de probabilidade (FP) para variáveis discretas. Uma quantidade interessante, que resume o comportamento de uma variável aleatória, dada sua fun¸cão de probabilidade, é a sua média (ou esperan¸ca). Ela é definida da seguinte forma

(21)

E(X) = N X i=1 xiP (X = xi) = N X i=1 xipi. (2.3)

A média ou esperan¸ca de uma variável aleatória geralmente indica seu valor t´ıpico ou caracter´ıstico.

2.1.2 Distribui¸

c˜

oes de probabilidade para vari´

aveis aleat´

orias

cont´ınuas

Similarmente ao que foi discutido para as variáveis discretas, as distribui¸cões de proba-bilidade cont´ınuas são usadas para descrever o comportamento de conjuntos de variáveis aleatórias que variam continuamente, ou seja, assumem quaisquer valores reais dentro de um cont´ınuo de possibilidades. Exemplos disso são a dura¸cão, em anos, de uma lâmpada, o intervalo de tempo entre terremotos, as velocidades das part´ıculas de um gás, etc.

No caso de variáveis aleatórias cont´ınuas, diferentemente do caso discreto, não defini-mos a probabilidade de a variável assumir um valor x espec´ıfico. De fato, tal probabilidade seria igual a zero, já que estar´ıamos falando de um único ponto amostral (infinitesimal) dentro de um cont´ınuo de possibilidades. Dessa forma, quando estamos tratando de dis-tribui¸cões cont´ınuas, em vez de falarmos em fun¸cão de probabilidade, falamos em fun¸cão densidade de probabilidade (FDP). Uma fun¸cão densidade de probabilidade f (x) é defi-nida da seguinte forma:

P (x − dx ≤ x ≤ x + dx) = f (x)dx, (2.4) ou ainda, para um intervalo finito,

P (a ≤ x ≤ b) = Z b

a

f (x) dx. (2.5)

A condi¸cão de normaliza¸cão, que, conforme discutido no caso discreto, garante que as probabilidades assumam valor entre 0 e 1, neste caso, é dada por uma integral:

Z ∞

−∞

f (x) dx = 1. (2.6)

A tabela 2.2 mostra algumas fun¸cões densidade de probabilidade (FDPs) muito frequen-temente encontradas na literatura para a descri¸cão de variáveis aleatórias cont´ınuas. A seguir discutimos brevemente cada uma delas.

(22)

Distribui¸c˜ao Parˆametros FDP normalizada Normal µ, σ p(x) = 1 σ√2πexp −(x − µ) 2 2σ2 Exponencial λ p(x) = λe−λx Lognormal µL, σL p(x) = 1 xσ√2πexp −(ln x − µ) 2 2σ2

Lei de potˆencias α, xmin p(x) =

α − 1 xmin x xmin −α

Tabela 2.2: Fun¸c˜oes densidade de probabilidade (FDP) para as distribui¸c˜oes cont´ınuas exemplificadas.

Distribui¸c˜ao Gaussiana

A distribui¸cão normal (ou gaussiana) é provavelmente a distribui¸cão de probabilidades mais comumente vista na literatura, seja ela básica ou avan¸cada. Ela é definida em termos de dois parâmetros, a média e o desvio padrão. Sua principal importância reside no fato de podermos prever o percentual de realiza¸cões da variável aleatória que se situam dentro de determinadas distâncias da média, conforme pode ser visto na figura 2.1.

Figura 2.1: Diagrama ilustrativo de uma curva normal. No diarama estão mostradas as parcelas das ocorrências da variável aleatória que estão dentro do intervalo µ+σ, µ+2σ e µ + 3σ. Note-se que a probabilidade de ocorrência de eventos “normais” cuja variável aleatória associada é maior que µ + 3σ é perfeitamente negligenciável.

(23)

es-tat´ıstica, resulta do teorema do limite central, o qual permite fazer inferências a respeito de uma popula¸cão, analisando-se uma amostra que representa apenas uma pequena fra¸cão do universo, além de também fornecer uma maneira de comparar as diferentes amostras de uma mesma popula¸cão [31].

Basicamente, o teorema do limite central diz que, dado um conjunto de n vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente distribu´ıdas, X1, X2, X3, . . . , XN, cada um com

n elementos, média ¯x e variância S2 > 0, quando o tamanho das amostras aumenta, isto é, n → ∞, a distribui¸cão da média dessas variáveis aleatórias se aproxima de uma distribui¸cão normal com média µ e variância σ2_{/n, independente da forma da distribui¸c˜}_ao

original. Isto está ilustrado na figura 2.2, em que simulamos um conjunto de variáveis aleatórios identicamente distribu´ıdas e com diferentes tamanhos de amostra. Mostramos que, quando somamos os valores dessas variáveis em grandes conjuntos, o resultado se distribui como uma gaussiana.

230 240 250 260 270 0 0.5 1 1.5 2 Densidade 230 240 250 260 270 280 0 20 40 60 80 100 2 4 6 8 x 0 20 40 60 80 100 Densidade 40 45 50 55 60 x 0 20 40 60 80 100 230 240 250 260 270 x 0 20 40 60 80 100 230 240 250 260 270 0 5 10 15 (c) (b) 500 amostras n=100 100 amostras n=1000 (a) (d) (e) (f) 500 amostras n=10 500 amostras n=1000 10 amostras n=1000 500 amostras n=1000

Figura 2.2: Ilustra¸cão do teorema do limite central. Nos painéis a-c temos as distribui¸cões das médias de 500 amostras de variáveis aleatórias uniformes, com o tamanho da amostra variando de 0 a 1000. Nos painéis d-f, por outro lado, temos as distribui¸cões das médias amostrais para diferentes quantidades de amostras, todas de igual tamanho, n = 1000.

Distribui¸c˜ao lognormal

Uma variável aleatória X tem distribui¸cão lognormal quando a variável transformada Y = ln X tem uma distribui¸cão normal. A fun¸cão densidade de probabilidade para variáveis que seguem uma lei lognormal está mostrada na tabela 2.2. Como podemos ver, ela é muito parecida com a FDP gaussiana, bastando trocar x por ln x neste última para obter a primeira [33]. Ao contrário da gaussiana, a lognormal é assimétrica, mais precisamente, possui assimetria à direita.

Distribui¸cões lornogmal são particularmente comuns quando os valores médios são baixos e a variável aleatória não pode assumir valores negativos. Esse é o caso, por exemplo, de abundância de espécies, dura¸cões de per´ıodos latentes de doen¸cas infecciosas e distribui¸cão de recursos minerais na crosta terrestre [34].

Apesar de não ter um uso tão difundido como aquele observado para a distribui¸cão normal, a lognormal também possui sua importância do ponto de vista de inferência estat´ıstica. Nesse sentido, conforme veremos na se¸cão 2.5.4, o teorema do limite central

(24)

também vale para a distribui¸cão lognormal, porém, em sua forma multiplicativa. Assim, essa distribui¸cão de probabilidades também aparece quando uma quantidade grande de efeitos aleatórios se combinam, porém, nesse caso, de maneira multiplicativa [35].

Distribui¸c˜ao exponencial

Distribui¸cões exponenciais geralmente são encontradas como distribui¸cões de tempo de vida com taxa de risco constante. Aplica¸cões desse modelo probabil´ıstico são encontradas principalmente no campo das ciências atuariais, engenharia e ciências biológicas [36]. A forma funcional da distribui¸cão exponencial está mostrada na tabela 2.2.

Semelhantemente ao caso da lognormal, discutido brevemente acima, uma variável aleatória que possui distribui¸cão exponencial possui apenas valores positivos num cont´ınuo de possibilidades. Também a exemplo da lognormal e das leis de potência, a distribui¸cão exponencial é uma distribui¸cão de cauda longa, em que os eventos de menor magnitude são mais prováveis, enquanto os de grande magnitude, apesar de ter menor probabilidade a eles associados, não são negligenciáveis, como ocorre, por exemplo, na distribui¸cão gaussiana.

2.2 Breve discuss˜

ao sobre leis de escala

Leis de escala (ou leis de potência) são distribui¸cões de probabilidades da forma

p(x) = Ax−α, (2.7)

em que x é uma variável aleatória com dimensão temporal, por exemplo, e α é o parâmetro de escala. Em geral, 1 < α < 3 [30, 37, 38].

Essas distribui¸cões, conforme mencionado anteriormente, possuem caracter´ısticas sin-gulares quando comparadas com outras, como por exempo a exponencial ou gaussiana. Como veremos nas próximas se¸cões, esta é a única distribui¸cão de probabilidades que apresenta a caracter´ıstica de invariância por escala. Tal fato lhe confere propriedades estat´ısticas interessantes e distintas. Essas propriedades, por sua vez, aparecem em siste-mas das mais diversas áreas de conhecimento, e muitas vezes está relacionada ao princ´ıpio subjacente àquele fenômeno.

2.3 Propriedades matem´

aticas das leis de escala

Em primeiro lugar, exploramos, nesta se¸cão, uma das propriedades mais marcantes das leis de potência, que é o comportamento dos seus primeiros momentos, que, para muitas das leis de escala encontradas na natureza, divergem. Em seguida, tratamos daquela que talvez seja sua propriedade mais importante, que é a invariância por escala [30, 37].

A figura 2.3 abaixo mostra uma compara¸cão entre a lei de potências e a distribui¸cão exponencial. Como podemos ver, a lei de potências possui cauda muito mais longa do que a exponencial, uma vez que eventos que são improváveis ou mesmo imposs´ıveis do ponto de vista da exponencial, são praticamente comuns do ponto de vista da lei de potências. De fato, na figura 2.3-B), vemos que o quociente entre a lei de potências e a exponencial possui em valores muito grandes.

(25)

100 101 102 103 104 x 10-8 10-6 10-4 10-2 100 Pr(X x) = 1.50 = 2.50 = 3.50 = 0.10 = 0.67 = 2.50 100 101 102 103 104 x 100 1050 10100 10150 10200 10250 10300 Pr PL (x)/Pr EXP (x) = 1.50; = 0.10 = 2.50; = 0.67 = 3.50; = 2.50 (A) (B)

Figura 2.3: Comparativo entre leis de potências e exponenciais. EM (A) fazemos uma compara¸cão entre a fun¸cão de distribui¸cão acumulada da lei de potência com a lei exponencial para algumas escolhas dos respectivos parâmetros. Em ambos os casos, x ≥ xmin = 1. (B) A razão entre as distribui¸cões lei de potências e exponencial, ilustrando

o fato de que eventos que são efetivamente “imposs´ıveis”(ou seja, que têm probabilidade negligenciável sob uma distribui¸cão exponencial) tornam-se praticamente comuns sob uma distribui¸cão lei de potências.

2.3.1 Momentos

A imposi¸c˜ao da normaliza¸c˜ao na eq. 2.7 nos permite calcular a constante A, de forma que p(x) = α − 1 xmin x xmin −α , (2.8)

que significa que essa distribui¸cão não é normalizável para α < 1. Aqui, o parâmetro xmin > 0 é o valor m´ınimo da variável aleatória x para o qual os dados emp´ıricos seguem

essa distribui¸c˜ao. ´

E interessante olhar para os momentos dessa distribui¸cão. Essas grandezas servem para caracterizar as distribui¸cões de probabilidade. Os quatro primeiros momentos, por exemplo, caracterizam a tendência central das distribui¸cões[31, 32]. Os momentos dessa distribui¸cão podem ser obtidos a partir da eq. 2.8,

xk₌ Z ∞ xmin xkp(x) dx = xk_min α − 1 α − 1 − k , α > k + 1. (2.9) Assim, apenas os primeiros α − 1 momentos são definidos. Em particular, se 1 < α < 2, a média e todos os outros momentos são infinitos. Se 2 < α < 3, a média é finita, mas a variância e os demais momentos são infinitos. A despeito disso, todos os momentos da grande maioria das outras fun¸cões densidade de probabilidade são finitos.

A figura 2.4 ilustra o comportamento dos dois primeiros momentos de uma distribui¸cão lei de potências com o tamanho da amostra de variáveis aleatórias, para três diferentes escolhas de seu parâmetro de escala. Em cada caso, geramos diferentes quantidades de números aleatórios com essa distribui¸cão. no item (A), vemos que tanto a média como a variâncias crescem indefinidamente com o crescimento do tamanho da amostra. Em (B), por outro lado, a média amostral é bem comportada, apesar de a variância ainda

(26)

divergir para amostras muito grandes. Por último, o gráfico em (C), mostra que tanto a média como a variância permanecem finitos quando aumentamos o tamanho da amostra, embora os demais momento sejam divergentes.

101 102 103 104 105 106 Tamanho da amostra, n 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 Valor =1.70 Variância amostral Média amostral 101 102 103 104 105 106 Tamanho da amostra, n 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 =2.05 Variância amostral Média amostral Média populacional 101 102 103 104 105 106 Tamanho da amostra, n 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 =3.01 Variância amostral Média amostral Variância populacional (A) (B) (C)

Figura 2.4: Efeito do tamanho da amostra nos momentos de uma lei de potências. Em (A) mostramos como se comportam a média a variância para uma lei de potências com α = 1.7, enquanto em (B) fazemos o mesmo para α = 2.05 e em (C), α = 3.01. Em todos os casos, consideramos um vasto alcance dos tamanhos de amostra.

Na prática, dizer que uma variável aleatória possui uma distribui¸cão de probabilidades com média infinita significa dizer que, se selecionamos várias amostras da grandeza re-presentada por essa variável aleatória, a média amostral cresce indefinidamente à medida que aumentamos o tamanho da amostra, a despeito do que acontece com uma distri-bui¸cão que possui média finita, na qual a média amostral se aproxima de um valor finito quando majoramos o tamanho da amostra. Uma fun¸cão densidade de probabilidade como essa representa um fenômeno que não possui uma escala caracter´ıstica, seja espacial ou temporal. São os chamados fenômenos livre de escala (scale-free phenomena).

2.3.2 Invariˆ

ancia por escala

A outra propriedade que torna as leis de escala relevantes em vários cenários é a invariância por escala (scale invariance), que pode ser facilmente mostrada a partir de 2.7:

p(kx) = A(kx)−α = k−αAx−α, (2.10) que podemos escrever como

p(kx) = Bx−α. (2.11)

Conforme pode ser visto na eq. 2.11, o efeito da mudan¸ca de escala é completa-mente absorvido pela constante de normaliza¸cão. Esse resultado mostra que, ao olharmos para o fenômeno descrito pela fun¸cão p(x) em diferentes escalas, a forma funcional de p se mantém invariável, sugerindo que a dinâmica do sistema observado é governada pelos mesmos mecanismos subjacentes em todas as escalas acess´ıveis ao fenômeno. No contexto da geometria fractal, essa caracter´ıstica das leis de potência aparece como a autossimila-ridade, uma propriedade que confere aos objetos fractais a mesma aparência numa ampla

(27)

gama de escalas em que é observado. Exemplos comuns são os alvéolos pulmonares, uma couve-flor, etc. 0 10 20 30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 PDF Lei de potências = 2.1 = 2.5 = 3 = 3.5 100 102 104 10-10 10-5 100 0 10 20 30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 = 1 = 0.1 = 0.01 = 0.001 100 102 104 10-10 10-5 100 Exponencial 0 10 20 30 x 0 0.05 0.1 0.15 0.2 PDF Gaussiana = 5; = 2 = 10; = 5 = 15; = 3 = 20; = 4 10-1 102 104 x 10-10 10-5 100 0 10 20 30 x 0 0.1 0.2 0.3 Lognormal = 1; = 0.5 = 1; = 1 = 1; = 2 = 1; = 5 100 102 104 x 10-10 10-5 100

Figura 2.5: Ilustra¸cão da propriedade de invariância por escala das leis de potências. Aqui mostramos que o comportamento de algumas distribui¸cões de pro-babilidades em eixos com escala aritmética e logar´ıtmica. Apenas a lei de potências é linear nessa segunda escala.

Essa propriedade de invariância por escala certamente não vale para a maioria das distribui¸cões de probabilidade, conforme está ilustrado na figura 2.5, que mostra que apenas a lei de potências é linear em eixos duplamente logar´ıtmicos. De fato, é fácil mostrar que a lei de potência é a única distribui¸cão que tem essa caracter´ıstica [37, 38]. Para isso, consideremos uma distribui¸cão de probabilidades p(x) para alguma medida x, e supomos que ela satisfaz essa propriedade:

p(bx) = g(b)p(x), (2.12)

em que b é uma constante qualquer. Como discutido acima, isso quer dizer que, se aumentarmos a escala que usamos para medir x por um fator b, a forma de p(x) não se altera, exceto por uma constante multiplicativa global. Considerando a equa¸cão 2.12, vamos come¸car fazendo x = 1, de modo que

g(b) = p(b)

p(1). (2.13)

Assim, podemos escrever

p(bx) = p(b)p(x)

p(1) . (2.14)

Como essa equa¸cão é supostamente verdadeira para todo b, podemos diferenciar ambos os lados em rela¸cão a b, de forma a obter

xp0(bx) = p

0_(b)p(x)

p(1) , (2.15)

em que p0 denota a derivada de p em rela¸c˜ao ao seu argumento. Fazendo b = 1, temos xdp

dx = p0(1)

(28)

Essa é uma equa¸cão diferencial ordinária que pode ser facilmente resolvida por separa¸cão de variáveis, resultando em

ln p(x) = p

0₍₁₎

p(1) ln x + const. (2.17)

A constante de integra¸c˜ao pode ser obtida fazendo-se x = 1, de modo que podemos escrever

ln p(x) = p

0₍₁₎

p(1) ln x + ln p(1). (2.18)

Finalmente, depois de uma manipula¸c˜ao alg´ebrica, obtemos a forma de p(x) que obedece `

a propriedade de invariˆancia por escala (eq. 2.12),

p(x) = p(1)x−α, (2.19)

em que fizemos α = −p(1)/p0(1).

Portanto, podemos concluir que a distribui¸c˜ao de probabilidades do tipo lei de potˆencias ´

e a única que satisfaz a propriedade de invariância por escala. Conforme veremos nos próximos cap´ıtulos, esse fato não é apenas uma curiosidade. Alguns sistemas tornam-se invariantes por escala sob condi¸cões especiais, como numa transi¸cão de fase de segunda ordem, na qual a sintoniza¸cão em certo ponto dos parâmetros que o governam gera tal con-figura¸cão. Nesse mesmo ponto, as caranter´ısticas macroscópicas e as respostas do sistema a est´ımulos externos mudam radicalmente. Além disso, como já citado, a invariância por escala também surge em outras circunstâncias, conforme mostrado nas próximas se¸cões.

2.3.3 Distribui¸

c˜

oes com caudas muito longas e a “regra 80–20”

A extrema assimetria à direita das distribui¸cões do tipo lei de potência também im-plica alguns outros comportamentos interessantes [38]. Por exemplo, suponha que a dis-tribui¸cão da riqueza em uma popula¸cão seja uma lei de potências com algum parâmetro α (o que, como veremos adiante, não é uma suposi¸cão ruim). Sendo assim, poder´ıamos nos perguntar: qual fra¸cão W do total dessa riqueza pertence à fra¸cão mais rica P da popula¸cão?

A fra¸cão P da popula¸cão cuja riqueza é pelo menos igual a x é dada pela distribui¸cão acumulada complementar: P r(X ≥ x) = Z ∞ x p(y) dy = x xmin −(α−1) . (2.20)

Assim, a fra¸c˜ao da riqueza total sob a posse dessas pessoas ´e dada por W (x) = R∞ x yp(y)dy R∞ xminyp(y)dy = x xmin −α+2 , (2.21)

em que α > 2. Combinando essas duas expressões, podemos escrever uma equa¸cão para W que não depende de x:

W = P(α−2)/(α−1). (2.22)

A figura 2.6 mostra como distribui¸cões muito assimétricas (ou de caudas muito longas, como é o caso da lei de potências) para a riqueza podem ser bem diferentes para as diversas escolhas de α.

(29)

Essa extrema assimetria é algumas vezes chamada de “regra 80-20”, fazendo uma alusão ao fato de que, se a riqueza de um pa´ıs tem distribui¸cão do tipo lei de potências (com α ≈ 2.1), 80% de toda a riqueza pertence aos 20% mais ricos. É interessante notar que, para valores mais altos de α, como por exemplo o valor α = 3.5 na figura 2.6, a distribui¸cão é um pouco mais igualitária, ou seja, a assimetria é menor. Quando α se aproxima de 2, a assimetria se torna progressivamente mais extrema, com uma fra¸cão cada vez menor da popula¸cão detendo uma propor¸cão cada vez maior da riqueza total. Quando α < 2, as integrais em nosso cálculo feito acima divergem e a riqueza total é quase completamente mantida por uma única pessoa, ou seja, a soma de toda a riqueza ´

e em grande parte igual ao maior valor da soma.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

P (fração mais rica da população)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

W (fração da riqueza total)

= 2.1 = 2.2 = 2.4 = 2.7 = 3.5

Figura 2.6: Compara¸cão da equa¸cão 2.22 para alguns valores de α. Note que, para essa suposi¸cão de distribui¸cão, aproximadamente 80% da riqueza está nas mãos dos 20% mais ricos.

A discussão que foi feita acima ilustra uma propriedade fundamental das distribui¸cões livre de escala, que é o fato de que a maioria das observa¸cões da variável aleatória são de baixa magnitude, ou seja, os valores muito pequenos são muito mais prováveis que os grandes.

2.3.4 Distribui¸

c˜

oes com cauda de lei de potˆ

encias

A equa¸cão 2.8 descreve uma FDP que segue uma lei de potências ao longo de todo o seu espectro. Porém, algumas distribui¸cões podem exibir uma lei de escala apenas na cauda, ou seja, quando x é suficientemente grande. Geralmente, tais distribui¸cões podem ser expressas na forma P r(x) = L(x)x−α, em que L(x) representa uma “fun¸cão que varia lentamente”, isto é, quando x → ∞, L(x) → c, em que c é alguma constante, e p(x) → x−α.

Como exemplo, consideremos a lei de potˆencias transladada, que tem a forma [30] P r(x) = α − 1 k + xmin k + x k + xmin −α x ≥ xmin, (2.23)

em que k ´e alguma constante. Quando k = 0, recuperamos exatamente a forma da equa¸c˜ao 2.8.

(30)

100 102 104 x 10-10 10-5 100 Pr(X x) k = 0 k = 5 k = 25

Figura 2.7: CCDF para a lei de potências transladada para algumas escolhas do parâmetro de desvio k. Note que a cauda apresenta uma forma de lei de potências, mas o “corpo”ou “cabe¸ca”exibe uma significante curvatura.

Com um pouco de ´algebra, podemos reescrever a equa¸c˜ao 2.23 da seguinte forma:

P r(x) = C(x + k)−α (2.24) = C(x + k)−α x −α x−α (2.25) = C 1 + k x −α x−α (2.26) = L(x)x−α, (2.27) em que L(x) = C 1 + k x −α

→ C quando x → ∞, de modo que a lei de potências transladada tem uma cauda de lei de potência pura. O termo L(x) descreve exatamente como o desvio da forma de lei de potências decai à medida que avan¸camos para a cauda. Quando x ≤ k, o termo L(x) é grande comparado com o termo de cauda x−α, sendo portanto responsável por por produzir a curvatura no gráfico com eixos logaritmicos. A figura 2.7 ilustra alguns exemplos desse tipo de distribui¸cão.

2.4 N´

umeros randˆ

omicos com distribui¸

c˜

ao livre de

escala

Muitas vezes é útil gerar números aleatórios com determinada distribui¸cão, a fim de realizar testes estat´ısticos, por exemplo. No caso em que estamos interessados em números que se distribui segundo uma lei de potência, não é fácil encontrar alguma rotina pronta que fa¸ca isso nas principais linguagens de programa¸cão.

Geralmente, as rotinas prontas dispon´ıveis nas linguagens de programa¸cão mais co-nhecidas servem para gerar números aleatórios com distribui¸cão uniforme, gaussiana ou exponencial. Nesse sentido, podemos utilizar o método da transforma¸cão [38, 39, 40], des-crito a seguir, para transformar um conjunto de variáveis aleatórias com dada distribui¸cão em outro conjunto com distribui¸cão da forma de uma lei de potências.

(31)

O método da transforma¸cão funciona da seguinte forma. Consideremos uma variável aleatória R com densidade de probabilidade p(r), e outra variável aleatória X com densi-dade de probabilidensi-dade p(x). Se conhecemos a forma funcional que relaciona r e x, podemos determinar a distribui¸cão de probabilidades de x. Esse método baseia-se no simples fato de que, ao transformar a variável r em x, o número de eventos num dado intervalo deve ser o mesmo, independente do nome dado à variável [32]. Ou seja,

p(r)dr = p(x)dx, (2.28) de modo que, p(x) = p(r) dr dx . (2.29)

Contudo, se desejamos ir além e produzir um conjunto de números aleatórios X com distribui¸cão p(x), podemos integrar essa expressão em ambos os lados ao longo de todo o alcance de cada variável. Se R tem distribui¸cão uniforme, por exemplo, temos

R ∼ u(0, 1), (2.30)

e p(r) = 1 nesse intervalo, de modo que, P (X ≥ x) = Z ∞ x p(x0)dx0 = Z 1 r dr0 = 1 − r, (2.31)

que nos permite concluir que

P (x) = 1 − r (2.32)

e

x = P−1(1 − r), (2.33)

em que P (x) denota a distribui¸cão acumulada de probabilidades da variável aleatória X e P−1 denota sua forma funcional inversa.

A fun¸cão densidade de probabilidade para uma variável aleatória que se distribui segundo uma lei de escala é dada pela equa¸cão 2.8, de modo que a fun¸cão de distribui¸cão acumulada para essa variável é dada por

P (x) = x xmin −(α−1) . (2.34)

Para obter sua forma funcional inversa, P−1, consideremos

P (x) = x xmin −(α−1) = w, (2.35) de forma que, P−1(w) = x = xminw−1/(α−1) (2.36) e consequentemente, x = xmin(1 − r)−1/(α−1). (2.37)

Portanto, dando um conjunto de números aleatórios {r} gerados a partir de uma distribui¸cão uniforme, para obter um novo conjunto {x} cuja distribui¸cão é da forma de uma lei de potências, basta fazer a transforma¸cão expressa pela equa¸cão 2.37.

(32)

2.5 Alguns mecanismos geradores de leis de escala na

natureza

Alguns fenômenos f´ısicos e naturais apresentam grandezas que se distribuem segundo uma lei de potência. Tais fenômenos podem ser, por exemplo, uma transi¸cão de fases, em que algumas quantidades se distribuem segundo uma lei de escala apenas nas proximidades da criticalidade, ou fenômenos complexos, tais como terremotos, incêndios florestais e erup¸cões solares, os quais exibem uma distribui¸cão livre de escala ao longo de toda a sua extensão [37].

Algumas vezes, sob determinadas circunstâncias, é poss´ıvel elaborar modelos f´ısicos e/ou matemáticos capazes de explicar o surgimento dessas distribui¸cões de probabilidade a partir dos fenômenos mais básicos subjacentes ao fenômeno em análise. Nesta se¸cão discutimos os principais mecanismos geradores de leis de potência na natureza e alguns modelos f´ısicos utilizados para entender os processos geradores subjacentes a esse com-portamento em escala macroscópica.

2.5.1 Amostragem de alguns processos especiais

Uma distribui¸cão de probabilidades muito mais comum que a lei de potências é a lei exponencial. Ela aparece nas mais diversas circunstâncias, em fenômenos estudados pelas mais variadas áreas do conhecimento. Exemplos mais conhecidos da ocorrência dessa distribui¸cão no âmbito de fenômenos f´ısicos são o tempo de vida de núcleos atômicos instáveis, ou mesmo a própria distribui¸cão de Boltzmann para as energias em mecânica estat´ıstica [38].

Uma das maneiras mais simples de gerar uma lei de potências é por meio de um processo de amostragem. Contudo, não é qualquer procedimento amostral que é capaz de produzir tais leis. De fato, uma lei de escala é gerada sempre que realizamos um processo de amostragem de uma variável x que mantêm uma rela¸cão exponencial determin´ıstica com uma segunda variável y, a qual se distribui segundo uma lei exponencial [37, 38, 41, 42, 43].

Nesse sentido, seja y uma quantidade exponencialmente distribu´ıda,

P (y) ∝ e−λy, (2.38)

com λ > 0; por exemplo, y pode ser o tempo de espera para eventos gerados por um processo de Poisson. Além disso, supomos que estamos na verdade interessados em uma variável x, a qual está relacionada com y por meio da rela¸cão

x ∝ eδy, (2.39)

em que δ > 0. Ou seja, conforme antecipado, x é uma quantidade que cresce exponencial-mente com y, além de o próprio y ser distribu´ıdo exponencialmente. Por exemplo, ainda na ideia de processos de Poisson, podemos supor que x é uma quantidade de dinheiro em uma conta em um banco, a qual cresce de acordo com alguma taxa de juros fixa (cres-cimento exponencial), mas que, com uma probabilidade constante p (exponencialmente distribu´ıda), todos os meses retiramos o montante da conta. Ou seja, a variável x, que é a quantidade de dinheiro na conta no momento em que observamos (amostragem), cresce exponencialmente com o tempo, ao passo que o intervalo de tempo que o capital irá ficar aplicado é amostrado com probabilidade p, exponencialmente distribu´ıda.

Voltando para a equa¸c˜ao 2.39, queremos saber qual a distribui¸c˜ao do dinheiro retirado da conta segundo o processo amostral discutido acima. Para responder, recorremos ao

(33)

método da transforma¸cão, já discutido na se¸cão 2.4. Assim, nesse contexto, queremos saber qual a distribui¸cão de x, que é uma fun¸cão de y, sendo que sabemos como se distribui essa última. Dessa forma, podemos escrever

p(x) dx = p(y) dy, (2.40) de modo que, p(x) = p(y)dy dx ∝ x −(1+λ/δ) . (2.41)

Assim, a distribui¸cão de x segue uma lei de potências com um expoente de escala definido em termos da razão dos dois parâmetros exponenciais, λ e δ.

Podemos nos perguntar a seguir se esse resultado é esperado. Ele significa que, para uma taxa amostral λ fixa, se aumentarmos o parâmetro do crescimento exponencial, δ, a cauda da lei de potências fica mais pesada, isto é, a distribui¸cão resultante passa a ter uma cauda mais longa. Em outras palavras, vemos mais eventos de grande magnitude sob o processo de amostragem, o que faz sentido porque o crescimento exponencial é mais intenso, o que significa que obtemos resultados maiores mais rapidamente. Por outro lado, para uma taxa de crescimento exponencial δ fixa, se aumentarmos o parâmetro de amostragem λ, a lei de potências torna-se mais leve, isto é, sua cauda fica mais curta. Ou seja, vemos menos eventos de grande porte. Isso também faz sentido, uma vez que um λ maior implica num menor tempo de espera, pois a distribui¸cão decai mais rápido e, portanto, há menos tempo para o crescimento exponencial gerar grandes eventos.

2.5.2 Transi¸

c˜

oes de fase e fenˆ

omenos cr´ıticos

Alguns sistemas f´ısicos passam por uma transi¸cão de fases de segunda ordem quando os parâmetros que o governam são finamente ajustados a um determinado ponto. Esse ponto é o chamado ponto cr´ıtico. Quando ele é alcan¸cado, as propriedades do sistema mudam bruscamente, fazendo com que ele tenha caracter´ısticas macro e microscópicas distintas daquelas apresentadas abaixo desse ponto [44, 45].

Os fenômenos cr´ıticos são os acontecimentos que surgem nas proximidades do ponto cr´ıtico. Um exemplo é a divergência de alguma escala de medida. Num ferromagneto, por exemplo, a fun¸cão de correla¸cão tem comportamento assintótico exponencial quando o estado do sistema encontra-se distante do ponto cr´ıtico, e define, desse modo, uma escala de comprimento caracter´ıstica, que é o tamanho t´ıpico dos dom´ınios magnéticos - o chamado comprimento de correla¸cão. Nas proximidades da transi¸cão de fases de segunda ordem, contudo, essa quantidade diverge, deixando o sistema sem escala caracter´ıstica. Consequentemente, neste ponto, as distribui¸cões das quantidades f´ısicas seguem uma lei de potências [44].

Geralmente, as circunstâncias nas quais a divergência ocorre são muito espec´ıficas. Os parâmetros do sistema devem ser precisamente ajustados para produzir o comportamento segundo uma lei de potências. O ponto preciso no qual as escalas de comprimento em um sistema diverge é o chamado ponto cr´ıtico, e dizemos que ocorre uma transi¸cão de fases cont´ınua (ou de segunda ordem). Os acontecimentos nas proximidades deste ponto são chamados de fenômenos cr´ıticos. Como os parâmetros que governam a dinâmica microscópica de um sistema precisam ser finamente ajustados para se produzir esse com-portamento, a divergência nas escalas de comprimento que ocorre durante uma transi¸cão de fases cont´ınua é uma explica¸cão improvável para diversas distribui¸cões do tipo lei de escala que ocorrem em sistemas da natureza ou nas ciências sociais [38, 44, 45].

(34)

Um exemplo de fenômeno cr´ıtico é a transi¸cão de percola¸cão. Esse é um tipo de transi¸cão que ocorre quando temos alguma substância (um fluido, por exemplo) ou outro ente f´ısico que precisa transpor um meio aleatório, isto é, um meio em que o caminho condutor está randomicamente disposto em meio a obstáculos intranspon´ıveis. Algumas aplica¸cões do fenômeno da percola¸cão incluem a propaga¸cão de doen¸cas em uma po-pula¸cão, o comportamento de imãs dilu´ıdos por impurezas não magnéticas, o fluxo do petróleo através dos poros das rochas, etc [46]. Como exemplo, podemos citar o expe-rimento de Watson e Leath [47], em que eles mediram a condutividade elétrica de uma malha metálica uniforme quando os nós conectando fios metálicos foram progressivamente removidos. As coordenadas dos nós removidos foram determinadas usando um gerador de números aleatórios. A condutividade elétrica nesse caso é uma fun¸cão rapidamente decrescente da fra¸cão de nós p que ainda estão presentes e se anula abaixo de um limimar cr´ıtico.

Para entender a ideia básica de uma transi¸cão de fases, vamos usar o modelo de percola¸cão por s´ıtio. Consideremos, para isso, uma rede quadrada com N s´ıtios, os quais podem estar vazios (quando não existe um nó ou um poro, por exemplo) ou preenchidos [48]. Se definirmos que os s´ıtios estarão ocupados ao acaso com probabilidade p, então temos dois regimes diferentes - um para pequenos valores de p e outro para p perto de seu valor máximo, igual a 1, indicando alta concentra¸cão de ocupa¸cão.

Em uma rede com um número grande de s´ıtios, se p é pequeno (distante de 1), os s´ıtios se agruparão em pequenos grupos de 1, 2 ou alguns poucos elementos. Aqui, o tamanho médio dos agloremados de s´ıtios ocupados é pequeno. Por outro lado, se p se aproxima de 1, formar-se-ão clusters grandes, comparáveis ao tamanho da rede em si. Nesse estágio, existe algum aglomerado (o aglomerado percolante) que se estende de uma borda à outra da rede. O tamanho médio dos aglomerados torna-se cada vez maior `

a medida que aumentamos o tamanho da rede. Desse modo, deve haver um valor de probabilidade de concentra¸cão para o qual o sistema muda de um comportamento para o outro. Esse valor é o ponto cr´ıtico ou limiar de percola¸cão [49, 50]. A figura 2.8 ilustra um modelo de percola¸cão por s´ıtio em uma rede quadrada. Os s´ıtios foram ocupados ao acaso, com p = 0.5.

Figura 2.8: Representa¸c˜ao de uma uma grade 20x20 na qual os s´ıtios foram ocupados com ma probabilidade de 50%. Os pixeis na cor banca representam os s´ıtios desocupados, ao passo que aqueles em azul representam s´ıtios ocupados.